七年级数学 整式的乘法平方差公式完全平方公式
完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式
1. 完全平方公式：
完全平方公式是一个用于计算平方数的公式，它的形式为：
(a + b)²= a²+ 2ab + b²
其中，a和b是任意实数。
这个公式的意思是，如果你想求出一个由两个实数a和b相加的数的平方，那么你可以使用这个公式。
首先，将a²和b²分别计算出来，然后将它们相加。
接着，你需要计算2ab，这个2ab的意思是a和b的乘积的两倍。
最后，将这些结果相加就得到了(a + b)²的值。
2. 平方差公式：
平方差公式是一个用于计算两个实数之差的平方的公式，它的形式为：
(a - b)²= a²- 2ab + b²
其中，a和b是任意实数。
这个公式的意思是，如果你想求出两个实数a和b之间的差的平方，那么你可以使用这个公式。
首先，将a²和b²分别计算出来，然后将它们相减。
接着，你需要计算-2ab，这个-2ab的意思是a和b的乘积的两倍的相反数。
最后，将这些结果相加就得到了(a - b)²的值。
这两个公式在数学中非常有用，它们可以帮助我们在计算中快速求出平方数和差的平方。
了解它们的含义和用法可以帮助我们更好地理解数学的基本概念。
初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b22 23（1（24由（由5（a+b（a－a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
二．例题精选例1．已知x、y满足x2+y2+54=2x+y,求代数式xyx y的值。
例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。
例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场:两次提价的百分率都是2a b+(a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. 例4．计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.例5222()例6例7例8数.12A.x 3A 45(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________。
6．已知a+1a=5,则=4221a a a ++=_____。
7．已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.8．已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a ba b +-=_____.9．若代数式b x x +-62可化为1)(2--a x ，则b ﹣a 的值是． 10．已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数.证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数. 参考答案： 一．例题精选例1．提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13例2．原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•10x -=11x -=±10x -=解得x y =⎧⎨⎩例3例4．(2)设例5． 例6．P ＜Q ；差值法：P -例7．例8因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=0二．同步练习9．121)(222-+-=--a ax x a x ，这个代数式于b x x +-62相等，因此对应的系数相等，即﹣2a ＝﹣6，解得a ＝3，b a =-12，将a ＝3代入得b ＝8，因此b ﹣a ＝5． 10．解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.。
7年级整式乘法——平方差与完全平方公式(二)
7年级整式乘法——平方差与完全平方公式（二）完全平方公式1．完全平方公式：①()2222a b a ab b +=++；②()2222a b a ab b -=-+．即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，这个公式叫做乘法的完全平方公式．2．完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍． 3．公式的推广：①()()()222a b a b a b --=-+=+⎡⎤⎣⎦；②()()()222a b a b a b -+=--=-⎡⎤⎣⎦； ③()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+；④()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++．平方差公式：(a+b)(a-b)＝a 2-b 22. （1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a ）（2a-b ）3.()()()()4422b aba b a b a +++-＝ ；4.)32)(32(22y x y x -+5.)32)(32(n m n m ---6.)3)(3(xy z z xy ---7. （1） ； （2） ；公式结构特征：(1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数(式)]；(2) 公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方。
(3) 公式中的 a 和b 可以是数，也（3） ；（4） ；8.先化简，再求值，其中9. (a －b ＋c)(a ＋b ＋c)10．已知()()227,4a b a b +=-=，求22a b +和ab 的值．11.计算：（1）()()x y z x y z +--+ （2）()22x y z +-13.1 ．计算：①()221m -- ②()()()22a b a b a b -+-③()2a b c +- ④()2220.43m n-（1）已知a ＋b ＝7，ab ＝10，求a 2＋b 2，（a －b ）2的值．（2）已知2a －b ＝5，ab ＝23，求4a 2＋b 2－1的值．（3）已知（a ＋b ）2＝9，（a －b ）2＝5，求a 2＋b 2，ab 的值．拓展小组1．已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
中山市七中七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算课件新版湘教版3
学习目标
（1）会利用合并同类项的方法解一元一次方程，体 会等式变形中的化归思想.
（2）能够从实际问题中列出一元一次方程，进一步 体会方程模型思想的作用及应用价值.
推进新课 知识点1 合并同类项
数学小资料
约公元820年 , 中亚细亚数学家阿尔-花拉子米 写了一本代数书 , 重点论述怎样解方程.这本书的 拉丁文译本取名为【対消与还原]. 〞対消”与〞 还原”是什么意思呢 ？
探究新知
〔1〕(x+1)(x2+1)(x-1); 〔2〕(x+y+1)(x+y-1).
你能用简单的方法计算上面的式子吗？
(x + y + 1)(x + y-1) =[(x + y) + 1][(x + y)-1] = (x + y)2-1 = x2 + 2xy + y2-1
把 x+y 看做一个整体
运用乘法公式计算 : ( a + b + c )2 . 解: ( a + b + c )2
= [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2c(a + b) + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 遇到多项式的乘法时 , 我们要先观察式子的特征 , 看 能否运用乘法公式 , 以到达简化运算的目的.
第一个数为x , 第二个数为 x
9
方程 x xx1701
3
93
七年级平方差、完全平方知识点与讲义
树人阁教育一对一个性化辅导教案第三讲、乘法公式知识点讲义知识点：(一）、平方差公式:（a+ｂ）(ａ-b)=b a 22- 两数 与这两 差的积,等于它们的 。
1、即:(a ＋b ）(a-b) = 相同符号项的平方 － 相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用，即：b a 22-=（ａ＋b)（ａ-b ）。
3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积 即:(ａ+b ）(a －ｂ)或(ａ+b)(b-ａ)②有两数和的相反数与两数差的积 即:（－ａ-b)(a-ｂ)或(a+b)(ｂ－a) ③有两数的平方差 即:b a 22- 或a b 22+-(二）、完全平方公式：)(2b a +=a 2＋2ab+b 2 )(2b a -=a 2-２ab+b 2 两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加上(或减去）它们的积的 。
1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2＝)(2b a + a 2－2ab+b 2=)(2b a - 2、能否运用完全平方式的判定①有两数和(或差）的平方即:)(2b a +或 )(2b a -或 )(2b a --或)(2b a +-②有两数平方,加上(或减去)它们的积的2倍,且两数平方的符号相同。
即:a 2+2ａｂ+b 2或a 2－2ab+b 2 a -2-2a ｂb -2或 a -2＋2a ｂ－b 2 基础训练:一、选择题1、下列各式中,能用平方差公式计算的是（ )ﻩA 、()()p q p q +--ﻩﻩ B 、()()p q q p -- Ｃ、(5)()x y y x +-335ﻩ D 、()()2332a b a b +- 2、与()72x y -之积等于y x4249-的因式为 （ ） ﻩＡ、(７x －y 2)ﻩﻩＢ、（7x ＋ｙ2） Ｃ、(－７ｘ-y ２) D 、(y 2－7x )3、下列等式能够成立的是 （ ）ﻩA 、()242222x y x x y y -=-+ﻩB 、()x y x y +=+222 ﻩＣ、()1214222a b a a b b -=-+ﻩＤ、()11222x x x x +=+ ４、要使式子4ａ2—12ａ 成为一个完全平方式的结果,则应加上 ( ）Ａ、3 ﻩ Ｂ、９ﻩﻩ C 、２．25 D 、1.55、()73322x +等于 ( ) A 、737322x x ++ﻩ B 、49972942x x ++ ﻩC 、4997942x x ++ﻩﻩﻩD 、7372942x x ++ ６、[][]()()()()x y x y x y x y +-+-所得结果是 ( ） ﻩＡ、x y 44- ﻩﻩ B 、x x y y 4224-+ C 、x ４+y 4 D 、x x yy 42242-+7、()a b -2加上如下哪一个后得()a b +2 ( ) A 、2ab ﻩﻩB 、３abﻩ C 、４ａb ﻩﻩ D 、0 ８、()()x y x x y y +++222等于( ） A 、x y 33+ﻩﻩＢ、x y 33- C 、()x y +3ﻩﻩD 、以上答案都不对 ９、下列各式不能用立方差公式计算的 ( )A 、()()-+-+aa a 112ﻩﻩB 、()(5)a a a 212552-++ C 、()()312932142a a a -++ D 、()()3312aa a +-+ 10、下面四个式子与(ａ-b )相乘所得的积中是二项式的有 （ ）①a +b ﻩ②a a b b 22++ ﻩ③a a b b 22-+ ﻩ④a a b b222-+ ﻩA 、①和④ﻩＢ、②和③ﻩ C 、①和② ﻩＤ、③和④ 二、填空题1、()()x y x y+=+33 2、a a b b a b 2223-+=-() 3、()()ab b a -=-121422 ４、()+=++m n 2245、()()4144983432233x x y y x y++=- ６、()()x x x -++=112227、()()x y x x y y n m n n m m +-+=22 8、(.)0222a a +=++9、()()()343422x y x y -+=+10、()()---+=x y x x y y 22解答题、1、四个连续偶数a 、b 、c 、d 中最后一个数是第m ＋2个正偶数,如果b d a c -=412,求这四个数2、已知x y x y +=-=1016，求下列各式的值ﻩ求①x y 22+ﻩ ②()x y -2ﻩﻩ③()()x y ++22④x x yy 22-+3、13122a a a a +=+求４、1)1)(1)(1)(12(222842+++++5、b ab b 22a .6,5a +-=-=+求已知：。
整式运算——平方差与完全平方
整式之平方差和完全平方整式的加减 同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方幂 同底数幂的除法、零指数和负整数指数幂单项式乘以单项式 整式及其运算乘法分配律 整式的乘法 单项式乘以多项式乘法分配律多项式乘以多项式、平方差公式、完全平方公式 单项式除以单项式整式的除法乘法分配律多项式除以单项式平方差公式与完全平方公式 一、 公式透析平方差公式：22))((b a b a b a -=-+特点是相乘的两个二项式中，a 表示的是完全相同的项，+b 和-b 表示的是互为相反数的两项。
所以说，两个二项式相乘能不能用平方差公式，关键看是否存在两项完全相同的项，两项互为相反数的项。
完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±注意不要漏掉2ab 项 例1. 填空题： (1)()()a a +-=11 (2)()()33a b a b -+= (3)()()mbm b -+=22(4)()()x x +=-392(5)()()a a+=-5252(6)()()---=3535x y x y(7)()()---=a b b a 2332例2. 计算题： (1)()a212-(2)()-+25232a b(3)()--34222m n(4) ()()231231a b a b --++(5)()()()x y x y x y --+24222(6)()232a b --例3. 计算()()x x 252522+--例4. 化简()()()()212121211248+++++________________。
注意：由乘法公式我们不难得出下面几个公式变形的式子 ①a b ab a b 2222+=+-() ②a b ab a b 2222+=-+() ③()()ab ab a b+--=224④()()ab ab a b+=-+224 这些式子可使许多有关多项式乘法的解题过程变得简捷巧妙，提高思维的创造力。
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
平方差公式与完全平方公式
平方差公式与完全平方公式首先介绍平方差公式。
平方差公式是指两个数之差的平方可以表示为两个数的平方的差。
具体而言，如果有两个数a和b，那么它们的平方差公式可以表示为(a-b)(a+b)=a^2-b^2、即一个数的平方减去另一个数的平方等于这两个数之差的乘积。
(a-b)(a+b) = a(a+b) - b(a+b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 -b^2例如，如果我们要计算64和25之间的差的平方，我们可以利用平方差公式：(64-25)(64+25)=64^2-25^2=3999下面我们来介绍完全平方公式。
完全平方公式是指一个二次多项式可以表示为一个平方的形式。
具体而言，如果有一个二次多项式ax^2+bx+c，其中a、b、c都是实数，并且a不等于0，那么它可以表示为一个完全平方的形式，即(a^2(x+d)^2)+e，其中d和e是实数。
完全平方公式的推导可以通过配方法来证明。
具体而言，我们有：ax^2+bx+c = a(x^2+(b/a)x+(c/a)) = a((x^2+(b/a)x+(b/2a)^2) + (c/a-(b/2a)^2)) = a(x+(b/2a))^2 + (c/a-(b/2a)^2)例如，如果我们有一个二次多项式x^2+6x+9，我们可以使用完全平方公式将其表示为(x+3)^2、因为(x+3)^2=x^2+6x+9，所以这两个表达式是等价的。
完全平方公式在高等数学和代数运算中也有广泛的应用。
在求解二次方程的根时，我们可以使用完全平方公式来简化计算，将二次方程表示为一个平方的形式。
它还可以用于求解三角恒等式和简化代数表达式。
综上所述，平方差公式和完全平方公式是数学中常用的两个公式，它们在代数运算和高等数学中有广泛的应用。
掌握这两个公式可以帮助我们简化计算过程，解决问题，并扩展数学思维的能力。
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2．单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即
注：这里 、 、 和 都表示单项式．
3．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项．再把所得的积相加，如：
【典型例题】
例1．计算
2．完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
3．公式的推广：①
② ③
④
【典型例题】
例1．计算：
（1） （2）
例2．已知 ，求 和 的值．
例3 计算：（1） （2）
例4 用简单方法计算
（1） （2）
老师姓名
黄剑
学生姓名
教材版本
北师大版
学科名称
数学
年级
七年级
上课时间
月日:00–:00
课题名称
整式的乘法,平方差公式，完全平方公式
教学重点
整式乘法的规则，平方差公式，完全平方公式灵活应用
教
学
过
程
【知识要点】
1．单项式与单项式相乘，把它们的系数﹑相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
5．用平方差公式计算．
（1） （2）
（3） （4）
【题型四】平方差公式的综合运用
6．计算：
（1） （2）
【题型五】利用平方差公式进行化简求值与解方程
7．化简求值： ，其中 ．
【题型六】逆用平方差公式
8.已知 ，求 的值．
【知识要点】
1．完全平方公式：① ；② ．即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，这个公式叫做乘法的完全平方公式．
课后需再巩固的内容：
配合需求：家长__________________________
学管师__________________________
A、 B、 C、 D、
二、填空题
1．（ ） = ．
2． -
3． =
4．
5．若 则
三、解答题
1．计算：① ②
2．已知 ，求 的值和 的值．
3．已知 是一个完全平方式，求 的值．
4．若 ，求 的值．5．已知 ，求 的值．
6．已知多项式 ，求当 、 为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？
课后小结
上课情况：
（1） （2）
例2．化简
（1） （2） （3）
例3．解方程：
例4．已知 的结果不含 的一次项，求 的值．
【精典练习】
1．计算
（1） （2） （3） 为偶数）
二．选择题
1．如果 成立，则a、b的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
2．如果M、N分别是关于 的72次多项式B、一定是35次多项式C、大于12次的多项式 D、无法确定积的次数
例5 已知 ，求 和 的值．
例6 已知 ，求 、 的值．
【经典练习】
一、选择题
1．下列等式不成立的是（）
A、 B、
C、 D、
2．下列各式中计算结果是 的是（）
A、 B、 C、 D、
3．计算： 的结果等于（）
A、 B、 C、 D、
4．要使等式 成立，代数式M应是（）
A、 B、 C、 D、
5．要使 成为一个完全平方式，则（）
一．基础部分
【题型一】利用平方差公式计算
1．位置变化：（1） （2）
符号变化：（3） （4）
系数变化：（5） （6）
指数变化：（7） （8）
2．增项变化
（1） （2）
3．增因式变化
（1） （2）
【题型二】利用平方差公式判断正误
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型三】运用平方差公式进行一些数的简便运算例
四．解答题
1．若 展开后不含 ， 两项，求 、 的值．
【知识要点】
1.平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。这个公式叫做乘法的平方差公式
2.公式的结构特征
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数
②右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）