2.2 信号及其描述-周期信号

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偶函数 奇函数 奇函数
·傅里叶 余弦级数
傅里叶余弦 傅里叶余弦级数 傅里叶正弦 傅里叶正弦级数
∞ n=0
x(t ) = ∑ an cos nω0t
( n = 0,1, 2,3,...)
2 an = T0
∫
T0 2
−T0 2 ∞
x(t ) cos nωntdt
·傅里叶 正弦级数
x(t ) = ∑ an sin nω0t
n为奇数
n>0 n<0
二、傅里叶级数的复指数函数展开式
频谱图
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方波信号复指数展开式的实、虚频谱和幅、 方波信号复指数展开式的实、虚频谱和幅、相频谱
实频谱 幅频谱
虚频谱
相频谱
二、傅里叶级数的复指数函数展开式
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三角函数展开形式的频谱是单边谱 三角函数展开形式的频谱是单边谱 复指数展开形式的频谱是双边谱 复指数展开形式的频谱是双边谱 两种形式频谱图具有确定的关系： 两种形式频谱图具有确定的关系：
{cos nω0t
sin nω0t}
第二节 周期信号与离散频谱
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一、傅里叶级数的三角函数展开式
周期[ 周期函数 x ( t )，在一个周期[-T0 / 2, T0 / 2]， ， 一个周期 , ] 皆可以正弦 正弦及 函数组合而成 无穷级数表示 而成的 表示， 皆可以正弦及余弦函数组合而成的无穷级数表示， 傅里叶级数。 直 即傅里叶级数。 T0 ← 周期 流
an ϕn = arctg bn
An ← 第n次谐波的幅值，是n的偶函数；
ϕn ← 第n次谐波的处相角，是n的奇函数。
从式（ 从式（1-9）可见，周期信号是由一个或几个、乃至 可见，周期信号是由一个或几个、 无穷多个不同频率的谐波叠加而成。 无穷多个不同频率的谐波叠加而成。 幅值 An 为纵坐标 → 幅频谱图 频率为横坐标 相角 ϕn 为纵坐标 → 相频谱图
需要指出：一般的交流电压表都有按有效值刻度， 需要指出：一般的交流电压表都有按有效值刻度，但其输出量 并不一定和实际信号的有效值成比例， 并不一定和实际信号的有效值成比例，与电压表的检波电路有 普通电工仪表一般都按“工频”来刻度的， 关。普通电工仪表一般都按“工频”来刻度的，对于复杂信号 需要修正。 需要修正。
二、傅里叶级数的复指数函数展开式
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傅里叶级数的三角函数展开式： 傅里叶级数的三角函数展开式：
x (t ) = a 0 + ∑ ( a n cos n ω 0 t +bn sin n ω 0 t ) ( n = 1, 2, 3, ...)
n =1 ∞
改为复指数函数展开式： 改为复指数函数展开式：
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二、傅里叶级数的复指数函数展开式
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余弦和正弦函数的实、 例1-2 余弦和正弦函数的实、虚频谱图
1 − jω 0 t cos ω 0 t = e + e jω 0 t 2
t cnR 1/2
实频谱
(
)
1 − jω 0 t sin ω 0 t = j e − e jω 0 t 2
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时域图→ 时域图→
T0 T0
基频 ↓
t
ω0 = 2π T0
4A 1 1 x(t ) = sin ω0t + sin 3ω0t + sin 5ω0t + ... π 3 5
...
幅频谱图
相频谱图
频域图
一、傅里叶级数的三角函数展开式
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奇函数
4A 1 1 x(t ) = sin ω0t + sin 3ω0t + sin 5ω0t + ... 3 5 π 4A ∞ 1 = ∑ n sin nω0t (n = 1,3,5,...) π n =1
一、傅里叶级数的三角函数展开式
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(
)
t
1/2
|cn|
1/2
cnI
实频谱
1/2
−ω0
cnI
ω0
ω
−ω0
An
ω0
1
ω
双边幅频谱
−ω0
cnR 1/2
ω0 ω0
ω
虚频谱
虚频谱
−ω0
ω0
ω
−ω0
ω0
ω
数函数展开式
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结论：周期信号的频谱具有离散性、谐波性和 结论：周期信号的频谱具有离散性、谐波性和收敛性 离散性 周期信号频谱是离散 离散的 1) 周期信号频谱是离散的； 2)每条谱线只出现在基波频率的整倍数上 2)每条谱线只出现在基波频率的整倍数上，不存 每条谱线只出现在基波频率的整倍数 在非整倍数的频率分量； 在非整倍数的频率分量； 3)各频率分量的谱线高度与对应谐波的振幅成 3)各频率分量的谱线高度与对应谐波的振幅成 正比。工程中常见的周期信号， 正比。工程中常见的周期信号，其谐波幅值 总的趋势是随谐波次数的增高而减小 谐波次数的增高而减小的 总的趋势是随谐波次数的增高而减小的。
方波信号的时域和频域的描述
4A 1 1 x(t ) = sin ω0t + sin 3ω0t + sin 5ω0t + ... π 3 5
一、傅里叶级数的三角函数展开式
华中科技大学机械学院 T0
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例1-1：三角波信号的 ： 见教材第22页 频谱（见教材第 页）
分 量 傅 里 叶 系 数
x(t ) = a0 + ∑ (an cos nω0t + bn sin nω0t )
n =1
∞
（1-7）
1 a0 = T0
2 bn = T0
∫
T0 2
−T0 2
x(t )dt
2 an = T0
∫
T0 2
−T0 2
x(t ) cos nωntdt
∫
T0 2
−T0 2
x(t ) sin nωntdt
An 1 2 2 C0 = A0 = a0 , Cn = an + bn = 2 2
* Cn与C − n 共轭，即Cn = C− n , 且ϕ − n = −ϕ n
双边幅频谱为偶函数， 双边幅频谱为偶函数， 偶函数 双边相频谱为奇函数 奇函数。 双边相频谱为奇函数。
第二节 周期信号与离散频谱
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( n = 1,3,5,...)
一、傅里叶级数的三角函数展开式
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前例： 前例：方波信号的频谱
x(t ) = x(t + nT0 ) A 0 < t < T0 2 x(t ) = − A −T 2 < t < 0 0
A0
T0 T0
利用式（ 利用式（1-7）和（1-8）
ω0 = 2π T0 ←基波
圆频率
一、傅里叶级数的三角函数展开式
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将式（ ）同频项合并， 将式（1-7）同频项合并，可以改写成
x (t ) = a0 + ∑ An sin( nω0t +ϕ n )
n =1 ∞
基频 （1 - 9 ） n 次谐波
式中
2 2 An = an + bn
n =1
( n = 1, 2,3,...)
2 bn = T0
∫
T0 2
−T0 2
x(t ) sin nωntdt
第二节 周期信号与离散频谱
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时域
波形合成
频域
第二节 周期信号与离散频谱
∞
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方波信号的合成与分解
x(t ) = ∑ Asin(ωt ) + Asin(3ωt ) / 3 + Asin(5ωt ) / 5 + ...
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可得： 可得：
x(t ) = C0 + ∑ (C− n e − jnω0t + Cn e jnω0t )
n =1
∞
=
其中： 其中：
n =−∞
∑Ce
n
∞
jnω0t
( n = 0, ±1, ±2,...)
x(t )e
− jnω0t
1 Cn = T0
∫
T0 2
−T0 2
dt
Cn = Re Cn + jIm Cn = Cn e jϕn
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复指数函数展开式： 复指数函数展开式：
A x(t ) = − j nπ
n =∞
n =−∞
∑ (1 − cos nπ )e
jnω0 t
Re Cn = 0 其中： 其中： A Im Cn = − nπ (1 − cos nπ ) A Cn = nπ (1 − cos nπ ) A − π − nπ (1 − cos nπ ) 2 ϕn = arctan = 0 π 2
n=1
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二、傅里叶级数的复指数函数展开式 欧拉公式
e
± jnω0t
= cos(nω0t ) ± jsin(nω0t )
1 − jnω0t jnω0t cos(nω0t ) = (e +e ) 2 j − jnω0t jnω0t sin(nω0t ) = (e −e ) 2