初一-第06讲-整式的乘法与平方差公式(提高)-学案
北师大版 七年级下册 第一章 整式的乘除学案(平方差公式、完全平方公式)
（2）中，将 结合，再运用平方差公式计算.
总结：运用平方差公式计算时，公式中的a和b可以表示单项式，也可以是多项式.
【例2】计算102×98．
【解析】将102变形成100+2，将98变形成100-2，再运用平方差公式计算，即可求解.
解：102×98=（100+2）（100-2）
=1002-22
=9996.
形如 的多项式相乘，由于
，
，
所以对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出计算结果，即
，
.
2、例题精讲
【例3】计算（1） ；（2）
解：（1） =
= ．
（2）
=
=
=
=
总结：
（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式计算；
（2）在利用此公式计算时，勿丢掉中间项“2ab”或漏了乘积项中的系数积的“2”倍.
【例4】计算1022．
总结：计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．
【例5】计算 的值，其中 ．
总结：先化简再求值的解题步骤：
（1）运用乘法公式（平方差公式或完全平方公式）将多项式化简成简单形式；
（2）再将数据代入化简后的式子，计算即可求解．
3、练习
练1．若 ，则 为（）
A． B． C． D．
练2．计算 ．
练3．若 ，则 的结果是_________．
练4．计算 ．
练5．当 时，求 的值.
练6．若 ， =2，求 的值．
北师大版七下数学第一章 整式的乘除第5节《平方差公式(2)》导学案
1.5 平方差公式（2）一、学习目标与要求：1、了解平方差公式的几何背景；发展符号感和推理能力2、通过拼图游戏，与同伴交流平方差公式的几何背景二、重点与难点：重点：了解平方差公式的几何背景难点：发展推理和表达能力三、学习过程：复习巩固：1、判断正误(1) (a +5)(a －5)=a 2－5 (2) (3x +2)(3x －2)=3x 2－4(3) (a －2b )(－a －2b )=a 2－4b 22、利用平方差公式计算： (1) 11(3)(3)22x y x y +-(2) 2222(0.5)(0.5)a b a b -+--(3) (5m 2－2n 2)(2n 2+5m 2)(4) (x －2y )(x +2y )(x 2+4y 2)探索发现：一、探索平方差公式的几何背景如图，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形(1) 请表示图中阴影部分的面积_____________________(2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图），这个长方形的长和宽分别是多少？__________，它的面积是___________________(3) 比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？说一说验证的理由二、利用平方差公式探索规律(1) 计算下列各组算式，并观察它们的共同特点7988⨯=⎧⎨⨯=⎩ 11131212⨯=⎧⎨⨯=⎩ 79818080⨯=⎧⎨⨯=⎩ (2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？__________________________________________(3) 请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？三、巩固与提高例1 用平方差公式进行计算(1) 10397⨯(2) 118122⨯例2 计算：(1) 222()()a a b a b a b +-+(2) (25)(25)2(23)x x x x -+--练习1、计算：(1) 1007993⨯ (2) 76197120⨯练习2、计算： (1) 11(1)()()33x x x x ---+(2) x (x +1)+(2－x )(2+x )(3) (3x －y )(3x +y )+y (x +y ) (4)11()()(32)(32)22a b a b a b a b +---+例3 填空(1) a2－4=(a+2)( ) (2) 25－x2=(5－x)( )(3) m2－n2=( )( )练习3 填空：(1) x2－25=( )( ) (2) 4m2－49=( )( ) (3) a4－m4=(a2+m2)( )=(a2+m2)( )( )练习4 计算：(1) 123452－12346×12344 *(2) (22+1)(24+1)(28+1)(216+1)学习小结：给大家说一说你这节课的体会。
初中数学《平方差公式》教案
初中数学《平方差公式》教案15.2 乘法公式15.2.1平方差公式教学目标①经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力．②会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算．③了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．教学重点与难点重点：平方差公式的推导及应用．难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式．教学准备卡片及多媒体课件教学设计引入同学们，前面我们刚刚学习了整式的乘法，知道了一般情形下两个多项式相乘的法则．今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘．下面请同学们应用你所学的知识，自己来探究下面的问题：探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?(1)(x+1)(x-1)=(2)(m+2)(m-2)=(3)(2x+1)(2x-1)=引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．注：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式与多项式相乘的运算法则，利用多项式乘法推导乘法公式是从一般到特殊的过程，对今后学习其他乘法公式的推导有一定的指导意义，同时也可培养学生观察、归纳、概括等能力，因此在教学中，首先应让学生思考：你能发现什么?让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同)、归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律进行证明．举例再举几个这样的运算例子．注：让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报．验证我们再来计算(a+b)(a-b)=公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例归纳猜想验证用数学符号表示．注：这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的结构特征，为下一步运用公式进行简单计算打下基础．概括平方差公式及其形式特征．教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明这些特点的原因．应用教科书第152页例1运用平方差公式计算：(1)(3x+2)(3x-2)(2)(b+2a)(2a-b)(3)(-x+2y)(-x-2y)填表：(a+b)(a-b) a b a2b2 最后结果(3x+2)(3x-2) 2 (3x)2-22(b+2a)(2a-b)(-x+2y)(-x-2y)对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成，然后抢答的形式完成；第三小题可采用小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算．注：(1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解：即它们既可以是数，也可以是含字母的整式．(2)在具体计算时，当有一个二项式两项都负时，往往不易判明a、b，如第三小题，此时可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养．(3)例1第(3)小题引导学生多角度思考问题，可以加深对公式的理解．教科书第152页例2计算：(1)10298(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的．注：(1)运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征，把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积形式，教学时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征．(2)第二小题要引导学生注意到一般形式的整式乘法与特殊形式的整式乘法的区别与联系，强调：只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按整式乘法法则进行．巩固教科书第153页练习1、2练习1口答完成；练习2采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(4)由两个大组完成，(2)(3)由另两个大组完成．注：让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标，并通过丰富的活动形式，激发学习兴趣，培养竞争意识和集体荣誉感．解释你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗?多媒体动画演示图形的变换过程，体会过程中不变的量，并能用代数恒等式表示．注：(1)重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题．(2)此处将教科书的图15.3-1分解为两个图形，是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练；利用两个图形可以清楚变化的过程，便于联想代数的形式．小结谈一谈：你这一节课有什么收获?注：这儿采取的是先由每个学生自己小结，然后由小组代表作答，把教师做小结变成了课堂上人人做小结，有助于学生概括能力、抽象能力、表达能力的提高．同时，由于人人都要做小结，促使学生注意力集中，学习主动性加强．作业1．必做题：教科书第156页习题15.2第1题2．选做题：计算：(1)x2+(y-x)(y+x)(2)20192-20092019(3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y)单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
人教版数学七年级上册《平方差公式》教学设计
人教版数学七年级上册《平方差公式》教学设计一. 教材分析《平方差公式》是初中数学的重要内容，人教版七年级上册第17章第二节引入。
本节课主要让学生掌握平方差公式的推导过程、公式结构及应用。
平方差公式的推导有利于培养学生的逻辑思维能力，为后续学习完全平方公式、多项式乘法等知识打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整式的乘法、因式分解等基础知识，具备一定的逻辑思维能力。
但在推导平方差公式、理解公式内涵等方面还需加强。
此外，学生对数学公式的记忆往往依赖于死记硬背，缺乏深入理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主发现并掌握平方差公式。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握平方差公式的推导过程、公式结构及应用。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等方式，培养学生自主学习、合作学习的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导过程及应用。
2.难点：理解平方差公式的内涵，掌握公式的灵活运用。
五. 教学方法1.启发式教学：引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主发现并掌握平方差公式。
2.小组合作：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识。
3.案例分析：选取典型例题，让学生学会运用平方差公式解决问题。
4.归纳总结：引导学生总结平方差公式的推导过程、公式结构及应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示平方差公式的推导过程、应用案例等。
2.练习题：准备适量练习题，用于巩固所学知识。
3.教学用具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示生活中的平方差现象，如正方形面积与边长的关系，引发学生对平方差公式的兴趣。
提问：你们能找出这些现象背后的规律吗？2.呈现（10分钟）展示平方差公式的推导过程，引导学生观察、思考并总结规律。
通过具体案例，让学生学会运用平方差公式解决问题。
整式的乘法复习导学案
第一章 整式的乘法 复习导学案时间：2014.03.05 设计：七二数学老师 审核：七年级数学老师温馨寄语：彩虹风雨后，成功细节中。
学习目标能熟练运用整式乘法的法则、平方差公式和完全平方公式进行整式的乘法运算.学习重点：熟记公式及法则，并熟练运用法则进行整式乘法运算. 学法指导：自主探究，合作交流，展示点拨. 知识链接： 一、 知识回顾 1、幂的运算法则（基础）注意：区分前面两个2、整式的乘法（通过练习回顾概念）单项式乘以单项式：222217ab a c ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭．________________________________________________ 单项式乘以多项式：-3x(6x-12x+1)= ． ———————————————————————— 多项式乘以多项式：(x+3)(2x-3)=————————————————————————乘法公式：（重点）二．典例训练：1、选择题：（1）、下列计算结果正确的是（ ）A 248a a a ⋅=B 0x x --=C ()22224xy x y -= D ()437a a -=（2）．下列运算结果错误的是（ ）A ()()22x y x y x y +-=-B ()222a b a b -=-C ()()()2244x y x y x y x y +-+=-D 2(2)(3)6x x x x +-=-- （3）、给出下列各式①2211101a a -=，②10102020x x -=，③4354b b b -=，④222910y y y -=-，⑤4c c c c c ----=-，⑥22223a a a a ++=． 其中运算正确有（ ）A 3个B 4个C 5 个D 6个（4）．下列各式计算中，结果正确的是（ ）A ()()2222x x x -+=-B ()()223234x x x +-=-C ()()22x y x y x y --+=-D ()()222ab c ab c a b c -+=- （5）． 235()a a 的运算结果正确的是（ ）A 13aB 11aC 21aD 6a 2、填空：(1)化简：a 3·a 2b= .(2)若x 2n =4，x 6n = ， (3)计算：4x 2·(-2xy)= .（4）、计算：5a b +=, 5ab =． 则22a b += ，（a-b ）=3．计算与化简.(1)(-2a 2)(3a b 2-5a b 3). (2)(5x+2y)(3x-2y). （3）()221xy -+ （4）()()()25255x x x ++-(5)若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，求m 的值。
8.3整式乘法--平方差公式学案(精华)
乘法公式---平方差公式学习目标：1. 会推导平方差公式，弄清平方差公式的结构特点，并能正确地运用公式进行简单的运算；2. 经历探索平方差公式的过程，进一步发展观察、归纳与概括能力；3．经历探索平方差公式的过程，认识“特殊”与“一般”的关系，知道“特殊到一般”的认识规律和数学发现的方法；一、知识回顾1、多项式乘法法则2、直接写出结果1).(x+2)(x+3) ＝ 2).(x-4)(x+1) ＝ 3).(y-4)(y-2)＝4).(y-5)(y-3)＝ 5). (x+p)(x+q)＝二、自主学习与合作交流三、1、自学课本p103-104,思考下列问题（1)利用多项式乘法法则计算(写出最后结果)：（1）()()22-+x x ＝ （2）()()a a 3131-+＝ （3）()()y x y x 55-+＝（4）(b+2a)(b-2a) ＝ （5）（-m+n ）(m+n ）＝ （6）22(5)(5)x y x y +-（7）2222(2)(2)m n n m +-＝ （8）)3)(3(y x y x --+-＝观察算式结构，你发现了什么规律？计算结果后，你又发现了什么规律？①上面四个算式中等式左边每个因式都是 项. 一项完全 项，另一项 项②等式左边都是两个数的 与 的.(填“和”“差”“积”)③等式右边是这两数的④根据大家作出的结果，你能猜想（a+b ）（a －b ）的结果是多少吗？⑤请用一句话总结归纳出等式的特点: 即两个数的 与这两个数的 的 ，等于这两数的⑥为了验证大家猜想的结果，我们再计算：（ a+b ）（a －b ）= = .得出：（ a+b ）（a －b ）= 。
其中a 、b 表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式，这个公式叫做 整式乘法的 公式，用语言叙述为 。
由上面归纳的特点用式子可表示为:我们把这个公式叫做整式乘法的关键：完全相同的项代表 ，互为相反数的项代表 （填a 或b ）2、自学检查1．判断下列式子是否可用平方差公式(1)(-a+b)(a+b)（ ） (2) (-2a+b)(-2a-b) （ ）(3) (-a+b)(a-b)（ ） (4) (a+b)(a-c) （ ）2．判断正误，并订正错误的题目：①2234)34)(34(b x b x b x -=-+（ ） ② 229)3)(3(a bc a bc bc a -=---（ ）③916)34)(34(2-=-+x b x b x （ ） ④259)53)(53(-=-+pq q p （ ）⑤2229)3)(3(c b a a bc bc a +-=---（ ） ⑥ 6)6)(6(2-=+-x x x （ ）3．填空：① 4))(2(2-=+a a ② 225)5)((x x -=- ③)42(b a +（ ）=22416a b - ④ )(n n y x +（ ）=n n y x 22-⑤（ ）（ ）=22196169y x - ⑥=+-)5)(5(22m n n m （ ）3．利用平方差计算：（1）)54)(54(x x -+ (2) )3)(3(y x y x +- (3） ))((b a b a --+-（4）.)2)(2(+-x x （5）. )31)(31(a a -+ (6) )5)(5(y x y x -+（7）(3x ＋2 )( 3x －2 ) (8) (-x+2y)(-x-2y). (9)(b+2a)(2a －b);变式练习：公式变样了，加把劲吧！用平方差公式计算：（1）)1)(1(x x --- （2）)32)(23(-+y y （3）))((c ab c ab --- ]（4）)3)(3(22+-a a （5）（s t t s 21)(21--+-） （6）(3x+4)(3x –4)（7）.(3a+2b)(2b –3a) （8）(–4x –3y)(–4x+3y) （9）.(–2m –5)(2m –5)（10）.(m+3)(m –3)(m 2+9) （11）(a+1)(4a –1)–(2a+1)(2a –1)三、巩固与拓展1、用简便算法计算（1）62×58 （2）71307629⨯ （3） 22007200720082006-⨯2.（1）若x 2－y 2=30，且x －y=－5，求x+y 的值（2）已知02,622=-+=-y x y x ，求5--y x 的值．3.逆用平方差公式 （1） (a +b)2-(a -b)2； (2) (3x-4y)2-(3x+y)24.计算 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)5.如图1在边长为a 的正方形纸板上，剪下一个边长为b 的小正方形，拼成如图2的长方形，你能根据图中面积说明平方差公式吗？图1 图2 图3S 阴影1= S 阴影2= 由于阴影部分面积相同,所以得到等式 试一试：你能根据图3说明平方差公式吗？四、当堂检测 1.计算（1）)21)(21(x x -+ （2）)23)(23(n m n m -+ （3）)3)(3(b a b a -+ （4）)14)(14(---a a（5）2211(2)(2)22y x y x +- （6） )221)(221(y x y x --+- （7）(4)(4)a b a b -+（8）(a+2)(a-2)（9）(-5m+2n)(-5m-2n) （10）))((ac b b ac +- （11） 5252()()a b a b -+（12）()()ab x x ab -+（13）()()x x 2525+-+ （14）()()11--+-x x （15）⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-m n n m 321.01.032（16） ()()n m n m 3232-+ （17）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a b a 213213 （18） ()()244233x y y x -++（19）()()22225252b a ba --+- （20）()()()1112+-+x x x （21）22()()()x y x y x y -++22）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2141212x x x （24） )1)(5()2)(2(-+--+y y y y2.下列式中能用平方差公式计算的有( )①(x-12y)(x+12y), ②(3a-bc)(-bc-3a), ③(3-x+y)(3+x+y), ④(100+1)(100-1) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3．下列计算正确的是（ ） A ()()()()2222425252525y x y x y x y x -=-=-+ B ．22291)3()1()31)(31(a a a a +=+-=--+-C ．()()()()222249232332x y x y x y y x -=-=--- D ．()()8242-=-+x x x4.下列式中,运算正确的是( ) ①222(2)4a a =, ②2111(1)(1)1339x x x -++=-, ③235(1)(1)(1)m m m --=-, ④232482a b a b ++⨯⨯=. A.①② B.②③ C.②④ D.③④5. 若，且，则 ．6. ( )(5a +1)=1-25a 2，(2x-3) =4x 2-9，(-2a 2-5b)( )=4a 4-25b 2五、小结与反思六、课外延伸1、下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的打“√”，不能的打“×”（1）(x +1)(1+x ) ( ) （2）(2x +1)(x-1) ( )（3）(a-b)(b-a) ( ) （4）(-a-b)(-a+b) ( )（5）(x+1)(-x-1) ( ) （6）(-2a+3b)(2a+3b) ( )4.下列计算中，错误的有（ ）①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4；②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2；③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．（1）（－2x+y ）（－2x －y ）=______．（2）（x+3y ）（____）=9y 2－x 2． （3）． （4），则 （5）（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y 4． （6）222(25)()425a b a b --=-. （7）(x-1)(2x +1)( )=4x -1. 13、计算题（1） （2）)2)(2(x y x y +- （3）()b a b a -+22)( （4）11()()22x y x y -+--（5）（6） （7）（8）))(()2)(2(222x y y x y x y x x +-++-- （9）()()()()111142+-++-x xx x15.化简求值：())32)(32()23(32a b a b b a a b +---+，其中2,1=-=b a ．16．解方程：()()2313154322365=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-++x x x x x。
北师大版七年级数学下册教学设计(含解析)：第一章整式的乘除5平方差公式
北师大版七年级数学下册教学设计（含解析）：第一章整式的乘除5平方差公式一. 教材分析平方差公式是北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除中的一个重要内容。
本节课的内容主要包括平方差公式的定义、表达式以及如何运用平方差公式进行计算。
平方差公式的学习不仅为学生今后学习多项式的乘法和其他高级数学知识打下基础，而且也培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整数乘法、有理数乘法、多项式的概念等基础知识。
在此基础上，学生需要通过本节课的学习，进一步理解平方差公式的含义，并能够运用平方差公式进行计算。
此外，学生还需要具备一定的观察、分析、归纳能力，以便能够发现并理解平方差公式的内在规律。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握平方差公式的定义和表达式，能够运用平方差公式进行计算。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生发现并理解平方差公式的内在规律。
3.情感态度与价值观：培养学生的团队协作精神，激发学生对数学的兴趣，提高学生的自信心。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的定义和表达式，以及如何运用平方差公式进行计算。
2.难点：平方差公式的推导过程，以及如何灵活运用平方差公式解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平方差公式，激发学生的学习兴趣。
2.小组讨论法：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和口头表达能力。
3.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对平方差公式的理解。
4.归纳总结法：引导学生总结平方差公式的规律，提高学生的归纳能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作平方差公式的课件，包括图片、动画、例题等。
2.教学素材：准备一些有关平方差公式的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.教学设备：投影仪、计算机、黑板等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，如一个正方形的面积比一个相同边长的长方形的面积大多少，引入平方差公式。
让学生观察并思考，如何用数学公式表达这个关系。
2021北师大版本七年级下册1.4整式的乘法提高(学案)
整式的乘法（复习提高）【知识要点】【例题讲解】类型一、单项式乘以单项式例1.（2020春•永州期末）计算：3x 2y •（﹣xy ）2＝ ．例2.（2020春•彭州市期末）若ab 3＝﹣2，则（﹣3ab ）•2ab 5＝ ．【随堂练习】1．（2020春•常德期末）计算：13xy 2•（﹣6x ）2＝ ．2．（2020春•东城区校级期末）计算：﹣2x 3y 2•（x 2y 3）2．类型二、单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.例1.（2020春•张家港市校级月考）要使﹣x 3（x 2+ax +1）+2x 4中不含有x 的四次项，则a 等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例2.已知a ﹣b ＝3，b ﹣c ＝﹣4，求代数式a 2﹣ac ﹣b （a ﹣c ）的值．【随堂练习】1．（2020秋•长宁区校级月考）2x （﹣x 2+3x ﹣4）﹣3x 2（12x +1）2．（2020春•新邵县期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x （﹣2x 2+3x ﹣1）＝6x 3﹣9x 2+□，“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写（ ） A ．1B ．﹣1C ．3xD ．﹣3x类型三、多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++. 要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++【典例】例1.（2020春•青羊区期末）以下关于x 的各个多项式中，a ，b ，c ，m ，n 均为常数． （1）根据计算结果填写表格：二次项系数一次项系数常数项（x +1）（x +2） 1 3 2 （2x ﹣1）（3x +2） 6 1 ﹣2 （ax +b ）（mx +n ）aman +bmbn（2）若关于x 的代数式（x +2）•（x 2+mx +n ）化简后，既不含二次项，也不含一次项，求m +n 的值．2.（2020春•安庆期中）已知：（x 2+px +2）（x ﹣1）的结果中不含x 的二次项，求p 2020的值．【变式训练】1.（2020春•锦江区校级期中）已知将（x 3+mx +n ）（x 2﹣3x +4）乘开的结果不含x 2项，并且x 3的系数为2．则m +n ＝ ．2．（2020春•姜堰区期末）若（x +3）（x ﹣m ）＝x 2+x +n ，则mn ＝ ．类型四、化简求值1.先化简，再求值：(x －y)(x －2y)－21(2x －3y)(x+2y),其中x=－2,y=52.2.先化简再求值：)2102(1)x x 2x 2322x x x x +--+-（，其中x=－21.【变式训练】1.化简求值:x(x 2-4)-(x+3)(x 2-3x+2)-2x(x-2),其中x=1.5.2.已知x+3y=0,求32326x x y x y +--的值.【课堂总结】1. 2. 3. 4. 【强化训练】1．（2020秋•海淀区校级月考）如果一个单项式与﹣3ab 的积为−34a 2bc ，则这个单项式为 ．2．（2020春•溧阳市期末）已知12ab ＝a +b +1，则（a ﹣2）（b ﹣2）＝ ．3．（2020春•牡丹区期末）若x +m 与2﹣x 的乘积中不含x 的一次项，则实数m 的值为 ．4．（2020春•河口区期末）当m ＝1，n ＝2时，（m +n ）（m 2﹣mn +n 2）的值为 ．5．（2020春•沙坪坝区校级月考）若（x +4）（x ﹣2）＝x 2﹣mx ﹣n ，则mn ＝ ．6．（2020春•沙坪坝区校级月考）若2x +m 与x +2的乘积中不含的x 的一次项，则m 的值为 ．7．（2020春•常州期中）若（x ﹣2）（x +5）＝x 2+mx +n （m 、n 为常数），则m +n ＝ ．8．（2020春•越城区校级期中）已知a ，b 是常数，若化简的（﹣x +a ）（2x 2+bx ﹣3）结果不含x 的二次项，则36a ﹣18b ﹣1的值为 ．9．（2020春•沙坪坝区校级月考）2x 2y •32xy ．10．（2020春•沙坪坝区校级月考）2x 3•（﹣x ）5﹣x 5•（﹣x ）3．11.若5=+y x ，6=xy ，求22xy y x +的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第06讲---整式的乘法与平方差公式授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握整式的乘法法则，能够准确计算整式乘法的计算题；②理解平方差公式，了解平方差公式的几何背景，会灵活运用平方差公式进行计算。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）整式的乘法1、单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数保持不变，作为积的因式。
2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式如下：()(,,,m a b c ma mb mc m a b c++=++都是单项式）3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式如下：()()(,,,m n a b ma mb na nb m n a b++=+++都是单项式）体系搭建1、平方差公式：22()()a b a b a b-+=-，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
公式的推导：2222()()a b a b a ab ab b a b+-=-+-=-。
平方差公式的逆用即22()()a b a b a b-=-+平方差公式的特点：（1）左边是两个二项式的积，，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数。
（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方）（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。
2、平方差公式的几何意义如图两幅图中，阴影部分的面积相等，第一个图的阴影部分的面积是：a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积是：（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）平方差公式的几何意义还有很多，有兴趣的同学可以钻研一下。
3、平方差公式的应用。
平方差公式一般运用在化简求值，找规律简便计算中等。
会涉及到平方差公式的逆用。
考点一：整式的乘法例1、下列运算正确的是（）A．（x2）3+（x3）2=2x6B．（x2）3•（x2）3=2x12C．x4•（2x）2=2x6D．（2x）3•（﹣x）2=﹣8x5例2、下列计算正确的是（）A．（﹣2a）•（3ab﹣2a2b）=﹣6a2b﹣4a3b B．（2ab2）•（﹣a2+2b2﹣1）=﹣4a3b4 C．（abc）•（3a2b﹣2ab2）=3a3b2﹣2a2b3D．（ab）2•（3ab2﹣c）=3a3b4﹣a2b2c例3、若（a m+1b n）（a2m﹣1b2n）=a5b6（a、b均不等于1和0）则求m+n的值典例分析例4、“三角”表示3abc，“方框”表示﹣4x y w z，则=例5、计算：（1）（﹣4ab3）（﹣ab）﹣（ab2）2（2）（1.25×108）×（﹣8×105）×（﹣3×103）（3）（x2y﹣xy2﹣y3）（﹣4xy2）（4）a n b2[3b n﹣1﹣2ab n+1+（﹣1）2003]例6、若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项（1）求p、q的值；（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值例7、已知代数式（mx2+2mx﹣1）（x m+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数．考点二：平方差公式例1、下列等式成立的是（）A．（a+4）（a﹣4）=a2﹣4 B．2a2﹣3a=﹣a C．a6÷a3=a2D．（a2）3=a6例2、已知a=20162，b=2015×2017，则（）A．a=b B．a＞b C．a＜b D．a≤b例3、下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（2a﹣b）B．（2a+b）（b﹣2a）C．（2a+b）（﹣2a﹣b）D．（2a﹣b）（﹣2a﹣b）例4、计算：（1）（x+2）（x﹣2）（x2+4）（2）（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣b）（3）（4）4002﹣399×401（5）（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y）（6）（x+y）（x-y）+（2x+y）（2x-y）例5、若（N+2005）2=123456789，求（N+2015）（N+1995）的值．例6、两个两位数的十位数字相同，一个数的个位数字是6，另一个数的个位数字是4，它们的平方差是220，求这两个两位数．考点三：平方差公式的几何意义例1、乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算：①10.3×9.7 ②（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）例2、如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的代数式表示S1和S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．例3、如图，边长为a的大正方形是由边长为b的小正方形和四个全等的梯形拼成的，请利用此图证明平方差公式P(Practice-Oriented)——实战演练➢课堂狙击1、下列运算中，正确的是（）A．2x4﹣3x2=﹣x2B．2x4+3x2=5x6C．2x4•3x2=6x8D．2x4•3x2=6x62、设（x m﹣1y n+2）•（x5m y﹣2）=x5y3，则n m的值为3、某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？实战演练4、若（x2+ax+1）•（﹣ax3）的展开式中，不含有x4项，则3a﹣1的值为5、计算：（1）（﹣4xy3）•（xy）+（﹣3xy2）2（2）3（3m﹣n）2•（3m﹣n）3•（n﹣3m）（3）（4）（﹣2x3y）•（3xy2﹣4xy+1）（5）（3x﹣2）（3x+2）﹣6（x2+x﹣1）（6）（2x2﹣4）（2x﹣1﹣x）6、当m、n为何值时，x[x（x+m）+nx（x+1）+m]的展开式中，不含有x2和x3的项？7、若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的展开式中不含x2和x3项，求m，n的值8、化简求值：已知：（x+a）（x﹣）的结果中不含关于字母x的一次项，求（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）的值．9、如图（1）所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图（2）是由图（1）中阴影部分拼成的一个长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：、．（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1➢课后反击1、下列各题，计算正确的是（）A．﹣3a2•4a3=﹣12a6B．（x3）2=x9C．（﹣3m3）3=﹣9mx9D．（﹣x n）2=x2n2、化简：3（x﹣y）2•[﹣（y﹣x）3][﹣（x﹣y）4]3、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．2a（a+b）=2a2+2ab D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b24、计算：（1）（﹣a2b）（b2﹣a+）（2）﹣6a3b•（﹣2ab2c）（3）﹣2a2b（3ab2﹣ab﹣1）（4）（5a2﹣a+1）（﹣3a2）5、某同学在计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，那么正确的计算结果是多少？6、计算:（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32014+1）﹣7、如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个相同长方形的两边长（x＞y），给出以下关系式：① x +y=m ；② x ﹣y=n ；③ xy=． 其中正确的关系式的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个1、【2016 常州】先化简，再求值（x ﹣1）（x ﹣2）﹣（x +1）2，其中x=2、【2015 珠海】计算﹣3a 2×a 3的结果为（ ） A ．﹣3a 5 B ．3a 6 C ．﹣3a 6D ．3a 53、【2015 佛山】若（x +2）（x ﹣1）=x 2+mx +n ，则m +n=（ ） A ．1 B ．﹣2 C ．﹣1 D ．2S (Summary-Embedded)——归纳总结1、幂的乘方的意义：幂的乘方指的是几个相同的幂相乘，如53()a 是3个5a 相乘，读作a 的五次幂的三次方，()m n a 是n 个m a 相乘，读作a 的m 次幂的n 次方。
2、幂的乘方的运算性质：()(,m n mn a a m n =都是正整数），就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。
幂的乘方的运算性质可推广为()(,,pm n mnp a a m n p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦都是正整数）3、幂的乘方的运算性质的逆用：()()(,mn m n n m a a a m n ==都是正整数）直击中考重点回顾名师点拨1、积的乘方的意义：积的乘方指底数是乘积形式的乘方，如3()()nab ab、等2、积的乘方的运算性质：()(n n nab a b n=是正整数），就是说，积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
积的乘方的运算性质可推广为()(n n n nabc a b c n=是正整数）3、积的乘方的运算性质的逆用：()(n n na b ab n=是正整数）➢本节课我学到了➢我需要努力的地方是学霸经验。