第十二讲-数列大题讲解_13
高中数学数列知识点解析(K12教育文档)
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高中数学第三章数列考试内容:数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,井能解决简单的实际问题．§03. 数列知识要点1. ⑴等差、等Array比数列：⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a （2≥n ） ③b kn a n +=（k n ,为常数）.⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )①注①：i. acb =，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即acb =、b 、c 等比数列。
ii 。
acb =(ac ＞0)→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要.iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分。
{小学数学}小五数学第12讲：因数倍数学生版-—平谷田丰[仅供参考]
![{小学数学}小五数学第12讲：因数倍数学生版-—平谷田丰[仅供参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/4a4399f5af45b307e9719705.png)
2021年{某某}小学小学数学学习资料教师：年级：日期：第十二讲因数倍数1.如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的，b就叫做a的。
2.整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是而且没有，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a.3.因为任何整数都能被整除，所以任何整数都是1的倍数，1是任何整数的因数。
4.因为0能被任何不是零的整数整除，所以0是的整数的倍数，任何不是零的整数也都是0的因数。
（为了方便，我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数。
）5.一个数最小的因数是，最大的因数是；一个数的因数的个数是有限的。
6.一个数最小的倍数是，没有的倍数；一个数的倍数的个数是无限的。
7.个位上是0，2，4，6，8的数，都能被2整除，能被2整除的的数叫做，如2，4，6，8，10，12…..不能被2整除的数叫做，如1，3，5，7，9….8.个位上是的数，都能被5整除；一个数的能被3整除，这个数就能被3整除。
9.如果一个数能被4整除，那么这个数就能被4整除；如果一个数的被9整除，那么这个数就能被9整除。
10.一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数就叫做。
11.一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数就叫做。
12.如果一个自然数的因数是质数，这个因数就叫做这个自然数的。
13.每个合数都可以写成几个质因数相乘的形式；把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做。
14.用短除法分解质因数时，先用一个能整除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是，就把除数和商写成相乘的形式，得出的商如果是，就照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止。
然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。
15.几个数公有的因数，叫做这几个数的；其中最大的一个，叫做这几个数的。
16.公因数只有1的两个数，叫做。
如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数就只有。
17.如果较小的数是较大数的因数，那么它们的就是较小的那个数。
高等数学讲义 第十二章 级数
n =0
R = 0 表示幂级数除 x = 0 外均发散， R = +∞ 表示幂级数在 (−∞,+∞) 上均收敛。
an +1 定理2。设幂级数∑ an x ，如果 lim = ρ， 则 n →∞ a n =0 n
n
∞
(1)当 ρ = 0 时，R = +∞ (2)当 ρ = +∞ 时，R = 0 (3)当 0 < ρ < +∞ 时，R =
第十二章
1。无穷级数的概念 。
级数
§1。无穷级数的概念及其基本性质 。
定义1。设一数列 u1 , u2 , L un , L则和式
∑ un = u1 + u2 + L + un + L 称为无穷级数，
n =1
∞
简称级数。
u n 称为级数的通项或一般项。
sn = ∑ u k = u1 + u 2 + L + u n 称为级数的
k =1
n
前 n 项部分和，简称部分和。
定义2：当 n → +∞ 时, 若极限 lim sn = lim ∑ u k = s 存在，
n→∞ n→∞ k =1
n
则称级数 ∑ u n 收敛，s 称为级数的和。记作：s = ∑ u n
n =1
∞
∞
若极限 lim sn 不存在 , 则称级数 ∑ u n 发散.
n =0 ∞
= a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) 2 + L + an ( x − x0 ) n + L
高考数学总复习讲义 第十二讲 数列大题讲解
第十二讲数列大题讲解一【考点提示】1.数列的通项和前n项和公式：(1)________________________________________________________________________________ ___________________________________(2)________________________________________________________________________________ ___________________________________2.数列与方程、函数、不等式的交汇问题。
着重考查放缩法、综合法与分析法的应用：___________________________________________________________________________________ _____________________________________________.3.数列与平面向量的交汇等问题：___________________________________________________________________________________ _____________________________________________.二【典例分析】1.等差、等比数列的基本运算例1（2012山东高考)已知等差数列{a n}的前5项和为105，且a10＝2a5.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{a n}中不大于72m的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m.例2 (2012·重庆高考)已知{a n}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{a n}的通项公式；(2)记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k，S k＋2成等比数列，求正整数k的值．2.等差、等比数列的判定与证明例3（2012·陕西高考)设{a n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{a n}的公比；(2)证明：对任意k∈N＋，S k＋2，S k，S k＋1成等差数列．例4 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝4a n－3(n∈N*)．(1)证明：数列{a n}是等比数列；(2)若数列{b n}满足b n＋1＝a n＋b n(n∈N*)，且b1＝2，求数列{b n}的通项公式．例5 (2012·广东高考)设数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n＝2S n－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式．3.数列的有关范围问题例6 已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足：a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q .(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝3b n －λ·2a n 3，若数列{c n }是递增数列，求λ的取值范围．例7 (2012年广州两校联考)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列；(2)求证：{a n －3n}是等比数列并求数列{a n }的通项公式；(3)设3n b n ＝n (3n －a n )，且|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |<m 对于n ∈N *恒成立，求m 的取值范围．例8 (2012·日照一模)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，a 3是a 1，a 7的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和，若T n ≤1λa n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值．4.数列求和问题例9 (2012·天津高考)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N *，证明T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n ≥2)．例10 已知x ，f x2，3(x ≥0)成等差数列．又数列{a n }(a n >0)中，a 1＝3，此数列的前n 项和为S n ，对于所有大于1的正整数n 都有S n ＝f (S n －1)．(1)求数列{a n }的第n ＋1项；(2)若b n 是1a n ＋1，1a n 的等比中项，且T n 为{b n }的前n 项和，求T n .例11 （2012·湖北高考)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．5.数列与不等式例12 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n ，(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c ＝a 2·b ，证明：当且仅当n ≥3时，c <c .例13 (2011广东)设b＞0，数列{a n}满足a1＝b，a n＝nba n－1a n－1＋n－1(n≥2)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2a n≤b n＋1＋1.例14 (2012年高考广东卷)设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1a n<32.。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案一、教学目标：1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。
3. 通过对数列的综合应用举例，使学生理解数列在数学和自然科学领域中的重要性。
二、教学内容：1. 等差数列的应用举例：例如计算工资、利息等问题。
2. 等比数列的应用举例：例如计算复利、人口增长等问题。
3. 数列的求和公式及应用：例如求等差数列、等比数列的前n项和等问题。
4. 数列的通项公式的应用：例如求等差数列、等比数列的第n项等问题。
5. 数列在函数中的应用：例如数列与函数的关系、数列的函数性质等问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：数列的基本概念、性质和求和公式。
2. 教学难点：数列的通项公式的理解和应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习数列知识。
2. 利用多媒体课件，直观展示数列的应用实例，提高学生的学习兴趣。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作能力和思维能力。
五、教学安排：1. 第一课时：等差数列的应用举例。
2. 第二课时：等比数列的应用举例。
3. 第三课时：数列的求和公式及应用。
4. 第四课时：数列的通项公式的应用。
5. 第五课时：数列在函数中的应用。
6. 剩余课时：进行课堂练习和课后作业的辅导。
六、教学目标：1. 深化学生对数列求和公式的理解，能够熟练运用求和公式解决复杂数列问题。
2. 培养学生运用数列知识进行数据分析的能力，提高学生的数学素养。
3. 通过对数列图像的观察，使学生理解数列与函数之间的关系。
七、教学内容：1. 数列图像的绘制与分析：学习如何绘制数列图像，并通过图像观察数列的特点。
2. 数列与函数的联系：探讨数列与函数之间的关系，理解数列可以看作是函数的特殊形式。
3. 数列在数据分析中的应用：例如，利用数列分析数据的变化趋势，预测未来的数据。
八、教学重点与难点：1. 教学重点：数列图像的绘制方法，数列与函数的关系，数列在数据分析中的应用。
第12讲 排序不等式与切比雪夫不等式
第十二讲 排序不等式与切比雪夫不等式一、 知识概要 1.排序不等式定理1 设12n a a a ≤≤≤L L ，12n b b b ≤≤≤L L ，12,,n i i i L L 与12,,n j j j L L 是1,2,3n L 的任意的两个排列，则:11221122nni j o j i j n n a b a b a b a b a b a b ++≤++L L 11221211nni j o j i j n n n a b a b a b a b a b a b -++≥+++L L可以简单的理解为：反序和≤乱序和≤同序和.2.切比雪夫不等式定理2 设12n a a a ≤≤≤L L ，12n b b b ≤≤≤L L ，则：111()()n nnk kk kk k k a ba bnnn===≤∑∑∑.定理3 设12n a a a ≤≤≤L L ，12n b b b ≥≥≥L L ，则：111()()nnnkkk kk k k a ba bnnn===≥∑∑∑.3.幂平均不等式定理4 设正实数12,,,n a a a L L ,且0αβ<< ,则111212()()n n a a a a a a n nαααββββα++++++≤L L(等号成立当且仅当12n a a a ===L L ).定理5 设正实数12,,,n a a a L L ,且0αβ<< ,则111212()()n n a a a a a a n nαααββββα++++++≥L L(等号成立当且仅当12n a a a ===L L ).二、解题指导例1.设,,,a b c d 满足1ab bc cd da +++=的非负实数， 求证：333313a b c d b c d a c d b a d b a c +++≥++++++++.例2.已知,,a b c R +∈，1abc =,证明:33311132()()()a b c b a c c a b ++≥+++.例3.设123,,,(2)n x x x x n ≥L 都是正实数，且11ni i x ==∑，求证：1nni =≥.例4.设正实数12,,n a a a L 满足121n a a a +++=L ，证明：1212231222223311()()1n n a a a na a a a a a n a a a a a a ++++++≥++++L L .例5.设0(1,2,3,,)i x i n >=L ，求证：12331212312()nnx x x x x x x x nn n x x x x x x x +++⋅≥L L L .三、习题演练1.用排序不等式证明下列不等式： （1）3333a b c abc ++≥； （2）222222b c c a a b abc a b c++≥++；（3）3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++.2.设,,0a b c >，1111111a b b c c a ++=++++++，求证：a b c ab bc ac ++≥++.3.设,,0a b c >，求证：888333111a b c a b c a b c ++++≤.4.设,,0x y z >，满足1x y z ++=，≥5.将1,2,3n L 这n 个正整数任意排列可以得到!n 个不同的数列，问其中是否存在4个数列： 123,,,,n a a a a L ，12,,,n b b b L 123,,,n c c c c L K ，23,,,n d d d d L K 使得 11221122332()n n n n a b a b a b c d c d c d c d +++=++++L L .6.设0(1,2,3,)k p a q k n <≤≤=L ，试求：111()()nnk i i kf a a ===∑∑的最大值与最小值.。
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案求数列通项公式的方法有很多种。
这个问题通常是高考试卷的第一问，如果无法解决或没有思路，那么即使后面的问题可以解决，也是无济于事的。
下面我们逐个讲解这些重要的方法。
递推公式法是指利用an=Sn−Sn−1的形式，其中Sn表示数列的前n项和。
这种方法有两种类型。
第一种类型是题目中给出的是Sn=f(n)的形式，要将n改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。
但是需要注意的是，求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下a1和S1是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式。
第二种类型是a(n-1),an和a(n+1)与S(n-1),Sn和S(n+1)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。
累加法（迭、叠加法）是在教材上推导等差数列通项公式和前n项和公式的时候使用的一种方法。
其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的。
只要适合an=an-1+f(n)的形式，都可以使用累加法。
基本的书写步骤是将an-an-1=f(n)展开，然后累加，得到an-a1=f(2)+f(3)+f(4)+。
+f(n)。
因此重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列的前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。
累乘法的使用条件是，凡是适合an=an-1*f(n)形式的求通项公式问题，都可以使用累乘法。
它的基本书写步骤格式是：an=a1*f(2)*f(3)*。
*f(n)。
以上是数列通项公式的三种求法。
2.改写每段话：首先，我们来看等式左右两边的乘积。
左边相乘得到的总是1，右边相乘得到的是f(2)乘以f(3)乘以f(4)一直到f(n)。
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：12 等差数列 精英篇(解析版)全国通用
第十二讲 等差数列在今天这节课中，我们来学习等差数列在实际解题过程中的综合运用.这节课主要以等差数列的综合运用为主，但考虑到许多学生没有系统接触过“等差数列”的知识，建议教师在本节课系统讲解一下. 知识点：1、等差数列在计算题中的综合运用.2、等差数列在数表中的综合运用.分析：一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球.因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋…＋10）＝2×55＝110（只）.加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）.综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）.[复习一]你能给大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗？快快举手，多多赢得小印章！（1） 先介绍一下一些定义和表示方法：定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列.譬如：2、5、8、11、14、17、20、…… 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、…… 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列（2） 首项：一个数列的第一项，通常用a 1表示；末项：一个数列的最后一项，通常用a n 表示，它也可表示数列的第n 项. 每个数列都有最后一项吗？数列分有限数列和无限数列；项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用S n 来表示 .（3） 三个重要的公式：你还记得吗教学目标想 挑 战 吗 ？盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里.这时盒子里共有多少只乒乓球？① 通项公式：递增数列：末项=首项＋(项数-1)×公差， 1(1)n a a n d =+-⨯递减数列：末项=首项-(项数-1)×公差，1(1)n a a n d =--⨯回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让同学明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔的公差个数，或者从找规律的情况入手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：(),()n m a a n m d n m -=-⨯> ② 项数公式：项数=（末项-首项）÷公差＋1由通项公式可以得到： 1()1n n a a d =-÷+ （1n a a >若）；1n ()1n a a d =-÷+（1n a a >若）. 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、……、40、43、46 ，分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组. 当然，我们还可以有其他的配组方法. ③ 求和公式：和=（首项＋末项）×项数÷2，1()2n n s a a n =+⨯÷ 对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手： （思路1）1＋2＋3＋…＋98+99+100＝101×50=5050（思路2）这道题目，我们还可以这样理解：即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050（4）中项定理对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数. 譬如：（1）4＋8＋12＋…＋32＋36=（4+36）×9÷2=20×9=1800 ，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9 ；（2）65＋63＋61＋…＋5＋3+1=（1+65）×33÷2=33×33=1089 ，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33 .[复习2]（1）3、5、7、9、11、13、15、…… ，这个数列有多少项？它的第102项是多少？（2）已知等差数列2、5、8、11、14 … ，问47是其中第几项？（3）如果一等差数列的第4项为21，第10项为57，求它的第16项.分析：（1）它是一个无限数列，所以项数有无限多项.第n项=首项+公差×（n-1），所以，第102项=3+2×（102-1）= 205 ；（2）首项=2 ，公差=3 ，我们可以这样看：2、5、8、11、14 …、47 ，那么这个数列有：n=（47-2）÷3+1=16 ，（熟练后，此步可省略），即47是第16项；（3）要求第16项，必须知道首项和公差.第10项－第4项=（10－4）×公差，所以，公差= 6 ；第4项=首项+3×公差，21=首项+3×6 ，所以，首项=3 ；第16项=首项+15×公差=93 .专题精讲（一）等差数列在计算中的综合运用【例1】（1）(2+4+6+…+96+98+100)-(1+3+5+…+95+97+99)（2）1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70；（3）61+692+6993+69994+699995+6999996分析：（1）同学们可能已经发现和式2+4+…+98+100，l+3+5+…+974-99中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再做减法.这样做，很自然，也比较简便，有其他更为简便的解法吗?再看题，你会冒出一个好想法：运用加减运算性质先做减法：2-l，4-3，6-5，…，100-99，它们的差都等于1，然后，计算等于1的差数有多少个.由于题中1至100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减(以大减小)，共得50个差数1，从而，原式=(2-1)+((4-3)+…+(98-97)+(100-99)=50 （2）可以把这个数列拆分为两个数列1+4+7+10+13+…+67+70和3+6+9+12+…+66+69，对他们分别求和：原式=(1+70)×24÷2+(3+69)×23÷2=1680；（3）原式=(70-9)+(700-8) +(7000-7)+(70000-6)+(700000-5)+(7000000-4)=7777770-(9+8+7+6+5+4)=7777731[评注]以上都是些常见的数列求和问题，以后我们遇到的题都是和这些题的类型相似的，我们应该熟练掌握他们的计算方法．【例2】（1）从401到1000的所有整数中，被8除余数为1的数有多少个？（2）1至100各数，所有不能被9整除的自然数的和是多少？分析：（1）因为被8除余数为1的整数组成公差是8的等差数列，最小的是401，最大的是993，于是项数=(993—401)÷8+1=75．（2）在1至100中，被9整除的数的和是：9+18+27+…+99=9×(1+2+3+…+11)=9×66=594；1至100各数之和是：1+2+3+…+100=5050；所以在1至100的各数中，所有不能被9整除的数的和是：5050—594=4456．[前铺一]求100以内除以3余2的所有数的和.分析：100以内除以3余2的数为2、5、8、11、……98公差为3的等差数列，首先求出一共有多少项，（98－2）÷3+1=33 ，再利用公式求和 (2+98)× 33÷2=1650 .[前铺二]在1～100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1～100中，我们很容易知道能被9整除的最小的数是9=9×1，最大的数是99=9×11，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一共有：11-1+1=11项，所以，所求数的和是：9+18+27+……+99=（9+99）×11÷2=594.【例3】 已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…，问:这个数列中第2000个数是多少?第2003个数是多少?分析:奇数项的排列规律是：2、4、6、8，… 偶数项的排列规律是：3、6、9、12，…先求出这两个数各自在等差数列中的项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第2000÷2=1000个数， 第2003个数在奇数项等差数列中是第（2003+1）÷2=1002个数 ，所以第2000个数是3000，第2003个数是2004 .[前铺一]已知数列2，4，6，8，……，问这个数列中第2000个数是多少？分析：根据等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-⨯，第2000个数为：2+（2000-1）×2=4000。
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第十二讲-数列大题讲解_13第十二讲 数列大题讲解（2）1.数列放缩法的应用例 1 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，都有，且满足23331212()n n a a a a a a +++=++.（1）数列{}n a 的通项公式；（2）当01λ<<时，设1(1)(),(1)2n n n n b a c a λλ=-+=+，数列1{}n n b c 的前n 项和n T ，求证：9143n n T n ->+.例2 数列{}n a 满足121,5a a ==，当2n ≥时，1156n n n a a a +-=-. （1）证明：数列1{3}n n a a +-为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）试比较n a 与221n +的大小，并说明理由.例3 已知数列{}n b 是等差数列，且112101,145b b b b =++=.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a 的通项1lo g (1)n a na b =+，记n S 是数列{}n a 的前n 项和.证明：1log 3a n nb S +>（其中1a >）.第十二讲-数列大题讲解_13（1）求数列{}n b 前n 项和n T ；（2）猜测n T 与223132n n-的大小关系，并证明你的结论.例5 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，11a =，且127,,a a a 成等比数列. （1）求{}n a 的前n 项和为n S ； （2）设(1,*)1n n S nb n n N n -=>∈-，且12b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：11642918(1,*)(9)nn n n b T b n n N n b -+-+>>∈+.2. 数列新型题例1 已知等差数列{}n a （*n N ∈）中，12947,232,37n n a a a a a a +>=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若将数列{}n a 中的项重新组合，得到新数列{}n b ，具体方法如下：11223345674891015,,,,,b a b a a b a a a a b a a a a ==+=+++=++++依次类推，第n 项n b 是{}n a 中相应的12n -项的和，求数列1{2}4n n b -⋅的前n 项和n T .3.奇偶分类数列例1 已知数列{}n a 满足：1221,2222n n n n a n a n a n +⎧+⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为正奇数，为正偶数（1）数列{}n a 是否为等差数列或等比数列？说明理由；（2）求证数列{}2n na是等差数列，并求2{}n a 的通项公式； （3）设21n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .第十二讲-数列大题讲解_13例2 .已知数列1}{1=a a n 中，且k k k a a )1(122-+=-， kk k a a 3212+=+， 其中k=1,2,3,…….（1）求35,a a ； （2）求{}n a 的通项公式.例3【2011年合肥一模文】已知以1为首项的数列{}n a 满足：11()2n n na n a a n ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数（为偶数） （1）写出234,,a a a ，并求出{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 前n 项和n S ，求数列{}n S 前n 项和n T .例4【2012年合肥六中最后一卷理】已知数列{}n a 满足1=2a ，前n 项和为n S ，1-1()--2n n n p a nn a a n n ++⎧=⎨⎩为奇数（为偶数）（1）若{}n b 满足221(1)n n n b a a n +=+≥，求{}n b 前n 项和n T ； （2）若等比数列{}n c 满足2=n n c a ，求p 的值；（3）当1=2p 时，问是否存在*n N ∈，使得212(-10)1n n S c +=，若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由.4.数列综合题21.（本小题满分14分）已知曲线C :1xy = ，过C 上一点(,)n n n A x y 作一斜率第十二讲-数列大题讲解_1312n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点111(,)n n n A x y +++，其中7111=x （1）求n x 与1n x +之间的关系式；（2）求证：数列}3121{+-n x 是等比数列；（3）求证：23123(1)(1)(1)(1)1(*)n n x x x x n -+-+-+-<∈N21.解：（1）直线方程为),(),(21111+++-+-=-n n n n n n y x A x x x y y 因为直线过点， 2)(2111)(2111111+=⇒-+-=-⇒-+-=-∴+++++n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x y y ． ……………………4分（2）设,3121+-=n n x a 由（1）得 n n n n n n a x x x x a 2)3121(231221312111-=+--=+-+=+-=++又}3121{,021+-≠-=n x a 故是等比数列； ……………………8分 （3）由（2）得31)2(12)2(--+=⇒-=nn n n x a31)1(212)1()1(⋅--+⋅-=-∴n n n n n x ……………………10分当n 为偶数时，则11111112222912312222)1()1(-------⋅+<-⋅+⋅+=-+-n n n n n n n n n n nn n x x n n 21211+=-2312321111(1)(1)(1)...(1) (112222)n n n n x x x x ∴-+-+-++-<+++=-<； ………12分当n 为奇数时，则23123(1)(1)(1)...(1)1(1)n n n n x x x x x -+-+-++-<+-而11)1(1,031212<-=-+>+-=n n n n n x x x 所以 1)1(...)1()1()1(33221<-++-+-+-∴n n x x x x综上所述，当*n ∈N 时，23123(1)(1)(1)(1)1n n x x x x -+-+-+-<成立． ………14分21. （本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：232121...2nn a a a a n n λλλ-++++=+（其中常数*0,n N λ>∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：当4λ=时，数列{}n a 中的任何三项都不可能成等比数列； （Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和．求证：若任意*n N ∈，(1)3n n S a λλ-+≥ 21．解：（Ⅰ）当n ＝1时，a 1＝3．当n ≥2时，因为a 1＋a 2λ＋a 3λ2＋…＋a nλn －1＝n 2＋2n ， ①所以a 1＋a 2λ＋ a 3λ2＋…＋a n －1λn －2＝(n －1)2＋2(n －1)． ②① －②得a n λn －1＝2n ＋1，所以a n ＝(2n ＋1)·λn －1（n ≥2，n ∈N *）．……………… 3分又 a 1＝3也适合上式， 所以a n＝(2n＋1)·λn－1(n ∈N *)． …………………… 4分（Ⅱ）当λ＝4时，a n ＝(2n ＋1)·4n －1． （反证法）假设存在a r ，a s ，a t 成等比数列， 则[(2r ＋1)·4r －1]· [(2t ＋1)·4t －1]＝(2s ＋1)2·42s －2．整理得(2r ＋1) (2t ＋1) 4 r ＋t －2s ＝(2s ＋1)2． 由奇偶性知r ＋t －2s ＝0．所以(2r ＋1) (2t ＋1)＝(r ＋t ＋1)2，即(r －t )2＝0．这与r ≠t 矛盾，故不存在这样的正整数r ，s ，t ，使得a r ，a s ，a t 成等比数列． ……… 8分第十二讲-数列大题讲解_13（Ⅲ）S n ＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n ＋1)λn －1．当λ＝1时，S n ＝3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)＝n 2＋2n ． ………… 10分当λ≠1时，S n ＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n ＋1)λn －1，λS n ＝ 3λ＋5λ2＋…＋(2n －1)λn －1＋(2n ＋1)λn ．(1－λ)S n ＝3＋2(λ＋λ2＋λ3＋＋…＋λn －1)－(2n ＋1)λn＝3＋2×λ(1－λn －1) 1－λ－(2n ＋1)λn ．①当λ＝1时，左＝(1－λ)S n ＋λa n ＝a n ＝2n ＋1≥3，结论显然成立； ②当λ≠1时，左＝(1－λ)S n ＋λa n ＝3＋2×λ(1－λn －1)1－λ－(2n ＋1)λn ＋λa n＝3＋2×λ(1－λn －1)1－λ而0λ>，1λ-和11n λ--同号，故λ(1－λn －1) 1－λ≥0∴ (1)3n n S a λλ-+≥对任意*n N ∈都成立 ………… 14分20（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和n S 满足：),2)(1(6,11++=>n n n a a S S 且.*N n ∈ （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列n bn n T a b n 记满足,1)12(}{=-为数列}{n b 的前n 项和，求证： ).3(log 122+<+n n a T解：（1）当n=1时，有).2)(1(6111++=a a a解得.2),,1(11111=>==a S a a 或舍去矛盾与1分当2≥n 时，有⎩⎨⎧++=++=---)2)(1(6),2)(1(6111n n n n n n a a S a a S 两式相减得.0)3)((),(36111212=--+-+-=----n n n n n n n n n a a a a a a a a a 即 3分由题设.3,03,0111=-=-->+---n n n n n n a a a a a a 即从而故数列}{n a 是首项为2，公差为3的等差数列.133)1(2-=⋅-+=n n a n 6分（2）由.133log ,1)12)(13(,1)12(2-==--=-n nb n a n b b n n n 得 7分).133895623(log 221-⨯⨯⨯⨯=+++=n nb b b T n n而)23(log 1)133895623(log 2)3(log 12222+<+-⨯⨯⨯⨯⇔+<+n n na T n n223)133895623(2+<-⨯⨯⨯⨯⇔n n n 123)133895623(22<+-⨯⨯⨯⨯⇔n n n9分 令.23)133895623(22+-⨯⨯⨯⨯=n n n c n则.1102199189)23)(53()33(2)1(3)23()2333(22221<++++=+++=+++++=+n n n n n n n n n n n c c n n 而}{,,01n n n n c c c c <>+所以是单调递减数列． 11分所以，.123)133895623(2.1109213)23(2221<+-⨯⨯⨯⨯=<=+⨯=≤n n n c c c n n 所以 从而)3(log 122+<+nna T 成立．【蚌埠二中最后一卷】21、（本小题满分14分）已知2()(1)f x x =-，()10(1)g x x =-，数列{n a }满足1a ＝2，1()()()n n n n a a g a f a +-+＝0，9(2)(1)10n n b n a =+-（1）求证：数列{n a －1}是等比数列；（2）当n 取何值时，n b 取最大值，并求出最大值；（3）若m m t b ＜11m m t b++对任意*m N ∈恒成立，求实数t 的取值范围。