三角形的内角和
三角形的内角和
80° 50°
？
40°
B
A
=1000-400=600
所以 ∠ACB= 1800-300-600=900
如下图： ∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4=
4 2 300 1 3
∠1+ ∠2+ 300=1800 ∠3+ ∠4+ 300=1800
所以 ∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4=3600-600=3000
– 如图,求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+ ∠F 的 度数. A B 分析：三个三角形9个 内角之和为5400 C
2 1
M
N O F
3
∠1+ ∠2+ ∠3=1800 D
E 所以∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+ ∠F =5400-1800=3600
如图,已知∠A=800, ∠B=250,∠C=300, 求∠1的度数.
A
1
分析：连接AD
两个三角形的6个内 角之和为3600
D B
C
所以∠1=3600-800-250-300=2250
A
Hale Waihona Puke 答：从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.
1、如图,某同学把一块三角形的玻 璃打碎成三片,现在他要到玻璃店 去配一块形状完全一样的玻璃,那 么最省事的办法是 ( C )
①
②
③
(A)带①去 (C)带③去
(B)带②去 (D)带①和②去
说说你的
收获
1、三角形的内角和为1800 2、应用三角形内角和求角及检验合格性 3、认识了辅助线及其作用 4、数学中的转化思想
三角形内角和定理知识点总结
三角形内角和定理知识点总结三角形是几何学中一个基础的概念，由三条边组成，三角形的三个内角和是一个重要的定理，被称为三角形内角和定理。
本文将对三角形内角和定理进行知识点总结。
一、三角形内角和定理的定义三角形内角和定理是指三角形内角的和等于180度的性质。
对于任意一个三角形ABC，其三个内角A、B、C的和满足A + B + C = 180度。
二、三角形内角和定理的证明三角形内角和定理的证明可以通过几何推理或代数运算来完成。
1. 几何推理证明通过构造辅助线或利用三角形的性质进行推理，可以得到三角形内角和定理的证明，下面以几何推理证明为例：（以证明三角形内角和定理）设三角形ABC的内角A、B、C对应的外角分别为X、Y、Z，过B点作AX的平行线与AC延长线交于点D，连接BD。
由外角和定理可得：X + Y + Z = 360度由三角形内角和外角和定理可得：A + X = 180度由平行线性质可得：∠CAD = ∠ABC则有∠BDC = ∠CAD + ∠CAB = ∠ABC + ∠CAB = A + B又因为三角形内角和外角和定理可得：∠BDC + Y = 180度联立上述方程可得：A + B + C = A + B + (∠BDC + Y) = 180度即证得三角形内角和定理成立。
2. 代数运算证明通过使用代数运算将三角形内角和定理转化为代数方程的等式，从而证明三角形内角和定理的成立。
下面以代数运算证明为例：设三角形ABC的内角分别为A、B、C，根据三角形内角和定理可得：A + B + C = 180度同时，根据角度平分线定理可得：∠BAC = ∠CAB = 1/2 * ∠BOC其中，BOC是三角形外角，根据外角和定理可得：∠BOC = 360度- A将上述等式代入三角形内角和定理等式中，得到：A + B + C = 180度即成立。
三、三角形内角和定理应用三角形内角和定理是解决三角形相关问题的基础，具有广泛的应用。
三角形的内角和是什么
三角形的三个内角相加起来的和叫三角形内角和。
三角形的内角和等于180度，三角
形的两边之和大于第三边。
三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和；三角形的一个
外角大于其他两内角的任一个角。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭
图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不
等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
用数学符号表示为：在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°
也可以用全称命题表示为：∀△ABC，∠1+∠2+∠3=180°。
内角和公式
任意n边形内角和公式
任意n边形的内角和公式为θ=180°·（n-2）。
其中，θ是n边形内角和，
n是该多边形的边数。
从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成（n-2）个三角形，每个三角形内角和为180°，故，任意n边形内角和的公式是：θ=（n-2）·180°，∀n=3，4，5，......。
三角形的内角和
B
D
C
三角形的内角和等于180 °
三角形性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
B
斜 边
C 直角边
即像△ABC这样把一边与另一边的延
长线所组成的角，叫做三角形的外角。 如∠ACD, ∠CAF.而∠ACB是∠ACD 是它相邻的内角, ∠ B、 ∠BAC是 F ∠ACD不相邻的内角。
A
BB
D
C
三角形的一个外角与三角形三个内角之间有何关系？在下图中，外.角 ∠ACD与∠A、 ∠B之间有什么大小关系？
答： ∠ A、∠B、∠C的度数分别为99 °、33°、48
三角形的内角和等于180 °，最多一个直角或一个钝角。
D E
G
FH
I
三个三角形中，三个角都是锐角的三角形 叫做锐角三角形 、有一个角是直角的三 角形叫做直角三角形，即用符号“Rt△” 来表示、有一个角是钝角的三角形叫做钝 角三角形。
A
直 角 边
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
三角形的内角和等于1800
例3.在△ABC中， ∠A的度数是∠B度数的3倍，∠C比 ∠B大15 °，求∠ A、∠B、 ∠C的度数。
解：设∠B为x °，则∠A为（3x ）°， ∠ C为（x+15° ）， 从而有
3x+x+(x+15)=180
解得 x=33 所以3x=99,x+15=48
谢谢观赏！
三角形的三个内 角和是多少？
三角形的内角和
（1）三角形越大，内角和（ C）。 A、越大 B、越小 C、不变
（2）在钝角三角形中，两个锐角之 和（ C ）90°。想：180°- 钝角＜90°
A、大于
B、等于
C、小于
（3）在直角三角形中，两个锐角之和 （ B ）90°。想：180°- 直角 = 90° A、大于 B、等于 C、小于
（4）在锐角三角形中，两个锐角之 和（ A ）90°。想：180°- 锐角＞90° A、大于 B、等于 C、小于
拿一个锐角三角形，先把∠2沿横的虚 线折过来，使它的顶点落在底边上，再 把∠1和∠3沿竖的虚线折过来，使三个 角正好拼在一起，这三个角组成一个什 么角？
再拿一个钝角来试试。
从以上可以得出什么结论？
三角形的内角和等于180°
在三角形中，已知∠1=78°， ∠2=44°，求∠3的度数。
∠3=180°－78°－44°
=58°
1、在三角形中，已知 ∠1=140°，∠3=25°，求∠2。 ∠2 =180°-140°-25°=15° 2、在一个直角三角形中，已知一 个锐角是65°，能求另一个锐角 的度数吗？为什么？ 180°-90°-65°=25°
3、在等边三角形中，求它一个角的 度数怎么求呢？
180°÷ 3 = 60°
小学数学
第八册
三角形的内角和
什么是三角形的内角？
三角形的三个内角的度 数之和叫着三角形的内 角和
量一量三角形中三个内角的度数， 算一60° 60°
60°
90°
30°
60°+ 60°+ 60°=180°
90°+ 60°+ 30°=180°
拿一个直角三角形，把∠1和∠2沿虚线 折过来，正好组成一个什么角？直角三角 形的内角和是多少度？
三角形的内角和 (小学数学)
人教版小学数学四年级下册三角形的内角和创设情境，设疑激趣(三角形兄弟之争)锐角三角形直角三角形钝角三角形不对。
我有一个大钝角，所以我的内角和才最大！我的三角形最大，我的内角和一定比你们大！我的三角形小，那我的内角和就小喽……23∠1＋∠2＋∠311.什么是三角形的内角？2.什么是三角形的内角和？= ？复习旧知，提出猜想三角形三个内角的度数合起来就是它的内角和。
三角形中两条邻边的夹角就是三角形的内角。
∠1、∠2、∠330°60°90°①90°45°45°②90°+30°+60°=180°90°+45°+45°=180°结论：直角三角板的内角和是180°。
大小、形状不同的三角形，它们的内角和一样吗？都是180°吗？大胆猜想：三角形的内角和是180°。
操作实验，验证猜想验证一测量法锐角三角形直角三角形钝角三角形验证一测量法64°58°58°58°+58°+72°=180°验证一90°+30°+60°=180°直角三角形测量法90°30°60°验证一测量法108°36°36°36°+36°+108°=180°量一量，算一算58°+58°+72°=180°90°+30°+60°=180°36°+36°+108°=180°结论：三角形的内角和是180°平角：180o平角：180o1311平角：180o33验证二撕拼法折拼法验证三112233直角三角形12233钝角三角形121133锐角三角形2∠1+∠2+∠3=平角=180°归纳总结，反思释疑结论：任意三角形的内角和都是180°。
三角形内角和的概念
三角形内角和的概念
三角形是几何中最基本的图形之一，它由三条线段构成。
在三角形中，三个角的大小只和恰好为180度，这被称为三角形内角和。
三角形内角和的概念对于几何学非常重要。
它是计算三角形内角大小和形状的基础。
如果我们知道一个三角形的内角和，我们就能够计算出它的某些角的大小，例如一个角是60度，那么三角形的其他两个角必须和为120度才能满足内角和为180度。
另外，知道三角形内角和还能判断三角形的形状，例如内角和为180度的三角形是平面上最简单的三角形，而内角和小于180度的三角形是凸三角形，内角和大于180度的三角形则为凹多边形。
对于学习者而言，了解三角形内角和的概念能够帮助我们更加深入地理解几何学原理，以及提高我们对三角形相关问题的计算能力。
因此，掌握三角形内角和的概念是几何学学习中不可缺少的一部分。
四年级数学教案《三角形的内角和》(精选10篇)
四年级数学教案《三角形的内角和》〔精选10篇〕四年级数学教案《三角形的内角和》〔精选10篇〕四年级数学教案《三角形的内角和》篇1教学目的⑴探究并发现三角形的内角和是180°，能利用这个知识解决实际问题。
⑵学生在经历观察、猜测、验证的过程中，提升自身动手动脑及推理、归纳总结的才能。
⑶在参与学习的过程中，感受数学独特的魅力，获得成功体验，并产生学习数学的积极情感。
教学重点：检验三角形的内角和是180°。
教学难点：引导学生通过实验探究得出三角形的内角和是180度。
教学环节：问题情境与老师活动：学生活动媒体应用设计意图目的达成导入新课一、复习旧知，导入新课。
1、复习三角形分类的知识。
师出示三角形，生快速说出它的名称。
2、什么是三角形的内角？我们通常所说的角就是三角形的内角。
为了便于称呼，我们习惯用∠A、∠B、∠c来表示。
什么是三角形的内角和？三角形“三个内角的度数之和”就是三角形的内角和。
用一个含有∠A、∠B、∠c的式子来表示应该如何写？∠A+∠B+∠c。
3、今天这节课啊我们就一起来研究三角形的内角和。
〔揭题：三角形的内角和〕由三角形的内角引出三角形的内角和，“∠A+∠B+∠c”的表示形式形象的表达出三内角求和的关系二、动手操作，探究新知1、出示三角板，猜一猜。
师：这个三角形的内角和是多少度？熟悉这副三角板吗？请拿出形状与这块一样的三角板，并同桌互相指一指各个角的度数把三角形三个内角的度数合起来就叫三角形的内角和。
是不是所有的三角形的内角和都是180°呢？你能肯定吗？我们得想个方法验证三角形的内角和是多少？可以用什么方法验证呢？3.学生测量4.汇报的测量结果除了我们这节课大家想到的方法，还有很多方法也能验证三角形的内角和是180°到初中我们还要更严密的方法证明三角形的内角和是180°5、稳固知识。
一个三角形中能不能有两个直角？能不能有2个钝角？三、应用所学，解决问题。
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三角形的内角和泰顺县彭溪镇小李明銮教学内容：新课程实验教科书小学数学四年级下册85页例5。
设计思路：遵循由特殊到一般的规律进行探究活动是这节课设计的主要特点之一。
先让学生思考直角三角形的另外两个角是什么角，再设疑让学生判断一个三角形中有两个角是直角，引出课题。
接着让学生猜想是不是所有的三角形的内角和是180°。
学生通过用量的方法得出三角形的内角和大约是180°（存在误差），再引导学生通过剪拼、折拼的方法发现：各类三角形的三个内角都可以拼成一个平角。
再利用课件演示进一步验证，由此获得三角形的内角和是180°的结论。
接着引导学生理解将一个长方形按对角线剪成两个直角三角形，让学生发现可以用360度除以2推算所有直角三角形的内角和是180度。
这一系列活动潜移默化地向学生渗透了“转化”数学思想，培养学生科学试验的态度，培养学生的统计观念。
接着向学生渗透数学文化。
最后让学生运用结论解决实际问题，练习的安排上，注意练习层次，共安排三个层次，逐步加深。
整堂课让学生通过小组合作学习，经历探究知识的过程，明白解决问题策略的多样化。
培养学生的空间观念，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。
让学生体验数学学习的快乐。
教材分析：依据是《新课程标准》（实验稿）。
新课标中，分两个阶段分层写进了“三角形内角和”：1、在第二学段“几何与图形”第七条中说：“通过观察、操作了解三角形内角和是180°”；2、在第三学段“空间与图形”第4条第3点中说：“利用同位角、对角相等的基本事实证明三角形的内角和定理。
三角形的内角和是三角形的一个重要特征。
本课是安排在三角形的概念及分类之后进行的，它是学生以后学习多边形的内角和及解决其它实际问题的基础。
教材很重视知识的探索与发现，安排了一系列的实验操作活动。
教材呈现教学内容时，不但重视体现知识的形成过程，而且注意留给学生充分进行自主探索和交流的空间，为教师灵活组织教学提供了清晰的思路。
概念的形成没有直接给出结论，而是通过量、算、拼等活动，让学生探索、实验、发现、讨论交流、推理归纳出三角形的内角和是180°。
学生分析１、四年级的学生已经有了探索三角形内角和的知识（或技能）基础。
如掌握了锐角、直角、钝角、平角的概念；知道直角或平角的度数、会用量角器度量角的度数。
认识长方形、正方形，知道他们的四个角都是直角，认识了三角形，知道了三角形根据角分，有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
已经知道了等腰三角形和正三角形。
２、学生的起点。
已经有不少学生知道了三角形内角和是１８０度的结论，但是很可能都知其然不知其所以然。
教学目标：1、通过量、剪、拼等方法，探索和发现三角形内角和是180°。
2、在操作活动中，培养学生的合作能力、动手实践能力，发展学生的空间观念。
并运用新知识解决问题。
3.使学生有科学实验态度，激发学生主动学习数学的兴趣，体验数学学习成功的喜悦。
教学重点：引导学生发现三角形内角和是180°教学难点：用不同方法验证三角形的内角和是180°教具学具准备：课件、学生准备不同类型的三角形各一个，长方形。
剪刀、量角器。
教学过程：一、创设情景，引出问题导语师：第几次来这里上课？在这里上课和在教室有什么不一样吗？（交代话筒的分布）今天有很多听课的老师都想了解你，能向老师介绍你自己吗？容时，不但重视体现知识的形成过程，而且注意留给学生充分进行自主探索和交流的空间，为教师灵活组织教学提供了清晰的思路。
概念的形成没有直接给出结论，而是通过量、算、拼等活动，让学生探索、实验、发现、讨论交流、推理归纳出三角形的内角和是180°。
学生分析１、四年级的学生已经有了探索三角形内角和的知识（或技能）基础。
如掌握了锐角、直角、钝角、平角的概念；知道直角或平角的度数、会用量角器度量角的度数。
认识长方形、正方形，知道他们的四个角都是直角，认识了三角形，知道了三角形根据角分，有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
已经知道了等腰三角形和正三角形。
２、学生的起点。
已经有不少学生知道了三角形内角和是１８０度的结论，但是很可能都知其然不知其所以然。
教学目标：2、通过量、剪、拼等方法，探索和发现三角形内角和是180°。
2、在操作活动中，培养学生的合作能力、动手实践能力，发展学生的空间观念。
并运用新知识解决问题。
3.使学生有科学实验态度，激发学生主动学习数学的兴趣，体验数学学习成功的喜悦。
教学重点：引导学生发现三角形内角和是180°教学难点：用不同方法验证三角形的内角和是180°教具学具准备：课件、学生准备不同类型的三角形各一个，长方形。
剪刀、量角器。
教学过程：二、创设情景，引出问题导语师：第几次来这里上课？在这里上课和在教室有什么不一样吗？（交代话筒的分布）今天有很多听课的老师都想了解你，能向老师介绍你自己吗？师：是不是所有的三角形的内角和都是180°呢？你能肯定吗？生：是。
生：不是预设1师：大家意见不统一，我们得想个办法验证三角形的内角和是多少？可以用什么方法验证呢？预设2师：可以用什么方法验证三角形的内角和是180度。
生：量一量。
（量角器）师：用量角器度量，你能说的更明白一些吗？3、量一量（1）出示要求（课件）师：（我在信封里为大家准备了三个不同的三角形和一张表格）三个三角形和一张表格，四人小组合作，你们觉得怎样分工度量的速度会最快？生：每一个同学量一个三角形的内角度数另一个人记录。
师：量的同学：量出的每个角的度数，把每个角的度数写在三角形里面。
三个角的度数都量好后，再汇报给记录的同学登记。
（还要在实物投影上例举）师：记录的同学：要监督小组其他同学量的是不是很准确、真实，不能改掉小组成员度量出来的数据。
（开始）量一量、算一算不同类型三角形内角和各是多少度？（2）小组合作探究（大部分的同学已经量好了。
没有量好的小组，先停下来。
让我们一起来分享其他同学的测量成果。
我这里收集到了两个小组的测量记录表，这张是那个小组的？请这个小组的组长带上三个三角形上来给大家介绍他们组的测量情况。
请你给大家介绍你们组测量的三角形的形状，每个角的度数和内角和是多少？）学生汇报的时候教师板书。
（3）汇报交流测量记录表（实物投影）选择有代表性的作品展示学生的汇报中可能会出现答案不是惟一的情况。
如180°179°181°等（板书）（分别对这几个数进行统计）我们来统计测量出来是多少度的同学最多。
例如、179°的有2人，180°的有13人，181的有1人等等。
（度量结果是181度的同学请举手，179度的请举手，还有不一样的吗？）师：观察这些测量结果你能发现什么？生：都在180°左右。
生：从大到小的顺序。
4、剪拼、折拼（1）剪拼、撕拼（学生的注意力要集中）预设1师：用度量的方法验证，得到的结果不统一，有没有比度量更精确的验证方法？（让学生多思考），也就是不用度量你能用别的方法验证吗？预设2师：不着急，看黑板（板书），内角和就是（~~）生：就是把内角合并在一起。
度量的验证方法是分别量出每个角的度数，分成单个研究。
如果把三个角合在一起考虑呢？你还有什么验证方法？求三角形内角和就是把三角形的三个角和起来考虑问题，三个角和起来是什么角？三个角和起来是多少度的角，你有办法吗？预设3师：如果三角形的内角和是180度，180度的角就是我们以前学过的平角把三角形的三个角拼起来是不是一个平角？有什么方法能把三角形的三个内角合并在一起？预设4师：我在电脑里收索一个验证方法。
（课件演示）生：把三角形的三个角剪下来，再拼成一个角。
师：你能说的更明白一些吗？让学生在实物投影上演示（可以把剪下来的三个角，用固体胶固定在白色的长方形卡纸上。
）师：你们觉得他得方法可行吗？要求请大家四人小组合作，用他的方法验证。
全班小组操作大部分的小组已经拼好了，还没拼好的小组先停一停。
我们一起来分享其他小组的验证结果汇报交流预设1师：（把学生的作品展示）把三个角拼在一起你们有什么发现？（你能看出这是用什么三角形拼成的？为什么？三个角拼在一起你有什么发现？）预设2让学生上来介绍师：你怎么做？发现了什么？（课堂纪律）让学生展示不同类型的三角形拼成一个平角。
说明三角形的内角和是180°（板书：剪拼一个平角）课件演示师：这种验证方法是谁第一个发现的，我们用掌声来祝贺他。
（2）折拼师：用剪拼的方法是比较精确，美中不足就是把三角形给剪了或是撕了，有没有更好验证方法？预设1生：用折的方法小组合作把剩下的一个三角形的折成一个平角。
展示师：要把三角形的三个角折成一个平角靠我们现在的经验是有点难。
看电脑是怎样折的。
课件演示师：先要找到两条边的中点，用线连接起来，再按这条线折起来。
再把另外的两个角折起来就可以了。
预设2学生不会想到用折的方法。
师：我在电脑里收索到折的方法，请同学们看一看他是怎么折的（课件演示）5、计算，推理（看学生基础选用）A、将一个长方形按对角线剪成两个完全一样的直角三角形。
因为长方形的四个角都是直角，长方形的内角和是360°，所以剪成后的直角三角形的内角和是180°（回家以后，同学们可以剪一个三角形折一折，我在信封里还为大家准备一个长方形彩色卡纸，如果将一个长方形剪成两个直角个三角形）师：你发现了什么？生：直角三角形的内角和是180°师：你能说得更明白一些吗？师：你能算出这个直角三角形的内角和吗？生：90°乘4等于360°，在把360°除以2就等于180°（板书）师：我们给这种验证方法娶个名字？（推算）师：这个直角三角形可以用推算的方法验证，是不是所有的直角三角形都可以用这种方法推算呢？（课件演示）师：推算的验证方法是谁先发现的，我们也对他表示祝贺。
小结师：这节课通过我们班同学共同合作，我们用了几种验证方法。
师：撕拼和折拼方法有什么相同点？（注意说话有说服力）生：都是把三角形的三个角拼成一个平角。
师：为什么度量的方法会得到不同的结果？师：可能是度量的时候有误差，如果准确测量结果就是180°（把不是180°的数据擦掉）数学文化师：除了我们这节课大家想到的方法，还有很多方法也能验证三角形的内角和是180°到初中我们还要更严密的方法证明三角形的内角和是180°早在300多年前就有一个科学家，他在12岁时就验证了任何三角形的内角和都是180°（课件）帕斯卡（BlaisePascal,1623～1662) ，法国数学家、物理学家、近代概率论的奠基者。
早在300多年前这位法国著名的科学家就已经发现了任何三角形的内角和是180度，而他当时才12岁。