1.4 二次函数的应用 (1)
九年级数学上册 第一章 二次函数 1.4 二次函数的应用(第1课时)b课件 (新版)浙教版
.
∵
a
π 2
7
0, b
6, c
0,
新教课学讲目 解
标
答：当窗户半圆的半径约为0.35m，窗框矩形部分的另一边 长约为1.23m时，窗户的透光面积最大，最大值约为 1.05m2.
新教课学讲目 解
标
二次函数求实际问题中的最值问题的解答
1、求出函数表达式和自变量的取值范围 2、通过配方或利用公式求最大值或最小值
注意：求出的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变 量的取值范围内。
新教课学讲目 解
标
现在我们来解决课前想一想
用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多 少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形窗框的面积为y,由题意得，
学教以学致目 用
标
在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6，今在四边上分别选取E 、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何 设计，可使花园面积最大？
草图（如图所示）．
巩教固学提目升
标
7、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,
制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于
多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面 积是多少?
xx
y
课教堂学小目结
标
运用二次函数求实际问题中的最值问题，一般的步骤：
①把问题归结为二次函数问题（设自变量和函数）；
②求出函数表达式和自变量的取值范围；
③通过配方变形或利用公式求它的最值（在自变量的取值范围 内）；
（或利用函数图象找最值）
1.4二次函数的应用(1)课件
课堂练习
1.小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是
（）
A. 4cm2
B. 8cm2
C. 16cm2
D. 32cm2
答案：A
2.已知二次函数的图象(0≤x≤ 1 2 2 )如图．关于该函数
在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A．有最大值2，无最小值． B．有最大值2，有最小值1.5． C．有最大值2，有最小值－2． D．有最大值1.5，有最小值－2．
(2)当x＝
b 2a
3时，S最大值＝
4ac 4a
b
2
＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米 ∴ 0<24－4x ≤6 4≤x<6
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
课堂总结
用二次函数求实际问题中的最大值或最小值 方法：运用二次函数求实际问题的最大值或最小值， 首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围，然后通过 配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值．
注意：求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自 变量的取值范围内．
抽象
实际问题
转化
数学问题
运用 数学知识
问题的解
返回解释 检验
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积.
A
D
B
C
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 ∴ 花圃宽为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24x （0<x<6）
1.4二次函数的应用 （1)
浙教版 九年级上册
学习目标
1.4 二次函数的应用(1)
“二次函数应用” 的思路
本节“最大面积”解决问题的过程，你问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
合作探究
1、用长为8米的铝合金制成如图窗框，一边靠2cm的墙
2 ,
x
此时两条直角边的长均为1
下面我们一起分小组试一试
看下哪个小组最快解出答案，并在黑板上写出来？
1、有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为 45°的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为 12cm．按图14—1的方式将直尺的短边DE放置在与直角三角形 纸板的斜边AB上，且点D与点A重合．若直尺沿射线AB方向平 行移动，如图14—2，设平移的长度为x（cm），直尺和三角形 纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S cm 2）． （1）当x=0时，S=_____________； 当x = 10时，S =______________； （2）当0＜x≤4时，如图14—2，求S与x的函数关系式； （3）当6＜x＜10时，求S与x的函数关系式； （4）请你作出推测：当x为何值时，阴影部分的面积最大？并写 出最大值．
得, y .
2
4 2 x 15 7 x x x 2.窗户面积S 2 xy 2 x y 2 4 2 2 7 2 15 7 15 225 x x . x 2 2 2 14 56 b 15 4ac b 2 225 或用公式: 当x 1.07时, y最大值 4.02. 2a 14 4a 56
b 4 当x= 2 时， 2a 2 2
4ac b y达到最大值为 4 4a
1.4 二次函数的应用(1)
桥面 -5 0 5
x/m
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是 1米 ⑵两条钢缆最低点之间的距离是 40米
； ；
10 (3)右边的抛物线解析式是 y 0.0225 x 2 0.9 x ；
收获：
学了今天的内容，我们意识到 所学的数学是有用的，巧妙地 应用数学知识可以解决生活中 碰到的很多问题！
3 2 9 ( x ) 2 4
3-x
当x 1.5在0 x 3的范围内，此时 y有最大值， 9 y最大值 4
x
探究实践 用长6米铝合金条制成如图形状的矩形窗框，
问长和高各是多少米时，窗户的透光面积 最大？最大面积是多少？
(1)设什么为自变量x? (窗框的长或高) (2)如果学生设窗框长为x,则高为多少? 6 3x m 2 6 3 x m2 面积为多少? x 2 (3)若设透光面积为y,试写出y关于x的函数解析式
2x
∵ a≈-8.57＜0，b=6，c=0
又
4ac-b2 S最 大值= 当x 0.35时， ≈1.05 4a
b 6 0.35，且 x 0.35在0 x 的范围内 2a 7
此时y≈1.23
答：当窗户半圆的半径约为0.35m，矩形窗框的一边长约为 1.23m时，窗户的透光面积最大，最大值为1.05m2。
C、8米；
D、9米
解：当x=15时，
x B
y=-1/25×152=-9
A
如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形 状相同的抛物线落下，如果喷头所在处A（0，1.25）， 水流路线最高处B（1，2.25），则该抛物线的解析式为 ____________ y= －(x-1)2 +2.25
浙教版数学九年级上册1.4 二次函数的应用.docx
1．4 二次函数的应用1．已知二次函数y ＝－(x －3)2＋4，当－1≤x ≤4时，该函数(D) A ．有最大值，最小值分别是3，0 B ．只有最大值是4，无最小值 C ．有最小值是－12，最大值是3 D ．有最小值是－12，最大值是42．当二次函数y ＝(x －1)2＋(x －3)2的值最小时，x 的值为(B) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4(第3题)3． 某幢建筑物，从10 m 高的窗口A 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线(抛物线所在平面与墙面垂直，如图)．如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面403m ，那么水流落地点B 离墙的距离O B 是(B)A ． 2 mB ． 3 mC ． 4 mD ． 5 m4． 在距离地面2 m 高的某处将一物体以初速度v 0(m /s )竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度h (m)与抛出时间t (s)满足h ＝v 0t －12gt 2(其中g 是常数，取10 m /s 2)．若v 0＝10 m /s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面__7__ m ．5． 两个正数的和为50，设其中一个为x ，它们的积为y ，则y 关于x 的函数表达式是y ＝－x 2＋50x ，当x ＝__25__时，y 最大值＝625．6．用长为40cm 的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积可以达到__100__cm 2．7．某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个方案使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？【解】 设矩形的一边长为x (m)，面积为S (m 2)，则另一边长为12－2x 2＝(6－x )m ，∴S ＝x (6－x )＝－x 2＋6x ． ∵0＜2x ＜12，∴0＜x ＜6．∵S ＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9，∴S 有最大值，当x ＝3时，S 最大＝9． ∴设计费最多为9×1000＝9000(元)．(第8题)8．如图，用长20 m 的竹篱笆，一面靠墙围成一个矩形的园子，怎样围才能使园子面积最大？最大面积是多少？【解】 设AB ＝x (m)，矩形ABCD 的面积为y (m 2)，则BC ＝(20－2x )m ，∴y ＝x (20－2x )＝－2x 2＋20x (0<x <10)． 当x ＝－20－4＝5时，y 最大，y 最大＝－2×52＋20×5＝50．答：当长BC 为10 m ，宽AB 为5 m 时，园子的面积最大，最大面积为50 m 2．9．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，且b 2＝ac ，当x ＝0时，y ＝－4，则(C) A ．y 最大＝－4 B ．y 最小＝－4 C ．y 最大＝－3 D ．y 最小＝－3【解】 把x ＝0，y ＝－4代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得c ＝－4． ∵b 2＝ac ，∴b 2＝－4a ，∴a ＝－14b 2<0，即y 有最大值．∴y 最大＝4ac －b 24a ＝4ac －（－4a ）4a ＝4ac ＋4a4a＝c ＋1＝－4＋1＝－3．(第10题)10． 如图，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋5与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点D ，抛物线的顶点为C ，求四边形ABCD 的面积．【解】 令－x 2＋4x ＋5＝0， 解得x 1＝5，x 2＝－1． ∴A(－1，0)，B(5，0)． 令x ＝0，则y ＝5， ∴D(0，5)．∵y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9，∴C(2，9)． 连结C O ．S 四边形ABCD ＝S △A O D ＋S △C O D ＋S △B O C＝12×1×5＋12×5×2＋12×5×9＝30．(第11题)11．如图，有一座抛物线形状的拱桥，在正常水位时水面AB 的宽是20m ．如果水位上升3m 时，水面CD 的宽为10m ．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地．已知甲地到此桥的距离为280km(桥长忽略不计)，货车以每小时40km 的速度开往乙地．当行驶1h 时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时0．25m 的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD 处)，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行．试问：汽车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少？【解】 (1)设y ＝ax 2，点B 的纵坐标为k ，则B(10，k )，D(5，k ＋3)，把B ，D 两点的坐标代入y ＝ax 2，得⎩⎪⎨⎪⎧100a ＝k ，25a ＝k ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－125，k ＝－4.∴y ＝－125x 2．(2)不能安全通过此桥．理由：水位由CD 处涨到点O 的时间为(4－3)÷0．25＝4(h)， 货车按原来的速度行驶的路程为40×1＋40×4＝200＜280． ∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x (km/h)，当4x ＋40×1＝280时，x ＝60． ∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60 km/h ．(第12题)12．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝1．两个动点P ，Q 同时从点A 出发，但点P 沿AC 运动，点Q 沿AB ，BC 运动，两点同时到达点C ．(1)点Q 的速度是点P 的速度的多少倍？(2)设A P ＝x ，△A PQ 的面积为y ，当点Q 在BC 上运动时，用x 表示y ，写出x 的取值范围，并求出y 的最大值．【解】 (1)∵∠A ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝1，∴BC ＝2AB ＝2，AC ＝22－12＝3． ∴AB ＋BC AC ＝33＝3．即点Q 的速度是点P 的速度的3倍． (2)过点Q 作QE ⊥AC 于点E ． ∵∠C ＝30°，∴C Q ＝2QE ． ∵AB ＋B Q ＝3x ，∴C Q ＝3－3x ． ∴QE ＝3－3x 2．∴y ＝12x ×3－3x 2＝－34x 2＋34x ．∵0<3－3x ≤2，∴33≤x <3． ∵y ＝－34⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3 316，∴当x ＝32(属于33≤x <3范围)时， y 有最大值，y 最大＝3 316．(第13题)13．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6m ，底部宽度OM 为12m ．现以点O 为原点，OM 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求这条抛物线的函数表达式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD －DC －CB ，使点C ，D 在抛物线上，点A ，B 在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？【解】 (1)M (12，0)，P (6，6)．(2)设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －6)2＋6．∵抛物线y ＝a (x －6)2＋6经过点(0，0)，∴0＝a (0－6)2＋6，解得a ＝－16．∴抛物线的函数表达式为y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x 2＋2x ．(3)设A(m ，0)，则B(12－m ，0)，C(12－m ，－16m 2＋2m )，D(m ，－16m 2＋2m )．∴AD ＋DC ＋CB ＝(－16m 2＋2m )＋(12－2m )＋(－16m 2＋2m )＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15．∵此二次函数的图象开口向下，∴当m ＝3时，AD ＋DC ＋CB 有最大值，为15m ．初中数学试卷。
1.4_二次函数的应用(1)课件1
试一试
已知，直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长可能达
到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长。
2－ x
x
探究活动:
已知有一张边长为10cm的正三角形纸板，若要从中 剪一个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面积 为多少？
A
D
E
B
K
F
C
4 2 0
x
2
-4
-2
求函数的最值问题， 应注意对称轴(或顶点)是否在自变量的取值范围内。
合作探究
2、用长为8米的铝合金制成如图窗框，一边靠2cm的墙
问窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？
最大面积是多少？
8 x 2
若靠的墙只有1.5m， 最大面积为多少？
x
小结：应用二次函数的性质解决日常生活中的
把二次函数y=2x2+8x+13化成顶点式。
1、图中所示的二次函数图像 的解析式为：
y
y=2x2+8x+13
⑴若－3≤x≤0，该函数的最 大值、最小值分别为
(-4,13)
（ 1， 3）
（ 13 ）、（ 5 ）。 ⑵又若-4≤x≤-3，该函数的
最大值、最小值分别为（ 13 ）、（ 7 ）。
6
(-2,5)
最值问题，一般的步骤为：
①把问题归结为二次函数问题（设自变量和函数）； ②求出函数解析式（包括自变量的取值范围）；
③在自变量的取值范围内求出最值(配方法或顶点坐标公式） ④答。
例1、如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周
长为16m.求截面积S(m)关于底部宽x(m)的函数表达式.当 底部宽为多少时，隧道的截面积最大（结果精确到 0.01m）？
1.4二次函数的应用1
2、求函数 y=-x2+4x 的最大值或最小值：
2、求二次函数y=－x2＋4x 的最大值或最小值：
方法1： 因为 －1＜0，则图像开口向下，y有最大值
y =-(x2-4x)= =-(x2-4x+22)+22=－(x－2)2＋4
所以：当x=2时，y 达到最大值为4.
？8－π4+2 x
x
答：当隧道的底部宽度为4.48米时，隧道的截面积最大。
收获：
学了今天的内容，你最深的感受是什么？
实际问题 抽象 （最值问题）转化
运用
数学问题 （二次函数求最值）数学知识
问题的解
返回解释 检验
探究活动: 已知有一张边长为10cm的正三角形纸板，若要从中
剪一个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面积 为多少？
方法2：
当x=
b 2a
4 2
2
时，
y达到最大值为 4ac b2 4 4a
3、图中所示的二次函数图像的解
y
析式为：
y=2x2+8x+13
(-4,13)
13
⑴若－3≤x≤0，该函数的最
大值、最小值分别为 13 、
5。
6
(-2,5) 4
⑵又若-4≤x≤-3，该函数的最 2
大值、最小值分别
0
x
为 13、 。7
A
D BK
E FC
最大面积是多少？
解：设窗框的一边长为x米，
8 x
则另一边的长为 8 x 米，
2
2
又令该窗框的透光面积为y米，那么：
y= x 8 x
《二次函数的应用》二次函数PPT教学课件(第1课时)
1.25米 O
当堂练习
y B
解：建立如图坐标系，设抛物线顶点 为B，水流落水处与x轴交于C点.
A 1.25
由题意可知A（ 0，1.25）、
O
Cx
B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）.
设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0),
把点A坐标代入，得a= － 1；
∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25.
当堂练习
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求 出这个费用. (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; ∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积 最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
当堂练习
5.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装 一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶 端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物 线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素， 那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落到 池外？
∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;
(2)∵a=-1＜0，对称轴为x=
-
3 2
,顶点坐标为（ -
3 2
，25
4
）,
∴当x=
-3 2
时，y取最大值，最大值为
25 4
;
讲授新课
例2 已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，
则a的值为( C )
A．3
B．－1
C．4
D．4或－1
解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，
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解：∵隧道的底部宽为x，周长为16，
？
π +2 8－ x 4
x
答：当隧道的底部宽度为4.48米时，隧道的截面积最大。
y达到最大值为
4ac b 4 4a
2
2、图中所示的二次函数图像 的解析式为：
y
y=2x2+8x+1
⑴若－3≤x≤0，该函数的最大 值、最小值分别为（ ）、 （ 13 ）。 5
(-4,13)
13
3
6
(-2,5)
⑵又若-4≤x≤-3，该函数的最 大值、最小值分别为 （ 13 ）、（ 7 ）。
4 2 0
x
情景建模问题：
2、用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各 为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
解:设窗框的宽为x(m),窗户的透光面积为y(m2) 则高为0.5(8-3x) m ∵x>0且0.5(8-3x)>0 (8-3x)/2 ∴0<x<8/3 y=0.5(8-3x)x=-1.5x2+4x (0<x<8/3) ∵a=-1.5<0, ∴二次函数的值有最大值
(0<x<2)
2－ x
所以：当x＝1时，(属于0<x<2的范围) 斜边长有最小值y=
2
,
x
此时两条直角边的长均为1
1.如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周长为16米。 ⑴求截面积S（米2）关于底部宽x（米）的函数解析式，及自变量x 的取值范围？⑵试问：当底部宽x为几米时，隧道的截面积S最大 （结果精确到0.01米）？
浙教版九年级上册第二章二次函数
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1.4 二次函数的应用⑴
回顾与练习
1、求下列二次函数的最大值或最小值：
y=－x2＋4x
解：因为 －1＜0，则图像开口向下，y有最大值 y =-(x2-4x)= =-(x2-4x+22-22)=－(x－2)2＋4
所以：当x=2时，y 达到最大值为4.
b 4 当x= 2 时， 2a 2
此时0.5(8-3x)=2 答:窗框的宽为4/3m,高为2m时，窗户的透光面积最大, 最大面积是8/3m2.
b 4 =∴当x==4/3时,(属于0<x<8/3的范围) 2a -3 4ac-b2 -16 y最大值= =8/3 = 4a -6
x
2.已知，直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长可能 达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的 长。 解：设其中的一条直角边长为x，则另一条直角边长为 （2－x），, 又设斜边长为y，其中0<x<2
x
2
-4
-2
求函数的最值问题， 应注意对称轴是否在自变量的取值范围内。
拟建中的一个温室的 平面图如图,如果温室外 围是一个矩形，周长为 12Om , 室内通道的尺寸 如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)·
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种植面积 通道
为了使温室种植面积最大,应怎样确定 边长 x 的值?
图中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆,下部分是矩 形.如果制作一个窗户边框的材料的总长度为8米,那么如何设计 这个窗户边框的尺寸,使透光面积最大?(结果精确到0.01米) 解:设半圆的半径为x米，如图，矩形的一边长为y米，
根据题意，有5x+πx+2x+2y=8,
即：y=4－0.5(π+7)x 又因为：y＞0且x ＞0 所以： 4－0.5(π+7)x＞0
π 2 π 故透光面积:S= x +2xy= x +2x［4－0.5(π +7)x］ 2 2
因 为 a=-( +7)<0,b=8,c=0 2 2x b 8 8 当 x== 于 0<x< 的 范 围 ) 0.47时 (属 2a +14 +7 8 4ac-b2 32 时 y= 1.63 S最 = 1.87 此 大 值 = 4a +14 +14
π －( +7)x2+8x 2
8 则：0＜x＜π +7 2
x
8 (0＜x＜ π +7 )
y
情景建模问题：
2、用长为8米的铝合金制成如图窗框，一边靠12m的墙问 窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大 面积是多少？
解：设窗框的一边长为x米， 则另一边的长为（8－x)/2米， (8-x)/2 又令该窗框的透光面积为y米， 那么： y= x(8－x)/2 即：y=－0.5x2＋4x