几何证明——角平分线模型

B P AB P A BPCAE B MP ADABC几何证明——角平分线模型(中级)【知识要点】１、角平分线:(1)角平分线性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等(作用:证明两条线段相等);(2)逆定理:在角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

(作用:证明两角相等或一条射线就是一个角的角平分线)。

2、角平分线常见用法(或辅助线作法):①垂两边:如图1,已知BP 平分ABC ∠,过点P 作PA AB ⊥,PC BC ⊥,则PA PC =。

②截两边:如图2,已知BP 平分MBN ∠,点A BM 上,在BN 上截取BC BA =,则ABP ∆≌CBP ∆。

③角平分线+平行线→等腰三角形:如图3,已知BP 平分ABC ∠,//PA AC ,则AB AP =; 如图4,已知BP 平分ABC ∠,//EF PB ,则BE BF =。

(1) (2) (3) (4) ④三线合一(利用角平分线+垂线→等腰三角形): 如图5,已知AD 平分BAC AD BC ⊥AB AC =,BD CD =。

(5)3、角平分线比例定理如图6,AD 为ABC ∆的角平分线,则AB BD AC CD =或AB ACBD CD=。

(6)【经典例题】例1、已知如图,ABC ∆中,BC AC =,AD 平分CAB ∠,若ο90=∠C ,求证:CD AC AB +=;例2、如图,在ABC Rt ∆中,ο90=∠ACB ,AB CD ⊥于D ,AF 平分CAB ∠交CD 于E ,交CB 于F ,且AB EG //交CB 于G 。

试求:CF 与GB 的大小关系如何？C ABECA BDFG例3、已知如图,ABC∆中,BC AC=,AD平分CAB∠,若ο108=∠C,求证:BDACAB+=;例4、如图:已知I就是ABC∆的内心,//DI AB交BC于点D,//EI AC交BC于E。

求证:DIE∆的周长等于BC。

AB CID E例5、如图:已知在ABC∆中,ABC∠的平分线与ACB∠的外角平分线交于点D,DE∥BC,交AB于点E,交AC于点F,求证:FCBEEF-=。

FE DAB M 例6、如图,已知ABC∆中CDACABBAC,,90==∠ο垂直于ABC∠的平分线BD于D,BD交AC于E,求证:CDBE2=。

EDAB C【提升训练】1、如图,已知ABC∆的周长就是OCOB,,21分别平分ABC∠与ACB∠,BCOD⊥于D,且3=OD,求ABC∆的面积.DOB CA2.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO:S△BCO:S△CAO=.3.如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PC∥OB,PD⊥OB,如果PC=6,那么PD等于.4.如图,AD就是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG与△AED的面积分别为50与39,求△EDF的面积.5.已知如图在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,∠A的平分线交CD于F,BC于E,过点E作EH⊥AB于H.求证:EC=CF=EH.6.已知:如图,平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,H,求证:四边形EFGH就是矩形.7.如图,等边△ABC 中,AO 就是∠BAC 的角平分线,D 为AO 上一点,以CD 为一边且在CD 下方作等边△CDE,连接BE.(1)求证:△ACD ≌△BCE;(2)延长BE 至Q,P 为BQ 上一点,连接CP 、CQ 使CP=CQ=5,若BC=8时,求PQ 的长.8.如图,已知在△ABC 中,∠B=90°,两直角边AB=7,BC=24,在三角形内有一点P 到各边的距离都相等,则这个距离就是多少？9.已知:如图在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,交BC 于D,若BC=32,且BD:CD=9:7,求:D 到AB 边的距离.10.如图,△ABC 中,点D 在BC 上,记△ABD 的面积为S 1,△ACD 的面积为S 2,若S 1:S 2=AB:AC,则AD 就是△ABC 的角平分线.请说明理由.11、如图,已知在ABC ∆中,分别以BC AC ,为边向外作正BCE ∆、正ACD ∆,BD 与AE 交于M ,求证:(1)BD AE =。

(2)MC 平分DME ∠。

12、已知:如图,AP 、CP 分别就是ABC ∆外角MAC ∠与NCA ∠的平分线,它们交于点P ,求证:BP 为MBN ∠的平分线。

BN13、如图,DB DA DAC BAD AC AB =∠=∠=,,2,求证:AC DC ⊥。

B14、如图,已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分CAB ∠与CD DBA ,∆过点E ,求证:BD AC AB +=。

DA15、如图,ABC ∆中,AD 就是A ∠的平分线,F E ,分别为AC AB ,上一点,且ο180=∠+∠BAF EDF ,求证:DF DE =。

B16、已知:AC 平分BAD ∠,AB CE ⊥,ο180=∠+∠D B ,求证:BE AD AE +=。

D17、已知,在ABC ∆中,BP 、CP 为角平分线,过P 点作BC EF //交AB 于E ,交AC 于F 。

求证:CF BE EF +=。

B18、已知如图,AD 平分BAC ∠,BD AB AC +=,求证:C B ∠=∠2。

B19、如图,在四边形ABCD 中,AC 平分BAD ∠,过C 作AB CE ⊥于E ,并且)(21AD AB AE +=,求证:︒=∠+∠180ADC ABC 。

A20、已知ABC ∆中,AB AC =,GE 过A 且GE //BC ,B ∠的平分线与AC 与GE 分别交于D 、E ,C ∠ 的平分线与AB 与GE 分别交于F 、G 。

求证DE FG =。

21、如图,已知线段AB ∥CD ,AD 与BC 相交于点F ,BE 平分ABC ∠,AD AE 21=,猜想线段AB 、 BC 、CD 三者之间有怎样的等量关系?请写出您的结论并予以证明。

FC DA BE22、如图,已知ABC∆中,CE平分ACB∠,且CEAE⊥,︒=∠+∠180CAEAED,求证:BCDE//。

D ECAB23.如图所示,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P就是BC边上一动点,则DP长的最小值为.24.如图所示,过线段AB的两个端点作射线AM、BN,使AM∥BN,∠MAB与∠NBA的平分线交于点E,过点E作一直线垂直于AM,垂足为点D,交BN于点C.(1)观察DE、EC,您有什么发现？请证明您的结论;(2)请您再研究AD+BC与AB的关系,并给予证明.25.已知:如图所示,AQ,BM,CN就是△ABC的三条角平分线.试说明AQ,BM,CN交于一点.26.如图,△ABC中,∠C=90°,AD就是角平分线,AC=8,AD=,求∠B、BC、AB.27.如图,已知∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,∠1=∠2,EF∥BC交AC于点F.试说明AE=CF.28.如图,已知点B,C分别在射线AN,AM上,∠MCB与∠NBC的平分线交于点P.(1)求证:AP平分∠BAC;(2)若∠ACB=90°,PC=4,PB=5,AB=7,求AP的长.29.如图,△ABC中,AC=BC,AD平分∠BAC,若AC+CD=AB,求∠C的度数.30.如图,在△ABC中,∠C=90°,M为AB的中点,DM⊥AB,CD平分∠ACB,求证:MD=AM.31.如图,△ABC中,D为BC的中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线于E,EF⊥AB,交AB于F,EG⊥AC,交AC的延长线于G,试问:BF与CG的大小如何？证明您的结论.32.已知:点P为∠EAF平分线上一点,PB⊥AE于B,PC⊥AF于C,点M、N分别就是射线AE、AF上的点,且PM=PN.(1)当点M在线段AB上,点N在线段AC的延长线上时(如图1),求证:BM=CN;(2)在(1)的条件下,AM+AN=AC;(3)当点M在线段AB的延长线上时(如图2),若AC:PC=2:1,PC=4,求四边形ANPM的面积.33.已知:∠DAB=120°,AC平分∠DAB,∠B+∠D=180°.(1)如图1,当∠B=∠D时,求证:AB+AD=AC;(2)如图2,当∠B≠∠D时,猜想(1)中的结论就是否发生改变并说明理由.34、如图,已知︒=∠120MAN,AC平分MAN∠,︒=∠=∠90ADCABC,则能得如下两个结论:①BCDC=;②ACABAD=+;(1)请您证明结论②;(2)在图(2)中,把(1)中的条件“︒=∠=∠90ADCABC”改为︒=∠+∠180ADCABC,其她条件不变,则(1)中的结论就是否仍然成立？若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由。

(2)(1)BCMNADMNCD。