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2018届人教A版空间向量及立体几何单元测试10

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人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试卷(有答案解析)(1)

人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试卷(有答案解析)(1)

一、选择题1．三棱锥O ABC -中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示NM ，则NM 等于( )A ．1()2a b c -++ B ．1()2a b c +- C ．1()2a b c -+D ．1()2a b c --+2．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =+-+-，点N 满足()1BN BA BC λλ=+-，当AM 、BN 最短时,AM MN ⋅=（ ） A ．43-B ．43C ．13-D ．133．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝12AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( )A 6B 3C 6D ．234．如图，三棱锥S ﹣ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ABC ＝90°，AB ＞BC ，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 的中点，记直线SE 与SF 所成的角为α，直线SG 与平面SAB 所成的角为β，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ，则（ ）A ．α＞γ＞βB ．α＞β＞γC ．γ＞α＞βD ．γ＞β＞α5．在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（ ） A ．52B ．2C ．32D ．1166．在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D 与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ） A ．2123,θθθθ<<B ．2123 ,θθθθ><C ．2123 ,θθθθD ．2123 ,θθθθ>>7．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，13AA =，2AB AC BC ===，则1AA 与平面11AB C 所成角的大小为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//BC AD ，且2AB BC ==，3AD =，PA ⊥平面ABCD 且2PA =，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为（ ）A ．427B ．33C ．77D ．639．已知1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角是（ ） A ．60B ．120C ．30D ．9010．如图，平行六面体中1111ABCD A B C D -中，各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，则对角线1BD 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．211．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng ）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF 是一个刍甍，其中四边形ABCD 为矩形，其中8AB =，23AD =，ADE 与BCF △都是等边三角形，且二面角E AD B --与F BC A --相等，则EF 长度的取值范围为（ ）A ．（2,14）B ．（2,8）C ．（0,12）D ．（2,12）12．如图，在菱形ABCD 中，23ABC π∠=，线段AD 、BD 的中点分别为E 、F ．现将ABD ∆沿对角线BD 翻折，当二面角A BD C --的余弦值为13时，异面直线BE 与CF 所成角的正弦值是（ ）A 35B ．16C 26D ．1513．有下列四个命题：①已知1e 和2e 是两个互相垂直的单位向量，a =21e +32e ，1b ke =-42e ，且a ⊥b ，则实数k ＝6；②已知正四面体O ﹣ABC 的棱长为1，则（OA OB +）•（CA CB +）＝1；③已知A （1，1，0），B （0，3，0），C （2，2，3），则向量AC 在AB 上正投影的数量是55④已知1a e =-223e e +，1b e =-+32e +23e ，c =-31e +72e （{1e ，2e ，3e }为空间向量的一个基底），则向量a ，b ，c 不可能共面． 其中正确命题的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题14．正四面体ABCD 的棱长为a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____________.15．a ，b 为空间两条互相垂直的直线，直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，30ABC ∠=︒，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成45°角； ⑤直线AB 与a 所成角的最大值为60°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为30°；其中正确的是___________.（填写所有正确结论的编号）16．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点，给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45︒；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为22__________.（将你认为正确的命题序号都填上）17．已知空间向量(0,1,1),(1,0,1)a b ==，则向量a 与b 的夹角为_____________. 18．在空间直角坐标系中， ()()()2,1,1,3,4,,2,7,1,A B C AB CB 若λ-⊥,则λ=____ 19．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,0,2)A -，(0,1,1)B -，点,C D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD →的最小值是______.20．如图，在棱长为2的正方体中，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上，若P 为动点，Q 为动点，则PQ 的最小值为_____.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为4π，则AE =__________．22．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为ABC ∆的重心E 是BD 上一点，3,BE ED =以,,AB AC AD 为基底，则GE =__________．23．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.24．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为1，113BAD A AD A AB π∠=∠=∠=，E 为1CC 的中点，则AE 的长度是________.25．已知直线l 的一个方向向量为()2,8,1m =--，平面α的一个法向量为1,,22n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//l α，则实数t =______.26．已知向量a =（4，﹣5，12），b =（3，t ，23），若a 与b 的夹角为锐角，则实数t 的取值范围为_____．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用向量的平行四边形法则、三角形法则可得：1()2NM NA NB =+，1()2AN AO AC =+，1()2BN BO BC =+，AC OC OA =-，BC OC OB =-，代入化简即可得出．【详解】 解：1()2NM NA NB =+，1()2AN AO AC =+，1()2BN BO BC =+，AC OC OA =-，BC OC OB =-，∴1111()2222MN AN BN OA OB OC =+=--+111222a b c =--+， ∴111222NM a b c =+-，故选：B ． 【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．2．A解析：A 【分析】根据题意可知M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ，根据题意知，当M 为BCD ∆的中心、N 为线段AC 的中点时，AM 、BN 最短，然后利用MC 、MA 表示MN ，利用空间向量数量积的运算律和定义可求出AM MN ⋅的值. 【详解】由共面向量基本定理和共线向量基本定理可知，M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ， 当AM 、BN 最短时，AM ⊥平面BCD ，BN AC ⊥， 所以，M 为BCD ∆的中心，N 为AC 的中点，此时，242sin 603MC ==，23MC ∴=AM ⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，AM MC ∴⊥，22222326233MA AC MC ⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 又()12MN MC MA =+，()2114223AM MN AM MC AM MA MA ∴⋅=⋅+⋅=-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查空间向量数量积的计算，同时也涉及了利用共面向量和共线向量来判断四点共面和三点共线，确定动点的位置是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.3．C解析：C 【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a ，a,0)，F(a,0,0)，AG ＝(a ，a,0)，AC ＝(0,2a,2a)，BG ＝(a ，－a ，0)，BC ＝(0,0,2a)，设平面AGC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1,1)， 由110{AG n AC n ⋅=⋅=⇒⇒111{1x y ==-⇒n 1＝(1，－1,1)．sinθ＝11BG n BG n ⋅⋅＝23a ⨯6. 4．A解析：A 【分析】根据题意可知，G 作SE 的垂线l ，显然l 垂直平面SAB ，故直线SG 与平面SAB 所成的角为β＝∠GSE ，同理，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ＝∠FSG ，利用三角函数结合几何性质，得出结论.因为AB ⊥BC ，SA ＝SB ＝SC ，所以AB ⊥SE ，所以AB ⊥平面SGE ，AB ⊥SG ， 又SG ⊥AC ，所以SG ⊥平面ABC ， 过G 作SE 的垂线l ，显然l 垂直平面SAB ， 故直线SG 与平面SAB 所成的角为β＝∠GSE ，同理，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ＝∠FSG ，由tanγ＝tan FG EGSG SGβ>=，得γ＞β，γ也是直线SF 与平面SEG 所成的角， 由cosα＝cosβ•cosγ＜cosγ，则α＞γ，所以α＞γ＞β， 故选：A .【点睛】本题考查了异面直线夹角，线面夹角，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.5．A解析：A 【分析】根据空间向量的线性运算，得出AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝，结合题意，即可求出11,2y z ==，从而得出x y z ++的值. 【详解】解：由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝， 由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→''=++， 则1,1,21x y z ===，所以11,2y z ==， 151122x y z ∴++=++=.【点睛】本题考查空间向量的基本定理的应用，以及空间向量的线性运算，属于基础题.6．A解析：A 【分析】以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，分别求出直线的方向向量以及平面的法向量，通过向量法即可求得各个角度的余弦值，再结合余弦函数的单调性即可判断. 【详解】由题可知，直三棱柱111ABC A B C -的底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点， 设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,2)A ，1(3,1,2)B ，(0,2,0)C ，33,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,0,0)A ， (0,2,0)AC =，131,22B D ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，11(3,1,0)A B =，因为直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，10,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，111||cos ||||25θ⋅∴==⋅B D AC B D AC ，因为直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，20,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 平面111A B C 的法向量()0,0,1n =，121||sin ||5∣θ⋅∴==⋅B D n B D n ，222cos 155θ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，设平面11A B D 的法向量(,,)m a b c =，则11130312022m A Ba b m B D a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩， 取3a =，得33,3,2m ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 因为二面角111C A B D --的平面角为3θ， 由图可知，其为锐角，33||2cos ||575749m n m n θ⋅∴===⋅∣，231cos cos cos θθθ>>， 由于cos y θ=在区间(0,)π上单调递减，故231θθθ<<， 则2123,θθθθ<<. 故选：A . 【点睛】本题考查利用向量法研究空间中的线面角以及二面角，属综合基础题.7．A解析：A 【分析】建立空间坐标系，计算1AA 坐标，计算平面11AB C 的法向量，运用空间向量数量积公式，计算夹角即可． 【详解】取AB 的中点D ，连接CD ，以AD 为x 轴，以CD 为y 轴，以1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，可得()1,0,0A ，()11,0,3A ，故()()()11,0,31,0,00,0,3AA =-=，而()()111,0,3,0,3,3B C -，设平面11AB C 的法向量为()=,,m a b c ，根据110,0m AB m AC ⋅=⋅=，解得()3,3,2m =-，111 1,?2|?|m AA cos m AA m AA ==.故1AA 与平面11AB C 所成角的大小为030，故选A ． 【点睛】考查了空间向量数量积坐标运算，关键构造空间直角坐标系，难度偏难．8．C解析：C 【分析】以A 为坐标原点建立空间坐标系，进而求得PB 和平面PCD 的法向量，再由向量的数量积即可求得PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 【详解】依题意，以A 为坐标原点,分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，2,3,2AB BC AD PA ====,则()()()()0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,3,0P B C D , 从而()()()2,0,2,2,2,2,0,3,2PB PC PD =-=-=- 设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =,00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即2220320a b c b c +-=⎧⎨-=⎩，不妨取3c =c=3,则1,2a b ==,所以平面PCD 的一个法向量为()1,2,3n =， 所以PB 与平面PCD 所成角的正弦值 ()22222267sin cos ,22123PB n θ-===+-++， 故选C.【点睛】本题主要考查了线面所成的角, 其中求解平面的法向量是解题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.9．B解析：B 【分析】利用平面向量的数量积公式先求解a b ⋅，再计算a 与b ，根据数量积夹角公式，即可求解. 【详解】由题意得：()()12122a b e e e e ⋅=+⋅-221122132111222e e e e =-⋅-=-⨯⨯-=-，2222121122()21a e e e e e e a ==+=++==⋅2222112122(2)4?41b b e e e e e e ==-=+-=-=设,a b 夹角为312,cos ,018032a b a bθθθ-⋅===-︒≤≤︒⋅，∴120θ=.故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的夹角问题，难度一般，准确运用向量的数量积公式即可.10．B解析：B 【分析】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，利用空间向量的加法运算得到11BD BA BB BC =++，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，由()()2211BD BA BB BC =++222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅求解.【详解】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，因为各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，所以111111cos120,11cos6022BA BB BA BC BC BB ⋅=⋅=⨯⨯=-⋅=⨯⨯=， 所以11BD BA BB BC =++， 所以()()2211BD BA BB BC =++，222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅，113+22+2222⎛⎫=⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以12BD =，故选：B 【点睛】本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．A解析：A 【分析】求得EF 长度的两个临界位置的长度，由此求得EF 的取值范围. 【详解】由于ADE ∆与BCF ∆都是等边三角形，且边长为23，故高为3.当E AD B --和F BC A --趋向于0时，8332EF →--=，如下图所示.当E AD B --和F BC A --趋向于π时，83314EF →++=，如下图所示.所以EF 的取值范围是()2,14. 故选：A 【点睛】本小题主要考查空间线段长度范围的判断，考查空间想象能力，属于基础题.12．A解析：A 【分析】过E 作EH BD ⊥，交BD 于H 点，设二面角A BD C --的大小为α，设BE 与CF 的夹角为θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，由向量数量积的运算律得出CF BE CF HE ⋅=⋅，由题意可得出12HE BE =，利用数量积的定义可求出cos ,CF BE <>的值，即可求出cos θ的值，进而利用同角三角函数的平方关系可求出sin θ的值. 【详解】如下图所示，过E 作EH BD ⊥，交BD 于H 点，设BE 与CF 的夹角为θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦， 记二面角A BD C --的大小为α，()CF BE CF BH HE CF HE ⋅=⋅+=⋅， 即()cos CF BE CF HE πα⋅=⋅-，即11cos ,23CF BE CF BE CF BE ⎛⎫⋅<>=⋅⋅- ⎪⎝⎭， 1cos ,6CF BE ∴<>=-，所以1cos 6θ=，即35sin 6θ=，故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，同时也考查了二面角的定义，涉及利用空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.13．C解析：C 【分析】利用向量的基本概念逐一进行判断，即可得出结论． 【详解】解：①a =21e +32e ，1b ke =-42e ，且a b ⊥，2212121122(23)(4)2()(38)12()2120a b e e ke e k e k e e e k ∴=+-=+--=-=，解得6k =，所以①正确．②()()OA OB CA CB OA CA OA CB OB CA OB CB ++=+++11cos6011cos9011cos9011cos60001=⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒++=，所以②正确．③(1,1,3)AC =，(1,2,0)AB =-，向量AC 在AB 上正投影1||(1)20AC AB AB ⨯===-++③正确． ④假设向量a ，b ，c 共面，则a xb yc =+， 所以123123122(32)(37)e e e x e e e y e e -+=-+++-+， 1231232(3)(37)2e e e x y e x y e xe -+=--+++，所以13x y =--，237x y -=+，12x =， 得12x =，12y ， 所以向量a ，b ，c 共面，所以④不正确． 即正确的有3个， 故选：C ． 【点睛】本题考查向量的基本概念，向量垂直，共面，正投影等，属于中档题．二、填空题14．【分析】结合由数量积定义计算【详解】正四面体中点EF 分别是BCAD 的中点连接则而所以平面又平面所以即所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积运算解题时选择用向量的加减数乘运算表示出要计解析：24a【分析】AE AB BE =+，结合AD BC ⊥，由数量积定义计算． 【详解】正四面体ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接,AE DE ，则,BC AE BC DE ⊥⊥，而AEDE E =，所以BC ⊥平面ADE ，又AD ⊂平面ADE ，所以AD BC ⊥，即AF BE ⊥，所以21()cos 6024a AE AF AB BE AF AB AF BE AF a a ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯︒=．故答案为：24a．【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积运算，解题时选择用向量的加减数乘运算表示出要计算的向量，然后由数量积定义计算，是基本方法，实质上也可以应用空间向量基本定理表示向量，把向量的运算转化为空间向量的基底进行运算．15．②④【分析】由题意知abAC三条直线两两相互垂直构建如图所示的长方体|AC|＝1|AB|=2斜边AB以直线AC为旋转轴则A点保持不变B点的运动轨迹是以C为圆心为半径的圆以C坐标原点以CD为x轴CB为解析：②④【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的长方体，|AC|＝1，|AB|=2，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，3为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出结果．【详解】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示的长方体高为13故|AC |＝1，|AB |=2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D，0，0），A （0，0，1），直线a 的方向单位向量a =（0，1，0），|a |＝1， 直线b 的方向单位向量b =（1，0，0），|b |＝1，设B 点在运动过程中的坐标中的坐标B ′θθ，0），其中θ为B ′C 与CD 的夹角，[02θπ∈，），∴AB ′在运动过程中的向量，'AB =θθ，﹣1），|'AB |=2， 设'AB 与a 所成夹角为α∈[0，2π]， 则)(10cos 23，，θα-⋅=='⋅sin a AB |sin θ|∈[0， ∴α∈[6π，2π]，∴③错误，④正确． 设'AB 与b 所成夹角为β∈[0，2π]， ()(1100c 323os ，-，，，θθβ-⋅'⋅===''⋅⋅cos sin AB b AB bb AB |cos θ|， 当'AB 与a 夹角为60°时，即α3π=，|sin θ|3πα===， ∵cos 2θ+sin 2θ＝1，∴cos β=|cos θ|=，∵β∈[0，2π]，∴4πβ=，此时'AB 与b 的夹角为45°，∴②正确，①错误． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及空间向量的知识点，属于中档题．16．①③④【分析】由三垂直可采用以为轴建立空间直角坐标系①中通过异面直线的夹角公式和不等式性质即可判断正确；②中结合向量数量积公式可判断错误；③采用补形法将四棱锥还原为长方体再结合等体积法即可求解三棱锥解析：①③④ 【分析】由,,AB AD AP 三垂直，可采用以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，①中通过异面直线的夹角公式和不等式性质即可判断正确；②中结合向量数量积公式可判断错误；③采用补形法将四棱锥还原为长方体，再结合等体积法即可求解三棱锥E BCO -的体积为定值；④中将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ，结合两点间直线最短即可判断正确 【详解】如图所示：以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,1)P ，()1,0,0B ，(1,2,0)C ，设(0,,0)E y ，[]0,2y ∈，则(1,0,1)BP =-，(1,2,0)CE y =--， 2||2cos ,2||||21(2)BP CE BP CE BP CE y ⋅〈〉==≤⋅⋅+-，当2y =时等号成立， 此时,4BP CE π〈〉=，故直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45︒，①正确；(1,,0)(1,2,1)21BE PC y y ⋅=-⋅-=-，当12y =时，BE PC ⊥，②错误； 将四棱锥放入对应的长方体中，则球心为体对角线交点， 1111112323226BCE E BCO O BCE AP V V S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，③正确；如图所示：将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ， 则22''2222CE PE C E PE PC +=+≥=+=，当'PEC 共线时等号成立，④正确.故答案为：①③④.【点睛】本题考查向量法在立体几何中的实际应用，合理建系，学会将所求问题有效转化是解决问题的关键，如本题求线线角的最小值转化为求线线夹角的余弦值，求两直线垂直转化为数量积为0，求三棱锥体积的补形法和等体积法，利用旋转将异面直线的距离转化为共面直线的距离，属于中档题17．【分析】根据两向量的夹角余弦公式即可求出两向量的夹角【详解】解：10向量与的夹角为故答案为：【点睛】本题考查空间两向量的夹角大小的应用问题是基础题目 解析：3π【分析】根据两向量的夹角余弦公式，即可求出两向量的夹角． 【详解】 解：(0a =，1，1)，(1b =，0，1)，∴·1a b =，||2a =，||2b =，cos a ∴<，12||||2a b b a b >===⨯⨯，向量a 与b 的夹角为3π． 故答案为：3π. 【点睛】本题考查空间两向量的夹角大小的应用问题，是基础题目．18．【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题然后利用向量的数量积坐标运算计算的值即可【详解】又即解得故答案为【点睛】本题主要考查空间向量的应用向量垂直的充分必要条件等知识意在考 解析：3±【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题，然后利用向量的数量积坐标运算计算λ的值即可. 【详解】()()()2,1,1,3,4,,2,7,1A B C λ-， ∴AB ()1,3,1,λ=+CB ()1,3,1λ=--，又,AB CB ⊥0AB CB ∴⋅=，即()()()1133110λλ⨯+⨯-++-=，解得3λ=±， 故答案为3±. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【分析】设0则由知所以由此能求出其最小值【详解】设001-即（当时取最小值）故答案为：【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法要根据已知【分析】设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)，则(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →=-，由20AD BC x y →→=--=，知2x y =+．所以||CD →【详解】设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)，(1A -，0，2)，(0B ，1，-1)，∴(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →=-， AD BC ⊥，∴20AD BC x y →→=--=，即2x y =+．(,,0)CD x y →=-，∴||CD →=2．（当1y =-时取最小值）【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 20．【分析】建立空间直角坐标系利用三点共线设出点P(λλ2﹣λ)0≤λ≤2以及Q(02μ)0≤μ≤2根据两点间的距离公式以及配方法即可求解【详解】建立如图所示空间直角坐标系设P(λλ2﹣λ)Q(02μ)【分析】建立空间直角坐标系，利用,,A B P 三点共线设出点P (λ，λ，2﹣λ)，0≤λ≤2，以及Q (0，2，μ)，0≤μ≤2，根据两点间的距离公式，以及配方法，即可求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设P (λ，λ，2﹣λ)，Q (0，2，μ)(0≤λ≤2且0≤μ≤2)，可得PQ =∵2(λ﹣1)2≥0，(2﹣λ﹣μ)2≥0，∴2(λ﹣1)2+(2﹣λ﹣μ)2+2≥2，当且仅当λ﹣1=2﹣λ﹣μ=0时，等号成立，此时λ=μ=1，∴当且仅当P ､Q 分别为AB ､CD 的中点时，PQ .故答案为.【点睛】本题考查空间向量法求两点间的距离，将动点用坐标表示是解题的关键，考查配方法求最值，属于中档题.21．【解析】分析：以D 为原点建立空间直角坐标系设再求出平面和平面的法向量利用法向量所成的角表示出二面角的平面角解方程即可得出答案详解：以D 为原点以为轴的正方向建立空间直角坐标系设平面的法向量为由题可知平 解析：23【解析】分析：以D 为原点，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，再求出平面AECD 和平面1D EC 的法向量，利用法向量所成的角表示出二面角的平面角，解方程即可得出答案. 详解：以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，平面1D EC 的法向量为(,,)m x y z =由题可知，1(0,0,1)D ，(0,2,0)C ，(1,,0)E λ，1(0,2,1)DC =-，(1,2,0)CE λ=- 平面AECD 的一个法向量为z 轴，∴可取平面AECD 的法向量为(0,0,1)n = (,,)m x y z =为平面1D EC 的法向量，∴120(2)0m D C y z m CE x y λ⎧⋅=-=⎨⋅=+-=⎩ 令1y =，则(2,1,2)m λ=- 二面角1D EC D --的大小为4π ∴cos 4m n m n π⋅=⋅，即 2222(2)12λ=-++ 解得 23λ=23λ=+ ∴23AE =-故答案为23点睛：空间向量法求二面角（1）如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=(或12,n n π-)．22．【解析】由题意连接则故答案为 解析：1131234AB AC AD --+ 【解析】 由题意，连接AE ，则32 43GE AE AG AB BD AM =-=+- 321432AB AD AB AB AC =+--⨯+（）（）． 1131234AB AC AD =--+ . 故答案为1131234AB AC AD --+. 23．【分析】利用向量的加法公式得出再由得出的值即可得出的和【详解】即故答案为：【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量属于中档题解析：78【分析】 利用向量的加法公式得出111222MN OA OB OC =-++，再由1324OG OM MG OA MN =+=+，得出,,x y z 的值，即可得出,,x y z 的和.【详解】MN MA AB BN =++11111()22222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++ 13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭813388OA OB OC =++ 133,,888x y z ∴=== 即78x y z ++=故答案为：78【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量，属于中档题. 24．【分析】根据向量的线性运算得出根据向量的数量积运算即可求出结果【详解】解：由题可知所以得故答案为：【点睛】本题考查向量的运算涉及到线性运算和向量的数量积同时考查学生的化归和转化思想【分析】 根据向量的线性运算，得出112AE AB BC CC =++，根据向量的数量积运算，即可求出结果.【详解】 解：由题可知，112AE AB BC CC =++， 所以2211()2AE AB BC CC =++ 222111124AB BC CC AB BC AB CC BC CC =+++⋅+⋅+⋅ 22211112cos60cos60cos604AB BC CC AB BC AB CC BC CC =+++⋅+⋅+⋅ 11111711242224=+++⨯++= 得17AE =.. 【点睛】 本题考查向量的运算，涉及到线性运算和向量的数量积，同时考查学生的化归和转化思想. 25．-1【解析】【分析】由直线的一个方向向量为平面的一个法向量为得到由此能求出的值【详解】∵直线的一个方向向量为平面的一个法向量为∴解得故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法考查直线的方向向量平面的法向 解析：-1【解析】【分析】由直线l 的一个方向向量为m ，平面α的一个法向量为n ，//l α，得到 0m n ⋅=，由此能求出t 的值．【详解】∵直线l 的一个方向向量为()2,8,1m =--，平面α的一个法向量为1,,22n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，//l α，∴2420m n t ⋅=--+=，解得1t =-，故答案为：1-．【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．26．（﹣∞4）【分析】由题意利用两个向量的夹角的定义两个向量共线的性质求得实数的取值范围【详解】解：向量若与的夹角为锐角且与不共线即且不成立解得则实数的取值范为故答案为：【点睛】本题主要考查两个向量的夹 解析：（﹣∞，4）【分析】由题意利用两个向量的夹角的定义，两个向量共线的性质，求得实数t 的取值范围．【详解】 解：向量(4a =，5-，12)，(3b =，t ，2)3，若a 与b 的夹角为锐角， ∴·0a b >，且a 与b 不共线， 即24351203t ⨯-+⨯>，且2334512t ==- 不成立，解得4t <， 则实数t 的取值范为(,4)-∞，故答案为：(,4)-∞．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题．。

人教A版高中数学选修一第一章《空间向量与立体几何》提高训练题 (11)(含答案解析)

人教A版高中数学选修一第一章《空间向量与立体几何》提高训练题 (11)(含答案解析)

选修一第一章《空间向量与立体几何》提高训练题 (11)一、单选题1．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，090BAC BCD ∠=∠=，AB AC =，112CD BC ==，点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AD 成30°的角，则线段PA 长的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．(]0,1D ．⎛ ⎝⎦2．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB CD O =，且AB CD ⊥，3SO OB ==，14SE SB =，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A B C ．1316D二、多选题3．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AD AA ===，1160A AB DAB A AD ∠=∠=∠=︒，则下列说法正确的是（ ） A ．线段1AC 的长度为B ．异面直线11BD B C ，夹角的余弦值为13C ．对角面11BBD D 的面积为D．平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，下列说法正确的是（ ） A ．平面1PAC ⊥平面11AB D B ．//DP 平面11AB DC ．异面直线DP 与1AD 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤⎥⎦⎝D ．三棱锥11D APB -的体积不变5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 运动，则（ ）A ．三棱锥11P AC D -的体积为定值B ．异面直线AP 与1A D 所成的角的取值范围为45,90⎡⎤⎣⎦C ．直线1C P 与平面11ACD D ．过P 作直线1//l AD ，则l DP ⊥6．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别为BC ，CD ，BE 的中点，沿AE ､AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使得B ､C ､D 三点重合于S ，得到四面体S AEF -(如图2).下列结论正确的是（ ）A ．四面体S AEF -B ．顶点S 在面AEF 上的射影为AEF 的重心C ．SA 与面AEFD ．过点G 的平面截四面体S AEF -的外接球所得截面圆的面积的取值范围是13π,π42⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、双空题7．边长为2的正方体1111ABCD A B C D -内（包含表面和棱上）有一点P ，M 、N 分别为11A B 、1DD 中点，且AP AM AN λμ=+（λ，R μ∈）． （1）若111D P tDC =（t R ∈），则t =______． （2）若11A P k AC =（k ∈R ），则三棱锥11A PD C -体积为______．四、填空题8．如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为4，底面边长为D 是11B C 的中点，P 是线段1A D 上的动点，过BC 作截面α，使得AP α⊥且垂足为E ，则三棱锥P BCE -体积的最小值为__________．9．如图所示，在三棱柱中，已知ABCD 是边长为1的正方形，四边形AA B B ''是矩形，平面AA B B ''⊥平面ABCD .若1AA '=，则直线AB 到面DA C '的距离为___________.10．设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA ⊥平面ABCD ，3AB =，4BC =，1PA =，则点P 到直线BD 的距离为___________.11．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，12CA CB CC ===，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，则BM 与AN 所成的角的余弦值为___________.12．已知正四面体A BCD -的外接球半径为3，MN 为其外接球的一条直径，P 为正四面体A BCD -表面上任意一点，则PM PN ⋅的最小值为___________．五、解答题13．如图，正方形ABCD 所在平面与等边ABE △所在平面互相垂直，设平面ABE 与平面CDE 相交于直线l .（1）求l 与AC 所成角的大小； （2）求二面角A CE D --的余弦值.14．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，24AB AD CD ===，平面PBC ⊥平面ABCD ，E 是PB 的中点，且12CE PB =.（1）求证：PC ⊥平面ABCD ；（2）若直线PA 与平面ABCD P AC E --的余弦值. 15．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（1）证明：AE PB ⊥；（2）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的正弦值.16．如图，正三棱锥P ABC -中，PA 与底面ABC ．（1）证明：PA ⊥面PBC ；（2）设O 为ABC 的中心，延长AO 到点E 使得3AE AO =，求二面角A PC E --的平面角的大小． 17．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2DC ＝2P A ＝2，对角线AC 与BD 交于O 点，连接PO .（1）求证：AC ⊥PB ；（2）过B 点作一直线l 平行于PC ，设Q 为直线l 上除B 外的任意点，设直线PQ 与平面P AC 所成角为θ，求sin θ的取值范围.18．如图，在七面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，其中60BAD ∠=，,,BCE CEF CDF 为等边三角形，且AB BE ⊥，G 为CD 的中点.（1）证明：AB ⊥平面EFG ；（2）求平面CDF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.19．如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD ，1AB AA =证明：1AC ⊥平面11BB D D .20．如图是矩形ABCD 和边AB 为直径的半圆组成的平面图形，将此图形沿AB 折叠，使平面ABCD 垂直于半圆所在的平面，若点E 是折后图形中半圆O 上异于,A B 的点．（1）证明：EA EC ⊥；（2）若22AB AD ==，且异面直线AE 和DC 所成的角为6π，求平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值．21．如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1的长度为2，且⊥A 1AB =⊥A 1AD =120°.求：（1）AC 1的长；（2）直线BD 1与AC 所成角的余弦值.22．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒，E 是AD 的中点．（1）求证：BE ⊥平面PAD ；（2）求平面PAB 与平面PBC 所成角的余弦值．23．如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB ⊥AD ，CD =PD =P A =AD =12AB =2.（1）求证：平面PBC ⊥平面P AB ； （2）求二面角D —PC —B 的正弦值.24．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，AB CD =，E 为棱PB上一点，AC 与BD 交于点O ，且AC BD ⊥，1AD =，3BC PC PB ===，PO =．（1）证明：AC DE ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角B DC E --？若存在，求出E 点位置，若不存在，请说明理由．25．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//PD QA ，M 为PC 中点，222PD QA AB ===.（1）证明：//QM 平面ABCD ； （2）求二面角Q BP A --的余弦值.26．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P ABCD -，其中AC BD ⊥于O ，4OA OB OD ===，8OC =，PO ⊥平面ABCD ．（1）求证：PD AC ⊥；（2）试验表明，当12PO OA =时，风筝表现最好，求此时直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．27．如图，在正方体''''ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，（1）过D B E ''､､三点作正方体的截面α； （2）半平面B BE '与平面α所成的二面角的大小；28．如图⊥所示，在边长为12的正方形'11'AA A A 中，点B ，C 在线段'AA 上，且3AB =，4BC =．作11//BB AA ．分别交'11A A ，'1AA 于点1B ，P ；作11//CC AA ，分别交'11A A ，'1AA 于点1C ，Q ．现将该正方形沿1BB ，1CC 折叠，使得'1'A A 与1AA 重合，构成如图⊥所示的三棱柱111ABC A B C -．（1）在三棱柱111ABC A B C -中，求证：⊥AP BC ； （2）求平面PAQ 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．29．如图，在三棱锥P ABC -，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为棱AC 的中点,M 为棱DP 的中点，N 为棱PC 上靠近点C 的三等分点，2PA PC AB BC ====，AB BC ⊥.（1）若点H 在线段BD 的延长线上，且DB DH =，问：在棱AP 上是否存在点E ，使得HE 与BN 垂直？请说明理由；（2）求平面BMN 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.30．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是PC ，PD 上的动点，且PE FD PF EC ⋅=⋅．（1）求证：EF ⊥平面PAD ；（2）若13PE PC =，且PC 与底面ABCD 所成角的正弦值为35，求二面角C AE D --的余弦值． 31．如图，菱形ABCD 与正三角形DEF 所在平面互相垂直，60BCD ∠=︒，E ，G 分别是线段AB ，CF 的中点．（1）求证：//BG 平面DEF ；（2）求直线BC 与平面DEG 所成角的正弦值．32．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，A ，D ，B 分别在x ，y ，z 轴的正半轴上，C 在平面BOD 内.（1）若OE CD ⊥，证明：CD AE ⊥.（2）已知3OA OD ==，2OB =，C 的坐标为()0,2,4，求BC 与平面ACD 所成角的正弦值. 33．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，PD 的中点为F .（1）求证：//PB 平面ACF .（2）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.⊥四棱锥P ABCD -，⊥FC 与平面ABCD 所成的角为6π，⊥BD =若___________，求二面角F AC D --的余弦值.34．某直四棱柱被平面AEFG 所截几何体如图所示，底面ABCD 为菱形，（1）若⊥BG GF ，求证：BG ⊥平面ACE ；（2）若1BE =，2AB =，60DAB ∠=︒，直线AF 与底面ABCD 所成角为30º，求直线GF 与平面ABF 所成角的正弦值.35．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，//AB CD ，3PD BC CD ===，4AB =．过点D 做四棱锥P ABCD -的截面DEFG ，分别交PA ，PB ，PC 于点E ，F ，G ，已知14AE AP =，13CG CP =．(1) 求直线CP 与平面DEFG 所成的角；(2) 求证：F 为线段PB 的中点．36．如图1所示，在菱形ABCD 中，AB AC ==AC 与BD 相交于点O ，现沿着对角线AC 折成一个四面体ABCD ，如图2所示．（1）在图2中，证明：AC BD ⊥；（2）若图2中BD =点P 是线段BD 的三等分点（靠近点D ），求二面角P AC D --的余弦值． 37．已知四棱锥E ABCD -中，三角形ADE 所在平面与正三角形ABE 所在平面垂直，四边形ABCD是菱形，2,AE BD ==（1）求证：平面ABCD ⊥平面ACE ；（2）求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值.38．已知P A 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，2PA AB ==．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）当12AC CB =时，求二面角C PB A --的余弦值．39．如图，在三棱柱111ABCA B C ﹣中，1BCC 为正三角形，AC BC ⊥，12AC AA ==，1AC =点P 为1BB 的中点．（1）证明：1CC ⊥平面11AC P ；（2）求平面1ABC 与平面11AC P 所成锐二面角的余弦值．40．如图，在三棱锥P ABC -中，D ，E ，F 分别为棱,,PC AC AB 的中点．已知PA AC ⊥，6PA =，（1）求证：平面BDE⊥平面ABC；--的平面角的余弦值；（2）求二面角A PC B-分为两个几何体，则他（3）延展平面DEF与棱PB交于H点，则四边形EFHD把三棱锥P ABCV V=_____．（此问仅写结果，不需写出过程）们的体积比:PAEFHD BCEFHD41．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，ABC为正三角形，AB=AA1=2，E是BB1的中点.（1）求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C；（2）求二面角B﹣AC1﹣E的余弦值.-中，平面ABE⊥平面BCDE，四边形BCDE是边长为4的正方形，42．如图，在四棱锥A BCDEM，N分别为AE，AC的中点.MN平面BCDE；（1）求证：//43．如图所示，已知长方形ABCD 中，2AB AD ==M 为DC 的中点，将ADM △沿AM 折起，使得AD BM ⊥．（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）若E 点满足23BE BD =，求二面角E AM D --的大小？ 44．如图，四边形ABEF 为正方形，//AD BC ，AD ⊥DC ，AD =2DC =2BC ，（1）求证：点D 不在平面CEF 内；（2）若平面ABCD ⊥平面ABEF ，求二面角A ﹣CF ﹣D 的余弦值．45．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，E 为棱AB 的中点．（1）证明：AC PE ⊥；（2）若PA AD =，60BAD ∠=︒，求二面角E PC B --的余弦值．46．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值．（III ）求二面角11A AC E --的正弦值．47．如图，在四棱锥РABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，//AD BC ，90ADC ∠=︒，112BC AD ==，CD =Q ，M 分别为AD ，PC 的中点，（1）求证：Q ，P ，C ，B 四点在同一球面上，并说明球心及半径；（2）画出平面PAB 与平面PDC 的交线（不需要写画法）．（3）设平面PAB 与平面PDC 的交线为l ，直线l 与平面ABCD 求平面MQB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小．48．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122,,AC AA AB BC D ===为AC 的中点.（1）证明：1DC ⊥平面1A BD .（2）若1BD =，求二面角11B DB C --的余弦值.49．在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2,3AD QD QA QC ====．（1）证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．50．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形SD ⊥底面,2ABCD DC SD ==，点M 是侧棱SC 的中点，AD =（1）求异面直线CD 与BM 所成角的大小；（2）求二面角S AM B --的正弦值.【答案与解析】1．C【解析】向量法. 以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，根据各点的坐标写出向量(1,1,1)AD =--，点(),0,0Q q ()01q ≤≤，对于点P 的设法，采用向量式AP AB λ=，而后利用异面直线所成的角的向量计算公式列方程求解.如图，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,1,1,0,2,0,1,0,0C A B D ，设(),0,0Q q ()01q ≤≤，设()0,,AP AB λλλ==-()01λ<≤，则()(,0,0)(0,1,1)(0,,)(,1,1)PQ CQ CA AP q q λλλλ=-+=---=---，(1,1,1)AD =--，异面直线PQ 与AD 成30的角，||cos30||||PQ AD PQ AD q ⋅∴===⋅ 22182516q q λ∴+=-+，201,516[0,11]q q q ≤≤∴-+∈，即22182018211λλ⎧+≥⎨+≤⎩，解得λ≤≤01,0λλ<≤∴<≤可得||||2(0,1]PA AP λ==∈.故选：C.2．D【解析】以,,OD OB OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值．由题意以,,OD OB OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，(0,3,0)A -，(0,3,0)B ，(3,0,0)C -，(0,0,3)S ， 又14SE SB =， 1139(0,0,3)(0,3,3)(0,,)4444OE OS SE OS SB =+=+=+-=． (3,0,3)SC =--，则274cos ,3OE SCOE SC OE SC -⋅<>===， 设异面直线SC 与OE 所成角为θ，则3cos cos ,10OE SC θ=<>=，θ为锐角，sin θ=sin tan cos θαθ== 故选：D ．3．AD【解析】设1,,AB a AD b AA c ===，求得2222,4a b a b c ⋅====，根据1AC a b c =++，求得1AC 的值，可判定A 正确；由110BD BC ⋅=，可判定B 错误；由ABD △为正三角形，根据10DD DB ⋅=，得到对角面11BDD B 为矩形，可判定C 错误；由16A ABD V V -=，可判定D 正确.设1,,AB a AD b AA c ===，则22222cos 602,4a c b c a b a b c ⋅=⋅=⋅=⨯====， 对于A 中，因为1AC a b c =++，可得2221=22224AC a b c a b c a b a c b c =+++++⋅+⋅+⋅== 所以A 正确；对于B 中，因为2211()()0BD B C b c a b c c b a c a b ⋅=+-⋅-=-++⋅-⋅=， 可得异面直线1BD 与1B C 夹角的余弦值为0，所以B 错误；对于C 中，因为2,60AB AD DAB ==∠=，所以ABD △为正三角形，可得2BD =， 因为1()0DD DB c a b c a c b ⋅=⋅-=⋅-⋅=，所以1DD BD ⊥，所以对角面11BDD B 为矩形，其面积为22=4⨯≠C 错误； 对于D 中，设AC 与BD 交于点O ，连接1OA ，取1AA 的中点M ，连接OM ，可得11116622232A ABD AA OV V SBD -==⨯⋅=⨯⨯=，所以D 正确. 故选：AD.4．ABD 【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，则()1,0,0A ，()11,1,1B ，()10,0,1D ，()0,1,0C ，()11,0,1A ，()0,0,0D ，因为点P 在线段1BC 上运动，设(),1,1P t t -，[]0,1t ∈，则(),1,1DP t t =-， 所以()10,1,1AB =，()11,0,1AD =-，()11,1,1CA =-，所以()110111110AB CA ⋅=⨯+⨯-+⨯=，()()110111110AD CA ⋅=⨯-+⨯-+⨯=，所以11AB CA ⊥，11AD CA ⊥，因为11AB AD A ⋂=，11,AB AD ⊂平面11AB D ，所以1A C ⊥平面11AB D ，因为1AC ⊂平面1PA C ，所以平面1PAC ⊥平面11AB D ，故A 正确；显然()11,1,1CA =-可以作为平面11AB D 的法向量，因为()1111110CA DP t t ⋅=⨯-⨯+⨯-=，所以1CA DP ⊥，因为DP ⊄平面11AB D ，所以//DP 平面11AB D ，故B 正确；因为11//AB D C 且11=AB D C ，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，所以直线DP 与1BC 所成角即为异面直线DP 与1AD 所成角，显然当P 在1BC 的两端点时所成的角为3π，当P 在1BC 的中点时所成的角为2π，故异面直线DP 与1AD 所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误； 因为11//AD BC ，1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，所以1//B C 平面11AB D ，所以1B C 到平面11AB D 距离即为P 到平面11AB D 的距离，故P 到平面11AB D 的距离为一定值，设P 到平面11AB D 的距离为h ， 则11111113D APB P D AB D AB V V Sh --==⋅为定值，故D 正确；故选：ABD5．ACD 【解析】对三棱锥11P AC D -转化顶点可判定选项A ，找到异面成角的最小值的情况即可判断选项B,转化直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,进而判断选项C ，利用线面垂直的性质判定可判定选项D. 如图，对于选项A ，1111P A C D C A PD V V --=,因为点P 在线段1B C 上运动,所以1112A DP S A D AB =⋅,面积为定值,且1C 到平面11A PD 的距离即为1C 到平面11A B CD 的距离,也为定值,故体积为定值,故A 正确； 对于选项B ，当点P 与线段1B C 的端点重合时,AP 与1A D 所成角取得最小值为60︒, 故B 错误； 对于选项C ，因为直线1BD ⊥平面11AC D ,所以若直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值最大,则直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,则P 运动到1B C 中点处,即所成角为11C BD ∠,设棱长为1,在11Rt D C B 中,1111cos C B C BD BD ∠===,故C 正确; 对于选项D ，连接1B D ,由正方体可得11BC B C ⊥,且DC ⊥平面11B C CB ,则1DC BC ⊥,所以1BC ⊥平面1CDB ,故1BC DP ⊥，过P 作直线1//l AD ，则1//l BC ,所以l DP ⊥；故D 正确.故选：ACD 6．ACD 【解析】折叠问题，关键是抓住其中的不变量.选项A ：说明SA ､SE ､SF 两两垂直，将四面体的外接球问题，转化为长方体的外接球问题； 选项B ：由于SA ､SE ､SF 两两垂直，可证S 在面AEF 上的射影为AEF 的垂心； 选项C ：线面角的定义法求解；选项D ：将四面体补成长方体，找出球心，将问题转化为过一定点作球的截面求截面圆面积最值问题.对于A 项，易知SA ､SE ､SF两两垂直，故可以补成长方体，其体对角线长l ，外接球半径R =，故外接球体积为34π3V ==⎝⎭， 故A 项正确；对于B 项，由于SA ､SE ､SF 两两垂直，故S 在面AEF 上的射影为AEF 的垂心， 理由如下:如图，过点S 作SO ⊥平面AEF ，交平面AEF 于点O ， 因为SO ⊥平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以SO EF ⊥，又因为SA SE ⊥，SA SF ⊥，SE ，SF 都在平面SEF 内，且相交于点S ， 所以SA ⊥平面SEF ，又EF ⊂平面SEF ，所以SA EF ⊥，又SO SA A =，所以EF ⊥平面SAO ，又AO ⊂平面SAO ，所以AO ⊥EF . 同理可证EO AF ⊥，FO AE ⊥，所以S 在面AEF 上的射影为AEF 的垂心.故B 项错误；对于C 项，设M 为EF 中点，则EF SM ⊥，AM EF ⊥，SM AM M ⋂=，故EF ⊥平面SAM ，故平面AEF ⊥平面SAM ，所以SA 在平面AEF 上的射影为AM ，SA 与平面AEF 所成角为SAM ∠，2SA =，2SM =，π2ASM ∠=，tan SAM ∠=故C 项正确；对于D 项，设O 为四面体S AEF -的外接球球心，OM ⊥平面SEF ，连接MG ，OG ，当过点G 的截面经过球心O 时截面圆面积最大，面积为3π2；当OG 垂直截面圆时，截面圆面积最小，此时1122GM SF ==，1OM =，OG ==12r ===，截面圆面积为π4， 得截面圆面积取值范围是13π,π42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故D 项正确. 故选：ACD.方法点睛：求解几何体的外接球问题或空间角问题一般从以下角度出发：(1) 外接球问题，关键是找出球心，规则图形的球心在对称中心；不规则图形，能补成规则图形最好，若不能，则利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，可做出球心，再利用几何知识求解. (2) 空间角的处理一般是建系，用向量法求解；若图形中垂直关系明显，空间角容易找出，也可用空间角的定义求解. 7．14 47【解析】（1）以AB ，AD ，1AA 为基底，把向量1D P ，11DC 分别用基底表示，利用两个向量相等的条件即可算出；（2）由11A P k AC =得，1A ，P ，C 三点共线，利用（1）把k 求出来，再利用等体积法1111A PD C P AD C V V --=算出P 到面11AD C 的距离，三角形11AD C 的面积，即可算出体积. 如图，（1）111()D P D A AP AM A DD AN D λμ=+=-+++111()()AA AD AA AM AD DN λμ++-+=-+ 11111()()22AA AA AB AD AD AA λμ=-+-+++ 1111112(()1)2A AB u u AA tD C t A D B λλ=+-+-=+=, 所以12101102t u u λλ⎧=⎪⎪-=⎨⎪⎪+-=⎩，所以14t =.（2）11111(11(1)1)22A P A D D AB P AD AD u u AA λλ+=+=++-+-111)22(1AD AB u u AA λλ=+++-， 111AC A A AB BC AB AD AA =++=+-， 因为11A P k AC =，所以11111)(22()AD AB AD AA AB u u AA k λλ++-=++-，所以12112k u k u kλλ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪+-=-⎩，所以27k =，如图，连接1A D ，1A C ，分别与1AD ，1AC 交于点E ，O ， 连接EO ，过点P 作1//PG A E ，在正方体1111ABCD A B C D -中，易证1A E ⊥面11AD C ， 所以PG ⊥面11AD C ，因为1112A E A D = 因为1112477A P AC AO ==，所以137OP AO =，所以137PG A E ==1111111222AD C S AD D C =⋅=⋅=△，所以1111111143377A PD C P AD C AD C V V S PG --==⋅⋅=⋅=，故答案为：（1）14；（2）47.8．【解析】由P BCE P ABC E ABC V V V ---=-，可得当E ABC V -最大时，P BCE V -最小，建立空间直角坐标系求E 到底面距离的最大值，则答案可求．解：设BC 中点为O ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OD 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，得(6A ，0，0)，设(E x ，0，)z ，则(6,0,)AE x z =-，(,0,)OE x z =，AP α⊥，∴AE OE ⊥，得2(6)00x x z -++=，则z当3x =时，3max z =， 又1(4)3P BCE P ABC E ABC ABCV V V Sz ---=-=⋅-，∴三棱锥P BCE -体积的最小值为116132V =⨯⨯⨯=故答案为：9【解析】建立空间直角坐标系，设(11,)DA a '=-，，设面DA C '的法向量为1(1)n x y =，，，利用空间向量数量积求得法向量，由直线AB 到面DA C '的距离d 就等于点A 到面DA C '的距离，利用射影的求解公式求解即可得出结论.如图建立空间坐标系A xyz -，设(11,)DA a '=-，，(010)DC =，，，设面DA C '的法向量为1(1)n x y =，，，则有1100DA n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'，得1(01)n a =，，， 直线AB 到面DA C '的距离d 就等于点A 到面DA C '的距离，也等于向量AD 在面DA C '的法向量上的投影的绝对11||22||AD nd n ⋅==. 故答案为：2. 10．135【解析】求出BP 在BD 上的射影长再利用勾股定理可得答案.因为，，⊥⊥⊥BA BC AP BC AP BA ， 所以00=0，，⋅⋅=⋅=BA BC AP BC AP BA ， ()()⋅=+⋅+BP BD BA AP BC BA()229=⋅++⋅+⋅==BA BC BA AP BC AP BA AB ，22225=+=BD BC CD ，22210=+=BP BA AP ，所以5BD =，210=AP ，因为·95=PB BD BD，所以BP 在BD 上的射影长为95， 所以点P 到直线BD 的距离22·13105=-==PB BD d AP BD .故答案为：135. 11【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出异面直线所成的角．如图所示，建立空间直角坐标系，可得(2A，0，0)，(0B ，2，0)，(1M ，1，2)，(1N ，0，2).∴(1AN =-，0，2)，(1BM =，1-，2)，cos AN ∴<，1||||5AN BM BM AN BM ⋅->==⋅12．8- 【解析】设正四面体外接球球心为O ，把,PM PN 用,,PO OM ON 表示并计算数量积后可得． 设正四面体外接球球心为O ， 正四面体A BCD -的外接球半径为3，设正四面体A BCD -内切球半径为r ，一个面的面积为S ，高为h ，则11433ABCD V Sr Sh =⨯=，所以4h r =，显然34r h r +==，所以1r =，即min 1PO =．22()()9198PM PN PO OM PO ON PO OM ON PO ⋅=+⋅+=+⋅=--=-．故答案为：8-． 13．（1）45°；（2）57.【解析】（1）由四边形ABCD 为正方形，可得//AB CD ，再由线面平行的判定定理可得//AB 平面CDE ，由线面平行的性质定理可得//l AB ，由45BAC ∠=︒可得l 与AC 所成角的大小是45︒；（2）分别取AB 、CD 的中点O 、F ，连接EO ，可得OA 、OE 、OF 两两垂直，所以以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OF 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值解：（1）⊥四边形ABCD 为正方形，⊥//AB CD ， ⊥AB ∉平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，⊥//AB 平面CDE ， 又⊥AB平面ABE ，且平面ABE 平面CDE =直线l ，⊥//l AB ，⊥四边形ABCD 为正方形，⊥45BAC ∠=︒， 故l 与AC 所成角的大小是45︒；（2）分别取AB 、CD 的中点O 、F ，连接EO ， 由ABE △为等边三角形，可知EO AB ⊥， 由四边形ABCD 为正方形，知FO AB ⊥，⊥平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD 平面ABE AB =， 且FO ⊂平面ABCD ，⊥FO ⊥平面ABE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OF 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 设2AB =，则()1,0,0A ，()1,0,2C -，()E ，()1,0,2D ， 于是()2,0,2AC =-，()1,2CE =-，()2,0,0CD =， 设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =， 由20220m CE x z m AC x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，可得(3,1,m =；设平面CDE 的一个法向量为()111,,n x y z =，由11112020n CE x z n CD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取12y =，可得(0,2,3n =.⊥025cos ,77m n m n m n⋅+===⨯⋅. 由图可知，二面角A CE D --为锐二面角，则其余弦值为57.14．（1）证明见解析；（2【解析】（1）依题意可得PCB 为直角三角形，即可得到PC BC ⊥，根据面面垂直的性质定理即可证明； （2）由（1）可知PAC ∠即为直线PA 与平面ABCD所成角，即可得到PC PA =求出PC ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值； 解：（1）在PCB 中，因为E 是PB 的中点， 且12CE PB =，所以CE EB PE ==， 所以PCB 为直角三角形，所以PC BC ⊥，又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，PC ⊂平面PBC ， 所以PC ⊥平面ABCD（2）因为PC ⊥平面ABCD ，所以直线PA 与平面ABCD 所成角为PAC ∠，所以sin PC PAC PA ∠==又222AC AD DC =+，4=AD ，2DC =，所以AC =在Rt PAC △中，设PC x =，则PA =，所以222PA PC AC =+，即)(222x =+，解得2x =，即2PC =，作//CF DA 交AB 于点F ，因为AB AD ⊥，所以AB CF ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()4,2,0A ，()4,2,0B -，()002P ,,，()2,1,1E -，()4,2,0CA =，()2,1,1CE =-，()0,0,2CP =，设面PAC 的法向量为(),,n x y z =，所以42020n CA x y n CP z ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1x =，则2y =-，0z =，所以()1,2,0n =-，设面EAC 的法向量为()111,,m x y z =，所以1111142020m CA x y m CE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11x =，则12y =-，14z =-，所以()1,2,4m =--，设二面角P AC E --为θ，显然二面角为锐二面角，所以5cos 5n m n mθ⋅===⨯⋅；15．（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）设AE 的中点为O ，连接OP 、OB ，证明出AE ⊥平面POB ，进而可得出AE PB ⊥； （2）证明出PO ⊥平面ABCE ，然后以O 为原点，OE 为x 轴、OB 为y 轴、OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. （1）设AE 的中点为O ，连接OP 、OB ，翻折前，因为1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 的中点，则1AD DE ==， //AB CE 且1AB CE ==，故四边形ABCE 为平行四边形，则BC AE =，故AD DE AE ==，所以，ADE 为等边三角形， O 为AE 的中点，则OD AE ⊥，因为//AB CD ，则3BAE AED π∠=∠=，翻折后，则有OP AE ⊥，在ABO 中，1AB =，12AO =，3BAO π∠=， 由余弦定理可得22232cos34OB AB AO AB AO π=+-⋅=，222AO OB AB ∴+=， 所以，OB AE ⊥，OP OB O =，AE ∴⊥平面POB ，PB ⊂平面POB ，故AE PB ⊥；（2）在平面POB 内作PQ OB ⊥，垂足为Q ， AE平面POB ，PQ ⊂平面POB ，所以，PQ AE ⊥，PQ OB ⊥，AE OB O =，PQ ∴⊥平面ABCE ，所以，直线PB 与平面ABCE 所成角为4PBO π∠=，因为，OP OB =，则4OPB π∠=，所以，OP OB ⊥，故O 、Q 两点重合，即PO ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴、OB 为y 轴、OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭、C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1,0,2PE ⎛= ⎝⎭，12EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PCE 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102102x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令x =()13,1,1n =-，易知平面PAE 的一个法向量为()20,1,0n =，所以，121212cos ,n n n n n n ⋅<>==-=⋅212122sin ,1cos ,5n n n n <>=-<>=. 因此，二面角A PE C --16．（1）证明见解析；（2）3π4.【解析】（1）取底面中心O ，不妨设2AO =，根据线面角可得AC =PA PB ⊥，根据正棱锥的性质可得PA PC ⊥，进而可得结果；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，易得面PAC 的法向量，求出面PCE 的法向量，求出法向量夹角的余弦值即可得结果.（1）由题意知：取底面中心O ，则有PO ⊥面ABCD ， 所以PAO ∠即为PA 与底面ABC 所成角， 不妨设2AO =，则有PO=PA 在正ABC 中，因为2AO =，所以AC =在PAB △中，因为222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥⊥ 又因为正三棱锥，所以PA PC ⊥⊥所以PA PB PA PCPA PB PC P ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩面PBC ． （2）因为ABC 为等边三角形，取BC 中点D ，则AD BC ⊥， 作//l PO ，则l ⊥面ABC ．以D 为原点，DB ，DE ，l 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则有：()0,0,0D，)B，(0,P -，()0,3,0A -，()C ，()0,1,0O -，所以()30,6,0AE AO ==，所以()0,3,0E ． 因为PB ⊥面PAC，所以(13,1,n =为面PAC 的法向量，设面PCE 的法向量为()2,,n x y z =，所以由(2032,0n PC n n PE ⎧⋅=⇒=-⎨⋅=⎩．所以12121236cos ,2n n n n nn ⋅===⋅，所以二面角的大小为3π4．17．（1）证明见解析；（2）⎛ ⎝⎦.【解析】（1）延长BA 、CD 交于一点R ，根据平面几何知识得CA ⊥BA ，根据线面垂直的判定和性质可得证； （2）由（1）得，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间坐标系，设PQ PB tPC =+，其中,0t t ∈≠R ，根据线面角的向量求解方法表示sin θ=，再由二次函数的性质可求得范围.（1）延长BA 、CD 交于一点R ，因为AD ⊥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2DC ＝2，所以RBC △为正三角形，且AD 为三角形RBC 的中位线，即A 为BR 边的中点，所以CA ⊥BA ，因为P A ⊥底面ABCD ，AC ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AC ， 因为 AB P A ＝A ，所以AC ⊥平面P AB ，PB ⊥平面P AB ， 所以AC ⊥PB ；（2）由（1）得，AP ，AB ，AC 两两垂直，故以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间坐标系，则平面P AC 的法向量为1(1,0,0)n =，P （0，0，1），C （00），B （1，0，0），所以PC ＝（01），PB ＝（1，0，－1），因为l ⊥PC ，所以可设(1,0,1)1),(1))PQ PB tPC t t =+=-+-=-+，其中,0t t ∈≠R ，2||sin ||||1n PQ n PQ θ⋅===⋅因为,0t t ∈≠R ，所以27422,4t t ∞⎡⎫++∈+⎪⎢⎣⎭，所以sin θ⎛=⎝⎦，当且仅当14t =-时，sin θ=18．(1) 证明见解析； (2) 79. 【解析】(1)利用线面垂直的判定证AB ⊥ 平面BEG ，得到AB EG ⊥，再证AB ⊥平面EFG ； (2)几何法求解.先确定二面角的平面角，再利用解三角形知识求角. (1) 连接BG ，FG ，因为G 为菱形ABCD 的边CD 上的中点，所以1122CG CD CB ==，又60BCD BAD ∠=∠=︒，由余弦定理得222232cos604BG CG CB CG CB CB =+-⋅=，由222223144CB CB BG CG CB ++==，知BG CG ⊥，即BG CD ⊥， 又//AB CD ，所以AB BG ⊥ . 根据题意，有AB BE ⊥又BG ，BE 都在平面BGE 内，且相交于点B 所以AB ⊥ 平面BEG又EG ⊂平面BEG ，所以AB EG ⊥.在等边三角形CDF 中，因为G 为CD 的中点，所以CD GF ⊥. 又在菱形ABCD 中，//AB CD ，所以AB GF ⊥. 因为EG ，GF 都在平面EFG 内，且相交于点G ， 所以AB ⊥ 平面EFG .(2) 因为平面 ABCD 与平面CDF 的交线为CD ， 由(1)知，BG CD ⊥，FG CD ⊥，所以BGF ∠为二面角A CD F --的平面角， 设2AB = ，则有2BE EF == ，BG GF = 由(1)知，AB ⊥ 平面BEG ，又AB平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥ 平面BEG ，过点E 作EM BG ⊥交BG 于点M ，则有EM ⊥平面ABCD ，又BEC △ 为等边三角形，所以BM CM =，GM =EM =，EG =.在BEG 和EFG 中，由余弦定理得2221cos 23BG EG BE BGE BG EG +-∠==⋅，2221cos 23EG FG EF EGF EG FG +-∠==⋅，所以BGE EGF ∠=∠则27cos cos 22cos 19BGF BGE BGE ∠=∠=∠-=-，所以平面CDF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为7cos 9BGF ∠= . 立体几何图形证明线面、面面位置关系或求线面、面面角可从以下几点考虑：(1)证明线面、面面位置关系的一般方法是利用相关的判定定理和性质定理，需注意二者的相互转化.若有坐标系也可利用向量法证明.(2)求线面、面面角的一般方法是向量法，若图形容易确定所求角，也可利用几何法，结合解三角形知识求角. 19．证明见解析 【解析】以O 为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得向量坐标，利用空间向量数量积证得1AC BD ⊥，11AC BB ⊥，然后利用线面垂直判定定理证得结论.⊥OA ､OB ､1OA 两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，⊥1AB AA =⊥11OA OB OA ===，⊥(100)A ，，､(010)B ，，､(100)C -，，､(010)D -，，､1(001)A ，，， 由11AB A B =易得1(101)B -，，，⊥1(101)AC =--，，､(020)BD =-，，､1(101)BB =-，，， ⊥10AC BD ⋅=，110AC BB ⋅=，⊥1AC BD ⊥，11AC BB ⊥， 又1BD BB B ⋂=，且BD ､1BB ⊂平面11BB D D ，⊥1AC ⊥平面11BB D D .20．（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）由面面垂直的性质得BC ⊥圆O ，由线面垂直的性质得BC EA ⊥，根据线面垂直的判定可得EA ⊥面EBC ，再由线面垂直的性质可证EA EC ⊥.（2）法一：以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，首先求得1,0)2E ，再分别求平面DCE 和平面AEB 的法向量，利用法向量求二面角的余弦值；法二：首先作出两个平面的交线，再作出二面角的平面角，再求二面角的余弦值.（1）⊥平面ABCD 垂直于圆O 所在的平面，两平面的交线为AB ，BC ⊂平面ABCD ，BC AB ⊥，⊥BC 垂直于圆O 所在的平面．又EA 在圆O 所在的平面内，⊥BC EA ⊥． ⊥AEB ∠是直角，⊥BE EA ⊥．而BE BC B =，⊥EA ⊥平面EBC ． 又⊥EC ⊂平面EBC ，⊥EA EC ⊥． （2）法1（向量法）：如图，以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为y 轴，过点O 与BC 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -．由异面直线AE 和DC 所成的角为6π，//AB DC 知6BAE π∠=，⊥3BOE π∠=，⊥1,0)2E ． 由题设可知(0,1,1)C ，(0,1,1)D -，⊥33(,1)2DE =-，31(,1)2CE =--． 设平面DCE 的一个法向量为000(,,)p x y z =， 由0DE p ⋅=，0CE p ⋅=000000302102x y z x y z +-=--= 得00z =，00y =，取02x =，得0z⊥p =．又平面AEB 的一个法向量为(0,0,1)q =，⊥21cos ,7p q p q p q ⋅<>==．故平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值7法2（几何法）：如图，过点E 作直线//m DC ， 则m 是平面DCE 与平面AEB 的交线． 再过点B 作BP m ⊥，P 为垂足，连接CP ，则BPC ∠是平面DCE 与平面AEB 所成锐二面角的平面角．在直角三角形AEB 中，6BAE π∠=，2AB =，所以 1.BE =在直角三角形PEB 中，,13BEP BE π∠==，所以BP =．在直角三角形PBC 中，BP PC BPC PC =∠==故平面DCE 与平面AEB ．21．（1）1AC （2 【解析】（1）利用向量模的计算公式和向量的数量积的定义即可得出1AC 的长；（2）分别求出11||,||,AC BD AC BD 的值，代入数量积求夹角公式，即可求得异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值． 解：（1）111111AC AA A B BC =++，()22222111111111111111111111222AC AA A B B C AA A B B C AA A B AA B A C B B C ∴=++=+++⋅+⋅+⋅222211212cos120212cos120211cos902=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=1AC ∴=（2）AC AB BC =+222222()21102AC AB BC AB BC AB BC ∴=+=++⋅=++=2AC ∴=111111BD BB B A A D =++()22222111111111111111111111222BD BB B A A D BB B A A D BB B A BB A D B A A D ∴=++=+++⋅+⋅+⋅222211212cos60212cos120211cos906=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=16BD ∴=()()1111112AC BD AB BC BB B A A D ∴⋅=+⋅++=-111cos ,2AC BD AC BD ACBD ⋅∴===⋅所以直线BD 1与AC 22．（1）证明见解析；（2 【解析】（1）由面面垂直的性质定理得PE ⊥平面ABCD ，故PE BE ⊥，再结合菱形的性质得BE AD ⊥，进而得BE ⊥平面PAD ；（2）由()1可知EA EB EP ，，两两垂直，故以E 为原点，EA EB EP ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.解：（1）证明：由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，且PE ⊂平面PAD ， 所以PE ⊥平面ABCD ， 又BE ⊂平面ABCD ， 所以PE BE ⊥，又因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒， 所以BE AD ⊥， 又PEAD E =，且PE ，AD ⊂平面PAD ，所以BE ⊥平面PAD ；()2解：由()1可知EA EB EP ，，两两垂直，。

人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试卷(答案解析)

人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试卷(答案解析)

一、选择题1．平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，1BC α⊥，点E 、F 分别为1AA 、1CC 的中点，112C G GD =，若α平面ABCD m =，α平面EFG n =，则直线m 与直线n 所成角的正切值为（ ） A ．227B ．327C ．427D ．6272．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（ ）A ．10 B ．6 C ．10 D ．15 3．如图所示，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，已知PA =BC =2，AB =4，CB ⊥AB ，则异面直线PC ，AD 所成角的余弦值为A ．3010-B ．305-C ．305D ．30104．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP 与13PP 的夹角是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．905．如图，在四面体A BCD -中，已知AD a →→=，AB b →→=，AC c →→=，12BE EC →→=，则DE →等于（ ）A ．2133a b c →→→-++B ．2133a b c →→→++C ．2133a b c →→→-+D ．2133a b c →→→-+6．两直线14127x y z -+==-和623511x y z +--==-的夹角的余弦是（ ） A ．22-B ．22C ．2 D ．2-7．已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ） A ．[]0,4B ．[]0,2C ．[]1,4D ．[]1,28．如图，在三棱柱11ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，侧棱垂直于底面，14,6AB AA ==.若E 是棱1BB 的中点，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A 13B 213C 313D 139．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭10．已知()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（ ） A ．9B ．647C ．657D ．66711．以下四个命题中正确的是（ ）A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则{},,a b b c c a +++构成空间向量的另一组基底 C ．ABC ∆为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅= D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底12．正四面体ABCD 的棱长为2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ） A ．-2B ．4C ．2D ．113．如图，在所有棱长均为 a 的直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，D ,E 分别为 BB 1,A 1C 1 的中点，则异面直线 AD ,CE 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．32C ．15D ．45二、填空题14．三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC ==.给出下列四个命题：①()()223OA OB OCOA ++=；②()0BC CA CO ⋅-=；③()OA OB +和CA 的夹角为60； ④三棱锥O ABC -的体积为()16AB AC BC ⋅.其中所有正确命题的序号为______________.15．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点，给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45︒；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为22，其中正确命题的序号是__________.（将你认为正确的命题序号都填上）16．在一直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为__________．17．已知正三棱锥P ABC -的侧棱长为2020，过其底面中心O 作动平面α交线段PC 于点S ，交,PA PB 的延长线于,M N 两点，则111PS PM PN++的取值范围为__________18．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,3,4AB BC AA ===，则点D 到平面11A D C 的距离是______．19．在空间直角坐标系中， ()()()2,1,1,3,4,,2,7,1,A B C AB CB 若λ-⊥,则λ=____ 20．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4),(4,2,0),AB AD =--=(1,2,1)AP =--，对于结论：①AP AB ⊥；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④//AP BD .其中正确的说法的序号是__________．21．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别是棱111,,AA BC C D 的中点，设M 是该正方体表面上的一点，若(,)EM xEF yEG x y =+∈R ，则点M 的轨迹所形成的长度是________．22．如图，在棱长为2的正方体中，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上，若P 为动点，Q 为动点，则PQ 的最小值为_____.23．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，3BC =，点M 在棱1CC 上，且1MD MA ⊥，则当1MAD 的面积取得最小值时其棱1AA =________.24．如图，在正四棱锥V ABCD -中，二面角V BC D --为60°，E 为BC 的中点.已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为60°，则VFVA=_____________.25．已知三棱锥 A BCD -每条棱长都为1，点E ，G 分别是AB ，DC 的中点，则GE AC ⋅=__________．26．在△ABC 中，A （1，﹣1，2），B （2，1，1），C （﹣1，2，3），若向量n 与平面ABC 垂直，且n ＝15，则n 的坐标为_____．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】以1D 为原点，11D A 为x 轴，11DC 为y 轴，1D D 为z 轴建立空间直角坐标系，用向量法计算即可. 【详解】不妨设AB =2, 以1D 为原点，11D A 为x 轴，11DC 为y 轴，1D D 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()()()1110,0,02,0,02,0,22,0,10,2,00,2,20,2,1D A A E C C F ，，，，，，， ()()()12,2,22,2,0,2,0,2,B EF C B =-=-，112420,,00,,133C G GD G GF ⎛⎫⎛⎫=∴∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面EFG 的一个法向量()1,,n x y z =，则11·2204·03n EF x y n GF y z ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩，不妨令x =1，则141,1,3n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 易知平面ABCD 的一个法向量为()20,0,1n =，设直线m ，n 的方向向量分别为()0000,,m x y z =，()0222,,n x y z =因为α平面ABCD m =，1BC α⊥，所以0100020·220·0m C B x z m n z ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩不妨令0y =1，则()00,1,0m =同理可求071,,13n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭设直线m 与直线n 所成角为θ，则0000007||||cos |cos ,|||||1m n m n m n θ-====⨯所以sin 67θ=== sin tan cos 67θθθ===故选：B 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.2．C解析：C 【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值. 【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥，所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =. 如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ， 则()3,0,0CB =，()0,4,2CP =，()13,0,3BC =-. 设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =， 则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量. 设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ， 则()()1122221610sin cos ,53312n BC n BC n BC θ⋅-=<>===⋅-+⨯+-. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角； （2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅（其中AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.3．D解析：D 【解析】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥BC ．过点A 作AE ∥CB ，又CB ⊥AB ，则AP ，AB ，AE 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AE ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (4，0，0)，C (4，−2，0)．因为D 为PB 的中点，所以D (2，0，1)．故CP =(−4，2，2)，AD =(2，0，1)．所以cos 〈AD ，CP 〉=AD CP AD CP⋅⋅==−.设异面直线PC ，AD 所成的角为θ，则cos θ=|cos 〈AD ，CP 〉|=.4．D解析：D 【分析】设向量12PP 与13PP 的夹角为θ，计算出向量12PP 与13PP 的坐标，然后由12131213cos PP PP PP PP θ⋅=⋅计算出cos θ的值，可得出θ的值.【详解】设向量12PP 与13PP 的夹角为θ， ()()()123,1,01,1,22,2,2PP =--=-，()()()130,1,31,1,21,2,1PP =--=-，则12131213cos 0PP PP PP PP θ⋅==⋅，所以，90θ=，故选D.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题.5．A解析：A 【分析】利用向量三角形法则与向量共线定理可得：DE BE BD →→→=-，13BE BC →→=，BC AC AB →→→=-，BD AD AB →→→=-，代入即可得出．【详解】解：已知AD a →→=，AB b →→=，AC c →→=，12BE EC →→=，利用向量三角形法则和向量共线定理得出：DE BE BD →→→=-，13BE BC →→=，BC AC AB →→→=-，BD AD AB →→→=-，∴112()()333DE AC AB AD AB c a b →→→→→→→→=---=-+，即：2133DE a b c →→→→=-++.故选：A. 【点睛】本题考查向量的三角形法则和向量基本定理的应用，考查了推理能力．6．B解析：B 【分析】写出直线的方向向量，求出方向向量的夹角的余弦值，其绝对值为两直线夹角余弦． 【详解】由题意两直线的方向向量分别为(1,2,7)m =-，(5,1,1)n =-，cos ,271m n m n m n⋅<>===-+∵两直线夹角为锐角或直角，∴． 故选：B ． 【点睛】本题考查求空间两直线的夹角，求出两直线的方向向量，由方向向量的夹角与两直线夹角相等或互补求解．7．B解析：B 【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围. 【详解】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2.故选：B . 【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题.8．A解析：A 【分析】以{},,a b c 为基底表示出11,A E AC ，利用向量夹角公式计算出异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值. 【详解】设1,,AB a AC b AA c===，则{},,a b c 构成空间的一个基底， 111112A E AB B E a c =+=-，11AC AC CC b c =+=+，111111cos ,||||A E AC A E AC A E AC ⋅〈〉=⋅1()21||2a cbc a c b c ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭=-⋅+ ()222112212a b b c a c c a c b c ⋅-⋅+⋅-=⎛⎫-⋅+ ⎪22222144cos600062124a a c c b b c c ⨯⨯︒-+-⨯=-⋅+⋅+⋅+===. 所以异面直线1A E 与1AC . 故选：A 【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于中档题.9．C解析：C 【分析】设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】 设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=， 即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q .故选：C. 【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.10．C解析：C 【分析】由题知，a 、b 、c 三个向量共面,则存在常数,p q ，使得c pa qb =+，由此能求出结果. 【详解】因为()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，且a 、b 、c 三个向量共面, 所以存在,p q 使得c pa qb =+.所以()()7,5,2,4,32p q p q p q λ=--+- ，所以274532p q q p p q λ-=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩，解得331765,,32777p q p q λ===-= . 故选:C. 【点睛】本题主要考查空间向量共面定理求参数，还运用到向量的坐标运算.11．B解析：B 【分析】根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析A ，B ，D 可判断这三个结论的正误；根据向量垂直的充要条件，及直角三角形的几何特征，可判断C 的真假. 【详解】对A ，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A 中忽略三个基底不共面的限制，故A 错误；对B ，若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则,,a b c 三个向量互不共面；则,,a b b c c a +++，也互不共面，故{,,}a b b c c a +++可又构成空间向量的一组基底，故B 正确；对C ，0AB AC ABC ⋅=⇔∆的A ∠为直角ABC ⇒∆为直角三角形，但ABC ∆为直角三角形时，A ∠可能为锐角，此时0AB AC ⋅>，故C 错误；对D ，任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，故D 错误； 故选：B ． 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查空间向量的基底概念、向量垂直的充要条件，考查对概念的理解与应用，属基础题．12．D解析：D 【解析】 【分析】如图所示，1()2AE AB AC =+，12AF AD =．代入AE AF ⋅，利用数量积运算性质即可得出． 【详解】 解：如图所示，1()2AE AB AC =+，12AF AD =．∴111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD =+=+ 221(2cos602cos60)4=︒+︒ 1=．故选：D ．【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．C解析：C 【分析】取AC 的中点O ，以,,OB OC OE 为,,x y z 轴建立坐标系，求得向量,AD CE 的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由题意，取AC 的中点O ，以,,OB OC OE 为,,x y z 轴建立坐标系， 则3(0,,0),(,0,),(0,,0),(0,0,)2222a a a a A D C E a ， 则3(,,),(0,,)2222a a aAD a CE a ==-， 设AD 与CE 成的角为θ ，则222223012222cos 534444a a aaa a a a a θ-⨯+⨯==++⋅+， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，以及异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题14．①②③【分析】设以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量数量积的坐标运算可判断①②③④的正误【详解】设由于两两垂直以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如下图所示：则对解析：①②③ 【分析】设OA OB OC a ===，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可判断①②③④的正误.【详解】设OA OB OC a ===，由于OA 、OB 、OC 两两垂直，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 如下图所示：则()0,0,0O、(),0,0A a 、()0,,0B a 、()0,0,C a .对于①，(),,OA OB OC a a a ++=，所以，()()22233OA OB OC a OA ++==，①正确；对于②，(),0,0CA CO OA a -==，()0,,BC a a =-，则()0BC CA CO ⋅-=，②正确；对于③，(),,0OA OB a a +=，(),0,CA a a =-，()()221cos ,22OA OB CA a OA OB CA OA OB CAa+⋅<+>===+⋅， 0,180OA OB CA ≤<+>≤，所以，()OA OB +和CA 的夹角为60，③正确；对于④，(),,0AB a a =-，(),0,AC a a =-，()0,,BC a a =-，则2AB AC a ⋅=，所以，()2231226666a a AB AC BC BC a a ⋅===，而三棱锥O ABC -的体积为3111326V OA OB OC a =⨯⋅⋅=，④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】关键点点睛：在立体几何中计算空间向量的相关问题，可以选择合适的点与直线建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可.15．①③④【分析】由三垂直可采用以为轴建立空间直角坐标系①中通过异面直线的夹角公式和不等式性质即可判断正确；②中结合向量数量积公式可判断错误；③采用补形法将四棱锥还原为长方体再结合等体积法即可求解三棱锥解析：①③④ 【分析】由,,AB AD AP 三垂直，可采用以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，①中通过异面直线的夹角公式和不等式性质即可判断正确；②中结合向量数量积公式可判断错误；③采用补形法将四棱锥还原为长方体，再结合等体积法即可求解三棱锥E BCO -的体积为定值；④中将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ，结合两点间直线最短即可判断正确 【详解】如图所示：以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,1)P ，()1,0,0B ，(1,2,0)C ，设(0,,0)E y ，[]0,2y ∈，则(1,0,1)BP =-，(1,2,0)CE y =--， 2||2cos ,||||21(2)BP CE BP CE BP CE y ⋅〈〉==≤⋅⋅+-，当2y =时等号成立， 此时,4BP CE π〈〉=，故直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45︒，①正确；(1,,0)(1,2,1)21BE PC y y ⋅=-⋅-=-，当12y =时，BE PC ⊥，②错误； 将四棱锥放入对应的长方体中，则球心为体对角线交点， 1111112323226BCE E BCO O BCE AP V V S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，③正确；如图所示：将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ， 则22''2222CE PE C E PE PC +=+≥=+=，当'PEC 共线时等号成立，④正确.故答案为：①③④.【点睛】本题考查向量法在立体几何中的实际应用，合理建系，学会将所求问题有效转化是解决问题的关键，如本题求线线角的最小值转化为求线线夹角的余弦值，求两直线垂直转化为数量积为0，求三棱锥体积的补形法和等体积法，利用旋转将异面直线的距离转化为共面直线的距离，属于中档题16．【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可【详解】解：在直角坐标系中已知现沿轴将坐标平面折成的二面角后在平面上的射影为作轴交轴于点所以所以所以故答案为：【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题考 解析：217【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可 【详解】解：在直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角后，()1,6A -在平面xOy 上的射影为C ，作BD x ⊥轴，交x 轴于点D ， 所以AB AC CD DB =++,所以2222222AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅2221648268682=++-⨯⨯⨯=， 所以217AB =, 故答案为：217【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查了数形结合的思想，属于中档题.17．【分析】设则根据空间四点共面的条件又四点共面则即得出答案【详解】设则由为底面中心又因为四点共面所以且所以即即故答案为：【点睛】本题考查空间四点共面的条件的应用属于中档题解析：32020⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】设,,PM x PN y PS z ===,则111333zPAPB PCPO PM PN PS x y =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅,根据空间四点共面的条件，又,,,S M N O 四点共面，则202020202020+1333zx y +=，即得出答案. 【详解】设,,PM x PN y PS z ===. 则PA PA PM x=⋅,PB PB PN y=⋅,PC PC PS z=⋅.由O 为底面ABC 中心, ()2132PO PA AO PA AB AC =+=+⨯+ ()()133PA PB PCPA PB PA PC PA ++⎡⎤=+-+-=⎣⎦ 111333z PA PB PCPM PN PS x y =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ 333zPA PB PC PM PN PS x y=⋅+⋅+⋅ 又因为,,,S M N O 四点共面,所以+1333zPA PB PC xy+=且2020PA PB PC ===.所以202020202020+1333z x y +=，即1113+z 2020x y += 即11132020PS PM PN ++=. 故答案为：32020⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查空间四点共面的条件的应用，属于中档题.18．【分析】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出点到平面的距离【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系设平面的法向量则即取得∴点到平面的距离：故答案为【点睛】空间中点到平面的距离 解析：125【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D 到平面11A D C 的距离． 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，1(3,0,4)A ，1(0,0,4)D ，(0,3,0)C ，1(0,0,4)D D =-，11(3,0,0)D A =，1(0,3,4)DC =-， 设平面11A D C 的法向量(,,)n x y z =，则11100n D A n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30340x y z =⎧⎨-=⎩，取4y =，得(0,4,3)n =，∴点D 到平面11A D C 的距离：112||5D D n d n ⋅==． 故答案为125． 【点睛】空间中点到平面的距离的计算，应该通过作出垂足把距离放置在可解的平面图形中计算，注意在平面图形中利用解三角形的方法（如正弦定理、余弦定理等）来求线段的长度、面积等.我们也可以利用空间向量来求，把点到平面的距离问题转化为直线的方向向量在平面的法向量上的投影问题.19．【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题然后利用向量的数量积坐标运算计算的值即可【详解】又即解得故答案为【点睛】本题主要考查空间向量的应用向量垂直的充分必要条件等知识意在考 解析：3±【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题，然后利用向量的数量积坐标运算计算λ的值即可. 【详解】()()()2,1,1,3,4,,2,7,1A B C λ-， ∴AB ()1,3,1,λ=+CB ()1,3,1λ=--，又,AB CB ⊥0AB CB ∴⋅=，即()()()1133110λλ⨯+⨯-++-=，解得3λ=±， 故答案为3±. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．①②③【解析】由在①中所以所以所以是正确的；在②中所以所以所以是正确的；在③中由于且可知是平面的法向量所以是正确的；在④中假设存在实数使得则此时无解所以是不正确的所以正确命题的序号为①②③点睛：本题解析：①②③ 【解析】由(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)AB AD AP =--==--,在①中，2240AP AB ⋅=--+=，所以AP AB ⊥，所以AP AB ⊥，所以是正确的； 在②中，4400AP AD ⋅=-++=，所以⊥AP AD ，所以AP AD ⊥，所以是正确的； 在③中，由于AP AB ⊥，AP AD ⊥，且AB AD A ⋂=，可知AP 是平面ABCD 的法向量，所以是正确的；在④中，(2,3,4)BD AD AB =-=,假设存在实数λ使得λ=AP BD ，则122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，此时无解，所以是不正确的，所以正确命题的序号为①②③.点睛：本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到空间向量的数量积的运算，空间向量的坐标表示，平面法向量的概念，同时考查了向量垂直、向量平行等基础知识，着重考查了推理能力与计算能力，属于基础题，解答中熟记向量的坐标运算的基本公式是解答的关键.21．【分析】首先确定点的轨迹再求长度【详解】在平面上取的中点则点的轨迹是正六边形轨迹长度是正六边形的周长故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定在平面上并能作出平面与正方体的交线解析：首先确定点M 的轨迹，再求长度.【详解】(,)EM xEF yEG x y =+∈R ，M ∴在平面EFG 上，取11A D ，AB ，1CC 的中点,,N H P ，则点M 的轨迹是正六边形EHFPGN ，轨迹长度是正六边形的周长，632l EN ==.故答案为：32【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定M 在平面EFG 上，并能作出平面EFG 与正方体的交线. 22．【分析】建立空间直角坐标系利用三点共线设出点P(λλ2﹣λ)0≤λ≤2以及Q(02μ)0≤μ≤2根据两点间的距离公式以及配方法即可求解【详解】建立如图所示空间直角坐标系设P(λλ2﹣λ)Q(02μ)解析：2【分析】建立空间直角坐标系，利用,,A B P 三点共线设出点P (λ，λ，2﹣λ)，0≤λ≤2，以及Q (0，2，μ)，0≤μ≤2，根据两点间的距离公式，以及配方法，即可求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设P (λ，λ，2﹣λ)，Q (0，2，μ)(0≤λ≤2且0≤μ≤2)，可得PQ =22222(2)(2)2(1)(2)2λλλμλλμ+-+--=-+--+，∵2(λ﹣1)2≥0，(2﹣λ﹣μ)2≥0，∴2(λ﹣1)2+(2﹣λ﹣μ)2+2≥2，当且仅当λ﹣1=2﹣λ﹣μ=0时，等号成立，此时λ=μ=1，∴当且仅当P ､Q 分别为AB ､CD 的中点时，PQ 的最小值为2.故答案为:2.本题考查空间向量法求两点间的距离，将动点用坐标表示是解题的关键，考查配方法求最值，属于中档题.23．【分析】设建立空间直角坐标系由向量的垂直可得进而可得由基本不等式即可得解【详解】设如图建立空间直角坐标系则所以又所以所以所以当且仅当时等号成立所以当的面积取得最小值时其棱故答案为：【点睛】本题考查了 解析：32 【分析】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，建立空间直角坐标系，由向量的垂直可得1m n n -=，进而可得1221452MAD S n n =++△，由基本不等式即可得解. 【详解】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，如图建立空间直角坐标系，则()10,0,D m ，()0,1,M n ，()3,0,0A ， 所以()10,1,M n m D =-，()3,1,AM n =-，又1MD MA ⊥，所以()110M A D M n n m ⋅=+-=，所以1m n n -=， 所以()122122111113114222MAD S M AM m n n n nD =⋅=+-++=++△()2222221114143415522222n n n n n n ⎛⎫=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当2n =322m =时，等号成立，所以当1MAD 的面积取得最小值时其棱12AA =.故答案为：2. 【点睛】 本题考查了空间向量及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，合理转化、细心计算是解题关键，属于中档题.24．11【分析】由题意建立空间直角坐标系由二面角的定义得出从而写出的坐标由向量共线的性质设利用向量的加法得出由异面直线与所成角利用向量法得出的值从而得出的值【详解】取的中点G 与的交点为以O 为坐标原点分别 解析：11【分析】由题意建立空间直角坐标系，由二面角的定义得出60OEV ∠=︒，从而写出,,,V E B A 的坐标，由向量共线的性质设(1)VF VA λλ=≠，利用向量的加法得出BF ，由异面直线BF 与VE 所成角，利用向量法得出λ的值，从而得出VF VA的值. 【详解】 取AB 的中点G ，AC 与DB 的交点为O ，以O 为坐标原点，分别以,,OG OE OV 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =因为二面角V BC D --为60°，所以60OEV ∠=︒ 则()()()()0,0,3,0,1,0,1,1,0,1,1,0V E B A -()()(1,1,3,1,1,3,0,1,VA VB VE =--=-=.设(1)VF VA λλ=≠，则(1,1,BF VF VB λλ=-=---从而||cos ,cos 60||||2BF VE BF VE BF VE ⋅===︒ 整理得210110λλ+-=，解得1λ=(舍)，11λ=-故11VF VA=. 故答案为：11【点睛】本题主要考查了已知面面角，线线角求参数，属于中档题.25．【分析】构造一个正方体三棱锥放入正方体中建立坐标系利用数量积公式求解即可【详解】将三棱锥放入如下图所示的正方体中且棱长为分别以为轴故答案为：【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积属于中档题 解析：12- 【分析】 构造一个正方体，三棱锥A BCD -放入正方体中，建立坐标系利用数量积公式求解即可. 【详解】 将三棱锥A BCD -放入如下图所示的正方体中，且棱长为22分别以,,OC OD OB 为,,x y z 轴222222222(,,),(,0,0),(,,0),(,,)A C G E (0,02222,),(0,,)GE AC ==-- 1222)2(=2GE AC ∴⋅=--⨯ 故答案为：12-【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积，属于中档题.26．（57）或（﹣5﹣7）【分析】求出23设向量与平面垂直列出方程组能求出结果【详解】∵在△ABC 中A （1﹣12）B （211）C （﹣123）∴（12﹣1）（﹣231）设∵向量与平面ABC 垂直∴解得∵∴1解析：n =（，n =（﹣，，﹣【分析】求出(1AB =，2，1)-，(2AC =-，3，1)，设(n x =，y ，)z ，向量n 与平面ABC 垂直，15n =，列出方程组能求出结果．【详解】∵在△ABC 中，A （1，﹣1，2），B （2，1，1），C （﹣1，2，3），∴AB =（1，2，﹣1），AC =（﹣2，3，1），设(),,n x y z =∵向量n 与平面ABC 垂直，∴20230n AB x y z n AC x y z ⎧⋅=+-=⎨⋅=-++=⎩，解得57x y z y =⎧⎨=⎩，∵15n =，∴=15，解得3y =，x = 73z =或y =x =- z =-∴(53,n =或(53,n =--．【点睛】本题考查向量的坐标的求法，考查向量与平面垂直、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．。

新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试卷(答案解析)

新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试卷(答案解析)

一、选择题1．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（ ）．A ．14B ．12C ．34D ．12．直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AA ==，90ACB ∠=，则直线1A C 与平面11A BC 所成的角的大小为（ ）A ．30B ．60C ．90D ．1203．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝12AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( )A 6B 3C 6D ．234．如图，在四面体A BCD -中，已知AD a →→=，AB b →→=，AC c →→=，12BE EC →→=，则DE →等于（ ）A ．2133a b c →→→-++B ．2133a b c →→→++ C ．2133a b c →→→-+ D ．2133a b c →→→-+5．在一直角坐标系中，已知(1,6),(3,8)A B --，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后,A B 两点间的距离为（ ） A ．241B ．41C ．17D ．2176．在三棱锥P ABC -中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，2PA AC ==，3AB =.当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为（ ）A ．1111B ．21111C ．311D ．411117．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F 分别是,BC AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ） A ．2aB ．212a C ．214a D ．23a 8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭9．如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,AB a =,AD b =,1AA c =,M 是1D D 的中点,点N 是1AC 上的点,且113AN AC =,用,,a b c 表示向量MN 的结果是( )A ．12a b c ++ B ．114555a b c ++C ．1315105a b c --D ．121336a b c --10．()2,23,1a m =-，()4,2,32b n =--.若//a b .则实数mn 的值是（ ）A ．－2B ．13C ．2D ．011．如图四边形ABCD 中，2AB BD DA ===，2BC CD ==，现将ABD △沿BD折起，当二面角A BD C --的大小为56π时，直线AB 与CD 所成角的余弦值是（ ）A ．52B ．32C ．32D ．2 12．已知ABC ，AB AC =，D 是BC 上的点，将ABD ∆沿AD 翻折到1AB D ∆，设点A 在平面1B CD 上的射影为O ，当点D 在BC 上运动时，点O （ ）A ．位置保持不变B ．在一条直线上C ．在一个圆上D ．在一个椭圆上13．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别是对边,OB AC 的中点，点G 在线段MN 上，2MG GN =，现用基向量,,OA OB OC 表示向量OG ，设OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别是（ ）A ．111333x y z ===，， B ．111336x y z ===，， C ．111363x y z ===，， D ．111633x y z ===，， 二、填空题14．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，则异面直线1BC 与DC 所成角的余弦值为______．15．已知(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是________.16．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为_____．17．写出直线210x y ++=的一个法向量n =______．18．已知向量()()2,1,3,1,2,1a b =-=-，若()a ab λ⊥-，则实数λ的值为______. 19．在空间直角坐标系中， ()()()2,1,1,3,4,,2,7,1,A B C AB CB 若λ-⊥,则λ=____ 20．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别是棱111,,AA BC C D 的中点，设M 是该正方体表面上的一点，若(,)EM xEF yEG x y =+∈R ，则点M 的轨迹所形成的长度是________．21．如图，在棱长为2的正方体中，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上，若P 为动点，Q 为动点，则PQ 的最小值为_____.22．设向量(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-，且//a b ，则a b ⋅的值为__________．23．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.24．若平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u =，(1,1,0)v =-，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.25．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____.26．在空间直角坐标系中，(2,0,1)a x =--，(1,,2)b y =，且|2|13a b +=2m x y =+的取值范围是_____．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】利用空间向量的基本定理可计算得出1111333OG OA OB OC =++，由已知条件可得出134OG OG =，进而可求得x 、y 、z 的值，由此可求得结果.【详解】如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点，1G 为ABC 的重心，可得123AG AD =， 而()()111222OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+， ()1122123333OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD =+=+=+-=+ ()()12113323OA OB OC OA OB OC =+⋅+=++，所以，13311111144333444OG OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭， 所以，14x y z ===，因此，34x y z ++=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间向量的基底分解的问题，一般需要利用向量的加减法法则进行处理，也可以借助一些相应的结论对运算进行简化.2．A解析：A 【分析】以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1A C 与平面11A BC 所成的角.在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ， 又90ACB ∠=，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：设11AC BC AA ===，则()11,0,1A 、()0,1,0B 、()0,0,0C 、()10,0,1C ， ()111,0,0A C =-，()10,1,1=-BC ，()11,0,1=--AC ， 设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =，由11100n AC x n BC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可得0x y z =⎧⎨=⎩，令1y =，可得0x =，1z =，所以，平面11A BC 的一个法向量为()0,1,1n =，1111cos ,222n A C n A C n A C⋅<>==-⨯⋅，所以，直线1A C 与平面11A BC 所成角的正弦值为12，则直线1A C 与平面11A BC 所成角为30.故选：A. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.3．C【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a ，a,0)，F(a,0,0)，AG ＝(a ，a,0)，AC ＝(0,2a,2a)，BG ＝(a ，－a ，0)，BC ＝(0,0,2a)，设平面AGC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1,1)， 由110{AG n AC n ⋅=⋅=⇒⇒111{1x y ==-⇒n 1＝(1，－1,1)．sinθ＝11BG n BG n ⋅⋅＝23a ⨯6. 4．A解析：A 【分析】利用向量三角形法则与向量共线定理可得：DE BE BD →→→=-，13BE BC →→=，BC AC AB →→→=-，BD AD AB →→→=-，代入即可得出．【详解】解：已知AD a →→=，AB b →→=，AC c →→=，12BE EC →→=，利用向量三角形法则和向量共线定理得出：DE BE BD →→→=-，13BE BC →→=，BC AC AB →→→=-，BD AD AB →→→=-， ∴112()()333DE AC AB AD AB c a b →→→→→→→→=---=-+，即：2133DE a b c →→→→=-++.故选：A.本题考查向量的三角形法则和向量基本定理的应用，考查了推理能力．5．D解析：D 【分析】画出图形，作,AC CD BD CD ⊥⊥，则6,8,4AC BD CD ===，可得0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，故两异面直线,CA DB所成的角为60︒，结合已知，即可求得答案. 【详解】如图为折叠后的图形，其中作,AC CD BD CD ⊥⊥则6,8,4AC BD CD ===，∴0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角∴两异面直线,CA DB 所成的角为60︒．可得：.cos6024CA DB CA DB ︒⋅=⋅= 故由AB AC CD DB =++ 得22||||AB AC CD DB =++2222+22AC CD DB AC CD CD DB AC DB +++⋅⋅+⋅= 2222+22AC CD DB AC CD CD DB CA DB +++⋅⋅-⋅=36166448=++-68=||17AB ∴=故选：D. 【点睛】本题考查了立体几何体中求线段长度，解题的关键是作图和掌握空间向量的距离求解公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】首先利用线面角的定义，可知当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值，此时BD 与平面PAC 所成角最大，再以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，利用向量坐标法求线面角的正弦值. 【详解】,AB AC AB PA ⊥⊥，且PA AC A =， AB ∴⊥平面PAC ，易证AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠，3tan AB ADB AD AD∠==， 当AD 取得最小值时，ADB ∠取得最大值 在等腰Rt PAC ∆中，当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值.以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)D ， 则(0,1,1)AD =，(0,2,2)PC=-，(3,2,0)BC =-设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n BC ⋅=⋅=，即220320y z x y -=⎧⎨-+=⎩令3y =，得(2,3,3)n =.因为311cos ,11222n AD 〈〉==⨯，所以AD 与平面PBC 311. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点D 的位置，首先利用线面角的定义确定点D 的位置，再利用向量法求线面角.7．C解析：C把要求数量积的两个向量表示成以四面体的棱长为基底的向量的表示形式，写出向量的数量积，问题转化成四面体的棱之间的关系，因为棱长和夹角已知，得到结果．【详解】 解：11()22AE AF AB AC AD =+ 1()4AB AD AC AD =+ 1(cos60cos60)4a a a a =⨯⨯︒+⨯⨯︒ 2221111()4224a a a =+= 故选：C.【点睛】本题考查空间向量的数量积，解题的关键是把要用的向量写成以已知几何体的一个顶点为起点的向量为基地的形式，再进行运算．8．C解析：C【分析】设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=，即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q . 故选：C.本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 9．D解析：D【分析】在平行六面体1111ABCD A B C D -中根据空间向量的加法合成法则,对向量MN 进行线性表示,即可求得答案.【详解】连接1C M113AN AC = 可得:1123C N C A = ()111AC AA AC AA AD AB c a b =+=++=++ ∴1122223333C N C A c a b ==--- 又112C M a c =-- ∴11MN C N C M =-22213332c a b a c ⎛⎫=------ ⎪⎝⎭ 121336a b c --= ∴121336a b N c M =-- 故选: D.【点睛】本题考查了空间向量的加法运算,解题关键是掌握向量的加法运算和数形结合,属于基础题. 10．D解析：D根据平行得到()()()()2,23,14,2,324,2,32m n n λλλλ-=--=--，计算得到答案.【详解】 ()2,23,1a m =-，()4,2,32b n =--，//a b ，则λa b ，即()()()()2,23,14,2,324,2,32m n n λλλλ-=--=--故()24232132m n λλλ⎧=-⎪-=⎨⎪=-⎩解得1,1,02m n λ=-==，故0mn = 故选：D【点睛】本题考查了根据向量平行计算参数，意在考查学生的计算能力.11．A解析：A【分析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 与CD 所成角的余弦值．【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ，2AB BD DA ===．BC CD ==CO BD ∴⊥，AO BD ⊥，且1CO =，AO =AOC ∴∠是二面角A BD C --的平面角，因为二面角A BD C --的平面角为56π， 56AOC π∴∠= 以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0B ，1-，0)，(1C ，0，0)，(0D ，1，0)，3(2A -，∴3(2BA =-，(1,1,0)CD =-， 设AB 、CD 的夹角为α，则3|1|||cos ||||2AB CD AB CD α+===， 故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12．C解析：C【分析】为计算简便，不妨设ABC 为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，取BC 中点M ，利用AO OC ⊥，AO OM ⊥即可得到轨迹方程.【详解】为计算简便，不妨设ABC 为等腰直角三角形，令2BC =，且令190B DC ∠=︒， 以BC 中点M 为空间原点，MA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设(02)BD a a =<<，12B A BA =(,,)O x y z ，则()010C ，，，(001A ，，），(000M ，，），()0,1,0D a -，所以(AO x =，y ，1z -)，(),1,CO x y z =-，(),,MO x y z =， 因为AO OC ⊥，所以()()2110AO CO x y y z z ⋅=+-+-=， 同理AO OM ⊥，所以()2210AO MO x y z z ⋅=++-=， 两式相减得0y =，代入得()222111()24x z z x z +-=+-=， 故选：C ．【点睛】本题考查点的轨迹方程，考查空间向量位置关系等，建立空间直角坐标系是关键，属于中档题．13．D解析：D【分析】根据向量的加减法运算和数乘运算原则可表示出OG ，进而得到结果.【详解】()1212121223232323OG OM MG OA MN OA MA AN OA OA AN =+=+=++=+⨯+()525221636332OA AB BN OA AB BC =++=++⨯()()521111633633OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=++ 16x ∴=，13y =，13z = 故选：D【点睛】本题考查用基底表示向量，关键是能够熟练掌握向量的加减法运算和数乘运算原则.二、填空题14．【分析】本题首先可结合题意绘出空间直角坐标系然后根据空间直角坐标系得出以及最后根据即可得出结果【详解】因为四棱柱使直四棱柱为直角所以可以以为坐标原点以所在直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系【分析】本题首先可结合题意绘出空间直角坐标系，然后根据空间直角坐标系得出()0,1,0DC =以及()12,3,2BC =--，最后根据111cos ,DC BC DC BC DC BC ⋅=⋅即可得出结果.【详解】因为四棱柱1111ABCD A B C D -使直四棱柱，A ∠为直角，//AB CD ，所以可以以D 为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,4,0B ，()0,1,0C ，()10,1,2C ，故()0,1,0DC =，()12,3,2BC =--， 因为1DC =，222123217BC =++=， 所以1113317cos ,1717DC BC DC BC D BC C ⋅-===⋅， 故异面直线DC 与1BC 所成的角的余弦值为31717， 317 【点睛】 方法点睛：求空间中两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一．这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式求出两向量的夹角的大小，从而得出结果. 15．【分析】由根据与的夹角为钝角由且求解【详解】因为所以因为与的夹角为钝角所以且由得所以若与的夹角为则存在使即所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：6652,,5515⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】由(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据a 与b 的夹角为钝角，由0a b ⋅<且,180a b ︒〈〉≠求解.【详解】因为(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以2525(2)31355a b t t ⎛⎫⋅=⨯-++⨯-=- ⎪⎝⎭，因为a 与b 的夹角为钝角，所以0a b ⋅<且,180a b ︒〈〉≠，由0a b ⋅<，得52305t -<， 所以5215t <. 若a 与b 的夹角为180︒，则存在0λ<，使a b λ=， 即2(5,3,1)2,,5t λ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 所以523215t λλλ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩， 解得65t =-， 故答案为： 6652,,5515⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16．4【分析】以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系设求出平面的一个法向量则则可以得到答案【详解】解：以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系设则故设平面的一个法向量为则 解析：4【分析】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系, 设1DD a =，求出平面1ACD 的一个法向量n ，则11cos ,3n CC <>=，则可以得到答案. 【详解】解：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1DD a =，则(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，1(0,0,)D a ，故(2,2,0)=-AC ，1(2,0,)AD a =-，1(0,0, )CC a =，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则122020n AC x y n AD x az ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，可取21,1,n a ⎛⎫=⎪⎝⎭， 故11212cos ,||||4242n CC n CC n CC a a a⋅<>===+⋅+， 又直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13， 21324a ∴=+，解得4a =． 故答案为：4．【点睛】本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题.17．【分析】化直线方程为斜截式求出直线的斜率得到直线的一个方向向量进而可求得直线的一个法向量得到答案【详解】由题意化直线的方程为斜截式可得直线的斜率为-2所以直线的一个方向向量为所以直线的一个法向量为故解析：()21， 【分析】化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，得到直线的一个方向向量，进而可求得直线的一个法向量，得到答案．【详解】由题意，化直线210x y ++=的方程为斜截式21y x =--，可得直线的斜率为-2，所以直线的一个方向向量为12-（，），所以直线的一个法向量为21（,）． 故答案为21（，）【点睛】本题主要考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题．18．2【分析】由题意知向量所以由空间向量的坐标运算即可求解【详解】由题意知向量所以又由解得【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算及空间向量的数量积的运算其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式准确运算 解析：2【分析】由题意知，向量()a a b λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=，由空间向量的坐标运算，即可求解．【详解】由题意知，向量()a a b λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=，又由()()()()22222132112311470a a b a a b λλλλ⎛⎡⎤⋅-=-⋅=-++--⨯-+⨯+⨯=-= ⎪⎣⎦⎝⎭， 解得2λ=．【点睛】 本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．19．【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题然后利用向量的数量积坐标运算计算的值即可【详解】又即解得故答案为【点睛】本题主要考查空间向量的应用向量垂直的充分必要条件等知识意在考 解析：3±【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题，然后利用向量的数量积坐标运算计算λ的值即可.【详解】()()()2,1,1,3,4,,2,7,1A B C λ-， ∴AB ()1,3,1,λ=+CB ()1,3,1λ=--， 又,AB CB ⊥0AB CB ∴⋅=，即()()()1133110λλ⨯+⨯-++-=，解得3λ=±，故答案为3±.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．【分析】首先确定点的轨迹再求长度【详解】在平面上取的中点则点的轨迹是正六边形轨迹长度是正六边形的周长故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定在平面上并能作出平面与正方体的交线解析：【分析】首先确定点M 的轨迹，再求长度.【详解】(,)EM xEF yEG x y =+∈R ，M ∴在平面EFG 上，取11A D ，AB ，1CC 的中点,,N H P ，则点M 的轨迹是正六边形EHFPGN ，轨迹长度是正六边形的周长，632l EN ==.故答案为：32【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定M 在平面EFG 上，并能作出平面EFG 与正方体的交线. 21．【分析】建立空间直角坐标系利用三点共线设出点P(λλ2﹣λ)0≤λ≤2以及Q(02μ)0≤μ≤2根据两点间的距离公式以及配方法即可求解【详解】建立如图所示空间直角坐标系设P(λλ2﹣λ)Q(02μ)解析：2【分析】建立空间直角坐标系，利用,,A B P 三点共线设出点P (λ，λ，2﹣λ)，0≤λ≤2，以及Q (0，2，μ)，0≤μ≤2，根据两点间的距离公式，以及配方法，即可求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设P (λ，λ，2﹣λ)，Q (0，2，μ)(0≤λ≤2且0≤μ≤2)，可得PQ =22222(2)(2)2(1)(2)2λλλμλλμ+-+--=-+--+，∵2(λ﹣1)2≥0，(2﹣λ﹣μ)2≥0，∴2(λ﹣1)2+(2﹣λ﹣μ)2+2≥2，当且仅当λ﹣1=2﹣λ﹣μ=0时，等号成立，此时λ=μ=1，∴当且仅当P ､Q 分别为AB ､CD 的中点时，PQ 的最小值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查空间向量法求两点间的距离，将动点用坐标表示是解题的关键，考查配方法求最值，属于中档题.22．168【分析】根据向量设列出方程组求得得到再利用向量的数量积的运算公式即可求解【详解】由题意向量设又因为所以即解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算以及向量的数量积的运算其 解析：168【分析】根据向量//a b ，设λa b ，列出方程组，求得12λ=，得到(2,4,8),(4,8,16)a b ==，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，向量//a b ，设λa b ，又因为(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-，所以(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，即2423(21)2(32)m m n n λλλ=⨯⎧⎪-=+⎨⎪+=-⎩，解得17,,622m n λ===， 所以(2,4,8),(4,8,16)a b ==，所以2448816168a b ⋅=⨯+⨯+⨯=.故答案为：168.【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的共线条件，熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23．【分析】利用向量的加法公式得出再由得出的值即可得出的和【详解】即故答案为：【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量属于中档题 解析：78【分析】 利用向量的加法公式得出111222MN OA OB OC =-++，再由1324OG OM MG OA MN =+=+，得出,,x y z 的值，即可得出,,x y z 的和. 【详解】MN MA AB BN =++11111()22222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭813388OA OB OC =++ 133,,888x y z ∴=== 即78x y z ++=故答案为：78【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量，属于中档题. 24．【分析】直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可【详解】解：两个平面的法向量分别为则这两个平面所成的锐二面角的大小是这两个平面所成的锐二面角的余弦值为故答案为：【点睛】本题考查空间二面解析：5【分析】直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可．【详解】解：两个平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u →=，(1,1,0)v →=-，则这两个平面所成的锐二面角的大小是θ，2cos a ba b θ→→→→===这两个平面所成的锐二面角的余弦值为5.故答案为：5. 【点睛】 本题考查空间二面角的求法，空间向量的数量积的应用，考查计算能力．25．1【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果【详解】因为点分别是边的中点则又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2所以原式故答案为:【点睛】本题考查了向量数量积的运算解题过 解析：1【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果.【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点, 则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅,又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=. 故答案为:1【点睛】 本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.26．【分析】推导出由得到从而由此能求出的取值范围【详解】在空间直角坐标系中整理得：的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查代数式的取值范围的求法考查空间向量坐标运算法则椭圆的参数方程等基础知识考查运算求解解析：⎡⎣【分析】推导出2(a b x +=，2y ，3)，由|2|13a b +=2214x y +=，从而2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(02)θπ≤<，由此能求出2m x y =+的取值范围． 【详解】在空间直角坐标系中，(2,0,1)a x =--，(1,,2)b y =，∴2(,2,3)a b x y +=，|2|13a b +=，∴=2244x y +=，∴2214x y +=， ∴2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(02)θπ≤<，2sin 4cos )m x y θθθα∴=+=+=+，tan 4α=．2m x y ∴=+的取值范围是[．故答案为：[．【点睛】本题考查代数式的取值范围的求法，考查空间向量坐标运算法则、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，求解时注意三角函数中辅助角公式及有界性的应用．。

空间向量与立体几何单元测试题(学生版)

空间向量与立体几何单元测试题(学生版)

空间向量与立体几何单元测试题一、选择题1、若a ,b ,c是空间任意三个向量, R λ∈,下列关系式中,不成立的是（ ）A ．a b b a +=+B ．()a b a b λλλ+=+C ．()()a b c a b c ++=++ D ．b a λ=2、已知,a b均为单位向量,它们的夹角为60︒,那么3a b + 等于（ ）A ．43、1,2,,a b c a b ===+ 且c a ⊥,则向量a b 与的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4、已知()()3,2,5,1,,1,a b x =-=- 且2a b ⋅=,则x 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65、若直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n,则能使//l α的是（ ） A ．()()1,0,0,2,0,0a n ==- B ．()()1,3,5,1,0,1a n ==C ．()()0,2,1,1,0,1a n ==--D ．()()1,1,3,0,3,1a n =-=6、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 是A 1B 1中点,则E 到平面ABC 1D 1的距离是（ ）A ．2 B ．2 C ．12D ．3 7、设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4-Ｂ．9Ｃ．9-Ｄ．6498、已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上中线长( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9、下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g10、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 11、已知a ＝(－5,6,1)，b ＝(6,5,0)，则a 与b ( )A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向12、已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x 等于( )A ．4B ．－4 C.12D ．－613、若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( )A ．19B ．－87C.87 D.191414、在以下命题中，不正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P 、A 、B 、C 四点共面； ④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4 D ．515、若a 、b 均为非零向量，则b a ⋅是a 与b 共线的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 二、填空题 16、已知直线l 的方向向量为v ＝(1，－1，－2)，平面α的法向量u ＝(－2，－1,1)，则l 与α的夹角为________．17、已知向量)1,5,3(=a ，)3,2,2(=b ，)3,1,4(--=c，则向量c b a 432+-的坐标为 .18、若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ，则(23)(2)a b a b -+=____ _____________.19、已知),2,3()0,2,(2,x x b x a -==，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是____ ___.20、已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-= ，若a ⊥ b ，则=x ______；若//a b则=x ______.三、解答题21、已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点)22、设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试问是否存在实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立？如果存在，求出λμν，，；如果不存在，请写出证明．图823、如图8，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．求证：(1)AC ⊥BC 1；(2)AC 1∥平面CDB 1.24、在正棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E ，F 分别是BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.求证：(1)平面GEF ⊥平面PBC ；(2)EG ⊥PG ，EG ⊥BC.25、如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A 、B 1、E 、D 1的坐标；（2）求直线AB 1与D 1E 所成的角的余弦值。

高中数学第一章-空间向量与立体几何单元测试(基础卷)(解析版)

高中数学第一章-空间向量与立体几何单元测试(基础卷)(解析版)

第一章空间向量与立体几何单元过关基础A 版解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．空间直角坐标系中，点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．()2,3,5--- B ．()2,3,5 C ．()2,3,5-- D ．()2,3,5-【答案】A 【解析】 【分析】关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数． 【详解】关于y 轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标均互为相反数． 所以点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是()2,3,5---． 故选：A ． 【点睛】本题考查空间平面直角坐标系，考查关于坐标轴、坐标平面对称的问题．属于基础题．2．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置2223333DA B C D A B C -中放一个单位正方体礼盒1111DABC D A B C -，现以点D 为坐标原点，2DA 、2DC 、3DD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则正确的是（ ）A ．1D 的坐标为(1,0,0)B ．1D 的坐标为(0,1,0)C ．13B B 293D ．13B B 14【答案】D【分析】根据坐标系写出各点的坐标分析即可. 【详解】由所建坐标系可得：1(0,0,1)D ，1(1,1,1)B ，3(2,3,4)B ，13B B ==.故选：D. 【点睛】本题考查空间直角坐标系的应用，考查空间中距离的求法，考查计算能力，属于基础题.3．空间直角坐标系中，已知点()()1,2,3345A B 、，，，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．()234，， B ．()134，， C ．()235，， D ．()245，， 【答案】A 【解析】点()()1,2,3345A B 、，，， 由中点坐标公式得中得为：132435,,222+++⎛⎫⎪⎝⎭，即()234，，. 故选A.4．已知空间中三点(0,1,0)A ，(2,2,0)B ，(1,3,1)C -，则（ ） A ．AB 与AC 是共线向量B ．AB 的单位向量是⎫⎪⎪⎝⎭C ．AB 与BCD ．平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)- 【答案】D 【分析】根据向量的相关性质判断. 【详解】对于A 项，(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以AB AC λ≠，则AB 与AC 不是共线向量，所以A 项错误；对于B 项，因为(2,1,0)AB =，所以AB的单位向量为55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以B 项错误； 对于C 项，向量(2,1,0)AB =，(3,1,1)BC =-，所以cos ,11AB BC AB BC AB BC⋅==-⋅，所以C 项错误；对于D 项，设平面ABC 的法向量是(,,)n x y z =，因为(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则2020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，令1x =，则平面ABC 的一个法向量为(1,2,5)n =-，所以D 项正确. 故选:D. 【点睛】本题考查共线向量的判断，单位向量的求法，夹角的求法，平面法向量的求法，属于空间向量综合题.5．两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 ()2,1,1A ，且两平面的一个法向量()1,0,1n =-，则两平面间的距离是()A ．32BC D ．【答案】B 【解析】两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 ()2,1,1A ，()2,1,1OA =，且两平面的一个法向量()1,0,1,n =-∴两平面间的距离22n OA n⋅-+===，故选B. 6．下图是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -木块的直观图，其中,,P Q F 分别是11D C ，BC ，AB 的中点，平面α过点D 且平行于平面PQF ，则该木块在平面α内的正投影面积是（ ）A ．43B ．33C ．23D 3【答案】A 【分析】先根据题意平面α可以平移至平面11A BC ，即木块在平面α内的正投影即可看成是在平面11A BC 的正投影，根据投影的性质可得投影为正六边形'''111A A BC C D ，最后根据正六边形面积公式可求出投影的面积． 【详解】解：根据题意可知平面α过点D 且平行于平面PQF ， 则平面α可以平移至平面11A BC ，木块在平面α内的正投影即可看成是在平面11A BC 的正投影， 根据投影的性质可得投影为正六边形'''111A A BC C D 如图所示， 因为正方体1111ABCD A B C D -棱长为2， 所以221222A B =+=则投影面内正六边形的边长为：'1226cos303A A ==根据正六边形面积公式可得投影的面积为：'''111233264323A A BC C D S ⎛=⨯= ⎝⎭故投影面积为：43故选：A【点睛】本题主要考查空间几何体和正投影得概念，考查面积公式是计算，考查空间想象力和推导能力，属于难题．7．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．13【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系,根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标，作1HM BB ⊥,连接PM ,可得222HP HM MP =+，作1PN CC ⊥，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得2HP 的范围. 【详解】根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示：作1HM BB ⊥交1BB 于M,连接PM ，则HM PM ⊥作1PN CC ⊥交1CC 于N ，则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离. 设(),3,P x z ,则()()()1,3,2,3,3,2,0,3,F M N z ()03,03x z ≤≤≤≤ ∵点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长 ∴PN PF =由两点间距离公式可得()()2212x x z =-+-化简得()2212x z -=-,则210x -≥解不等式可得12x ≥综上可得132x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中222HP HM MP =+()()222332x z =+-+-()223321x x =+-+-()2213x =-+132x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以213HP ≥（当时2x = 取等） 故选:D 【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最值，属于难题. 8．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =⋅⋅⋅是上底面上其余的八个点，则集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A 【分析】本题首先可根据图像得出i i AP AB BP =+，然后将i AB AP ⋅转化为2iAB A P B B +⋅，最后根据棱长为1以及i ABBP 即可得出结果.【详解】由图像可知，i i AP AB BP =+，则()2i i i AB BP AB AP AB B AB A P B ⋅==+⋅+， 因为棱长为1，i ABBP ，所以0i AB BP ⋅=，2101i i AB AP AB AB BP ⋅=+=+=⋅， 故集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数为1， 故选：A . 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.二、多选题9．给出下列命题，其中正确的有（ ） A ．空间任意三个向量都可以作为一组基底B ．已知向量//a b ，则a 、b 与任何向量都不能构成空间的一组基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA ，BM ，BN 不能构成空间的一组基底，则A ，B ，M ，N 共面D ．已知{,,}a b c 是空间向量的一组基底，若m a c =+，则{,,}a b m 也是空间一组基底 【答案】BCD 【分析】选项A 、B 中，根据空间基底的概念，可判断；选项C 中，可得,,BA BM BN 共面，又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，由此可判断；选项D 中：基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，由此可判断． 【详解】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 不正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN 共面，又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c 是空间的一个基底，则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确． 故选：BCD.10．已知v 为直线l 的方向向量，1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（ ） A ．1n ∥2n ⇔α∥β B ．1n ⊥2n ⇔α⊥β C ．v ∥1n ⇔l ∥α D ．v ⊥1n ⇔l ∥α【答案】AB 【分析】根据线面直线的位置关系逐一判断即可. 【详解】解：v 为直线l 的方向向量，1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合）， 则1n ∥2n ⇔α∥β，1n ⊥2n ⇔α⊥β，v ∥1n ⇔l ⊥α，v ⊥1n ⇔l ∥α或l ⊂α. 因此AB 正确.故选：AB.11．在长方体ABCD A B C D ''''-中，2AB =，3AD =，1AA '=，以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A ．(3,2,1)BD '=--B ．异面直线A D '与BD '所成角的余弦值为35C ．平面A CD ''的一个法向量为(2,3,6)-- D ．二面角C A D D '''--的余弦值为37【答案】ACD 【分析】由向量法对每一选项进行逐一计算验证，可得答案. 【详解】由题意可得()()()3,0,0,3,2,0,0,2,0A B C ,()()()()0,0,1,3,0,1,0,2,1,3,2,1D A C B '''' 选项A: 所以(3,2,1)BD '=--，则A 正确.选项B:()3,0,1DA '=,(3,2,1)BD '=--,所以,cos ,10DA BDDA BD DA BD ''''==''⋅=所以异面直线A D '与BD '所成角的余弦值为35，则B 不正确. 选项C ：设平面A C D ''的一个法向量为(),,n x y z =由()3,0,1DA '=,()0,2,1DC '=，则00n DA n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩'' 所以3020x z y z +=⎧⎨+=⎩ ，取6z =，得()2,3,6n =--，则C 正确.选项D ：由上可得平面A C D ''的一个法向量为(2,3,6)n =-- 又平面A DD ''的法向量为()0,1,0m = 则3cos ,17n m n m n m⋅-==⨯⋅ 所以二面角C A D D '''--的余弦值为37，则D 正确. 故选：ACD12．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD 【分析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算11B E A B ⋅值即可判断A ；分别求出平面1B CE ，平面1A BD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B ；利用等体积法，求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-，因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高， 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径22222462R ++==，所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.三、填空题13．若直线l 的方向向量为()4,2,m ，平面α的法向量为()2,1,1-，且l α⊥，则m =______． 【答案】2- 【分析】由已知可知，直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，根据空间向量平行的充要条件可得到一个关于λ和m 的方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】 解：l α⊥，直线l 的方向向量为()4,2,m ，平面α的法向量为()2,1,1-，∴直线l 的方向向量与平面α的法向量平行.则存在实数λ使()4,2,m λ=()2,1,1-，即422m λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴2m =-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查向量语言表述线面垂直，直线的方向向量与平面的法向量平行是解本题的关键，属于基础题.14．若(1,1,0),(1,0,2),a b a b ==-+则与同方向的单位向量是________________【答案】【解析】 试题分析：，与同方向的单位向量是考点：空间向量的坐标运算；15．如图，在正四面体P ABC -中，,M N 分别为,PA BC 的中点，D 是线段MN 上一点，且2ND DM =，若PD xPA yPB zPC =++，则x y z ++的值为_______．【答案】23【分析】利用基向量表示PD ,结合空间向量基本定理可得. 【详解】1111111()2323366PD PM MD PA MN PA PN PM PA PB PC =+=+=+-=++ 所以11,36x y z ===，所以23x y z ++=.【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.16．如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形ABCD 是上底面正中间一个正方形，正方形1111D C B A 是下底面最大的正方形，已知点P 是线段AC 上的动点，点Q 是线段1B D 上的动点，则线段PQ 长度的最小值为_______．334【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出目标PQ 的表达式，从而可得最小值. 【详解】以1B 为坐标原点，1111,B C B A 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,1,2,3,2,1,3,2,2,3B A C D , 设11B Q B D λ=,AP AC μ=,[],0,1λμ∈.()12,2,3B Q λλλ=,()1111,2,3B P B A AP B A AC μμμ=+=+=+-. ()1112,22,33QP B P B Q μλμλλ=-=+----, ()()()2222122233QP μλμλλ=+-+--+-222215191730221417217234λλμμλμ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当1517λ=且12μ=时，2QP 取到最小值934，所以线段PQ 长度的最小值为33434. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解距离的最值问题时，一般是把目标式表示出来，结合目标式的特征，选择合适的方法求解最值.四、解答题17．如图，已知1111ABCD A B C D -是四棱柱，底面ABCD 是正方形，132AA AB ==，，且1160C CB C CD ︒∠=∠=，设1,,CD C a b B CC c ===.（1）试用,,a b c 表示1AC ； （2）已知O 为对角线1A C 的中点，求CO 的长.【答案】（1）1AC a b c =---；（2）292. 【分析】（1）由11AC A A AD DC =++可表示出来； （2）由21||()4CO a b c =++可计算出. 【详解】（1）11AC A A AD DC =++1AA BC CD =-+- 1CC CB CD c b a a b c =---=---=---；（2）由题意知||2,||2,||3a b c ===，110,233,23322a b a c a b ⋅=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=，111()22CO CA a b c ==++，∴21||()4CO a b c =++ ()22212224a b c a b a c b c =+++⋅+⋅+⋅， ()2221292922302323442=⨯++++⨯+⨯==. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查利用向量计算长度，属于基础题.18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 中点，O 为AC 中点，222AD AB AP ===.（1）证明：OE //平面PAB ；（2）异面直线PC 与OE 所成角的余弦值.【答案】（1）见详解； （2）33【分析】（1）连接BD ，得到O 为BD 中点，然后利用中位线定理，可得//OE PB ，根据线面平行的判定定理，可得结果.（2）通过建系，可得,PC OE ，然后利用向量的夹角公式，可得结果. 【详解】（1）证明：连接BD ，则O 为BD 中点， 又E 为PD 中点，∴OE //PB .∵PB ⊂平面PAB ，OE ⊄平面PAB ， ∴OE //平面PAB（2）以A 为原点建立空间直角坐标系， 如图，则(0,0,1),(1,2,0),(0,2,0)P C D ，110,1,,,1,022E O ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴11(1,2,1),,0,22PC OE ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， ∴3cos ,162PC OE ==⋅即异面直线PC 与OE 3【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及建系通过利用向量的方法解决线线角，将几何问题用代数方法来解决，化繁为简，属基础题.19．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，2DE =，M 为线段BF 的中点．（1）求M 到平面DEC 的距离及三棱锥M CDE -的体积； （2）求证：DM ⊥平面ACE ．【答案】（1）M 到平面DEC 的距离为3，233M CDE V -=；（2）证明见解析. 【分析】 （1）设ACBD O =，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点M 到平面DEC 的距离，计算出CDE △的面积，利用锥体的体积公式可计算出三棱锥M CDE -的体积；（2）利用向量法证明出0AC DM ⋅=，0AE DM ⋅=，可得出DM AC ⊥，DM AE ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得DM ⊥平面ACE . 【详解】 （1）设ACBD O =，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．易知z 轴在平面BDEF 内，且////BF DE z 轴，则()0,3,0C 、()1,0,0D -、()1,0,2E -、()1,0,1M ，()0,0,2DE ∴=，()1,3,0DC =，()2,0,1DM =，设平面DEC 的一个法向量(),,n x y z =，则2030n DE z n DC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3x =，得()3,1,0n =-，M ∴到平面DEC 的距离23331DM n h n⋅===+， 又1122222DECSDE DC =⨯⨯=⨯⨯=， 因此，三棱锥M CDE -的体积112323333M CDE DEC V S h -=⨯⨯=⨯⨯=△； （2）证明：由（1）易知()0,3,0A -，则()0,23,0AC =，()1,3,2AE =-，02230010AC DM ⋅=⨯+⨯+⨯=，1230210AE DM ⋅=-⨯+⨯+⨯=，DM AC ∴⊥，DM AE ⊥，ACAE A =，DM ∴⊥平面ACE .【点睛】本题考查利用空间向量法计算点到平面的距离、三棱锥体积的计算，同时也考查了利用空间向量法证明线面垂直，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是正方形，侧面PDC 是边长为a 的正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）求异面直线PA 与DE 所成角的余弦值； （2）求直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值． 【答案】（16（26【分析】取CD 的中点O ，连接PO ，证明出PO ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OC 、OP 所在的直线分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系.（1）写出PA 、DE 的坐标，利用空间向量法可求得异面直线PA 与DE 所成角的余弦值； （2）求得平面ABCD 的一个法向量，并写出PA ，利用空间向量法可求得直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值． 【详解】取DC 的中点O ，连接PO ，PDC △为正三角形，O 为DC 的中点，则PO DC ⊥．又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC平面ABCD DC =，PO ⊂平面PDC ，PO ∴⊥平面ABCD ．以点O 为坐标原点，OC 、OP 所在的直线分别为y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则30,0,2P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、,,02a A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭、0,,02a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭、0,,02a D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）设异面直线PA 与DE 所成的角为θ，E 为PC 的中点，30,4a E ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，330,4DE a ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，3,,2a PA a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 233330244a a PA DE a a ∴⋅=⨯-⨯=-，2PA a =，32DE =，2364cos cos ,4322a PA DE PA DE PA DEa a θ⋅=<>===⋅⨯， 因此，异面直线PA 与DE 6 （2）设直线AP 与平面ABCD 所成的角为α，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =，362cos ,421aPA n PA n a PA n-⋅<>===-⨯⋅. 因此，直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值为64. 【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值以及线面角的正弦值，考查计算能力，属于中等题.21．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD 、底面ABCD 为菱形，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1,120PA BAD ︒=∠=，菱形ABCD 的面积为23D AE C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）14. 【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则//PB OE ，利用线面平行的判定定理，即可得证； （2）根据题意，求得菱形ABCD 的边长，取BC 中点M ，可证AM BC ⊥，如图建系，求得点坐标及,AE AC 坐标，即可求得平面ACE 的法向量，根据AM ⊥平面P AD ，可求得面ADE 的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则O 、E 分别为,AB ACAM PAD AE AC =⊥、PD 的中点，所以//PB OE ， 又OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE 所以//PB 平面ACE（2）由菱形ABCD 的面积为23，120BAD ︒∠=，易得菱形边长为2， 取BC 中点M ，连接AM ，因为AB AC =，所以AM BC ⊥，以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.则()())10,2,0,0,0,0,0,1,,3,1,02D A E C⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()10,1,,3,1,02AE AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭设平面ACE 的法向量()1,,n x y z =，由11,n AE n AC ⊥⊥得10230y z x y ⎧+=⎪⎪+=⎩，令3x =3,6y z =-= 所以一个法向量()13,3,6n =-，因为AM AD ⊥，AM PA ⊥，所以AM ⊥平面P AD ， 所以平面ADE 的一个法向量()21,0,0n = 所以12121231cos ,43936n n n n n n ⋅<>===++，又二面角D AE C --为锐二面角，所以二面角D AE C --的余弦值为14【点睛】解题的关键是熟练掌握证明平行的定理，证明线面平行时，常用中位线法和平行四边形法来证明；利用空间向量求解二面角为常考题型，步骤为建系、求点坐标、求所需向量坐标、求法向量、利用夹角公式求解，属基础题.22．如图，在四棱锥M ABCD -中，//AB CD ，90ADC BM C ∠=∠=，M B M C =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（1）求证：//CD 平面ABM ； （2）求证：AC ⊥平面BCM ；（3）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π？若存在，求出AEAM 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在；23AE AM=【分析】（1）由线面平行判定定理证明即可；（2）由勾股定理得出2BC =，进而得AC BC ⊥，再由面面垂直的性质定理即可证明AC ⊥平面BCM ；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】证明：（1）因为AB CD ∥，AB 平面ABM ，CD ⊄平面ABM ，所以CD ∥平面ABM .（2）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中， 易知2AN BN CD ===CN AB ⊥.在Rt CNB △中，由勾股定理得2BC =. 在ACB △中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ， 且平面BCM平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM .（3）取BC 的中点O ，连接OM ，ON . 所以ON AC ∥， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,1M ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()2,1,0A -，()2,1,1AM =-，()0,2,0BC =-，()2,2,0BA =-.易知平面BCM 的一个法向量为()1,0,0m =.假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π.不妨设AE AM λ=（01λ≤≤）， 所以()22,2,BE BA AE λλλ=+=--， 设(),,n x y z =为平面BCE 的一个法向量，则0,0,n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即()20,220,y x z λλ-=⎧⎨-+=⎩令x λ=，22z λ=-，所以(),0,22n λλ=-.从而2cos ,2m n m nm n ⋅==⋅.解得23λ=或2λ=. 因为01λ≤≤，所以23λ=. 由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π， 此时23AE AM=.【点睛】本题主要考查了证明线面平行，线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

空间向量与立体几何复习及单元检测卷

空间向量与立体几何复习及单元检测卷
为 。
三．解答题 16．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 DC 的中点，取如图 所示的空间直角坐标系． （1）写出 A、B1、E、D1 的坐标； （2）求 AB1 与 D1E 所成的角的余弦值．
2
17．在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，如图Ｅ、
z
一．选择题 题号 1 答案 D 二．填空题 9、－15 2 D 3 B 4 A 5 A 6 D 7 C 8 C
10、90°11．
1 1 2 11 、 ．12． 60°13． 90°14、 15、 6 5 2 11
三．解答题（本大题 6 小题，共 74 分） 16． 解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)， D1(0, 2, 2) → → (2)∵ AB1 ＝(0, -2, 2)， ED1 ＝(0, 1, 2) → → → → ∴ | AB1 |＝2 2 ， | ED1 |＝ 5 ， AB1 · ED1 ＝ 0－2＋4＝2, → → AB1 · ED1 → → ∴ cos AB1 ， ED1 ＝ ＝ → → | AB1 |·| ED1 | 2 10 10 ＝ 10 ．∴ AB1 与 ED1 所成的角的余弦值为 10 ． 2 2× 5 17． 解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不 妨设正方体的棱长为 1， 则 D（0，0，0），A（1，0，0）， D1 （0， 0，1）， 1 1 E（1，1， ），F（0， ，0）， 2 2 1 则 D1 F ＝ （0， ， －1） ，D A ＝ （1， 0， 0） ， 2 1 AE ＝（0，1， ）， 则 D1 F DA ＝0， x 2 D1 F AE ＝0， D1 F DA ， D1 F AE . D1 F 平面 ADE.

《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷与答案解析(共三套)

《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷与答案解析(共三套)

《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷（一）第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( )A ．1-B ．1CD ．732．已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（ ） A ．9B ．﹣9C ．﹣3D ．33．下列说法正确的是（ ）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等4．若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂B ．//l αC ．l α⊥D ．l 与α相交5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B ．3C ．3D ．137．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）AB ．2C D 8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥ B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π 11．设a ，b ，c 是空间一个基底，则( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z)，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底12．（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．若(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =，则()a b c +=___________．14．已知平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝，A α∈，P α∉，且122PA ⎛=- ⎝，则直线PA 与平面α所成的角为______．15．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =________．16．如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α，则顶点D 到平面α的距离是_____.四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分）17．如图，2BC =，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(2，12，0)，点D 在平面yOz 上，且90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒．（1）求向量CD 的坐标．（2）求AD 与BC 的夹角的余弦值．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒∠=∠=．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度； （2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．19．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：NM ∥平面11A ADD ； （2）求证：NM ⊥平面11A B M ．20．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，14A D A A ==.（1）证明：面1ACD ⊥面1BB D ； （2）求二面角11B AC D --的余弦值.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．22．如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ． （1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF ，求线段AP 的长．答案解析第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( )A ．1-B ．1CD ．73【答案】A 【解析】如图所示由正四面体的性质可得：PA BC ⊥ 可得：0PA BC ⋅=E 是棱AB 中点12PEPA PB 111122cos12012222PE BC PA PB BCPA BC PB BC 故选：A【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.2．已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（ ） A ．9 B ．﹣9C ．﹣3D ．3【答案】B【解析】由P ，A ，B ，C 四点共面，可得,,PA PB PC 共面，(2,2,33)(7,6,)xPA yPB x y x y C y P x λ∴=+=-+-+=，272633x y x y x y λ-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，解得419x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. 故选:B.3．下列说法正确的是（ ）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等 【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .4．若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂ B ．//l αC ．l α⊥D ．l 与α相交【答案】C【解析】∵直线l 的方向向量为()1,2,3a =-， 平面α的法向量为()3,6,9n =--，∴13a n =-，∴a n ， ∴l α⊥． 故选C ．5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-【答案】A【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为2，则()()()()1100,012,121,002M N O D ，，，，，，，，， ∴()()11,1,2,1,2,1MN OD =-=--． 则1111cos ,66MN OD MN OD MN OD ⋅===． ∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16,故选A ．6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AAAB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（） A ．23B C．3D ．13【答案】A【解析】设1AB =11BD BCDC ∴===，1BDC ∆面积为3211C BDC C BCD V V --=131********d d ∴⨯⨯=⨯⨯∴=2sin 3d CD θ∴== 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）AB．2CD【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1）， 1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1）， 设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d＝||2||5EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N到该面的故选：D ．8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=， 即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q . 故选：C.二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则 由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高， 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π 【答案】BC【解析】由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ， 则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确；连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点， 可知11////EF BC AD ，所以AEF ∆⊂平面1AD EF ， 则平面AEF平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴， 则各点坐标如下：()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n AF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得2,2x z ==，得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =，所以10A H n ⋅=，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确； 由图可知，1AA ⊥平面AFC ，所以1AA 是平面AFC 的法向量， 则1112cos ,3AA n AA n AA n⋅<>===⋅. 得知二面角E AF C --的大小不是4π，所以D 不正确. 故选：BC.11．设a ，b ，c 是空间一个基底，则( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z)，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD【解析】对于A 选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，所以A 选项错误. 对于B选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面.对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面.假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设()()()1a b x b c x c a +=++-+，化简得()1x a x b c ⋅=-+，即()1c x a x b =⋅+-，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底.所以D 选项正确. 故选：BCD12．（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 【答案】BC【解析】如图所示：A 项：取BD 的中点O ，连结OP 、OC ， 因为四边形ABCD 是菱形，O 是线段BD 的中点， 所以,,OP BD OC BD OPOC O ⊥⊥=,BD ⊥平面POC ，BD ⊂平面BCD ，所以POC ⊥平面BCD ，所以POC 平面BCDOC ，所以PC 在平面BCD 的射影为OC ，PCO ∠即PC 与平面BCD 所成角，PO OC ，三角形POC 是等腰三角形，当60POC ∠=时，PC 与平面BCD 所成角为60，故A 错误； B 项：当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得CD PN ⊥，CD BN ⊥，故CD ⊥平面PBN ，PB CD ⊥，故B 正确； C 项：因为四边形ABCD 是菱形，O 是线段BD 的中点， 所以PO BD ⊥，CO BD ⊥，因为BD 是平面PBD 与平面CBD 的交线， 所以POC ∠即平面PBD 与平面CBD 所成角，因为二面角P BD C --的大小为90，所以90POC ∠=，因为PO OC ==PC =C 正确；D 项：因为BN =B 到平面PDC则BN ⊥平面PCD ，2PB =，BN =1PN =，1DN =，则PD =D 错误，故选：BC.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．若(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =，则()a b c +=________． 【答案】3.【解析】因为(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =所以()5,4,5b c += 所以()()2534153a b c +=⨯+-⨯+⨯=故答案为：314．已知平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝，A α∈，P α∉，且122PA ⎛=- ⎝，则直线PA 与平面α所成的角为______． 【答案】π3【解析】设直线PA 与平面α所成的角为θ，则s 0in cos n PA n PAθθ===⋅=⋅， ∴直线PA 与平面α所成的角为π3．故答案为：π3．15．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =________． 【答案】60︒【解析】由条件，知0CA AB ⋅=，0AB BD ⋅=，CD CA AB BD =++.2222222CD CA AB BD CAAB AB BD CA BD=+++⋅+⋅+⋅(2222648268cos ,CA BD =+++⨯⨯=.∴1cos ,2CA BD =-，又∵0,180CA BD ︒≤≤︒，∴,120CABD =︒，∴二面角的大小为60︒. 故答案为：60︒.16．如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α，则顶点D 到平面α的距离是______.【解析】如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(3,3,0),(3,3,3)O C B A D ， 所以(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)BA CA AD ===， 设平面α的一个法向量为(,,)n x y z =， 则点B 到平面α距离为12||||BA n d n x ⋅===点C 到平面α距离为12||||CA n d n x ⋅===由①②可得||||,|||y x zx==， 所以D 到平面α的距离为2|||||AD n n x x ⋅===故答案为四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分） 17．如图，2BC =，原点O 是BC的中点，点A 的坐标为(2，12，0)，点D 在平面yOz 上，且90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒．（1）求向量CD 的坐标．（2）求AD 与BC 的夹角的余弦值．【答案】（1）3(0,2-；（2）.【解析】（1）过D 作DE BC ⊥于E ，则sin302DE CD =⋅︒=，11cos60122OE OB BD =-︒=-=，所以D 的坐标为1(0,2D -，又因为(0,1,0)C ，所以3(0,2CD =-．（2）依题设有A 点坐标为1,0)2A ，所以(2AD =--，(0,2,0)BC =，则AD 与BC 的夹角的余弦值为·cos ,·AD BC AD BC AD BC==-．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒∠=∠=．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度； （2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值． 【答案】（1）1BC a c b =+-；12BC =（2【解析】（1）1111111111BC BB BC BB AC A B AA AC AB a c b =+=+-=+-=+-， 因为11||||cos 11cos602a b a b BAA ︒⋅=⋅∠=⨯⨯=，同理可得12a cbc ⋅=⋅=，所以22221()2221111BC a c b a c b a c a b c b =+-=+++⋅-⋅-⋅=+++-=．（2）因为1AB a b =+，所以2221()2111AB a b a b a b =+=++⋅=++=因为2211()1111111222)2(AB BC a b a c b a a ca b b a c b b ⋅=+⋅+-=+⋅+-⋅+⋅+⋅=+-+=--，所以111111cos ,62AB BC AB BC AB BC ⋅<>===所以异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为619．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：NM ∥平面11A ADD ； （2）求证：NM ⊥平面11A B M ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点，(0M ∴，1，1)，(1N ，1，0)，(1=MN ，0，1)-，平面11A ADD 的法向量可设为(0n =，1，0)，∴0=MN n ，MN ⊂/平面11A ADD ，MN ∴平面11A ADD ．（2）1(1A ，0，2)，1(1B ，2，2)，11(0A B =，2，0)，1(1A M =-，1，1)-， 11·0MN AB ∴=，1·0MN AM =， 11MN A B ∴⊥，1MN A M ⊥， 1111A B A M A ⋂=，NM ∴⊥平面11A B M ．20．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，14A D A A ==.（1）证明：面1ACD ⊥面1BB D ； （2）求二面角11B AC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）63. 【解析】（1）证明：1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴1AC BB ⊥. 又∵AC BD ⊥，且1BB BD B ⋂=，1,BD BB ⊂平面1BB D ， ∴AC ⊥平面1BB D . 又∵AC ⊂平面1ACD ， ∴面1ACD ⊥面1BB D .（2）易知AB 、AD 、1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系，设AB t =，则相关各点的坐标为()0,0,0A ，(),0,0B t ，()1,0,4B t ，(),1,0C t ， ()1,1,4C t ，()0,4,0D ，()10,4,4D .从而(),1,0AC t =，(),4,0BD t =-. ∵AC BD ⊥，∴2400AC BD t ⋅=-++= 解之得2t =或2t =-（舍去）.()10,4,4AD =，()2,1,0AC =设()1,,n x y z =是平面1ACD 的一个法向量， 则11100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20440x y y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则()11,2,2n =-.同理可求面1ACB 的法向量为()22,4,1n =-.∴12122cos 63||||3n n n n θ⋅-===⋅.又∵二面角11B AC D --是锐二面角， ∴二面角11B AC D --21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）证明：连接BD 交AC 于点H ，连接HE//AB DC ,AB CD =,四边形ABCD 是平行四边形，H ∴是AC 中点，又E 为线段PD 的中点，//B HE P ,又HE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE∴ 直线//PB 平面ACE（2）AB ⊥平面PAD ,作Ax AP ⊥,建立如图所示空间直角坐标系A xyz -由已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒ 得(0,0,2)B ,(0,2,0)P,1,0)D -,1,2)C -(0,2,2)PB =-- , (3,3,0)PD =- (0,0,2)CD =-设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =·0·0n CD n PD ⎧=⎨=⎩ , 200Z y -=⎧⎪-=，不妨取(1,3,0)n =2cos ,422PB n PBn PB n-∴<>===⨯所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为422．如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ． （1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF ，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2；（3）3【解析】（1）证明：四边形EDCF 为矩形，DE CD ∴⊥，又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF⋂平面ABCD CD =，ED ∴⊥平面ABCD ．取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 如图，则(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(1C -，2，0)，(0E ，0，2)，(1F -，2，2)， 设平面ABE 的法向量(,,)m x y z =，(1,2,2)BE =--，(0,2,0)AB =，由·220·20m BE x y z m AB y ⎧=--+=⎨==⎩，取1z =，得(2,0,1)m =，又(1,2,2)DF =-，∴2020DF m =-++=，则DF m ⊥， 又DF ⊂/平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；（2）解：设平面BEF 的法向量111(,,)n x y z =，(1,2,2)BE =--，(1,2,0)EF =-，由11111·220·20n BE x y z n EF x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取11y =，可得(2,1,2)n =，42cos ,||||35m n m n m n +∴<>===，5sin ,5m n ∴<>=， 即平面ABE 与平面BEF ；（3）解：点P 在线段EF 上，设EP EF λ=，[0λ∈，1]，∴(1AP AE EF λ=+=-，0，2)(1λ+-，2，0)(1λ=--，2λ，2)，又平面BEF 的法向量(2,1,2)n =，设直线AP 与平面BEF 所成角为θ，∴|||2(1sin |cos ,|||||3(AP n AP n AP n θλ-=<>===-，24518110λλ∴+-=，即(31)(1511)0λλ-+=，[0λ∈，1]，∴13λ=．∴4(3AP =-，23，2)，则||(AP =-，AP ∴．《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷（二）一、选择题1．在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（ ）323向量()()(,1,1,b 1,,1,c 2,4,2a x y ===-且,//c a c b ⊥，则b a +=（ ）3．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）4．空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（ ）5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=1MN = 6.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥二、填空题7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．8．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点C 到9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成的角为θ，则当θ最小时，tan θ=__________.10．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定题序号都填上）三、解答题, ,为的中点，为的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题： （1）证明：直线；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （3）求点B 到平面OCD 的距离.为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；答案解析一、选择题1．在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（ ）A ．1223EF AC AB AD →→→→=+-B ．112223EF AC AB AD →→→→=--+OA ABCD ⊥底面2OA =M OA N BC MN OCD平面‖C ．112223EF AC AB AD →→→→=-+D ．112223EF AC AB AD →→→→=-+-【答案】B【解析】在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，所以EF EB BA AF →→→→=++1223AB AC AB AD →→→→⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭112223AC AB AD →→→=--+，即112223EF AC AB AD →→→→=--+.故选：B.2.设,x y R ∈，向量()()(),1,1,b 1,,1,c 2,4,2,a x y ===-且,//c a c b ⊥，则b a +=（ ）A ．BC ．3D ．4【答案】D 【解析】(),241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，,,a b ⊥()214+20,a b x ∴⋅=+⋅-=1x ∴=,()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，(223a b ∴+=+=,故选C. 3．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）A B ．2C ．3λ D 【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1）， 1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1）， 设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则1·20·20n ED x z n EF y ⎧=-+=⎨==⎩，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d＝255EM nn==，N 为EM 中点，所以N 到该面的距，选D ．4．空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（ ） A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤【答案】A【解析】因为空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形，并以A 点为原点构建空间直角坐标系：因为::1:3:1AC AB BD =，所以可设AC x =，3AB x =，BD x =，则()0,0,0A ，0,3,0B x ，0,0,C x ，,3,0D x x ，,3,CD x x x ，0,3,0AB x ，0,3,CBx x ，故CD 与AB 所成的角α的余弦值229311cos α11113CD AB x CD ABx x， 因为根据矩形的性质易知平面ABD ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，所以二面角C ABD --的平面角为γ90，γ452，γ2cos22，所以BCD ∠即CD 与面ABC 所成的角β，故110cos β11CD CB CD CB，因为311211112，所以2γβα≤≤，故选：A.5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为ABC ∆的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC【解析】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ，2BD DC ∴=，3BD BD DC ∴=+即3BD BC =，故A 正确；对于B ，若Q 为ABC ∆的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ ∴+++=，3PQ PA PB PC ∴=++即111333PQ PA PB PC =++，故B 正确；对于C ，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则PA BC PC AB ⋅=⋅，0PA BC PC AB ∴⋅+⋅=，()0PA BC PC AC CB ∴⋅+⋅+= 0PA BC PC AC PC CB ∴⋅+⋅+⋅=，0PA BC PC AC PC BC ∴⋅+⋅-⋅=()0PA PC BC PC AC ∴-⋅+⋅=，0CA BC PC AC ∴⋅+⋅=0AC CB PC AC ∴⋅+⋅=，()0AC CB PC ∴⋅+=0AC PB ∴⋅=故C 正确；对于D ，()()111222MN PN PM PB PC PA PB PC PA =-=+-=+-12MN PA PB PC ∴=--，222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PB PC --=++-⋅-⋅+⋅===2MN ∴=，故D 错误.故选：ABC6.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90︒时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 【答案】BC 【解析】如图所示：对A ，取BD 的中点O ，连结OP ，OC ，则当60POC ∠=时，PC 与平面BCD 所成的最大角为60︒，故A 错误；对B ，当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得,,CD PN CD BN ⊥⊥所以CD ⊥平面PBN ，所以PB CD ⊥，故B 正确；对C ，当二面角P BD C --的大小为90时，所以90∠=POC ，所以PO OC ==所以PC =故C 正确；对D ，因为BN =所以如果B 到平面PDC ，则BN ⊥平面PCD ，则2,1,1PB BN PN DN ====，所以PD =D 错误；故选：BC.二、填空题7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．【答案】90； 1【解析】长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，又11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动则D （0，0，0），D 1（0，0，1），A （1，0，0），A 1（1，0，1），C （0，2，0）， 设E （1，m ，0），0≤m≤2，则1D E =（1，m ，﹣1），1A D =（﹣1，0，﹣1）， ∴1D E •1A D =﹣1+0+1=0，∴直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°． ∵1D E =（1，m ，﹣1），EC =（﹣1，2﹣m ，0），D 1E ⊥EC ，∴1D EEC =﹣1+m （2﹣m ）+0=0，解得m=1，∴AE=1．故答案为900，1．8．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点C 到平面11AB D，则直线1B D 与平面11AB D 所成角的余弦值为______.【解析】如图，连接11A C 交11B D 于O 点，过点C 作CH AO ⊥于H ，则CH ⊥平面11AB D ，则CH =，设1AA a =，则AO CO ==AC =得1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯a =以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -.则(A ，()12,0,0B ，()10,2,0D，(D ，(10,2,AD =-，(12,0,AB =-，(1B D =-，设平面11AB D 的法向量为(),,n x y z =，则1100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令x，得()2,2,1n =.11110cos ,10B D n B D n B D n⋅==1B D 与平面1111D C B A所成的角的余弦值为.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成的角为θ，则当θ最小时，tan θ=__________. 【答案】42【解析】如图，设,P Q 分别为棱CD 和11C D 的中点，则四棱锥11E C D DC -的外接球即为三棱柱11DFC D EC -的外接球，因为三棱柱11DFC D EC -为直三棱柱，所以其外接球球心O 为上、下底面三角形外心G 和H 连线的中点，由题意，MN 是平面1DD EF 内的一条动直线，所以θ最小是直线OC 与平面1DD EF 所成角，即问题转化为求直线OC 与平面1DD EF 所成角的正切值，不妨设正方体的棱长为2，2EQ =，1ED =,因为11EC D △为等腰三角形，所以11EC D △外接圆的直径为11152sin 2ED GE EC D ===∠,则54GE =，从而53244GQ PH =-==，如图，以D 为原点，以1,,DA DC DD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()0,2,0C ，()2,1,0F ，3,1,14O ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,2DD ∴=，()2,1,0DF =，设平面1DD EF 的一个法向量为(),,n x y z =，则12020n DD z n DF x y ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩，令1x =，则()1,2,0n =-，因为3,1,14OC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以sin cos ,n OC θ===10．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为其中正确命题的序号是__________.（将你认为正确的命题序号都填上）【答案】①③④【解析】如图所示：以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,1P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,,0E y ，则()1,0,1BP =-，()1,2,0CE y =--，cos ,2BP CE BP CE BP CE⋅==≤⋅2y =时等号成立， 此时,4BP CE π=，故直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45，①正确；()()1,,01,2,121BE PC y y ⋅=-⋅-=-，当12y =时，BE PC ⊥，②错误； 将四棱锥放入对应的长方体中，则球心为体对角线交点，1111112323226BCE E BCO OBCE AP V V S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，③正确；如图所示：将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ， 则''CE PE C E PE PC +=+≥=='PEC 共线时等号成立，④正确.故答案为：①③④.三、解答题11.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，,, ,为的中点，为的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题： （1）证明：直线；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；O ABCD -ABCD 4ABC π∠=OA ABCD ⊥底面2OA =M OA N BC MN OCD平面‖（3）求点B 到平面OCD 的距离.【解析】作于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为轴建立坐标系, (1)设平面OCD 的法向量为,则即 取解得(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(3)设点B 到平面OCD 的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,AP CD ⊥,,x yz (0,0,0),(1,0,0),(0,((0,0,2),(0,0,1),(122244A B P D O M N -2222(1,,1),(0,,2),(2)44222MN OP OD =--=-=--(,,)n x y z =0,0n OP n OD ==2022022y z x y z -=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩z =(0,4,2)n =22(1,,1)(0,4,2)044MN n =--=∵MN OCD ∴平面‖AB MD θ(1,0,0),(1)2AB MD ==--∵1cos ,23AB MDAB MD πθθ===⋅∴∴AB MD 3πd d OB (0,4,2)n =由 , 得.所以点B 到平面OCD 的距离为12.在三棱锥A —BCD 中，已知,BD=2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO=2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足BF=14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sinθ的值． 【解析】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴(1,0,2),(1,1,1)cos ,15AB DE AB DE ∴=-=∴<>==- 从而直线AB 与DE 所成角的余弦值为15（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =(1,0,2)OB =-23OB n d n⋅==2311200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=- 设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩令111272,5(2,7,5)yx z n =-∴==∴=-12cos ,n n ∴<>==，因此sin 13θ==.《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷（三）一、单选题1．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．无法确定2．如图，在平行六面体中，为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）111ABCD A B C D -M AC BD 11A B a =11A D b =1A A c =1B MA ．B ．C ．D ． 3．已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（ ） A ．2B ．C ．10D ．4．如图，已知正方体ABCD ﹣A'B'C'D'中，E 是CC'的中点，，，，x y z ，则（ ）A ．x ＝1，y ＝2，z ＝3B ．x ，y ＝1，z ＝1C ．x ＝1，y ＝2，z ＝2D ．x ，y ＝1，z5．正方体不在同一侧面上的两顶点，，则正方体外接球体积是（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知，若点D 是AC 中点，则( ) A ．2B ．C ．-3D ．67．平行六面体中，，则实数x ，y ，z 的值分别为( ) A ． B ．C ．D ．8．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）1122a b c -++1122a b c ++1122a b c -+1122a b c --+()0,1,1a =()1,2,1b =-a b +()2,,4c m =--m2-10-1'2a AA =12b AB =13c AD =AE =a +b +c 12=12=32=(1,2,1)A--(1,0,1)B323π4π(1,2,3),OA =(2,2,1),OB =-(1,1,2)OC =BC OD ⋅=32-1111ABCD A B C D -12,AM MC =1AM xAB yAD zAA =++1,32,3232,31,3232,32,3132,31,223111ABC A B C -1160BAA CAA ︒∠=∠=1AB 1BCABCD ．9．如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为A ．B ．C ．D ．10．在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（ ）A ．BCD ．二、多选题11．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（ ）A ．B ．C ．是平面ABCD 的一个法向量D ．12．在正方体中，，分别是和的中点，则下列结论正确的是( )6111ABC A B C -1AA ⊥ABC 13AA =2AB AC BC ===1AA 11AB C 3045︒60︒90︒(1,6),(3,8)A B --x 60︒,A B ()2,4,1AB =--()4,2,0AD =()1,2,1AP =--AP AB ⊥⊥AP AD AP //AP BD 1111ABCD A B C D -E F 11A D 11C DA ．平面B ．平面C ．D ．点与点到平面的距离相等 13．在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（ ）A ．=B ．C ．三棱锥的体积为D ．与平面BB′C′C 所成的角为三、填空题14．已知向量2，，x ，，且，则x 的值为______． 15．若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________.16．如图所示，在正方体中，M 为棱的中点，则异面线与AM 所成角的余弦值为________.17．如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则直线与平面所成角的正切值为________；异面直线与所成角的余弦值是________．11//A C CEF 1B D ⊥CEF 112DA DD C DC E =+-D 1B CEF ABC A B C '''-BC 'B C 'O AO 111222AB AC AA '++AO B C '⊥A BB O '-24AO π6(3,a =-5)(1,b =1)-8a b ⋅=(2,1,2)a =-(4,2,)b m =-a b m 1111ABCD A B C D -1CC 1BD ABCD ADPQ ,,M E F ,,PQ AB BC ME ABCD EMAF四、解答题18．如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线AE 和平面OBC 的所成角.19．如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点．（1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值．20．如下图所示，在四棱锥中，底面四边形，四边形是直角梯形，且，，点是棱的中点，是上的点，且.O ABC -OA OB OC ，，1OA =2OB OC ==EOC BEAC S OABC -SO ⊥OABC OABC 90COA OAB ∠=∠=︒1,4OA OS AB OC ====M SB N OC :1:3ON NC =(1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求与平面所成的角的正弦值．21．如图，在正方体中，分别是的中点。

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2017-2018学年度xx学校xx月考卷一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.在平面ABCD中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2等于()A． 2B． 0C． 1D．无意义2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于()A．B．C．D．3.已知i、j、k是空间直角坐标系O－xyz的坐标向量，并且＝－i＋j－k，则B点的坐标为()A． (－1,1，－1)B． (－i，j，－k)C． (1，－1，－1)D．不确定4.两平面α、β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是()．A．－3B． 6C．－6D．－125.如下图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()．A． 2·B． 2·C． 2·D． 2·6.已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则＋(＋)等于()A．B．C．D．7.下列条件中使点M与点A，B，C一定共面的是()A．＝2－－B．＝＋＋C．＋＋＝0D．＋＋＋＝08.设A，B，C，D是空间不共面的四个点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．无法确定9.已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，且＝a，＝b，则＝()A．－a－bB．a＋bC．a－bD． 2(a－b)10.已知向量＝(2，－2,3)，向量＝(x,1－y,4z)，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为(0，，－)，则(x，y，z)＝()A． (－2，－4，－1)B． (－2，－4,1)C． (－2,4，－1)D． (2，－4，－1)11.设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为()A．B．C．D．12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则|MN|＝()A．aB．aC．aD．a二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________.14.已知在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，则·＝________.15.如下图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________．16.在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.三、解答题(共6小题,每小题12.0分,共72分)17.已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，O为原点，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b?18.在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|.19.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．(1)＋；(2)＋；(3)＋＋；(4)＋＋＋＋；(5)＋＋－－；(6)＋－－.20.如下图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ.21.如下图所示，已知空间四边形ABCD，连AC、BD，若AB＝CD，AC＝BD，E、F分别是AD、BC的中点，试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线．22.如下图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)指出直线MN的一个以A为起点的方向向量，(2)若∠PDA＝45°，求证为平面PCD的一个法向量．答案解析1.【答案】C【解析】＝(1,1,0)，＝(－1，－1，－2)设a＝(x，y，z)为平面ABC的法向量则，即令x＝－1，则y＝1，∴y2＝1.2.【答案】D【解析】分别以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACC1A1的一个法向量为n＝(－1,1,0)，∵F(，0,0)，G(1,1，)，∴＝，设直线FG与平面A1ACC1所成角θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.3.【答案】D【解析】向量的坐标与B点的坐标不同．4.【答案】B【解析】α⊥β⇒u·v＝0⇒－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.5.【答案】C【解析】2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错，只有C正确．6.【答案】A【解析】依题意有＋(＋)＝＋＝.7.【答案】C【解析】由共面向量定理8.【答案】C【解析】·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2＞0.同理·＞0，·＞0.故△BCD为锐角三角形．9.【答案】A【解析】＝＋＝－＝－b－a，故选A.10.【答案】A【解析】由条件(2，－2,3)＋(x,1－y,4z)＝2，∴(x＋2，－1－y,3＋4z)＝(0,3，－1)，∴.11.【答案】A【解析】连AG1交BC于E，则E为BC中点，＝(＋)＝(－2＋)，＝＝(－2＋)，∵＝3＝3(－)，∴OG＝OG1，∴＝＝(＋)＝(＋－＋)＝＋＋，故选A.12.【答案】A【解析】＝－＝－＝＋－＝＋－.∴||＝＝a.13.【答案】－【解析】如下图，连结A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF平行且等于A1D，∴＝，即E－＝0，∴λ＝－.14.【答案】·＝(－)·(＋)＝·＋·－||2－·＝·－||2－·＝·－·＝·＝0.【解析】15.【答案】，，【解析】∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－＝＋×(＋)－×＝＋＋∴x，y，z的值分别为，，.16.【答案】a＋b＋c【解析】由向量的线性运算，将向量进行分解17.【答案】见解析【解析】(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝＝5.(2)假设存在一点E满足题意，即＝t(t≠0)．＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)．若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此存在点E，使得⊥b，此时点E的坐标为－，－，.18.【答案】|MN|＝a【解析】∵M＝M＋B＋C＝A＋(A－A)＋(A－A)＝－A＋A＋A.∴M·M＝(－A＋A＋)·(－A＋A＋A)＝－A·A－A·A＋A·A＋2＋＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.故|M|＝＝a.即|MN|＝a.19.【答案】见解析【解析】(1)＋＝.(2)＋＝(＋)＝＝.(3)＋＋＝＋＝.(4)＋＋＋＋＝0.(5)＋＋－－＝＋＋＋＝＋＋＝.(6)＋－－＝＋＋＋＝＋＝＋＝.20.【答案】θ＝30°【解析】如下图所示，建立空间直角坐标系，设BC＝1，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)则N(1，0，1)，∴＝(－2，2，0)，＝(0，2，0)，＝(1，0，1)，设平面ADMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由得取x＝1，则z＝－1，∴n＝(1，0，－1)，∵cos〈，n〉＝＝＝－，∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.21.【答案】见解析【解析】∵点F是BC的中点，∴＝(＋)．∴＝－＝(＋)－.又||＝||＝|－|，∴＝2－2·＋2①同理＝2＝2－2·＋2.②由①代入②可得2＝2－2·＋2－2·＋2，∴22－2·(＋)＝0∴·(＋－)＝0.∴·(＋－)＝0.∴·＝0.∴⊥.同理可得⊥.∴EF是AD与BC的公垂线．22.【答案】见解析【解析】(1)取PD的中点E，连接NE、AE，∵N是PC的中点，∴NE DC.又DC AB，AM＝AB，∴AM CD，∴NE AM，∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.∴为直线MN的一个以A为起点的方向向量．(2)在Rt△PAD中，∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD，又MN∥AE，∴MN⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，又MN∥AE，∴CD⊥MN，又∵CD∩PD于D，∴MN⊥平面PCD.∴为平面PCD的一个法向量．。

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