2010年越秀区高三摸底考试数学(文科)试卷
2010年高考摸底考试数学试卷及答案
高 三 开 学 摸 底 考 试数 学 试 题（文理合卷 满分150分，时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知集合{|A x y ==，2{|0}6xB x x -=>-，则A B ＝ （ ）A ． {|46}x x <<B ．{|46}x x ≤<C ．{|4}x x ≥D ． {|26}x x x >≠且 2．（文）若函数())22cos(2sin x x x g -=π的最小正周期是（ ）A ．4πB ．2πC ．3πD ．2π（理）如图，弹簧挂着小球作上下振动，时间()t s 与小球相对平衡位置（即静止的位置）的高度()h cm 之间的函数关系式是2sin(4)4h t ππ=+（[0,)t ∈+∞则小球最高点与最低点的距离、每秒能往复振动的次数分别为 （ ）A ．2 ，2B ．4 ，2C ．4 ，2π D ．2 ，2π3．已知球面上有三点A 、B 、C ， AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，AC ＝10cm ，且球心O 到平面ABC 的距离为12，则球的半径为 （ ） A ．13cm B ．12cm C ．24cm D ．26cm 4．某展柜用同样的长方体型商品堆成如下图的若干堆展品：现用()f n 表示第n 堆的商品总数，则(1)f n -＝ （ ） A ．2nB ．221n n -+ C ．(1)2n n + D ．(1)2n n - 5．（文） 某全日制大学共有学生5600人，其中专科有1300人、本科有3000人、研究生1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中应分别抽取 （ ） A ．65人，150人，65人 B ．30人，150人，100人 C ．93人，94人，93人 D ．80人，120人，80人……第1第2第3……（理）若函数()1xf x x =+（1x ≠-）的反函数为1()y f x -=，则1(1)f i --＝（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1122i -+ D ． 1122i +6．若m 、n 、是空间两条不同直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，对于下列命题：①. m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β ②. α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β③. m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α④.若m 、n 与α所成的角相等，则n ∥m其中正确的命题的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．47．集合M ＝{()|1}x y x ≥，，P ＝{()|10}x y x y -+≤，，S ＝{()|220}x y x y --≤，，若T=M P S ，点(,)E x y T ∈，则22u x y =+的最小值是 （ ）A ．1B ．2C ． 25D ．58．（文）设()54325101051f x x x x x x =-+-++，则()f x 的反函数()1f x -为 （ ）（ ）A ．()11fx -=+B ．()11f x -=+C ．()11f x -=-D ．()11fx -= （理） 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +--=，且121a a ==，而该数列的第5项5a 与三角式5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数相等，则cos θ＝（ ）A B C ． 22±D ．129．二次函数212y x =的图像是抛物线，其焦点的坐标是 （ ） A ．(0,1) B ．1(,0)2 C ．1(0,)2 D ．1(0,)810．已知||2||a b = ，命题p ：关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅= 没有实数根，命题q ：,[0,]4a b π<>∈ ，则命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．某师范大学的数学教育专业有6名青年志愿者，为响应团中央发起的中国青年志愿者扶贫接力计划，志愿到某市的A 县、B 县、C 县三个县任教五年，则一县4名，另两县每县1名的概率为 （ ）A ．2081B ．1081C ．5243 D ．1024312．对任意正整数x 、y 都有()()()f x y f x f y +=⋅，且1(1)2f =，则(1)f +(2)f ＋(2008)f +…＝（ ）A ．2008112-B ．2007112-C ．2009112-D ．2008112-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上.13．某高校在2008年9月初共有m 名在校学生，其中有n 名新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例_____（选填“变大”、“ 变小”或“不变”），其理论论据用数学形式表达为_______. 14．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为)0F，直线1y x =-与其相交于M ,N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是_______. 15．（文） 有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少?”（注：《孟子》全书共34685字，“一倍多”指一倍），由此诗知该君第二日读的字数为_______．（理） 已知点集}|),{(y y x L ⋅==，其中(2,2)m x b =- ，(1,1)n b =+，点(,)n n n P a b L ∈，1{(,)|1}P L x y x == ，且11n n a a +-=，则数列{}n b 的通项公式为_______.16．对于下列四个命题①.若向量a ，b ，满足0a b ⋅< ，则a 与b的夹角为钝角；②.已知集合{}A =正四棱柱，B {}=长方体，则B B A = ；③.在直角坐标平面内，点(,3)M a a -与(cos ,sin )N αα在直线02=-+y x 的异侧；④.对22⨯数表定义平方运算如下：2a b a b a b c d c d c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝22a ab ac cd bc ⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭bc bd d ， 则21011⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝1021⎛⎫⎪-⎝⎭其中真命题是_ _（将你认为的正确命题的序号都填上）． 三、解答题：（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知向.1)(),sin ,sin 2(),cos 32,(sin -⋅===x f x x x x 设 （Ⅰ）若)(],2,0[x f x 求π∈的值域；（Ⅱ）若函数()(0),y f x x ααα==>的图象关于直线对称求的最小值.科18．（本小题满分12分）（文）某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止.（Ⅰ）求某乘客在第i 层下电梯的概率)5,4,3,2(=i ；（Ⅱ） 求电梯停下的次数不超过3次的概率； （理）某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止. （I ）求某乘客在第i 层下电梯的概率)5,4,3,2(=i ； （Ⅱ）求电梯在第2层停下的概率； （Ⅲ）求电梯停下的次数ξ的数学期望. 19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，若(4,)a x y =+ ，(4,)b x y =-，且10a b += .（Ⅰ）求动点),(y x M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点N （2，1），是否存在一条直线l 与轨迹C 相交于A 、B 两点，且以点N为线段AB 的中点？若存在，求出直线l 的方程；不存在，请说明理由. 20．（本小题满分12分）如图，在空间中的直角三角形ABC 与直角梯形EFGD 中，平面ABC//平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，AC ∥DG .且AB=AD ＝DE=DG=2,AC=EF=1. （Ⅰ）求证：四点B 、C 、F 、G 共面；（Ⅱ）求平面ADGC 与平面BCGF 所组成的二面角余弦值； （Ⅲ） 求多面体ABC-DEFG 的体积.A BC D EG21．（本小题满分12分）已知函数),,()(23R c b a c bx ax x x f ∈++-=．（Ⅰ）若函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值，试求b a ,的值；（Ⅱ）在（I ）的条件下，当]6,2[-∈x 时，)(x f ＜2｜c ｜恒成立，求c 的取值范围． 22．（本小题满分14分）设函数()y f x =的定义域与值域均为R ，其反函数为1()y f x -=，且对任意实数x 都有125()()33f x f x x -+=.现有数列11a =，253a =，1()n n a f a +=（*n N ∈）. （Ⅰ）令1n n nb a a +=-（*n N ∈），求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）（文）求满足121n m a m ->+对所有n N *∈恒成立的m 的取值范围.（理）令113n n c a =-，n S 为数列{}n nc 的前n 项和，求证不等式2233n S n n ≤-+.参考答案1．B A ＝{|x y =＝2{|log 20}x x -≥＝{4}x ≥,2{|0}6xB x x -=>-＝{|26}x x <<, ∴{|46}A B x x =≤< .评析 集合及其运算是高中数学的入门基础，也是历届高考的热点，几乎年年必考.求解集合类问题注意两看技巧：一看代表元素，二看属性.本题{|A x y ==的代表元素是x ，属性是y =所以集合A 的本质是满足函数式y =x 的范围，即该函数的定义域；类似集合B 的本质是不等式206xx ->-的解集. 2．（文）B ()x x x x x g 4cos 21212sin )22cos(2sin 2-==-=π，∴函数的周期为2π=T评析 本题属于基础题，试题是由教材高一（下）复习参考题改编而来；重视教材的示范作用是我们备战高考的一个不可或缺的环节.（理）B ∵在三角函数式2sin(4)4h t ππ=+中，振幅2A =，周期2142T ππ==, ∴小球最高点与最低点的距离24d A ==，每秒能往复振动的次数12f T==. 评析 本题属于基础题，试题是由教材高一（下）复习参考题的第33题改编而来；重视教材的示范作用是我们备战高考的一个不可或缺的环节.3．A ∵62＋82＝102 , ∴△ABC 是直角三角形, ∵球心O 在平面ABC 内的射影M 是△ABC 所在截面圆（外接圆）的圆心. ∴M 是直角三角形斜边AC 上的中点，且OM ⊥AC, 在Rt △OAM 中，球半径为13R =.评析 试题是由教材高二（下）第79页例3“反演”而来，其中找准点M 在平面ABC 的射影是关键.重视教材的示范作用是我们备战高考的一个不可或缺的环节. 4．B 第n 堆的堆放规律：从上向下，依次是1，3，5，7，……，21n -,∴[1(21)]()2n n f n ⋅+-=＝2n ，即2(1)(1)f n n -=-＝221n n -+.评析 本题是由广东高考题对比演化而来，主要考查等差数列求和、函数符号等知识以及由已知特殊项归纳、探索一般规律的能力. 5．（文）A 抓住分层抽样按比例抽取的特点有5600130030001300280x y z===. ∴65x z ==，150y =，即专科生、本科生与研究生应分别抽取65，150，65. 评析 简单随机抽样与分层抽样方法是文科数学高考的一个常考点，求解的关键是明确各类抽样的基本特点. （理）A 由函数1x y x =+（1x ≠-）解得1y x y=-（1y ≠）, ∴函数()1x f x x =+ （1x ≠-）的反函数为1()1xfx x-=-（1x ≠）, ∴1(1)f i --＝11(1)ii ---＝1i i -＝1i --.评析 本题属于基础题，每步细心计算是求解本题的关键，否则将会遭遇“千里之堤，溃于蚁穴”之尴尬. 6．A 命题①错误，在正方体AC 1中，令m ＝AB ，n ＝BC ，α＝面A 1B 1C 1D 1 ,β＝面ABCD ，显然满足m ⊥n ，α∥β，m ∥α，但n ⊆β；命题②错误，在正方体AC 1中，令γ＝面ABCD ，α＝面AA 1B 1B ，β＝面AA 1C 1C ，显然满足α⊥γ，β⊥γ，但不满足α⊥β；命题③错误，在正方体AC 1中，令m ＝BB 1，n ＝BC ，α＝面ABCD ，显然满足m ⊥α，m ⊥n ，但n ⊆α；命题④错误，在正方体AC 1中，令m ＝AB 1，n ＝CD 1，α＝面ABCD ，显然m 、n 与α所成的角均为450，n ∥m.评析 正方体蕴含大量的线面关系、空间几何量等，是立体几何的一个聚宝盆，特别是求解“立体几何的线面关系的判定”型问题时，常常在正方体中寻找反例.7．D 由条件T=M P S 可转化为线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x ，作出可行域如右图阴影部分所示.而22u x y =+ 表示的几何意义为阴影部分的点到坐标原点的距离，显然右图 中的点A 到原点的距离最小. ∴110x x y =⎧⎨-+=⎩， 即A （1，2） ， ∴22min min ()u x y =+＝5.评析 本题是以集合语言包装的非线性的规划问题，求解这类问题的关键在于准确作出平面区域，明确所求式子的几何意义.一般地说，所求式子属于分式型注意联系斜率，而含有平方和或可化为平方和时注意联系距离求解.8．（文） A ．逆用二项式定理，得()()512f x x =-+，从而有()5121x y ,x -=--=∴1x =()11fx -=评析 二项式定理的运用十分广泛，既可以正向运用，将一个二项式展开成多项式的形式，从而解决有关整除性问题、近似计算问题、不等式证明问题等等，又可以逆向运用，将一个多项式合并成一个二项式的形式，从而实现化简的目的．重视公式和定理的逆向运用，有助于培养逆向思维的能力，这一点，应该予以足够的重视．（理）C ∵11n n n a a a +--=，且121a a ==, ∴3212a a a =+=，4323a a a =+=，5435a a a =+=,又∵5)1cos (+θx 的通项为R R x C -⋅55)cos (θ , 令52R -=，则3R =,∴5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数是325cos C θ⋅, 据题意有325cos 5C θ⋅=，即21cos 2θ=, ∴22cos ±=θ. 评析 “由21cos 2θ=得出cos θ=”，这类错误尽管很可笑，却来自于同学们，而且不在少数，在高三复习注意改正这类低级错误，减少不必要的损失.9．C 将抛物线212y x =化成标准形式22x y =，所以焦点F 在y 轴上，其坐标为F 1(0,)2.评析 本题易犯两个错误：①抛物线212y x =未整理成标准形式；②抛物线22x py=的焦点是(0,)2P ，而不是(0,)P ，也不是(,0)2P.这两点是易错点，应特别小心.10．B ∵关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅= 没有实根，||2||a b =∴△＝24b ac -＝2||4a a b -⋅ ＝2||4||||cos ,a a b a b -⋅⋅<>＝22||2||cos ,0a a a b -<><.∴1cos ,2a b <>> 又∵0cos ,a b π≤<>≤ ∴0cos ,3a b π≤<><∴命题q ：,[0,][0,)43a b ππ<>∈⊆ ∴命题p 是命题q 的必要但不充分条件.评析 本题的实数方程系数是向量式，让部分同学望而却步，但实际上比较基础，主要考查向量夹角与简易逻辑等知识点；沉着是求解这类面目比较新颖的题目的关键. 11．B 大致可分为两个过程：①分成三组，其中一组4名，另两组每组1名，属于局部均匀分组问题，有4116212215C C C A =种不同的分法；②再分到A 、B 、C 三个县，有33A 种不同的分法.由分步计数原理知满足“一县4名，另两县每县1名”有4113621322A 90C C C A ⨯=种不同的分法.而总数共有63729=种不同的分法，所以满足“一县4名，另两县每县1名”的概率为90729m p n ==＝1081. 评析 本题的概率计算是以分组分配问题为基础的，而分组分配问题是中学数学的一个难点，也是近年高考的难点.突破关键是分清“均匀分组问题”、“ 不均匀分组问题”、“ 不均匀定向分配问题”、“不均匀不定向分配问题”及“均匀分配问题”五个基本类型；其中“不均匀不定向分配问题型”和“均匀分组问题型”的计算要特别小心. 12．A ∵任意正整数x 、y 都有()()()f x y f x f y +=⋅，∴令x n =，1y =，则(1)()(1)f n f n f +=⋅，即(1)1(1)()2f n f f n +==.∴()f n 是以1(1)2f =为首项，公比12q =的等比数列， ∴(1)(2)(2008)f f f +++…＝2008200811[1()]1221()1212-=--.评析 本题以抽象函数为载体，考查无穷等比递减数列的各项和的求法（文科：数列求和问题），对数学逻辑思维能力的要求比较高.求解的关键是利用已知灵活赋值，转化为递推式(1)1()2f n f n +=求解.13．增大 “若0m n >>，0b >，则n n bm m b+<+”.补录前补录后利用表格分析评析 本题结合今年“高校补录”这一热点，将教材高二（上）改编的6.3节例2改编、引申而来，与题目“已知b 克糖水中含有a 克糖()0>>a b ，再添加m 克糖（0m >）（假设全部溶解）糖水变甜了，试根据这一事实提炼一个不等式_________”类似，难度不大. 14．22125x y -= 设所求双曲线的方程是()2222100x y a ,b a b -=>>，将其与直线1y x =-联立，消去y 并整理得：()222222220b a x a x a a b -+--=．依题意有：()2222232a b a --=-，整理得：2252a b =．又227a b +=，∴2225a ,b ==．得所求双曲线的方程是22125x y -=． 评析 充分运用数学选择题是单项选择的特征，即有且仅有一个正确选择支这一信息，或从题干出发通过分析、推理、计算、判断，逐一排除错误选择支，或从所给选择支提供的信息入手，逐一检验是否与题干相容，若不相容则可排除，排除了 3 个选项后，剩下的一个即为正确的选项．这样一些解选择题的策略与技巧，要注意掌握并能够灵活地加以运用才好．15．（文）9910 设第一日读的字数为a ，由“每日添增一倍多”得此数列是以a 为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为3(12)12a --=7a =34685，解得a =4955，则2a =9910，即该君第二日读的字数为9910． 评析 本题以一首诗词为背景，考查等比数列及其求和公式．本题与2004年重庆的高考卷《送瘟神》相似，较好地体现了人文精神及人文价值的历史体现形式，其知识的表达方式对平时教学或学习有很多参考价值．（理） 2n b n =+ ∵}|),{(n m y y x L ⋅==，(2,2)m x b =- ，(1,1)n b =+，∴y ＝m n ⋅ ＝(2,2)(1,1)x b b -⋅+＝22(1)x b b -++＝2x +，新生人数 n n b + 总体人数 mm b +新生比例 n mn bm b++ 大小关系 n n b m m b +<+ 限定条件0m n >>，0b >∵1{(,)|1}P L x y x == ，∴1(0,2)P ，11a =，13b =，又∵11n n a a +-= ， ∴n a n = ， ∵点(,)n n n P a b L ∈， ∴22n n b a n =+=+.评析 本题知识覆盖面广，但题目不难，主要考查数学的抽象思维能力和逻辑分析能力；求解本题的基本策略是逐步具体化条件.16．答案：③ ④ 命题①错误，当a 与b 共线时，也有0a b ⋅<；命题②错误，正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱，而长方体的底面是一般的矩形；所以B A A = ；命题③正确，因3|(3)|32αααα+-≥--=>，cos sin )24πααα+=+<，所以M与N 在直线02=-+y x 的异侧；命题④正确，21011⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝10101111⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭＝110(1)1001111(1)1011⨯+⨯-⨯+⨯⎛⎫⎪-⨯+⨯--⨯+⨯⎝⎭＝1021⎛⎫⎪-⎝⎭点拨：本题属于不定选项型填空题，比较难；这类题目频频出现在近年高考试卷中，得分率比较低，多选、少选、错选都是零分，能很好克服单项选择题的“瞎猜”的缺点，是单项选择题有益补充.求解这类题目必须逐项判断正确，这需要较好上午数学基本功. 17．解：（1）1cos sin 32sin 21)(2-+=-⋅=x x x x f …………2分分分分8]2,1[]1,21[)62sin(6]65,6[62]2,0[4)62sin(22cos 2sin 3 -∈⇒-∈-⇒-∈-⇒∈-=-=y x x x x x x ππππππ（2）由题设，).(32,262Z k k k ∈+=+=-ππαπππα即 …………10分 .3,0,0min παα==∴>时当k …………12分评析 平面向量是现行教材中的新增内容，近年来的高考对向量内容的考查逐步加强、渐趋完善，其中，向量与三角结合，既是一个热点，也是一个亮点，以平面向量为载体，以三角函数为背景，综合考查三角恒等变换、三角函数的图像和性质以及平面向量的有关知识．求解本题，将|m n|+表示为θ的函数关系式是关键，三角公式的灵活运用是基础．在解题的过程中，要注意角的范围的限制作用，以防止漏解或增解，确保解题准确无误．18．（文）解：（Ⅰ）某乘客在第i 层下电梯的概率为41………6分 （Ⅱ）电梯停下次数为4的概率32344441==A P ………9分故电梯停下的次数不超过3次的概率3229323111=-=-=P P ………12分 （理） 解：（Ⅰ）41)(=i F ； ………3分 （Ⅱ）256175)411(14=--=P ………7分（Ⅲ）ξ可取1、2、3、4四种值6414)1(414===C P ξ； 64214)22()2(4424=-==C P ξ；64364)3(4332434===A C C P ξ；6464)4(444===A P ξ 故ξ的分别列如下表：ξ1 2 3 4P641 6421 6436 646 ……………………11分 ∴6417564646436364212641=⨯+⨯+⨯+=ξE ……………………12分 评析 近年全国各套试卷中，都以解答题形列态考查排组合与概率统计问题，这类问题是近年高考的热点，文科数学多以概率计算为主，理科数学以概率、概率分布列为主；大致在解答题前三个位置出现,属中档题的范围.就本题而言，以网络信息安全为背景，考查n 次独立事件恰好k 次发生的概率，对立事件与相互独立事件概率的计算，考查运用数学知识解决实际问题的能力；求解本题的关键是识别概率类型，从容求解.19．（1）∵(4,)a x y =+ ，(4,)b x y =-，且10a b +=10，即动点),(y x M 到两定点F 1(4,0)-，F 2(4,0)的距离距离之和为常数10 ……………………3分∵108>， ∴动点),(y x M 的轨迹C 是以F 1(4,0)-，F 2(4,0)为焦点，210a =的椭圆∴221259x y += …………………… 5分 （2）假设存在以点N 为线段AB 的中点的直线l ，显然直线l 不可能与x 轴垂直，……6分设A 11(,)x y ，B 22(,)x y （12x x ≠），则∵点A 、B 在椭圆C ：221259x y +=上 ，∴22111259x y +=，22221259x y += ∴12121212()()()()0259x x x x y y y y +-+-+= ……………………8分又∵点N 是线段AB 的中点，N （2，1）， ∴124x x +=，122y y += ∴12124()2()0259x x y y --+=， ∴12121825AB y y k x x -==-- ……………………10分∴直线l ：181(2)25y x -=--，即1825610x y +-= ……………………11分 故存在满足以点N 为线段AB 的中点的直线l ，其方程为1825610x y +-= ……………………12分评析 本题是平面向量与圆锥曲线相综合的问题，主要考查平面向量基本运算、椭圆求法以及中点弦问题，考查解析几何“设而不求”的技巧.解析几何板块在历届高考中必有一个解答题，而且在以往高考试卷中多以压轴题形态出现；在近年的一些省市高考卷中，解析几何类题目是以中档题形态出现，在备战高考时应留意解析几何这一新动态. 20．解法一 向量法由 AD ⊥面DEFG 和直角梯形EFGD 可知，AD 、DE 、DG 两两垂直，建立如图的坐标系，则A （0，0，2），B （2，0，2），C （0，1，2），E （2，0，0），G （0，2，0），F （2，1，0）（1）(2,1,0)(2,0,2)(0,1,2)BF =-=-(0,2,0)(0,1,2)(0,1,2)CG =-=-∴BF CG =，即四边形BCGF 是平行四边形.故四点B 、C 、F 、G 共面. ……………………4分（2）(0,2,0)(2,1,0)(2,1,0)FG =-=-，设平面BCGF 的法向量为1(,,)n x y z =，则112020n CG y z n FG x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ， 令2y =，则1(1,2,1)n =，而平面ADGC 的法向量2(1,0,0)n i ==A B C DE GF M N ∴121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=⋅=故面ADGC 与面BCGF 所组成的二面角余弦值为6……………………8分 （3）设DG 的中点为M ，连接AM 、FM ，则A B C -D E F G V 多面体＝ADM-BEF ABC-MFG V V 三棱柱三棱柱+＝ADM MFG DE S AD S ⨯+⨯△△＝1122122122⨯⨯⨯+⨯⨯⨯＝4. ……………12分 解法二 （1）设DG 的中点为M ，连接AM 、FM ，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，所以MF//DE ，且MF ＝DE又∵AB//DE ，且AB ＝DE ∴MF//AB ，且MF ＝AB∴四边形ABMF 是平行四边形，即BF//AM ，且BF ＝AM 又∵M 为DG 的中点，DG=2,AC ＝1，面ABC//面DEFG ∴AC//MG ，且AC ＝MG ，即四边形ACGM 是平行四边形 ∴GC//AM ，且GC ＝AM 故GC//BF ，且GC ＝BF ，即四点B 、C 、F 、G 共面………………4分（2）∵四边形EFGD 是直角梯形，AD ⊥面DEFG ∴DE ⊥DG ，DE ⊥AD ，即DE ⊥面ADGC ，∵MF//DE ，且MF ＝DE ， ∴MF ⊥面ADGC在平面ADGC 中，过M 作MN ⊥GC ，垂足为N ，连接NF ，则 显然∠MNF 是所求二面角的平面角.∵在四边形ADGC 中，AD ⊥AC，AD ⊥DG ，AC=DM ＝MG ＝1∴CD CG == ∴cos DGC ∠＝2222GCGD CD GC GD +-⨯⨯∴sin 5DGC ∠=，∴MN ＝sin MG DGC ⋅∠5=在直角三角形MNF 中，MF ＝2，MN =∴tan MNF ∠＝MF MNcos MNF ∠故面ADGC 与面BCGF 所组成的二面角余弦值为6……………………8分 （3）ABC-DEFG V 多面体＝ADM-BEF ABC-MFG V V 三棱柱三棱柱+＝ADM MFG DE S AD S ⨯+⨯△△ACDGMN＝1122122122⨯⨯⨯+⨯⨯⨯＝4. ……………………12分 评析 本题以不规则几何体为载体，考查空间线面关系的判断与证明，空间几何量的计算，准确把握立体几何的最新发展趋势：由正方体、正四棱柱等规则几何体的考查向不规则几何体过渡，但仍坚持向量法与公理化法的“双轨”处理模式，在复习备考时应引起高度注意.21．（I ）∵函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值，∴－1，3是方程0232=+-b ax x 的两根，∴213,3,39.13,3a a b b ⎧-+=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-⨯=⎪⎩……………………5分 （II ）963)(,93)(2'23--=+--=x x x f c x x x x f ，当x 变化时，有下表x（-∞，-1）-1 （-1，3）3 （3，+∞）f ’（x ）+ 0 - 0 + f （x ）↗Maxc+5↘Min c-27↗而(2)2,(6)54,[2,6]f c f c x -=-=+∴∈-时，f （x ）的最大值为c+54． ……10分 要使f （x ）<2|c|恒成立，只要c+54<2|c|即可．当c ≥0时，c+54<2c ， ∴c>54． 当c ＜0时，c+54<－2c ，∴c ＜－18．故实数c 的取值范围是（-∞，－18）∪（54，+∞）． ……………………12分 评析：三次函数是近年高考命题的热点之一，这是因为三次函数的导数是二次函数，而二次函数又是中学数学的重点内容．这可以牵扯到二次函数、二次不等式和二次方程． 22．（1）∵1()n n a f a += ， ∴11()n n a f a -+=∵任意实数x 都有125()()33f x f x x -+= ， ∴111125()()33n n n f a f a a -++++= ∵1()n n a f a += ，即11()n n a f a -+= ， ∴12()n n f a a ++=，11()n n f a a -+=∴212533n n n a a a +++=，即2112()3n n n n a a a a +++-=- ∵1n n n b a a +=-（*n N ∈），11a =，253a =∴数列{}n b 是以2152133a a -=-=为首项，以23q =为公比的等比数列故数列{}n b 的通项为2()3nn b =.……………………7分（2）（文）由12()3nn n n b a a +=-=得1n a a -＝11221()()()n n n n a a a a a a ----+-++-＝1222222()()()3333n n --++++ ＝122[1()]3n --……………………10分 又∵11a =， ∴1233n n n a -=-（*n N ∈），即数列{}n a 是递增数列，且3n a <（*n N ∈）∴满足121n m a m ->+对所有n N *∈恒成立的参数m 必须满足1321m m -≥+，即4152m -≤≤-.又12m ≠-，故满足121n m a m ->+对所有n N *∈恒成立的参数m 的取值范围为4152m -≤<-.……………………14分 （理） 由12()3nn n n b a a +=-=得11n a a +-＝1121()()()n n n n a a a a a a +--+-++-＝122222()()()3333nn -++++ ＝22[1()]3n -又∵11a = ∴1233n n n a -=-（*n N ∈），即1112211(3)()3333n nn n n c a -=-=--=……………………8分∴n S ＝12323n C C C nC +++…＝2322222()3()()3333n n +⨯+⨯+⨯………………（1） （1）式左右两边同乘23得 2341222222()2()3()(1)()()333333n n n S n n +=+⨯+⨯+-⨯+⨯……（2） （1）式减去（2）式得231122222()()()()333333n n n S n +=++++-⨯…＝1222[1()]()33n n n +--⨯∴n S ＝1122633n n n nn +-⨯--＝26(32)()3n n -+⋅……………………12分 ∵2221121()(1)1()133333nnn n C n =-=-+⨯+≥-…… ∴2212(32)()(32)(1)3333n n n n n n +⋅≥+⋅-=-++∴222226(32)()6(3)3333n n S n n n n n =-+⋅≥--++=-+ 故2233n S n n ≤-+……………………14分 评析 本题是函数与数列问题型综合问题，是近年数学高考的一个常考点，以抽象函数为背景，考查数列不等式的证明（理科数学）或以恒成立的形式考查不等式的解法（文科数学）；求解本题得的关键明确抽象函数式125()()33f x f x x -+=的含义，同时注意挖掘隐含条件“()f b a =⇔1()a f b -=”.。
数学_2010年某校高考数学一模试卷(文科)(含答案)
2010年某校高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1. “p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件2. 不等式x 2−|x|−2<0的解集是（ ）A {x|−2<x <2}B {x|x <−2或x >2}C {x|−1<x <1}D {x|x <−1或x >1}3. 若二项式(√x −2x )n 的展开式的第5项是常数，则自然数n 的值为（ ）A 6B 10C 12D 154. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n =x ⋅3n−1−16，则x 的值为( ) A 13 B −13 C 12 D −125. 一次课程改革交流会上准备交流试点校的5篇论文和非试点校的3篇论文，排列次序可以是任意的，则最先和最后交流的论文不能来自同类校的概率是（ ）A 1556B 1356C 1328D 15286. 已知直线l ，m 平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α // β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α // β；③若α // β，则l // m ；④若l // m ，则α⊥β．其中真命题是（ ）A ①②B ①③C ①④D ②④7. 函数y =x 3−3x +1的单调减区间为（ ）A (1, 2)B (−1, 1)C (−∞, −1)D (−∞, −1)∪(1, +∞)8. 若向量a →=(cosα, sinα)，b →=(cosβ, sinβ)，则a →与b →一定满足（ ）A a →与b →的夹角等于α−βB a →⊥b →C a → // b →D (a →+b →)⊥(a →−b →)二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 若指数函数y =f(x)的反函数的图象经过点(2, −1)，则此指数函数为________．10. 已知二次函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，且f(0)=0，f(1)=1，若f(x)在区间[m, n]上的值域是[m, n]，则m =________，n =________．11. 已知{2x +y −2≤0x −2y +4≤03x −y +3≥0，则函数u(x, y)=x 2+y 2取最大值时，x =________，y =________．12. 过抛物线y 2=8x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，过原点O 作OM ⊥AB ，垂足为M ，则点M 的轨迹方程是________．13. 函数y =f(x)是R 上的偶函数，且在(−∞, 0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a 的取值范围是________．14. 设函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,−π2<φ<π2)，①它的图象关于直线x =π12对称；②它的图象关于点(π3, 0)对称；函数的一个解析式为________．三、解答题（共6小题，满分80分）15. 已知sinα−sinβ=−12，cosα−cosβ=12，α，βα,β∈(0,π2)，则tan(α−β)=________.16. 一出租车司机从饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是13．(1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；(II)求这位司机在途中恰好遇到三次红灯的概率． 17. 如图，在底面为菱形的四棱锥P −ABCD 中，∠ABC =60∘，PA =AC =a ，PB =PD =√2a ，点E 在PD 上，且PE:ED =2:1．(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；(2)求面EAC 与面DAC 所成的二面角的大小．18. 已知数列{a n }中，a 1=3，前n 项和S n =12(n +1)(a n +1)−1 （1）求证：数列{a n }是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式．19. 已知函数y =f(x)的图象过点(−2, −3)，且满足f(x −2)=ax 2−(a −3)x +(a −2)，设g(x)=f[f(x)]，F(x)=pg(x)−4f(x)（1）求f(x)的表达式；（2）是否存在正实数p ，使F(x)在（−∞, f(2)）上是增函数，在(f(2)，0)上是减函数？若存在，求出p ；若不存在，请说明理由．20.如图，已知△OFP 的面积为m ，且OF →⋅FP →=1． （1）若12<m <√32，求向量OF →与FP →的夹角θ的取值范围； （2）设|OF →|=43m ，且|OF →|≥2．若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点P ，当OP →取得最小值时，求此椭圆的方程．2010年某校高考数学一模试卷（文科）答案1. B2. A3. C4. C5. D6. C7. B8. D9. y =12x10. 0,111. −15,125 12. x 2+y 2−2x =013. a ≤−2或a ≥214. f(x)=sin(2x +π3) 15. −√7316. 解：(1)司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗表示：这位司机在第一、第二个交通岗都未遇到红灯，第三个交通岗遇到了红灯所以p =(1−13)(1−13)×13=427(II)这位司机在途中恰好遇到三次红灯表明：三次遇到红灯，三次未遇到红灯其概率为p =C 63(13)3(1−13)3=16072917. 解：(I)证明：∵ 底面ABCD 是菱形，且∠ABC =60∘∴ AB =AD =AC =a ，在△PAB 中，PA 2+AB 2=2a 2=PB 2∴ ∠PAB =90∘，即PA ⊥AB ，同理，PA ⊥AD∵ AB ∩AD =A∴ PA ⊥平面ABCD(II)解：作EG // PA 交AD 于G∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ EG ⊥平面ABCD∴ EG ⊥AC ，作GH ⊥AC 于H ，连接EH ，∴ AC ⊥平面EHG ，∴ EH ⊥AC ，∴ ∠EHG 是面EAC 与面DAC 所成二面角的平面角 ∵ PE:ED =2:1，∴ EG =13a ，AG =23a在△AGH 中，GH =AG ⋅sin60∘=23a ×√32=√33a ，∴ tan∠EHG =EG GH =√33，∴ ∠EHG =π6， 即面EAC 与面DAC 所成二面角的大小为π618. （1）：证明：∵ S n =12(n +1)(a n +1)−1，∴ S n+1=12(n +2)(a n+1+1)−1 ∴ a n+1=S n+1−S n =12[(n +2)(a n+1+1)−(n +1)(a n +1)] 整理，得na n+1=(n +1)a n −1①∴ (n +1)a n+2=(n +2)a n+1−1②②-①得：(n +1)a n+2−na n+1=(n +2)a n+1−(n +1)a n即(n +1)a n+2−2(n +1)a n+1+(n +1)a n =0∴ a n+2−2a n+1+a n =0，即a n+2−a n+1=a n+1−a n ∴ 数列{a n }是等差数列（2）∵ a 1=3，na n+1=(n +1)a n −1，∴ a 2=2a 1−1=5∴ a 2−a 1=2，即等差数列{a n }的公差为2，∴ a n =a 1+2(n −1)=2n +1，(n ∈N ∗)19. 解：（1）令x −2=t ，则x =2+t∴ f(t)=a(2+t)2−(a −3)(2+t)+(a −2)∵ f(−2)=−3∴ a −2=−3，∴ a =−1∴ f(t)=−(2+t)2+4(2+t)−3=−t 2+1，即f(x)=−x 2+1（2）g(x)=f[f(x)]=f(−x 2+1)=−(−x 2+1)2+1=−x 4+2x 2F(x)=pg(x)−4f(x)=p(−x 4+2x 2)−4(−x 2+1)=−px 4+(2p +4)x 2−4Fn(x)=−4px 3+4(p +2)x =−4x(px 2−p −2)∵ f(2)=−3，假设存在正实数p ，使F(x)在(−∞, −3)上是增函数，在(−3, 0)上是减函数∴ Fn(−3)=0，解得p =14 当p =14时，Fn(x)=−x 3+9x =x(3−x)(3+x) 当x <−3时，Fn(x)>0∴ F(x)在(−∞, −3)上是增函数当−3<x <0时，Fn(x)<0∴ F(x)在(−3, 0)上是减函数∴ 存在正实数p =14，使得F(x)在(−∞, −3)上是增函数，在(−3, 0)上是减函数20. 解：（1）∵ △OFP 的面积为m ，设向量OF →与FP →的夹角为θ．12×|OF →|×|FP →|sinθ=m ①∵ OF →×FP →=1，∴ |OF →|⋅|FP →|cosθ=1 ②由①、②得：tanθ=2m∵ 12<m <√32，∴ 1<tanθ<√3，∴ θ∈(π4，π3) 即向量OF →与FP →的夹角θ的取值范围为θ∈(π4，π3)（2）如图，以O 为原点，OF →所在直线为x 轴建立直角坐标系 设|OF →|=c ，P 点坐标为(x 0, y 0)∵ |OF →|=43m ∴ 12⋅|OF →|⋅|y 0|=12×43m ×|y 0|=m ，∴ |y 0|=32 ∵ OF →=(c, 0)，FP →=(x 0−c, y 0)，OF →⋅FP →=1∴ c(x 0−c)=1，∴ x 0=c +1c∴ |OP →|=√x 02+y 02=√(c +1c )2+94 设f(c)=c +1c ，当c ≥2时，任取c 2>c 1≥2有f(c 2)−f(c 1)=c 2+1c 2−c 1−1c 1=(c 2−c 1)+c 1−c 2c 1c 2=(c 2−c 1)(1−1c 1c 2) 当c 2>c 1≥2时，1c 1c 2<1，(1−1c 1c 2)>0，c 2−c 1>0∴ f(c 2)−f(c 1)>0，∴ f(c)在[2, +∞)上是增函数 ∴ 当c =2时，f(c)为最小，从而|OP →|为最小，此时P(52,32) 设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则{a 2−b 2=4254a 2+94b 2=1∴ a 2=10，b 2=6 故椭圆的方程为x 210+y 26=1．。
2010年广州市高三第二次模拟考试试题答案
2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分， 满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．3π12. 2213y x -=13. 2331n n -+ 14.15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的正切等知识, 考查化归与转化的数学思想方法 和运算求解能力) (1) 解:∵sin 0,,2⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭παα ∴ cos ===α. …2分 ∴sin 1tan cos 2===ααα. …4分(2)解法1:∵1tan 3=β, ∴22tan tan 21tan βββ=- …6分2123113⨯=⎛⎫- ⎪⎝⎭34=. …8分 ∴()tan tan 2tan 21tan tan 2++=-αβαβαβ…10分132413124+=-⨯ 2=. …12分 解法2: ∵1tan 3=β, ∴()tan tan tan 1tan tan ++=-αβαβαβ…6分112311123+=-⨯ 1=. …8分∴()()()tan tan tan 21tan tan +++=-+αββαβαββ …10分1131113+=-⨯2=. …12分B 1C 1D 1A 117．（本小题满分12分）(本小题主要考查独立性检验的基本思想、方法及其简单应用和概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：2×2列联表为(单位:人):…4分（2）解：提出假设0H ：学生数学成绩与物理成绩之间没有关系.根据列联表可以求得22121214720(5)8.8027.879136K ⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=≈>. …6分当0H 成立时，2(7.879)0.005P K >=.（数学驿站 ）所以我们有99.5%的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系. …8分（3）解：由(1)可知数学成绩与物理成绩都优秀的学生的人数为5人，则数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的学生人数为15人. …10分故从20名学生中抽出1名,抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率为153204=. …12分18. （本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法， 以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证法1：设点P 为AD 的中点，连接,MP NP .∵ 点M 是BC 的中点,∴ //MP CD .（数学驿站 ）PNMB 1C 1D 1A 1DCBAQN MB 1C 1D 1A 1DCB A∵ CD ⊂平面1ACD ,MP ⊄平面1ACD , ∴ //MP 平面1ACD . …2分 ∵ 点N 是1AA 的中点, ∴ 1//NP A D .∵ 1A D ⊂平面1ACD ,NP ⊄平面1ACD , ∴ //NP 平面1ACD . …4分∵ MPNP P =,MP ⊂平面MNP ,NP ⊂平面MNP ,∴ 平面//MNP 平面1ACD . ∵ MN ⊂平面MNP ,∴//MN 平面1ACD . …6分 证法2: 连接AM 并延长AM 与DC 的延长线交于点P , 连接1A P , ∵ 点M 是BC 的中点, ∴ BM MC =.∵ BMA CMP ∠=∠, 90MBA MCP ︒∠=∠=, ∴ Rt MBA ≅Rt MCP . …2分∴ AM MP =.∵ 点N 是1AA 的中点,∴ 1MN //A P . …4分∵ 1A P ⊂平面1ACD ,MN ⊄平面1ACD , ∴ //MN 平面1ACD . …6分 (2) 解: 取1BB 的中点Q , 连接NQ ,CQ , ∵ 点N 是1AA 的中点, ∴ //NQ AB . ∵ //AB CD , ∴ //NQ CD .∴ 过,,N C D 三点的平面NQCD 把长方体1111ABCD A BC D -截成两部分几何体,其中一部分几何体为直三棱柱QBC -NAD , 另一部分几何体为直四棱柱1111B QCC A NDD -. …8分∴ 11111222QBC S QB BC ∆==⨯⨯=, ∴ 直三棱柱QBC -NAD 的体积112QBC V S AB ∆==, …10分∵ 长方体1111ABCD A BC D -的体积112V =⨯⨯2=, ∴直四棱柱1111B QCC A NDD -体积2132V V V =-=. …12分∴ 12V V =1232=13.∴ 所截成的两部分几何体的体积的比值为13. …14分 (说明:213V V =也给分) 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：依题意，得()()()909a,x m,y n x m a,x m.+<≤*⎧⎪=⎨+-+>**⎪⎩其中05a <≤. (2)分（2）解：∵05a <≤，∴9914a <+≤.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米. …4分 将417x ,y =⎧⎨=⎩和523x ,y =⎧⎨=⎩分别代入()**，得()()1794,2395.n m a n m a =+-+⎧⎪⎨=+-+⎪⎩ …6分两式相减, 得6n =.代入()1794n m a,=+-+得616a m =-. …8分 又三月份用水量为2.5立方米， 若25m .<，将2511x .,y =⎧⎨=⎩代入()**，得613a m =-，这与616a m =-矛盾. …10分∴25m .≥，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超最低限量. 将 2.5,11x y =⎧⎨=⎩代入()*，得119a =+，由616119a m ,a.=-⎧⎨=+⎩ 解得23a ,m .=⎧⎨=⎩…13分答：该家庭今年一、二月份用水超过最低限量，三月份用水没有超过最低限量，且362m ,n ,a ===. …14分 20．（本小题满分14分）(本小题主要考查直线、圆、抛物线、椭圆等知识, 考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解法1：∵抛物线22:4C y x =的焦点坐标为(1,0)， …1分∴点2F 的坐标为(1,0).∴椭圆1C 的左焦点1F 的坐标为1(1,0)F -，抛物线2C 的准线方程为1x =-. 设点P 的坐标为11(,)x y ，由抛物线的定义可知211PF x =+,∵253PF =,（数学驿站 ） ∴1513x +=，解得123x =.由211843y x ==，且10y >,得1y =∴点P 的坐标为23,⎛⎝. (3)分在椭圆1C :22221(0)x y a b a b+=>>中，1c =.122||||4a PF PF =+=+=.∴2,a b === ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. …6分解法2：∵抛物线22:4C y x =的焦点坐标为(1,0)， …1分∴点2F 的坐标为(1,0).∴ 抛物线2C 的准线方程为1x =-.设点P 的坐标为11(,)x y ，由抛物线的定义可知211PF x =+,∵253PF =, ∴1513x +=，解得123x =.由211843y x ==，且10y >得1y =∴点P的坐标为2(3. …3分在椭圆1C :22221(0)x y a b a b+=>>中，1c =.由222221424199c ,a b c ,.ab ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩解得2,a b == ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. …6分（2）证法1: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆3C 的半径为r ， ∵ 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =, ∴||4MN ==.∴r =∴圆3C 的方程为222000()()4x x y y x -+-=+.()* (8)分∵ 点T 是抛物线22:4C y x =上的动点,∴ 2004y x =(00x ≥).∴20014x y =. 把20014x y =代入()* 消去0x 整理得:22200(1)2()024x y yy x y +---+=.()** (10)分方程()**对任意实数0y 恒成立，∴2210,220,40.xy x y ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪+-=⎪⎩解得2,0.x y =⎧⎨=⎩ …12分∵点(2,0)在椭圆1C :22143x y +=上, ∴无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点()2,0. …14分 证法2: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆3C 的半径为r ， ∵ 点T 是抛物线22:4C y x =上的动点,∴ 2004y x =(00x ≥). …7分∵ 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =,∴||4MN ==. ∴r =∴ 圆3C 的方程为222000()()4x x y y x -+-=+.()*** …9分令00x =,则2004y x =0=,得00y =.此时圆3C 的方程为224x y +=. …10分由22224,1,43x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得2,0.x y =±⎧⎨=⎩ ∴圆3C :224x y +=与椭圆1C 的两个交点为()2,0、()2,0-. …12分 分别把点()2,0、()2,0-代入方程()***进行检验，可知点()2,0恒符合方程()***，点()2,0-不恒符合方程()***.∴无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点()2,0. …14分 21．（本小题满分14分）(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1) 解: 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列. …1分理由如下:∵对任意n ∈N *都有1n n a b +=,121n n n na ba a +=-, ∴12211111n n n n n n na b a a a a a +-===--+. ∴1111n na a +=+,即1111n n a a +-=. …3分∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ,公差为1的等差数列. …4分(2) 证明: ∵11a b =, 且111a b +=,∴11a b =12=. 由(1)知()1211nn n a =+-=+. ∴ 11n a n =+, 11n n n b a n =-=+. …6分 所证不等式()111n nn n a b ++>,即111111n nn n n +⎛⎫⎛⎫+> ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭, 也即证明111111n nn n +⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭. 令()()ln 11xf x x x =>-, 则()'21ln (1)x xx f x x --=-.再令()1ln x g x x x-=-, 则()'211g x x x =-21x x-=. …8分当1x >时, ()'0g x <,∴函数()g x 在[)1,+∞上单调递减. ∴当1x >时,()()10g x g <=,即1ln 0x x x--<. ∴当1x >时, ()'21ln (1)x xx f x x --=-0<. ∴函数()ln 1xf x x =-在()1,+∞上单调递减. …10分∵111111n n<+<++, ∴11111f f n n ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭.第 11 页 共 11 页 ∴11ln 1ln 111111111n n n n ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭>+-+-+. …12分 ∴111ln 1ln 11n nn n +⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. ∴111111n nn n +⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭.∴()111n nn n a b ++>成立.…14分。
2010学年越秀区高三摸底考试
2010学年越秀区高三摸底考试物理试卷本试卷共4页，15小题，满分100分。
考试用时60分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题3分。
共18分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得3分，选错或不答的得0分。
98.8% 1．图1是描述质点a、b、c、d做直线运动的速度图象和位移图象。
根据图象，下列判断正确的是图 1A．a匀加速运动，b静止不动，c匀加速运动，d静止不动B．a静止不动，b匀速运动，c匀速运动，d匀加速运动C．a静止不动，b匀速运动，c静止不动，d匀加速运动D．a匀速运动，b匀加速运动，c静止不动，d匀速运动选A者1人0.0%选B者15人0.5%选C者17人0.6%选D者2863人98.8%66% 2．如图9，水平桌面上的物体A和B通过轻绳相连，在水平外力F的作用下做匀速直线运动。
已知绳中拉力为T，桌面对两物体的摩擦力分别是f A和f B，则有A．T=f AB．F=f BC．F= f A+f B -TD．F=f A+f B+ T选A者1914人66.1%选B者64人 2.2%选C者711人24.5%选D者203人7.0%69.7%3．当人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动时，下列说法正确是A．在同一轨道上，卫星质量越大，运动速度越大B．同质量的卫星，轨道半径越大，向心力越大C．轨道半径越大，运动周期越大D．轨道半径越大，运动速度越大选A者 298人 10.3%选B者 130人 4.5%选C者 2018人 69.7%选D者 442人 15.3%84.8% 4．下列说法中正确的是A．线圈中的磁通量变化越大，线圈中产生的感应电动势一定越大B．穿过线圈的磁通量越大，产生的感应电动势一定越大C．线圈所在位置的磁场越强，产生的感应电动势一定越大D．线圈中的磁通量变化越快，线圈中产生的感应电动势一定越大选A者293人10.1%选B者94人 3.2%选C者50人 1.7%选D者2456人84.8%88.6% 5．真空中有两个电荷，它们之间的静电力为F，若保持它们所带的电量不变，将它们之间的距离增大到原来的二倍，则它们之间作用力的大小等于( )A.FB.2FC.F/2D.F/4选A者 27人 0.9%选B者 59人 2.0%选C者 240人 8.3%选D者 2568人 88.6%93% 6．电路如图8-26所示，已知电池组的总内电阻r=1Ω，外电路电阻R=5Ω，电压表的示数U=2.5V，则电池组的电动势E应等于( )A.2.0VB.2.5VC.3.0VD.3.5V 选A者109人 3.8%选B者2694人93.0%选C者75人 2.6%选D者10人0.3%VR E r二. 双项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2010年广东省高考模拟试题(文科)(一)
2010年广东省高考模拟试题(一)数 学（文科）2009．12本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5i z=（ ）A ．2i -B ．2i +C ．2i --D ．2i -+2、平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ；③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合； 其中不正确的命题个数是（ ）A.1B.2C.3D.43、双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为( )A.4、函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是( )A. )2,(-∞B.(0,3)C.(1,4)D. ),2(+∞ 5、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.2π+4π+C. 2π+D. 4π+侧(左)视图正(主)视图俯视图6、（2009全国卷Ⅱ理）设323log ,log log a b c π===，则 A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>7、点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是 （ ） A.22(2)(1)1x y -++= B.22(2)(1)4x y -++= C.22(4)(2)4x y ++-= D.22(2)(1)1x y ++-=8、若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于( )C.32D. 1 9、计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，那么将二进制数211611111）（个转换成十进制形式是（ ）. A ．1722- B ．1622- C ．1621- D ．1521-10、已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )A.重心 外心 垂心B.重心 外心 内心C.外心 重心 垂心D.外心 重心 内心二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． 11、若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .12、若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值，则a =13、右图给出的是计算201614121++++ 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是 ．数学试卷 第3页（共5页）14、(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，已知点A （1，43π）和B )4,2(π,则A 、B 两点间的距离是 ．15、(几何证明选讲选做题)已知圆的直径13AB =，C 为圆上一点，过C 作CD AB ⊥于D（AD BD >），若6CD =，则AD 的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、已知向量)sin ,(sin B A =，)cos ,(cos A B =，C 2sin =⋅，且A 、B 、C 分别为ABC ∆的三边a 、b 、c 所对的角。
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．
C.
C. b a c
3
2
B.重心 外心 内心
D.外心 重心 内心
)
D. 1
D． 215 1
D. b c a
()
开始
s0 i 1
ss 1 2i
否
是 输出 s
i i1
结束
.
14、(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，已知点 A （1， 3 ）和 B (2, ) ,则 A 、
2010 年广东省高考模拟试题(一)
数 学（文科）
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1、已知复数 z 的实部为 1，虚部为 2，则 5i = z
数学试卷 第 3 页（共 5 页）
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2010年高考广东数学(文科)模拟试题
2010年高考广东数学(文科)模拟试题一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 定义集合运算:AB={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={0.2},B={x|x2-3x+2=0},则AB=()A. {0,-2,-4}B. {0,2,-4}C. {0,2,4}D. {0,1,2}2. 若复数z=2sinα-cosα+icosα是纯虚数,则tanα的值为()A. 2B.C.D.3. 以一球体的球心为空间直角坐标系的原点O?o球面上两点A,B的坐标分别为A(1,2,2),B(2,-2,1),则AB=()A. 18B. 12C. 3D. 24. 若等比数列{an}对一切正整数n都有Sn=2an-1,其中Sn是{an}的前n项和,则公比q的值为()A. B. -C. 2D. -25. 已知函数f(x)=sinωx-cosωx(ω>0)的图像与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则为得到函数y=f(x)的图像可以把函数y=2sinωx的图像上所有的点()A. 向右平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向左平移6.“a=-1”是“直线x+y=0和直线x+ay=0相互垂直”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 若函数y=lnx与y=的图像的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是()A. (1,2)B. (2,3)C. (e,3)D. (e,+∞)8. 已知点P(a,b)(ab≠0))是圆O:x2+y2=r2内一点,直线m 是以P为中点的弦所在的直线,若直线n的方程为ax+by=r2,则()A. m∥n且n与圆O相离B. m∥n且n与圆O相交C. m与n重合且n与圆O相离D. m⊥n且n与圆O相离9. 在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,在该矩形内任取一点P,则使∠APB≥的概率为()A. B. 1-C. 1- D.10. 设定义域为[x1,x2]的函数y=f(x)的图像为C,图像的两个端点分别为A、B ,点O为坐标原点,点M是C上任意一点,向量=(x1,y1),=(x2,y2),=(x,y),满足x=λx1+(1-λ)x2(00,k为常数.根据上面的表述,给出下列结论:①A、B、N三点共线;②直线MN的方向向量可以为=(0,1);③“函数y=5x2在[0,1]上可在标准下线性近似”;④“函数y=5x2在[0,1]上可在标准1下线性近似”,其中所有正确结论的序号为( )A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(11-13题)11. 已知函数f(x)=3-x, x>0x2-1,x≤0则f[f(-2)]= .12. 已知命题p:x∈R ,x2+2ax+a≤0. 若命题p是假命题,则实数a的取值范围是.13. 飞机的航线和山顶C在同一个铅垂平面内,已知飞机的高度保持在海拔h(km),飞行员先在点A处看到山顶的俯角为α,继续飞行a(km)后在点B处看到山顶的俯角为β,试用h、a、α、β、表示山顶的海拔高度为(km).(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)已知抛物线C:x=2t2,y=2t,(t为参数)设O为坐标原点,点M在C上,且点M 的纵坐标为2,则点M到抛物线焦点的距离为.15.(几何证明选讲选做题)如图,AC为⊙O的直径,弦BD⊥AC于点P,PC=2,PA=8,则tan∠ACD的值为.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本题满分12分)已知:△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且sinA?cosB+sinB?cosA=sin2C.(1)求角C的大小;(2)若a,c,b成等差数列,且?=18,求c边的长.17.(本题满分12分)如下图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E点满足=.(1)证明:PA⊥平面ABCD .(2)在线段BC上是否存在点F,使得PF∥平面EAC?若存在,确定点F的位置,若不存在请说明理由.18.(本题满分14分)已知二次函数f(x)=ax2+bx-1,(1)方程ax2+bx-1=0(a,b∈R且a>0)有两个实数根,其中一个根在区间(1,2)内,求a-b的取值范围.(2)若集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P与Q中随机取一个数作为a,b,求函数f(x)=ax2+bx-1在[-1,+∞)是增函数的概率.(3)设点(a,b)是区域a+b-8≤0,a>0,b>0内的随机点,求函数f(x)=ax2+bx-1在[-1,+∞)是增函数的概率.19.(本题满分14分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且点Pn(Sn,an)(n∈N*)总在直线x-3y-1=0上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Tn为数列{}的前n项和,若对n∈N*总有Tn>成立,其中m∈N* ,求m的最小值.20.(本题满分14分)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,直线l:x-y+2=0与以原点为圆心,以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C1的方程;(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直直线l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;(3)若A(x1,2)、B(x2,y2)、C(x0,y0)是C2上不同的点,且AB ⊥BC,求y0的取值范围.21.(本题满分14分)已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2-x(a≠0).(Ⅰ)若函数y=f(x)与y=g(x)的图像在公共点P处有相同的切线,求实数a的值并求点P的坐标;(Ⅱ)若函数y=f(x)与y=g(x)的图像有两个不同的交点M、N,求a的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过线段MN的中点作x轴的垂线分别与f (x)的图像和g (x)的图像交S、T点,以S为切点作f (x)的切线l1,以T为切点作g (x)的切线l2.是否存在实数a使得l1∥l2,如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由.2010年高考广东数学(文科)模拟试题参考答案一、选择题:解析:1. C.A={0,2},B{1,2},则AB={0,2,4},故选C.2. D.依题意2sinα-cosα=0,cosα≠0,tanα=,故选D.3. C.由空间两点间距离公式得AB==3.4. C.当n=1时,S1=2a1-1,得a1=1;当n=2时,1+a2=2a2-1,得公比q=a2=a1q=2,故选C.5. A.依题意y=f(x)的周期为π,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x-)=2sin2(x-),故选A.6. 由x+y=0,x+ay=0,1×1+1×a=0,解得a=-1,故选C.7. 因x0是函数f (x)=lnx-的零点,而f (2)0,∴x0所在的区间是(2,3),选B.8. A. 由点P(a,b)(ab≠0)是圆O:x2+y2=r2内一点,得=r,故n 与圆O相离.9. D.如右图:以AB为直径作半圆,则当点P落在半圆的内部(包括边界)时,∠APB≥,故P===,故选D.10. 由=λ+(1-λ),得-=λ(-),即=λ,故①成立;令N(x0,y0),由=λ+(1-λ),得(x0,y0)=[λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2]知②成立; 对于函数y=5x2在[0,1]上,易得A(0,0),B(1,5),所以M(1-λ,5(1-λ)2),N(1-λ,5(1-λ)),从而==5(λ-λ2)=-5(λ-)2+≤,故函数y=5x2在[0,1]上可在标准下线性近似,可知③成立. 从而选A.二、填空题:11. ;12. 011. ∵-2≤0,∴f(-2)=(-2)2-1=3.又∵3>0,∴f(3)=3-3=,∴f(f(-2))=f(3)=.12. 因为命题p是假命题,则p:x∈R,x2+2ax+a>0是真命题,所以△=4a2-4a0,∴cosC=,∴C=.(2)由a,c,b成等差数列,得2c=a+b. ∵?=18,即abcosC=18,ab=36. 由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab,∴c2=4c2-3×36,c2=36 ,∴c=6.17. 解:(1)证明:BC⊥平面PABBC⊥PA. 同理,CD⊥PA,又CD∩BC=C,所以PA⊥平面ABCD.(2)当F为BC中点时,PF∥平面EAC,理由如下:设AC,FD交于点S,∵AD∥FC,∴==.又∵=,∴PF∥ES. ∵PF平面EAC,ES平面EAC,∴PF∥平面EAC.18. 解:(1) f (x)=ax2+bx-1,函数的对称轴为x=-,根据f (0)=-1,且a>0,得f (x)=ax2+bx-1的图像如图1:因为a>0,所以f (1)=a+b-10,a>0.设目标函数z=a-b,画出不等式组a+b-10,a>0所表示的平面区域,如图2,令a=0,得直线a+b-1=0与轴的交点为E(0,1),令a=0,得直线4a+2b-1=0与轴的交点为C(0,),经过比较可知目标函数z=a-b在E(0,1)处取得最小值,其最小值为zmin=-1,所以a-b的取值范围为(-1,+∞).(2)由(1)知函数的对称轴为x=-,因为函数f (x)=ax2+bx-1在[-1,+∞)是增函数,所以x=-≤-1,得b≥2a,且a>0,当a=1时,b=2,3,4,当a=2时,b=4,所求的概率为P1=.(3)由(2)可知当且仅当b≥2a,且a>0,函数f(x)=ax2+bx-1在[-1,+∞)是增函数.依条件可得试验的全部结果所构成的区域是a+b-8≤0,a>0,b>0,构成所求事件的区域为b≥2a,a>0,b>0.我们在aOb坐标系上分别作出他们的图像,如图3,可知阴影部分为所求,由b=2a,a+b-8=0,可得交点坐标为(,),所求事件的概率为P2==.说明:本题以一元二次函数为背景,综合考查了集合、线性规划、一元二次方程、不等式、古典概率、几何概率等知识,还考查了函数与方程与思想、等价转化思想等,考查同学们综合运用知识分析问题、解答问题的能力.19. 解:(1)∵点Pn(Sn,an)(n∈N*)总在直线x-3y-1=0上,∴Sn=3an+1.当n=1时,a1 =3a1+1,∴a1=-.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3an-3an-1,2an=3an-1=(n≥2).即数列{an}是首项a1=-,公比q=的等比数列, ∴an=a1qn-1=-×()n-1.(2)∵an=-×()n-1,∴=-2×()n-1,∴Tn=++…+=-2[1+()+()2+…()n-1]=-2×=-6×[1-()n]>-6.∵对n∈N*总有Tn>成立,∴必须并且只需≤-6即m≥13,∴m的最小值为13.20. 解:(Ⅰ)e=,∴e2===,∴2a2=3b2. ∵直线l:x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切,∴=b,∴b=,∴a2=3, ∴椭圆C1的方程是+=1.(Ⅱ)∵MP=MF2, ∴动点M到定直线l1:x=-1的距离等于它的定点F2(1,0)的距离,∴动点M的轨迹是以l1为准线,F2为焦点的抛物线.由=1,得p= 2,∴点M的轨迹C2的方程为y2=4x.(Ⅲ)由(Ⅱ)知A(1,2),B(,y2),C(,y0),y0≠2,y0≠y2,y2≠2……①则=(,y2-2),=(,y0-y2).又因为AB⊥BC,所以?=0,×+(y2-2)(y0-y2)=0,整理得y22+(y0+2)y2+16+2y0=0,则此方程有解,∴△=(y0+2)2-4?(16+2y0)≥0,解得y0≤-6或y0≥10,又检验条件①:y0=-6时,y2=2,不符合题意.∴点C的纵坐标y0的取值范围是(-∞,-6)∪[10,+∞).说明:本题主要考查求曲线的轨迹方程、一条直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.21. 解:(Ⅰ)设函数y=f (x)与y=g (x)的图像的公共点P (x0,y0),则有lnx0=ax20-x0……①又在点P有共同的切线,∴ f ′(x0)=g ′(x0)=2ax0-1a=,代入①,得lnx0=-x0.设h(x)=lnx-+xh ′(x)=+>0(x>0),所以函数h(x)最多只有1个零点,观察得x0=1是零点,故有a=1,此时,点P(1,0).(Ⅱ)法一:由f (x)=g (x)lnx=ax2-xa=.令r (x)=r′(x)==.当00,则r (x)单调递增;当x>1时,r′(x)0.所以,r(x)在x=1处取到最大值r (1)=1,所以,要使y=与y=a有两个不同的交点,则有0法二:根据(Ⅰ)知当a=1时,两曲线切于点(1,0),此时变化的y=g (x)的对称轴是x=,而y=f (x)是固定不动的,如果继续让对称轴向右移动即x=>,得ax2,则MN中点的坐标为(,),以S为切点的切线l1的斜率kS=f ′()=,以T为切点的切线l2的斜率kT=g ′()=a(x1+x2)-1.如果存在a使得kS=kT,即=a(x1+x2)-1……①而且有lnx1=ax21-x1和lnx2=ax22-x2,如果将①的两边同乘x1-x2,得=a(x 21-x 22)-(x1-x2),即=ax 21-x1-(ax22-x2)=lnx1-lnx2=ln,也就是ln=.设=>1,则有ln =(>1). 令h()=ln -(>1),则h ′()=-=.∵>1,∴h ′()>0.因此,h ()在[1,+∞)上单调递增,故h ()>h (1)=0. 所以,不存在实数a使得l1∥l2.说明:函数解答题在压卷位置出现得比较多,属于难题.文科多考查对数函数、指数函数、分式函数以及复合而成的新颖函数的单调性、最值、参数的取值范围等类型.利用导数这个十分有效的处理函数问题的工具,需要对参数分类处理,其怎样分?为什么分?分几类等需要思考清楚的.(本试题由珠海市斗门一中数学科组拟制)责任编校徐国坚。
数学(文科)试题参考答案及评分标准 (2).doc
2010 年广州市高三年级调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 1112．1- 13．①②③ 14．50 15．()1,1- 简答或提示：10．将数列分组：1213214321,,,,,,,,,,...1121231234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设2010a 位于第n 组，由(1)(1)201022n n n n -+<<，解得63n =，所以2010a 位于第63组中的第63622010572⨯-=项，故2010757a =，选B ． 14．由FP BC ⊥，FQ AC ⊥，得C 、Q 、F 、P 四点共圆，所以CQP CFP B ∠=∠=∠()180A C =-∠+∠()180607050=-+=．15．即求直线20x y -+=与抛物线段2y x =（02y ≤≤）的交点，交点的直角坐标为()1,1-．三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：依题意得，(cos 3,sin AB OB OA θθ=-=-，………………………2分 所以()(222cos 3sinAB θθ=-+136cos 13θθ=-+=， …………4分3cos θθ=．因为cos 0θ≠，所以tan θ= …………………………6分（2）解：由02πθ≤≤，得6AOB πθ∠=+．……………………………………………8分所以1sin 2AOB S OA OB AOB∆=∠ 11sin 266ππθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………10分 所以当3πθ=时，△AOB 12分17．（本小题满分12分）（1）解：设(),x y 表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），……，（6，5），（6，6），共36个．……2分 用A 表示事件“1=-a b ”，即21x y -=-.…………………………………………………3分 则A 包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3个．……………………………5分 ∴()313612P A ==． 答：事件“1=-a b ”的概率为112．…………………………………………………………6分 （2）解：用B 表示事件“0>a b ”，即20x y ->. …………………………………7分 试验的全部结果所构成的区域为(){},16,16x y x y ≤≤≤≤，…………………………………………8分 构成事件B 的区域为(){},16,16,20x y x y x y ≤≤≤≤->，如图所示．………………………………10分所以所求的概率为()142425525P B ⨯⨯==⨯． 答：事件“0>a b ”的概率为425．………………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分） （1）证明：连结1A D ，交1AD 于点F ，连结EF ．…1分 因为四边形11ADD A 是正方形，所以F 是1A D 的中点， 又E 是CD 的中点，所以1EFA C ．…………………3分因为EF ⊂平面1AD E ，1AC ⊄平面1AD E ， ABC D E1A 1B1C 1D F Px y Ox =1x =6y =1y =6 x -2y =0所以1A C 平面1AD E ．…………………………………5分（2）解：在对角线1A C 上存在点P，且CP =DP ⊥平面1AD E ．…………6分 证明如下：因为四边形11ADD A 是正方形，所以11AD A D ⊥．……………………………7分 因为CD ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以1CD AD ⊥．……………………8分 因为1A DCD D =，所以1AD ⊥平面1A CD ．…………………………………………9分因为1AD ⊂平面1AD E ，所以平面1AD E ⊥平面1ACD ．………………………………10分 作DP ⊥1A C 于P ，因为1EFA C ，所以DP ⊥EF ．………………………………11分因为DP ⊂平面1A CD ，平面1ACD平面1AD E EF =，所以DP ⊥平面1AD E ．…12分由Rt △1A CD ∽Rt DCP ∆，得21CD CP AC ==3=．所以当CP =时，DP ⊥平面1AD E ．…………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（1）解：设(,)P x y ，则(2,0)MN =，(1,)NP x y =-，(1,)MP x y =+．…………2分 由||||MN NP MN MP ⋅=⋅，得2(1)x =+，………………………………………………………………4分 化简得24y x =．所以动点P 的轨迹方程为24y x =． ……………………………………………………5分（2）解：由(),4A t 在轨迹24y x =上，则244t =，解得4t =，即()4,4A ．…………6分当4m =时，直线AK 的方程为4x =，此时直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．………7分 当4m ≠时，直线AK 的方程为4()4y x m m=--，即4(4)40x m y m +--=．…………8分 圆22(2)4x y +-=的圆心(0,2)到直线AK的距离d =，令2d =<，解得1m <；令2d ==，解得1m =；令2d =>，解得1m >．综上所述，当1m <时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相交；当1m =时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相切；当1m >时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）证明：当1=n 时，()1111a S m ma ==+-，解得11=a ．…………………………1分 当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-． ………………………………………………2分 即()11n n m a ma -+=． ∵m 为常数，且0m >，∴11n n a ma m-=+()2n ≥． …………………………………………3分∴数列}{n a 是首项为1，公比为1mm+的等比数列． ………………………………………4分 （2）解：由（1）得，()m f q =1mm=+，1122b a ==． ………………………………5分∵()1111n n n n b b f b b ---==+， …………………………………………………………………6分∴1111n n b b -=+，即1111=--n n b b ()2n ≥． ………………………………………………7分 ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是首项为12，公差为1的等差数列． ………………………………………………8分 ∴()11211122n n n b -=+-⋅=，即221n b n =-（*n ∈N ）． ………………………………9分 （3）解：由（2）知221n b n =-，则()12221n n nn b +=-． ………………………………10分所以2341123122222n n n n nT b b b b b +-=+++++， 即n T ()()1231212325223221n n n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ① ………11分 则()()23412212325223221n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ② ………12分②－①得()13412212222n n n T n ++=⨯------， ……………………………………13分故()()()31112122212223612n n n n T n n -++-=⨯---=⨯-+-．……………………………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵()32f x x ax =-，∴()2'32f x x ax =-. ……………………………………1分∵函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，∴()2'320f x x ax =-≤在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立．……2分即32x a ≥在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，…………………………………………………………………3分 3321223x <⨯=，∴1a ≥．故实数a 的取值范围为[)1,+∞．………………………………………………………………4分 （2）解：∵()2'33f x x x a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()'0f x =得203x a =或．………………………5分 ①若0a ≤，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数，所以()()11h a f a ==-． ………………………………………………………………6分 ②若302a <<，即2013a <<，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是 增函数，所以()()11h a f a ==-． ………………………………………………………7分 ③若332a ≤<，即2123a ≤<，则当213x a <<时，()'0f x <；当223a x <<时，()'0f x >． 所以()f x 在区间21,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数． 所以()324327h a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． ……………………………………………………………8分④若3a ≥，即223a ≥，则当12x <<时，()'0f x <，所以()f x 在区间[]1,2上是减函数． 所以()()284h a f a ==-． …………………………………………………………………9分 综上所述，函数()f x 在区间[]1,2的最小值：()331,,243,3,27284, 3.a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩………………………10分（3）解：由题意()12h a m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不相等的实数解，即（2）中函数()h a 的图像与直线12y m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个 不同的交点．……………………………………………11分 而直线12y m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭恒过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，由右图知实数m 的取值范围是()4,1--．……………14分。
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2010年越秀区高三摸底考试试卷数 学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号、座号”处填涂考生号、座位号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在学校、班级，以及自己的姓名填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：圆锥的侧面积公式S r l π=，其中r 是圆锥的底面半径，l 是圆锥的母线长. 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1}A x x =>，a =）A.a A ⊆B.a A ∉C.{}a A ∈D.{}a A ⊆2.命题“若a b >，则22a b >”的否命题是（ ）A.若a b >，则22a b <B.若a b >，则22a b ≤C.若a b <，则22a b <D.若a b ≤，则22a b ≤3.双曲线22143y x -=的渐近线方程为（ ）A.y x =B.y x =C.43y x =±D.34y x =±ABCD4.在同一直角坐标系中，函数2x y -=与2log y x =的图像都正确的是（ ）5.甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均 成绩分别用甲x 、乙x 表示，则下列结论正确的是（ ） A.甲x <乙x ，且甲比乙成绩稳定 B.甲x <乙x ，且乙比甲成绩稳定 C.甲x >乙x ，且甲比乙成绩稳定 D.甲x >乙x ，且乙比甲成绩稳定6.如图是一个几何体的三视图．若该几何体的侧面积为8π， 则正（主）视图中a =（ ）A.1B.2C.3D.47.ABC △的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ．设向量()a bc =+，m ，()a b b c =--，n ．若⊥m n ，则角A 的大小为（ ） A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π68.设实数x y ，满足10302x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22z x y =+的最小值为（ ）A.5B.92D.29.数列{}n a 满足6(3)3,7,,7.n n a n n a a n ---≤⎧=⎨>⎩且对于任意的*n ∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ）A.9(,3)4B.9[,3)4C.(1,3)D.(2,3)10.将n 个连续自然数按规律排成右表，根据规律，从2010到2012，箭头方向依次是（ ）18 98 9 0 1 29 9 8 3甲乙 第5题图第6题图二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11.函数y =的定义域是 . 12.已知sin 2cos αα=，则cos 2α的值是 .13.曲线()(23)x f x x e =-在点(1,(1))f 处的切线方程为 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分） 14．（《几何证明选讲》选做题）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，⊙O 分别切AC 、BC 于M 、N ，圆心O 在AB 上，⊙O 的半径为4，5OA =，则OB 的长为 .15．（《坐标系与参数方程》选做题）已知点（3，-2）到抛物线222x pty pt=⎧⎨=⎩（t 为参数，常数0>p ）的焦点的距离为5，则p 的值为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值．17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，且377,15a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 满足3log n n a b =，求数列}{n b 的前n 项和n T .第14题图18.（本小题满分14分）某工厂生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种样式均有500ml 和800ml 两种型号，某月的产量如下表（单位：个）：按样式用分层抽样的方法在这个月生产的杯子中抽取100个，其中有甲样式杯子25个. （1）求z 的值；（2）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个500ml 杯子的概率．19．（本小题满分14分）如图，多面体ABCDE 的一个面ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形BCDE 为平行四边形，且BE ⊥平面ABC ． （1）证明：AC ⊥平面BCDE ； （2）若AB =5，BC =4，4tan 5EAB ∠=，求多面体ABCDE 的体积．20.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22680x y x +++=的圆心为Q ，过点(0,1)P 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B ． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在常数k ，使得向量OA OB + 与PQ共线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数3211()(2)132f x x x bx a -+=++． （1）当2b a =时，求函数)(x f 的极值点?（2）已知0b >，且函数)(x f 在区间(0,2]上单调递增，试用b 表示出a 的取值范围.第19题图2010年越秀区高三摸底考试数学（文科）参考答案及评分标准说明：1．如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 11.(1,2)- 12.35-13.2y exe =- 14.20315.4三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（1）解：()sin 2cos2f x x x =+sin 2cos cos 2sin 44x x ππ⎫=+⎪⎭24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()fx 的最小正周期为22T π==π． （2）解：由（1）得，()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为02x π≤≤，所以2444x ππ5π≤+≤，所以sin 2124x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以当sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 当sin 242x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值1-． 17.（1）解：设1(1)n a a n d =+-，则1127,615,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得13,2a d ==.所以}{n a 的通项公式为3(1)221n a n n =+-⨯=+. （2）解：依题意得2133n an n b +==.因为23121393n n n n b b +++==，所以}{n b 是首项为31327b ==，公比为9的等比数列，所以}{n b 的前n 项和27(19)27(91)198n nn T ⨯-==--. 18．（1）解：设该厂这个月共生产杯子n 个，由题意得，1002520003000n =+，解得20000n =. 所以z ＝20000(20003000)(25004500)30005000-+-+-=. （2）解：设所抽取样本中有m 个500ml 杯子，由题意得，200050005m=，解得m =2. 因此在抽取的容量为5的样本中，有2个500ml 杯子，3个800ml 杯子， 分别记作S 1，S 2；B 1，B 2，B 3.则从中任取2个的所有基本事件有：(S 1, S 2), (S 1, B 1), (S 1, B 2), (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2,B 2), (S 2 ,B 3), (B 1,B 2), (B 1 ,B 3) , (B 2 ,B 3)，共10个. 其中至少有1个500ml 杯子的基本事件有：(S 1, S 2), (S 1, B 1), (S 1, B 2), (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2,B 2), (S 2 ,B 3)，共7个. 所以从中任取2个，至少有1个500ml 杯子的概率为710. 19.（1）证明：因为BE ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以BE ⊥AC .因为AB 是圆O 的直径，所以AC ⊥BC ，又BE BC B = ，所以AC ⊥平面BCDE ． （2）解：由（1）知AC ⊥平面BCDE ，所以AC 是四棱锥A -BCDE 的高. 因为AB =5，BC =4，所以3AC =.因为BE ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以BE ⊥AB .在Rt △ABE 中，AB =5，4tan 5BE EAB AB ∠==，所以BE =4. 因为BE ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BE ⊥BC . 所以矩形BCDE 的面积为4416BC BE ⨯=⨯=.所以111631633A BCDE BCDE V S AC -=⋅=⨯⨯=.20.（1）解：圆的方程可写成22(3)1x y ++=，所以圆心为(3,0)Q -. 过(0,1)P 且斜率为k 的直线AB 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=．圆心Q 到直线AB的距离为d =1<，解得304k <<.所以k 的取值范围为30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）解：假设存在常数k ，使得向量OA OB + 与PQ共线.设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212(,)OA OB x x y y +=++ ，又(3,1)PQ =--， 所以OA OB + 与PQ共线等价于1212()3()0x x y y -+++=，由于1212()2y y k x x +=++，所以12(31)()60k x x -++=.由221680y kx x y x =+⎧⎨+++=⎩，消去y 得22(1)(26)90k x k x ++++=， 所以122261k x x k ++=-+， 所以226(31)()601k k k +--+=+，解得34k =． 由（1）知30,4k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故不存在符合题意的常数k . 21．（1）解：当2b a =时，3211()()22132f x x a x a x =+-++， 所以22(2)()()()2f x x x a a x x a ++-'-=-=. 令()0f x '=，得2x =，或x a =. ①若2a <，列表得：由表可得，()f x 的极大值点为x a =，极小值点为2x =． ②若2a =，则2'()(2)0f x x =-≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，此时()f x 无极值点．③若2a >，列表得：由表可得，()f x 的极大值点为2x =，极小值点为x a =．（2）解：因为函数)(x f 在区间(0,2]上单调递增， 所以2()()20a b f x x x +'-+≥=对(0,2]x ∈恒成立，即2ba x x ≤+-对(0,2]x ∈恒成立. 设()2,(0,2]bg x x x x=+-∈，则[]min ()a g x ≤.由于2()1b g x x '=-=（0b >），①若02<<，即04b <<，则当x ∈时，()0g x '<；当x ∈时，()0g x '>.所以()g x 在上单调递减，在上单调递增.所以当x =()g x 有最小值2g =，所以当04b <<时，2a ≤.2，即4b ≥，则当(0,2]x ∈时，()0g x '≤，所以()g x 在(0,2]上单调递减， 所以当2x =时，()g x 有最小值(2)2bg =， 所以当4b ≥时，2b a ≤.综上所述，当04b <<时，2a ≤；当4b ≥时，2b a ≤.。