第4讲(教师) 菱形的性质与判定

第4讲菱形的性质与判定知识精讲：1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

菱形是的平行四边形。

2、菱形的性质：定理1：菱形的四边相等定理2：菱形的对角相等定理3:菱形的对角线互相互相垂直平分3、菱形的判定方法（1）四边相等的四边形是菱形（2）对角线互相____ 的平行四边形是菱形4、菱形的面积是它两条对角线长的乘积的一半.如图，在□ABCD中，AC和BD是对角线，并且AC⊥BD于点O,求证：□ABCD是菱形.O D CBA典型例题例1．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．（1）证明：∵AB∥CD，即AE∥CD，又∵CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形．∵AC平分∠BAD，∴∠CAE=∠CAD，∵AD∥CE，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，∴四边形AECD是菱形；（2）解：△ABC是直角三角形．证法一：∵E是AB中点，∴AE=BE．又∵AE=CE，∴BE=CE，∴∠B=∠BCE，∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°，∴2∠BCE+2∠ACE=180°，∴∠BCE+∠ACE=90°．即∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．证法二：连DE，由四边形AECD是菱形，得到DE⊥AC，且平分AC，设DE交AC于F，∵E是AB的中点，且F为AC中点，∴EF∥BC．∠AFE=90°，∴∠ACB=∠AFE=90°，∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形．例2.如图在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D 点，过D 作DE ∥AC 交AB 于E 点, 过D 作DF ∥AB 交AC 于F 点.求证：（1）四边形AEDF 是平行四边形 （2）∠2﹦∠3 （3）四边形AEDF 是菱形321FED C B A证明∵DF ∥AE,DE ∥AF∴四边形AEDF 是平行四边形∵DF ∥AE∴∠1=∠3∵AD 为角平分线∴∠1=∠2∴∠2=∠3∴FD = FA∵四边形AEDF 是平行四边形∴四边形AEDF 是菱形例3在□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，并且AB =9，OB =6，OA .求证：（1）AC ⊥BD（2）□ABCD 是菱形吗？说说你的理由. （3）求四边形ABCD 的面积.OD C BA例4. 如图，AC⊥BC，AE 平分∠CAB ，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，连接FG ，求证：CEFG 为菱形.∵AC ⊥BC EF ⊥AB∴∠ACB=∠AFE∵AE 平分∠CAB∴∠CAE=∠BAE∵AE=AE∴△ACE ≌△AEF∴AC=AF∵AG=AG∴△AGC≌△AGF∴∠1=∠2又∵∠ACE=∠AFE=90°∴∠3=∠4∵CD⊥AB EF⊥AB∴CD∥EF∴∠4+∠CGF=180°即∠3+∠CGF=180°∴CE∥GF即四边形CEFG为平行四边形∵AE平分∠CAB EC⊥AC EF⊥AB∴EC=EF∴平行四边形CEFG为菱形（2014吉林）25．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm,BD=8cm，动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿B→C→D运动，到点D停止，点Q沿D→O→B 运动，到点O停止1s后继续运动，到B停止，连接AP，AQ，PQ.设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）（1）填空：AB= cm,AB与CD之间的距离为cm；（2）当4≤x≤10时，求y与x之间的函数解析式；（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值.一、选择题1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补分析：根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项错误；B、菱形和矩形的对角线都相等；故本选项正确；C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项正确；D、菱形对角相等，但不互补；故本选项正确；故选A．2.在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm分析：根据菱形的四条边长都相等的性质、菱形的周长=边长×4解答解：∵在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA，AB=5cm，∴菱形的周长=AB×4=20cm；故选C．3.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是___________．分析：由四边形ABCD是菱形，即可得AB=BC=CD=AD，又由∠BAD=60°，BD=4，即可证得△ABD 是等边三角形，即可求得菱形的边长，继而求得菱形ABCD的周长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=AD=BD=4，∴菱形ABCD的周长是：4×4=16．故答案为：16．4.用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A、一组临边相等的四边形是菱形B、四边相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形分析：关键菱形的判定定理（有四边都相等的四边形是菱形）判断即可．解：由图形做法可知：AD=AB=DC=BC，∴四边形ABCD是菱形，故选B．5.已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（）A、20B、14C、28D、24分析：由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O，则由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，∴AB=5，∴周长L=4AB=20，故选A．6如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE 的长度为何？（）A、8B、9C、11D、12分析：首先连接AC，设AC交BD于O点，由四边形ABCD为菱形，利用菱形对角线互相垂直且平分的性质及勾股定理，即可求得DE的长度．解：连接AC，设AC交BD于O点，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，且BO=DO==8，在△AOD中，∵∠AOD=90°，∴AO===15，在△AOE中，∵∠AOE=90°，∴OE===20，又OD=8，∴DE=OE﹣OD=20﹣8=12．故选D．7.如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD与GH相交于I点，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI的面积为何？（）A、6B、8C、10﹣2D、10+2分析：利用菱形和正方形的性质分别求得HE和ID、DE的长，利用梯形的面积计算方法算得梯形的面积即可．解：四边形ABCD为菱形且∠A=60°⇒∠ADE=180°﹣60°=120°，又AD∥HE⇒∠DEH=180°﹣120°=60°，作DM⊥HE于M点，则△DEM为30°﹣60°﹣90°的三角形，又DE=4⇒EM=2，DM=2，且四边形EFGH为正方形⇒∠H=∠I=90°，即四边形IDMH 为矩形⇒ID=HM=5﹣2=3，梯形HEDI 面积==8．故选B ．8.如图，菱形ABCD 的周长是16，∠A =60°，则对角线BD 的长度为（ ）A ．2B ．23C ．4D ．3分析：由菱形ABCD 的周长是16，即可求得AB=AD =4，又由∠A =60°，即可证得△ABD 是等边三角形，则可求得对角线BD 的长度．解：∵菱形ABCD 的周长是16，∴AB=AD=CD=BC =4，∵∠A =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AB=AD=BD =4．∴对角线BD 的长度为4．故选C ．9.如图，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，且AB=CD ．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH 是矩形，③HF 平分∠E HG ，④EG=21（BC ﹣AD ），⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD 可得四边形EFGH 是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断．解：∵E、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点， ∴EF=21CD ，FG=21AB ，GH=21CD ，HE=21AB ， ∵AB=CD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFH 是菱形，∴①EG⊥FH，正确；②四边形EFGH 是矩形，错误；③HF 平分∠EHG，正确； ④EG=21（BC ﹣AD ），只有AD∥BC 是才可以成立，而本题AD 与BC 很显然不平行，故本小题错误；⑤四边形EFGH 是菱形，正确．综上所述，①③⑤共3个正确．故选C ．10.依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形分析先连接AC 、BD ，由于E 、H 是AB 、AD 中点，利用三角形中位线定理可知EH ∥BD ，同理易得FG ∥BD ，那么有EH ∥FG ，同理也有EF ∥HG ，易证四边形EFGH 是平行四边形，而四边形ABCD 是菱形，利用其性质有AC ⊥BD ，就有∠AOB =90°，再利用EF ∥AC 以及EH ∥BD ，两次利用平行线的性质可得∠HEF =∠BME =90°，即可得证．证明：如右图所示，四边形ABCD 是菱形，顺次连接个边中点E 、F 、G 、H ，连接AC 、BD ， ∵E 、H 是AB 、AD 中点，∴EH ∥BD ，同理有FG ∥BD ，∴EH ∥FG ，同理EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ， ∴∠AOB =90°，又∵EF ∥AC ，∴∠BME =90，∵EH ∥BD ，∴∠HEF =∠BME =90°，∴四边形EFGH 是矩形．故选A ．11.如图，两条笔直的公路l 1、l 2相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A 、B 、D ，已知AB=BC=CD=DA =5公里，村庄C 到公路l 1的距离为4公里，则村庄C 到公路l 2的距离是（ ）A 、3公里B 、4公里C 、5公里D 、6公里分析：根据菱形的对角线平分对角，作出辅助线，即可证明．解：如图，连接AC ，作CF ⊥l 1，CE ⊥l 2；∵AB=BC=CD=DA =5公里，∴四边形ABCD 是菱形，∴∠CAE =∠CAF ，∴CE=CF =4公里．故选B ．12.如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C ．D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形分析：根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC 四边的关系进而得出四边形一定是菱形． 解：∵分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C ．D ， ∴AC =AD =BD =BC ，∴四边形ADBC 一定是菱形，故选：B ．13.已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）A 、163B 、16C 、83D 、8考点：菱形的性质。