2017年宁夏银川一中高考数学二模试卷(文科)(解析版)
宁夏银川2017届高三下学期二模考试数学文试题Word版含答案
银川九中2016---2017学年第二学期第二次模拟试卷高三年级数学（文科）试卷 （满分150） 命题人：王英伟一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.） 1.已知集合20x A xx ⎧-⎫=≤⎨⎬⎩⎭，{}0,1,2,3B =，则A B =（ ）. A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{1} D ．{1,2,3} 2.若复数()12a ia R i+∈+为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a = （ ） A ． -3 B ． -2 C ．2 D ．3 3．下列命题推断错误的是（ ）A ．命题“若x=y ，则sinx=siny”的逆否命题为真命题B ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题C ．“x=﹣1”是“x 2﹣5x ﹣6=0”的充分不必要条件D ．命题p ：存在x 0∈R ，使得，则非p ：任意x ∈R ，都有4．已知a ，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么b a 3+=（ ）A ．B ．C ．D ．45.如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（ ）A.4B.2C.32D.36. 已知点P 在抛物线2y =4x 上，那么点P 到 点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的横坐标为（ ） A.B. －C. －4D. 47．已知x 与y 之间的一组数据:x 0 1 2 3 ym35.57第5题图正视图俯视图AB DCD CA B已求得关于y与x 的线性回归方程为=2.1x+0.85,则m的值为( )A. 1B. 0.85C. 0.7D. 0.58．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（）个单位长度．A．向右平移 B．向右平移C．向左平移 D．向左平移9．若实数,x y满足约束条件220,240,2,x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则xy的取值范围是（）A.2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. []1,210．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A．21 B．22 C．23 D．2411．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A． B．C．D．12．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞﹣2f（x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1）的解集是（）A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，0）∪（0，1）C ．（﹣1，1）D ．（﹣1，0）∪（0，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上） 13．双曲线的离心率为 ．14．正项等比数列中，若，则等于______.15.下图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 ．16.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-⎪⎭⎫ ⎝⎛=)0(,)0(,721)(x x x x f x若1)(<a f ，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量)1,cos sin 3(x x m -= ，),21,(cox n =函数n m x f•=)( （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）若a ,b ,c 为ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边，32=a ，4=c ，且1)(=A f ，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？ 组号 分组频数 频率 第1组 [)165,160 5 0.050 第2组 [)170,165 ① 0.350 第3组 [)175,170 30 ② 第4组 [)180,17520 0.200 第5组[180,185]100.100[19. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，四边形ACEF 为平行四边形，设BD 与AC 相交于点G ，2,3,AB BD AE EAD EAB ===∠=∠．（1）证明：平面ACEF ⊥平面ABCD ；（2）若060EAG ∠=，求三棱锥F BDE -的体积． 20. （本小题满分12分） 已知函数()ln 1,af x x a R x=+-∈. （1）若曲线()y f x =在点0(1,)P y 处的切线平行于直线1y x =-+，求函数()y f x =的单调区间；（2）是否存在实数a ，使函数()y f x =在(0,]x e ∈上有最小值1？若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.21. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别是()0,11-F 、()0,12F ，且焦距是椭圆C 上一点P 到两焦点21F F 、距离的等差中项.（1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点2F 的直线交椭圆C 于N M 、两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点),0(0y Q ，求0y 的取值范围.合计 100 1.0022. （本小题满分10分）已知直线l 的参数方程为1,2312x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为2cos ,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为π43⎛⎫⎪⎝⎭，,判断点P 与直线l 的位置关系;(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()12f x x x a =++-+．（１）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；（２）若函数()f x 的定义域为R ，试求a 的取值范围．银川九中2016---2017学年第二学期第二次模拟试卷高三年级数学（文科）试卷 （满分150） 命题人：王英伟一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合20x A xx ⎧-⎫=≤⎨⎬⎩⎭，{}0,1,2,3B =，则A B =（ A ）. A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{1} D ．{1,2,3} 2.若复数()12a ia R i+∈+为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a = （ ） A ． -3 B ． -2 C ．2 D ．3 解析：2222112555a i a ai i a a i i +-+++-+=++＝为纯虚数，所以，a =2，选B 。
【宁夏银川市】2017届高考数学二模试卷(文科)数学试卷-答案
宁夏省银川市2017年高考二模（文科）数学试卷答 案1~5．CABAB6~10．DABCD11~12．CA13．014．1515．①③④16．1n a n =+17．解：（Ⅰ）由2cos 2a C c b -=及正弦定理得，2sin cos sin 2sin A C C B -=，…（2分）()2sin cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin A C C A C A C A C -=+=+，∴sin 2cos sin C A C -=，∵sin 0C ≠，∴1cos 2A =-，又()0,πA ∈，∴2π3A =；…（6分） （Ⅱ）在ABD △中，c =B的平分线BD 由正弦定理得sin sin AB BD ADB A=∠，∴sin sin AB A ADB BD ∠===，…（8分） 由2π3A =得π4ADB ∠=，∴2πππ2π346ABC ⎛⎫∠=--= ⎪⎝⎭•， ∴2πππ=π366ACB ∠--=，AC AB ==由余弦定理得，22222cos a BC AB AC AB AC A =+∙∙--=122262⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，∴a =12分）18．解：（Ⅰ）总人数：282802850.02N a ===⨯，， 第3组的频率是：()150.020.020.060.020.4-⨯+++=所以2800.4112b =⨯=…（4分）（Ⅱ）因为年龄低于40岁的员工在第1，2，3组，共有2828112168++=（人），利用分层抽样在168人中抽取42人，每组抽取的人数分别为：第1组抽取的人数为42287168⨯=（人）， 第2组抽取的人数为42287168⨯=（人）， 第3组抽取的人数为4211228168⨯=（人）， 所以第1，2，3组分别抽7人、7人、28人．…（8分）（Ⅲ）假设0H ：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，求得2K 的观测值()240141448 6.8605 6.63522182218k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯⨯，查表得()2 6.6350.01P K ≥=，从而能有282802850.02N a ===⨯，99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系…（12分）19．（Ⅰ）证明：∵ABCD 是菱形，∴AD DC =,OD AC ⊥，在ADC △中，12AD DC ==，120ADC ︒∠=，∴6OD =，又M 是BC 的中点，∴16,2OM AB MD ===， ∵222OM O D D M +=，则DO OM ⊥， ∵OM ,AC ⊂面ABC∴OD ⊥面ABC ；（Ⅱ）解：取线段AO 的中点E ，连接NE ．∵N 是棱AD 的中点，∴12NE DO =且//NE DO ． 由（Ⅰ）得OD ⊥面ABC ，∴NE ⊥面ABC ， 在ABM △中，12AB =，6BM =，120ABM ∠=︒，∴11sin 12622ABM S AB BM ABM =∙∠=⨯⨯=△∴11112223M ABM M ABD D ABM ABM V V V S OD ---===∙∙=△ 20．解：（Ⅰ）由题意知：ABP △是等腰直角三角形，()2,2,0a B =，设()00,Q x y ，由32PQ QB =，则0064,55x y ==-， 代入椭圆方程，解得21b =， ∴椭圆方程为2214x y +=．… （Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，方程为2y kx =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()221416120k x kx ++=-， 由韦达定理可知：1212221612,1414k x x x x k k +==++，…（8分） 由直线l 与E 有两个不同的交点，则0∆>，即()()2216412140k k ⨯⨯+->-，解得：234k >，…①…（9分） 由坐标原点O 位于以⊇∅为直径的圆外，则0OM ON ∙>，即12120x x y y >+12120x x y y +＞， 则()()1212121222x x y y x x kx kx +-=-+=()()21212124k x x k x x +⨯++- =()21240k k +⨯+>-， 解得：24k <，…②…（11分） 综合①②可知：2344k <<2k <<或2k -<<， 直线l斜率的取值范围32,,2⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．…（12分） 21．解：（Ⅰ）∵()1e f =，∴()e e a b -=，∴1a b -=…①依题意，()'12e f =-， 又()()23'32e x f x x x -=+-，∴42a b -=-…② 联立①②解得2,1a b ==…证明：（Ⅱ）要证()()2f x g x ->，即证3ln 2e e 2x x x x x->+…（6分） 令()32e e x x h x x -=，∴()()()()322'e 32e 122x x h x x x x x x =+=++----∴当()0,1x ∈时，e 0x -<，10x +>，令()222p x x x =+-，∵()p x 的对称轴为1x =-，且()()010p p ∙<∴存在()00,1x ∈，使得()00p x =∴当()00,x x ∈时，()2220p x x x =+-<，∴()()()2'e 1220x h x x x x =-++->，即()h x 在()00,x 上单调递增当()01,x x ∈时，()2220p x x x =+->，∴()()()2'e 1220x h x x x x =-++-<即()h x 在()01,x 上单调递减 又∵()()02,1e h h ==故当()0,1x ∈时，()()02h x h >=…（10分）又当()0,1x ∈时，ln 0x x <，∴ln 22x x+<…（11分） 所以3ln 2e e 2x x x x x ->+，即()()2f x g x ->…（12分） 22．解：（Ⅰ）圆C :2c o s 2s i n x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），可得直角坐标方程：224x y +=，∴圆C 的极坐标方程2ρ=． 点P 在直线:40l x y +-=上，直线l 的极坐标方程4sin cos ρθθ=+． （Ⅱ）设P ，Q ，R 的极坐标分别为()()()12,,,,,θθρρρθ， 因为124,2sin cos ρρθθ==+， 又因为2OP OR OQ =∙，即212ρρρ=∙，∴()21221612sin cos ρρρθθ==⨯+， ∴81sin 2ρθ=+． 23．（1）解：根据题意，对x 分3种情况讨论：当x ⊆∅时，原不等式可化为211x x -+<-+，解得0x >，又0x <，则x 不存在，此时，不等式的解集为∅． 当102x ≤<时，原不等式可化为211x x -+<+，解得0x >，又102x ≤<， 此时其解集为102|x x ⎧<<⎫⎨⎬⎩⎭． 当12x ≥时，原不等式化为211x x -<+，解得122x ≤<， 又由12x ≥，此时其解集为21|2x x ⎧⎫⎨≤⎩<⎬⎭， 综上，原不等式的解集为{}2|0x x <<．（2）证明：∵()21x x f x =-+，实数a 满足||1x a -<，()()22|||||||1|||||121f x x f a a a a a x x x x x a a a -=-+=-+-+-∙<-=-+-≤()|||2112|1|21|x a a a a -+-++=+<．∴()()()2||1||f x f a a <-+．宁夏省银川市2017年高考二模（文科）数学试卷解析1．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】利用集合的补集的定义求出集合B的补集；再利用集合的交集的定义求出A∩CUB【解答】解：∵U={﹣1，0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={﹣1，0，1，2}，∴∁UB={3，4，5}A∩∁UB={1，2，3}∩{3，4，5}={3}故选：C．【点评】本题考查集合的交集、并集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算．2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：∵z=i（z﹣i）=i•z+1，∴z=，∴复数z所对应的点Z的坐标为（），在第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．【考点】CF：几何概型．【分析】求解不等式|x|≤m，得到﹣m≤x≤m，得其区间长度，求出区间[﹣1，3]的长度，由两区间长度比列式得答案．【解答】解：区间[﹣1，3]的区间长度为4．不等式|x|≤m的解集为[﹣m，m]，区间长度为2m，由，得m=1．故选：B．【点评】本题考查几何概型，是基础的计算题．4．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和等比中项定义，列出方程组，求出a1=﹣1，d=2，由此能求出数列{an}的前5项的和．【解答】解：∵在等差数列{an}中，a4=5，a3是a2和a6的等比中项，∴，解得a1=﹣1，d=2，∴数列{an}的前5项的和为：=5×（﹣1）+5×4=15．故选：A．【点评】本题考查等差数列的前五项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】先确定函数f（x）的周期为2，再利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x，即可得出结论．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立，∴f（x）的周期为2，（x）是定义在R上的偶函数，∴=f（﹣）=f（）∵当x∈[0，1]时，f（x）=2x，∴f（）=，故选：B．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查函数的周期性，属于中档题．6．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设出A、B坐标，利用抛物线焦半径公式求出|AB|，结合抛物线的性质x1x2=2，求出x1=2，x2=，然后求比值即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则斜率为，sinα=|AB|=x1+x2+p=，∴x1+x2==，又x1x2=2可得x1=2，x2=，∴==2．故选D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题．7．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，正方体的体积为：8，三棱锥的体积为：××2×2×1=，故组合体的体积V=8﹣=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，棱柱的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．8．【考点】EF：程序框图．【分析】由n的取值分别为6，12，24，代入即可分别求得S．【解答】解：当n=6时，S=×6×sin60°=2.598，输出S=2.598，6＜24，继续循环，当n=12时，S=×12×sin30°=3，输出S=3，12＜24，继续循环，当n=24时，S=×24×sin15°=3.1056，输出S=3.1056，24=24，结束，∴故选B．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．9．【考点】GI：三角函数的化简求值；H2：正弦函数的图象．【分析】利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，x∈[0，π]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值．【解答】解：函数f（x）=2cos2+sinx．化简可得：f（x）=cosx+sinx+1=2sin（x+）+1∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，可得sin（x+）∈[，1]∴函数f（x）∈[0，3]，故选：C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．10．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：根据题意知，直角三角形△ABC的面积为3．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为为S△ABC×DQ=3，即×3×DQ=3，∴DQ=3，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（）2+（3﹣R）2，∴R=2，则这个球的表面积为：S=4π×22=16π．故选：D．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键，考查等价转化思想思想，是中档题．11．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用线段的垂直平分线的性质定理可得|PF2|=|F1F2|=2c，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|=2a，再由勾股定理和双曲线的定义可得4b﹣2c=2a，结合a，b，c的关系，可得a，c的关系，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，可得|PF2|=|F1F2|=2c，由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得|OA|=a，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|=2a，在直角三角形PMF2中，可得|PM|==2b，即有|PF1|=4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即4b﹣2c=2a，即2b=a+c，即有4b2=（a+c）2，即4（c2﹣a2）=（a+c）2，可得a=c，所以e==．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平面几何中垂直平分线定理和中位线定理的运用，考查运算能力，属于中档题．12．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】令g（x）=f（x）cosx，则g′（x）=f′（x）cosx﹣f（x）sinx＞0，当0＜x＜π时，g（x）在（0，π）递增，即可判断出结论．【解答】解：令g（x）=f（x）cosx，则g′（x）=f′（x）cosx﹣f（x）sinx＞0，当0＜x＜π时，g（x）在（0，π）递增，∵＜＜π，∴＜＜，化为：＜0＜，即a＜b＜c．故选：A．【点评】本题考查了构造函数方法、利用导数研究函数的单调性、三角函数求值考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据菱形中的边角关系，利用平面向量的线性运算与数量积定义，计算即可．【解答】解：如图所示，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，，∴ =+=+，∴=（+）•=•+•=2×2×cos（180°﹣60°）+×2×2=0．故答案为：0．【点评】本题考查了平面向量的数量积和线性运算问题，是基础题．14．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，3），化目标函数z=2x+3y为y=﹣x+，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3+3×3=15．故答案为：15．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①，a=﹣1代入直线方程即可判断；②，“＞”的否定是“≤”；③“sinα=”不能得到“α=2kπ+，k∈Z”，“α=2kπ+，k∈Z”，一定有“sinα=”；④，已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”⇒“a＞”反之也成立．【解答】解：对于①，a=﹣1时，把a=﹣1代入直线方程，得l1∥l2，故正确；对于②，命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定是“∃x0≥0，2x0≤x02”故错；对于③“sinα=”不能得到“α=2kπ+，k∈Z”，“α=2kπ+，k∈Z”，一定有“sinα=”故正确；对于④，已知a ＞0，b ＞0，则“ab ＞1”⇒“a ＞”反之也成立，故正确． 故答案为：①③④．【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到命题的否定，充要条件的判断，属于中档题． 16．【考点】8H ：数列递推式． 【分析】依题意可得，与已知关系式作差可得=，可判断出数列{}是以1为公比的等比数列，结合题意可知其首项为=1，利用等比数列的通项公式即可求得答案．【解答】解：∵，①，②①﹣②得： =an +1﹣an ，整理得： =，∴=1，又=1，∴数列{}是以1为首项，1为公比的等比数列，∴an =n +1，故答案为：an =n +1．【点评】本题考查数列递推式，求得数列{}是以1为首项，1为公比的等比数列是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于中档题． 17．【考点】HP ：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的条件，求出cosA 的值，由A 的范围和特殊角的三角函数值求出角A 的值；（Ⅱ）由条件和正弦定理求出sin ∠ADB ，由条件求出∠ADB ，由内角和定理分别求出∠ABC 、∠ACB ，结合条件和余弦定理求出边a 的值．【解答】解：（Ⅰ）由2cos 2a C c b -=及正弦定理得，2sin cos sin 2sin A C C B -=，…（2分）()2sin cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin A C C A C A C A C -=+=+，∴sin 2cos sin C A C -=，∵sin 0C ≠，∴1cos 2A =-， 又()0,πA ∈，∴2π3A =；…（6分）（Ⅱ）在ABD △中，c =B的平分线BD =由正弦定理得sin sin AB BDADB A=∠，∴sin sin AB AADB BD∠===，…（8分） 由2π3A =得π4ADB ∠=，∴2πππ2π346ABC ⎛⎫∠=--= ⎪⎝⎭•， ∴2πππACB=π366∠--=，AC AB =由余弦定理得，22222?•cos a BC AB AC AB AC A =+-═=122262⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，∴a =12分）【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及两角和的正弦公式等应用，考查转化思想，化简、变形能力．18．【考点】BO ：独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用频率与频数的关系求出样本容量N 、计算出a 、b 的值； （Ⅱ）求出年龄低于40岁的员工数，利用分层抽样原理求出每组抽取的人数； （Ⅲ）根据表中数据计算K2的观测值，查表得出概率结论． 【解答】解：（Ⅰ）总人数：2828050.02N ==⨯，a=28，第3组的频率是：()150.020.020.060.020.4-⨯+++=所以2800.4112b =⨯=…（4分）（Ⅱ）因为年龄低于40岁的员工在第1，2，3组，共有2828112168++=（人）， 利用分层抽样在168人中抽取42人，每组抽取的人数分别为：第1组抽取的人数为42287168⨯=（人）， 第2组抽取的人数为42287168⨯=（人）， 第3组抽取的人数为4211228168⨯=（人）， 所以第1，2，3组分别抽7人、7人、28人．…（8分）（Ⅲ）假设0H ：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据， 求得2K 的观测值()240141448 6.8605 6.63522182218k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯⨯，查表得()26.6350.01P K ≥=，从而能有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系…（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题目． 19．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW ：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由ABCD 是菱形，可得AD =DC ，OD ⊥AC ，求解三角形可得OD =6，结合M 是BC 的中点，求出OM 、MD ，可得OD2+OM2=MD2，得DO ⊥OM ，由线面垂直的判定可得OD ⊥面ABC ；（Ⅱ）取线段AO 的中点E ，连接NE ．可得NE ∥DO ．由（Ⅰ）得OD ⊥面ABC ，可得NE ⊥面ABC ，求出△ABM 的面积，然后利用等积法求得三棱锥M ﹣ABN 的体积． 【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD 是菱形，∴,AD DC OD AC =⊥， 在ADC △中，12AD DC ==，120ADC ∠=︒，∴6OD =，又M 是BC 的中点，∴16,2OM AB MD ===， ∵222OD OM MD +=，则DO OM ⊥， ∵,OM AC ⊂面ABC ，OM AC O =，∴OD ⊥面ABC ；（Ⅱ）解：取线段AO 的中点E ，连接NE ． ∵N 是棱AD 的中点，∴12NE DO =且//NE DO ． 由（Ⅰ）得OD ⊥面ABC ，∴NE ⊥面ABC ， 在ABM △中，12AB =，6BM =，120ABM ∠=︒，∴11sin 12622ABM S AB BM ABM =∙∠=⨯⨯=△∴11112223M ABM M ABD D ABM ABM V V V S OD ---===∙∙=△【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由题意可知：由，求得Q 点坐标，即可求得椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线y =kx ﹣2，代入椭圆方程，由韦达定理，由△＞0，由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，则，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线l 斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：ABP △是等腰直角三角形，()2,2,0a B =，设()00,Qx y ，由32PQ QB =，则0064,55x y ==-， 代入椭圆方程，解得21b =，∴椭圆方程为2214x y +=．…（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，方程为2y kx =-，设()11,Mx y ，()22,N x y ，则22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()221416120k x kx ++=-， 由韦达定理可知：1212221612,1414k x x x x k k +==++，…（8分） 由直线l 与E 有两个不同的交点，则0∆>，即()()2216412140k k ⨯⨯+->-，解得：234k >，…①…（9分） 由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，则，即12120x x y y >+，则()()1212121222x x y y x x kx kx +-=-+=()()21212124k x x k x x +⨯++- =()21240k k +⨯+>-，解得：24k <，…②…（11分） 综合①②可知：2344k <<2k <<或2k -<<， 直线l斜率的取值范围32,,2⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．…（12分） 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考查及算能力，属于中档题．21．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）由 f （1）=e ，得a ﹣b =1，由f '（x ）=（﹣3x2﹣x3+2）ex =﹣2e ，得到a ﹣4b =﹣2，由此能求出a ，b ．（Ⅱ）要证f （x ）﹣g （x ）＞2，即证，令h （x ）=2ex ﹣exx3，则h '（x ）=ex （﹣x3﹣3x2+2）=﹣ex （x +1）（x2+2x ﹣2），由此利用导数性质能证明f （x ）﹣g （x ）＞2． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵()1e f =，∴()e e a b -=，∴1a b -=…①依题意，()'12e f =-，又()()23'32e xf x x x -=+-，∴42a b -=-…②联立①②解得2,1a b ==… 证明：（Ⅱ）要证()()2f x g x ->，即证3ln 2e e 2x x xx x->+…（6分） 令()32e e x x hx x -=，∴()()()()322'e 32e 122xx h x xx x x x =+=++----∴当()0,1x ∈时，0xe-<，10x +>，令()222p x x x =+-，∵()p x 的对称轴为1x =-，且()()010p p ∙<∴存在()00,1x ∈，使得()00p x =∴当()00,x x ∈时，()2220p x x x =+-<，∴()()()2'e 1220xh x x x x =-++->，即()h x 在()00,x 上单调递增当()01,x x ∈时，()2220p x x x =+->，∴()()()x2'e 1220h x x x x =-++-<即()hx 在()01,x 上单调递减又∵()()02,1e hh ==故当()0,1x ∈时，()()02h x h >=…（10分） 又当()0,1x ∈时，ln 0x x <，∴ln 22x x +<…（11分）所以3ln 2e e 2x x xx x->+，即()()2f x g x ->…（12分） 【点评】本题考查实数值的求法，考查不等式的证明，考查导数性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、分类讨论思想，考查函数与方程思想，是中档题． 22．【考点】QH ：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）圆C ：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2=4，利用互化公式可得圆C 的极坐标方程．点P 在直线l ：x +y ﹣4=0上，利用互化公式可得直线l 的极坐标方程． （Ⅱ）设P ，Q ，R 的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP |2=|OR |•|OQ |，即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）圆C ：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），可得直角坐标方程：224x y +=，∴圆C 的极坐标方程2ρ=．点P 在直线:40l x y +-=上，直线l 的极坐标方程4sin cos ρθθ=+．（Ⅱ）设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，因为124,2sin cos ρρθθ==+，又因为2||||||OP OR OQ ∙=，即212ρρρ=∙，∴()21221612sin cos ρρρθθ==⨯+， ∴81sin 2ρθ=+．【点评】本题考查了参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据题意，对x 分3种情况讨论：①当x ＜0时，②当0≤x ＜时，③当x ≥时；在各种情况下．去掉绝对值，化为整式不等式，解可得三个解集，进而将这三个解集取并集即得所求．（2）根据|f （x ）﹣f （a ）|=|x2﹣x ﹣a2+a |=|x ﹣a |•|x +a ﹣1|＜|x +a ﹣1|=|x ﹣a +2a ﹣1|≤|x ﹣a |+|2a ﹣1|＜1+|2a |+1，证得结果．【解答】（1）解：根据题意，对x 分3种情况讨论：当0x <时，原不等式可化为211x x -+<-+，解得0x >，又0x <，则x 不存在， 此时，不等式的解集为∅． 当102x ≤<时，原不等式可化为211x x -+<+，解得0x >，又102x ≤<， 此时其解集为102|x x ⎧<<⎫⎨⎬⎩⎭．当12x ≥时，原不等式化为211x x -<+，解得122x ≤<，又由12x ≥，此时其解集为21|2x x ⎧⎫⎨≤⎩<⎬⎭，综上，原不等式的解集为{}2|0x x <<．（2）证明：∵()21f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，()()22|||||||1|||1||21f x f a x x a a x a x a x a x a a -=-+=-+-+-=-+<--∙≤()|||2112|1|21|x a a a a -+-++=+<．∴()()()2||1||f x f a a <-+．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，用放缩法证明不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
宁夏银川一中2017-2018学年高二上学期第二次月考数学
银川一中2017/2018学年度(上)高二第二次月考数学(文科)试卷命题人：一、选择题(每小题5分，共60分)1．命题“0,0200>-∈∃x x R x ”的否定是（ ）A ．0,2≤-∈∀x x R xB ．0,2>-∈∀x x R xC ．0,0200≤-∈∃x x R xD ．0,0200≥-∈∃x x R x2．已知质点的运动方程为t t s +=2，则其在第2秒的瞬时速度为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．33．已知3ln 3)(+=x x f ，则)('x f 等于( )A ．x 3B ．313ln 3+xC ．3ln 33x x +D ．3ln 3x4．椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是（ ） A ．)0,5(± B ．)5,0(± C ．)12,0(± D ．)0,12(±5．曲线113+=x y 在点))1(,1(f 处切线的斜率为（ ）A ．12B ．3C ．4D ． 116．抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )A ．1716B ．1516C ．78D ．07．已知F 为双曲线3:22=-y x C 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A ．3B ．3C ．2D ．28．若椭圆1822=+y m x 的焦距为2，则m 的值为（ ） A ．9 B ．9或16 C ．7 D ．9或79．设函数x x x f ln 921)(2-=在区间]1,1[+-a a 上单调递减,则实数a 的取值范围是（ ） A ．]2,1( B ．)3,1( C ．)2,1( D ．]3,1(10．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．1∶2 B．1∶π C ．2∶1D ．2∶π 11．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为21，E 的右焦点与抛物线x y C 8:2=的焦点 重合，B A ,是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1212．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意的R x ∈，,2)('>x f 则42)(+>x x f 的解集为（ ）A ．)1,1(-B ．),1(+∞-C ．)1,(--∞D ．),1(+∞二．填空题(每小题5分，共20分)13．双曲线191622=-y x 的离心率为 . 14．已知函数1)(3+-=ax x x f 没有极值点，则实数a 的取值范围是________．15．抛物线y x 42-=上的动点到点)3,1(),1,0(--E F 的距离之和的最小值为________．16．已知x x y ln +=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则=a ________．三．解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知抛物线E 的顶点在坐标原点，焦点为)0,1(，B A ,为抛物线E 上不同的两点，线段AB 恰被)2,2(M 平分，(1)求抛物线的标准方程;(2)求直线AB 的方程.18．（本小题满分12分）已知函数x x b ax e x f x 4)()(2--+=，曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为44+=x y(1)求b a ,的值；(2)求)(x f 的极大值.19.（本小题满分12分） 设函数m x x x g x x x f +-=+=231)(,)(32 (1)求函数)(x f 在1=x 处的切线方程；(2)若)()(x g x f ≥对任意的[]4,4-∈x 恒成立，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数bx ax x x f --=233)(，其中b a ,为实数．(1)若)(x f 在1=x 处取得的极值为2，求b a ,的值；(2)若)(x f 在区间]2,1[-上为减函数，且a b 9=，求a 的取值范围．21.（本小题满分12分）如图， 21,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y b x C 的左右两个焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，︒=∠6021AF F(1)求椭圆C 的离心率(2)已知B AF 1∆的面积为340，求b a ,的值.22.（本小题满分12分） 已知函数0,ln 2)(2>-=k x k x x f (1)求)(x f 的单调区间(2)证明：若)(x f 存在零点，则)(x f 在[]e ,1上仅有一个零点.月考答案一．选择题1.A2.B3.D4.C5.B6.B7.A8.D9.A 10.C 11.B 12.B二．填空题 13.45 14.]0,(-∞ 15.4 16. 8 三．解答题17.（本小题满分10分）（1）x y 42= .........5分（2）设直线方程)2(2-=-y t x ，与抛物线x y42=联立 得08842=-+-t ty y 则,4t y y B A =+又因为AB 的中点为)2,2(所以1,44==t t，则直线方程为0=-y x .............12分 18. （本小题满分12分）（1）由已知得4)0(,44)0('===-+=b f b a f ..........4分（2）由（1）知x x x e x f x 4)1(4)(2--+= )21)(2(442)2(4)('-+=--+=x x e x x x e x f 令0)('=x f ，则2ln 2-=-=x x 或 令,0)('>x f 得递增区间为),2ln (),2,(+∞---∞ 令,0)('<x f 得递减区间为)2ln ,2(--所以2-=x时，)(x f 取得极大值，)1(4)2(2--=-e f ..........10分 19.（本小题满分12分）（1）因为x x x f +=2)(，3)1(,2)1(,12)(''==+=f f x x f所以切线方程为),1(32-=-x y 即013=--y x .........5分（2）令32)(,331)()()(2'23--=-+-=-=x x x h x m x x x f x g x h 令4314,0)('<<--<<->x x x h或 令31,0)('<<-<x x h要使)()(x g x f ≥恒成立，即0)(max ≤x h ，320)4(,35)1(-=+=-m h m h 所以,035)(max ≤+=m x h 所以35-≤m .............12分 20.（本小题满分12分）(1)由已知得2)1(,0)1('==f f ，则231,063=--=--b a b a 计算得5,34-==b a .........5分 （2）由已知得0963)(2'≤--=a ax x x f 在]2,1[-∈x 上恒成立 0)2(',0)1('≤≤-f f⎩⎨⎧≤--≤-+0912120963a a a a ，则1≥a .............12分21. （本小题满分12分）（1）由已知得21F AF ∆为等边三角形，21,2==e c a .........4分 （2）设直线AB 为)(3c x y--=，将其代入椭圆的方程,1243222c y x =+ )533,58(c c B -，所以c AB 516= 3402351621sin 21111=⋅⋅=∠=∆c a AB F AB AF S B AF 解得35,10==b a .............12分22.（本小题满分12分） （1）)0()('2>-=-=x x k x x k x x f 令,,0)('k x x f >>单调递增区间为),(+∞k 令k x x f <<,0)('，单调递减区间为),0(k（2）2)ln 1()()(min k k k f x f -==，若)(x f 存在零点，则e k k f ≥≤,0)(，此时)(x f 在(]e ,1单调递减 当e k =时，显然有零点 当e k >时，,02ln 2)(,021)1(<-=-=>=k e e k e e f f 则)(x f 在[]e ，1上仅有一个零点.。
宁夏银川一中2017届高三上学期第二次月考数学试卷(文科) 含解析
2016—2017学年宁夏银川一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设A=｛x∈Z||x｜≤2}，B={y｜y=x2+1，x∈A｝，则B的元素个数是(）A．5 B．4 C．3 D．22．已知复数z=(i是虚数单位)的实部与虚部的和为1，则实数m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．33．已知向量=（2，﹣1），=(0，1），则|+2|=（）A．2B．C．2 D．44．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为()A．2，0 B．2，C．2，﹣ D．2，5．已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则•的最大值为（）A．1 B．C．D．26．设x∈R，且x≠0，“（）x＞1”是“＜1”的(）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点,并且A点到l1，l2的距离分别为1，2，B是直线l2上一动点，作AC⊥AB且使AC与直线l1交于点C，则△ABC的面积最小值为(）A．2 B．3 C．4 D．58．把函数f(x)=sinxcosx+cos2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到一个偶函数，则φ的最小值为(）A．B．C．D．9．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x)=﹣f（x)，f（x+1)=f(1﹣x），且当x∈［0,1］时,f（x)=log2（x+1）,则f（31)=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．210．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S=（a+b）2﹣c2，则sin（+C）等于（)A．1 B．﹣C．D．11．设函数y=f(x）对任意的x∈R满足f(4+x)=f（﹣x），当x∈（﹣∞，2］时，有f（x）=2﹣x﹣5．若函数f（x)在区间(k，k+1）（k∈Z）上有零点，则k的值为（）A．﹣3或7 B．﹣4或7 C．﹣4或6 D．﹣3或612．若函数y1=sin2x1﹣（x1∈［0，π］）,函数y2=x2+3，则（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为()A．πB．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设f（x)=xlnx，若f′（x0)=2，则x0=．14．化简(）•（1﹣cosα）的结果是．15．设=（4，3）,在方向上投影为，在x轴正方向上的投影为2，且对应的点在第四象限，则=．16．以下命题，错误的是（写出全部错误命题）①若f（x）=x3+（a﹣1）x2+3x+1没有极值点，则﹣2＜a＜4②f（x)=在区间(﹣3，+∞)上单调,则m≥③若函数f（x）=﹣m有两个零点，则m＜④已知f（x)=log a x（0＜a＜1）,k，m,n∈R+且不全等,．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设向量=（cos（α+β)，sin（α+β）），=（cos（α﹣β），sin（α﹣β））,且+=(，)．（1）求tanα；(2）求．18．已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（Ⅰ)若a=1，求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x)的单调区间．19．已知向量，设函数．（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为,求a的值．20．已知函数f(x）=asin（x）（a＞0)在同一半周期内的图象过点O，P，Q，其中O为坐标原点,P为函数f（x)的最高点,Q为函数f（x）的图象与x轴的正半轴的交点，△OPQ为等腰直角三角形．(Ⅰ）求a的值；(Ⅱ）将△OPQ绕原点O按逆时针方向旋转角α（0＜α＜），得到△OP′Q′，若点P′恰好落在曲线y=（x＞0）上（如图所示）,试判断点Q′是否也落在曲线y=（x＞0），并说明理由．21．设函数f(x）=lnx+ax2﹣2bx（Ⅰ）当a=﹣3,b=1时，求函数f(x）的最大值；（Ⅱ）令F（x）=f（x)﹣ax2+2bx+（≤x≤3),其图象上存在一点P（x0，y0），使此处切线的斜率k≤，求实数a的取值范围;（Ⅲ)当a=0,b=﹣，方程2mf(x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．［选修4—1：几何证明选讲］22．如图，已知AB=AC,圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB,CE是圆O的直径．过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲］23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数)，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．（1)写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0）,直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A,射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知函数f（x）=+．（1）求f（x）≥f（4）的解集；（2）设函数g(x）=k(x﹣3），k∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．2016-2017学年宁夏银川一中高三（上）第二次月考数学试卷(文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设A={x∈Z||x|≤2}，B={y|y=x2+1,x∈A}，则B的元素个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】集合的表示法；元素与集合关系的判断．【分析】将B用列举法表示后,作出判断．【解答】解:A=｛x∈Z||x｜≤2}={﹣2，﹣1，0，1,2}，B=｛y|y=x2+1，x∈A｝=｛5，2，1｝B的元素个数是3故选C．2．已知复数z=（i是虚数单位）的实部与虚部的和为1，则实数m的值为（)A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z==+=的实部与虚部的和为1，∴+=1，m=1．故选：B．3．已知向量=（2，﹣1)，=（0,1），则｜+2｜=（）A．2B．C．2 D．4【考点】向量的模．【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可．【解答】解：向量=（2，﹣1）,=（0，1)，则｜+2｜=｜(2,1）｜=．故选：B．4．函数f（x）=Asin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别为（）A．2,0 B．2，C．2，﹣ D．2，【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】由题意结合函数的图象，求出周期T，根据周期公式求出ω，求出A，根据函数的图象经过（）,求出φ,即可．【解答】解：由函数的图象可知：==,T=π，所以ω=2，A=1,函数的图象经过（)，所以1=sin(2×+φ），因为|φ|＜，所以φ=．故选D．5．已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则•的最大值为（）A．1 B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立坐标系,由向量数量积的坐标运算公式，可•=x，结合点E在线段AB上运动，可得到x的最大值为1，即为所求的最大值【解答】解:以AB、AD所在直线为x轴、y轴,建立坐标系如图可得A（0,0），B（1，0），C(1，1），D（0，1）设E（x，0），其中0≤x≤1∵则=(x，﹣1），=(1，0），∴•=x•1+（﹣1）•0=x,∵点E是AB边上的动点,即0≤x≤1,∴x的最大值为1，即•最大值为1；故选A．6．设x∈R，且x≠0，“()x＞1”是“＜1"的（)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由（）x＞1解得：x＜0．由＜1化为：x（x﹣1)＞0，解出即可判断出结论．【解答】解:由(）x＞1解得：x＜0．由＜1化为：＞0，即x（x﹣1）＞0,解得x＞1或x＜0．∴“（）x＞1”是“＜1”的充分不必要条件，故选：A．7．已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点，并且A点到l1，l2的距离分别为1，2，B是直线l2上一动点，作AC⊥AB且使AC与直线l1交于点C,则△ABC的面积最小值为(）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】直线的截距式方程．【分析】如图所示,建立直角坐标系．直线AB的斜率存在，设方程为：y=kx，k≠0，直线AC的方程为：y=﹣x，可得△ABC的面积S=|AB|•|AC|，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．直线AB的斜率存在，设方程为：y=kx，k≠0．则直线AC的方程为：y=﹣x，∴B（2，2k），C．∴△ABC的面积S=|AB｜•|AC|=×=≥2,当且仅当k=±1时取等号．∴△ABC的面积最小值为2．故选：A．8．把函数f(x）=sinxcosx+cos2x的图象向左平移φ（φ＞0)个单位，得到一个偶函数，则φ的最小值为（)A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，得出结论．【解答】解:把函数f（x)=sinxcosx+cos2 x=sin2x+•=sin（2x+）+的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，可得y=sin[2（x+φ）］+=sin(2x+2φ+)+的图象．再根据所得函数为偶函数，∴2φ+=kπ+，k∈Z,则φ的最小值为，故选：D．9．已知定义在R上的奇函数f(x）满足f（﹣x）=﹣f（x)，f（x+1）=f（1﹣x）,且当x∈[0，1］时，f（x）=log2（x+1），则f（31）=(）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【考点】函数的值．【分析】由已知推导出f（﹣x）=﹣f（x），f(x+4）=﹣f（x+2）=﹣f（﹣x）=f（x)，当x∈[0，1］时，f(x）=log2（x+1）,由此能求出f（31)．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x)满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+1）=f（1﹣x），∴f（x+4)=﹣f（x+2)=﹣f（﹣x）=f(x），∵当x∈［0,1］时，f（x）=log2（x+1),∴f（31)=f(32﹣1）=f(﹣1）=﹣f（1）=﹣log22=﹣1．故选：C．10．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b,c,若△ABC的面积为S,且4S=(a+b）2﹣c2，则sin（+C）等于(）A．1 B．﹣C．D．【考点】余弦定理．【分析】利用三角形面积公式表示出S，利用余弦定理表示出cosC，变形后代入已知等式，化简求出cosC的值，进而求出sinC的值，利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解:∵S=absinC,cosC=，∴2S=absinC,a2+b2﹣c2=2abcosC,代入已知等式得：4S=a2+b2﹣c2+2ab，即2absinC=2abcosC+2ab，∵ab≠0,∴sinC=cosC+1，∵sin2C+cos2C=1，∴2cos2C+2cosC=0，解得：cosC=﹣1（不合题意，舍去），cosC=0，∴sinC=1,则sin（+C）=（sinC+cosC)=．故选:C．11．设函数y=f（x)对任意的x∈R满足f（4+x）=f（﹣x），当x∈(﹣∞,2]时，有f(x)=2﹣x ﹣5．若函数f（x）在区间(k，k+1)（k∈Z）上有零点,则k的值为（）A．﹣3或7 B．﹣4或7 C．﹣4或6 D．﹣3或6【考点】二分法求方程的近似解．【分析】由已知可得函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，画出函数的图象,进而可得满足条件的k值．【解答】解:∵函数y=f（x）对任意的x∈R满足f（4+x)=f（﹣x），∴函数y=f（x)的图象关于直线x=2对称，又∵当x∈(﹣∞，2]时，有f（x）=2﹣x﹣5．故函数y=f（x）的图象如下图所示:由图可知，函数f（x)在区间(﹣3，﹣2)，(6，7）各有一个零点，故k=﹣3或k=6，故选:D12．若函数y1=sin2x1﹣（x1∈[0,π]）,函数y2=x2+3，则(x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为（)A．πB．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】根据平移切线法，求出和直线y=x+3平行的切线方程或切点，利用点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解:设z=（x1﹣x2)2+（y1﹣y2）2，则z的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方,求函数y=sin2x﹣（x∈［0，π]）的导数，f′（x）=2cos2x,直线y=x+3的斜率k=1，由f′（x）=2cos2x=1，即cos2x=，即2x=，解得x=，此时y=six2x﹣=﹣=0，即函数在（，0）处的切线和直线y=x+3平行，则最短距离d=，∴(x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值d2=()2=，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=e．【考点】导数的运算．【分析】先根据乘积函数的导数公式求出函数f(x）的导数，然后将x0代入建立方程，解之即可．【解答】解：f（x）=xlnx∴f'（x）=lnx+1则f′（x0)=lnx0+1=2解得：x0=e故答案为:e14．化简（)•（1﹣cosα)的结果是sinα．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】将原式第一个因式括号中的第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦,整理后利用同分母分数的加法法则计算，利用平方差公式变形后，再利用同角三角函数间的基本关系化简，约分后即可得到结果．【解答】解：（+）•（1﹣cosα）=（+）•（1﹣cosα）====sinα．故答案为：sinα15．设=（4，3），在方向上投影为，在x轴正方向上的投影为2，且对应的点在第四象限，则=（2，14）或．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据投影得出、的夹角及的横坐标为2，设=（2，y），利用夹角公式列方程解出y即可．【解答】解:∵=(4,3），在方向上投影为，|｜==5，设出、的夹角为θ，∴5cosθ=，∴cosθ=．∵在x轴上的投影为2，设=（2，y)，则=8+3y，｜｜=．∴cosθ===,解得y=14或y=﹣．故=（2，14）,或=（2，﹣），故答案为：（2，14）或（2，﹣）．16．以下命题，错误的是①②③（写出全部错误命题）①若f（x）=x3+（a﹣1）x2+3x+1没有极值点，则﹣2＜a＜4②f(x)=在区间（﹣3，+∞）上单调，则m≥③若函数f(x）=﹣m有两个零点,则m＜④已知f（x）=log a x（0＜a＜1），k，m，n∈R+且不全等，．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①若f（x）没有极值点，则f′（x）=3x2+2（a﹣1）x+3≥0恒成立,可得△≤0,解出即可判断出正误;②f(x）在区间（﹣3,+∞）上单调,f′（x）=≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=时舍去,解出即可判断出正误;③f′(x）=,利用单调性可得:当x=e时，函数f（x)取得最大值，f(e）=．且x→0，f(x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→﹣m．若函数f（x）有两个零点，则，解得即可判断出正误；④由于f（x）=log a x（0＜a＜1)，可得函数f(x)在（0，+∞）上单调递减．k，m，n∈R+且不全等，kd，，,等号不全相等,即可判断出正误．【解答】解：①若f（x)=x3+（a﹣1）x2+3x+1没有极值点,则f′（x）=3x2+2(a﹣1）x+3≥0恒成立，∴△=4（a﹣1)2﹣36≤0,解得﹣2≤a≤4，因此①不正确；②f（x）=在区间（﹣3,+∞）上单调，f′（x）=≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=时舍去，因此m∈R且m≠，因此②不正确；③f′（x）=，当x∈（0,e）时,f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0,此时函数f（x)单调递减,∴当x=e时，函数f（x）取得最大值，f（e）=．且x→0,f(x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→﹣m．若函数f（x）=﹣m有两个零点，则，解得，因此③不正确．④∵f（x）=log a x（0＜a＜1）,∴函数f(x）在（0，+∞）上单调递减．∵k，m，n∈R+且不全等，则，，，等号不全相等，，因此正确．综上可得:错误的是①②③．故答案为:①②③．三、解答题:本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设向量=（cos（α+β），sin（α+β）），=（cos（α﹣β），sin（α﹣β）),且+=（，)．(1）求tanα;（2)求．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．【分析】（1）由向量的坐标运算和向量相等列出方程组,利用两角和与差的正弦、余弦公式化简，再由商的关系求出tanα；（2）由二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式化简式子，再由商的关系将式子用tanα表示，代入即可求值．【解答】解：（1)由题意得,+=（cos（α+β）+cos（α﹣β)，sin（α+β）+sin（α﹣β））=(，),所以，化简得，得，tanα=;（2）由(1）得，tanα=，所以=====．18．已知f(x）=x3+ax2﹣a2x+2．（Ⅰ）若a=1,求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程;（Ⅱ）若a≠0,求函数f(x)的单调区间．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】(Ⅰ）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决;(Ⅱ)分类讨论，利用导数的正负,可得函数f（x)的单调区间．【解答】解：（Ⅰ)∵a=1，∴f（x)=x3+x2﹣x+2,∴f'（x）=3x2+2x﹣1…∴k=f’（1)=4,又f（1）=3,∴切点坐标为（1，3）,∴所求切线方程为y﹣3=4（x﹣1)，即4x﹣y﹣1=0．…（Ⅱ)f’（x）=3x2+2ax﹣a2=（x+a）(3x﹣a）由f'(x）=0得x=﹣a或…（1）当a＞0时,由f’（x）＜0，得．由f'（x）＞0,得x＜﹣a或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣此时f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和．…（2)当a＜0时，由f'（x）＜0，得．由f’（x）＞0，得或x＞﹣a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣此时f（x)的单调递减区间为，单调递增区间为和（﹣a，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上：当a＞0时,f（x)的单调递减区间为,单调递增区间为（﹣∞，﹣a）,；当a＜0时,f(x）的单调递减区间为单调递增区间为,（﹣a，+∞）﹣﹣﹣19．已知向量,设函数．（1)求f（x)的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为,求a的值．【考点】平面向量的坐标运算；两角和与差的正弦函数；正弦定理的应用；余弦定理的应用．【分析】(1)用向量的数量积法则及三角函数的二倍角公式化简f(x），再用三角函数的周期公式和整体代换的方法求出周期和单调区间（2）用三角形的面积公式和余弦定理列方程求．【解答】解：（1）∵,∴===∴令∴∴f（x）的单调区间为，k∈Z．（2）由f(A）=4得∴又∵A为△ABC的内角∴∴∴∵∴∴c=2∴∴20．已知函数f（x）=asin（x)(a＞0）在同一半周期内的图象过点O,P,Q，其中O为坐标原点,P为函数f（x）的最高点，Q为函数f(x）的图象与x轴的正半轴的交点，△OPQ为等腰直角三角形．（Ⅰ)求a的值；（Ⅱ）将△OPQ绕原点O按逆时针方向旋转角α（0＜α＜）,得到△OP′Q′，若点P′恰好落在曲线y=（x＞0）上（如图所示），试判断点Q′是否也落在曲线y=（x＞0），并说明理由．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）由已知利用周期公式可求最小正周期T=8，由题意可求Q坐标为（4，0）．P 坐标为（2，a），结合△OPQ为等腰直角三角形，即可得解a=的值．（Ⅱ)由(Ⅰ）知,|OP|=2,｜OQ|=4，可求点P′，Q′的坐标，由点P′在曲线y=（x＞0)上，利用倍角公式，诱导公式可求cos2，又结合0＜α＜，可求sin2α的值，由于4cosα•4sinα=8sin2α=2≠3，即可证明点Q′不落在曲线y=（x＞0）上．【解答】（本小题满分12分)解:（Ⅰ）因为函数f(x）=asin（x）（a＞0)的最小正周期T==8，所以函数f（x）的半周期为4，所以｜OQ|=4．即有Q坐标为（4，0）．又因为P为函数f（x)图象的最高点,所以点P坐标为（2,a），又因为△OPQ为等腰直角三角形,所以a==2．(Ⅱ)点Q′不落在曲线y=（x＞0）上．理由如下：由(Ⅰ）知，|OP|=2，｜OQ｜=4，所以点P′，Q′的坐标分别为(2cos(）,2sin（)），(4cosα，4sinα），因为点P′在曲线y=(x＞0）上，所以3=8cos（）sin（)=4sin（2）=4cos2α，即cos2，又0＜α＜，所以sin2α=．又4cosα•4sinα=8sin2α=8×=2≠3．所以点Q′不落在曲线y=(x＞0）上．21．设函数f（x）=lnx+ax2﹣2bx(Ⅰ)当a=﹣3,b=1时，求函数f（x)的最大值；（Ⅱ)令F（x）=f(x)﹣ax2+2bx+（≤x≤3）,其图象上存在一点P（x0，y0),使此处切线的斜率k≤，求实数a的取值范围;（Ⅲ）当a=0，b=﹣，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值．【分析】(Ⅰ）确定函数的定义域，求导数，确定函数的单调性，再求函数f（x)的最大值；（Ⅱ）F(x)=lnx+，x∈[，3］，则有k=F′（x0)=≤在x0∈[，3]上有解，可得a≥（﹣+x0)min,x0∈［，3]，求出﹣+x0的最小值，即可求实数a的取值范围；（Ⅲ）a=0，b=﹣时，f（x）﹣lnx+x,2mf(x)=x2有唯一实数解,即2mf(x）=x2有唯一实数解，分类讨论可得正数m的值．【解答】解:（Ⅰ）依题意，f（x）的定义域为（0，+∞），当a=﹣3，b=1时，f（x)=lnx﹣﹣2x,f′（x)=由f′（x）＞0，得3x2+2x﹣1＜0，解得﹣1＜x＜;由f′（x）＜0，得3x2+2x﹣1＞0，解得x＞或x＜﹣1∵x＞0，∴f（x)在（0，）单调递增,在（,+∞）单调递减;∴f(x）的极大值为f（）=﹣ln3﹣,此即为最大值…(Ⅱ）F（x）=lnx+，x∈［，3]，则有k=F′（x0）=≤在x0∈[,3］上有解，∴a≥（﹣+x0)min，x0∈［，3］，∵﹣+x0=﹣+,∴当x0=3时，﹣+x0取得最小值﹣,∴a≥﹣…（Ⅲ）a=0,b=﹣时，f（x）=lnx+x，2mf（x)=x2有唯一实数解，即2mf(x）=x2有唯一实数解，…当lnx+x=0时,显然不成立，设lnx+x=0的根为当lnx+x≠0时，2m=有唯一解,此时x＞x0记h(x）=h′（x)=,…当x∈（0，1）时,x（x﹣1）＜0，2xlnx＜0，h′（x)＜0当x∈(1,+∞)时，x(x﹣1）＞0，2xlnx＞0，h’（x)＞0，∴h（x）在（x0，1）上递减，(1，+∞）上递增．∴h（x)min=h(1）=1当x∈（x0，1）时，h（x）∈（1，+∞）,当x∈（1,+∞)时,h(x）∈(1，+∞），…要使2m=有唯一解，应有2m=h(1）=1，∴m=…［选修4—1：几何证明选讲]22．如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B 作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】(Ⅰ）连接AE，证明Rt△CBD∽Rt△CEA，结合AB=AC，即可证明：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）证明△ABF～△BCF，可得AC=CF，利用切割线定理有FA•FC=FB2，求出AC，即可求△ABC的面积．【解答】证明：（Ⅰ）连接AE，∵CE是直径,∴∠CAE=90°，又CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠CBD=∠CEA,故Rt△CBD∽Rt△CEA,…∴，∴AC•CB=CD•CE又AB=AC,∴AB•CB=CD•CE．…（Ⅱ）∵FB是⊙O的切线，∴∠CBF=∠CAB．∴在△ABF和△BCF中，，∴△ABF～△BCF，∴,∴FA=2AB=2AC,∴AC=CF…设AC=x，则根据切割线定理有FA•FC=FB2∴x•2x=8，∴x=2，∴．…［选修4-4:坐标系与参数方程选讲］23．已知曲线C1的参数方程是(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．（1)写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；(2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2,0），直线M1M2与曲线C2相交于P,Q 两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】(1)利用cos2θ+sin2θ=1，即可曲线C1的参数方程化为普通方程,进而利用即可化为极坐标方程，同理可得曲线C2的直角坐标方程；（2）由点M1、M2的极坐标可得直角坐标:M1（0,1），M2（2，0），可得直线M1M2的方程为，此直线经过圆心，可得线段PQ是圆x2+（y﹣1）2=1的一条直径，可得得OA ⊥OB，A，B是椭圆上的两点,在极坐标下,设，代入椭圆的方程即可证明．【解答】解：(1）曲线C1的普通方程为,化成极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=2y，配方为x2+（y﹣1）2=1．（2)由点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），可得直角坐标:M1（0，1），M2（2,0),∴直线M1M2的方程为,化为x+2y﹣2=0，∵此直线经过圆心（0，1),∴线段PQ是圆x2+(y﹣1）2=1的一条直径,∴∠POQ=90°，由OP⊥OQ得OA⊥OB,A,B是椭圆上的两点，在极坐标下，设，分别代入中，有和，∴,,则,即．[选修4—5:不等式选讲]24．已知函数f（x)=+．(1）求f（x）≥f（4)的解集;（2）设函数g（x）=k（x﹣3），k∈R，若f（x）＞g(x）对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．【考点】其他不等式的解法．【分析】（1）函数f（x）=｜x﹣3｜+|x+4|，不等式f(x）≥f（4）即|x﹣3｜+｜x+4｜≥9．可得①,或②，或③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．（2)由题意可得,f（x）的图象恒在g(x）图象的上方，作函数y=f（x）和y=g（x）的图象如图，由K PB=2，A（﹣4，7），可得K PA=﹣1，数形结合求得实数k的取值范围．【解答】解：（1)∵函数f(x）=+=+=|x﹣3|+|x+4|，∴f(x）≥f（4）即|x﹣3|+|x+4|≥9．∴①，或②，或③．得不等式①：x≤﹣5；解②可得x无解；解③求得:x≥4．所以f（x）≥f（4）的解集为{x｜x≤﹣5,或x≥4}．（2）f（x）＞g（x)对任意的x∈R都成立，即f（x)的图象恒在g(x）图象的上方，∵f（x）=|x﹣3|+｜x+4｜=．由于函数g（x）=k(x﹣3）的图象为恒过定点P（3，0)，且斜率k变化的一条直线，作函数y=f（x)和y=g（x）的图象如图,其中，K PB=2，A（﹣4，7），∴K PA=﹣1．由图可知,要使得f（x）的图象恒在g（x）图象的上方,∴实数k的取值范围为(﹣1,2]．2017年1月11日。
【学期】宁夏银川2017届高三下学期第一次模拟数学文科试卷Word版含答案
【关键字】学期绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(银川一中第一次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．集合，，则P∩Q是A．(0, 2), (1, 1) B．C．D．2．在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知则，的夹角是A．B．C．D．4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=54，则a2+a4+a9=A．9 B．C．18 D．365．某人从甲地去乙地共走了，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为A．B．C．D．6．若的值为A．B．C．D．7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．10 B．5C．20 D．308．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入，则输出的的值为A．0 B．11C ．22D ．88 9．已知命题，使为偶函数； 命题，则下列命题 中为真命题的是A ．B ．C ．D ．10．设函数f(x)＝－，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f(x)]的值域是A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{－1,1}D ．{1,1} 11．如图，抛物线C1：y2＝4x 和圆C2：(x －1)2＋y2＝1，直线l 经过C1的焦点，依次交C1，C2于A ，B ，C ， D 四点，则·的值为 A ．2 B ．．4 D ．812．设奇函数上是增函数，且对所有的都成立，当时，则t 的取值范围是A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知P(x,y)满足，则z=x-y 最小值是___________.14．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为 .15．设y x ,为正数，且y a a x ,,,21成等差数列，y b b x ,,,21成等比数列，则21221)(b b a a +的最小值是 。
宁夏银川2017届高三第二次模拟数学(文)试题含答案
宁夏银川2017届高三第二次模拟数学(文)试题含答案
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A x|x290，B x|y ln(x2x12)，则A B= A．x|3x3B．x|2x0
C．x|2x0D．x|x0或x2且x3
2．复数z
z等于
A．13iB．1 C．1
2 3
2i D．31
22i
3．已知直线m、n与平面,,下列命题正确的是
A．m//,n//且//,则m//n B．m,n//且,则m n C．m,m n且,则n D．m,n且,则m n 4．已知a log1
32，b log11
1，c(1)3，则
232。
2017年宁夏银川一中高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2017年宁夏银川一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合P={y|y=﹣x2+2}，Q={x|y=﹣x+2}则P∩Q是（）A．（0，2），（1，1）B．{（0，2），（1，1）}C．∅D．{y|y≤2}2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为（）A．B．C．D．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=54，则a2+a4+a9=（）A．9 B．15 C．18 D．365．某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（）A．80m B．100m C．40m D．50m6．若x=，则sin4x﹣cos4x的值为（）A．B．﹣ C．﹣D．7．某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．10 B．15 C．20 D．308．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于（）A．10 B．11 C．12 D．139．已知命题p：∃φ∈R，使f（x）=sin（x+φ）为偶函数；命题q：∀x∈R，cos2x+4sinx ﹣3＜0，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧（￢q）10．设函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，则y=[f（x）]的值域是（）A．{0，1}B．{0，﹣1}C．{﹣1，1}D．{1，1}11．抛物线C1：y2=4x和圆C2：（x﹣1）2+y2=1，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为（）A．B．1 C．2 D．412．设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（）A．﹣2≤t≤2 B．C．t≥2或t≤﹣2或t=0 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知P（x，y）满足，则z=x﹣y最小值是．14．双曲线﹣=1一条渐近线方程是y=x，则其离心率为．15．设x，y为正数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的最小值是．16．图形的对称，正弦曲线的流畅都能体现“数学美”．“黄金分割”也是数学美得一种体现，如图，椭圆的中心在原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ccosA=且△ABC的面积S≥2．（1）求A的取值范围；（2）求函数f（x）=cos2A+sin2（+）﹣的最大值．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，CA的中点．（1）证明：平面PBE⊥平面PAC；（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF并说明理由；（3）若PA=AB=2，对于（Ⅱ）中的点F，求三棱锥P﹣BEF的体积．19．某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；（2）若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；（3）若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知a、b的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点满足：F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A（2，0）、M、N，且∠NF2F1=∠MF2A，求k的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式；（3）当时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=4．（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．[选修4-5；不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值；（Ⅱ）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．2017年宁夏银川一中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合P={y|y=﹣x2+2}，Q={x|y=﹣x+2}则P∩Q是（）A．（0，2），（1，1）B．{（0，2），（1，1）}C．∅D．{y|y≤2}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合P，Q，由此利用交集定义能求出P∩Q．【解答】解：∵集合P={y|y=﹣x2+2}={y|y≤2}，Q={x|y=﹣x+2}=R，∴P∩Q={y|y≤2}．故选：D．2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出在复平面内，复数z 对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：z==，在复平面内，复数z=对应的点的坐标为：（，﹣1），位于第三象限．故选：C．3．已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量夹角公式即可得出．【解答】解：∵=3+2=5，==，==．∴===，∴与的夹角为，故选：B．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=54，则a2+a4+a9=（）A．9 B．15 C．18 D．36【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的求和公式和性质可得a5=4，而要求的式子可化为3a5，代入可得答案．【解答】解：由等差数列的求和公式可得：S9=（a1+a9）=54，又由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，即9a5=54，解得a5=6，而a2+a4+a9=a5+a4+a6=3a5=18．故选：C．5．某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（）A．80m B．100m C．40m D．50m【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出找到该物品的点对应的图形的长度，并将其和整个事件的长度代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：由已知易得：l从甲地到乙=500l途中涉水=x，故物品遗落在河里的概率P==1﹣=∴x=100（m）．故选B．6．若x=，则sin4x﹣cos4x的值为（）A．B．﹣ C．﹣D．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用平方差公式、二倍角的余弦公式，把要求的式子化为﹣cos2x，从而利用条件求得结果．【解答】解：∵x=，∴sin4x﹣cos4x=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x=﹣cos=﹣，故选：C．7．某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．10 B．15 C．20 D．30【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体，分别求出棱柱和棱锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体，∵底面面积S=×4×3=6，高h=5，故组合体的体积V=Sh﹣Sh=Sh=20，故选：C8．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】程序框图．【分析】先求出m除以n的余数，然后利用辗转相除法，将n的值赋给m，将余数赋给n，进行迭代，一直算到余数为零时m的值即可．【解答】解：当m=209，n=121，m除以n的余数是88此时m=121，n=88，m除以n的余数是33此时m=88，n=33，m除以n的余数是22此时m=33，n=22，m除以n的余数是11，此时m=22，n=11，m除以n的余数是0，此时m=11，n=0，退出程序，输出结果为11，故选：B．9．已知命题p：∃φ∈R，使f（x）=sin（x+φ）为偶函数；命题q：∀x∈R，cos2x+4sinx ﹣3＜0，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】首先，判断命题P和命题q 的真假，然后，结合复合命题的真值表进行判定即可．【解答】解：∵当φ=时，f（x）=sin（x+φ）=cosx，此时f（x）为偶函数，所以命题p为真命题；∵y=cos2x+4sinx﹣3=1﹣2sin2x+4sinx﹣3=﹣2sin2x+4sinx﹣2=﹣2（sinx﹣1）2，当sinx=1时y=0，所以y≤0即cos2x+4sinx﹣3≤0所以命题q为假命题；￢q为真命题；所以p∨￢q为真命题故选C10．设函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，则y=[f（x）]的值域是（）A．{0，1}B．{0，﹣1}C．{﹣1，1}D．{1，1}【考点】函数的值域．【分析】对f（x）进行化简，可得f（x）=﹣=﹣，分析讨论求出其值域，再根据定义，[x]表示不超过x的最大整数，进行求解；【解答】解：函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，∴f（x）=﹣，分析可得，﹣＜f（x）＜，∴[f（x）]={0，﹣1}，故选B；11．抛物线C1：y2=4x和圆C2：（x﹣1）2+y2=1，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】当直线过焦点F且垂直于x轴时，|AD|=2p=4，|BC|=2r=2，由抛物线与圆的对称性知：|AB|=|CD|=1，所以|AB|•|CD|=1．【解答】解：由特殊化原则，当直线过焦点F且垂直于x轴时，|AD|=2p=4，|BC|=2r=2，由抛物线与圆的对称性知：|AB|=|CD|=1，所以=|AB|•|CD|=1；故选B．12．设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（）A．﹣2≤t≤2 B．C．t≥2或t≤﹣2或t=0 D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，由此可以得到1≤t2﹣2at+1，因其在a∈[﹣1，1]时恒成立，可以改变变量，以a为变量，利用一次函数的单调性转化求解．【解答】解：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，∴1≤t2﹣2at+1，当t=0时显然成立当t≠0时，则t2﹣2at≥0成立，又a∈[﹣1，1]令r（a）=﹣2ta+t2，a∈[﹣1，1]当t＞0时，r（a）是减函数，故令r（1）≥0，解得t≥2当t＜0时，r（a）是增函数，故令r（﹣1）≥0，解得t≤﹣2综上知，t≥2或t≤﹣2或t=0故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知P（x，y）满足，则z=x﹣y最小值是﹣1．【考点】简单线性规划．【分析】由题意，首先画出平面区域，根据目标函数的几何意义，求z的最值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图，根据目标函数z=x﹣y，即y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过A时z最小，由得到A（0，1），所以z=x﹣y的最小值是0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1；14．双曲线﹣=1一条渐近线方程是y=x，则其离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据渐近线的方程，得到a，b之间的关系，，根据c2=a2+b2，得到，从而离心率．【解答】解：双曲线﹣=1一条渐近线方程是y=x，故，由于双曲线中c2=a2+b2，得到，从而离心率故答案为：．15．设x，y为正数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的最小值是4．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】先利用条件得到a1+a2=x+y和b1b2=xy，再对所求都转化为用x，y表示后，在用基本不等式可得结论．【解答】解：由等差数列的性质知a1+a2=x+y；由等比数列的性质知b1b2=xy，所以，当且仅当x=y时取等号．故答案为：4．16．图形的对称，正弦曲线的流畅都能体现“数学美”．“黄金分割”也是数学美得一种体现，如图，椭圆的中心在原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由勾股定理求得|BF|2+|AB|2=|AF|2，代入由双曲线的离心率公式即可求得离心率e．【解答】解：在黄金双曲线中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，由题意可知，|BF|2+|AB|2=|AF|2，∴b2+c2+c2=a2+c2+2ac，∵b2=c2﹣a2，整理得c2=a2+ac，∴e2﹣e﹣1=0，解得e=，或e=，由e＞1，则e=，故黄金双曲线的离心率e=，故答案为：，三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ccosA=且△ABC的面积S≥2．（1）求A的取值范围；（2）求函数f（x）=cos2A+sin2（+）﹣的最大值．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）根据△ABC的面积公式，结合题意求出tanA=S≥1，即可求出A 的取值范围；（2）利用诱导公式化简函数f（x），根据A的取值范围求出f（A）的最大值．【解答】解：（1）△ABC的面积为S=bcsinA，∴bcsinA=2S；又ccosA=，∴bccosA=4；∴tanA=S≥1，∴A的取值范围是；（2）函数f（x）=cos2A+sin2（+）﹣=cos2A+cos2﹣=cos2A+﹣=cos2A+cosA=﹣，∵≤A≤，∴0≤cosA≤，∴cosA=，即A=时，f（A）取得最大值为+．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，CA的中点．（1）证明：平面PBE⊥平面PAC；（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF并说明理由；（3）若PA=AB=2，对于（Ⅱ）中的点F，求三棱锥P﹣BEF的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．【分析】（1）证明平面PBE内的直线BE，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、CA，即可证明平面PBE⊥平面PAC；（2）取CD的中点F，连接EF，证明AD平行平面PEF内的直线EF，即可证明结论；（3）PA=AB=2，利用求三棱锥P﹣BEF的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABC，BE⊂底面ABC，∴PA⊥BE．又∵△ABC是正三角形，且E为AC的中点，∴BE⊥CA．又PA∩CA=A，∴BE⊥平面PAC．∵BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAC．（Ⅱ）解：取CD的中点F，连接EF，则F即为所求．∵E，F分别为CA，CD的中点，∴EF∥AD．又EF⊂平面PEF，AD⊄平面PEF，∴AD∥平面PEF．（Ⅲ）解，根据题意可得．19．某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；（2）若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；（3）若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知a、b的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率．【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）利用频率和为1求出第六组的频率；利用频率等于频数除以样本容量求出此次测试总人数．（2）利用频率分布直方图中的中位数左右两边的面积相等即频率相等，判断出中位数所在的小组．（3）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及a、b到少有1人入选的情况；利用古典概型概率公式求出a、b至少有1人入选的概率．【解答】解：（1）第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，∴此次测试总人数为（人）．∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）．（2）直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等．前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，∴中位数位于第4组内．（3）设成绩优秀的9人分别为a，b，c，d，e，f，g，h，k，则选出的2人所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，af，ag，ah，ak；bc，bd，be，bf，bg，bh，bk；cd，ce，cf，cg，ch，ck；de，df，dg，dh，dk；ef，eg，eh，ek；fg，fh，fk；gh，gk；hk．共36种，其中a、b到少有1人入选的情况有15种，∴a、b两人至少有1人入选的概率为．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点满足：F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A（2，0）、M、N，且∠NF2F1=∠MF2A，求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）解法一：由椭圆C的离心率和点F2在线段PF1的中垂线上知|F1F2|=|PF2|，由此推出，从而可求出椭圆C的方程．解法二：椭圆C的离心率，得，先求得线段PF1的中点为D的坐标，根据线段PF1的中垂线过点F2，利用，得出关于c的方程求出c 值，最后求得a，b写出椭圆方程即可；（2）设直线l的方程为y=k（x﹣2），，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用∠NF2F1=∠MF2A得出的斜率关系即可求得k的取值范围．【解答】解：（1）解法一：椭圆C的离心率，得，其中椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），、F2（c，0），又点F2在线段PF1的中垂线上，∴F1F2=PF2，∴解得c=1，a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．…解法二：椭圆C的离心率，得，其中椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），、F2（c，0），设线段PF1的中点为D，∵F1（﹣c，0），，∴，又线段PF1的中垂线过点F2，∴，即c=1，a2=2，b2=1，∴椭圆方程为（2）由题意，直线l的方程为y=k（x﹣2），且k≠0，联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由△=8（1﹣2k2）＞0，得，且k≠0设M（x1，y1），N（x2，y2），则有，，（*）∵∠NF2F1=∠MF2A，且由题意∠NF2A≠90°，∴，又F2（1，0），∴，即，∴，整理得2x1x2﹣3（x1+x2）+4=0，将（*）代入得，，知上式恒成立，故直线l的斜率k的取值范围是．…21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式；（3）当时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用店携手方程即可得到切线方程；（2）求得g（x）的导数，由题意可得g（2）=﹣2，g′（2）=0，解方程即可得到所求解析式；（3）若函数h（x）在定义域上存在单调减区间依题存在x＞0使h′（x）=（x＞0）．h′（x）＜0（x＞0）即存在x＞0使x2﹣bx+1＜0，运用参数分离，求得右边的最小值，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由f（x）=lnx（x＞0），可得f′（x）=（x＞0），∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），即y=x﹣1，所求切线方程为y=x﹣1；（2）∵又g（x）=ax2﹣bx可得g′（x）=2ax﹣b，且g（x）在x=2处取得极值﹣2．∴，可得解得，b=2．所求g（x）=（x∈R）．（3）∵，h′（x）=（x＞0）．依题存在x＞0使h′（x）=（x＞0）．h′（x）＜0（x＞0）即存在x＞0使x2﹣bx+1＜0，∵不等式x2﹣bx+1＜0等价于（*）令，∵．∴λ（x）在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增，故，+∞），∵存在x＞0，不等式（*）成立，∴b＞2．所求b∈（2，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=4．（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）圆C的极坐标方程为ρ=4，展开可得：ρ2=4×ρ（cosθ﹣sinθ），利用互化公式即可得出直角坐标方程．（2）直线l的参数方程为：（t为参数），代入上述方程可得：t2+2t﹣4=0.===．【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=4，展开可得：ρ2=4×ρ（cosθ﹣sinθ），可得直角坐标方程：x2+y2﹣4x+4y=0．（2）直线l的参数方程为：（t为参数），代入上述方程可得：t2+2 t﹣4=0．t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4，则=====．[选修4-5；不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值；（Ⅱ）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．（Ⅱ）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）≤m，∴|x﹣a|≤m，即a﹣m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（Ⅱ）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0≤x≤成立．当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．综上不等式的解集为（﹣∞，]．2017年4月10日。
【宁夏银川市】2017届高考数学二模试卷(文科)数学试卷及答案解析
宁夏省银川市2017年高考二模（文科）数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1．设集合1,0,1,2,3,5{}4,U =-，()|||2112|1|21|x a a a a -+-++=+<()()()2||||1f x f a a <+-，{}1,0,1,2B -=，则()U AB ð=（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{3}D ．{2}2．已知i 为虚数单位，复数z 满足()i i z z =-，则复数z 所对应的点z 在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在区间[]1,3-上随机取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为12，则实数m 为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．在等差数列{}n a 中，已知45a =，3a 是2a 和6a 的等比中项，则数列{}n a 的前5项的和为（ ） A ．15B ．20C ．25D ．15或255．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x +=对x ∈R 恒成立，当[]0,1x ∈时，()2xf x =，则92f ⎛⎫- ⎪⎝⎭=（ ）A ．12BC ．2D ．16．过抛物线24y x =的焦点F 且斜率为,A B 两点()A B x x >，则AF BF=（ ）A ．32 B ．34C ．3D ．2 7．将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．223 B ．203C ．163D ．68．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中n 表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为1.732，sin15︒≈0.2588， sin 75︒≈0.1305）（ ）A ．2.598，3，3.1048B ．2.598，3，3.1056C ．2.578，3，3.1069D ．2.588，3，3.11089．关于函数()[]()222cos 0,πf x x x x=+∈下列结论正确的是（ ） A ．有最大值3，最小值1- B ．有最大值2，最小值2-C ．有最大值3，最小值0D ．有最大值2，最小值010．点,,,A B C D 在同一个球的球面上，90AB BC ABC ==∠=︒，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ） A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π11．点P 是双曲线()222210,0y x a b a b+=>>的右支上一点，其左，右焦点分别为12,F F ，直线1PF 与以原点O为圆心，a 为半径的圆相切于A 点，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则离心率的值为（ ） A ．32B ．43C ．53D ．5412．设函数()'f x 是定义在()0,π上的函数()f x 的导函数，有()()1π5πsin 'cos 0,,0,c 236f x x f x x a f b f ⎛⎫⎛⎫-<=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，点E 满足12BE BC =，则AE AD ∙=____________．14．若,x y ∈R ，且满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则23z x y =+的最大值等于____________．15．下列命题中，正确的命题序号是____________．①已知a ∈R ，两直线121,2::l ax y l x ay a +=+=，则“1a =-”是“12//l l ”的充分条件；②命题:p “202x x x ∀≥>，”的否定是“02000,2x x x ∃<≥”；③“1sin 2α=”是“π2π6k α=+，k ∈Z ”的必要条件； ④已知0,0a b >>，则“1ab >”的充要条件是“1a b >”．16．已知数列{}n a 满足12a =，且()311222234n n a a a aa n n-++++=-≥，则{}n a 的通项公式为____________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2a Cc b -=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若c B 的平分线BD =a ．18．（12分）某单位N 名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[)45,50，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求正整数,,a b N 的值；（Ⅱ）现要从年龄低于40岁的员工用分层抽样的方法抽取42人，则年龄在第1，2，3组得员工人数分别是多少？（Ⅲ）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对该单位所有员工中按性别比例抽查的40人是否喜欢阅读国学类书籍进行了调查，调查结果如下所示：（单位：人） 下面是年龄的分布表： 根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）如图1，菱形 ABCD 的边长为12，60BAD ∠=︒，AC 交BD 于点O ．将菱形 ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -，点,M N 分别是棱,BC AD 的中点，且DM =（Ⅰ）求证：OD ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥M ABN -的体积．20．（12分）已知点,A B 分别为椭圆()2222:10y x E a b a b+=>>的左，右顶点，点()0,2P -，直线BP 交E 于点Q ，32PQ QB =且ABP △是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过点P 的动直线l 与E 相交于,M N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．21．（12分）已知函数()()()3ln ,g e x xx x xf a bx ==-，且函数()f x 的图象在点()1,e 处的切线与直线2e 10x y +-=平行．（Ⅰ）求,a b ；（Ⅱ）求证：当()0,1x ∈时，()()2f x g x >-．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请在答题卡涂上题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，已知圆2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），点P 在直线:40l x y +-=上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （I ）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（II ）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2||||||OP OR OQ ∙=，求Q 点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）解不等式：21|1|||x x -<-；（2）设()21f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：()()()2||||1f x f a a <+-宁夏省银川市2017年高考二模（文科）数学试卷答 案1~5．CABAB 6~10．DABCD 11~12．CA 13．0 14．15 15．①③④ 16．1n a n =+17．解：（Ⅰ）由2cos 2a C c b -=及正弦定理得，2sin cos sin 2sin A C C B -=，…（2分）()2sin cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin A C C A C A C A C -=+=+，∴sin 2cos sin C A C -=， ∵sin 0C ≠，∴1cos 2A =-， 又()0,πA ∈，∴2π3A =；…（6分）（Ⅱ）在ABD △中，c =B 的平分线BD = 由正弦定理得sin sin AB BDADB A=∠，∴sinsinAB AADBBD∠===，…（8分）由2π3A=得π4ADB∠=，∴2πππ2π346ABC⎛⎫∠=--=⎪⎝⎭•，∴2πππ=π366ACB∠--=，AC AB==由余弦定理得，22222cosa BC AB AC AB AC A=+∙∙--=122262⎛⎫+--=⎪⎝⎭，∴a=…（12分）18．解：（Ⅰ）总人数：282802850.02N a===⨯，，第3组的频率是：()150.020.020.060.020.4-⨯+++=所以2800.4112b=⨯=…（4分）（Ⅱ）因为年龄低于40岁的员工在第1，2，3组，共有2828112168++=（人），利用分层抽样在168人中抽取42人，每组抽取的人数分别为：第1组抽取的人数为42287168⨯=（人），第2组抽取的人数为42287168⨯=（人），第3组抽取的人数为4211228168⨯=（人），所以第1，2，3组分别抽7人、7人、28人．…（8分）（Ⅲ）假设H：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，求得2K的观测值()2401414486.8605 6.63522182218k⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯⨯，查表得()2 6.6350.01P K≥=，从而能有282802850.02N a===⨯，99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系…（12分）19．（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD DC=,OD AC⊥，在ADC△中，12AD DC==，120ADC︒∠=，∴6OD=，又M是BC的中点，∴16,2OM AB MD===，∵222OMO DD M+=，则DO OM⊥，∵OM,AC⊂面ABC∴OD⊥面ABC；（Ⅱ）解：取线段AO的中点E，连接NE．∵N 是棱AD 的中点，∴12NE DO =且//NE DO ． 由（Ⅰ）得OD ⊥面ABC ，∴NE ⊥面ABC ，在ABM △中，12AB =，6BM =，120ABM ∠=︒，∴11sin 126222ABM S AB BM ABM =∙∠=⨯⨯⨯=△∴11112223M ABMM ABD D ABM ABM V V V S OD ---===∙∙=△ 20．解：（Ⅰ）由题意知：ABP △是等腰直角三角形，()2,2,0a B =， 设()00,Q x y ，由32PQ QB =，则0064,55x y ==-， 代入椭圆方程，解得21b =，∴椭圆方程为2214x y +=．…（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，方程为2y kx =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()221416120k x kx ++=-， 由韦达定理可知：1212221612,1414k x x x x k k +==++，…（8分） 由直线l 与E 有两个不同的交点，则0∆>，即()()2216412140k k ⨯⨯+->-，解得：234k >，…①…（9分） 由坐标原点O 位于以⊇∅为直径的圆外，则0OM ON ∙>，即12120x x y y >+12120x x y y +＞， 则()()1212121222x x y y x x kx kx +-=-+=()()21212124k x x k x x +⨯++-=()21240k k +⨯+>-，解得：24k <，…②…（11分） 综合①②可知：2344k <<2k <<或2k -<<， 直线l斜率的取值范围32,,2⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．…（12分） 21．解：（Ⅰ）∵()1e f =，∴()e e a b -=，∴1a b -=…①依题意，()'12e f =-，又()()23'32e xf x x x -=+-，∴42a b -=-…②联立①②解得2,1a b ==…证明：（Ⅱ）要证()()2f x g x ->，即证3ln 2e e 2x x xx x->+…（6分） 令()32e e x x hx x -=，∴()()()()322'e 32e 122xx h x xx x x x =+=++----∴当()0,1x ∈时，e 0x -<，10x +>，令()222p x x x =+-，∵()p x 的对称轴为1x =-，且()()010p p ∙<∴存在()00,1x ∈，使得()00p x = ∴当()00,x x ∈时，()2220p x x x =+-<，∴()()()2'e1220xh x x x x =-++->，即()h x 在()00,x 上单调递增当()01,x x ∈时，()2220p x x x =+->，∴()()()2'e 1220x h x x x x =-++-<即()hx 在()01,x 上单调递减又∵()()02,1e h h ==故当()0,1x ∈时，()()02h x h >=…（10分）又当()0,1x ∈时，ln 0x x <，∴ln 22xx +<…（11分） 所以3ln 2e e 2x x xx x->+，即()()2f x g x ->…（12分）22．解：（Ⅰ）圆C :2c o s 2s i n x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），可得直角坐标方程：224x y +=，∴圆C 的极坐标方程2ρ=． 点P 在直线:40l x y +-=上，直线l 的极坐标方程4sin cos ρθθ=+．（Ⅱ）设P ，Q ，R 的极坐标分别为()()()12,,,,,θθρρρθ， 因为124,2sin cos ρρθθ==+，又因为2OP OR OQ =∙，即212ρρρ=∙，∴()21221612sin cos ρρρθθ==⨯+， ∴81sin 2ρθ=+．23．（1）解：根据题意，对x 分3种情况讨论：当x ⊆∅时，原不等式可化为211x x -+<-+，解得0x >，又0x <，则x 不存在， 此时，不等式的解集为∅．当102x ≤<时，原不等式可化为211x x -+<+，解得0x >，又102x ≤<， 此时其解集为102|x x ⎧<<⎫⎨⎬⎩⎭．当12x ≥时，原不等式化为211x x -<+，解得122x ≤<， 又由12x ≥，此时其解集为21|2x x ⎧⎫⎨≤⎩<⎬⎭，综上，原不等式的解集为{}2|0x x <<．（2）证明：∵()21x x f x =-+，实数a 满足||1x a -<，()()22|||||||1|||||121f x x f a a a a a x x x x x a a a -=-+=-+-+-∙<-=-+-≤()|||2112|1|21|x a a a a -+-++=+<．∴()()()2||1||f x f a a <-+．宁夏省银川市2017年高考二模（文科）数学试卷解析1．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】利用集合的补集的定义求出集合B的补集；再利用集合的交集的定义求出A∩CUB【解答】解：∵U={﹣1，0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={﹣1，0，1，2}，∴∁UB={3，4，5}A∩∁UB={1，2，3}∩{3，4，5}={3}故选：C．【点评】本题考查集合的交集、并集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算．2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：∵z=i（z﹣i）=i•z+1，∴z=，∴复数z所对应的点Z的坐标为（），在第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．【考点】CF：几何概型．【分析】求解不等式|x|≤m，得到﹣m≤x≤m，得其区间长度，求出区间[﹣1，3]的长度，由两区间长度比列式得答案．【解答】解：区间[﹣1，3]的区间长度为4．不等式|x|≤m的解集为[﹣m，m]，区间长度为2m，由，得m=1．故选：B．【点评】本题考查几何概型，是基础的计算题．4．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和等比中项定义，列出方程组，求出a1=﹣1，d=2，由此能求出数列{an}的前5项的和．【解答】解：∵在等差数列{an}中，a4=5，a3是a2和a6的等比中项，∴，解得a1=﹣1，d=2，∴数列{an}的前5项的和为：=5×（﹣1）+5×4=15．故选：A．【点评】本题考查等差数列的前五项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】先确定函数f（x）的周期为2，再利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x，即可得出结论．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立，∴f（x）的周期为2，（x）是定义在R上的偶函数，∴=f（﹣）=f（）∵当x∈[0，1]时，f（x）=2x，∴f（）=，故选：B．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查函数的周期性，属于中档题．6．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设出A、B坐标，利用抛物线焦半径公式求出|AB|，结合抛物线的性质x1x2=2，求出x1=2，x2=，然后求比值即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则斜率为，sinα=|AB|=x1+x2+p=，∴x1+x2==，又x1x2=2可得x1=2，x2=，∴==2．故选D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题．7．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，正方体的体积为：8，三棱锥的体积为：××2×2×1=，故组合体的体积V=8﹣=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，棱柱的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．8．【考点】EF：程序框图．【分析】由n的取值分别为6，12，24，代入即可分别求得S．【解答】解：当n=6时，S=×6×sin60°=2.598，输出S=2.598，6＜24，继续循环，当n=12时，S=×12×sin30°=3，输出S=3，12＜24，继续循环，当n=24时，S=×24×sin15°=3.1056，输出S=3.1056，24=24，结束，∴故选B．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．9．【考点】GI：三角函数的化简求值；H2：正弦函数的图象．【分析】利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，x∈[0，π]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值．【解答】解：函数f（x）=2cos2+sinx．化简可得：f（x）=cosx+sinx+1=2sin（x+）+1∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，可得sin（x+）∈[，1]∴函数f（x）∈[0，3]，故选：C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．10．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：根据题意知，直角三角形△ABC的面积为3．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为为S△ABC×DQ=3，即×3×DQ=3，∴DQ=3，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（）2+（3﹣R）2，∴R=2，则这个球的表面积为：S=4π×22=16π．故选：D．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键，考查等价转化思想思想，是中档题．11．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用线段的垂直平分线的性质定理可得|PF2|=|F1F2|=2c，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|=2a，再由勾股定理和双曲线的定义可得4b﹣2c=2a，结合a，b，c的关系，可得a，c的关系，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，可得|PF2|=|F1F2|=2c，由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得|OA|=a，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|=2a，在直角三角形PMF2中，可得|PM|==2b，即有|PF1|=4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即4b﹣2c=2a，即2b=a+c，即有4b2=（a+c）2，即4（c2﹣a2）=（a+c）2，可得a=c，所以e==．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平面几何中垂直平分线定理和中位线定理的运用，考查运算能力，属于中档题．12．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】令g（x）=f（x）cosx，则g′（x）=f′（x）cosx﹣f（x）sinx＞0，当0＜x＜π时，g（x）在（0，π）递增，即可判断出结论．【解答】解：令g（x）=f（x）cosx，则g′（x）=f′（x）cosx﹣f（x）sinx＞0，当0＜x＜π时，g（x）在（0，π）递增，∵＜＜π，∴＜＜，化为：＜0＜，即a＜b＜c．故选：A．【点评】本题考查了构造函数方法、利用导数研究函数的单调性、三角函数求值考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据菱形中的边角关系，利用平面向量的线性运算与数量积定义，计算即可．【解答】解：如图所示，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，，∴ =+=+，∴=（+）•=•+•=2×2×cos（180°﹣60°）+×2×2=0．故答案为：0．【点评】本题考查了平面向量的数量积和线性运算问题，是基础题．14．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，3），化目标函数z=2x+3y为y=﹣x+，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3+3×3=15．故答案为：15．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①，a=﹣1代入直线方程即可判断；②，“＞”的否定是“≤”；③“sinα=”不能得到“α=2kπ+，k∈Z”，“α=2kπ+，k∈Z”，一定有“sinα=”；④，已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”⇒“a＞”反之也成立．【解答】解：对于①，a=﹣1时，把a=﹣1代入直线方程，得l1∥l2，故正确；对于②，命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定是“∃x0≥0，2x0≤x02”故错；对于③“sinα=”不能得到“α=2kπ+，k∈Z”，“α=2kπ+，k∈Z”，一定有“sinα=”故正确；对于④，已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”⇒“a＞”反之也成立，故正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到命题的否定，充要条件的判断，属于中档题．16．【考点】8H：数列递推式．【分析】依题意可得，与已知关系式作差可得=，可判断出数列{}是以1为公比的等比数列，结合题意可知其首项为=1，利用等比数列的通项公式即可求得答案．【解答】解：∵，①，②①﹣②得： =an+1﹣an，整理得： =，∴=1，又=1，∴数列{}是以1为首项，1为公比的等比数列，∴an=n+1，故答案为：an=n+1．【点评】本题考查数列递推式，求得数列{}是以1为首项，1为公比的等比数列是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于中档题．17．【考点】HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的条件，求出cosA的值，由A的范围和特殊角的三角函数值求出角A的值；（Ⅱ）由条件和正弦定理求出sin∠ADB，由条件求出∠ADB，由内角和定理分别求出∠ABC、∠ACB，结合条件和余弦定理求出边a的值．【解答】解：（Ⅰ）由2cos 2a C c b -=及正弦定理得，2sin cos sin 2sin A C C B -=，…（2分）()2sin cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin A C C A C A C A C -=+=+，∴sin 2cos sin C A C -=，∵sin 0C ≠，∴1cos 2A =-，又()0,πA ∈，∴2π3A =；…（6分）（Ⅱ）在ABD △中，c =B的平分线BD = 由正弦定理得sin sin AB BD ADB A=∠，∴sin sin AB A ADB BD ∠===，…（8分） 由2π3A =得π4ADB ∠=，∴2πππ2π346ABC ⎛⎫∠=--= ⎪⎝⎭•， ∴2πππACB=π366∠--=，AC AB ==由余弦定理得，22222?•cos a BC AB AC AB AC A =+-═=122262⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，∴a =…（12分）【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及两角和的正弦公式等应用，考查转化思想，化简、变形能力．18．【考点】BO ：独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用频率与频数的关系求出样本容量N 、计算出a 、b 的值；（Ⅱ）求出年龄低于40岁的员工数，利用分层抽样原理求出每组抽取的人数；（Ⅲ）根据表中数据计算K2的观测值，查表得出概率结论．【解答】解：（Ⅰ）总人数：2828050.02N ==⨯，a=28， 第3组的频率是：()150.020.020.060.020.4-⨯+++=所以2800.4112b =⨯=…（4分）（Ⅱ）因为年龄低于40岁的员工在第1，2，3组，共有2828112168++=（人），利用分层抽样在168人中抽取42人，每组抽取的人数分别为：第1组抽取的人数为42287168⨯=（人）， 第2组抽取的人数为42287168⨯=（人），第3组抽取的人数为4211228168⨯=（人）， 所以第1，2，3组分别抽7人、7人、28人．…（8分）（Ⅲ）假设0H ：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，求得2K 的观测值()240141448 6.8605 6.63522182218k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯⨯，查表得()2 6.6350.01P K ≥=，从而能有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国 学类书籍和性别有关系…（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题目．19．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW ：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由ABCD 是菱形，可得AD =DC ，OD ⊥AC ，求解三角形可得OD =6，结合M 是BC 的中点，求出OM 、MD ，可得OD2+OM2=MD2，得DO ⊥OM ，由线面垂直的判定可得OD ⊥面ABC ；（Ⅱ）取线段AO 的中点E ，连接NE ．可得NE ∥DO ．由（Ⅰ）得OD ⊥面ABC ，可得NE ⊥面ABC ，求出△ABM 的面积，然后利用等积法求得三棱锥M ﹣ABN 的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD 是菱形，∴,AD DC OD AC =⊥，在ADC △中，12AD DC ==，120ADC ∠=︒，∴6OD =，又M 是BC 的中点，∴16,2OM AB MD ===， ∵222OD OM MD +=，则DO OM ⊥， ∵,OM AC ⊂面ABC ，OMAC O =， ∴OD ⊥面ABC ；（Ⅱ）解：取线段AO 的中点E ，连接NE ．∵N 是棱AD 的中点，∴12NE DO =且//NE DO ． 由（Ⅰ）得OD ⊥面ABC ，∴NE ⊥面ABC ，在ABM △中，12AB =，6BM =，120ABM ∠=︒，∴11sin 12622ABM S AB BM ABM =∙∠=⨯⨯=△∴11112223M ABM M ABD D ABM ABM V V V S OD ---===∙∙=△【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可知：由，求得Q 点坐标，即可求得椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线y =kx ﹣2，代入椭圆方程，由韦达定理，由△＞0，由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，则，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线l 斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：ABP △是等腰直角三角形，()2,2,0a B=， 设()00,Q x y ，由32PQ QB =，则0064,55x y ==-， 代入椭圆方程，解得21b =， ∴椭圆方程为2214x y +=．… （Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，方程为2y kx =-，设()11,M x y ，()22,N x y ， 则22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()221416120k x kx ++=-， 由韦达定理可知：1212221612,1414k x x x x k k +==++，…（8分） 由直线l 与E 有两个不同的交点，则0∆>，即()()2216412140k k ⨯⨯+->-，解得：234k >，…①…（9分） 由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，则，即12120x x y y >+， 则()()1212121222x x y y x x kx kx +-=-+=()()21212124k x x k x x +⨯++-=()21240k k +⨯+>-， 解得：24k <，…②…（11分） 综合①②可知：2344k <<2k <<或2k -<<， 直线l斜率的取值范围32,,2⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．…（12分） 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考查及算能力，属于中档题．21．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）由 f （1）=e ，得a ﹣b =1，由f '（x ）=（﹣3x2﹣x3+2）ex =﹣2e ，得到a ﹣4b =﹣2，由此能求出a ，b ．（Ⅱ）要证f （x ）﹣g （x ）＞2，即证，令h （x ）=2ex ﹣exx3，则h '（x ）=ex （﹣x3﹣3x2+2）=﹣ex （x +1）（x2+2x ﹣2），由此利用导数性质能证明f （x ）﹣g （x ）＞2．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵()1e f =，∴()e e a b -=，∴1a b -=…① 依题意，()'12e f =-，又()()23'32e x f x x x -=+-，∴42a b -=-…② 联立①②解得2,1a b ==…证明：（Ⅱ）要证()()2f x g x ->，即证3ln 2e e 2x x x x x ->+…（6分） 令()32e e x x h x x -=，∴()()()()322'e 32e 122x x h x xx x x x =+=++---- ∴当()0,1x ∈时，0x e -<，10x +>， 令()222p x x x =+-，∵()p x 的对称轴为1x =-，且()()010p p ∙<∴存在()00,1x ∈，使得()00p x = ∴当()00,x x ∈时，()2220p x x x =+-<，∴()()()2'e1220x h x x x x =-++->，即()h x 在()00,x 上单调递增 当()01,x x ∈时，()2220p x x x =+->，∴()()()x 2'e 1220h x x x x =-++-< 即()h x 在()01,x 上单调递减又∵()()02,1e h h ==故当()0,1x ∈时，()()02h x h >=…（10分）又当()0,1x ∈时，ln0x x <，∴ln22x x +<…（11分） 所以3ln 2e e 2x x x x x ->+，即()()2f x g x ->…（12分） 【点评】本题考查实数值的求法，考查不等式的证明，考查导数性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、分类讨论思想，考查函数与方程思想，是中档题．22．【考点】QH ：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）圆C ：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2=4，利用互化公式可得圆C 的极坐标方程．点P 在直线l ：x +y ﹣4=0上，利用互化公式可得直线l 的极坐标方程．（Ⅱ）设P ，Q ，R 的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP |2=|OR |•|OQ |，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C ：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），可得直角坐标方程：224x y +=，∴圆C 的极坐标方程2ρ=． 点P 在直线:40l x y +-=上，直线l 的极坐标方程4sin cos ρθθ=+． （Ⅱ）设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ， 因为124,2sin cos ρρθθ==+， 又因为2||||||OP OR OQ ∙=，即212ρρρ=∙，∴()21221612sin cos ρρρθθ==⨯+， ∴81sin 2ρθ=+． 【点评】本题考查了参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据题意，对x 分3种情况讨论：①当x ＜0时，②当0≤x ＜时，③当x ≥时；在各种情况下．去掉绝对值，化为整式不等式，解可得三个解集，进而将这三个解集取并集即得所求．（2）根据|f （x ）﹣f （a ）|=|x2﹣x ﹣a2+a |=|x ﹣a |•|x +a ﹣1|＜|x +a ﹣1|=|x ﹣a +2a ﹣1|≤|x ﹣a |+|2a ﹣1|＜1+|2a |+1，证得结果．【解答】（1）解：根据题意，对x 分3种情况讨论：当0x <时，原不等式可化为211x x -+<-+，解得0x >，又0x <，则x 不存在，此时，不等式的解集为∅． 当102x ≤<时，原不等式可化为211x x -+<+，解得0x >，又102x ≤<， 此时其解集为102|x x ⎧<<⎫⎨⎬⎩⎭． 当12x ≥时，原不等式化为211x x -<+，解得122x ≤<， 又由12x ≥，此时其解集为21|2x x ⎧⎫⎨≤⎩<⎬⎭， 综上，原不等式的解集为{}2|0x x <<． （2）证明：∵()21f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，()()22|||||||1|||1||21f x f a x x a a x a x a x a x a a -=-+=-+-+-=-+<--∙≤()|||2112|1|21|x a a a a -+-++=+<．∴()()()2||1||f x f a a <-+．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，用放缩法证明不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017年宁夏银川一中高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣9≤0}，B={x|y=ln（﹣x2+x+12）}，则A∩B=（）A．{x|﹣3≤x＜3}B．{x|﹣2＜x≤0}C．{x|﹣2＜x＜0}D．{x|x＜0或x＞2且x≠3}2．复数z满足z（1+i）=|1+i|，则z等于（）A．1﹣i B．1 C．﹣i D．﹣i3．已知直线m、n与平面α、β，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m∥α，n∥β且α⊥β，则m⊥nC．α∩β=m，n⊥β且α⊥β，则n⊥αD．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n4．已知，，，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b5．已知在平面直角坐标系中，曲线f（x）=alnx+x在x=a处的切线过原点，则a=（）A．1 B．e C．D．06．若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A．B．C．D．7．如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．1208．f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω＞0）的图象如图所示，为得到g（x）=﹣Asin（ωx+）的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=16，则S10等于（）A．18 B．24 C．30 D．6010．已知是单位向量，的夹角为90°，若向量|，则|的最大值为（）A．B．C．2 D．11．已知函数f（x）=在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．（0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣1，1]12．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若∠F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．（，+∞） C．（1，2） D．（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积．15．已知点M是半径为4的圆C内的一个定点，点P是圆C上的一个动点，线段MP的垂直平分线l与半径CP相交于点Q，则|CQ|•|QM|的最大值为．16．已知实数a，b满足0＜a＜1，﹣1＜b＜1，则函数有三个零点的概率为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．设函数f（x）=cos2x﹣（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及值域；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B+C）=，a=，b+c=3，求△ABC的面积．18．绿色出行越来越受到社会的关注，越来越多的消费者对新能源汽车感兴趣．但是消费者比较关心的问题是汽车的续驶里程．某研究小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中m的值；（2）求本次调查中续驶里程在[200，300]的车辆数；（3）若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车续驶里程在[200，250]的概率．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥平面ABC，且D，E分别是棱A1B1，A1A1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．（1）求证：EF∥平面BDC1；（2）求三棱锥D﹣BEC1的体积．20．已知函数f（x）=a（x2+1）+lnx．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意a∈（﹣4，﹣2）及x∈[1，3]时，恒有ma﹣f（x）＞a2成立，求实数m的取值范围．21．已知圆O：x2+y2=r2，直线与圆O相切，且直线l：y=kx+m与椭圆C：相交于P、Q两点，O为原点．（1）若直线l过椭圆C的左焦点，且与圆O交于A、B两点，且∠AOB=60°，求直线l的方程；（2）如图，若△POQ的重心恰好在圆上，求m的取值范围．[修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（α为参数）．（1）直线l过M且与曲线C相切，求直线l的极坐标方程；（2）点N与点M关于y轴对称，求曲线C上的点到点N的距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2017年宁夏银川一中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣9≤0}，B={x|y=ln（﹣x2+x+12）}，则A∩B=（）A．{x|﹣3≤x＜3}B．{x|﹣2＜x≤0}C．{x|﹣2＜x＜0}D．{x|x＜0或x＞2且x≠3}【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出A、B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣9≤0}={x|﹣3≤x≤3}，B={x|y=ln（﹣x2+x+12）}={x|x2﹣x﹣12＜0}={x|﹣4＜x＜3}，则A∩B={x|﹣3≤x＜3}，故选：A．2．复数z满足z（1+i）=|1+i|，则z等于（）A．1﹣i B．1 C．﹣i D．﹣i【考点】A8：复数求模．【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，z===1﹣．故选：A．3．已知直线m、n与平面α、β，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m∥α，n∥β且α⊥β，则m⊥nC．α∩β=m，n⊥β且α⊥β，则n⊥αD．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n 【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．【分析】由面面平行的判定定理知A不对，用当m与n都与α和β的交线平行时判断B不对，由面面垂直的性质定理知C不对，故D正确由面面垂直和线面垂直以及平行简单证明．【解答】解：A、由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，故A不对；B、当m与n都与α和β的交线平行时，也符合条件，但是m∥n，故B不对；C、由面面垂直的性质定理知，必须有m⊥n，n⊂β时，n⊥α，否则不成立，故C不对；D、由n⊥β且α⊥β，得n⊂α或n∥α，又因m⊥α，则m⊥n，故D正确．故选D．4．已知，，，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：=﹣log32＜0，=log23＞1，=∈（0，1），∴b＞c＞a．故选：B．5．已知在平面直角坐标系中，曲线f（x）=alnx+x在x=a处的切线过原点，则a=（）A．1 B．e C．D．0【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】求出，，f（a）=alna+a，由此导数的几何意义求出曲线f（x）在x=a处的切线方程为y﹣alna﹣a=2（x﹣a），再由曲线f （x）=alnx+x在x=a处的切线过原点，能求出a．【解答】解：∵f（x）=alnx+x，∴，∴，∵f（a）=alna+a，∴曲线f（x）在x=a处的切线方程为y﹣alna﹣a=2（x﹣a），∵曲线f（x）=alnx+x在x=a处的切线过原点，∴﹣alna﹣a=﹣2a，解得a=e．故选：B．6．若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A．B． C．D．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】先根据二次函数的判断出a，b的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，∴a＞0，﹣＞0，∴b＜0，∵f′（x）=2ax+b，∴函数f′（x）的图象经过一，三，四象限，∴A符合，故选A．7．如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．120【考点】E7：循环结构．【分析】讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足k＜4，退出循环，从而求出p的值，解题的关键是弄清循环次数．【解答】解：第一次：k=1，p=1×3=3；第二次：k=2，p=3×4=12；第三次：k=3，p=12×5=60；第四次：k=4，p=60×6=360此时不满足k＜4．所以p=360．故选B8．f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω＞0）的图象如图所示，为得到g（x）=﹣Asin（ωx+）的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度【考点】HJ ：函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f （x ）的解析式．再根据函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由题意可得A=1， T=•=﹣，解得ω=2，∴f （x ）=Acos （ωx +φ）=cos （2x +φ）．再由五点法作图可得 2×+φ=，∴φ=﹣，∴f （x ）=cos （2x ﹣）=cos2（x ﹣），g （x ）=﹣sin （2x +）=cos （2x ++）=cos2（x +），而﹣（﹣）=，故将f （x ）的图象向左平移个单位长度，即可得到函数g （x ）的图象，故选：D ．9．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8=16，则S 10等于（ ）A ．18B ．24C ．30D ．60 【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】设等差数列{a n }的公差为d ≠0．根据a 4是a 3与a 7的等比中项，可得=（a 1+2d ）（a 1+6d ），化为：2a 1+3d=0．由S 8=16，可得8a 1+×d=16，联立解得a 1，d ．利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ≠0．∵a 4是a 3与a 7的等比中项，∴=（a 1+2d ）（a 1+6d ），化为：2a 1+3d=0． ∵S 8=16，∴8a 1+×d=16，联立解得a 1=﹣，d=1．则S10=+=30．故选：C．10．已知是单位向量，的夹角为90°，若向量|，则|的最大值为（）A．B．C．2 D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设分别是x轴与y轴正方向上的单位向量，则=（1，0），=（0，1），+=（1，1），再设=（x，y），可求得﹣﹣=（x﹣1，y﹣1），利用|﹣﹣|==2，可得点C的轨迹是以（1，1）为圆心，2为半径的圆，求得圆心M（1，1）到原点的距离为|OM|==，从而可得答案．【解答】解：依题意，设分别是x轴与y轴正方向上的单位向量，则=（1，0），=（0，1），+=（1，1），设=（x，y），则﹣﹣=（x﹣1，y﹣1），因为|﹣﹣|==2，所以（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，故=中，点C的轨迹是以（1，1）为圆心，2为半径的圆，圆心M（1，1）到原点的距离为|OM|==，|max=+2．故选：D．11．已知函数f（x）=在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．（0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣1，1]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：x≤1时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1≤1，x＞1时，f（x）=x++1，f′（x）=1﹣≥0在（1，+∞）恒成立，故a≤x2在（1，+∞）恒成立，故a≤1，而1+a+1≥1，即a≥﹣1，综上，a∈[﹣1，1]，故选：C．12．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若∠F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．（，+∞） C．（1，2） D．（2，+∞）【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】可得M，F1，F2的坐标，进而可得，的坐标，由＞0，结合abc的关系可得关于ac的不等式，结合离心率的定义可得范围．【解答】解：联立，解得，∴M（，），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴=（，），=（，），由题意可得＞0，即＞0，化简可得b2＞3a2，即c2﹣a2＞3a2，故可得c2＞4a2，c＞2a，可得e=＞2故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为7．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+3y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，1），B（4，5），C（1，2），当直线过A（2，1）时，目标函数z=2x+3y的最小，最小值为7．故答案为：7．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱柱消去一个三棱锥，根据三视图判断相关几何量的数据，代入棱柱与棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体为四棱柱消去一个三棱锥，如图：四棱柱的底面边长为5，高为3，消去的三棱锥的高为3，底面直角三角形的两直角边长分别为5、3，∴几何体的体积V=5×3×3﹣=．故答案为：．15．已知点M是半径为4的圆C内的一个定点，点P是圆C上的一个动点，线段MP的垂直平分线l与半径CP相交于点Q，则|CQ|•|QM|的最大值为4．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知得|CQ|+|QM|=|CQ|+|QP|=|CP|=4，从而4=|CQ|+|QM|≥2，问题得以解决【解答】解：∵A是半径为4的圆C内一个定点，P是圆C上的一个动点，线段MP的垂直平分线l与半径CP相交于点Q，∴|CQ|+|QM|=|CQ|+|QP|=|CP|=4，∴4=|CQ|+|QM|≥2，∴|CQ|•|QM|≤4，当且仅当Q为CP中点时取等号，∴|CQ|•|QM|的最大值为4．故答案为：4．16．已知实数a，b满足0＜a＜1，﹣1＜b＜1，则函数有三个零点的概率为．【考点】CF：几何概型．【分析】由函数有极值可得b＜a2，由定积分可求满足题意的区域面积，由几何概型的概率公式可得．由函数有极值可得b＜a2，由定积分可求满足题意的区域面积，由几何概型的概率公式可得．【解答】解：对y=ax3+ax2+b求导数可得y′=ax2+2ax，令ax2+2ax=0，可得x=0，或x=﹣2，0＜a＜1，x=﹣2是极大值点，x=0是极小值点，函数y=ax3+ax2+b有三个零点，可得，即，画出可行域如图：满足函数y=ax3+ax2+b有三个零点，如图深色区域，实数a，b满足0＜a＜1，﹣1＜b＜1，为长方形区域，所以长方形的面积为：2，实数区域的面积为：×（1+）=∴所求概率为P==，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．设函数f（x）=cos2x﹣（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及值域；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B+C）=，a=，b+c=3，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）化简可得f（x）=，从而可求最小正周期及值域；（Ⅱ）由已知得，又A∈（0，π），得，由余弦定理得a2=（b+c）2﹣3bc，又，b+c=3，可解得bc=2，从而可求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）=，…所以f（x）的最小正周期为T=π，…∵x∈R∴，故f（x）的值域为[0，2]，…（Ⅱ）由，得，又A∈（0，π），得，…在△ABC中，由余弦定理，得=（b+c）2﹣3bc，又，b+c=3，所以3=9﹣3bc，解得bc=2，…所以，△ABC的面积…18．绿色出行越来越受到社会的关注，越来越多的消费者对新能源汽车感兴趣．但是消费者比较关心的问题是汽车的续驶里程．某研究小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中m的值；（2）求本次调查中续驶里程在[200，300]的车辆数；（3）若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车续驶里程在[200，250]的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（1）利用小矩形的面积和为1，求得m值；（2）求得续驶里程在[200，300]的车辆的频率，再利用频数=频率×样本容量求车辆数；（3）利用排列组合，分别求得5辆中随机抽取2辆车的抽法种数与其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200，250）抽法种数，根据古典概型的概率公式计算．（1）有直方图可得：（0.002+0.005+0.008+m+0.002）×50=1得m=0.003…【解答】解：（2）由题意知续驶里程在[200，300]的车辆数为20×（0.003×50+0.002×50）=5…（3）由题意知，续驶里程在[200，250）的车辆数为3，设为a，b，c，续驶里程在[250，300]的车辆数为2，设为d，e，共有10个基本事件：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，设“其中恰有一辆车续驶里程在[200，250]”为事件A，则事件A包含6个基本事件：ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，则…19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥平面ABC，且D，E分别是棱A1B1，A1A1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．（1）求证：EF∥平面BDC1；（2）求三棱锥D﹣BEC1的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AB的中点O，连接A1O，利用中位线定理得EF∥A1O，由四边形A1DBO为平行四边形得出A O∥BD，故而EF∥BD，于是EF∥平面BDC1；（2）证明C1D⊥平面AA1B1B，于是V=V=．【解答】解：（1）取AB的中点O，连接A1O，∵AF=AB，∴F为AO的中点，又E为AA1的中点，∴EF∥A1O，∵A1D=，BO=，AB A1B1，∴A1D∴四边形A1DBO为平行四边形，∴A1O∥BD，∴EF∥BD，又EF⊄平面BDC1，BD⊂平面BDC1，∴EF∥平面BDC1．（2）∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∵A1C1=B1C1=A1B1=2，D为A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1，C1D=，又AA1⊂平面AA1B B，A1B1⊂平面AA1B B，AA1∩A1B1=A1，∴C1D⊥平面AA1B1B，∵AB=AA1=2，D，E分别为A1B1，AA1的中点，=22﹣﹣﹣=．∴S△BDE∴V=V===．20．已知函数f（x）=a（x2+1）+lnx．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意a∈（﹣4，﹣2）及x∈[1，3]时，恒有ma﹣f（x）＞a2成立，求实数m的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先求出f′（x），分a≥0、a＜0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可求得单调区间；（Ⅱ）对任意x∈[1，3]时，恒有ma﹣f（x）＞a2成立，等价于ma﹣a2＞f（x），由（Ⅰ）知f（x）的单调性，根据单调性易求f（x）max，转化为关于a的max不等式，分离出参数m后，再求关于a的函数的最值即可；【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2ax+=（x＞0），①当a≥0时，恒有f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；②当a＜0时，当时，f'（x）＞0，则f（x）在上是增函数；当时，f'（x）＜0，则f（x）在上是减函数；综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在上是增函数，在上是减函数．（Ⅱ）由题意知对任意a∈（﹣4，﹣2）及x∈[1，3]时，恒有ma﹣f（x）＞a2成立，等价于ma﹣a2＞f（x）max，因为a∈（﹣4，﹣2），所以由（Ⅰ）知：当a∈（﹣4，﹣2）时，f（x）在[1，3]上是减函数，所以f（x）max=f（1）=2a，所以ma﹣a2＞2a，即m＜a+2，因为a∈（﹣4，﹣2），所以﹣2＜a+2＜0，所以实数m的取值范围为m≤﹣2．21．已知圆O：x2+y2=r2，直线与圆O相切，且直线l：y=kx+m与椭圆C：相交于P、Q两点，O为原点．（1）若直线l过椭圆C的左焦点，且与圆O交于A、B两点，且∠AOB=60°，求直线l的方程；（2）如图，若△POQ的重心恰好在圆上，求m的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由直线与圆相切可求得圆的半径，由∠AOB=60°可得圆心到直线的距离，由此可得直线斜率，即可求解直线方程．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）由得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由△＞0，得2k2+1＞m2…（※），由△POQ重心（，）恰好在圆上，得，化简得，代入（※）得k≠0，即由k≠0，求出m的范围【解答】解：（1）因为直线与圆O：x2+y2=r2相切∴∴因为左焦点坐标为F（﹣1，0），设直线l的方程为y=k（x+1）由∠AOB=60°得，圆心O到直线l的距离又，∴，解得，∴直线l的方程为（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）由得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0由△＞0，得2k2+1＞m2…（※），且由△POQ重心（，）恰好在圆上，得，即，即．∴，化简得，代入（※）得k≠0又由k≠0，得，∴，∴m2＞1，得m的取值范围为m＜﹣1或m＞1[修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（α为参数）．（1）直线l过M且与曲线C相切，求直线l的极坐标方程；（2）点N与点M关于y轴对称，求曲线C上的点到点N的距离的取值范围．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+2，圆曲线C的普通方程联立消元，令判别式等于0求出k，得出直角坐标方程，再转化为极坐标方程；（2）求出N到圆心的距离，即可得出最值．【解答】解：（1）M的直角坐标为（2，2），曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2=4．设直线l的方程为y=k（x﹣2）+2，联立方程组得（1+k2）x2+（4k﹣4k2﹣2）x+4k2﹣8k+1=0，∵直线l与曲线C相切，∴（4k﹣4k2﹣2）2﹣4（1+k2）（4k2﹣8k+1）=0，解得k=0或k=﹣．∴直线l的方程为y=2或y=﹣（x﹣2）+2，即4x+3y﹣8=0，∴直线l的极坐标方程为ρsinθ=2或4ρcosθ+3ρsinθ﹣8=0．（2）点N的坐标为N（﹣2，2），C（1，0）．CN==，圆C的半径为2．∴曲线C上的点到点N的距离最大值为+2，最小值为﹣2．曲线C上的点到点N的距离的取值范围是[﹣2， +2]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．2017年6月10日。