高中数学重点中学 第5课时实数与向量的积(2)教案 湘教版必修2

实数与向量的积（2）教学目的：1了解平面向量基本定理；2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；3能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示教学难点：平面向量基本定理的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向2向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；3零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量4平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ5相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量6共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量7向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则8．向量加法的交换律：a +b =b +a9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a b = a + ( b )11．差向量的意义： OA = a , OB = b , 则= a b即a b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量12．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =013．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a分配律：(λ+μ)a =λa +μa λ(a +b )=λa +λb14． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa二、讲解新课：(共面向量定理)平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量 251e +32e作法：（1）取点O ，作OA = 251e OB =32e（2）作 OACB ，OC 即为所求 251e +32e 例2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b 表示，，MC 和MD解：在 ABCD 中 ， ∵AC =AB +AD =a +b ，DB =AB AD =a b ∴MA = 21AC = 21(a +b )= 21a 21b ，=21=21(a b )=21a 21b =21=21a +21b = = 21= 21a +21b 例3已知ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：+++=4证明：∵E 是对角线AC 和BD 的交点∴== ,==在△OAE 中，OA +AE =OE同理 += ， += ，+=以上各式相加，得 OA +OB +OC +OD =4OE例4如图，，不共线，=t (t R)用,表示解：∵=t ∴=+=+ t =OA + t(OB OA )=OA + t OB t OA =(1 t)OA + t OB四、课堂练习：1设e 1、e 2是同一平面内的两个向量,则有A e 1、e 2一定平行B e 1、e 2的模相等C 同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D 若e 1、e 2不共线,则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R )2已知矢量a =e 1-2e 2,b =2e 1+e 2,其中e 1、e 2不共线,则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A 不共线B 共线C 相等D 无法确定3已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于A3 B -3 C0 D24若a 、b 不共线,且λa +μb =0(λ,μ∈R )则λ= ,μ=5已知a 、b 不共线,且c =λ1a +λ2b (λ1,λ2∈R ),若c 与b 共线,则λ1=6已知λ1＞0,λ2＞0,e 1、e 2是一组基底,且a =λ1e 1+λ2e 2,则a 与e 1_____,a 与e 2_________(填共线或不共线)参考答案：1D 2B 3A 4 0 0 5 0 6不共线 不共线五、小结 平面向量基本定理，其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合六、课后作业：1．如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝ａ，AD ＝ｂ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量AM 与HF 分析：以ａ，ｂ为基底分解与，实为用ａ与ｂ表示向量与解：由H 、M 、F 所在位置有：AM =AD +DM =AD +21DC =AD +21AB =ｂ＋21ａ， ＝－＝＋－ ＝＋2131 ＝＋31－21＝ａ－61ｂ2．如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求OP 与OQ分析：由平面几何的知识可得△APQ ∽△ABC ，且对应边的比为ｔ，∴AC AQ AB AP =＝ｔ，转化向量的关系为：AP ＝ｔAB ，＝ｔ，又由于已知和未知向量均以原点O 为起点，所以把有关向量都用以原点O 为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在解：∵PQ ∥BC ，且BC PQ ＝ｔ，有△APQ ∽△ABC ，且对应边比为ｔ（＝BC PQ ），即AC AQ AB AP =＝ｔ． 转化为向量的关系有：＝ｔ，＝ｔ， 又由于：＝－，＝－，＝－，＝－ ∴＝＋＝＋ｔ（－）＝ａ＋ｔ（ｂ－ａ）＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ,OQ ＝OA ＋AQ ＝OA ＋ｔ（OC －OA ）＝ｔ（с－ａ）＋ａ＝(１－ｔ）ａ＋ｔс七、板书设计（略）八、课后记：1注意图形语言的应用用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译例1 如图，已知MN 是△ABC 的中位线，求证：MN ＝21BC 且MN ∥BC 分析：首先把图形语言：M 、N 是AB 、AC 的中点翻译成向量语言：＝21，＝21然后再把向量的一种语言转化为向量的另一种语言，即MN ＝AN －＝21AC －21 ＝21（－）＝21 最后又将向量语言＝21翻译成图形语言就是：MN ＝21BC 且MN ∥BC2向量法应用例2已知平行四边形ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，求证：AE ∥CF证明：因为E 、F 为DC 、AB 的中点， ∴DE ＝21DC ，BF ＝21BA ， 由向量加法法则可知： AE ＝AD ＋DE ＝AD ＋21，＝＋BF ＝＋21BA ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ＝－CB ，DC ＝－BA ， ∴AE ＝－－21BA ＝－（＋21BA ）＝－ ∴∥，∴AE ∥CF强化训练：1下面向量a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1,b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2,b =-2e 1+2e 2(3)a =4e 1-52e 2,b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2,b =2e 1-2e 2 (e 1、e 2不共线) A (2)(3) B (2)(3)(4) C (1)(3)(4) D (1)(2)(3)(4)2设一直线上三点A 、B 、P 满足AP =λPB (λ≠±1),O 是空间一点,则用 、表示式为（ ） A =+λ B =λ+(1-λ) C =λλ++1 D λλ-+=111 3若a 、b 是不共线的两向量,且=λ1a +b , =a +λ2b (λ1、λ2∈R ),则A 、B 、C 三点共线的充要条件为（ ）A λ1=λ2=-1B λ1=λ2=1C λ1λ2+1=0D λ1λ2-1=04若a =-e 1+3e 2,b =4e 1+2e 2,c =-3e 1+12e 2,则向量a 写为λ1b +λ2c 的形式是5已知两向量e 1、e 2不共线,a =2e 1+e 2,b=3e 1-2λe 2,若a 与b 共线,则实数λ=6设平面内有四边形ABCD 和点O , =a , =b , =c ,=d ,a +c =b +d ,则四边形ABCD 的形状是7设、不共线,点P 在O 、A 、B 所在的平面内,且=(1-t ) +t (t ∈R ),求证A 、B 、P 三点共线8当不为零的两个向量a 、b 不平行时,求使p a +q b =0成立的充要条件9已知向量a =2e 1-3e 2,b =2e 1+3e 2,其中e 1、e 2不共线,向量c =2e 1-9e 2,问是否存在这样的实数λ、μ,使d =λa +μb 与c 共线?参考答案：1A 2C 3D 4- 181b +277 c 5- 41 6平行四边形 7 (略) 8p=q=0 9存在,λ=-2μ能使d 与c 共线。