湖北省天门市、仙桃市、潜江市2020-2021学年高二下学期期末数学(文)试题

湖北省天门市、仙桃市、潜江市【最新】高二下学期期末数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．双曲线2219y x -=的渐近线的斜率是( ) A ．19± B ．13± C ．3± D ．9± 2．若32()25f x x x =+-，则(1)f '=( )A ．3B ．8C ．8-D ．3- 3．命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是（ ）A ．2,x x R e x ∀∈≤B ．0200,x x R e x ∃∈>C ．0200,x x R e x ∃∈≤D ．2,x x R e x ∀∈<4．函数1x y e =-在0x =处的切线方程为( )A ．y x =B ．y x =-C ．0y =D ．1y x =+ 5．小明同学在做一项市场调查时的如下样本数据：他由此样本得到回归直线的方程为 2.115.5y x =-+，则下列说法正确的是( ) A ．变量x 与y 线性正相关B ．x 的值为2时，y 的值为11.3C ．6a =D ．变量x 与y 之间是函数关系 6．设x ∈R ,则31x <是21x <的（ ）条件 A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．双曲线22212x y a -=的一条渐近线方程为y x =，则双曲线的右焦点的坐标为( )A．) B．) C．02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D．0⎫⎪⎪⎝⎭8．下列不等式中正确的是( )①sin ,(0,)x x x <∈+∞；②1,x e x x R ≥+∈；③ln ,(0)x x x <∈+∞，. A ．①③ B ．①②③ C ．② D ．①②9．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”,某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为,,a b c ()a b c >>且,,a b c N *∈；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都是11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是( )A ．乙有四场比赛获得第三名B ．每场比赛第一名得分a 为4C ．甲可能有一场比赛获得第二名D ．丙可能有一场比赛获得第一名10．设实数,x y 满足条件223x y x y y x +≤⎧⎪+≥-⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =-+的最大值为( )A ．16B ．6C ．4D ．1411．已知抛物线22(0)C y px p =>：，过点(3,0)P 的任意一条直线与抛物线交于,A B 两点，抛物线外一点(),0Q t ，若∠OQA =∠OQB ，则t 的值为( )A ．p -B ．pC ．32-D ．3-二、多选题12．若l ､m ､n 是互不相同的空间直线，α､β是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是（ ）A ．若//αβ，l α⊂，n β⊂，则//l nB ．若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mD ．若l α⊥，l β//，则αβ⊥三、填空题13．若复数323i a i-+是纯虚数，则实数a = _________________ ． 14．孙悟空、猪八戒、沙和尚三人中有一个人在唐僧不在时偷吃了干粮，后来唐僧问谁偷吃了干粮，孙悟空说是猪八戒，猪八戒说不是他，沙和尚说也不是他。

他们三人中只有一个说了真话，那么偷吃了干粮的是__________．15．已知如下四个命题：①在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于0，表示回归效果越好；②在回归直线方程ˆ0.812y x =-中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy平均增加0.8个单位；③两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；④对分类变量X 与Y ，对它们的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，则“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确命题的序号是__________．16．已知定义在正实数集R +函数()f x 对任意的x R +∈都有()()0f x xf x '->，且(3)6f =，则不等式()2f x x >的解集为__________．四、解答题17．已知命题:p 关于x 方程210x ax -+=有实数根，命题:q 函数()x f x e ax =-是R 上的单调递增函数，若命题p q ∧⌝是真命题，求实数a 的取值范围.18．如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，224AB BC CD ===，SAD ∆为正三角形.（1）若点M 是棱AB 的中点，求证：//BC 平面SDM ；（2）若平面SAD ⊥平面ABCD ,在（1）的条件下，试求四棱锥S BCDM -的体积. 19．【最新】6月湖北潜江将举办第六届“中国湖北（潜江）龙虾节”，为了解不同年龄的人对“中国湖北（潜江）龙虾节”关注程度，某机构随机抽取了年龄在2070—岁之间的100人进行调查，经统计“年轻人”与“中老年人”的人数之比为2:3．（1）根据已知条件完成上面的22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为关注“中国湖北（潜江）龙虾节”是否和年龄段有关？（2）现已用分层抽样的办法从中老年人中选取了6人进行问卷调查．若再从这6人中选取3人进行面对面询问，求事件“选取的3人中恰有2人关注“中国湖北（潜江）龙虾节””的概率.附:参考公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++． 临界值表：20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3y =-上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y x t =+与椭圆交于,P Q 两点，试求三角形OPQ 面积的最大值. 21．已知函数()ln 1f x ax x =-+.（1）若1x =是函数()f x 的极值点，试求实数a 的值并求函数()f x 的单调区间； （2）若()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系中直线l 的参数方程为32x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：4cos()3πρθ=-. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 直角坐标方程；（2）若曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值.23．已知函数()3f x x x a =+--.（1）当2a =时，求不等式()21f x x >-的解集；（2）若不等式()4f x <对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】直接利用渐近线公式得到答案.【详解】 双曲线2219y x -=渐近线方程为：33y x k =±⇒=± 答案为C【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题.2．B【分析】利用求导法则求出()f x 的导函数，把1x =代入导函数中求得结果.【详解】求导得：2'()62f x x x =+，把1x =代入得：'(1)628f =+=，故选B.【点睛】该题考查的是有关函数在某点处的导数的求解问题，涉及到的知识点有函数的求导公式以及求导法则，属于简单题目.3．C【分析】根据全称命题的否定的性质进行求解即可.【详解】命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是0200,x x R e x ∃∈≤.故选：C【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基本题.4．A【分析】求出函数的导函数'x y e =，把0x =代入导函数求出的函数值即为切线的斜率，把0x =代入函数解析式中得到切点的纵坐标，进而确定出切点坐标，根据求出的斜率和切点坐标写出切线方程即可.【详解】由题意得：'x y e =，把0x =代入得：0'|1x y ==，即切线方程的斜率1k =，且把0x =代入函数解析式得：0y =，即切点坐标为(0,0)，则所求切线方程为：00y x -=-，即y x =，故选：A5．C【分析】计算样本中线点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论.【详解】 由题意，136********,444a a x y +++++++====， 因为y 关于x 的线性回归方程为： 2.115.ˆ5yx =-+， 所以得到14 2.1515.54a +=-⨯+，解得6a =， 根据题意可得变量x 与y 线性负相关，所以A 错， x 的值为2时，y 的值大约为11.3，所以B 错，变量x 与y 之间是相关关系，所以D 错，只有C 是正确的，故选C.【点睛】该题考查的是有关线性回归的问题，涉及到的知识点有回归直线恒过样本中心点，两个变量之间的正负相关的判断，属于简单题目.6．B【解析】【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，从集合的真包含关系，判断出结果.【详解】由31x >，可得1x >，由21x <，解得11x -<<，所以(1,1)(,1)≠-⊂-∞， 所以31x <是21x <的必要不充分条件，故选B.【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的判断，在解题的过程中，注意学会应用集合的真包含关系判断其充分性，属于简单题目.7．B【分析】根据双曲线22212x y a -=的一条渐近线方程为2y x =，可得2b a =，根据题意，进而求得c 的值，求得结果.【详解】因为双曲线22212x y a -=的一条渐近线方程为2y x =，所以b a =，因为b =2a =，所以c ==0)，故选B.【点睛】该题考查的是有关双曲线的焦点坐标的求解问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程，双曲线中,,a b c 的关系，属于简单题目.8．B【分析】利用导数研究函数的单调性，求得函数的最值，依次对各个命题进行判断即可.【详解】对于①：令sin ,(0,)y x x x =-∈+∞，则'cos 10y x =-≤恒成立，则sin ,(0,)y x x x =-∈+∞是减函数，所以有0y <恒成立，所以sin ,(0,)x x x <∈+∞成立，所以①正确；对于②：1,x e x x R ≥+∈，令1x y e x =--，'e 1x y =-，当0x <时，'0y <，当0x >时，'0y >，所以函数1xy e x =--在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，所以在0x =处取得最小值，所以0010y e ≥--=， 所以1,x e x x R ≥+∈成立，所以②正确；对于③，ln x x <，(0,)x ∈+∞，令ln y x x =-，有11'1x y x x -=-=， 所以有当01x <<时，'0y >，当1x >时，'0y <，所以函数ln y x x =-在1x =时取得最大值，即ln 010y x x =-≤-<，所以ln x x <，(0,)x ∈+∞恒成立，所以③正确；所以正确命题的序号是①②③，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断不等式能否恒成立的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，确定函数的最值，属于简单题目.9．A【分析】先计算总分，推断出5a =，再根据正整数把,,a b c 计算出来，最后推断出每个人的得分情况，得到答案.【详解】由题可知()626111148a b c ++⨯=++=,且,,a b c 都是正整数=8a b c ++当4a ≤时，甲最多可以得到24分，不符合题意 当6a ≥时，2b c +≤，不满足 推断出，a=5, b=2, c=1 最后得出结论:甲5个项目得第一,1个项目得第三乙1个项目得第一,1个项目得第二，4个项目得第三 丙5个项目得第二,1个项目得第三, 所以A 选项是正确的. 【点睛】本题考查了逻辑推理,通过大小关系首先确定a 的值是解题的关键,意在考查学生的逻辑推断能力. 10．D 【分析】画出约束条件对应的可行域，找出取最大值的点，解方程组求得最优解，代入求得结果. 【详解】画出约束条件对应的可行域，如图所示：画出直线23y x =+，上下移动，得到23z x y =-+在点A 处取得最大值，解方程组223x y x y +=⎧⎨+=-⎩，得(5,7)A -，代入23z x y =-+，求得max 2(5)7314z =⨯--+=， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，涉及到的知识点有根据约束条件画出可行域，找出目标函数取最值时对应的点，注意目标函数的形式，属于简单题目. 11．D 【解析】 【分析】设出点和直线，联立方程得到关于y 的韦达定理，将OQA OQB ∠=∠转化为,QA QB 斜率相反，将根与系数关系代入得到答案. 【详解】设221212(,),(,)22y y A y B y p p ，设直线AB ：3x ay =+又22y px =22(3)y p ay ⇒=+2260y pay p ⇒--= 224240p a p ∆=+>恒成立121226y y pay y p +=⎧⎨=-⎩ BQ AQ OQA OQB k k ∠=∠⇒=-即211212122221()()222y y y y y y t y y y y p tt pp=-⇒+=+--3t =-答案为D 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,定点问题,设直线方程时消去x 可以简化运算,将角度关系转化为斜率关系是解题的关键,计算量较大,属于难题. 12．ABC 【分析】对于A ，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；对于B ，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理；对于C ，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理；对于D ，考虑面面垂直的判定定理． 【详解】解：选项A 中，l 除平行n 外，还有异面的位置关系，则A 不正确． 选项B 中，l 与β的位置关系有相交､平行､在β内三种，则B 不正确． 选项C 中，l 与m 的位置关系还有相交和异面，故C 不正确．选项D 中，由l β//，设经过l 的平面与β相交，交线为c ，则//l c ，又l α⊥，故c α⊥，又c β⊂，所以αβ⊥，D 正确． 故选：ABC ． 【点睛】考查线线平行、垂直的判定与性质，线面、面面垂直的判定，是基础题. 13．2 【分析】将复数化简为标准形式,取实部为0得到答案. 【详解】232(32)(3)36(29)3(3)(3)9i i a i a a ia i a i a i a -----+==++-+ 3602a a -=⇒=【点睛】本题考查了复数的计算,属于简单题. 14．沙和尚 【解析】 【分析】用假设法逐一假设偷吃干粮的人,再判断得到答案.(1) 假设偷吃干粮的是孙悟空,则猪八戒和沙和尚都是真话,排除(2) 假设偷吃干粮的是猪八戒,则孙悟空和沙和尚都是真话,排除(3) 假设偷吃干粮的是沙和尚,则只有猪八戒说的真话,满足答案是沙和尚【点睛】本题考查了逻辑推理的知识,意在考查学生的逻辑推理能力,属于基础题.15．②③【分析】①根据相关指数2R的性质进行判断；②根据回归方程的性质进行判断；③根据相关系数的性质进行判断；④根据随机变量2K的观测值k的关系进行判断.【详解】①在线性回归模型中，相关指数2R表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，2R越接近于1，表示回归效果越好，所以①错误；②在回归直线方程ˆy=0.8x−12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量ˆy平均增加0.8个单位，正确；③两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，正确；④对分类变量X与Y，对它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，则“X与Y有关系”的把握程度越小，所以④错误；故正确命题的序号是②③.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有线性回归分析，两个变量之间相关关系强弱的判断，独立性检验，属于简单题目.16．(0,3).【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，构造新函数()()f xF xx，求导，利用题中的条件，确定出函数的单调性，从而根据函数值的大小得到自变量的大小关系，求得结果.设()()f x F x x =，则2'()()'()xf x f x F x x-=， 因为()'()0f x xf x ->，所以'()0F x <， 所以()F x 在(0,)+∞上是减函数，且(3)(3)23f F ==， 由()2f x x >变形得()2f x x>， 即()2F x >的解集为03x <<， 故答案是：(0,3). 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的单调性，从而得到参数的不等式的解的问题，涉及到的知识点有求导公式，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，属于简单题目. 17．[)2,+∞ 【分析】分别求出命题,p q 成立时的a 的取值范围，由p q ∧⌝为真命题，得到p 真q 假，得到不等式组，解出即可. 【详解】设命题p 为真命题可得240a ∆=-≥即2a ≥或2a ≤-；设命题q 为真命题可得()0,xxf x e a a e =-≥'≤即而恒成立，0x e >所以0a ≤,故q ⌝为真命题得0a > ，命题p q ∧⌝是真命题可得命题p 和命题q ⌝均为真命题, 所以a 的取值范围为[)2,+∞. 【点睛】该题考查的是有关命题的问题，涉及到的知识点有根据复合命题的真值判断各个命题的真假，根据条件列出式子，属于简单题目.18．（1）证明见解析；（2.（1）在直角梯形中，点M 是棱AB 的中点，结合题中所给的条件，得到四边形BCDM 为正方形，从而得到//BC MD ，之后应用线面平行的判定定理证得//BC 平面SDM ； （2）取正三角形SAD 边AD 的中点N 连接SN ,根据题意，可证得SN ⊥平面ABCD ，从而求得棱锥的高，之后应用椎体的体积公式求得结果. 【详解】（1）在直角梯形ABCD 中,由题意2AB CD =且点M 是棱AB 的中点，得四边形BCDM 为正方形， 则//BC MD ，MD ⊂平面SMD ，BC ⊄平面SMD ， 由直线与平面平行的判定定理可知//BC 平面SDM ；（2）取正三角形SAD 边AD 的中点N 连接SN ,可知SN AD ⊥，又平面SAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，所以SN ⊥平面ABCD ， 即SN 为四棱锥S BCDM -的高.4BCDM S =，正三角形SAD 中，AD ==,2SN AD ==所以11433S BCDM BCDM V S SN -=⋅=⨯=. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，椎体的体积的求解，属于简单题目. 19．（1）有；（2）35. 【分析】（1）根据已知条件完成22⨯列联表，求出2K ，即可判断是否有99%的把握认为关注“中国湖北（潜江）龙虾节”是否和年龄段有关；（2）现已用分层抽样的办法从中老年人中选取了6人进行问卷调查，得知抽取的6位中老年人中有4人关注，2人不关注，从中选三人，写出对应的基本事件，数出满足条件的，利用概率公式求得结果. 【详解】 （1）其中10,30,40,20a b c d ====带入公式的216.67 6.635k ≈>，故有99%的把握认为关注“中国湖北（潜江）龙虾节”和年龄段有关；（2）抽取的6位中老年人中有4人关注，2人不关注，设事件“选取的3人中恰有2人关注“中国湖北（潜江）龙虾节””为事件A ，记关注的四人为1234A A A A 、、、记不关注的两人为12B B 、从这6人中选3人的选法有()123,,A A A ，()124,,A A A ，()121,,A A B ，()122,,A A B ，()134,,A A A ，()131,,A A B ，()132,,A A B ，()141,,A A B ，()142,,A A B ，()234,,A A A ，()231,,A A B ，()232,,A A B ，()241,,A A B ，()242,,A A B ，()341,,A A B ， ()342,,A A B ，()()112212,,,,,A B B A B B ,()()312412,,,,,A B B A B B ，共20种，其中12种情况满足题意故()123205P A ==. 【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有列联表的补充，独立性检验，分层抽样，古典概型，属于简单题目.20．（1）2214x y +=；（2）1. 【分析】（1）根据直线与x 轴的交点，求得c 的值，再利用离心率求得a 的值，进而求得b 的值，得到椭圆的方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，根据判别式大于零，得到t <<得到两根和与两根积，利用弦长公式求得PQ ，利用点到直线的距离，求得三角形的高，利用三角形的面积公式，得到S 关于t 的式子，利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）椭圆的一个焦点即为直线与x 轴的交点)，所以c =2a =,1b =，所以椭圆方程为2214x y +=；（2）联立若直线:l y x t =+与椭圆方程得()2258440*x tx t ++-=，令()()22845440t t ∆=-⨯->，得t <<()*的两根为12,x x ，则1285t x x +=-，212445t x x -=，5PQ ==，点O 到直线的距离d =()225121252OPQt t S PQ d -+==⨯=当且仅当225t t -=，即t =t =时取等号，而t =或t =满足t << 所以三角形OPQ 面积的最大值为1. 【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，直线被椭圆截得的弦长，三角形的面积，属于中档题目.21．（1）1, 函数的单调减区间为()0,1函数的单调增区间为()1,+∞；（2）21a e>. 【解析】 【分析】（1）先写出函数的定义域，求出函数的导函数，计算'(1)0f =，求出a 的值即可；再解不等式'()0f x >和'()0f x <，进而求得函数的单调区间；（2）由()0f x >恒成立，得到ln 1x a x ->恒成立，即max ln 1()x a x ->，再令ln 1()x g x x-=，应用导数求得其最大值，得到结果. 【详解】（1）函数的定义域为()0,+∞又()1f x a x'=-，由题意()11f a '=-，1a =， 当1a =时，令()110f x x =->'得1x >，令()110f x x=-<'得1x <，所以函数的单调减区间为()0,1函数的单调增区间为()1,+∞， 此时函数()f x 取极小值故1a =符合题意；（2）由()0f x >恒成立得ln 10ax x -+>恒成立，又定义域为()0,+∞， 所以ln 1x a x ->恒成立即maxln 1x a x -⎛⎫> ⎪⎝⎭，令()ln 1x g x x -=则()22ln x g x x -'=，令()22ln 0xg x x'-=>得2x e <所以函数()g x 在()20,e 上单调增，在()2,e +∞单调减，函数()()22max 1g x g e e==，所以21a e>.【点睛】该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有利用极值点求参数，应用导数研究函数的单调性，应用导数研究恒成立问题，属于中档题目.22．（1）直线l 的普通方程为10x y ++=，曲线C的直角坐标方程为22(1)(4x y -+=；（2）22-. 【分析】(1)直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.(2)计算圆心到直线的距离，判断相离，再利用公式d r -得到答案. 【详解】解：（1）直线l 的普通方程为10x y ++=，曲线C 的直角坐标方程为()(2214x y -+=（2）曲线C 的圆心到直线l 的距离2d ==>所以直线与圆相离，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为2d r -=- 【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程，将圆上的点到直线的距离转化为圆心到直线的距离是解题的关键.23．（1）(),3-∞；（2）71a -<<. 【解析】 【分析】(1)当2a =时，讨论x 取值范围去绝对值符号，计算不等式.(2)利用绝对值不等式求函数最大值为3a + ，计算34a +<得到答案. 【详解】解：（1）当2a =时不等式即为3221x x x +-->- ①当3x <-时不等式可化为521x ->-得2x <-故3x <- ②当32x -≤<时不等式可化为2121x x +>-恒成立故32x -≤< ③当2x ≥时不等式可化为2-60x <得3x <故23x ≤< 综合得，不等式的解集为-3∞（，）（2）()()333x x a x x a a +--≤+--=+所以()34f x a =+<最大值得71a -<<为所求 【点睛】本题考查了绝对值不等式，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.。