2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学(文)试题(解析版)

2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学（文）试题一、单选题 1．若复数11iz i+=-，则其虚部为（ ） A ．1 B ．iC ．2D ．2i【答案】A【解析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a +bi 的形式，即可得到复数的虚部． 【详解】因为复数11i z i +=-()()()()112112i i ii i ++===+-i ． 所以复数的虚部1 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力． 2．已知集合{}|1A x x =<，1|1B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．{}|01x x x <>或 B ．{}|010x x x <<<或 C ．{}|0x x < D ．φ【答案】C【解析】解不等式得出集合B ，根据交集的定义写出A ∩B ． 【详解】()()1|1=1,0B x x ⎧⎫=<+∞⋃-∞⎨⎬⎩⎭，,则A B =I {}|0x x <故选：C 【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．3．已知等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S ，若34a =，2664a a =，则5S =（ ）A ．32B ．31C ．64D ．63【答案】B【解析】设首项为a 1，公比为q ，由226464a a a ==，又a 3＝4，可得q ＝2，再利用求和公式即可得出． 【详解】设首项为a 1，公比为q>0，由226464a a a ==，又a 3＝4，∴q ＝2，又因为214a q ⋅=，所以a 1＝1，所以S 5＝31，故选：B ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()5x f x m =+（m 为常数），则5(log 7)f -的值为（ ）A ．4B ．-4C ．6D ．-6【答案】D【解析】函数为奇函数，则：()0050,1f m m =+=∴=-，即当0x ≥时，函数的解析式为：()51xf x =-，5log 70-<，结合奇函数的性质可得：()()()()5log 755log 7log 751716f f -=-=--=--=-.本题选择D 选项.点睛：若函数f (x )是奇函数，则f (0)不一定存在；若函数f (x )的定义域包含0，则必有f (0)＝0.5．已知则( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意可得，=，由的性质可得a ＜c ，同理可得，=，由可得c ＜b ，可得答案.【详解】 解：由题意得：，=，在为单调递增函数，a ＜c ，同理可得：，=，在R 上为单调递增函数，c ＜b ，综上，故选C. 【点睛】本题主要考查利用指数函数、幂函数比较函数值的大小，需熟练掌握指数函数、幂函数的性质.6．若24sin 2cos 23x x +=，则sin 2x =（ ） A ．49-B ．49C ．89-D ．89【答案】C【解析】由题意利用二倍角公式可得sin x +cos x 13=，平方利用同角三角函数的基本关系，可得sin2x 的值． 【详解】∵sin x +2cos 22x =sin x +cos x +143=，∴sin x +cos x 13=，平方可得1+2sin x cos x 19=，则sin2x ＝2sin x cos x 89=-，故选：B ． 【点睛】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．7．已知变量x ，y 满足240260x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则13y z x +=-的取值范围是（ ）A ．[]11,4--B ．[]13,4--C ．[]13,5--D ．[]11,5--【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，再由z 13y x +=-的几何意义求解得答案． 【详解】由变量x，y满足240260x yxx y-+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域如图：A（2，3），24060x yx y-+=⎧⎨+-=⎩解得B（83，103），z13yx+=-的几何意义为可行域内动点与定点D（3，﹣1）连线的斜率．∵k DA3123+==--4，k DB1013833+==--13．∴z13yx+=-的取值范围是[﹣13，﹣4]．故选：B．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8．已知扇形AOB，AOBθ∠=3C是弧AB上一点，若233OC OA OB=+，则θ=（）.A．6πB．3πC．2πD．23π【答案】D【解析】将已知等式两边同时平方，利用数量积的运算法则计算，可得到cosθ，即可求得结果.【详解】由23OC OA OB u uu r u u u r u u u r=+，两边同时平方得2OC =2233OA OB⎛⎫+⎪⎪⎝⎭u u u ru u u r，则有3=4+1+2233OA OB⨯u u unr u u u r=5+2⨯2cosθ，∴cos12θ=-，23πθ=，故选D.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，考查了夹角的求法，属于基础题.9．一个几何体的三视图如图所示,其体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥,如图所示,则其体积为：.故选A.【考点】三视图；几何体的体积.10．已知函数()()sin2f x xϕ=+，若()3f x f xπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，且()2f fππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 取最大值时x的值为（）A．3kππ+，k Z∈B．4kππ+，k Z∈C．6kππ+，k Z∈D．56kππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】由()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，可知函数关于x 6π=对称，结合正弦函数的性质可求φ＝n 6ππ+，然后结合()2f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭＞，可求f （x ）的表达式，进而可求 【详解】∵f （x ）＝sin （2x +φ），满足()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 函数关于x 6π=对称，根据正弦函数的性质可知，当x 6π=时，函数取得最值，∴13π+φ12n ππ=+，n ∈z ， ∴φ＝n 6ππ+，∈z ，f （x ）＝sin （2x 6n ππ++），∵()2f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭＞， 则n 为偶数时满足题意，f （x ）＝sin （2x 6π+）， ∴f （x ）取最大值时，2x 1262k πππ+=+，k ∈z ， ∴x ＝k 6ππ+，故选：C ． 【点睛】本题主要考查了正弦函数的对称性，及函数取得最值条件的应用，属于函数性质的综合应用．11．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为（ ）A B ．3C D 【答案】C【解析】由三角形全等可得∠ABD ＝∠ACD ＝90°，故而AD 为棱锥外接球的直径，根据勾股定理得出AD 关于AB 的函数，求出AD 的最小值即可得出答案． 【详解】∵AB ＝AC ，DB ＝DC ，AD 为公共边， ∴△ABD ≌△ACD ，又AB ⊥BD ，即∠ABD ＝90°，∴∠ACD ＝90°， 设AD 的中点为O ，则OA ＝OB ＝OD ＝OC ， ∴O 为棱锥A ﹣BCD 的外接球的球心．∵AB +BD ＝4，∴AD 2＝AB 2+（4﹣AB ）2＝2AB 2﹣8AB +16＝2（AB ﹣2）2+8，∴当AB ＝2时，AD 2取得最小值8，即AD 的最小值为，∴棱锥外接球的最小半径为12AD =∴外接球的最小体积为V 3433π=⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，确定球心位置是解题的关键，属于中档题．12．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()251,22x f x f ='>，则关于x 的不等式()13x xf e e <-的解集为（ ） A ．()20,eB ．()2,e +∞C ．()0,ln 2D ．(),2ln -∞【答案】D【解析】构造函数()()1F x f x x=+，利用已知条件求得()'0F x >，即函数()F x 为增函数，而()23F =，由此求得e 2x <，进而求得不等式的解集. 【详解】构造函数()()1F x f x x =+，依题意可知()()()222110x f x F x f x x x-=-=''>'，即函数在()0,∞+上单调递增.所求不等式可化为()()1ee 3e xxxF f =+<，而()()12232F f =+=，所以e 2x <，解得ln 2x <，故不等式的解集为(),ln 2-∞. 【点睛】本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件()21x f x '>的应用.通过观察分析所求不等式，转化为()1e3e xxf +<，可发现对于()()1F x f x x=+，它的导数恰好可以应用上已知条件()21x f x '>.从而可以得到解题的思路.二、填空题13．函数()ln f x x x =在x e =处的切线方程是____.(其中e 为自然对数的底数) 【答案】2y x e =-【解析】求导，计算斜率，计算切点坐标，结合直线点斜式计算方法，即可。

【详解】()'ln 1f x x =+，故()'ln 12k f e e ==+=，切点为(),e e ，故切线方程为()2y e x e -=-，即2y x e =-.【点睛】本道题考查了过曲线一点的切线方程计算方法，关键结合导数计算斜率，计算切点的坐标，计算直线方程，难度中等。

14．已知双曲线()22210y x b b -=>虚轴的一个端点到它的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为______. 【答案】2【解析】设双曲线的一个虚轴的端点为（0，b ），渐近线方程为y ＝bx ，运用点到直线的距离公式可得b ，再由离心率公式，可得所求值． 【详解】设双曲线2221y x b-=虚轴的一个端点（0，b ）到它的一条渐近线y ＝bx （b ＞0）的距离为2，=，解得b =则双曲线的离心率e c a ====2， 故答案为：2【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查点到直线的距离公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15．已知圆22:4C x y +=和直线:l y x =，则圆C 上任意取一点A 到直线的距离小于3的概率为______．【答案】23【解析】由题意，画出图形，求出满足条件的A 点所占弧长所对的圆心角的大小，利用几何概型的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，如图所示，设与直线y x =平行的直线方程为0x y c -+=， 由O 到直线0x y c -+=的距离为3，即3OD =， 且2OB =，得030BOD ∠=，则060AOB ∠=,所以圆C 上任取一点A 到直线l 距离小于3的概率为0046023603P ⨯==.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()N A P N=求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 16．在数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1cos 2n n n a a π+-=，则2019S =______.【答案】1010【解析】利用递推关系推导数列的周期为4，再求和 【详解】 由题1213243231,cos1,cos0,cos 0222a a a a a a a πππ==+==+==+= 如此继续，则()420191234123,50450421101010n n a a S a a a a a a a +==++++++=⨯+++=故答案为：1010 【点睛】本题考查数列求和，考查归纳的数学思想，是基础题三、解答题17．某调查机构为了解人们某个产品的使用情况是否与性别有关，在网上进行了问卷调查，在调查结果中随机抽取了50份进行统计，得到如下22⨯列联表：（1）请根据调查结果分①析：你有多大把握认为使用该产品与性别有关；（2）在不使用该产品的人中，按性别用分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加某项活动，求这2人中恰有一位女性的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）有99.5%把握认为使用该产品与性别有关；（2）815P = 【解析】（1）利用列联表求出K 2，对照表格得出结论（2）先由分层抽样求出男性应抽取2人，记为m ，n ，女性应抽取4人，记为a ，b ，c ，d ，先求出基本事件总数，再求出恰有一位女性的基本事件个数，由此得出答案【详解】（1）()22501520510258.333203025253K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯=， 由于8.3337.879>，所以有99.5%把握认为使用该产品与性别有关.（2）由22⨯列联表知，不使用该产品的人数为30，其中男性10人，女性20人，按性别用分层抽样抽取6人，则男性应抽取2人，记为m ，n ，女性应抽取4人，记为a ，b ，c ，d ，从中随机抽取2人的所有情况有：mn ，ma ，mb ，mc ，md ，na ，nb ，nc ，nd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共15种.其中恰有一位女性的情况有：ma ，mb ，mc ，md ，na ，nb ，nc ，nd 共8种. 所以这2 人中恰有一位女性的概率为815P =. 【点睛】本题考查列联表的应用，考查概率的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，且2sin 3a C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求角A 的值；（2）若3c =，AC 边上的中线BD b . 【答案】（1）3A π=；（2）8【解析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角A 的值：（2）若AB ＝3，AC 边上的中线BD AC ，再求△ABC 的面积． 【详解】（1）由2sin 3a C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭及正弦定理得：2sin sin cos cos sin 33A C C B ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()sin sin cos A C A C A C =+，即sin sin cos cos sin A C A C A C A C =，即sin sin sin A C A C =，因为sin 0C ≠，所以sin A A =，则tan A =()0,A π∈，所以3A π=.（2）在ABD ∆中，3c AB ==，BD =3A π=，由余弦定理得2222cos AB AD AB AD A BD +-⋅⋅=，所以29313AD AD +-=，所以4=AD （负值舍去），又D 为AC 中点，所以8b AC ==. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB ⊥侧面11BB C C ，2BC =，12AB BB ==，14BCC π∠=，点E 在棱1BB 上.（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）试确定点E 的位置，使三棱锥1C ABE -的体积为13. 【答案】（1）见解析；（2）点E 为1BB 中点【解析】（1）证明AB ⊥BC 1，在△CBC 1中，由余弦定理求解C 1B 2=BC ⊥BC 1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C 1B ⊥平面ABC ． （2）利用1113C ABE A BC E V V --==求解112BC E S ∆=得解 【详解】（1）证明：∵2BC =112CC BB ==，14BCC π∠=，∴由余弦定理知12C B ∴22211C B BC C C +=，即1C B BC ⊥.∵AB ⊥侧面11BB C C ，1C B ⊂侧面11BB C C ，∴1AB C B ⊥.又BC AB B =I ，∴1C B ⊥平面ABC . （2）由题意知1113C ABE A BC E V V --==，又AB ⊥侧面11BB C C ，所以111133A BC EBC E V S AB -∆=⨯=，即112BC E S ∆=. 易知，等腰直角三角形1B BC ∆中，1112C B C B =1111111122B BC S C B C B ∆=⨯⨯==，所以当点E 为1BB 中点时三棱锥1C ABE -的体积为13. 【点睛】本题考查线面垂直、线线垂直，考查锥体体积的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定定理是关键． 20．已知函数()2ln 2xf x x =-. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若()()12g x f x mx =+在区间()1,+∞上没有零点，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）单调增区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）[)2,-+∞ 【解析】（1）求出f ′（x ），解不等式f ′（x ）＞0，f ′（x ）＜0，即可求出f （x ）的单调区间；（2）函数g （x ）在区间()1,+∞上没有零点，只需在()1,+∞上()0g x >在()1,+∞上恒成立，分离参数，根据导数和函数的最值得关系即可求出． 【详解】（1）由题意知函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2121122'2f x x x x x x-+=-=， 令()'0f x >得12x >，令()'0f x <得102x <<， 所以函数()f x 的单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭. （2）由题意知若()2ln 122x x g mx x =-+，因为()g x 在区间()1,+∞上没有零点，所以()0g x >在()1,+∞上恒成立，由()0g x >，得1ln 22x m x x >-，令()ln 2x x h x x =-，则()2222ln 44'x x xh x --=. 当1x >时，()'0h x <，所以()h x 在()1,+∞上单调递减，所以1x =时，()()11h x h <=-，所以112m ≥-，即2m ≥-，所以实数m 的取值范围[)2,-+∞. 【点睛】本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，注意有解问题分离参数是常用的方法．21．已知A ，B 是椭圆C ：22132x y +=上的两点，线段AB 的中点在直线1x =-上.（1）当直线AB 的斜率k 存在时，求实数k 的取值范围；（2）设F 是椭圆C 的左焦点，若椭圆C 上存在一点P ，使FA FB PF +=u u u r u u u r u u u r，求FA FB -u u u r u u u r的值.【答案】（1）,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）3FA FB -=±u u u r u u u r 【解析】（1）设中点()1,M m -，利用点差法得23k m=，由点在椭圆内部得)0m m <<≠，即可求解k 的范围 （2）向量坐标化得()01231x x x =--+=-，()0122y y y m =-+=-，弦长公式得,,FA FB u u u r u u u r 由点()00,P x y 在椭圆上，得m =，进而得AB 方程，与椭圆联立得1212x x =，则可求FA FB -u u u r u u u r【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211132x y +=，2222132x y +=，两式相减得：()()()()21212121032x x x x y y y y -+-++=(*)，由线段AB 的中点在直线1x =-上，可设此中点()1,M m -，因为直线AB 的斜率存在，所以0m ≠，设其斜率为k ，由(*)式得203mk -+=，即23k m=. 由于弦AB 的中点()1,m -必在椭圆内部，则()221132m -+<，解得)0m m <<≠.又23k m =，所以斜率k的取值范围为,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由（1）知()11,A x y ，()22,B x y ，因为椭圆的左焦点F 为()1,0-，所以()111,FA x y =+u u u r ，()221,FB x y =+u u u r ，设()00,P x y ，则()001,FP x y =+u u u r， ()()1212002,1,FA FB PF x x y y x y +=⇒+++=---u u u r u u u r u u u r()01231x x x ⇒=--+=-，()0122y y y m =-+=-，FA ==u u ur 1x ==≥，同理可得2B x F =≥u u u r ，因为点()00,P x y 在椭圆上，所以()()2222001213232m x y --+=+=，解得m =.当m=时，23k m ==，直线AB的方程为)1y x =+， 代入22132x y +=得22410x x ++=，由根与系数关系得1212x x =.则FB FA -==u u u r u uur3==. 由对称性知，当m =时3FB FA -=u u u r u u u r也成立，3FA FB -=±u u u r u u u r . 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的应用，熟练应用韦达定理及弦长公式求解计算是关键，是中档题22．已知直线l ：0x -=与曲线C ：()2239x y +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）将直线l 绕极点O 逆时针方向旋转30°得到的直线'l ，这两条直线与曲线C 分别交于异于极点的P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积.【答案】（1）直线l ：()6R πθρ=∈，曲线C ：6sin ρθ=；（2）4S =【解析】（1）利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程；（2）由题'l 极坐标方程为：23πθ=，进而得OP =16sin36πρ==，2OQ ρ==，利用面积公式求解即可 【详解】（1）cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则直线l的方程为：y x =，∴极坐标方程为：()6R πθρ=∈；曲线C 的方程：()2239x y +-=，即2260x y y +-=，∴极坐标方程为：6sin ρθ=.（2）将直线l 绕极点O 逆时针方向旋转30°得到的直线'l ，则'l 极坐标方程为：23πθ=，设1OP ρ=，2OQ ρ=，则16sin 36πρ==，26sin3OQ πρ===所以OPQ ∆的面积12111sin 326224S πρρ==⨯⨯=. 【点睛】本题考查极坐标与普通方程的应用，考查极坐标的几何意义，考查面积公式，准确应用几何意义是关键，是基础题23．已知函数()3222f x x a x a R +∈＝﹣﹣（）．（Ⅰ）当12a =时，解不等式()6f x ＞； （Ⅱ）若对任意0x R ∈，不等式()0003422f x x x ++＞﹣都成立，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）39(,)(,)55-∞-+∞U （Ⅱ）a 2∈+∞（，） 【解析】（Ⅰ）当12a =时，31226x x -+-＞，分类讨论，即可求解不等式的解集；（Ⅱ）把不等式0003422f x x x （）＞++-都成立，转化为003234x a x -+＞恒成立，分类讨论即可求解． 【详解】（Ⅰ）由题意，当12a =时，31226x x -+-＞， 故131226x x x ≥⎧⎨-+->⎩或11331226x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+->⎩或1313226x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+->⎩，解得：95x >或35x <-， 故不等式的解集是39,,55⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）若对任意0x R ∈，不等式0003422f x x x （）＞++-都成立， 则003234x a x -+＞恒成立，当023x a ≥时，0624x a +＞恒成立，故26243a a ⨯>+，解得：2a ＞， 当023x a <时，24a ＞，解得：2a ＞，综上，2a ∈+∞（，）． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题的转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．。