河北省衡水市枣强中学高一数学下学期期中试卷文(含解析)

2015-2016学年河北省衡水市枣强中学高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题1．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是（）A． B． C．a2＜b2D．|a|＞|b|2．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10B．﹣10C．14D．﹣143．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138B．135C．95D．234．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）5．已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，那么a2003的值是（）A．20032B．2002×2001C．2003×2002D．2003×20046．已知等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和取最大值的正整数n是（）A．4或5B．5或6C．6或7D．87．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a等于（）A． B．2C． D．8．在△ABC中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范围是（）A．2＜a＜2B．2＜a＜4C． a＜2D．＜a＜29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A． B． C．或D．或10．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A． B． C． D．11．已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β（α＞β），则A点离地面的高AB等于（）A． B．C． D．12．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1+a8＞a4+a5D．a1a8=a4a5二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）=2x，等差数列{a n}的公差为2，若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log2[f （a1）•f（a2）•f（a3）•…•f（a10）]= ．15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA= ．16．若x+2y=1，则2x+4y的最小值是；三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．除17题10分，其它每题12分）17．设对一切x，y∈R都成立，求k的最小值．18．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．19．解关于x的不等式x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0．20．在△ABC中，已知边c=10，又知，求边a、b 的长．21．已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，其中，，…，恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+k n．22．一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需时间和α角的正弦．（注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角）．2015-2016学年河北省衡水市枣强中学高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是（）A． B． C．a2＜b2D．|a|＞|b|【考点】不等关系与不等式．【分析】根据已知条件分别对A、B、C、D，四个选项利用特殊值代入进行求解．【解答】解：A、如果a＜0，b＞0，那么，∴，故A正确；B、取a=﹣2，b=1，可得＞，故B错误；C、取a=﹣2，b=1，可得a2＞b2，故C错误；D、取a=﹣，b=1，可得|a|＜|b|，故D错误；故选A．2．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10B．﹣10C．14D．﹣14【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】不等式ax2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax2+bx+2=0的解为，把解代入方程求出a、b即可．【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是即方程ax2+bx+2=0的解为故则a=﹣12，b=﹣2．3．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138B．135C．95D．23【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故选C4．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）【考点】等比数列的前n项和．【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故选：C．5．已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，那么a2003的值是（）A．20032B．2002×2001C．2003×2002D．2003×2004【考点】数列递推式．【分析】根据a n+1=a n+2n可知利用叠加法，a2003=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a2003﹣a2002），然后利用等差数列求和公式进行求解即可．【解答】解：∵a1=0，a n+1=a n+2n，∴a2﹣a1=2，a3﹣a2=4，…，a2003﹣a2002=4004，∴a2003=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a2003﹣a2002）=0+2+4+…+4004==2003×2002．故选C．6．已知等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和取最大值的正整数n是（）A．4或5B．5或6C．6或7D．8【考点】等差数列的性质．【分析】由已知中等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，构造方程我们易求出数列{a n}的首项为a1与公差为d的关系，进而得到数列{a n}中正项与负项的分界点，进而得到使前n项和取最大值的正整数n．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则∵|a3|=|a9|，∴|a1+2d|=|a1+8d|解得a1=﹣5d或d=0（舍去）则a1+5d=a6=0a5＞0故使前n项和取最大值的正整数n是5或6故选B7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a等于（）A． B．2C． D．【考点】正弦定理的应用．【分析】先根据正弦定理求出角C的正弦值，进而得到角C的值，再根据三角形三内角和为180°确定角A=角C，所以根据正弦定理可得a=c．【解答】解：由正弦定理，∴故选D．8．在△ABC中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范围是（）A．2＜a＜2B．2＜a＜4C． a＜2D．＜a＜2【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的关系，利用B求得A+C；要使三角形两个这两个值互补先看若A≤45°，则和A互补的角大于135°进而推断出A+B＞180°与三角形内角和矛盾；进而可推断出45°＜A＜135°若A=90，这样补角也是90°，一解不符合题意进而可推断出sinA的范围，利用sinA和a的关系求得a的范围．【解答】解：∵===2，∴a=2sinA，A+C=180°﹣45°=135°由A有两个值，得到这两个值互补，若A≤45°，则和A互补的角大于等于135°，这样A+B≥180°，不成立；∴45°＜A＜135°又若A=90，这样补角也是90°，一解；所以＜sinA＜1，又a=2sinA，所以2＜a＜2．故选A9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A． B． C．或D．或【考点】余弦定理的应用．【分析】通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B．【解答】解：由∴，即∴，又在△中所以B为或故选D10．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A． B． C． D．【考点】余弦定理的应用．【分析】先得到3边之间的关系，再由余弦定理可得答案．【解答】解：设顶角为C，因为l=5c，∴a=b=2c，由余弦定理得，故选D．11．已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β（α＞β），则A点离地面的高AB等于（）A． B．C． D．【考点】解三角形的实际应用．【分析】先分别在直角三角形中表示出DB，BC，根据DC=DB﹣BC列等式求得AB．【解答】解：依题意知，BC=，BD=，∴DC=DB﹣BC=AB（﹣）=a，∴AB=，故选：A．12．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1+a8＞a4+a5D．a1a8=a4a5【考点】等差数列的性质．【分析】先根据等差中项的性质可排除C；然后可令a n=n一个具体的数列进而可验证D、A 不对，得到答案．【解答】解：∵1+8=4+5∴a1+a8=a4+a5∴排除C；若令a n=n，则a1a8=1•8＜20=4•5=a4a5∴排除D，A．故选B二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（2，+∞）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先化简，再由二次函数的性质，得到解答．【解答】解：不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，即（a+2）x2+4x+a﹣1＞0对一切x∈R恒成立若a+2=0，显然不成立若a+2≠0，则解得a＞2．综上，a＞214．已知函数f（x）=2x，等差数列{a n}的公差为2，若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log2[f （a1）•f（a2）•f（a3）•…•f（a10）]= ﹣6 ．【考点】等差数列的性质．【分析】先根据等差数列{a x}的公差为2和a2+a4+a6+a8+a10=2进而可得到a1+a3+a5+a7+a9=2﹣5×2=﹣8，即可得到a1+…+a10=﹣6，即可求出答案．【解答】解：∵f（x）=2x，f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，∴a2+a4+a6+a8+a10=2，又{a n}的公差为2，∴a1+a3+a5+a7+a9=（a2+a4+a6+a8+a10）﹣5d=﹣8，∴a1+a2+…+a9+a10=﹣6，∴log2[f（a1）•f（a2）•f（a3）•…•f（a10）]=log22﹣6=﹣6．故答案为：﹣6．15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA= ．【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．【分析】先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值．【解答】解：由正弦定理，知由（b﹣c）cosA=acosC可得（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∴cosA=．故答案为：16．若x+2y=1，则2x+4y的最小值是2；【考点】基本不等式．【分析】由题意知2x+4y=．由此可知2x+4y的最小值是．【解答】解：由题意知2x+4y=．∴2x+4y的最小值是2．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．除17题10分，其它每题12分）17．设对一切x，y∈R都成立，求k的最小值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题．【分析】先对不等式两边平方，整理，再求出表达式的最大值，令其小于等于k2﹣1即可解出符合条件的k的范围，从中求出最小值即可．【解答】解：由题意x，y，k∈R+，恒成立故有x+y+2≤k2（x+y）即k2﹣1≥由于≤=1k2﹣1≥1，解得k≥则k的最小值是：．18．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．19．解关于x的不等式x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式坐标利用十字相乘法分解因式：（x﹣a）（x+a﹣1）＞0，然后对a值进行分类讨论：a与的大小关系三种情况，利用不等式取解集的方法分别求出各自的解集即可．【解答】解：原不等式可化为：（x﹣a）（x+a﹣1）＞0，对应方程的根为x1=a，x2=1﹣a…（1）当时，有a＜1﹣a，解可得x＜a或x＞1﹣a；…（2）当时，a=1﹣a得x∈R且；…（3）当时，a＞1﹣a，解可得x＜1﹣a或x＞a；…综合得：（1）当时，原不等式的解集为（﹣∞，a）∪（1﹣a，+∞）；（2）当时，原不等式的解集为；（3）当时，原不等式的解集为（﹣∞，1﹣a）∪（a，+∞）．…20．在△ABC中，已知边c=10，又知，求边a、b 的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由，结合正弦定理，易判断三角形的形状，进而给出三角形的三边长，即可得到结论．【解答】解：∵=∴sinA•cosA=sinB•cosB即sin2A=sin2B由∴a≠b，故A≠B∴2A+2B=π即A+B=，∴C=，又∵c=10，∴a=6，b=8，所求a，b的长为：6，8．21．已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，其中，，…，恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+k n．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列、等比数列的定义和性质，分别求得项的通项公式，可得，再利用拆项法进行求和，可得结论．【解答】解：设{a n}首项为a1，公差为d，∵a1，a5，a17成等比数列，∴a52=a1a17，∴（a1+4d）2=a1（a1+16d），∴a1=2d．设等比数列公比为q，则 q===3，对项来说，在等差数列中：，在等比数列中：．∴，河北省衡水市枣强中学2015-2016学年高一数学下学期期中试卷文（含解析）∴= 3n﹣n﹣1．22．一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需时间和α角的正弦．（注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角）．【考点】解三角形的实际应用．【分析】缉私艇与走私船原来的位置分别为A、C，在B处两船相遇，由条件得到∠ACB=120°，AC=12海里，设缉私船t小时后追上该走私船，根据各自的速度表示出BC与AB，由∠ACB=120°，∠CAB=α，利用正弦定理列出关系式，求出sinα的值；由余弦定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．【解答】解：设缉私艇与走私船原来的位置分别为A、B，在C处两船相遇，由条件知∠ABC=120°，AB=12（海里），3分设缉私船t小时后追上该走私船，可得BC=10t，AB=14t，∴由正弦定理=得sinα=，由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2ACBCcos∠ACB得：（14t）2=122+（10t）2﹣240tcos120°，解得：t=2或t=﹣（舍），∴t=2小时，sinα=．11 / 11。