涂色问题
8、排列组合问题之涂色问题(四个方面)
排列组合问题之涂色问题（四个方面）一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？解析：先给①号区域涂色有5种方法；再给②号涂色有4种方法；接着给③号涂色方法有3种方法；由于④号与①号、②号不相邻，因此④号有4种涂法。
根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=种。
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。
例2、4种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
解析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：㈠②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A 种；㈡③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A 种； ㈢②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A 种；㈣③与⑤同色、②与④同色，则有44A 种； ㈤②与④同色、③与⑥同色，则有44A 种。
根据分类计数原理得涂色方法总数为445120A =。
例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。
现有4解析：依题意至少要用3种颜色。
①若用3种颜色，区域2与4必须同色， 区域3与5必须同色，故有34A 种；②若用4种颜色，则区域2与4同色，区域3与5不同色，有44A 种；或区域3与5同色，区域2与不同色，有4种。
共有4种。
根据分类计数原理得满足题意的着色方法共有3444272A A +=。
3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论。
从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数。
例4、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，五种颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解析：可把问题分为三类：①四格涂不同的颜色，有34A 种；②有且仅有两个区域颜色相同，即只有 一组对角小方格涂相同的颜色。
13个三角一年级找规律的涂色
13个三角一年级找规律的涂色【最新版】目录1.涂色问题背景及要求2.找规律的方法3.三角形的特性与规律4.一年级学生如何掌握涂色规律5.总结与建议正文1.涂色问题背景及要求在数学教学中，找规律的题目是常见的题型，它有助于培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
其中，涂色问题是一个有趣的找规律题目，适合一年级学生进行学习和探究。
题目描述如下：有 13 个三角，要求按照一定规律进行涂色，使得涂色方案符合题目要求。
2.找规律的方法要解决这类涂色问题，首先要引导学生观察图形的特征，发现规律。
可以从以下几个方面入手：（1）图形的数量：观察图形的数量，看看是否存在周期性变化或者倍数关系。
（2）图形的颜色：观察图形的颜色，看看颜色是否按照一定规律进行排列。
（3）图形的位置：观察图形的位置，看看位置是否按照一定规律进行变化。
3.三角形的特性与规律三角形是一个基本的几何图形，具有以下特性：（1）三角形有三个顶点；（2）三角形有三条边；（3）三角形的内角和为 180 度。
根据这些特性，我们可以设计一些涂色规律，例如：按照三角形的顶点进行涂色，或者按照三角形的边进行涂色。
4.一年级学生如何掌握涂色规律对于一年级的学生来说，他们的思维能力尚在发展阶段，因此在教授涂色规律时，应采用生动有趣的方式，引导学生进行观察和发现。
例如，可以通过游戏、绘画等形式，让学生在实际操作中感受规律的存在。
此外，还可以通过设置一些简单的练习题，让学生在实践中掌握涂色规律。
5.总结与建议涂色问题是一个很好的找规律教学题材，对于一年级的学生来说，可以通过观察、实践、发现等方式，掌握涂色规律。
高考数学二轮专题复习——涂色问题
涂色问题一、单选题1．（23-24高二上·江西新余·阶段练习）如图，用4种不同的颜色给矩形A，B，C，D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（）A．12种B．24种C．48种D．72种2．（21-22高二下·山东滨州·期中）用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是（）（用数字填写答案）A．24B．48C．72D．1203．（22-23高二下·河北石家庄·期中）某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面（有公共棱的两个面）所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）A．600种B．1080种C．1200种D．1560种二、填空题4．（21-22高二上·四川攀枝花·期中）如图，用4种不同的颜色给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有种．5．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）如图所示，用4种不同的颜色分别给A，B，C，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有种．AB C D6．（23-24高二下·山西临汾·期中）如图，这是一面含A，B，C，D，E，F六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有种不同的涂色方法；若区域D不能涂甲油漆，则共有种不同的涂色方法.7．（22-23高二下·北京海淀·期中）用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色．若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是．（用数字作答）8．（22-23高二上·辽宁沈阳·期中）如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有．三、解答题9．（22-23高二下·全国·课后作业）用6种不同的颜色为如图所示的广告牌涂色，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的涂色方法？10．（23-24高二上·云南曲靖·期末）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种颜色对某市的如图的四个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？参考答案：1．D2．D3．D4．485．486．12009607．148．729．480(种)10．（1）1050；（2）346.答案第1页，共1页。
圆环涂色 数学问题
圆环涂色数学问题
一、几何学
圆环涂色问题在几何学中是一个经典的问题。
几何学是研究大小、形状、空间等概念的数学分支，而圆环涂色问题则涉及到平面图形的几何特性和染色方案。
通过对圆环的涂色，可以进一步探讨图形的染色性质和规律，加深对几何学基本概念的理解。
二、拓扑学
拓扑学是研究几何图形在连续变形下保持不变的性质的数学分支。
在圆环涂色问题中，拓扑学的思想可以应用于探讨涂色的方式和规律。
例如，可以通过拓扑等价的概念来研究不同的涂色方案是否等价，或者通过研究涂色的传递性质来探索染色问题的解法。
三、组合数学
组合数学是研究计数、排列、组合等问题的数学分支。
在圆环涂色问题中，组合数学的思想可以应用于计算不同染色方案的数量。
例如，可以通过组合数学中的排列组合公式来计算不同染色方案的数量，或者通过组合数学中的递归方法来探讨染色问题的解法。
四、计算机科学
计算机科学在圆环涂色问题中也有重要的应用。
计算机科学可以提供高效的算法和程序来求解染色问题。
例如，可
以使用计算机科学中的图论算法来求解圆环涂色问题，或者使用计算机科学中的优化算法来寻找最优的染色方案。
此外，计算机科学还可以通过模拟实验来验证染色方案的正确性和有效性。
总之，圆环涂色数学问题涉及到几何学、拓扑学、组合数学和计算机科学等多个领域的知识。
通过对这些领域知识的综合应用，可以深入探讨圆环涂色问题的性质和规律，为解决实际问题提供有效的工具和方法。
计数原理涂色问题
计数原理涂色问题
计数原理是组合数学中的重要思想，常被应用于计算一些特定问题的解答。
其中一个经典的问题是涂色问题。
假设有n个相同的小球和m种不同的颜色，每个小球可以被
涂成其中的任意一种颜色。
问共有多少种不同的涂色方法？
根据计数原理，我们可以得到如下解答思路：
1. 首先，我们可以将n个小球看作是n个相同的盒子，每个盒子表示一个小球。
2. 接下来，我们将m种颜色看作是m个不同的小球，每个小
球表示一种颜色。
3. 然后，我们将这m个小球放入这n个盒子中，可以有三种
情况：
a) 某个盒子中不放入任何小球，表示对应的小球不涂色。
这
种情况下，共有一种方法。
b) 某个盒子中放入1个小球，表示对应的小球涂上1种颜色。
这种情况下，共有C(n,1)种方法。
c) 某个盒子中放入多个小球，表示对应的小球涂上多种颜色。
这种情况下，共有C(n,2) + C(n,3) + ... + C(n,m)种方法。
4. 最后，我们将上述三种情况的涂色方法相加，即可得到总的涂色方法数。
综上所述，涂色问题的解答思路基于计数原理，通过将小球和颜色视为不同的物体，将其转化为放置小球的问题，再结合组合数学中的知识进行计算。
利用这种思路，我们可以很方便地解决涂色问题，同时理解计数原理的应用。
概率与统计微专题(涂色或染色问题培优版)
概率与统计微专题涂色（染色）问题【培优版】与涂色（染色）问题有关的试题新颖有趣，是近几年高考考查的热点、高频考点，其中包含着丰富的数学思想，解题方法技巧性强且灵活多变．本专题总结涂色（染色）计数问题的常见类型及求解方法，侧重于分类加法计数原理、分步乘法计数原理在涂色（染色）问题中的应用．一、涂色问题与染色问题涂色问题和染色问题都是数学中的组合数学问题，它们有一些相似之处，但严格来说涂色问题与染色问题是有区别的，举例如下：（1）涂色问题的例子：在一个方格纸上，按照一定的规律，如螺旋式或交替式，给每个方格涂色．给一个几何图形，如三角形、正方形等，用不同颜色进行涂色，使得满足某种对称或美观要求．（2）染色问题的例子：给定一个地图，能否用有限种颜色给各个国家或地区染色，使得相邻国家或地区颜色不同．在一个网络中，确定能否用有限种颜色给节点染色，使得相邻节点颜色不同．可以看出，涂色问题更注重颜色的排列和组合方式，以及如何达到特定的视觉效果；而染色问题更关注如何满足特定的限制条件，如相邻区域或节点的颜色不同．本文在中学范围内，探讨涂色问题与染色问题的解法，因此对它们不加以区别，认为它们是相同类型的问题．二、涂色（染色）问题主要类型在中学范围内，涂色（染色）问题主要有以下几种类型：（1）点线面染色问题：涉及对点、线、面的染色；（2）区域染色问题：将一个平面区域按照一定的规则进行染色；（3）图形染色问题：对各种几何图形进行染色，如三角形、正方形等；（4）染色方案问题：确定满足一定条件的染色方案的数量；（5）染色规律问题：寻找染色过程中的规律；（6）限定条件染色问题：在特定限制条件下进行染色，等等．三、涂色（染色）问题的常用解题策略选好分类标准，优化分类顺序的策略．分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题所给对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，将整体问题划分为局部问题，把复杂问题转化为单一问题，然后分而治之、各个击破，最后综合各类的结果得到整个问题的解答．因此，采用分类策略解答染色问题时，我们可以从三个方面入手考虑，（1）从确定染色顺序入手根据染色问题的要求，先确定好区域的染色顺序，对各个区域分步染色，再由乘法原理计算出染色的种数，是处理这类问题最基本的方法．（2）从使用颜色的种类入手按照染色问题中的题设要求，从使用了多少种颜色分类讨论入手，分别计算出各种情形的种类，再用分类计数原理求出不同的染色方法的种数．（3）从相对区域是否同色入手从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求中不同的染色方法的种类．四、应用两个计数原理解决涂色（染色）问题的一般步骤（1）明确问题：仔细理解涂色染色问题的具体要求和限制条件；（2）分解步骤：将整个涂色染色过程分解为若干个相互独立的步骤；（3）分类或分步：①分类：根据不同的情况或条件进行分类，每类相互独立；②分步：按照一定的顺序进行分步操作．（4）确定方法数：在分类的情况下，分别计算每类的方法数；在分步的情况下，相乘得到总的方法数．（5）计算总数：如果既有分类又有分步，需要明确先分类再分步计算，还是先分步再分类计算；（6）检查结果：检查计算结果是否满足问题的限制条件．五、应用两个计数原理解决涂色（染色）问题注意事项应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决涂色（染色）问题时，需要注意以下几点：（1）确保分类或分步的合理性和完整性，避免遗漏情况．（2）注意题目中的限制条件，不符合要求的方案应排除．（3）对于复杂的问题，可以通过列举部分情况来辅助理解和分析．当然，对于复杂的问题，可能需要建立模型，比如递推数列来解决问题．类型一点染色问题点染色问题，要注意对各点依次染色，主要方法有：（1）根据共用了多少种颜色分类讨论；（2）根据相对顶点是否同色分类讨论．【典例1】将一个四棱锥S ABCD−的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？图1【解析】设想染色按S A B C D −−−−的顺序进行，对 , , S A B 染色，有54360⨯⨯=种染色方法．由于C 点的颜色可能与A 同色或不同色，这影响到D 点颜色的选取方法数，故分类讨论：C 与A 同色时（此时C 对颜色的选取方法唯一），D 与A ，C ，S 不同色，有3种选择；C 与A 不同色时，C 有2种选择的颜色，D 有2种颜色可供选择，从而对C ，D 染色有13227⨯⨯＋＝种染色方法．由乘法原理，总的染色方法数是607420⨯=种．【总结与反思】图1中的连接状况是本质条件，而是否空间图形则无关紧要．下面的两个问题，尽管与例题表述方式不同，但具有相同的数学模型，所以都可以转化为本例来解决．（1）如图2，用五种颜色给图中的5个车站的候车牌A 、B 、C 、D 、E 染色，要求相邻两个车站间的候车牌的颜色不同，有多少种不同的染色方法．图2（2）如图3所示为一张有5个行政区划的地图，今要用5种颜色给地图着色，要求相邻的区域不同色，共有多少种方案？图3【举一反三】（2023下广东河源高二期中考试）1．将一个三棱台的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是 ．【答案】1920【分析】利用分步计数原理进行计算即可.【详解】设在三棱台ABC DEF −中，首先对,,A B C 着色，有543⨯⨯种；然后：D 点可以用B 或C 点的色，也可以用剩下的两种色．现分类：（1）用B 或C 点的色，由对称性，不妨设用B 点的色，则E 点有4种色可以选择，又分为两类：①E 与C 同色，则F 有3种色可选择；②与C 不同色，则F 有2种色可选择，共有2(1332)⨯⨯+⨯，（2）用剩下的两种色，则E 点有3种色可选择，又分为两类：①E 与C 同色，则F 有3种色可选择；②与C 不同色，则F 有2种色可选择，共有：()21322⨯⨯+⨯．所以不同的染色方法的总数是()()54321332213221920⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=⎣⎦． 故答案为：1920．类型二 线段染色问题【典例2】如图5，用红、黄、蓝、白、四种颜色染矩形ABCD 的四条边，每条边只染一种颜色，且使相邻两边染不同的颜色，如果颜色可能反复使用，共有多少种不同的染色方法．图5解法一：（1）使用四种颜色，每条边一种，应用分步乘法计数原理，有432124⨯⨯⨯=种； （2）使用三种颜色染色，则必须将一组对边染成同色，故有423248⨯⨯⨯=种； （3）使用两种颜色时，则两组对边必须分别同色，有4312⨯=种．因此，所求的染色方法数为24481284++=种．解法二： 染色按AB BC CD DA −−−的顺序进行，对 , AB BC 染色有4312⨯=种染色方法．由于CD 的颜色可能与AB 同色或不同色，这影响到DA 颜色的选取方法数，故分类讨论： 当CD 与AB 同色时，这时CD 对颜色的选取方法唯一，则DA 有3种颜色可供选择；当CD 与AB 不同色时，CD 有2种可供选择的颜色，DA 有2种可供选择的颜色，从而对CD ，DA 染色有13227⨯+⨯=种染色方法．由乘法原理，总的染色方法数为12784⨯=种．【总结与反思】要注意对各条线段依次讨论，主要方法有：（1）根据共用了多少种颜色分类讨论；（2）根据相对的线段是否同色分类讨论．【举一反三】（2023辽宁大连一中月考）2．正五边形ABCDE 中，若把顶点A ，B ，C ，D ，E 染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有 种．【答案】240【解析】根据题意，不妨先染顶点A ，再染B ，E ，讨论B 、E 同色，B 、E 不同色两种情况，结合分步乘法与分类加法计数原理，逐步计算，即可得出结果.【详解】由题意，不妨先染顶点A ，则有14C 种染法；再染B ，E ，当B ，E 同色时，B ，E 共有13C 种染法，则C ，D 共有2232C A 种染法；当B ，E 不同色时，B ，E 共有23A 种染法，则C ，D 的染色情况可以分以下三类： ①若C 与A 颜色相同，则D 有2种不同染色方法；②若D 与A 颜色相同，则C 有2种不同染色方法；③若C 、D 与A 颜色都不相同，则C 、D 有3种不同染色方法；综上，不同的染色方法有()1122243323223240C C C A A ⎡⎤+++=⎣⎦种. 故答案为：240.【点睛】思路点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．类型三 面染色问题【典例3】如图6，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）图6A.36B.48C.72D.108【答案】C【分析】对面SAB 与面SDC 同色和不同色进行分类，结合分步乘法计算原理，即可得出答案．【解析】当面SAB 与面SDC 同色时，面ABCD 有4种方法，面SDC 有3种方法，面SAD 有2种方法，面SAB 有1种方法，面SBC 有2种方法，即4321248⨯⨯⨯⨯=种，当面SAB 与面SDC 不同色时，面ABCD 有4种方法，面SDC 有3种方法，面SAD 有2种方法，面SAB 有1种方法，面SBC 有1种方法，即4321124⨯⨯⨯⨯=种，即不同的染色方法总数为482472+=种，故选C ．【总结与反思】应用两个计数原理解决面染色问题需要注意以下几点：（1）确定面的数量和颜色种类；（2）分析面之间的关联，找出相互独立的染色步骤；（3）对不同情况分类讨论，计算每一类的染色方法数．特别要注意：按相对的面是否同色，分情况讨论；（4）按照分步计数原理，将每一步的方法数相乘，得到总的染色方法数．【举一反三】3．如图所示的几何体由三棱锥−P ABC 与三棱柱111ABC A B C 组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ ）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种【答案】C 【解析】三棱锥−P ABC 三个侧面的颜色各不相同，先进行染色，然后再给三棱柱111ABC A B C 的侧面染色，保证组合体中相邻的侧面颜色不同即可.【详解】先涂三棱锥−P ABC 的三个侧面，有1113216C C C =种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有1112112C C C =种情况，共有6212⨯=种不同的涂法．故选：C ．类型四区域染色问题【典例4】要用四种颜色给四川、青藏、西藏、云南四省（区）的地图染色（图8）每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则不同染色的方法有多少种？图8【解析】先给四川染色有4种方法，再给青海染色有3种方法，接着给西藏染色有2种方法，最后给云南染色有2种方法，根据乘法原理，不同的染色方法共有4×3×2×2＝48种．【总结与反思】本例是分步乘法计数原理在染色中的应用．根据乘法原理，对各个区域分步染色，这是处理这类问题的基本的方法．【举一反三】（2024下山东滨州高二月考）4．如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（）A．48B．56C．72D．256【答案】A【分析】先给四个区域标记，然后根据分步乘法计数原理求解出着色的方法数.A B C D，如下图所示：【详解】将四个区域标记为,,,第一步涂:4A 种涂法，第二步涂:3B 种涂法，第三步涂:2C 种涂法，第四步涂:2D 种涂法，根据分步乘法计数原理可知，一共有432248⨯⨯⨯=种着色方法.故选：A.【典例5】如图11，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同不同，且两端格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．图11【答案】630【解析】不妨将图中的4个格子从左到右依次缩号为①②③④．第一类情况：①③同色．第一步，涂①有6种方法；第二步，涂②有5种方法；第三步，涂③只有1种方法；第四步，涂④也有5种方法．依分步乘法计数原理，有6515150⨯⨯⨯=种方法．第一类情况：①③不同色．涂②有6种方法；涂②有5种方法；涂③有4种方法；涂④时应与①③不同色，也有4种方法，依分步乘法计数原理，有6544480⨯⨯⨯=种方法．最后由分类加法计数原理，共有150480630+=种方法．【举一反三】（2023下山东济南高二期中考试）5．某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有郁金香、玛格丽特、小月季、小杜鹃四种不同的花可供采购，要求相邻区域种不同种类的花，则不同的种植方案个数为（ ）A ．24B ．36C ．48D ．96【答案】C 【分析】由分步乘法计数原理求解即可.【详解】先种区域1有4种选择，区域2有3种选择，区域3有2种选择，区域4有1种选择，区域5有2种选择，区域6有1种选择，则共有：43212148⨯⨯⨯⨯⨯=种.故选：C.【典例6】如图13，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答）图13【典型错解】按A B C D E →→→→的顺序分五步着色：（1）A 有4种染法；（2）B 与A 不同色，有3种染法；（3）C 与 , A B 不同色有2种染法；（4）D 与 , A C 不同色有2种染法；（5）E 与 , , A B D 不同色，有1种染法，因此不同的着色方法共有43221448⨯⨯⨯⨯=种．【错解剖析】上述解法犯了一个处理染色问题最常见的错误．事实上，在第五步，若 , D B 不同色，则E 有1种染法；若 , D B 同色，则E 有2种染法．可见D 的染色不同，E 的染色方法数不同．【启示】按某种顺序着色分步计算时，要注意考虑前一步的染法对后继染色的影响，谨防出错．请看下面几种正确解法．解法一：从相邻最多的区域开始分步计算受错解启发最后者一步可以将 , D E 两个区域合在一起，按的 , A B C D E →→→顺序分四步着色：（1）（2）（3）染法同上；（4） , D E 着色分两种情况：若D 与B 同色，则D 有1种染法，E 有2种染法；若D 与B 不同色，则 , D E 有1种染法，根据分步乘法计数原理，不同的着色方法共有：()432121172⨯⨯⨯⨯+⨯=种．【总结与反思】为了使前一步的每一种染法对后继染色的影响小一些，尽量降低出错机会，习惯上，第一步染色常常从相邻最多的区域开始，即最大相邻原则．解法二：从不相邻的区域入手分类计算以 , B D 是否同色为标准分类：（1）若 , B D 同色，按 , B D A C E →→→的顺序着色，则有432248⨯⨯⨯=种方法； （2）若 , B D 不同色，按 , B D A C E →→→的顺序着色，则有4321124⨯⨯⨯⨯=种方法， 所以不同的着色方法共有482472+=种．【总结与反思】在解法一，按某种顺序染色，前后染色关系繁杂难以理顺时，解法二往往是一种行之有效的方法．【分析】依题意至少要选用3种颜色，先分类，在每类中再利用分步乘法原理计数． 解法三：从被选用颜色的种数入手分类计算【解析】依题意至少要选用3种颜色，因此分如下三类：（1）第一类：当选用三种颜色时，区域 , B D 必须同色，区域 , C E 必须同色，由分步乘法原理可得，有43224⨯⨯=种；（2）当用四种颜色时，若区域 , B D 同色，则区域 , C E 不同色，有432124⨯⨯⨯=种；若区域 , C E 同色，则区域 , B D 不同色，有432124⨯⨯⨯=种，故用四种颜色时，共有22448⨯=种，由加法原理可知满足题意的着色方法共有：244872+=．解法四：去杂法（1）按A B C D E →→→→的顺序着色，先不考虑E 与B 不同色的限制，有4322296⨯⨯⨯⨯=种着色方法，但在这个计算中，包括E 与B 同色的情况，不符合条件，此时可把 , E B 合并为一个区域． （2）按()A B E C D →→→的顺序着色，得出不符合条件的着色方法有432124⨯⨯⨯=种， 因此符合条件的不同着色方法共有962472−=种．【总结与反思】解法三根据共用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同染色的方法总数．按颜色分类与按区域分步（区域也可以分类），对应着组合计数的加法原理与乘法原理，它们都是“通法”，都有独立存在的价值，并且相互之间有内在联系，还常常要交叉综合使用，没有必要厚此薄彼，也没有证据表明两种算法的一致性是“巧合”．【举一反三】（2023江苏盐城滨海三校高二下期中联考）6．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有( )种A ．540B ．360C ．300D ．420【答案】D 【分析】分②和④涂同种颜色和不同种颜色是讨论即可.【详解】分两种情况讨论即可：(i)②和④涂同种颜色时，从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有1种涂法，③有3种涂法，⑤有3种涂法，∴此时有5×4×1×3×3＝180种涂法；(ii)②和④涂不同种颜色时，从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有3种涂法，③有2种涂法，⑤有2种涂法，∴此时有5×4×3×2×2＝240种涂法；∴总共有180＋240＝420种涂色方法．故选：D﹒【典例7】（2024辽宁名校联盟联考）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成A B C D E五个部分（如图15所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），,,,,每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（）图15A.48种B.36种C.24种D.12种．【答案】A【分析】满足条件的涂色方案可分为,B D区域同色，且和其它区域不同色和,C E区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可【解析】满足条件的摆放方案可分为两类，第一类,B D区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案，满足条件的方案可分四步完成，第一步，先摆区域A有4种方法，第二步，摆放区域,B D有3种方法，第三步，摆放区域C有2种方法，A B C不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域E有1种方法，第四步，考虑到区域,,由分步乘法计数原理可得第一类中共有432124⨯⨯⨯=种方案，第二类，,C E区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案，满足条件的方案可分四步完成，第一步，先摆区域A有4种方法，第二步，摆放区域B有3种方法，第三步，摆放区域,C E有2种方法，A B C不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域D有1种方法，第四步，考虑到区域,,由分步乘法计数原理可得第一类中共有432124⨯⨯⨯=种方案，根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有48种，故选A．【总结与反思】本例根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论．从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同染色方法数．综合上面几例，我们可以总结出一类区域染色问题的解题程序，分三步叙述于下：第一步，进行几何结构的分析．主要是弄清一共有几块区域，区域与区域之间哪此存在相邻关系（异色），哪此不存在相邻关系（可同色，也可异色）．为了简化图形并凸显关系，可将区域模型图对应为模式结构图．（从表层结构到深层结构）第二步，根据图形的深层结构各个击破，或分步计数或分类计数，或以区域为主计数或以颜色为主计数．在以区域为主分步计数时，要执行“最大相邻原则”，每次都从相邻最多的区域开始染色．第3步，反思回顾，“防假、防漏、防重”．为了防止在第二步计算中出现：渗杂了不合条件的染法，遗漏了符合条件的染法，或重复了符合条件的染法，反思回顾是一个必要步骤．根据解题的时间和环境，可采取画树树状图、多解对照、推进到一般等措施．同时，要注意积累成功的经验与失败的教训．【举一反三】（2023下江苏常州高二期中考试）7．如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（）A．12B．18C．24D．30【答案】B【分析】先对A区域种植，再对B区域种植，最后分两类：D块与B块相同、D块与B块不相同，对C 、D区域种植，根据计数原理即可求解.【详解】根据题意，分3步进行分析：(1)对于A 块，可以在3种不同的花中任选1种，有3种情况；(2)对于B 块，可以在剩下的2种不同的花中任选1种，有2种情况；(3)对于C 、D 块，分2种情况：若D 块与B 块相同，则C 块可以在其余的2种不同的花中任选1种，有2种情况， 若D 块与B 块不相同，则C 块有1种情况，D 块有1种情况，此时C 、D 有1种情况， 则C 、D 共有213+=种情况；综合可得：一共有32318⨯⨯=种不同的种法.故选：B类型五 区域种植问题近几年在各级各类考试中经常出现这类试题：在给定的几个区域中栽种植物，要求在相邻的区域中栽种不同的植物，求共有多少不同的栽种方法．这类问题实际上是一类染色问题（或地图着色问题）．【典例8】在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如图17，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案．图17【解析】以A ，C ，E （相间）栽种植物情况作为分类标准：①考虑A ，C ，E 栽种同一种植物，有4种栽法；B ，D ，F 各有3种栽法，∴ 共有 4333108⨯⨯⨯＝种栽法． ②考虑A ，C ，E 栽种同两种植物，此时种A ，C ，E 有343⨯⨯种，种B ，D ，F 有322⨯⨯种栽法（若A ，C 栽种同一种植物，则B 有3 种栽法，D ，F 各有2种栽法），因此，共有343322432⨯⨯⨯⨯⨯=种方法．③考虑A ，C ，E 种3种植物，有43224⨯⨯=种栽法；B ，D ，F 各有2种栽法，∴ 共有 2422192⨯⨯=种栽法．综合①、②、③三类，共有 108432192732++=种栽法．【总结与反思】进一步的，问题可以推广到一般的情形：用()2m m ≥种不同的颜色，给图18中()2n n ≥个彼此相连的区域12 , , , n A A A 染色，且任何相邻的2个区域染不同的颜色，则不同的涂色方案种数为：()()()111n n n a m m =−+−−．注意：上述问题中的m 种颜色是可供选择的，而不是全部都要用上的．图18【举一反三】8．如图，用5种不同颜色给图中标有1、2、3、4各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻两部分涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（ ）A ．160种B ．240种C ．260种D ．360种【答案】C 【分析】按：1234→→→的顺序进行涂色，结合分类加法、分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】先给第1部分涂色，有5种涂色方法；再给第2部分涂色，有4种涂色方法； 再给第3部分涂色：若第3部分颜色与第2部分相同，则第3部分只有1种涂色方法，再给第4部分涂色，有4种涂色方法；若第3部分颜色与第2部分不相同，则第3部分有3种涂色方法，再给第4部分涂色，有3种涂色方法．所以不同的涂色方法一共有54(1433)260⨯⨯⨯+⨯=种．故选：C【典例9】（2023四川绵阳南山中学高二月考）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图20所示．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有（ ）图20A.80种B.120种C.160种D.240种【答案】B【分析】由题意，按照一定顺序，由1，2，3，5的顺序，在5号区域的选择上进行分情况，根据分类加法原理和分步乘法原理，可得答案．【解析】第一步，对1号区域，栽种有4种选择；第二步，对2号区域，栽种有3种选择； 第三步，对3号区域，栽种有2种选择；第四步，对5号区域，栽种分为三种情况， ①5号与2号栽种相同，则4号栽种仅有1种选择，6号栽种有2种选择，②5号与3号栽种相同，则6号栽种仅有1种选择，4号栽种有2种选择，③5号与2、3号栽种都不同，则4、6号只有1种；综上所述，()4322211120⨯⨯⨯++⨯=种．故选：B ．【总结与反思】用()2m m ≥种不同的颜色，给图21中()()12n n +≥个彼此相连的车轮型区域012 , , , , n A A A A 染色，且任何相邻的2个区域染不同的颜色，则不同的涂色方案种数为：()()()212n n n a m m m ⎡⎤=−+−−⎣⎦．图21【举一反三】9．某广场中心建造一个花圃，花圃分成5个部分（如图），现有4种不同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种一种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有 种．（用数字作答）【答案】72【分析】根据题意，分析可得本题是分类计数问题，分2种情况讨论，当选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色，从4中颜色中选3中，在三个元素上排列；当4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，先选出同色的一对，再用四种颜色全排列，由分类计数原理计算可得答案．【详解】由题意，分2种情况讨论：第一：当选用3种颜色时②④同色，③⑤同色，共有涂色方法3343C ?A 24=种， 第二：4色全用时涂色方法，即②④或③⑤用一种颜色，共有1424C ?A =48种， 根据分类加法原理知不同的着色方法共有24+48=72种．故答案为：72．。
小学奥数中的涂色问题
涂色问题的常见方法与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；① ②③ ④ ⑤ ⑥3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
正方体涂色问题记忆口诀
正方体涂色问题记忆口诀1. 前言哎呀，说到正方体涂色问题，大家是不是有点摸不着头脑啊？这可不是简单的画个方块，涂上颜色那么简单。
我们得从不同的角度去看看，才能真正理解这道题。
首先，正方体有六个面，每个面可以涂上不同的颜色，想想就觉得有点眼花缭乱。
不过别担心，今天咱们就来聊聊如何记住这些涂色的诀窍，让你轻松应对这个问题，赢得满堂彩！2. 正方体的基本知识2.1 正方体的构成好啦，先简单介绍一下正方体。
正方体就像一个小盒子，有六个面，八个顶点，还有十二条边。
每个面都是正方形，大家都知道，正方形四条边都相等，角度都是90度。
所以，当我们在给正方体涂色的时候，就得考虑每一个面。
想象一下，如果你把正方体放在桌子上，那这个盒子就成了我们涂色的舞台。
2.2 涂色的原则接下来，咱们来说说涂色的原则。
涂色不是随便涂涂就好了，要有策略！比如，假设我们有三种颜色：红、蓝、绿。
涂的时候，先想好一个顺序。
比如，你可以先涂上面的面，再涂侧面，最后涂下面的面。
这样一来，涂色就不会乱了套，能让你有条不紊。
记住，要像做菜一样，先准备好材料，然后再下锅。
3. 记忆口诀的妙用3.1 口诀的魔力那么，如何记住这些涂色的步骤呢？这就要靠我们的记忆口诀了！大家听好，咱们可以用“上红、左蓝、右绿、下白”的口诀来记忆。
这样一来，涂色的时候就不会忘记了，每次看到正方体，就能立刻想起这四个方位的颜色。
是不是觉得这个口诀简直像金子一样珍贵啊？用好了，绝对能让你在涂色题上如鱼得水。
3.2 趣味游戏涂色不光是个脑筋急转弯的游戏，还是个非常有趣的挑战！想象一下，你和朋友们一起玩“涂色大比拼”，谁能在最短的时间内完成涂色，谁就能获得小礼物。
通过这种游戏，不仅能加深记忆，还能增进友谊。
谁说学习就得乏味无聊呢？只要用心，学习也可以像春风化雨，轻松愉快。
4. 总结最后，正方体涂色问题其实并不复杂，只要我们掌握了基本的知识，记住口诀，找到乐趣，学习就能变得轻松自在。
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= 6 × 3! = 6 ×1
旋轉數 × 翻轉數 3 2× 3 3
2. 旋轉數：(2 種當 1 種)(假設上下同、左右同、前後同)
後
C
B
左上右 B A B C A C
前
C
B
底
A
A
3. 翻轉數：(3 種當 1 種)(假設上下同、左右同、、前後同)
後
C
A
B
左上右 B A B C B C A C A
前
C
A
B
C
D
E
後 左上右
前 底
C BAD
E A
C A BD
E B
A BCD
E C
C BDA
E D
C BED
A E
後 左上右
前 底
C BAE
D A
C ABE
D B
A BCE
D C
C BDE
A D
C BEA
D E
使用 4 色：假設有 6 種顏色，使用 4 色塗正六面體各面，相鄰各面不同色，則有多少種塗色方法？
前
E
F
F
C
B
C
底
F
D
E
B
C
A
使用 5 色：假設有 6 種顏色，使用 5 色塗正六面體各面，相鄰各面不同色，則有多少種塗色方法？
C C 1. 方法數 = 選色方法 ×
直排數
= 6 × 5! = 6 ×15
旋轉數 × 翻轉數 5 4 × 2 4
2. 旋轉數：(4 種當 1 種)(假設上下同)
6
= 6 × 6 = 6 × 30
C C 旋轉數 × 翻轉數 6 4 × 6 6
2. 旋轉數：(4 種當 1 種)
後
C
B
E
D
左上右 B A D E A C D A B C A E
前
E
D
C
B
底
F
F
F
F
3. 翻轉數：(6 種當 1 種)
後
C
A
A
E
D
E
左上右 B A D C B E D C B F D A A E F B F D
直排數
P6
=6
旋轉數× 翻轉數 4× 2
正四面體 方法數 =
直排數
P6
=4
旋轉數× 翻轉數 3× 4
正立方體 方法數 =
直排數
P6
=6
旋轉數× 翻轉數 4× 6
正立方體塗色問題
使用 6 色：假設有 6 種顏色，使用六色塗正六面體各面，各面異色，則有多少種塗方法？
P 1. 方法數 = 選色方法×
D
左上右 B A D E A C D A B C A E
前
E
D
C
B
底
A
A
A
A
3. 翻轉數：(2 種當 1 種)(假設上下同)
後
C
E
左上右 B A D B A D
前
E
C
底
A
A
4. 全部情形：(共計 15 種)
後
D
D
D
A
D
左上右 B A C A B C B C A B D C B E C
前
E
E
E
E
A
底
A
塗色問題 小虎
平面塗色問題：
需分類討論某些區塊是否同色，再依序討論相鄰區塊塗色法，再把各類情形相加。
立體塗色問題：
旋轉數：假設底面不變時，幾種視為同一種之意；底面不變時，原本直排時當不同的，現在卻當相同之
情形。
翻轉數：假設底面變化時，幾種視為同一種之意；底面翻了以後，原本直排時當不同的，現在卻當相同
之情形。
注意：可以歸類到旋轉的情形就不能歸類到翻轉的情形，否則會重複計算。
立體塗色方法數 =
直排數
旋轉數 × 翻轉數
各種範例：
直四角錐 方法數 =
直排數
P6
=5
旋轉數× 翻轉數 4×1
角錐台 方法數 =
直排數
P6
=5
旋轉數× 翻轉數 4×1
圓柱 方法數 =
直排數
P6
=3
旋轉數× 翻轉數 2×1
長方體 方法數 =
前
D
D
底
A
B
4. 全部情形：(共計 6 種)
後
C
B
B
A
左上右 B A B C A C D A D C B C
前
D
D
C
D
底
A
A
A
B
A DBD
C B
A DCD
B C
使用 3 色：假設有 6 種顏色，使用 3 色塗正六面體各面，相鄰各面不同色，則有少種塗色方法？
C C 1. 方法數 = 選色方法×
直排數
B
底
A
B
C
4. 全部情形：(共計 1 種)
後
C
左上右 B A B
前
C
底
A
C C 1. 方法數 = 選色方法×
直排數
= 6 × 4! = 6 × 6
旋轉數 × 翻轉數 4 2× 2 4
2. 旋轉數：(2 種當 1 種)(假設上下同、左右同)
後
C
D
左上右 B A B B A B
前
D
C
底
A
A
3. 翻轉數：(2 種當 1 種)(假設上下同、左右同)
後
C
C
左上右 B A B A B A