固体物理学讲义3.4

§3-7 局域振动
前面讨论的是完整晶体的晶格振动，其本征振动模是一系列格波，每一个格波描述的是晶体中所有原子的一种集体运动，格波可以在整个晶体中传播。

当晶体中存在缺陷时，就可能产生局限在缺陷附近的局部振动，其振幅随着离开缺陷的距离增大而衰减。

缺陷对整个频谱的影响是有限的，但会出现局域振动模。

若缺陷的质量比所代替的原子小，将会出现比原格波振动的最高频率还要大的新的模，该模称为高频模。

若缺陷的质量比所代替的原子大，将会出现频率落入原来频带的局域的共振模。

如果元胞中含有多种原子，由声学支频带和光学支频带之间可能存在带隙，缺陷频率可能会落入带隙中。

§3-8 晶格热容的量子理论
热容是表征物质吸收或者放出热量引起温度改变效应的宏观物理量。

按经典统计理论的能量均分定理：处于温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值为kT/2。

因此每一个平方项对热容的贡献为k/2。

这里存在如下问题：（1）经典理论中，固体热容和温度无关，而实验表明，在低温情况下，热容随着温度的下降而趋于零。

（2）平方项中只计及原子的平动动能项和振动势能项，对于电子的运动项、自旋项，双原子的转动项等均没有计及。

以上这些是经典统计理论无法解释的。

为了解决这一矛盾，
爱因斯坦发展了普朗克的量子假说，第一次提出了量子的热容量理论，这项成就在量子理论发展中占有重要地位。

根据量子理论，晶格振动的能量是量子化的，频率为ω的振
动能量为：j j j n n E ω ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+=21,，其中代表零点能，对比热没有贡
献，在计算热容量时略去不计。

利用玻耳兹曼统计： T
k B n e
n f ε
-=)(
温度为T 时，处于某一正则频率的振动的平均能量为： ∑∑=∑∑=
--∞=-∞
=-nx nx
n T
k n n T
k n e
ne
e
e n E B B ωωωω
其中：T k x B ω = 因为：
1
111ln ln 10-=--=∑-=∑∑-<<---x x x n nx
n
nx
n
nx
e e dx d e dx d e
ne
，则： 1
)(-=
T
k B e
E ωω
ω
对于含有N 个原子的晶体，每个原子有3个自由度，因此晶体有3N 个正则频率，平均总能量为： ∑
-=∑===N i T
k i
N
i i B i
e
E E 31
311
)(ωωω
该求和的问题在于频率的分布情况。

如果频率分布可以用一个积分函数表示，以ωωρd )(表示角频率在ω和ωωd +之间的格波数，
m ω表示最大角频率，则有：
N d m
3)(0
=⎰ωωρω， ωωρω
ω
ω
d e
E m
B T
k ⎰-=0)(1
因此比热为：ωωρωωω
ωd e e T k k T E C T k T k B B v v B B m
2
2
01)(⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂= 由此可见，用量子理论求比热时，问题的关键在于任何求角频率的分布函数)(ωρ。

对于具体晶体，)(ωρ的计算非常复杂。

一般讨论时常采用简化的爱因斯坦模型和德拜模型。

（1）爱因斯坦模型
认为晶体中所有原子都以相同的频率振动，所以晶体的平均能量为：1
3-=T k B e
N
E ωω
，相应地：)(
3T
k f Nk C B E B v ω
=，这里：2
2
)1()()(
-=T
k T
k B B E B B e
e T
k T k f ωω
ωω 称为爱因斯坦比热函数。

通常用爱因
斯坦温度E θ代替频率ω，定义为；E B k θω= ，则：
2
2
)1()
(
3-=T
T
E
B v E
E
e
e T
Nk C θθθ
高温较高时：
22
)(
)1(E
T T
T
e
e E
E
θθθ≅-，B v Nk C 3≅，同经典理论。

低温时：1>>T
k B e ω ，则：
T
k B B v B e T
k Nk C ωω -=2)(3
讨论（1）上式表明，温度趋于零时，热容量按指数方式趋于零，
但实验表明，热容量按3T 方式趋于零，在这方面仅定性地和实验符合。

（2）造成差别的原因是爱因斯坦模型过于简单。

他把每个
原子看成一个三维的独立的谐振子饶平衡点振动。

实际上每个原子和近邻原子存在相互作用，低温情况下更为显著。

晶体内原子以格波形式运动，爱因斯坦模型实质上是忽略了各格波的频率差别。

2、德拜模型
在低温下，只有频率较低的格波对比热有重要贡献。

对于长声学波，晶格可以看成连续介质，长声学波具有弹性波的性质。

德拜模型的特点是：把晶格看成各向同性的连续介质，即把格波看作弹性波；假定纵波和横波的波速相等；对于每一支振动，波矢的数值在dq q q +→中的振动方式的数目（即格波的数目）为：
dq q V a N a N a N dq
q 23
3
3221124)
2(2224πππ
πππ⋅=
⋅
⋅ 对于各向同性介质中的弹性波p qv =ω，所以计及3种弹性波（一纵波，二横波），角频率在ωωωd +→范围的振动方式为：
ωωπωωρd v V d p
223)(=
则：
ωωπωωρω
ωω
ωω
d e
v V d e
E m
B m
B T
k p
T
k ⎰-=⎰-=0
3
320
1
23)(1
ωωωπωω
ωd e e T k k v V T E C T k T k B B p v v B B m
22
0123⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=
N d v V d m m p
323)(0
232
⎰
==⎰ωωωωπ
ωωρ，可以得到p m v V N 3
126⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
⋅
=πω。

同样令T
k x B ω
=
，则： T
v V N T k x D
p B m θπ≡
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⋅=3
126 ，这里D θ称为德拜温度。

则：⎰
-⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=T
x
D B D
e dx x T T Nk E θθ0331
9，相应地：
)(
3)
1(90
2
43T
Rf e dx x e T T Nk C D
D T
x
x D B v D
θθθ≡⎰
-⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=
这里)(
T
f D
D θ称为德拜比热函数。

讨论（1）D T θ>>，比热趋于经典极限。

（2）D T θ<<，上面积分上限可以认为是无穷大，则有：
3
4)(512D
B v T Nk
C θπ=
可以看出，温度越低，模型符合的越好。

这是因为在
非常低的温度下，只有长波的激发是主要的，对于长波，晶格是可以看作连续介质的。