3.2.2半角的正弦、余弦和正切
课件6：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
1．(1)已知|cos θ|＝35，且52π<θ<3π，则 sinθ2，cosθ2，tanθ2的值
分别为( B )
A．－2 5 5， 55，2
B．－2 5 5，－ 55，2
2 C.
5
5，－
55，2
D．－2 5 5，－ 55，－2
(2)若 cos α＝－45，α 是第三象限的角，则11＋－ttaannα2α2＝( A )
(2) 2＋2cos 8＋2 1－sin 8的化简结果是_－__2_si_n__4_．
(3)化简(tan
5°－tan
cos 70° 85°)·1＋sin 70°.
【解析】(1)cos12α＋tan 2α＝cos12α＋csoins 22αα＝
（scionsα2α＋－csoisn2αα）2＝csions
(3)选公式．涉及半角公式的正切值时，常用 tanα2＝
sin α 1＋cos
α＝1－sincoαs
α，其优点是计算时可避免因开方带
来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，
常先利用 sin2α2＝1－c2os α，cos2α2＝1＋c2os α计算．
(4)下结论．结合(2)求值．
跟踪训练
(2)正确．当 cos α＝－ 3＋1 时，上式成立，但一般情况
下不成立．
(3)错误．当 α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下
不成立．
(4)正确．若 α 是第一象限角，则α2是第一、三象限角，
此时 tanα2＝
1－cos 1＋cos
α成立． α
2．已知 cos α＝32，270°<α<360°，那么 cosα2的值为
正切的半角公式
1－cos α tan α2＝_±_____1_＋__c_o_s__α_____
3.2.2半角的正弦、余弦和正切
由二倍角公式，可得
cos 1 2sin
即 2sin
2
2
2
2 cos
2
2
1 cos
2 2 2 cos 1 cos 2
1
1 cos 所以 sin 2 2
1 cos cos 2 2
把两式的两边分别相除，得
2
2 又由sin 2sin cos 2 tan cos 知 2 2 2 2 sin 与tan 同号，且1＋cos 0 2
sin tan 2 1 cos
1 cos 同理 tan 2 sin
例3. 求 cos 的值. 8
1 cos 1 cos
tan
2
2
=右式
值. 解：
1 sin 2 cos 2 练习.已知tanα=3, 求 的 1 sin 2 cos 2
2 sin α + 2 sin α cos α 原式 = 2 cos2 α + 2 sin α cos α
2
tan α + 1 = =3 cot α + 1 1 sin 2 cos 2 3 1 sin 2 cos 2
( 6 2) 84 3 6 2 4 4 4
2
3 1 1 cos 30 2 3 2 cos15 2 2 2
( 6 2)2 8 4 3 6 2 4 4 4
1 cos30 tan15 2 3 1 cos30
sin 1 cos tan 例2 求证： 2 1 cos sin
学案3：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切半角公式半角公式的推导过程如下表：思考 如何确定公式中的正负号？自主测试1 若cos α＝12，则sin α2等于( )A ．12B ．－12C ．±12D ．±32自主测试2 已知cos θ＝79，且270°＜θ＜360°，则cos θ2的值为( )A ．23 B ．－223 C ．±233 D ．－23自主测试3 若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B ．12 C ．2 D ．－2课堂互动 解读半角公式剖析：(1)半角公式是二倍角公式变形形式的一种具体化的表达方式，其本质是通过“单角”的三角函数值表示“半角”的三角函数值．(2)公式适用的条件：①半角的正弦和余弦公式对任意的角都成立；②tan α2＝±1－cos α1＋cos α和tan α2＝sin α1＋cos α中要求α≠2k π＋π，k ∈Z ，而tan α2＝1－cos αsin α中则要求α≠k π，k ∈Z . (3)因为tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题．所以在解题时，使用相对较为方便，但需注意该公式成立的条件．知识拓展 半角公式是由倍角公式变形所得，主要体现了半角的正弦、余弦、正切与单角余弦的关系，除此，我们还可以把sin α，cos α，tan α统一用tan α2表示，显示了正弦、余弦、正切之间极强的内在联系．即sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan2α2，tan α＝sin αcos α＝2tanα21－tan2α2.典型考题题型一 利用半角公式求值 例题1 求值：(tan 5°－cot 5°)·cos 70°1＋sin 70°.反思 对于化简求值要遵循三个“统一”，即统一角，统一函数名称，统一结构形式，另外还要有必要的切化弦、通分、角变换等常用技巧． 题型二 给值求值问题例题2 已知sin α＝－45，π＜α＜3π2，求sin α2，cos α2，tan α2.反思 在套用公式时，一定注意求解顺序和所用到的角的范围，还要注意选用公式要灵活多样．互动探究 若将本例中“π＜α＜3π2”改为“α为第三象限的角”结果又如何？题型三 恒等式的证明问题 例题3 求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α.反思 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证等方法．常用的方法有定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 题型四 三角函数的综合问题例题4 设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝⎛⎭⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sin A ．反思 为了方便研究三角函数的有关性质，其常见做法是利用三角变换公式将其化为正弦型函数或余弦型函数，在三角形中讨论三角函数要注意角的约束及隐含条件A ＋B ＋C ＝π. 随堂练习1．已知cos α＝－cos 2α2，则cos α2等于( )A ．±33 B ．33 C ．－33 D ．±132．下列各式与tan α相等的是( ) A ．1－cos 2α1＋cos 2α B ．sin α1＋cos αC ．sin α1－cos 2αD ．1－cos 2αsin 2α3．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，那么sin θ4等于( )A ．－1＋a2B ．－1－a2C ．－1＋a 2 D ．－1－a24．若sin α＝－45，且α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝________.5．求值：cos 2A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫π3－A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋A ＝__________. 6．已知向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．参考答案思考 答：根据“α2”的范围来确定，如果不能确定角“α2”的范围，“±”应保留．自主测试1 【答案】C 【解析】sin α2＝±1－cos α2＝±12.自主测试2 【答案】B【解析】∵270°＜θ＜360°，∴135°＜θ2＜180°，∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1＋792＝－223. 自主测试3 【答案】A【解析】解法一：由cos α＝－45，且α是第三象限的角，得sin α＝－35，又tan α2＝sin α1＋cos α＝－351－45＝－3，∴1＋tanα21－tanα2＝1－31－－3＝－12.解法二：∵cos α＝－45，α为第三象限的角，∴sin α＝－35.∴tan α＝34.由tan α＝34＝2tanα21－tan 2α2，得tan α2＝13或tan α2＝－3.又∵π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，∴π2＋k π＜α2＜3π4＋k π(k ∈Z )． 当k ＝2n (n ∈Z )时，π2＋2n π＜α2＜3π4＋2n π，此时α2在第二象限，tan α2＜0；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，3π2＋2n π＜α2＜7π4＋2n π， 此时α2在第四象限，tan α2＜0.∴tan α2＝－3.∴1＋tanα21－tanα2＝1－31－(－3)＝－12.例题1 解：解法一：原式＝⎝⎛⎭⎫tan 5°－1tan 5°·cos 70°1＋sin 70°＝tan 25°－1tan 5°·sin 20°1＋cos 20° ＝－2·1－tan 25°2tan 5°·sin 20°1＋cos 20°＝－2cot 10°·tan 10°＝－2.解法二：原式＝⎝⎛⎭⎫sin 5°cos 5°－cos 5°sin 5°·sin 20°1＋cos 20°＝sin 25°－cos 25°sin 5°·cos 5°·sin 20°1＋cos 20° ＝－cos 10°12sin 10°·2sin 10°cos 10°2cos 210°＝－2.解法三：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－cos 10°sin 10°－1sin 10°1＋cos 10°·sin 20°1＋cos 20°＝⎝⎛⎭⎫1－cos 10°sin 10°－1＋cos 10°sin 10°·sin 20°1＋cos 20°＝－2cos 10°sin 10°·2sin 10°cos 10°2cos 210°＝－2. 例题2 分析：先由sin α的值求出cos α的值，然后利用半角公式求解． 解：∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4.又∵sin α＝－45，∴cos α＝－35.则sin α2＝1－cos α2＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－1－352＝－55， ∴tan α2＝sinα2cosα2＝255－55＝－2.互动探究 解：sin α2＝±255，cos α2＝±55，tan α2＝－2.例题3 分析：解答本题时，首先可将切化弦，然后利用半角公式、倍角公式化简． 证明：证法一：原式左边＝cos 2α1＋cos αsin α－1－cos αsin α＝cos 2α2cos αsin α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边，故原式成立．证法二：原式左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边． 故原式成立．例题4 分析：(1)先利用两角和的余弦公式和降幂公式统一角，再化为正弦型函数求f (x )的最大值和最小正周期．(2)注意A ＋B ＋C ＝π，并利用两角和的正弦公式求sin(B ＋C )，即为sin A ． 解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)由(1)可得，f ⎝⎛⎭⎫C 2＝12－32sin C ＝－14， 所以sin C ＝32.因为C 为锐角，所以C ＝π3. 又因为在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝223.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.随堂练习 1．【答案】A【解析】由二倍角的余弦公式，得2cos 2α2－1＝－cos 2α2，即3cos 2α2＝1，所以cos α2＝±33.2．【答案】D 3．【答案】B【解析】∵5π＜θ＜6π，∴5π4＜θ4＜3π2.∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 4．【答案】－135．【答案】32【解析】原式＝1＋cos 2A2＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2A 2＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2A 2＝32＋12⎣⎡⎦⎤cos 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2A ＝32＋12⎝⎛ cos 2A ＋cos 2π3cos 2A ＋sin 2π3sin 2A ＋cos 2π3cos 2A －⎭⎫sin 2π3sin 2A ＝32＋12⎝⎛⎭⎫cos 2A ＋2cos 2π3cos 2A ＝32＋12(cos 2A －cos 2A )＝32. 6．解：(1)由已知得，f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32 ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 故f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3＜2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，即f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1.。
课时作业16：3.2.2半角的正弦、余弦和正切
3.2.2半角的正弦、余弦和正切课后拔高提能练一、选择题1．已知cos α＝23，270°<α<360°，那么cos α2的值为( )A ．66B ．－66C ．306 D ．－3062．函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数3．设a ＝12cos2°－32sin2°，b ＝2tan14°1－tan 214°，c ＝ 1－cos50°2，则有() A ．a <c <b B ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b4．设(2cos x －sin x )(sin x ＋cos x ＋3)＝0，则2cos 2x ＋sin2x 1＋tan x 的值为( ) A ．85 B ．58 C ．25 D ．525.3－sin70°1＋sin 210°＝( ) A ．12 B ．2C ． 3D ．26．已知sin2α＝23，则tan α＋1tan α＝( )A ．1B ．2C ．4D ．3二、填空题7．已知sin α2－cos α2＝－55，450°<α<540°，则tan α2＝________.8．已知tan α＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫2 017π2－2α＝________. 9.sin4x 1＋cos4x ·cos2x 1＋cos2x ·cos x 1＋cos x＝________. 三、解答题10．化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)．11．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin x －cos x 的值；(2)求3sin 2x 2－2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2tan x ＋cot x的值．12．函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12. (1)求f (x )的最小正周期和值域；(2)若f (x )＝3210，求sin2x 的值．【参考答案】课后拔高提能练一、选择题1．D【解析】∵270°<α<360°，∴135°<α2<180°， ∴cos α2<0.故cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1＋232＝－56＝－306.故选D ． 2．A【解析】 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin2x ，∴T ＝π且为奇函数．故选A ． 3．D【解析】由题意知：a ＝sin28°，b ＝tan28°，c ＝sin25°，∴c <a <b .故选D ．4．C【解析】由(2cos x －sin x )(sin x ＋cos x ＋3)＝0得2cos x －sin x ＝0，∴tan x ＝2，2cos 2x ＋sin2x 1＋tan x＝2cos x (cos x ＋sin x )1＋sin x cos x＝2cos 2x ＝211＋tan 2x ＝2×11＋4＝25.故选C ． 5. D【解析】 3－sin70°1＋sin 210°＝3－cos20°1＋1－cos20°2＝3－cos20°3－cos20°2＝2.故选D ． 6．D【解析】 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2sin2α＝223＝3，故选D ． 二、填空题7．2【解析】由sin α2－cos α2＝－55， ∴⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝⎝⎛⎭⎫－552， 得sin α＝45. 又450°<α<540°，∴cos α＝－35.∴tan α2＝sin α1＋cos α＝451－35＝2. 8．－35【解析】∵tan α＝2，∴cos 2α＝11＋tan 2α＝15，sin ⎝⎛⎭⎫2 017π2－2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos2α＝2cos 2α－1＝2×15－1＝－35. 9. tan x 2【解析】sin4x 1＋cos4x ·cos2x 1＋cos2x ·cos x 1＋cos x＝tan2x ·cos2x 1＋cos2x ·cos x 1＋cos x＝sin2x 1＋cos2x ·cos x 1＋cos x ＝tan x ·cos x 1＋cos x ＝tan x 2. 三、解答题10．解 原式＝[(1＋cos α)＋sin α]⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22(1＋cos α)＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22×2cos 2α2 ＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos 2α2－sin 2α22 cos 2α2， ∵0<α<π，∴0<α2<π2，cos α2>0，原式＝2cos α2cos α2cos α2＝cos α. 11． 解 解法一：(1)由sin x ＋cos x ＝15， 平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425. ∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925. 又∵－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75.(2)3sin 2x 2－2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2tan x ＋cot x ＝2sin 2x 2－sin x ＋1sin x cos x ＋cos x sin x＝sin x cos x (2－cos x －sin x ) ＝⎝⎛⎭⎫－1225×⎝⎛⎭⎫2－15＝－108125. 解法二：(1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＋cos x ＝15， ①sin 2x ＋cos 2x ＝1. ②由①得sin x ＝15－cos x ，将其代入②， 整理得25cos 2x －5cos x －12＝0，∴cos x ＝－35或cos x ＝45. ∵－π2<x <0，∴⎩⎨⎧ sin x ＝－35，cos x ＝45.故sin x －cos x ＝－75. (2)3sin 2x 2－2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2tan x ＋cot x ＝2sin 2x 2－sin x ＋1sin x cos x ＋cos x sin x＝sin x cos x (2－cos x －sin x ) ＝⎝⎛⎭⎫－35×45×⎝⎛⎭⎫2－45＋35＝－108125. 12．解 (1)f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝1＋cos x 2－12sin x －12＝12cos x －12sin x ＝22⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. ∴f (x )的最小正周期为π，值域为⎣⎡⎦⎤－22，22. (2)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝3210，∴cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝35. sin2x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝－⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－1＝－2×925＋1＝725.。
课件10：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
素养提升
半角公式的变形较多，应用时要针对题目的条件选择适当的公式． 例如，待求式中同时含有 sin α，cos α，tanα2时，应选择公式 tanα2＝1＋sincoαs α＝1－sincoαs α；含有三角函数的平方形式时，一般选择降 幂公式；对根式的化简常常需要升幂去根号．
失误防范 运用半角公式求值时，要特别注意根据半角的范围去确定半角 三角函数值的正负号，若半角的范围不明确则求值时正负号都 要取．
α＝
－2sin
αα＝－2
2sin
2
2sin 2cos 2
α .
sin
2
因为 0＜α＜π，所以 0＜α2＜2π.所以 sin α2＞0.所以原式＝－2
α 2cos 2.
题型三 利用半角公式证明三角恒等式
例 3 求证： 1cαo－s2tαanα2＝14sin 2α. tan2
【证明】
法一：左边＝1＋cos sin α
θ 2
cos ＝
θ2sin2
θ2－cos2 θ
θ 2＝－cos
θ 2cos
θ
θ .
cos
2
cos
2
因为 0＜θ＜π，所以 0＜θ2＜π2，所以 cos 2θ＞0，
所以原式＝－cos θ.
方法归纳 三角函数式化简的思路和方法
(1)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于 三角公式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式， 注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归 一等方法．(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂 或升幂等．
跟踪训练
化简：cos32π－α－1ta－n cα2o·s（α1＋cos
第三章 3.2.2半角的正弦、余弦和正切
3.2.2
( A )
本 课 时 栏 目 开 关
3.2.2 练一练·当堂检测、目标达成落实处 4 3π α α α 3．已知 sin α＝－ ，π<α< ，求 sin ，cos ，tan . 5 2 2 2 2 3π π α 3π 解 ∵π<α< ，∴ < < . 2 2 2 4 4 3 又∵sin α＝－ ，∴cos α＝－ . 5 5 3 1－－5 1－cos α α 2 5 则 sin 2＝ ＝ ＝ 5 ， 2 2 3 1－ 1＋cos α 5 α 5 cos ＝－ ＝－ ＝－ ， 2 2 2 5 α sin 2 α tan ＝ ＝－2. 2 α cos 2 1－cos α α sin α (另解：tan 2＝ ＝ sin α ＝－2) 1＋cos α
①⑤ ；
α (2)若 α 为第二象限角，则 的终边落在区域 2
②⑥ ；
α (3)若 α 为第三象限角，则 的终边落在区域 ③⑦ ； 2 α (4)若 α 为第四象限角，则 的终边落在区域 ④⑧ . 2
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点三 如何用 tan α 表示 sin α，cos α，tan α 2
3.2.2
本 课 时 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.2
本 课 时 栏 目 开 关
cos2α 方法二 左边＝ 1＋cos α 1－cos α － sin α sin α cos2α 1 1 ＝ ＝ sin αcos α＝ sin 2α＝右边． 2cos α 2 4 sin α
∴原式成立.
2α
α ∴tan ＝± 2
1－cos α . 1＋cos α
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课时作业9：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切学业达标一、选择题1.若函数f (x )＝－sin 2 x ＋12(x ∈R )，则f (x )是( )A.最小正周期为π2的奇函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为π的偶函数 2.若sin(π－α)＝－53且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2等于( ) A.－63B.－66C.66 D.633.设a ＝12cos 7°＋32sin 7°，b ＝2tan 19°1－tan 2 19°，c ＝1－cos 72°2，则有( ) A.b >a >c B.a >b >c C.a >c >bD.c >b >a4.若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( ) A.1 B.－1 C.0D.±15.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值是( )A.1B.2C.3＋1D.3＋2二、填空题6.若θ是第二象限角，且25sin 2 θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2＝________.7.1sin π18－3cos π18＝________. 三、解答题 8.已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值.9.设函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω的值；(2)设f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上的最小值为3，求a 的值.能力提升1.已知450°<α<540°，则12＋1212＋12cos 2α的值是( ) A.－sin α2B.cos α2C.sin α2D.－cos α22.已知函数f (x )＝2cos 2 x2，g (x )＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22. (1)求证：f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝g (x )；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )(x ∈[0，π])的单调区间，并求使h (x )取到最小值时x 的值.参考答案学业达标一、选择题 1. 【答案】 D【解析】 f (x )＝－1－cos 2x 2＋12＝12cos 2x .故选D.2. 【答案】 B【解析】 由题意知sin α＝－53，α∈⎝⎛⎭⎫π，32π， ∴cos α＝－23，∵α2∈⎝⎛⎭⎫π2，34π，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2＝cos α2 ＝－1＋cos α2＝－66.故选B. 3. 【答案】 A【解析】 a ＝sin 37°，b ＝tan 38°，c ＝sin 36°，由于tan 38°>sin 38°>sin 37°>sin 36°， 所以b >a >c .故选A. 4. 【答案】 C【解析】 ∵sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝sin(α＋β－β)＝sin α＝0， ∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β) ＝2sin αcos 2β＝0. 5. 【答案】 B【解析】 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝⎝⎛⎭⎫1＋3sin x cos x cos x ＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<23π， ∴当x ＋π6＝π2时，f (x )取到最大值2. 二、填空题 6. 【答案】 ±35【解析】 由25sin 2 θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去).故cos θ＝－1－sin 2 θ＝－725，由cos 2 θ2＝1＋cos θ2得cos 2 θ2＝925.又θ2是第一、三象限角， 所以cos θ2＝±35.7. 【答案】 4【解析】 原式＝cos π18－3sinπ18sin π18cos π18＝2⎝⎛⎭⎫12cos π18－32sin π1812sin π9＝4sinπ9sin π9＝4.三、解答题8.解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4 ＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 9.解：f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋a ＋1. (1)由2ωx ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，得ωx ＝k π＋π6(k ∈Z ).又ω>0，∴当k ＝0时，f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为x ＝π6ω＝π6，故ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1， 由π6≤x ≤π3，得π3≤2x ≤23π，π2≤2x ＋π6≤5π6， ∴当2x ＋π6＝5π6，即x ＝π3时，f (x )取得最小值为12＋a ＋1.由12＋a ＋1＝3，得a ＝3－32. 能力提升1. 【答案】 A【解析】 因为450°<α<540°， 所以225°<α2<270°，所以cos α<0，sin α2<0，所以原式＝12＋121＋cos 2α2＝12＋12cos 2α ＝12＋12|cos α|＝12－12cos α ＝sin 2 α2＝⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2.故选A. 2.(1)证明：f (x )＝2cos 2 x2＝1＋cos x ，g (x )＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22 ＝1＋2sin x 2cos x2＝1＋sin x ，∵f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1＋sin x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝g (x )，命题得证.(2)解：函数h (x )＝f (x )－g (x )＝cos x －sin x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∵x ∈[0，π]， ∴π4≤x ＋π4≤5π4， 当π4≤x ＋π4≤π，即0≤x ≤3π4时，h (x )递减， 当π≤x ＋π4≤5π4，即3π4≤x ≤π时， h (x )递增.∴函数h (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，3π4， 单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，π， 根据函数h (x )的单调性， 可知当x ＝3π4时，函数h (x )取到最小值.。
课时作业6：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
3．2.2 半角的正弦、余弦和正切一、选择题1．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2答案 A解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sinα2cosα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sinα2cos α2＋sinα2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.2．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.3．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B. 1－cos α2 C ．－1＋cos α2D.1＋cos α2答案 C4．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形答案 B5．tan 15°等于( )A ．2－ 3B ．－13C ．－23 D ．2＋ 3答案 A 解析 tan 15°＝1－cos 30°1＋cos 30°＝2－ 3.6．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a答案 C解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°， c ＝sin 25°，∵y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数， ∴a <c <b .7．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝⎛⎭⎫π2＜θ＜π，则tan θ2等于( ) A ．－13B ．5C ．－5或13D ．－13或5答案 B解析 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8.当m ＝0时，sin θ＜0，不符合π2＜θ＜π.∴m ＝0舍去．故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5.二、填空题8．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值为________．答案 －1－a 2解析 sin 2θ4＝1－cosθ22，∵θ∈(5π，6π)，∴θ4∈⎝⎛⎭⎫5π4，3π2. ∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 9．若tan θ2＝3，则sin θ－cos θ的值是________．答案 75解析 因为tan θ2＝3，所以sin θ＝2tanθ21＋tan2θ2＝2×31＋32＝35，cos θ＝1－tan 2θ21＋tan2θ2＝1－321＋32＝－45.所以sin θ－cos θ＝35－⎝⎛⎭⎫－45＝75. 10．已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α2＝________.答案 2解析 已知等式两边平方得sin α＝45，又450°＜α＜540°，所以cos α＝－35，所以tan α2＝2.三、解答题11．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ2＝3，求sin θ－2cos 2θ2的值． 解 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ2＝3，∴1＋tanθ21－tanθ2＝3， ∴tan θ2＝12，∴sin θ－2cos 2θ2＝sin θ－cos θ－1＝2tanθ21＋tan 2θ2－1－tan 2θ21＋tan 2θ2－1＝45－35－1＝－45. 12．在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴的正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点．已知A ，B 的横坐标分别为13，23，求cos α2＋sin β2＋tan α2的值．解 依题意，得cos α＝13，cos β＝23，因为α，β为锐角，所以cos α2＋sin β2＋tan α2＝1＋cos α2＋1－cos β2＋1－cos α1＋cos α＝1＋132＋1－232＋1－131＋13＝2＋62. 13．已知cos 2θ＝725，π2<θ<π.(1)求tan θ的值； (2)求2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值．解 (1)因为cos 2θ＝725，所以cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝725，所以1－tan 2θ1＋tan 2θ＝725，解得tan θ＝±34. 因为π2<θ<π，所以tan θ＝－34.(2)因为π2<θ<π，tan θ＝－34，所以sin θ＝35，cos θ＝－45，所以2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos θ＋sin θcos θ＋sin θ ＝1－45＋35－45＋35＝－4.四、探究与拓展 14．已知3π2<α<2π，化简12＋1212＋12cos 2α的结果为( ) A ．sin α2B ．－sin α2C ．cos α2D ．－cos α2答案 D解析 ∵3π2<α<2π，∴3π4<α2<π，∴12＋1212＋12cos 2α＝12＋12cos 2α＝12＋12|cos α|＝12＋12cos α ＝cos 2α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 故选D.15．如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？解 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α.∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋R . ∵0＜α＜π2，∴π4＜α＋π4＜3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R . 此时，α＋π4＝π2，即α＝π4.即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．。
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练习一
利用半角公式，求下列各式的值. (1) sin
π
12
π
cos
π
π
12
π
8 ×பைடு நூலகம் =
3π (2) tan + tan 8 8
π
4 3π 3π ×2 = ) 8 4
π
(提示： × 2 = 12 6
此题可采用半角公式求 值.
练习二
已知 tan θ = 2, 求 sin 2θ 、 2θ 和 tan 2θ 的值 . cos
半角的正弦、余弦和正切
1 + cos 2α cos 2α = 2 cos α 1 cos α = 2 1 cos 2α 2 2 cos 2α = 1 2 sin α sin α = 2
2 2
1+ cos β cos = ± 2 2 1 cos β sin = ± 2 2
1 cos β tan = ± 2 1+ cos β
(3)比较法即若证 A = B可等价证明 A B = 0.
说明6 说明 ： 三角化简或证明一般遵循的原则是： 三角化简或证明一般遵循的原则是： （1）从繁化到简 ） （2）切割化为弦 ） （3）角的统一 ）
1 θ 已知 sin cos = , 450 < θ < 540 , 求 tan 的值 . 2 2 2 3
拓展: 拓展
θ
θ
提示: 提示:
< 法一 > 根据已知及 sin 2
θ
2
+ cos 2
θ
2
= 1, 求出 sin
θ
和 cos ， 2 2
θ
而后利用 tan
θ
2
=
sin cos
θ θ
2 求值. 2
< 法二 > 将已知等式两端完全平 方求出 sin θ， 而后利用万能置换公式 求值.
两种方法操作的关键都在于判断出 的范围, 进而确定 三角比的符号. 2 2
中的象限确定. 中的象限确定.
说明3 说明3：半角公式和倍角公式实际上是同一公式 的不同变形. 的不同变形. 说明4 对于半角和倍角，要理解其实质。例如： 说明4：对于半角和倍角，要理解其实质。例如： 3α β β 是 的 2 倍， α 是 3 的 2倍 . 2 2
说明5: 说明5:
sin α 公式 : tan = 2 1 + cos α 也是半角的正切公式.
β
β
β
1+ cos β cos = ± 2 2
β
1 cos β sin = ± 2 2
β
1 cos β tan = ± 2 1+ cos β
β
说明1 这三个恒等式分别叫做半角的余弦、 说明1：这三个恒等式分别叫做半角的余弦、正弦 和正切公式. 和正切公式.
β 说明2 说明2：公式中的 "±" ，由 的终边在直角坐标 号 2
θ
θ
α
2
tan
α
2
第一象限 第一、三象限 第一、 第二象限 第一、三象限 第一、 第三象限 第二、四象限 第二、 第一象限 第二、四象限 第二、
＋、— ＋、— ＋、— ＋、— ＋、— ＋、— ＋、— ＋、—
＋、— ＋、— ＋、— ＋、— — 、＋ — 、＋
＋ ＋ — —
3 π α α α 例1.已知cosα = ,α ∈ ( ,0)，求sin 、 cos 和 tan 的值. 5 2 2 2 2 4 α α α 练习 .已知sinα = , 求sin 、 cos 和 tan 的值. 5 2 2 2
β
α
1 cos α = sin α
1 cos β 与公式tan = ± 比较 该公式特点是 不带根号 , " ". 2 1+ cos β
2 其中 α ≠ 2 k π + π .k ∈ Z .
试用 tan
α
分别表示 sin α 、 α 和 tan α . cos
sin α =
2 tan 1 + tan
(提示:应用万能置换公式)
练习三
证明下列恒等式 . (1)2 cos ( ) = 1+ sinα 4 2
2
π α
(2) tan( +θ ) tan( θ ) = 2 tan2θ 4 4
π
π
提示：证明三角恒等式常用的方法
(1)直导法即从左 右或者从右 左.
( 2)左右同一法即等式两边 同时进行证明.
θ
θ
1 1.已知 sin cos = 1.已知 ,450o<θ<540o, 2 3 θ 2 的值; 求 tan 的值; 4 2. 已知7cos2α+5sin2α=5 求tanα的值 ; 已知7cos2α+5sin2α=5 tanα的值 1 5π θ < θ < 3π ,求 sin 3.若 | cos θ |= 3.若 , ,求 5 2 2
α
2
2
α
2
cos α =
1 tan 1 + tan
2
α α
2 2
2
tan α =
2 tan 1 tan
α
2
由此可知，角 α (α ≠ 2kπ + π , k ∈ Z ) 2 这组公式叫做“万能公 式” .
2 . 的所有三角比都可以用 tan α 表示.
α
2
运用公式前符号的选择
α
α
2
sin
α
2
cos