13.5平行线的性质3
13.5(3)平行线的性质
a
b Q1 Q2 Q3 Q4 Q5
如果在直线b上 也任取五个点作 类似的度量，能 否得到同样的结 论呢？
第3页，共8页。
当直线a平行于直线b时，
a
直线a（或直线b）上任
意一点到直线b（或直线
a）的距离都相等。
b
两条平行线中，任意一条直线上的所有点到 另一条直线的距离是一个定值，这个定值 就叫做这两条平行线间的距离。
13.5（3） 平行线的性质
第1页，共8页。
复习： A
B
联结两点的线段的长度叫两点间的距离。
P
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
第2页，共8页。
操作1：
如图所示：a∥b，在直线a上任取五个点：P1、 P2、P3、P4、P5，度量它们到直线b的距离，你
能得到什么结论？
P页。
操作2：
请同学们测量数学课本封面上两条 长边之间的距离。
步骤:
①在一条直线上任意取一点A，并过A作另 一条直线的垂线段AB
②量出AB的长度
第5页，共8页。
例题1：
如图所示，直线a∥b。点A、E、F在a上，点B、 C、D在b上，BC＝EF，三角形ABC与三角形 DEF的面积相等吗？为什么？
A
E
F
a
b
B
CD
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巩固练习：
如图所示，已知直线l1∥l2，那么三角 形A1BC与三角形A2BC的面积相等吗？
为什么？
A1
A2
l1
B
C
l2
第7页，共8页。
课堂小结：
➢两条平行线之间的距离的概念 ➢测量两条平行线之间的距离的方法
第8页，共8页。
平行线的性质
平行线的性质引言平行线是平面几何中重要的概念之一。
在几何学中，平行线是指在同一平面中没有交点的直线。
平行线具有一系列独特的性质和特点，对于解决几何问题以及实际生活中的测量和建造等方面都有着重要的应用。
本文将介绍平行线的性质，包括平行线的定义、判定方法、平行线与平面的关系，以及平行线的一些重要应用。
平行线的定义平行线的定义是指在同一平面内没有交点的直线。
当两条直线在同一平面内并且没有交点时，我们可以说这两条直线互相平行。
平行线的判定方法判定两条直线是否平行有多种方法，下面介绍几种常见的判定方法。
方法一：同位角相等法如果两条直线被一条横截线所截，那么同位角相等的两条直线是平行线。
同位角是指两条直线由横截线所形成的两组相对对应的内角或外角。
如果这两组角对应相等，则可以判定这两条直线平行。
方法二：转换判定法两条直线平行的充要条件是，在这两条直线上分别取一点，并连结这两点，所与直线交点连结起来得到的四边形，它的对边互相平行。
方法三：斜率判定法两条直线平行的另一个重要条件是它们的斜率相等。
如果两条直线的斜率相等，则这两条直线是平行线。
斜率可以通过直线的倾斜角度来计算。
平行线与平面的关系平行线与平面的关系是平面几何中的一个重要概念。
以下为平行线与平面的几个关系：平行线与同一平面内的直线在同一平面内，一条直线与另一条直线平行，则这两条直线分别与此平面内的任一平行于它的直线平行。
平行线与垂直于同一平面的直线如果两条平行线在同一平面外有垂直于此平面的直线，那么这两条平行线在这个垂线引起的两平面上也是平行的。
平行线与平面的截线如果两条平行线在平面上与一条直线相交，那么它们与这条直线在平面外射线上的距离相等。
平行线的应用平行线的应用十分广泛，下面介绍几个常见的应用。
三角形内的平行线在三角形中，经过一个顶点与另外两边上的点画出两条平行线，这两条平行线与两边的比值相等。
平行线的测量在实际测量中，常常使用平行线进行测量。
例如，在测量地面上两个点的距离时，可以使用两根平行线的方法进行测量。
初中数学平行线的性质知识点归纳摘抄
初中数学平行线的性质知识点归纳摘抄初中数学平行线的性质知识点归纳摘抄在同一平面内，永不相交的两条直线互为平行线。
虽然平行线在平面内定义，但也适用于立体几何。
平行线的性质性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做着两条平行线的距离。
额外补充的是，在高等数学中的平行线的定义是相交于无限远的两条直线为平行线，因为理论上是没有绝对的平行的!初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
【精心整理】平行线的性质知识点总结、例题解析
平行线的性质知识点总结、例题解析知识点1【平行线的性质】（1）性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等．∵AB∥CD∴∠2=∠3（2）性质2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补．∵AB∥CD∴∠2+∠4=180°（3）性质3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简称：两直线平行，内错角相等。
∵AB∥CD∴∠1=∠2【例题1】如图，已知DE∥BC，∠B=80°，∠C=56°，求∠ADE和∠AEC的度数。
【答案】∠ADE=80°；∠AEC=124°【例题2】如图，平行线AB。
CD被直线AE所截，若∠1=110°，则∠2等于（）A、70B、80C、90D、110【答案】A【例题3】如图，已知AB∥CD，∠1=150°，∠2=______【答案】30°【例题4】在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上:若∠1=55°，则∠2的度数是_______【答案】35°【例题5】如图所示，已知∠AOB=50 °，PC ∥OB ，PD 平分∠OPC ，则∠APC=______ °，∠PDO=______°【答案】50 ，50 ；【例题6】如图所示，OP∥QB∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1的度数为________【答案】10°【例题7】如图，已知AB∥CD，AE∥CF，求证：∠BAE=∠DCF【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA．（两直线平行，内错角相等）∵AE∥CF，∴∠EAC=∠FCA．（两直线平行，内错角相等）∵∠BAC=∠BAE+∠EAC，∠DCA=∠DCF+∠FCA，∴∠BAE=∠DCF．【例题8】如图，已知AB∥CD，∠B=40°CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数。
《平行线的性质》
平行线的性质平行线是几何学中非常重要的概念。
在欧氏几何中，平行线是指不相交且在同一平面内的两条直线。
平行线具有很多独特的性质和定理，本文将对平行线的性质进行介绍和探讨。
1. 平行线的定义在欧氏几何中，平行线的定义如下：如果两条直线在同一平面内，且没有交点，那么它们被称为平行线。
这意味着平行线在同一平面上永远不会相交。
2. 平行线的性质平行线具有以下性质：2.1. 平行线的特性•平行线具有公共的垂直线。
•平行线的任意两条线段之间的距离都相等。
•平行线与同一直线相交的两条直线上的对应角相等。
2.2. 平行线的判定平行线有多种判定方法：•直线与直线判定：如果两条直线的斜率相等，且不重合，则它们是平行线。
•角与直线判定：如果两条直线之间的所有对应角相等，则它们是平行线。
•线段与直线判定：如果一条直线与另一直线上的线段垂直，并且这条线段与另一直线上的垂线重合，则这两条直线是平行线。
2.3. 平行线的性质定理•反证法：如果两条直线有交点，则它们不可能是平行线。
•平行线的传递性：如果直线L1与直线L2平行，直线L2与直线L3平行，则直线L1与直线L3也平行。
•直线与平行线相交定理：如果一条直线与两条平行线相交，则这两条平行线上的对应角相等。
3. 平行线的应用平行线的性质在数学和实际生活中都有广泛的应用。
3.1. 三角形与平行线•如果在三角形中有三个平行线，即AB || CD, AC || EF, BC || DE，则由传递性可知，AE || DF。
这种性质称为三角形的平行线定理。
3.2. 平行线与比例•平行线分割：如果一条直线通过两条平行线，那么它将这两条平行线上的线段分割成比例相等的部分。
3.3. 平行线与测量•平行线的性质可用于测量实际物体的长度、角度等。
4. 总结平行线是几何学中重要的概念，具有许多独特的性质和定理。
它们的定义、判定方法以及与三角形、比例和测量的关系，都是数学学习中必不可少的内容。
通过深入理解和应用平行线的性质，我们可以更好地解决各种几何问题，并将它们应用到实际生活中的测量和计算中。
平行线的性质(基础)知识讲解
平行线的性质(基础）知识讲解【学习目标】1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行,同位角相等；性质2:两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释:(1)“同位角相等、内错角相等"、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．（2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、平行的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点三、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释:(1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．（2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．【典型例题】类型一、平行线的性质1．如图所示,如果AB∥DF,DE∥BC，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什么．【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次:第一层次是由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1+∠2＝180°;第二层次是由DF∥AB，可得∠3＝∠2或∠3+∠4＝180°,从而解出∠2、∠3、∠4的度数．【答案与解析】解：∵DE∥BC，∴∠4＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等）．∠2+∠1＝180°（两直线平行,同旁内角互补）．∴∠2＝180°—∠1＝180°—65°＝115°．又∵DF∥AB(已知），∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）．∴∠3＝115°(等量代换）．【总结升华】平行线的性质:由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系．举一反三：【变式】（2015•大连）如图，AB∥CD,∠A=56°,∠C=27°，则∠E的度数为．【答案】29°．解：∵AB∥CD，∴∠DFE=∠A=56°，又∵∠C=27°，∴∠E=56°﹣27°=29°.类型二、两平行线间的距离2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则（)A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不确定【答案】B【解析】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合．类型五、平行的性质与判定综合应用3．（2015春•南通期末）如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．【思路点拨】首先判断∠AED与∠ACB是一对同位角，然后根据已知条件推出DE∥BC,得出两角相等．【答案与解析】解:∠AED=∠ACB．理由：∵∠1+∠4=180°（平角定义），∠1+∠2=180°（已知)．∴∠2=∠4．∴EF∥AB（内错角相等,两直线平行）．∴∠3=∠ADE（两直线平行,内错角相等）．∵∠3=∠B(已知）,∴∠B=∠ADE（等量代换）．∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）．【总结升华】平行线的判定和性质的因果关系恰好相反．在解题时，必须弄清“因"是什么，“果”是什么，欲证平行用判定，已知平行用性质．4．如图所示,AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝( ）A．180°B．270°C．360°D．540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB,∵CD∥AB，∴∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵EF∥AB∴EF∥CD．（平行的传递性）∴∠DCE+∠CEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行,同旁内角互补，”可以得到∠BAC +∠ACE+ ∠CEF＝360°．举一反三:【变式】如图所示,如果∠BAC+∠ACE+∠CEF＝360°，则AB与EF的位置关系．【答案】平行。
平行线的性质知识点总结
平行线的性质知识点总结平行线是我们在几何学中经常遇到的概念，它具有一些独特的性质和特点。
本文将对平行线的性质进行总结，帮助读者更好地理解和运用这些知识点。
一、定义和标记方式平行线是在同一个平面上，永不相交的两条直线。
我们通常用符号"//"来表示两条平行线，例如AB//CD。
二、判断平行线的方法平行线的判断方法有以下几种：1. 同位角相等法则：如果两条直线被一条横截线所截，且同位角相等，则这两条直线平行。
2. 内错角相等法则：如果两条直线被一条横截线所截，且内错角相等，则这两条直线平行。
3. 外错角相等法则：如果两条直线被一条横截线所截，且外错角相等，则这两条直线平行。
4. 平行线特性法则：如果两条直线的斜率相等或两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行。
三、平行线的性质1. 平行线与转角线的夹角关系：当两条直线被一条横截线所截，且转角线与一个平行线垂直，那么它与另一条平行线也垂直。
2. 平行线与同位角的关系：同位角是指两条直线被一条横截线所截，且位于同一侧的内角。
对于平行线来说，同位角相等。
3. 平行线与内错角的关系：内错角是指两条直线被一条横截线所截，且位于同一侧的相对角。
对于平行线来说，内错角相等。
4. 平行线与外错角的关系：外错角是指两条直线被一条横截线所截，且位于不同侧的相对角。
对于平行线来说，外错角相等。
5. 平行线向平面的投影：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线在这个平面上的投影与原直线平行。
6. 平行线间的距离关系：平行线间的距离是沿垂直于这两条平行线的线段的长度。
四、平行线的应用平行线的性质在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决角度、线段关系和图形相似性等问题时。
以下是一些典型的应用场景：1. 平行线用于证明两条线段相等或不相等。
2. 平行线用于证明某个角是直角或等角。
3. 平行线用于证明图形的相似性。
4. 平行线用于推导和证明其他几何性质和定理。
总结起来，平行线是在同一个平面上永不相交的两条直线，具有一系列独特的性质。
平行线的判定与性质
平行线的判定与性质平行线在几何学中起着重要的作用，它们有着独特的性质和判定方法。
本文将介绍平行线的判定方法以及与平行线相关的性质。
一、平行线的判定方法1. 垂直判定法：如果两条线段相交，且相交的角度为90度，则这两条线段是平行线。
这是最基本的平行线判定方法，根据垂直直角的定义可以简单明了地判断两条线段是否平行。
2. 共垂线判定法：如果两条线段分别与一条直线相交，且这两条线段在相交处的对应角相等，则这两条线段平行。
这个方法利用了共垂线的性质，通过对应角相等关系来确定两条线段是否平行。
3. 锐角判定法：如果两条与一直线相交的线段，在直线的一侧分别作锐角，则这两条线段平行。
这个方法需要注意的是锐角的存在，通过作锐角可以确定线段的平行关系。
4. 曲线描点法：在平面上任意取一点，通过画出与已知直线相切的曲线，再经过已知点和曲线上的该点画一条直线，若该直线与已知直线平行，则已知曲线与已知直线平行。
这个方法常用于曲线与直线的平行关系判断。
二、平行线的性质1. 对应角相等性质：如果两条平行线被一条横截线所切，那么所得到的对应角是相等的。
这是平行线最基本的性质之一，也是平行线判定方法中常用的性质。
2. 内错角互补性质：如果两条平行线被一条横截线所切，那么所得到的内错角之和为180度。
这个性质是平行线性质中比较重要的一个，它可以用来证明一些平行线的性质。
3. 平行线的平移性质：平行线之间可以进行平移。
如果平行线上有一个点向某个方向平移，那么整条平行线也会向同一个方向平移同样的距离。
这个性质在几何证明中经常被应用，它帮助我们理解平行线的运动规律。
4. 平行线的比例性质：如果一条直线与一组平行线相交，那么相交线段之间的比例保持不变。
这个性质可以用来求解平行线上的线段长度比例，它是解决一些几何问题的重要思路。
总结：平行线是几何学中的重要概念，通过不同的判定方法可以准确地确定平行线的存在。
同时，平行线具有一系列的性质，这些性质在几何学推理中扮演着重要的角色。
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√
）
不相交的两条直线一定平行（
）
）
同一平面内不相交的两条直线一定平行（
1.如图，△ABC中，BD⊥AC，GF ⊥AC，E是AB上 一点，∠1=∠2，那么DE∥BC吗?为什么?
A E 1 D F 2 B G C F D A B
C
2.如图，已知AB∥DE，∠ABC=∠DEF， 求证BC∥EF.
已知：如图，1 2，3 4，5 6, F 求证：ED / / FB
E A 4 G 1 5 B
C
6
2
3 D
已知：如图．AB∥CD，∠B＝∠C．求证：∠E＝∠F．
如图，AB∥CD∥EF, ∠D=120°, ∠A=70°, 试求 ∠AFD的度数。 C E A D B F
3.作一作：如图：已知∠B=25°,∠BCD=45° , ∠CDE=30°,∠E=10°，试说明AB能与EF 平行吗？ 为什么？ A C Q D B P F
E
BE∥AO，∠1=∠2，OE⊥OA于点O， EH⊥CO于点H，那么∠5=∠6，为什么?
垂直于同一条直线的两条直线平行（
）
）
同一平面内垂直于同一条直线的两条直线垂直（
）
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 ( )
●
平面内经过直线上一点或直线外一点有且只 有一条直线与已知直线垂直。( √ )
b
a c
虽然a⊥c，b⊥c
但是直线a与b不平行
直线a和b和c不在同一平面内 在平面内 垂直于同一条直线的两直线平行（
14、与已知直线平行的直线有且只有一条（ ）
15、在平面内，经过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条（ ） 16、经过一点与已知直线平行的直线有且只有一条（ ）
17、在同一平面内，不垂直的两直线必平行（ ）
18、在同一平面内，不平行的两直线必垂直（ ） 19、在同一平面内，不相交的两直线一定不垂直（ ） 20、如果两个角的两边分别垂直，则这两个角相等且 互补（ ）
概念判断：
2、有一条公共边的两个角是邻补角（ ）
1、有公共顶点的两个角是对顶角（ ） 3、在同一平面内，过一点可作无数条直线与已知直线垂直（ ） 4、直线a的垂线有且只有一条（ ） 5、线段a的垂直平分线有且仅有一条（ ）
6、过线段外一点不一定能作此线段的垂线（ ）
7、点到直线的距离是这点到直线的垂线段的长度（ ）
8、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行 与垂直（ ）
9、在同一平面内，和已知直线平行的直线有无数条 （ ）
10、在同一平面内，两条直线都垂直于第三条直线， 那么这两条直线垂直或平行（ ）
11、在同一平面内，不相交的两条线段是平行线（ ）
12、两条直线不相交则必平行（ ） 13、与已知直线垂直的直线有且只有一条（ ）
21、从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到 这条直线的距离（ ） 22、互相垂直的两条直线一定相交（ ）
过一点可作无数条直线与已知直线垂直（ ） 两条不重合直线的位置关系有相交、平行（
和已知直线平行的直线有无数条（
）
）
过一点有且只有一条直线平行于已知直线（
）
过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线（ 平行于同一条直线的两条直线平行（