最新江西省2018年中考数学总复习第三单元函数课时13二次函数的综合与应用作业

课时13 二次函数的综合与应用
(时间：60分钟分值：35分)
评分标准：选择填空每题3分．
基础过关
1．烟花厂为某旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)
与飞行时间t(s)的关系式是h＝－5
2
t2＋20t＋1，若这种礼炮在点火升空到最高点
处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( )
A．3 s B．4 s
C．5 s D．6 s
2．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图1所示的平面直角坐标系，其
函数的关系式为y＝－
1
25
x2，当水面离桥拱顶的高度DO是2 m时，水面宽度AB
为( )
图1
A．－10 m B．－5 2 m
C．5 2 m D．10 2 m
3．某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100－x)件，当x＝__________时利润最大．
4．(7分)如图2，某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x(米)，与桌面的垂直距离为y(米)，运行时间为t(秒)，经多次测试后，得到如下表的部分数据：
图2
(1)当t 为何值时，乒乓球达到最大高度？
(2)乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？
5．(9分)如图3，抛物线C 1：y 1＝ax 2＋2ax (a ＞0)与x 轴交于点A ，顶点为点
P .
图3
(1)直接写出抛物线C 1的对称轴是______________，用含a 的代数式表示顶点P 的坐标__________；
(2)把抛物线C 1绕点M (m,0)旋转180°得到抛物线C 2(其中m ＞0)，抛物线C 2
与x 轴右侧的交点为点B ，顶点为点Q .
①当m ＝1时，求线段AB 的长；
②在①的条件下，△ABP 是否能为等腰三角形，若能，请求出a 的值，若不能，请说明理由；
③当四边形APBQ 为矩形时，请求出m 与a 之间的数量关系，并直接写出当a ＝3时矩形APBQ 的面积．
拓展提升
1．(10分)(2017随州改编)在平面直角坐标系中，我们定义直线y ＝ax －a 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．
图4 备用图
已知抛物线y ＝－
2 33x 2－4 3
3
x ＋2 3与其“梦想直线”交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与x 轴负半轴交于点C ．
(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为________________，点A 的坐
标为__________，点B的坐标为__________；
(2)如图4，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得四边形ACEF为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．
课时13 二次函数的综合与应用
基础过关 1.B 2.D 3.70
4．解：(1)由表格中数据可知，当t＝0.4秒时，乒乓球达到最大高度．
(2)以点A为原点，桌面中线为x轴，乒乓球水平运动方向为正方向建立直角坐标系．
由表格中数据可判断，y是x的二次函数，且顶点为(1,0.45)，
∴可设y＝m(x－1)2＋0.45，
将(0,0.25)代入，得0.25＝m(0－1)2＋0.45，解得m＝－0.2.
∴y＝－0.2(x－1)2＋0.45.
当y＝0时，－0.2(x－1)2＋0.45＝0，
解得x＝2.5或x＝－0.5(舍去)．
∴乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是2.5米．
5．解：(1)直线x＝－1，(－1，－a)；
【提示】抛物线C1：y1＝ax2＋2ax＝a(x＋1)2－a，
∴x＝－1，P(－1，－a)．
(2)①由旋转知，MA＝MB，当y1＝0时，x1＝－2，x2＝0，
∴A(－2,0)．∴AO＝2.
∵M(1,0)，∴AM＝3.
∴AB＝2AM＝2×3＝6.
②∵A(－2,0)，AB＝6，∴B(4,0)．
∵A(－2,0)，P(－1，－a)，
∴AP＝12a2＝1＋a2，BP＝25＋a2.
当AB＝AP时，1＋a2＝62，解得a＝35(负值已舍去)；
当AB＝BP时，25＋a2＝62，解得a＝11(负值已舍去)；
当AP＝BP时，1＋a2＝25＋a2，不成立，
即当a 取35或11时，△ABP 为等腰三角形； ③如图1，过点P 作PH ⊥x 轴于H ，
图1
∵BM ＝AM ＝2＋m ，
∴BH ＝BM ＋OM ＋OH ＝2＋m ＋m ＋1＝2m ＋3.
∵点A 与点B ，点P 与点Q 均关于M 点成中心对称，∴四边形APBQ 为平行四边形．
当∠APB ＝90°时，四边形APBQ 为矩形， 此时△APH ∽△PBH ， ∴
AH HP ＝HP BH ，即1a ＝a 2m ＋3
. ∴a 2
＝2m ＋3.∴m ＝12a 2－32.
当a ＝3时，m ＝12×32－3
2＝3，
∴S ＝(2m ＋4)a ＝(2×3＋4)×3＝30. 拓展提升 1.解：(1)y ＝－2 33x ＋2 3
3
，(－2,2 3)，(1,0)； 【提示】∵抛物线y ＝－
2 33x 2－4 33
x ＋2 3， ∴其“梦想直线”的解析式为y ＝－
2 33x ＋2 3
3
. 联立“梦想直线”与抛物线解析式可得 ⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝－2 33x ＋2 33，y ＝－2 33x 2
－4 3
3
x ＋2 3，
解得⎩⎨
⎧
x ＝－2，
y ＝2 3.
或⎩⎨
⎧
x ＝1，y ＝0.
∴A (－2,2 3)，B (1,0)．
(2)当点N 在y 轴上时，△AMN 为梦想三角形，
如图2，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则AD ＝2，
图2
在y ＝－
2 33x 2－4 3
3
x ＋2 3中， 令y ＝0可求得x ＝－3或x ＝1， ∴C (－3,0)，B (1,0)． ∴AC ＝
2＋3
2
2 3
2
＝13，BC ＝4.
由翻折的性质可知AN ＝AC ＝13，
在Rt △AND 中，DN ＝AN 2－AD 2＝13－4＝3， ∵OD ＝2 3，∴ON ＝2 3－3或ON ＝2 3＋3.
当ON ＝2 3＋3时，则CM ＝MN ＞ON ＞BC ，与点M 在线段BC 上矛盾，不合题意，
∴N 点坐标为(0,2 3－3)．
当M 点在y 轴上时，则M 与O 重合，过N 作NP ⊥x 轴于点P ，如图3，
图3
在Rt △AMD 中，AD ＝2，OD ＝2 3， ∴tan ∠DAM ＝
MD
AD
＝ 3.∴∠DAM ＝60°. ∵AD ∥x 轴，∴∠AMC ＝∠DAM ＝60°. 又由折叠可知∠NMA ＝∠AMC ＝60°， ∴∠NMP ＝60°，且MN ＝CM ＝3. ∴MP ＝12MN ＝32，NP ＝32MN ＝3 3
2
.
∴此时N 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，
3
32. 综上可知N 点坐标为(0,2 3－3)或⎝ ⎛⎭
⎪⎫32
，
3
32. (3)如图4，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，
图4
则有AC ∥EF 且AC ＝EF ， ∴∠ACK ＝∠EFH .
在△ACK 和△EFH 中，⎩⎨⎧
∠ACK ＝∠EFH ，
∠AKC ＝∠EHF ，
AC ＝EF ，
∴△ACK ≌△EFH (AAS)． ∴FH ＝CK ＝1，HE ＝AK ＝2 3. ∵抛物线对称轴为x ＝－1， ∴F 点的横坐标为0或－2. ∵点F 在直线AB 上，
∴当F 点横坐标为0时，F 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，
2
33，此时点E 在直线AB 下方． ∴E 到y 轴的距离为EH －OF ＝2 3－2 33＝4 3
3
， 即E 点纵坐标为－
4 33.∴E ⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－
4 33. 当F 点的横坐标为－2时，F 与A 重合，不合题意，舍去．
综上可知存在满足条件的点F ，此时E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－4 33，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，2 33.。