最新江西省2018年中考数学总复习第三单元函数课时13二次函数的综合与应用作业
课时13 二次函数的综合与应用
(时间：60分钟分值：35分)
评分标准：选择填空每题3分．
基础过关
1．烟花厂为某旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)
与飞行时间t(s)的关系式是h＝－5
2
t2＋20t＋1，若这种礼炮在点火升空到最高点
处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( )
A．3 s B．4 s
C．5 s D．6 s
2．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图1所示的平面直角坐标系，其
函数的关系式为y＝－
1
25
x2，当水面离桥拱顶的高度DO是2 m时，水面宽度AB
为( )
图1
A．－10 m B．－5 2 m
C．5 2 m D．10 2 m
3．某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100－x)件，当x＝__________时利润最大．
4．(7分)如图2，某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x(米)，与桌面的垂直距离为y(米)，运行时间为t(秒)，经多次测试后，得到如下表的部分数据：
图2
(1)当t 为何值时，乒乓球达到最大高度？
(2)乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？
5．(9分)如图3，抛物线C 1：y 1＝ax 2＋2ax (a ＞0)与x 轴交于点A ，顶点为点
P .
图3
(1)直接写出抛物线C 1的对称轴是______________，用含a 的代数式表示顶点P 的坐标__________；
(2)把抛物线C 1绕点M (m,0)旋转180°得到抛物线C 2(其中m ＞0)，抛物线C 2
与x 轴右侧的交点为点B ，顶点为点Q .
①当m ＝1时，求线段AB 的长；
②在①的条件下，△ABP 是否能为等腰三角形，若能，请求出a 的值，若不能，请说明理由；
③当四边形APBQ 为矩形时，请求出m 与a 之间的数量关系，并直接写出当a ＝3时矩形APBQ 的面积．
拓展提升
1．(10分)(2017随州改编)在平面直角坐标系中，我们定义直线y ＝ax －a 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．
图4 备用图
已知抛物线y ＝－
2 33x 2－4 3
3
x ＋2 3与其“梦想直线”交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与x 轴负半轴交于点C ．
(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为________________，点A 的坐
标为__________，点B的坐标为__________；
(2)如图4，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得四边形ACEF为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．
课时13 二次函数的综合与应用
基础过关 1.B 2.D 3.70
4．解：(1)由表格中数据可知，当t＝0.4秒时，乒乓球达到最大高度．
(2)以点A为原点，桌面中线为x轴，乒乓球水平运动方向为正方向建立直角坐标系．
由表格中数据可判断，y是x的二次函数，且顶点为(1,0.45)，
∴可设y＝m(x－1)2＋0.45，
将(0,0.25)代入，得0.25＝m(0－1)2＋0.45，解得m＝－0.2.
∴y＝－0.2(x－1)2＋0.45.
当y＝0时，－0.2(x－1)2＋0.45＝0，
解得x＝2.5或x＝－0.5(舍去)．
∴乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是2.5米．
5．解：(1)直线x＝－1，(－1，－a)；
【提示】抛物线C1：y1＝ax2＋2ax＝a(x＋1)2－a，
∴x＝－1，P(－1，－a)．
(2)①由旋转知，MA＝MB，当y1＝0时，x1＝－2，x2＝0，
∴A(－2,0)．∴AO＝2.
∵M(1,0)，∴AM＝3.
∴AB＝2AM＝2×3＝6.
②∵A(－2,0)，AB＝6，∴B(4,0)．
∵A(－2,0)，P(－1，－a)，
∴AP＝12a2＝1＋a2，BP＝25＋a2.
当AB＝AP时，1＋a2＝62，解得a＝35(负值已舍去)；
当AB＝BP时，25＋a2＝62，解得a＝11(负值已舍去)；
当AP＝BP时，1＋a2＝25＋a2，不成立，
即当a 取35或11时，△ABP 为等腰三角形； ③如图1，过点P 作PH ⊥x 轴于H ，
图1
∵BM ＝AM ＝2＋m ，
∴BH ＝BM ＋OM ＋OH ＝2＋m ＋m ＋1＝2m ＋3.
∵点A 与点B ，点P 与点Q 均关于M 点成中心对称，∴四边形APBQ 为平行四边形．
当∠APB ＝90°时，四边形APBQ 为矩形， 此时△APH ∽△PBH ， ∴
AH HP ＝HP BH ，即1a ＝a 2m ＋3
. ∴a 2
＝2m ＋3.∴m ＝12a 2－32.
当a ＝3时，m ＝12×32－3
2＝3，
∴S ＝(2m ＋4)a ＝(2×3＋4)×3＝30. 拓展提升 1.解：(1)y ＝－2 33x ＋2 3
3
，(－2,2 3)，(1,0)； 【提示】∵抛物线y ＝－
2 33x 2－4 33
x ＋2 3， ∴其“梦想直线”的解析式为y ＝－
2 33x ＋2 3
3
. 联立“梦想直线”与抛物线解析式可得 ⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝－2 33x ＋2 33，y ＝－2 33x 2
－4 3
3
x ＋2 3，
解得⎩⎨
⎧
x ＝－2，
y ＝2 3.
或⎩⎨
⎧
x ＝1，y ＝0.
∴A (－2,2 3)，B (1,0)．
(2)当点N 在y 轴上时，△AMN 为梦想三角形，
如图2，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则AD ＝2，
图2
在y ＝－
2 33x 2－4 3
3
x ＋2 3中， 令y ＝0可求得x ＝－3或x ＝1， ∴C (－3,0)，B (1,0)． ∴AC ＝
2＋3
2
2 3
2
＝13，BC ＝4.
由翻折的性质可知AN ＝AC ＝13，
在Rt △AND 中，DN ＝AN 2－AD 2＝13－4＝3， ∵OD ＝2 3，∴ON ＝2 3－3或ON ＝2 3＋3.
当ON ＝2 3＋3时，则CM ＝MN ＞ON ＞BC ，与点M 在线段BC 上矛盾，不合题意，
∴N 点坐标为(0,2 3－3)．
当M 点在y 轴上时，则M 与O 重合，过N 作NP ⊥x 轴于点P ，如图3，
图3
在Rt △AMD 中，AD ＝2，OD ＝2 3， ∴tan ∠DAM ＝
MD
AD
＝ 3.∴∠DAM ＝60°. ∵AD ∥x 轴，∴∠AMC ＝∠DAM ＝60°. 又由折叠可知∠NMA ＝∠AMC ＝60°， ∴∠NMP ＝60°，且MN ＝CM ＝3. ∴MP ＝12MN ＝32，NP ＝32MN ＝3 3
2
.
∴此时N 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，
3
32. 综上可知N 点坐标为(0,2 3－3)或⎝ ⎛⎭
⎪⎫32
，
3
32. (3)如图4，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，
图4
则有AC ∥EF 且AC ＝EF ， ∴∠ACK ＝∠EFH .
在△ACK 和△EFH 中，⎩⎨⎧
∠ACK ＝∠EFH ，
∠AKC ＝∠EHF ，
AC ＝EF ，
∴△ACK ≌△EFH (AAS)． ∴FH ＝CK ＝1，HE ＝AK ＝2 3. ∵抛物线对称轴为x ＝－1， ∴F 点的横坐标为0或－2. ∵点F 在直线AB 上，
∴当F 点横坐标为0时，F 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，
2
33，此时点E 在直线AB 下方． ∴E 到y 轴的距离为EH －OF ＝2 3－2 33＝4 3
3
， 即E 点纵坐标为－
4 33.∴E ⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－
4 33. 当F 点的横坐标为－2时，F 与A 重合，不合题意，舍去．
综上可知存在满足条件的点F ，此时E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－4 33，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，2 33.。
中考数学 精讲篇 专题突破十三 二次函数的综合应用 类型一：二次函数与线段问题
当 x＝4 时，n＝ 33×42－233×4－ 3＝533，
5 3
∴点 E4，
3
.
33 ∴直线 AE 的解析式为 y＝ 3 x＋ 3 .
(2)令 x＝0，得 y＝－ 3，∴点 C(0，－ 3).
∵点
E4，5
3
3，∴直线
CE
的解析式为
2 y＝
3
3 x－
3.
过点 P 作 PH∥y 轴，交 CE 于点 H，如解图①.
(3)设点
Px，2
3
3x2－2
3
3x，则点
Q(x，－
3x＋
3)，
易得
2 PQ＝－ 3
3x2－
3 3 x＋
3，
23 ∵－ 3 ＜0，故 PQ 有最大值，
1 5 3
此时点
P
的坐标为－4，
24
.
1.(2021·安徽一模)如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝12x－2 与 x 轴 交于点 B，与 y 轴交于点 C，二次函数 y＝12x2＋bx＋c 的 图象经过 B，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点 A. (1)求二次函数的解析式及点 A 的坐标；
解：(1)抛物线的解析式为 y＝x2－4.
(2)将抛物线 y＝x2－4 向上平移 1 个单位得 y＝x2－3，
令 y＝0，则 x2－3＝0，得 x＝± 3，∴D(－ 3，0)，E( 3，0)，
∵OP＝1，∴P(0，1)，
∴直线 DF 的解析式为 y＝ 33x＋1，
联立yy＝＝x323－x＋3，1，解得yx11＝＝0－，
∴点 L 的坐标为－2，3153.
1 901 综上，线段 OL＋LK＋PK 的最小值为 4 ，
35 此时点 L 的坐标为－2，15.
江西省中考数学总复习 第1部分 基础过关 第三单元 函数 课时13 二次函数的综合与应用课件.ppt
2
2
化简得122k－3－m＝12k－2m＋3.则 2k－3－m＝k－2m ＋3，得到 k＋m＝6.∵1≤k<m≤n(k，m 均为正整 数)，∴当 k＝1 时，m＝5，相似比为 64∶1；当 k ＝2 时，m＝4，相似比为 8∶1.
3 ． (2015) 如 图 5 ， 已 知 二 次 函数L1：y＝ax2－2ax＋a＋3 (a ＞0)和二次函数L2：y＝－a(x＋ 1)2＋1 (a＞0)图象的顶点分别为 M，N，与y轴分别交于点E，F.
B，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若
存在，求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明
理由．
解：(1)∵C1，C2关于y轴对称， ∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形 状、大小均相同．
∴a＝1，n＝－3.
∴C1的对称轴为x＝1. ∴C2的对称轴为x＝－1. ∴m＝2.
∴C1的函数表达式为y＝x2－2x－3， C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3.
2 1 2
2k－3
＝
2m －3
2 1 2
k
，
m
化简，得122(k－m)＝12k－m.则 2(k－m)＝k－m. 则 k－m＝0，与题意中 1≤k＜m≤n (k，m
均为正整数)的条件不符．
ii) 若 Rt △ AkBkBk ＋ 1 ∽ Rt △ Bm ＋ 1BmAm ， 则
12k－3 1k
BAmBkBmk＋1＝BAkmBBk＋m1，代入得21 m ＝122m －3，
解：(1)【提示】∵二次函数L1：y＝ax2－2ax ＋a＋3＝a(x－1)2＋3，∴顶点M坐标为(1,3)．∵a
＞0，∴函数y＝ax2－2ax＋a＋3(a＞0)的最小值
为3.∵二次函数L1的对称轴为x＝1，当x≤1时，y 随x的增大而减小；二次函数L2：y＝－a(x＋1)2 ＋1的对称轴为x＝－1，当x≥－1时，y随x的增大
江西省中考数学教材知识复习第三章函数课时21二次函数的综合应用课件
1．(2016· 聊城)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)的图 象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝ 是( A ) 的图象可能
2．(2015· 黔东南)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列
结论正确的是( D )
A．a＜0，b＜0，c＞0，b2－4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2－4ac＜0 C．a＜0，b＞0，c＜0，b2－4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2－4ac＞0 8 ． 3．若抛物线y＝2x2＋8x＋m与x轴只有一个公共点，则m＝____ 4．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取 －1＜x＜3 ． 值范围是____________
考点三 [例3]
二次函数与几何图形的联系
(2015· 苏州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，
0)，C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴，如图所示．
(1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时， 求点P的坐标； (3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？ 若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标； 若不存在，请说明理由．
[解答] (1)设顶点为(h，k)的二次函数的关系式为y＝a(x－h)2＋k，
当a＝2，h＝3，k＝4时， 二次函数的关系式为y＝2(x－3)2＋4.
∵2＞0，
∴该二次函数图象的开口向上． 当a＝3，h＝3，k＝4时，
二次函数的关系式为y＝3(x－3)2＋4.
∵3＞0， ∴该二次函数图象的开口向上．
对应观察：当x＝±1时，函数y的值 的正负性；也即看抛物线上点(1，a ＋b＋c)所处的象限；或者看(－1，a －b＋c)所处的象限．
中考数学总复习第三单元函数第13课时二次函数的图像与性质课件
图13-2
图 13-3
[答案] B
[解析] 抛物线 y=ax2+bx+c 的开口方向向上,
则 a>0.对称轴在 y 轴的右侧,则 a,b 异号,所
以 b<0,故-b>0.又因为抛物线与 x 轴有两个
交点,所以 b2-4ac>0,所以直线 y=-bx+b2-4ac
经过第一、二、三象限.当 x=-1 时,y>0,即
第 13 课时 二次函数的图像与性质
课前双基巩固
考点聚焦
考点一 二次函数的概念
1.二次函数的定义
定义
一般地,如果两个变量 x 和 y 之间的函数关系可以表示成① y=ax2+bx+c
(a,b,c 是常数,且 a≠0),那么称 y 是 x 的二次函数
二次函数 y=ax2+bx+c (1)等号右边是关于自变量 x 的二次式,x 的最高次数是 2;
的增大而 减小 ,简记为“左增右减”
最值
抛物线有最低点,当 x=- b 时,y 有最 小 2a
抛物线有最高点,当 x=- b 时,y 有最 大 2a
值,y
最小值=
4ac -b2 4a
值,y
最大值=
4ac -b2 4a
二次项系数 a 的 特性
������ 的大小决定抛物线的开口大小, ������ 越大,抛物线的开口越小; ������ 越小,抛物线的开口越大
的结构特征
(2)二次项系数 a≠0
课前双基巩固
2.二次函数的三种表示形式
(1)一般式:② y=ax2+bx+c(a≠0) . (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数图像的顶点坐标是③ (h,k) . (3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).其图像与 x 轴的交点的坐标为④ (x1,0) ,⑤ (x2,0) .
中考数学总复习课时训练(专题(13)二次函数的图象与性质(一)附详细解析参考答案
课时训练(十三)二次函数的图象与性质(一)[限时:分钟]夯实基础1.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()A.(-2,5)B.(-2,-5)C.(2,5)D.(2,-5)2.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴,且经过点(0,1)的是()A.y=(x-2)2+1B.y=(x+2)2+1C.y=(x-2)2-3D.y=(x+2)2-33.[2018·河西区结课考]已知函数y=(x-1)2,下列结论正确的是()A.当x>0时,y随x的增大而减小B.当x<0时,y随x的增大而增大C.当x<1时,y随x的增大而减小D.当x<-1时,y随x的增大而增大4.[2021·绍兴]关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是()A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值65.[2021·上海]将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位,以下说法错误的是()A.开口方向不变B.对称轴不变C.y随x的变化情况不变D.与y轴的交点不变6.[2021·泰安]将抛物线y=-x2-2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过点()A.(-2,2)B.(-1,1)C.(0,6)D.(1,-3)7.[2021·陕西]下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值:x…-2 0 1 3 …y… 6 -4 -6 -4 …下列各选项中,正确的是()A.这个函数的图象开口向下B.这个函数的图象与x轴无交点C.这个函数的最小值小于-6D.当x>1时,y的值随x值的增大而增大8.对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为.9.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是.10.[2018·河西区一模]请写出一个二次函数的解析式,满足其图象过点(1,0),且与x轴有两个不同的交点:.11.[2021·广东]把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为.12.(1)已知二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点(1,3)和(3,-5),求a,b的值.(2)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为1和2.求这个二次函数的表达式.13.[2021·宁波]如图K13-1,二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)的图象的对称轴为直线x=2. (1)求a 的值;(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.图K13-1能力提升14.[2019·河西区二模]已知抛物线y=x 2+2mx-3m (m 是常数),且无论m 取何值,该抛物线都经过某定点H ,则点H 的坐标为 ( ) A .-32,1B .-32,-1C .32,94D .-32,9415.[2021·福建]二次函数y=ax 2-2ax+c (a>0)的图象过A (-3,y 1),B (-1,y 2),C (2,y 3),D (4,y 4)四个点,下列说法一定正确的是( ) A .若y 1y 2>0,则y 3y 4>0 B .若y 1y 4>0,则y 2y 3>0 C .若y 2y 4<0,则y 1y 3<0D .若y 3y 4<0,则y 1y 2<016.如图K13-2,抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于点A ,B (m+2,0),与y 轴相交于点C ,点D 在该抛物线上,坐标为(m ,c ),则点A 的坐标是 .图K13-217.[2021·北京]在平面直角坐标系xOy 中,点(1,m )和点(3,n )在抛物线y=ax 2+bx (a>0)上. (1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴.(2)已知点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上.若mn<0,比较y 1,y 2,y 3的大小,并说明理由.【参考答案】1.C2.C3.C4.D5.D [解析] 将二次函数图象向下平移,不改变开口方向,故A 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变对称轴,故B 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变函数的增减性,故C 正确;抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)与y 轴的交点坐标为(0,c ),将二次函数的图象向下平移两个单位,与y 轴的交点坐标为(0,c-2),改变,故D 错误.6.B [解析] y=-x 2-2x+3=-(x 2+2x )+3=-[(x+1)2-1]+3=-(x+1)2+4, ∵将抛物线y=-x 2-2x+3向右平移1个单位,再向下平移2个单位, ∴得到的抛物线的解析式为y=-x 2+2.将选项中的四个坐标代入可知,只有B 选项中的坐标符合题意.7.C [解析] 设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ,由题知{6=a ×(-2)2+b ×(-2)+c ,-4=c ,-6=a +b +c ,解得{a =1,b =-3,c =-4,∴二次函数的解析式为y=x 2-3x-4=(x-4)(x+1)=x-322-254,∴函数图象开口向上,∴A 错误;∵图象与x 轴的交点为(4,0)和(-1,0),∴B 错误;∵当x=32时,函数有最小值为-254,∴C 正确;∵函数图象的对称轴为直线x=32,根据图象可知当x>32时,y 的值随x 值的增大而增大,∴D 错误. 8.直线x=2 9.(1,4)10.y=x 2-3x+2(答案不唯一) [解析] ∵抛物线过点(1,0),∴设抛物线的解析式为y=a (x-1)(x-m ). ∵抛物线与x 轴有两个不同的交点,∴m ≠1,取a=1,m=2,则抛物线的解析式为y=(x-1)(x-2)=x 2-3x+2. 11.y=2x 2+4x12.解:(1)将(1,3)和(3,-5)分别代入y=ax 2+bx+1, 得:{a +b +1=3,9a +3b +1=-5,解得:{a =-2,b =4.∴a 的值为-2,b 的值为4.(2)由题意得,二次函数的图象经过点(1,0)和(2,0), 将(1,0)和(2,0)分别代入y=-x 2+bx+c , 得{-1+b +c =0,-4+2b +c =0,解得{b =3,c =-2, ∴这个二次函数的表达式为y=-x 2+3x-2.13.解:(1)由二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)知,该抛物线与x 轴的交点坐标是(1,0)和(a ,0). ∵对称轴为直线x=2,∴1+a 2=2.解得a=3.(2)由(1)知a=3,则该抛物线解析式是:y=x 2-4x+3,由抛物线向下平移3个单位后经过原点,得平移后图象所对应的二次函数的表达式是y=x 2-4x. 14.C [解析] 由y=x 2+2mx-3m=x 2+m (2x-3)可知当x=32时,无论m 取何值y 都等于94,∴点H 的坐标为32,94.15.C [解析] ∵y=ax 2-2ax+c=a (x-1)2-a+c ,∴抛物线的对称轴为直线x=1,∴四点中距离对称轴远近关系从远到近排列为:A ,D ,B ,C ,当y 2y 4<0时,一定是y 2<0,y 4>0,根据对称性判断y 3<0,y 1>0,∴y 1y 3<0,因此本题选C .16.(-2,0) [解析] 由C (0,c ),D (m ,c ),得函数图象的对称轴是直线x=m2,设A 点坐标为(x ,0),由A ,B 关于对称轴x=m2对称可得x+m+22=m 2,解得x=-2,即A 点坐标为(-2,0).17.解:(1)∵m=3,n=15, ∴点(1,3),(3,15)在抛物线上,将(1,3),(3,15)的坐标代入y=ax 2+bx 得: {3=a +b ,15=9a +3b ,解得{a =1,b =2,∴y=x 2+2x=(x+1)2-1, ∴抛物线对称轴为直线x=-1.(2)由题意得:抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0),则由mn<0可得:①当m>0,n<0时,由抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0)可得此时的抛物线开口向下,即a<0,与a>0矛盾; ②当m<0,n>0时,∵抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0), ∴此时抛物线的对称轴的范围为12<-b2a <32, ∵点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上,∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为32<-b2a-(-1)<52,12<2--b2a<32,52<4--b2a<72,∵a>0,开口向上,∴由抛物线的性质可知离对称轴越近y 越小, ∴y 2<y 1<y 3.。
中考数学复习讲义课件 第3单元 第13讲 二次函数的图象与性质
次函数的解析式为 y＝－(x－2)2＋2(或 y＝－x2＋4x－2)
；由所得
到的平移后二次函数的解析式知，当－1≤x≤3 时，平移后二次函数的最大 值为 2 ，最小值为 －7 .
1．(2021·江西)在同一平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2 与一次函数 y＝ bx＋c 的图象如图所示，则二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象可能是( D )
∵n 为正数，∴n＝5. ∴点 A 的坐标为(－4，16)，点 B 的坐标为(5，7)． ∵抛物线开口向上，顶点坐标为(1，－9)， ∴抛物线顶点在 AB 下方． ∴－4＜xP＜5，－9≤yP＜16.
13．(2021·广元)将二次函数 y＝－x2＋2x＋3 的图象在 x 轴上方的部分沿 x
轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线 y＝x＋b 与新函数的图象恰
(2)直线 l 交抛物线于点 A(－4，m)，B(n，7)，n 为正数．若点 P 在抛物线 上且在直线 l 下方(不与点 A，B 重合)，分别求出点 P 横坐标与纵坐标的取 值范围． 解：把 A(－4，m)代入 y＝x2－2x－8，得 m＝(－4)2－2×(－4)－8＝16. 把 B(n，7)代入 y＝x2－2x－8，得 7＝n2－2n－8，解得 n1＝5，n2＝－3.
18．(2021·永州)已知关于 x 的二次函数 y1＝x2＋bx＋c(实数 b，c 为常数)． (1)若二次函数的图象经过点(0，4)，对称轴为 x＝1，求此二次函数的表达式； 解：∵二次函数的图象经过点(0，4)，∴c＝4. ∵对称轴为直线 x＝－b2＝1，∴b＝－2. ∴此二次函数的表达式为 y1＝x2－2x＋4.
共点，则 b＋c 的值为( C )
A．－1
B．2
C．3
2018江西中考数学复习课件3.5二次函数及其图象 (江西)
（2）|a|越大，抛物线开口越小，|a|越小，抛物线开口越大.
2.b的作用：决定顶点的位置.
（1）a，b同号，对称轴在y轴左侧.
（2）a，b异号，对称轴在y轴右侧. （3）b＝0，对称轴为y轴.
3.c的作用：决定抛物线与y轴的交点位置.
（1）c＞0时，抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上.
（2）c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上.
知识体系图
二次函数的概念 平移 二次函数所描述的关系 用三种方法表示 解析法 图象法 列表法
开口方向
二次函数及其图象 二次函数的图象及性质 对称轴 顶点坐标
增减性
最值 与坐标轴的位置关系 利用二次函数的图象求 一元二次方程跟的近似值
二次函数与一元二次方程
3.5.1 二次函数的概念
定义：形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二 次函数.
【答案】B
【例2】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于 点A（-1,0），与y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这 两点），对称轴为直线x=1，下列结论： （ ） ①abc＞0 ③4ac-b2＜8a ⑤ b＞ c A.①③ B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤ ②4a+2b+c＞0
【例1】抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b
c 与反比例函数 y 在同一平面直角坐标系内的图象大致为 x
Байду номын сангаас
（ ）
【解析】此题考查了二次函数图象，反比例函数图象与一次函数图象的关系， 根据二次函数图象的性质可以看出a＞0，b＜0，c＜0.所以一次函数y=ax+b图
江西省中考数学总复习第1部分基础过关第三单元函数课时13二次函数的综合与应用作业
精选文档课时13 二次函数的综合与应用(：60分分：35分)分准：填空每3分．基关1．烟花厂某旅行特制作一种新式礼炮，种礼炮的升空高度h(m)与行52t(s)的关系式是h＝－2t＋20t＋1，假定种礼炮在点火升空到最高点引爆，从点火升空到引爆需要的( )A．3s B．4sC．5s D．6s2．州的拱是近似的抛物形，成立如1所示的平面直角坐系，其函数的关系式y＝－1x2，当水面离拱的高度DO是2m，水面度AB ( )251A．－10m B．－5 2mC．5 2m D．10 2m3．某种商品的价 40元，在某段内假定以每件x元销售，可出(100－x)件，当x＝__________利最大．4．(7分)如2，某球使用球机行助，出球口在桌面中端点A的正上方，假每次出的球的运路固定不，且落在中上，在球运转，球与端点A的水平距离x(米)，与桌面的垂直距离 y(米)，运转 t(秒)，多次后，获得以下表的局部数据：t(秒)0⋯精选文档x(米)012⋯y(米)⋯(1)2(2)当t何，球抵达最大高度？(3)球落在桌面，与端点A的水平距离是多少？15．(9分)如图3，抛物线C1：y1＝ax2＋2ax(a＞0)与x轴交于点A，极点为点P.图3直接写出抛物线C1的对称轴是______________，用含a的代数式表示极点P的坐标__________；(2)把抛物线1绕点(0)旋转180°获得抛物线2(此中＞0)，抛物线2与x 轴右边C Mm,C m C 的交点为点B，极点为点Q.①当m＝1时，求线段AB的长；②在①的条件下，△能否能为等腰三角形，假定能，恳求出a 的值，假定不可以，请说明ABP原因；③当四边形APBQ为矩形时，恳求出m与a之间的数目关系，并直接写出当a＝3时矩形APBQ的面积．拓展提高1．(10分)(2021随州改编)在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax－a为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的“梦想直线〞；有一个极点在抛物线上，还有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形〞．图4备用图23243抛物线y＝－3x－3x＋23与其“梦想直线〞交于A，B两点(点A在点B2的左边)，与x 轴负半轴交于点C ．(1) 填空：该抛物线的“梦想直线〞的分析式为________________，点A 的坐标为__________，点B 的坐标为__________；(2) 如图4，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为 ，假定△ 为该抛物线的“梦想三角形〞，求点 N的坐标；N AMN(3) 当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线〞上，能否存在点 F ，使得四边形 ACEF 为平行四边形？假定存在，请直接写出点 E ，F 的坐标；假定不存在，请说明理由．课时13 二次函数的综合与应用根基过关4．解：(1)由表格中数据可知，当 t ＝秒时，乒乓球抵达最大高度．以点A 为原点，桌面中线为x 轴，乒乓球水平运动方向为正方向成立直角坐标系．由表格中数据可判断， y 是x 的二次函数，且极点为 (1,0.45)，∴可设y ＝m (x －1)2＋，将(0,0.25)代入，得＝(0－1)2 ＋，解得 ＝－0.2.mmy ＝－0.2(x －1)2＋0.45.当y ＝0时，－0.2(x －1)2＋＝0，解得x ＝或x ＝－0.5(舍去)．∴乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是米． 5．解：(1)直线x ＝－1，(－1，－a )；【提示】抛物线 C 1：y 1＝ax 2＋2ax ＝a (x ＋1)2－a ， ∴x ＝－1，P (－1，－a )．①由旋转知，MA ＝MB ，当y 1＝0时，x 1＝－2，x 2＝0， ∴A (－2,0)．∴AO ＝2. M (1,0)，∴AM ＝3. AB ＝2AM ＝2×3＝6.②∵A (－2,0)，AB ＝6，∴B (4,0) ． A (－2,0)，P (－1，－a )，∴AP ＝ 12＋ －a2＝ 1＋a 2，BP ＝ 25＋a 2. 当AB ＝AP 时，1＋a 2＝62，解得a ＝ 35(负值已舍去)；当AB ＝BP 时，25＋a 2＝62，解得a ＝11(负值已舍去)；当AP ＝BP 时，1＋a 2＝25＋a 2，不可立， 即当a 取 35或 11时，△ABP 为等腰三角形；3③如图1，过点P 作PH ⊥x 轴于H ， 图1BM ＝AM ＝2＋m ，BH ＝BM ＋OM ＋OH ＝2＋m ＋m ＋1＝2m ＋3.∵点A 与点B ，点P 与点 Q 均对于M 点成中心对称，∴四边形 APBQ 为平行四边形．当∠＝90°时，四边形为矩形，APBAPBQ此时△APH ∽△PBH ，AH HP1a ∴＝，即 ＝2＋3.HP BH am21 2 3∴a ＝2m ＋3.∴m ＝2a －2.1 23 当a ＝3时，m ＝2×3－2＝3，S ＝(2m ＋4)a ＝(2×3＋4)×3＝30.拓展提高1.解：(1)y2 3x＋233)，(1,0) ；＝－3，(－2,2323 24 3【提示】∵抛物线y ＝－ 3 x － 3x ＋23，2 323∴其“梦想直线〞的分析式为 y ＝－3x ＋3.联立“梦想直线〞与抛物线分析式可得2 323y ＝－ 3 x ＋3，x ＝－2，x ＝1，解得或2 3243y ＝23.y ＝0.y ＝－ 3 x －3x ＋23，(2) A (－2,23)，B (1,0)．当点N 在y 轴上时，△AMN 为梦想三角形，如图2，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，那么AD ＝2，4图223243在y＝－3x－3x＋23中，2令y＝0可求得x＝－3或x＝1，3∴C(－3,0)，B(1,0)．4∴AC＝－2＋32＋ 2 32＝13，BC＝4.5由翻折的性质可知AN＝AC＝13，2在Rt△AND中，DN＝AN－AD＝13－4＝3，∵OD＝23，∴ON＝23－3或ON＝23＋3.当＝23＋3时，那么＝＞＞，与点在线段上矛盾，不合题意，ON CMMNONBC M BC ∴N点坐标为(0,23－3)．当点在y 轴上时，那么与重合，过N作⊥轴于点，如图3，M M O NPx P图3在Rt△AMD中，AD＝2，OD＝23，∴tan∠DAM＝MD3.∴∠DAM＝60°.＝ADAD∥x轴，∴∠AMC＝∠DAM＝60°.又由折叠可知∠NMA＝∠AMC＝60°，∴∠NMP＝60°，且MN＝CM＝3.∴＝13333＝，＝＝.MP2MN2NP2MN2∴此时N点坐标为3，33.22综上可知N点坐标为(0,23－3)或3，33.225如图4，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，图4那么有AC∥EF且AC＝EF，∴∠ACK＝∠EFH.ACK＝∠EFH，在△ACK和△EFH中，∠AKC＝∠EHF，AC＝EF，∴△ACK≌△EFH(AAS)．FH＝CK＝1，HE＝AK＝23.∵抛物线对称轴为x＝－1，∴F点的横坐标为0或－2.∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，F的坐标为0，23，此时点E在直线AB下方．3∴E到y轴的距离为EH－OF＝23－2343 3＝3，即E点纵坐标为－4343..∴E－1，－33当F点的横坐标为－2时，F与A重合，不合题意，舍去．综上可知存在知足条件的点F，此时E－1，－43，F0，23.336。
中考数学总复习第三单元函数课时训练二次函数的图象和性质二
课时训练(十五)二次函数的图象和性质(二)(限时:50分钟)|夯实基础|1.[2018·毕节]将抛物线y=x2向左平移2个单位,再向下平移5个单位,平移后所得新抛物线的表达式为()A.y=(x+2)2-5B.y=(x+2)2+5C.y=(x-2)2-5D.y=(x-2)2+52.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2018的值为()A.2015B.2016C.2017D.20193.[2017·枣庄]已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是()A.当a=1时,函数图象经过点(-1,1)B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点C.若a<0,函数图象的顶点始终在x轴的下方D.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大4.若抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有交点,则m的取值范围是()A.m≤2B.m<-2C.m>2D.0<m≤25.若二次函数y=x2+mx图象的对称轴是直线x=2,则关于x的方程x2+mx=5的解为()A.x1=1,x2=5B.x1=1,x2=3C.x1=1,x2=-5D.x1=-1,x2=56.二次函数y=ax2+bx的图象如图K15-1,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为()图K15-1A.-3B.3C.-6D.97.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K15-2所示,则|a-b+c|+|2a+b|=()图K15-2A.a+bB.a-2bC.a-bD.3a8.若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点,则m的取值范围是.9.[2018·淮安]将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是.10.[2017·株洲]如图K15-3,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴在y轴的右侧,其图象与x轴交于点A(-1,0),点C(x2,0),且与y轴交于点B(0,-2),小强得到以下结论:①0<a<2;②-1<b<0;③c=-1;④当|a|=|b|时,x2>√5-1.以上结论中,正确的结论序号是.图K15-311.已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点..(2)若该抛物线的对称轴为直线x=52①求该抛物线所对应的函数表达式;②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点?|拓展提升|12.[2018·永州]如图K15-4①,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B,C两点,与y轴交于点E(0,3).(1)求抛物线的表达式.(2)已知点F(0,-3),在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得EG+FG最小?如果存在,求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由.(3)如图K15-4②,连接AB,若点P是线段OE上的一动点,过点P作线段AB的垂线,分别与线段AB、抛物线相交于点M,N(点M,N都在抛物线对称轴的右侧),当MN最大时,求△PON的面积.图K15-413.[2018·怀化]如图K15-5,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的表达式和直线AC的表达式.(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标.(3)试探究:在抛物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.图K15-5参考答案1.A2.D[解析] ∵抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),∴m2-m-1=0,∴m2-m=1,∴m2-m+2018=1+2018=2019.3.D[解析] 将a=1代入原函数表达式,令x=-1,求出y=2,由此得出A选项不符合题意;将a=-2代入原函数表达式,得y=-2x2+4x-1,令y=0,根据根的判别式Δ=8>0,可得出当a=-2时,函数图象与x轴有两个不同的交点,即B选项不符合题意;利用公式法找出二次函数图象的顶点坐标,令其纵坐标小于零,可得出a的取值范围,由此可得出C选项不符合题意;利用公式法找出二次函数图象的对称轴,结合二次函数的性质,即可得出D选项符合题意.4.A[解析] 由题意可知Δ=4-4(m-1)≥0,∴m≤2,故选A.=2,解得m=-4,∴关于x的方程x2+mx=5可化为5.D[解析] ∵二次函数y=x2+mx图象的对称轴是直线x=2,∴-m2x2-4x-5=0,即(x+1)(x-5)=0,解得x1=-1,x2=5.6.B[解析] ∵抛物线的开口向上,顶点的纵坐标为-3,=-3,即b2=12a.∴a>0,-m24m∵关于x的一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,∴Δ=b2-4am≥0,即12a-4am≥0,即12-4m≥0,解得m≤3,∴m的最大值为3., 7.D[解析] 根据二次函数y=ax2+bx+c的图象可知,a>0,又抛物线过坐标原点,∴c=0.∵抛物线的对称轴为直线x=-m2m <1,解得-2a<b<0,∴|a-b+c|=a-b,|2a+b|=2a+b,∴|a-b+c|+|2a+b|=a-b+2a+b=3a.∴0<-m2m8.m>1[解析] 根据抛物线y=x2+2x+m与x轴没有公共点可知,方程x2+2x+m=0没有实数根,∴判别式Δ=22-4×1×m<0,∴m>1. 9.y=x 2+210.①④ [解析] 由图象可知抛物线开口向上,∴a>0,由抛物线经过A (-1,0),B (0,-2),对称轴在y 轴的右侧可得{m -m +m =0,m =−2,-m 2m >0,由此可得a-b=2,b<0,故a=2+b<2,综合可知0<a<2.将a=b+2代入0<a<2中,得0<b+2<2,可得-2<b<0. 当|a|=|b|时,因为a>0,b<0,故有a=-b.又a-b=2,可得a=1,b=-1,故原函数为y=x 2-x-2,当y=0时,即有x 2-x-2=0,解得x 1=-1,x 2=2,x 2=2>√5-1. 故答案为①④.11.解:(1)证明:y=(x-m )2-(x-m )=x 2-(2m+1)x+m 2+m , ∵Δ=(2m+1)2-4(m 2+m )=1>0,∴不论m 为何值,该抛物线与x 轴一定有两个公共点.(2)①∵x=--(2m +1)2=52,∴m=2,∴抛物线所对应的函数表达式为y=x 2-5x+6.②设抛物线沿y 轴向上平移k 个单位后,得到的抛物线与x 轴只有一个公共点,则平移后抛物线所对应的函数表达式为y=x 2-5x+6+k.∵抛物线y=x 2-5x+6+k 与x 轴只有一个公共点, ∴Δ=25-4(6+k )=0,∴k=14,即把该抛物线沿y 轴向上平移14个单位后,得到的抛物线与x 轴只有一个公共点.12.解:(1)设所求二次函数的表达式为y=a (x-1)2+4,∵抛物线与y 轴交于点E (0,3),∴a (0-1)2+4=3,解得a=-1,∴所求二次函数的表达式为y=-(x-1)2+4,即y=-x 2+2x+3.(2)存在一点G ,使得EG+FG 最小. ∵抛物线的顶点A 的坐标为(1,4),∴与点E (0,3)关于抛物线对称轴x=1成轴对称的点为E'(2,3).如图①,连接E'F ,设直线E'F 的函数表达式为y=kx+b , ∴{2m +m =3,m =−3,解得{m =3,m =−3,即y=3x-3, 当x=1时,y=0,即点G (1,0),使得EG+FG 最小.(3)如图②,连接AN ,BN ,过点N 作NT ∥y 轴交AB ,x 轴分别于点S ,T. 在y=-x 2+2x+3中,当y=0时,x 1=-1,x 2=3, 则B (3,0).∵A (1,4),B (3,0),∴AB=2√5. 设直线AB 的函数表达式为y=mx+t ,∴{m +m =4,3m +m =0,解得{m =−2,m =6,即y=-2x+6. 设N (n ,-n 2+2n+3),则S (n ,-2n+6),∴NS=-n 2+4n-3. ∵S △ABN =S △ANS +S △BNS ,∴12AB ·MN=12NS ·(3-1),∴MN=√55(-n 2+4n-3)=-√55(n 2-4n+3)=-√55(n-2)2+√55,∴当n=2,即N (2,3)时,MN 最大,为√55.∵PN ⊥AB ,∴设直线PN 的函数表达式为y=12x+c ,且N (2,3),∴c=2,则y=12x+2, ∴点P (0,2),∴S △OPN =12OP ·x N =12×2×2=2.13.[解析] (1)利用待定系数法求抛物线和直线的表达式.(2)根据轴对称确定最短路线问题,作点D 关于y 轴的对称点D 1,连接BD 1,BD 1与y 轴的交点即为所求的点M ,然后求出直线BD 1的表达式,再求解即可.(3)可分两种情况(①以C 为直角顶点,②以A 为直角顶点)讨论,然后根据两直线垂直的关系求出P 点所在直线的表达式,将直线和抛物线的表达式联立求出点P 的坐标.解:(1)将点A (-1,0)和B (3,0)的坐标代入抛物线y=ax 2+2x+c 中,可得{m -2+m =0,9m +6+m =0,解得{m =−1,m =3,∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3. 令x=0,则y=3,∴点C 的坐标为(0,3). 设直线AC 的表达式为y=kx+b , 则{-m +m =0,m =3,解得{m =3,m =3.∴直线AC 的表达式为y=3x+3.(2)如图,作点D 关于y 轴的对称点D 1,连接BD 1交y 轴于点M ,则点M 即为所求.由抛物线表达式可得D 点的坐标为(1,4),则D 1的坐标为(-1,4). 设直线BD 1的表达式为y=k 1x+b 1,则{3m 1+m 1=0,-m 1+m 1=4,解得{m 1=−1,m 1=3,则直线BD 1的表达式为y=-x+3,令x=0可得y=3,则点M 的坐标为(0,3). (3)存在.如图①,当△ACP 以点C 为直角顶点时,易得直线CP 的表达式为y=-13x+3. 由{m =−13m +3,m =−m 2+2m +3,得{m 1=0,m 1=3(舍去){m 2=73,m 2=209, ∴P 点坐标为73,209.如图②,当△ACP 是以点A 为直角顶点时,易得直线AP 的表达式为y=-13x-13.由{m =−13m -13,m =−m 2+2m +3,得{m 1=−1,m 1=0(舍去){m 2=103,m 2=−139, ∴P 点坐标为103,-139. 综上,符合条件的点P 的坐标为73,209或103,-139.。
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附带答案
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图是二次函数 y 1=ax 2+bx +c(a ≠0) 和一次函数 y 2=mx +n(m ≠0) 的图象.则下列结论正确的是（ ）A ．若点 M(−2，d 1)，N(12，d 2)，P(2，d 3) 在二次函数图象上，则 d 1<d 2<d 3B ．当 x <−12或 x >3 时C ．2a −b =0D ．当 x =k 2+2 （ k 为实数）时2．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线的图象如图所示，当y 1≠y 2时，则取y 1，y 2中的较大值记为N ；当y 1=y 2时，则N=y 1=y 2．则下列说法：①当0＜x ＜2时，则N=y 1；②N 随x 的增大而增大的取值范围是x ＜0；③取y 1，y 2中的较小值记为M ，则使得M 大于4的x 值不存在；④若N=2，则x=2﹣√2或x=1．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知抛物线y 1= 14（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）交x 轴于A （x 1，0）B （x 2，0）两点，且点A 在点B 的左边，直线y 2=2x+t 经过点A ．若函数y=y 1+y 2的图象与x 轴只有一个公共点时，则则线段AB 的长为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．无法确定4．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 和直线y ＝kx +b 都经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴为x ＝1，那么下列说法正确的是（ ）A ．ac ＞0B ．b 2﹣4ac ＜0C ．k ＝2a +cD ．x ＝4是ax 2+（b ﹣k ）x +c ＜b 的解5．直线y=ax ﹣6与抛物线y=x 2﹣4x+3只有一个交点，则a 的值为（ ）A ．a=2B ．a=10C ．a=2或a=﹣10D ．a=2或a=106．如图是函数y ＝x 2+bx+c 与y ＝x 的图象，有下列结论：（1）b 2﹣4c ＞0；（2）b+c+1＝0；（3）方程x 2+（b ﹣1）x+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝3；（4）当1＜x ＜3时，则x 2+（b ﹣1）x+c ＜0.其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．在直角坐标系中，直线y=x+2和抛物线y=x 2-x+1的若干组函数值如下表所示：x … 1 1.5 2 2.5 3 … y=x+2 … 3 3.5 4 4.5 6 … y=x 2-x+1…11.7534.7513…A ．1<x<1.5B ．1.5<Xx2C ．2<x<2.5D ．2.5<x<38．割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数 y=14(x −4)2的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（ ）A ．5B ．225C ．4D ．17﹣4π9．如图，“心”形是由抛物线 y =−x 2+6和它绕着原点O ，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C 的对应点为D ，点A ，B 是两条抛物线的两个交点，直线AB 为“心”形对称轴，点E ，F ，G 是抛物线与坐标轴的交点，则AB=（ ）A ．6√3B ．8C ．10D ．10√310．已知一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c ，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，抛物线y ＝﹣x 2+4x ﹣3与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于B 、D 两点．若直线y ＝kx ﹣k 与C 1、C 2共有3个不同的交点，则k 的最大值是（ ）A ．12B ．2 √5 ﹣6C ．6+4 √2D ．6﹣4 √212．在平面直角坐标系中，已知点 A(−1,4) ， B(2,1) 直线 AB 与 x 轴和 y 轴分别交于点 M ，N 若抛物线 y =x 2−bx +2 与直线 AB 有两个不同的交点，其中一个交点在线段 AN 上（包含 A ， N 两个端点），另一个交点在线段 BM 上（包含 B ， M 两个端点），则 b 的取值范围是（ ）A．1≤b≤52B．b≤1或b≥52C．52≤b≤113D．b≤52或b≥113二、填空题(共6题；共6分)13．如图，抛物线y=ax2﹣2与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=﹣12 x2于点B，C，则S△BOC= ．14．在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，写出一个满足条件的实数m的值为（写出一个即可）．15．如图，抛物线y=ax2+bx+1的顶点在直线y=kx+1上，对称轴为直线x=1，以下四个结论：①ab<0；②b<13；③a=−k；④当0<x<1其中正确的是．（填序号）16．如图，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．若抛物线y=x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为．17．已知抛物线p ：y=ax 2+bx+c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x轴的对称点为C ′，我们称以A 为顶点且过点C ′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC ′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x 2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为 ．18．如图，抛物线y=13x 2﹣4√33x+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点M 的坐标为（2√3，1）．以M 为圆心，2为半径作⊙M ．则下列说法正确的是 （填序号）． ①tan ∠OAC=√3； ②直线AC 是⊙M 的切线； ③⊙M 过抛物线的顶点； ④点C 到⊙M 的最远距离为6；⑤连接MC ，MA ，则△AOC 与△AMC 关于直线AC 对称．三、综合题(共6题；共73分)19．在平面直角坐标系中，已知A ，B 是抛物线y=ax 2（a ＞0）上两个不同的点，其中A 在第二象限，B 在第一象限．（1）如图1所示，当直线AB 与x 轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，则求此抛物线的解析式和A ，B 两点的横坐标的乘积；（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB 与x 轴不平行，∠AOB 仍为90°时，则求证：A、B两点横坐标的乘积是一个定值；（3）在（2）的条件下，如果直线AB与x轴、y轴分别交于点P、D，且点B的横坐标为1 2．那么在x轴上是否存在一点Q，使△QDP为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．某公司成功开发出一种产品，正式投产后，生产成本为5元/件.公司按订单生产该产品（销售量=产量），年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足如图1所示的函数关系，公司规定产品售价不超过15元/件，受产能限制，年销售量不超过30万件；为了提高该产品竞争力，投入研发费用P 万元（P万元计入成本），P与x之间的函数关系式如图2所示，当10≤x≤15时可看成抛物线P= 14x2−4x+m.（1）求y与x之间的函数关系式.（2）求这种产品年利润W（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式.（3）当售价x为多少元时，则年利润W最大，并求出这个最大值.21．如图，抛物线y＝ax2＋32 x＋c（a≠0）与x轴交于点A，B两点，其中A(－1，0)，与y轴交于点C(0，2)．（1）求抛物线的表达式及点B坐标；（2）点E是线段BC上的任意一点（点E与B、C不重合），过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G．①设点E的横坐标为m，用含有m的代数式表示线段EF的长；②线段EF长的最大值是．22．已经二次函数y=ax2+bx+1 .（1）如图，其图象与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1 .①求二次函数解析式；②F为线段BC上一点，过F分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为E、F，当四边形OEFG为正方形时，则求点F坐标；（2）其图象上仅有一个点的横坐标、纵坐标互为相反数，且二次函数y=ax2+bx+1函数值存在负数，求b的取值范围.23．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，则min{a，b}=b；当a＜b时，则min{a，b}=a．如：min{1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1．（1）求min{x2﹣1，﹣2}；（2）已知min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数k的取值范围；（3）已知当﹣2≤x≤3时，则min{x2﹣2x﹣15，m（x+1）}=x2﹣2x﹣15．直接写出实数m的取值范围．24．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）与售价x（元/件）的函数关系式为y={−2x+140，(40≤x<60)−x+80.(60≤x≤70)（1）当售价为60元/件时，则年销售量为万件；（2）当售价为多少时，则销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？（3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出x的取值范围.参考答案1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】C 12．【答案】C 13．【答案】414．【答案】1（答案不唯一） 15．【答案】①③④16．【答案】（1，﹣4）和（﹣2，5） 17．【答案】y=x 2﹣2x ﹣3 18．【答案】①②③④ 19．【答案】（1）解：如图1作BE ⊥x 轴∴△AOB 是等腰直角三角形 ∴BE=OE= 12AB=1∴A （﹣1，1），B （1，1）∴A ，B 两点的横坐标的乘积为﹣1×1=﹣1∵抛物线y=ax 2（a ＞0）过A ，B ∴a=1 ∴抛物线y=x 2 （2）解：如图2作BN ⊥x 轴，作AM ⊥x 轴 ∴∠AOB=AMO=∠BNO=90° ∴∠MAO=∠BON ∴△AMO ∽△ONB ∴AM ON =OM BN ∴AM ×BN=OM ×ON设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在抛物线上 ∴AM=y 1=x 12，BN=y 2=x 22，OM=﹣x 1，ON=x 2 ∴x 12×x 22=﹣x 1×x 2 ∴x 1×x 2=﹣1∴A ，B 两点横坐标的乘积是一个定值；（3）解：由（2）得，A ，B 两点横坐标的乘积是一个定值为﹣1，∵点B 的横坐标为 12，∴点A 的横坐标为﹣2，∵A ，B 在抛物线上，∴A （﹣2，4），B （ 12 ， 14 ），∴直线AB 解析式为y=﹣ 32x+1，∴P （ 23 ，0），D （0，1）设Q （n ，0），∴DP 2= 139 ，PQ 2=（n ﹣ 23）2，DQ 2=n 2+1∵△QDP 为等腰三角形∴①DP=PQ ，∴DP 2=PQ 2，∴139 =（n ﹣ 23 ）2，∴n= 2±√133 ，∴Q 1（ 2+√133 ，0），Q 2（ 2−√133 ，0）②DP=DQ ，∴DP 2=DQ 2，∴139 =n 2+1，∴n= 23 （舍）或n=﹣ 23 ，Q 3（﹣ 23 ，0）③PQ=DQ ，∴PQ 2=DQ 2，∴（n ﹣ 23 ）2=n 2+1∴n=﹣ 512 ，∴Q4（﹣ 512 ，0），∴存在点Q 坐标为Q 1（ 2+√133 ，0），Q 2（2−√133 ，0），Q 3（﹣ 23 ，0），Q4（﹣ 512 ，0）20．【答案】（1）解：设y 与x 的函数关系式为：y=kx+b将点（5，30），（15，10）代入可得：{30=5k +b 10=15k +b解得：{b =40k =−2∴y 与x 的函数关系式为：y=-2x+40（5≤x ≤15）； （2）解：当5≤x ≤10时，则根据图像可得：P=60 ∴W=(x-5)y-P=(x-5)(-2x+40)-60=-2x 2+50x-260；当10≤x ≤15时，则P =14x 2−4x +m由图可得经过点（10，60），将其代入可得：60=14×102−4×10+m 解得：m=75∴P =14x 2−4x +75；∴W=(x-5)y-P=(x-5)(-2x+40)-(14x 2−4x +75)=−94x 2+54x −275；综上：W ={−2x 2+50x −260(5≤x ≤10)−94x 2+54x −275(10≤x ≤15)；（3）解：由（2）可得：当5≤x ≤10时W=-2x 2+50x-260=-2(x −252)2+1052∴x =252不在5≤x <10，由于开口向下在5≤x <10内随x 增大而增大 在x=10时，则取得最大值为W=40； 当10≤x ≤15时W=−94x 2+54x −275对称轴为x=−b2a=12 由于函数开口向下 ∴当x=12时，则W=49∴当x=12时，则W 取得最大值为49；综上可得：当售价为12元时，则年利润最大，最大为49万元.21．【答案】（1）解：将A(－1，0)、 C(0，2)代入y ＝ax 2＋ 32x ＋c （a ≠0）得：a ＝－ 12， c ＝2y ＝－ 12 x 2＋ 32x ＋2 当y ＝0时，则x 1＝－1，x 2＝4，故B(4，0)（2）解：设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将B(4，0)、 C(0，2)代入 得：y ＝－ x ＋2，EF ＝FG －GE ＝－ m 2＋ m ＋2－(－ m ＋2) ＝－ m 2＋2m ；2 22．【答案】（1）解：①由题： {a −b +1=0−b 2a =1 解得 {a =−13b =23∴ 二次函数解析式为： y =−13x 2+23x +1 ； ②设BC 解析式为： y =kx +b 对称轴为直线 x =1 .∵ 图象与x 轴交于点 A(−1,0) 和点B ，对称轴为直线 x =1 .∴ 点 B(3,0)将 B(3,0) ， C(0,1) 代入得： {3k +b =0b =1解得： {a =−13b =1∴BC 解析式为： y =−13x +1 设点 F(m,−13m +1) ∵ 四边形 OEFG 是正方形∴EF =GF∴m =−13m +1解得 m =34∴F(34,34) （2）解：二次函数的图象其有且只有一个点横、纵坐标之和互为相反数∴−x =ax 2+bx +1 有两相等实根，即 ax 2+(b +1)x +1=0 有两相等实根 ∴{a ≠0(b +1)2−4a =0解得： a =(b+1)24>0 ，且 b ≠−1 ∵y =ax 2+bx +1 存在负值∴b 2−4a =b 2−(b +1)2>0 ，解得 b <−12综上： b <−12且 b ≠−123．【答案】（1）解：∵x2≥0∴x2﹣1≥﹣1∴x2﹣1＞﹣2．∴min{x2﹣1，﹣2}=﹣2（2）解：∵x2﹣2x+k=（x﹣1）2+k﹣1∴（x﹣1）2+k﹣1≥k﹣1．∵min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3∴k﹣1≥﹣3．∴k≥﹣2（3）解：对于y=x2﹣2x﹣15，当x=﹣2时，则y=﹣7当x=3时，则y=﹣12由题意可知抛物线y=x2﹣2x﹣15与直线y=m（x+1）的交点坐标为（﹣2，﹣7），（3，﹣12）所以m的范围是：﹣3≤m≤7．24．【答案】（1）20（2）解：设销售该产品的年利润为W万元当40≤x<60时W=(x−30)(−2x+140)=−2(x−50)2+800 .∵－2<0∴当x=50时W最大=800当60≤x≤70时W=(x−30)(−x+80)=−(x−55)2+625∵−1<0∴当x=60时W最大=600∵800>600∴当x=50时W最大=800∴当售价为50元/件时，则年销售利润最大，最大为800万元.（3）解：45≤x≤55理由如下：由题意得(x−30)(−2x+140)≥750解得45≤x≤55。