中考数学中的探索型问题分析
中考数学探索性问题答题策略——以江苏省部分地市中考试题为例
２０２４年４月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀中考数学探索性问题答题策略以江苏省部分地市中考试题为例◉江苏省仪征市实验中学东区校㊀王小琪◉江苏省仪征市月塘中学㊀雷业红㊀㊀摘要:数学探索是一种重要的研究问题㊁解决问题的方法,也是人们探索和发现新知识的重要手段,有利于培养和发展创造思维能力．探索性问题已成为近年来中考数学的热点题型,本文中结合中考真题,对常见的几种探索性问题进行了归类㊁整合与解析,帮助学生熟悉探索性问题的答题策略,掌握解答的方法与技巧．关键词:规律探索型;条件探索型;结论探索型;存在性探索型;尝试性解答㊀㊀初中数学课程标准要求教师 引导学生通过实践㊁思考㊁探索㊁交流,获得知识,形成技能,发展思维,学会学习 ,探索性题型正是为了适应加强对学生综合能力考查的新形势,在近年来中考数学试题中出现的一种新颖的题型．探索性问题的解答过程本身就是一个探索㊁发现的过程,这一类问题对培养学生的创造性思维㊁想象能力㊁实践能力㊁探索创新能力有很大的帮助．１规律探索型解答规律探索类问题的策略是:运用化归思想,根据题目的设问方式,采用 提出问题－分析问题－解决问题－深度思考 逐步深入的模式分步解答;要善于从所提供的数字或图形信息中,寻求其内在的共同之处,找到这个存在于特殊之中的共性,也就找到了规律．例１㊀(２０２２年江苏省盐城市中考试题第２７题)ʌ发现问题ɔ小明在练习簿的横线上取点O为圆心,相邻横线的间距为半径画圆,然后半径依次增加一个间距画同心圆,描出了同心圆与横线的一些交点,如图１所示,他发现这些点的位置有一定的规律．ʌ提出问题ɔ小明通过观察,提出猜想:按此步骤继续画圆描点,所描的点都在某二次函数图象上．ʌ分析问题ɔ小明利用已学知识和经验,以圆心O 为原点,过点O的横线所在直线为x轴,过点O且垂直于横线的直线为y轴,相邻横线的间距为一个单位长度,建立平面直角坐标系,如图２所示．当所描的点在半径为５的同心圆上时,其坐标为．ʌ解决问题ɔ请帮助小明验证他的猜想是否成立．ʌ深度思考ɔ小明继续思考:设点P(０,m),m为正整数,以O P为直径画☉M,是否存在所描的点在☉M上?若存在,求m的值;若不存在,说明理由．图１㊀㊀㊀图２解析:对于 分析问题 ,根据题意可知,所描的点在半径为５的同心圆上时,其纵坐标为y＝５－１＝４,横坐标x＝ʃ５２－４２＝ʃ３,所以点的坐标为(－３,４)或(３,４)．对于 解决问题 ,设所描的点在半径为n(n为正整数)的同心圆上,则该点的纵坐标为(n－１),横坐标为ʃn２－(n－１)２＝ʃ２n－１,所以该点的坐标为(－２n－１,n－１)或(２n－１,n－１)．因为(ʃ２n－１)２＝２n－１,又n－１＝２n－１－１２,所以该点在二次函数y＝１２(x２－１),即y＝１２x２－１２的图象上．故小明的猜想正确．对于 深度思考 ,假设该点在第二象限,坐标为(－２n－１,n－１),☉M的圆心坐标为(０,１２m),所以由(ʃ２n－１－０)２＋(n－１－１２m)２＝１２m解得m＝n２n－１＝(n－１＋１)２n－１＝(n－１)２＋２(n－１)＋１n－１＝n－１＋２＋１n－１．又因为m,n均为正整数,所以n－１＝１,于是m＝１＋２＋１＝４．７４学习指导２０２４年４月下半月㊀㊀㊀故存在所描的点在☉M 上,m 的值为４．思路与方法:本题考查了勾股定理㊁二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系等知识．在 分析问题 中,根据题意可得知该点的纵坐标为４,再利用勾股定理,即可求出该点的横坐标;在 解决问题 这一步中,设所描的点在半径为n (n 为正整数)的同心圆上,即可推知该点的纵坐标为(n －１),利用勾股定理又可得出该点的坐标为(－２n －１,n －１)或(２n －１,n －１),利用点横㊁纵坐标间的关系,可得出该点在二次函数y ＝１２x ２－１２的图象上,进而即可验证小明的猜想正确;在 深度思考 中,先假设该点的坐标为(－２n －１,n －１),再根据☉M 的圆心坐标,结合勾股定理,用含n 的代数式表示出m 的值,最后结合m 与n 均为正整数,即可求出m ,n 的值．２条件探索型解答条件探索类问题的策略是:从结论出发,逆向追索,补充使结论成立的条件,当然很可能满足结论的条件不唯一．这也正是开放性探索问题的一大特点．具体的解题方法因题而异,具有多样性,值得我们不断探索．例２㊀(２０２２年江苏省苏州市中考全真模拟试题第２７题)(１)ʌ问题提出ɔ苏科版«数学»九年级(上册)习题２．１有这样一道练习题:如图３①,B D ,C E 是әA B C 的高,M 是B C 的中点,点B ,C ,D ,E 是否在以点M 为圆心的同一个圆上?为什么?在解决此题时,若想要说明 点B ,C ,D ,E 在以点M 为圆心的同一个圆上 ,在连接MD ,M E 的基础上,只需证明．图３(２)ʌ初步思考ɔ如图３②,B D ,C E 是锐角三角形A B C 的高,连接D E ,求证øA D E ＝øA B C ．小敏在解答此题时,利用了 圆的内接四边形的对角互补 进行证明．(请你根据小敏的思路完成证明过程．)(３)ʌ推广运用ɔ如图３③,B D ,C E ,A F 是锐角三角形A B C 的高,三条高的交点G 叫做әA B C 的垂心,连接D E ,E F ,F D ,求证:点G 是әD E F 的内心．解析:(１)根据圆的定义可知,当点B ,C ,D ,E 到点M 点距离相等时,则它们在圆M 上,所以只需证明M E ＝MD ＝M B ＝M C ．图４(２)如图４,取B C 的中点M ,连接M E ,MD ．由B D ,C E 是锐角三角形A B C的高,可知øB D C ＝øC E B ＝９０ʎ．在R t әB D C 中,因为M 是B C 的中点,所以MD ＝M B ＝M C ．同理,可得M E ＝M B ＝M C ．所以M B ＝M C ＝MD ＝M E ．故四边形B C D E 是☉M 的内接四边形．因此øE B C ＋øE D C ＝１８０ʎ．又øA D E ＋øE D C ＝１８０ʎ,所以øA D E ＝øE B C ,即øA D E ＝øA B C ．(３)证明:在圆M 的内接四边形B C D E 中,可知øC B D ＝øC E D ．在圆的内接四边形E F C A 中,øC A F ＝øC E F ．因为øC B D ＋øA C B ＝９０ʎ,øC A F ＋øA C B ＝９０ʎ,所以øC B D ＝øC A F ,则øC E D ＝øC E F ,即E G 平分øD E F ．同理,可知D G 平分øE D F ．所以点G 是әD E F 的内心．思路与方法:本题主要考查了有关三角形㊁圆的综合问题,熟练掌握三角形㊁圆的相关知识及证明方法是解题的关键．第(１)问根据圆的定义即可求解．第(２)问根据题意作图４,取B C 的中点M ,再连接M E ,MD ;首先求出øB D C ＝øC E B ＝９０ʎ,然后得出MD ＝M B ＝M C ＝M E ,即可证明四边形B C D E 是☉M 的内接四边形,进而求证即可．第(３)问,首先在圆的内接四边形B C D E 中,可知øC B D ＝øC E D ,在圆的内接四边形E F C A 中,可知øC A F ＝øC E F ,然后求出øC B D ＝øC A F ,即可得出øC E D ＝øC E F ,进而得出E G 平分øD E F ,同理D G 平分øE D F ,即可得证．３结论探索型解答结论探索类问题的策略是:采用 执因索果的思路,从找原因开始,一步步顺推前进．由于解题思路和推导的角度不同,使得答案具有不确定性．图５例３㊀(２０２２年江苏省扬州市中考试题第２８题)如图５,在әA B C 中,øB A C ＝９０ʎ,øC ＝６０ʎ,点D 在B C 边上由点C 向点B 运动(不与点B ,C 重合),过点D 作D E ʅA D ,交射线A B 于点E ．(１)分别探索以下两种特殊情形时线段A E 与８４２０２４年４月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀B E 的数量关系,并说明理由:①点E 在线段A B 的延长线上且B E ＝B D ;②点E 在线段A B 上且E B ＝E D ．(２)若A B ＝６．①当D E A D ＝３２时,求A E 的长;②直接写出运动过程中线段A E 长度的最小值．解析:(１)①如图５,因为在әA B C 中,øB A C ＝９０ʎ,øC ＝６０ʎ,所以øA B C ＝３０ʎ．又B E ＝B D ,所以øB D E ＝１２øA B C ＝１５ʎ．所以øB D A ＝９０ʎ－øB D E ＝９０ʎ－１５ʎ＝７５ʎ．在әA B D 中,øB A D ＝１８０ʎ－øA B D －øB D A ＝１８０ʎ－３０ʎ－７５ʎ＝７５ʎ,则øB A D ＝øB D A ＝７５ʎ,所以A B ＝B D ＝B E ．故A E ＝２B E ．图６②如图６,因为B E ＝D E ,所以øE B D ＝øE D B ＝３０ʎ,则øA E D ＝６０ʎ．所以在R tәA D E中,øE A D ＝３０ʎ,于是A E ＝２E D ．故A E ＝２B E ．图７(２)①如图７,分别过点A ,E作B C 的垂线,垂足分别为G ,H ,易知әE G D ʐәD H A (一线三垂直)．设D E ＝３a ,A D ＝２a ,则有A E ＝D E ２＋A D ２＝７a ,B E ＝６－７a ．在R t әA B C 中,øA B C ＝３０ʎ,A B ＝６,则A C ＝A B ３＝２３,B C ＝２A C ＝４３．在R t әB E G 中,øE B G ＝３０ʎ,B E ＝６－７a ,则E G ＝B E ２＝３－７２a ．在R t әAH C 中,øC ＝６０ʎ,A C ＝２３,则AH ＝３A C２＝３,DH ＝A D ２－AH ２＝４a ２－９．由әE G D ʐәDHA ,得E D A D ＝E G DH ,于是有３２＝３－７２a ４a ２－９,解得a １＝３７５,a ２＝－３７(舍)．故A E ＝７a ＝２１５．②当øE A D ＝３０ʎ时,A E 最小,且最小值为４．思路与方法:本题考查几何综合问题,涉及到特殊直角三角形㊁相似㊁等腰三角形等知识,有一定的难度;解题的思路与方法主要体现在,能够根据题意作出图７,通过添加辅助线构造 一线三垂直 ,运用三角形的相似性质来解决问题．４存在性探索型解答存在性探索类问题的策略是:先假设所探索的对象成立(即存在),再结合题设和已学过的知识进行计算㊁推理与判断．如果推出的结果符合题目要求,就肯定了存在性;如果推出的结果与题目条件或有关结论矛盾,这样就否定了存在性．图８例４㊀(２０２２年江苏省苏州市中考试题第２７题)如图８,在әA B C 中,øA C B ＝２øB ,C D 平分øA C B ,交A B 于点D ,DE ʊA C ,交B C 于点E ．(１)若D E ＝１,B D ＝３２,求B C 的长;(２)试探究A B A D －B ED E是否为定值．如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由．解析:(１)因为C D 平分øA C B ,所以øA C D ＝øD C B ＝１２øA C B ．又øA C B ＝２øB ,所以øA C D ＝øD C B ＝øB ．所以C D ＝B D ＝３２．又D E ʊA C ,则øA C D ＝øE D C ,所以øE D C ＝øD C B ＝øB ．所以C E ＝D E ＝１,әC E D ʐәC D B ．所以C E C D ＝C D C B ,则B C ＝９４．(２)因为D E ʊA C ,所以A B A D ＝B CC E ．由(１)可得C E ＝D E ,于是A B A D ＝B CD E．所以A B A D －B E D E ＝B C D E －B E D E ＝C E D E ＝１．故A B A D －B E D E 是定值,且定值为１．思路与方法:本题考查了相似三角形的性质与判定．第(１)问,先证明әC E D ʐәC D B ,再根据相似三角形的性质即可求解;第(２)问,由D E ʊA C ,可得A BA D＝B C D E ,由第(１)问可得C E ＝D E ,通过计算A B A D －B ED E ＝１可得证．由上述几类探索性问题的解答可知,解答探索性问题的思路与策略是:首先认真审题,在深刻理解题意的基础上,针对不同的题型,从不同的侧面㊁不同的角度,理清条件和结论之间㊁图形特征与数式特征之间的关系,然后运用观察㊁比较㊁类比㊁联想㊁猜想㊁证明㊁计算㊁推断等多种具体方法,进行尝试性解答．Z９４。
探索型中考试题的特点及解题策略例谈
… ．
奠 堑墨 鱼 ．
…． 嚷
在近几年 中考数学试卷 中频频 出现探索型 问题 ， 这 类问题 由于条件不完整或结论不 明确 ， 要考生经过 观 需
Ａ
Ｄ
察、 联想 、 分析 、 比较 、 比、 类 归纳 、 推理 等思维活 动 ， 步 逐
１ 条 件 探 索 型 ．
Ｂ
Ｐ
Ｅ
Ｆ
Ｃ
图！２ －
解
・ ．
・
（） １ 如图 ｌ ２， Ｄ 一 作 Ｆ上Ｂ Ｃ于 Ｆ ，
Ｃ＝４ 。 Ｃ ＝４ ５ ．Ｄ ． ＇ ＤＩ ＝Ｆ ＝４ ’ Ｃ
当Ａ Ｐ上Ｂ Ｃ于 Ｐ时 ， Ｆ＝ Ｄ＝５ Ｐ Ａ ，
’
． ．
ＢＰ ＝３． ＢＦ：８ ．
Ｅ为 顶点 的 四边 形 是平 行 四边 形 ．
的值 为一 — — 时， 以点 Ｐ、 Ｄ、 顶 点 Ａ、 Ｅ为
的四边形为平行 四边形 ； （ ） Ｐ在 Ｂ ３点 Ｃ边上运动 的过程 中 ， Ｐ、 Ｄ、 以 Ａ、 Ｅ为
当Ｂ Ｐ：１ ，Ｅ： ， 点 Ｄ作 Ｄ 时 Ｐ ５过 Ｆ上Ｂ Ｃ于 Ｆ 易知 ，
则 当 ＝ ３或 ８时 ， Ｐ、 Ｄ、 为顶点 的四边 形是 以 、 直角梯 形．
试 题特点
结论明确而条件不完备 ， 需探 究添加 未
知条件 使结论成立． 解题策略 从 所给结 论 ｆ 发 ， ｌ 即承认 结论 ， － 变结论
（） ２ 若点 Ｐ在 Ｅ点左 侧 ， 由 Ａ 则 Ｐ∥Ｄ Ｅ可得 Ｐ Ｅ＝
ＥＦ ＝２ ．
顶点的四边形能否构成菱形 ？试说 明理 由．
在 Ｒ ＡＤ Ｆ中， Ｅ＝、 ｔ Ｅ Ｄ
中考数学复习指导：有理数规律探索性问题赏析
中考数学复习指导：有理数规律研究性问题赏析有理数研究题赏析研究发现、合情猜想是新课程的新要求，与有理数相关的研究题层见迭出，回味无穷，现举三比以下：例1假如一个数等于它的不包含自己的全部因数之和，那么这个数就叫完整数．比如，6的不包含自己的全部因数为1，2，3．并且613，因此6是完整数．大概2200多年前，欧几里德提出：假如2n1是质数，那么2n1(2n1)是一个完整数，请你依据这个结论写出6以后的下一个完整数是．分析：当n2时，2n13，此时完整数为6，当n3时，2n17，此时完整数为2n1(2n1)＝28例2图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上边一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们能够算出图1中全部圆圈的个数为123n n(n1)2．第1层第2层第n层图1图2图3图4假如图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串通续的正整数12，，3，4，，则最基层最左侧这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串通续的整数23，22，21，，求图4中全部圆圈中各数的绝对值之和．分析：（1）图3中前11层共有圆圈数为圈中的数是67．11 (111)266，因此第12层最左侧这个圆（2）图4中全部圆圈中共有12312(121)12278个数，此中23个负数，1个0，54个正数，图4中全部圆圈中各数的绝对值之和|23||22||1|01254 (12323)(12354)276148517611/6中考数学复指：有理数律研究性析例3研究研究（1）察一列数 2，4，8，16，32，⋯，从第二开始，每一与前一之比是一个常数，个常数是；依据此律，假如a n （n 正整数）表示个数列的第n ，那么a 18 ，a n ；（2）假如欲求1 332 33 320的，可令S 1 332 33 320⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ①将①式两同乘以 3，得 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ②由②减去①式，得 S ．（3）用由特别到一般的方法知：若数列 a 1，a 2，a 3，，a n ，从第二开始每一与前一之比的常数q ，a n （用含a 1，q ，n 的代数式表示），假如个常数q 1，那么a 1 a 2 a 3 a n （用含a 1，q ，n 的代数式表示）．分析：（1）从第二开始，每一与前一之比 2，因此个常数是2。
初中数学规律探究问题题型梳理
初中数学规律探究题型“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。
这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。
不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养。
因此规律探究类问题一直成为命题的热点。
题型一、一阶等差规律一阶等差规律意思是第一次做差差为常数。
主要考察对图形变化的规律观察，从图形变化转化为数字变化，从数字变化中去发掘规律。
这部分内容相对简单，可以直接观察图形得出规律，也可以通过套通项公式的方法找出规律，考试中单独考察这部分的概率很小，往往与其它形式一起结合考察。
1、规律分析：问题本质：前后的图形相比较，每一幅图形以恒定不变的速度保持图形增加（减少）的个数。
2、首差法通项公式（通法）（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个数记为n a （2）对这组数据两两之间做差，差为一个固定常数记为d ，即=d 后项—前项 （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：d n a a n )1(1-+=（4）若记不住公式，上述数据转化为坐标点),(n a n ，设通项公式为：b kn a n +=，代入前2组数据，通过解一次函数方法，即可得到通项公式；例1、如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要（ ）枚棋子．【解析】用一阶等差实质进行分析。
根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数5个． 第2个图案中棋子的个数5611+=个．⋯．每个图形都比前一个图形多用6个．∴第30个图案中棋子的个数为5296179+⨯=个．答案：179例2、观察下列数：14，39，516，725，936⋯，它们按一定规律排列，那么这一组数第n 个数是( ) A ．221n n - B ．221n n + C ．221(1)n n ++ D ．221(1)n n -+ 【解析】法一：观察分析。
几何类比探究题型-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)
几何类比探究题型题型解读|模型构建|通关试练几何的类比探究题型是近年中招解答题的必考题型，该题型往往以压轴题的形式出现，有一定的难度。
探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类。
由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．模型01图形旋转模型模型一、A字形(手拉手)及其旋转模型二、K字型及其旋转手拉手模型是有两个等腰的三角形或者两个等边的三角形，他们有一个共同的顶点，且两个等腰三角形的顶角是相等的，那么就可以用角的和差求得共顶点的另外两个角相等等，然后利用等腰的边对应相等，可证明两个三角形全等(边角边)组成这样的图形模样的我们就说他是手拉手模型。
在类比探究题型中，往往会对等腰三角形或者等边三角形进行演变，变成一般三角形进行旋转，通常全等三角形变为相似三角形。
模型特征：双等腰；共顶点；顶点相等；绕着顶点作旋转解题依据：等腰共顶手拉手，旋转全等马上有；左手拉左手，右手拉右手，两根拉线抖一抖，它们相等不用愁；拉线夹角与顶角，相等互补答案有。
模型02图形平移模型探究1.四边形平移变换四边形的平移变换题型中主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等或相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．2.三角形平移变换三角形平移变换主要利用三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平移性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.3.其它图形平移类比探究问题综合考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.模型03动点引起的题型探究动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目。
中考数学第二轮复习：开放探索问题
16
答案 所设计图形如下所示(答案不唯一，可供参考)：
17
【例题6】 (2012· 广东佛山)(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函 数y＝ax2＋bx＋c的解析式；①y随x变化的部分数值规律如下表：
x
－1
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0
18
②有序数对(－1，0)、(1，4)、(3，0)满足y＝ax2＋bx ＋c；
专题五 开放探索问题
1
专 题 解 读
2
考情透析
所谓开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题 方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个 或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.
3
思路分析
在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确 定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问 题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.
2 3 (2)∠E＝30°，CD＝ ，求⊙O 的半径 r. 3
9
分析 此题结论开放，可从不同角度去考虑，例 如圆中同弧所对的圆周角，也可以考虑直线之间 的位置关系，或从三角形全等与相似方面考虑．
解 (1)由切线的性质及垂径定理，结合题意，我们不
难得出如下结论： BC⊥AB，AD⊥BD，DF＝FE，BD＝BE，
7
分析 由已知BD＝CD，又∠EDC＝∠FDB，因 为三角形全等条件中必须是SSS，SAS，ASA或 AAS，故添加的条件是：DE＝DF(或CE∥BF或 ∠ECD＝∠FBD或∠DEC＝∠DFB等)．
证明 在△BDF和△CDE中，
∵BD＝CD(已知)， ∠EDC＝∠FDB(对顶角相等)，
DE＝DF(添加)，
中考一轮复习--专题五 规律探索题
(3)通过对简单、特殊情况的观察,再推广到一般情况.
2.规律探究的基本原则:
(1)遵循类推原则,项找项的规律,和找和的规律,差找差的规律,积
找积的规律.
(2)遵循有序原则,从特殊开始,从简单开始,先找3个,发现规律,再
验证运用规律.
类型一
类型二
类型三
类型一 数式的变化规律
例1(2019·安徽)观察以下等式:
∴S5= =-1-a,
4
∴S6=-S5-1=a.
1
1
∴S7= = =S1,
6
故此规律为 6 个一循环,
∵2 018÷6=336 余 2,
1+
∴S2 018=- .
1
2
3
4
5
6
7
4.(2018·黑龙江龙东区)如图,已知等边△ABC的边长是2,以BC边上
的高AB1为边作等边三角形,得到第一个等边△AB1C1;再以等边
(2)∵2 020÷3=673…1,∴需要小正方形674个,大正方形673个.
1
2
3
4
5
6
7
7.图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案,最上
面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆了n层.
将图1倒置后与原图1拼成图2的形状,这样我们可以算出图1中所有
n(n + 1)
圆圈的个数为1+2+3+…+n= 2 .如果图3和图4中的圆圈各有13
为
.
类型一
类型二
类型三
分析:(1)观察图形,结合已知条件,得出将基本图每复制并平移一
次,特征点增加5个,由此得出图4中特征点的个数为17+5=22个,进
探索型问题
中考冲刺二：探索性问题一、热点分析探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍.初中数学中的“探索发现”型试题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，从而定格于“条件——演绎——结论”这样一个封闭的模式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律.通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：1.条件探索型结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目.2.结论探索型给定条件但无明确结论或结论不唯一，而需探索发现与之相应的结论的题目.3.存在探索型在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.4.规律探索型在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目.由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1.利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律.2.反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致.3.分类讨论法.当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果.4.类比猜想法.即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证.以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用.二、经典例题透析类型一：条件探索型1．(呼和浩特市)在四边形中，顺次连接四边中点，构成一个新的四边形，请你对四边形填加一个条件，使四边形成为一个菱形.这个条件是__________.解：或四边形是等腰梯形(符合要求的其它答案也可以).举一反三：【变式1】(荆门市)将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1.(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________.(2)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________.(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_____________________________________；当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_______________________________.(图3、图4用于探究)解：(1)是，此时AD BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(2)是，在平移过程中，始终保持AB C1D1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(3)，此时∠ABC1=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形.，此时点D与点B1重合，AC1⊥BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【变式2】(广东)如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合.连结CP，过点P作PD交AB于点D.(1)求点B的坐标；(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标；(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标.解：(1)过C作CF⊥OA于F，BE⊥OA于E则△OCF≌△ABE，四边形CDEB为矩形∴OF=AE，CF=BE∵OC=AB=4，∠COA=60°∴CF=，OF=2∴CB=FE=3∴OE=OF+FE=5∵BE=CF=∴B(5，)；(2)若ΔOCP为等腰三角形，∵∠COP=60°，此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形若ΔOCP为等边三角形，OP=OC=PC=4，且点P在x轴的正半轴上，∴点P的坐标为(4，0)若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形，则点P在x轴的负半轴上，且OP=OC=4∴点P的坐标为(-4，0)∴点P的坐标为(4，0)或(-4，0)；(3)∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60°∴∠OPC+∠DPA=120°又∵∠PDA+∠DPA=120°∴∠OPC=∠PDA∵∠COP=∠A=60°∴△COP∽△PAD∴∵，AB=4∴∴即∴得OP=1或6∴P点坐标为(1，0)或(6，0).类型二、结论探索型2．(云南省)已知：如图，四边形ABCD是矩形(AD＞AB)，点E在BC上，且AE=AD，DF⊥AE，垂足为F. 请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明.解：经探求，结论是：DF=AB.证明如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB.∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°，∵AE=AD ，∴△ABE≌△DFA.∴AB=DF.举一反三：【变式1】(北京市)我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；(2)如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，.请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；(3)在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.解：(1)回答正确的给1分(如平行四边形、等腰梯形等).(2)答：与相等的角是(或). 四边形是等对边四边形.(3)答：此时存在等对边四边形，是四边形.证法一：如图1，作于点，作交延长线于点.∵，为公共边，∴.∴.∵，，∴.可证.∴.∴四边形是等边四边形.证法二：如图2，以为顶点作，交于点.∵，为公共边，∴.∴，.∴.∵，，∴.∴.∴.∴.∴四边形是等边四边形.说明：当时，仍成立.只有此证法，只给1分.【变式2】(山东滨州)如图1所示，在中，，，为的中点，动点在边上自由移动，动点在边上自由移动.(1)点的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请指出为等腰三角形时动点的位置.若不能，请说明理由.(2)当时，设，，求与之间的函数解析式，写出的取值范围.(3)在满足(2)中的条件时，若以为圆心的圆与相切(如图2)，试探究直线与的位置关系，并证明你的结论.解：如图，(1)点移动的过程中，能成为的等腰三角形.此时点的位置分别是：①是的中点，与重合.②.③与重合，是的中点.(2)在和中，，，.又，..，，，.(3)与相切.，..即.又，..点到和的距离相等.与相切，点到的距离等于的半径.与相切.类型三、存在探索型存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题.解题的策略与方法是：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理.若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在.3．(山东省威海市)抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)过点A(1，-3)，B(3，-3)，C(-1，5)，顶点为M点.(1)求该抛物线的解析式；(2)试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=90°.若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标.解：(1)y=x2-4x(2)易求得顶点M的坐标为(2，-4).设抛物线上存在一点P，使OP⊥OM，其坐标为(a，a2-4a).过P作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，则∠POE+∠MOF=90°，∠POE+∠EPO=90.∴∠EPO=∠FOM.∵∠OEP=∠MFO=90°，∴Rt△OEP∽Rt△MFO.∴OE：MF=EP：OF.即(a2-4a)：2=a：4.解得a1=0(舍去)，.故抛物线上存在一点P，使∠POM=90°，P点的坐标为.举一反三：【变式1】(武汉市)已知：二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1，0)、B(x2，0)两点，交y轴正半轴于点C，且x12+x22=10.(1)求此二次函数的解析式；(2)是否存在过点的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E 对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由.解：(1)依题意，得x1x2=m，x12+x22=10，∵x1+x2=m+1，∴(x1+x2)2-2x1x2=10，∴(m+1)2-2m=10，m=3或m=-3，又∵点C在y轴的正半轴上，∴m=3.∴所求抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)假设存在过点的直线与抛物线交于两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称.∵M、N两点关于点E对称，∴. 设直线MN的解析式为：.由得∴k(k+4)-5=0，∴k=1或k=-5.当k=-5时，方程的判别式，∴k=1，∴直线MN的解析式为.∴存在过点的直线与抛物线交于M、N两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称.【变式2】(乐山)如图，在矩形中，，.直角尺的直角顶点在上滑动时(点与不重合)，一直角边经过点，另一直角边交于点.我们知道，结论“”成立.(1)当时，求的长；(2)是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.解：(1)在中，由，得，由知，.(2)假设存在满足条件的点，设，则由知，，解得，此时，符合题意.类型四、规律探索型规律探索问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题.4．(湖南衡阳)观察算式：1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52 ；……用代数式表示这个规律(n为正整数)：1+3+5+7+9+…+(2n-1)=______________________.解：由以上各等式知，等式左端是从1开始的连续若干个奇数之和，右端是左端奇数个数的平方，由此易得1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.填n2.举一反三：【变式1】(吉林省)如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n个图案中白色瓷砖数为___________.解：根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题.解决这类问题，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论.第1个图案有白色瓷砖5(即2+3×1)块；第2个图案有白色瓷砖8(即2+3×2)块；第3个图案有白色瓷砖11(即2+3×3)块. 由此可得，第n个图案有白色瓷砖(2+3n)块. 填3n+2.【变式2】(资阳)设a1=32-12，a2=52-32，…，a n=(2n+1)2-(2n-1)2 (n为大于0的自然数).(1)探究a n是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；(2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出a1，a2，…，a n，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数(不必说明理由) .解：(1) ∵，又n为非零的自然数，∴a n是8的倍数.这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数.(2) 这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256.n为一个完全平方数的2倍时，a n为完全平方数.。
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中考数学中的探索型问题分析
摘要：本文主要谈了中考中数学探索型问题的分类、解题的思路，以及选用近年来中考中出现的探索型问题来说明如何解答探索型问题。
关键词：中考数学探索问题
近年来，中考试题中频频出现探索型问题，这类问题需要学生通过自己的观察、联想、分析、比较、归纳、概括来发现解题条件、结论或结论成立的条件。
这类问题有利于学生主体意识及主体能力的形成和发展，有利于培养学生形成独立的价格品质。
因此教师在平时的教学中，应从探索此类问题的基本题型入手，向学生阐明解决这类问题的基本思路。
通常情景中的“探索”型问题可以分为如下类型：①条件探索型——结论明确，需探索发现使结论成立的条件的题目。
②规律探索型——在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目。
③存在探索型——在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。
由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：
①利用特殊值进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律。
②反证法,即假设结论成立,根据假设进行推理,看是推导出矛盾还是能与已知条件一致。
③分类讨论法。
当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果。
④类比猜想法。
即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证。
1 条件探索型
例1：如图1，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC垂足分
别为E、F.
(1)求证：DE=DF；(2)只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形。
请你至少写出两种不同的添加方法。
（不另外添加辅助线，无需证明）
分析：此题第（2）小题是一道条件探索性问题。
要使四边形EDFA
是正方形，只要根据正方形的判定，就能得出答案。
此题答案不唯一，如四边形AFDE是平行四边形；∠A＝900.（或DE⊥DF或F为AC 中点或DF∥AB等）
2 规律探索型
例3：观察下列等式：
1×3＝12+2×1,
2×4＝22+2×2，
3×5＝32+2×3，
……
请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来：
解：观察比较以上各等式，等式的左端是两个因数的乘积，一个因数依次是1,2,3, …，后一个因数依次是3,4,5, …，它们都是连续的，且后面一个因数比前一个因数均大2；等式的右端是两项的和，前一个加数依次为12,22,32，…，后一个加数依次为连续的自然数2倍。
因而猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示为：
n(n+2)=n2+2n
例4：如图2，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1
变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3。
已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)；B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)。
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是________，B4的坐标是________。
(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是________，Bn的坐标是________。
分析：认真观察，不难发现，无论△OAB怎样变换，A点和B 点的坐标保持不变，横坐标按两部递增(即公比为2)，故易得A4的坐标为(16，3)，B4的坐标为(32，0)，依此规律类推，不难推测出An 的坐标为(2n，3)，Bn的坐标为(2n+1，0)。
3 存在探索型
例5：如图3，把矩形ABCD折叠使点C落在AB上的C?处(不
与A、B重合)，点D落在D?处，此时，C?D?交AD于E，折痕为MN.
⑴如果AB=1，BC=，当点C?在什么位置时，可使△NBC?≌△C?AE？
⑵如果AB=BC=1，使△NBC?≌△C?AE的C?还存在吗？若存在，请求出C?的位置，若不存在，请说明理由.
解答探索型问题，必须在认真审题的基础上，通过归纳、想象、猜想来进行规律的探索,需要解答者提出观点与看法，并利用旧知识的迁移、类比发现解题方法，或从特殊、简单的情况入手，寻找规律，找到解题方法。
此类问题有利于培养学生的发散思维，这也是数学综合应用的能力要求。