2016-2017学年高中数学人教A版选修2-1学业测评：1.4 全称量词与存在量词(3课时) Word版含解析

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列命题为特称命题的是( )
A ．奇函数的图象关于原点对称
B ．正四棱柱都是平行六面体
C ．棱锥仅有一个底面
D ．存在大于等于3的实数x ，使x 2－2x －3≥0
【解析】 A ，B ，C 中命题都省略了全称量词“所有”，所以A ，B ，C 都是全称命题；D 中命题含有存在量词“存在”，所以D 是特称命题，故选D.
【答案】 D
2．下列命题为真命题的是( )
A ．∀x ∈R ，cos x <2
B ．∃x ∈Z ，log 2(3x －1)<0
C ．∀x >0，3x >3
D ．∃x ∈Q ，方程2x －2＝0有解
【解析】 A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1<2，所
以A 是真命题；B 中，log 2(3x －1)<0⇔0<3x －1<1⇔13<x <23，所以B
是假命题；C 中，当x ＝1时，31＝3，所以C 是假命题；D 中，2x －2＝0⇔x ＝2∉Q ，所以D 是假命题．故选A.
【答案】 A
3．下列命题的否定是真命题的是( )
A ．存在向量m ，使得在△ABC 中，m ∥AB
→且m ∥AC → B ．所有正实数x ，都有x ＋1x ≥2
C ．所有第四象限的角α，都有sin α<0
D ．有的幂函数的图象不经过点(1，1)
【解析】 A 中，当m ＝0时，满足m ∥AB
→且m ∥AC →，所以A 是真命题，其否定是假命题；B 中，由于x >0，所以x ＋1x ≥2x ·1x
＝2，当且仅当x ＝1x 即x ＝1时等号成立，所以B 是真命题，其否定
是假命题；C 中，由于第四象限角的正弦值是负数，所以C 是真命题，其否定是假命题；D 中，对于幂函数f (x )＝x α，均有f (1)＝1，所以幂函数的图象均经过点(1，1)，所以D 是假命题，其否定是真命题，故选D.
【答案】 D
4．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)
B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)
C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)
D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)
【解析】 f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 2
4a (a >0)， ∵2ax 0＋b ＝0，∴x 0＝－b 2a ，
当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值，
∴∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，从而A ，B ，D 为真命题，C 为假命题．
【答案】 C
5．对下列命题的否定说法错误的是( )
A ．p ：能被2整除的数是偶数；綈p ：存在一个能被2整除的数不是偶数
B ．p ：有些矩形是正方形；綈p ：所有的矩形都不是正方形
C ．p ：有的三角形为正三角形；綈p ：所有的三角形不都是正三角形
D ．p ：∃n ∈N ，2n ≤100；綈p ：∀n ∈N ，2n ＞100
【答案】 C
二、填空题
6．命题“偶函数的图象关于y 轴对称”的否定是_____________．
【解析】 题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图象关于y 轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y 轴对称”改为“关于y 轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图象关于y 轴不对称”．
【答案】有些偶函数的图象关于y轴不对称
7．已知命题：“∃x0∈[1，2]，使x20＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是__________．
【解析】当x∈[1，2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.
【答案】[－8，＋∞)
8．下列命题：
①存在x<0，使|x|>x；
②对于一切x<0，都有|x|>x；
③已知a n＝2n，b n＝3n，对于任意n∈N*，都有a n≠b n；
④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B ＝∅.
其中，所有正确命题的序号为________. 【导学号：18490027】【解析】命题①②显然为真命题；③由于a n－b n＝2n－3n＝－n<0，对于∀n∈N*，都有a n<b n，即a n≠b n，故为真命题；④已知A ＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1，2，3时，A∩B＝{6}，故为假命题．
【答案】①②③
三、解答题
9．写出下列命题的否定：
(1)p：一切分数都是有理数；
(2)q：有些三角形是锐角三角形；
(3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝x 0＋2；
(4)s ：∀x ∈R ，2x ＋4≥0.
【解】 (1)綈p ：有些分数不是有理数．
(2)綈q ：所有的三角形都不是锐角三角形．
(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋x ≠x ＋2.
(4)綈s ：∃x 0∈R ，2x 0＋4＜0.
10．若x ∈[－2，2]，关于x 的不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．
【解】 设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则此问题转化为当x ∈[－2，2]时，f (x )min ≥0即可．
①当－a 2<－2，即a >4时，f (x )在[－2，2]上单调递增，
f (x )min ＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73.
又因为a >4，所以a 不存在．
②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，
f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝12－4a －a 24≥0，解得－6≤a ≤2. 又因为－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.
③当－a 2>2，即a <－4时，
f (x )在[－2，2]上单调递减，
f (x )min ＝f (2)＝7＋a ≥0，
解得a ≥－7.
又因为a <－4，所以－7≤a <－4.
综上所述，a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．
[能力提升]
1．已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0＜3x 0，命题q ：∀x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，cos x ＜1，则下列命题为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．p ∨(綈q )
C ．(綈p )∧q
D ．p ∧(綈q )
【解析】 当x 0＜0时，2x 0＞3x 0，
∴不存在x 0∈(－∞，0)使得2x 0＜3x 0成立，即p 为假命题，显然∀x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，恒有0<cos x ＜1，∴命题q 为真，∴(綈p )∧q 是真命题．
【答案】 C
2．(2013·四川高考)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则( )
A ．綈p ：∃x ∈A ，2x ∈B
B ．綈p ：∃x ∉A ，2x ∈B
C ．綈p ：∃x ∈A ，2x ∉B
D ．綈p ：∀x ∉A ，2x ∉B
【解析】 命题p 是全称命题： ∀x ∈M ，p (x )，则綈p 是特称命题：∃x ∈M ，綈p (x )．故选C.
【答案】 C
3．已知函数f (x )＝x 2
＋m ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，若对任意x 1∈[－1，3]，存在x 2∈[0，2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．
【解析】 因为对任意x 1∈[－1，3]，f (x 1)∈[m ，9＋m ]，即f (x )min ＝m .存在x 2∈[0，2]，使f (x 1)≥g (x 2)成立，只要满足g (x )min ≤m 即可，
而g (x )是单调递减函数，故g (x )min ＝g (2)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝14，得m ≥14. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，＋∞ 4．已知a >12且a ≠1，条件p ：函数f (x )＝log (2a －1)x 在其定义域上
是减函数；条件q ：函数g (x )＝x ＋|x －a |－2的定义域为R ，如果p ∨q 为真，试求a 的取值范围. 【导学号：18490028】
【解】 若p 为真，则0<2a －1<1，得12<a <1.
若q 为真，则x ＋|x －a |－2≥0对∀x ∈R 恒成立．
记f (x )＝x ＋|x －a |－2，
则f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x －a －2，x ≥a ，a －2，x <a ， 所以f (x )的最小值为a －2，即q 为真时，a －2≥0，即a ≥2.
于是p ∨q 为真时，得12<a <1或a ≥2，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1∪[2，＋∞)．。