010网络班 数学
2023-2024学年北京东城区一零九中高一(上)期中数学试题及答案
2023北京一零九中高一（上）期中数 学一、选择题（10道题共40分）1. 已知全集U =R ，{}3A x x =≤，{}16B x x =−<<，则如图中阴影部分表示的集合是（ ）A. {}13x x −<≤ B. {}6x x < C. {}36x x <<D. {}1x x ≤−2. 已知{}3A x x =>，104x B x x ⎧⎫−=≤⎨⎬−⎩⎭，则A B =（ ）A. [3,4]B. (3,4]C. (3,4)D. [3,4)3. 在下列各组中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）A.()f x x =，()g x =B. ()()0f x x x =≥，()g x x =C.()f x x =，()2xg x x=D. ()f x =，()g x =4. 下列函数中，是偶函数且在区间()0,∞+上单调递减的是（ ） A. 3y x =B. 21y x=C. 2y x x =+D. 1y x =−5. 已知a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a b > B. 22ac bc > C. 22a b >D. c a c b −<−6. 要制作一个面积为2平方米，形状为直角三角形的铁架框，现有下列四种长度的铁管，最合理（够用，又浪费最少）的是（ ） A. 4.6B. 4.8米C. 6.8米D. 7米7. 要得到函数1xy x =−的图象，只需将函数1y x=的图象（ ） A. 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D.向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度8. 幂函数24m m y x =－（m Z ∈）的图象如图所示，则m 的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 39. 若定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+上是增函数，又()40f −=，则不等式()0x f x ⋅>的解集为（ ）A. {}440x x x >−<<或 B. {}044x x x <<<−或 C. {}44x x x ><−或D. {}0440x x x <<−<<或10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且当0x <时，()0f x >．给出以下四个结论： ①()00f =；②()f x 可能是偶函数；③()f x 在[],m n 上一定存在最大值()f n ； ④()10f x −>的解集为{}1x x <． 其中正确的结论为（ ） A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④二、填空题（5道题共25分）11. 函数()f x ____________ 12. 若集合M 满足{}{}1,21,2,3,4M ⊆⊆，则集合M =______.（写出一个集合M 即可） 13. 已知2(1)1f x x −=+，则()f x 的解析式为___________. 14. 已知0,0x y >>，且121x y+=，则2x y +的取值范围是_____________ 15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a−−−的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________．三、解答题（6道题共85分）16. 若集合{}211A x m x m =−<<+，{}24B x x =<． （1）当2m =时，求A B ⋃，A B ⋂； （2）若AB A =，求实数m 的取值范围．17. 如图，欲建一块面积为144平方米的矩形草地，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用（铁丝网可以剩余），若利用x 米墙，（1）求x 的取值范围； （2）求最少需要多少米铁丝网. 18. 已知函数()222f x x x =−−（1）求()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若()()g x f x mx =−在[]2,4上是单调函数，求实数m 的集合. 19. 已知函数()af x x x=−，若()11f =− （1）求a 的值；（2）证明函数在定义域内的奇偶性； （3）证明函数在()0,∞+上为增函数. 20. 已知函数()21ax bf x x +=+是定义域为(),21a a −−的奇函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在定义域上是增函数； （3）求不等式()()21f x f x −>−的解集.21. 对于函数()f x ，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”；若()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则称0x 为()f x 的“稳定点”．函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}A x f x x ==，(){}B x f f x x ⎡⎤==⎣⎦．（1）设函数()34=+f x x ，求集合A 和B ； （2）求证：A B ⊆；（3）设函数()()20f x ax bx c a =++≠，且A =∅，求证：B =∅．参考答案一、选择题（10道题共40分）1. 【答案】C 【分析】求出{}3UA x x =>，图中阴影部分表示的集合是()UB A ⋂，由此能求出结果.【详解】解：∵全集U =R ，{}3A x x =≤，∴{}3UA x x =>，∵{}16B x x =−<<，∴图中阴影部分表示的集合是：(){}36U B A x x ⋂=<<.故选：C. 2. 【答案】C【分析】先解分式不等式把集合B 表示出来，然后根据集合的交集运算即可求解.【详解】由题意()()1401014440x x x x x x ⎧−−≤−≤⇔⇔≤<⎨−−≠⎩， 所以集合{}10|144x B xx x x ⎧⎫−=≤=≤<⎨⎬−⎩⎭，又集合{}3A x x =>，由交集运算可知{}()343,4A B x x ⋂=<<= 故选：C. 3. 【答案】A【分析】根据函数的定义判断．【详解】选项A 中两个函数定义域都是R ，对应法则也相同，是同一函数；选项B 中，()f x 定义域是[0,)+∞，()g x 的定义域是R ，两函数定义域不相同，不是同一函数； 选项C 中，()f x 定义域是R ，()g x 的定义域是{|0}x x ≠，两函数定义域不相同，不是同一函数；选项D 中，由010x x ≥⎧⎨−≥⎩得1x ≥，由(1)0x x −≥得0x ≤或1x ≥，()f x 的定义域是[1,)+∞，()g x 的定义域是(,0][1,)−∞⋃+∞，两函数定义域不相同，不是同一函数；故选：A ． 4. 【答案】B【分析】根据奇偶性定义与单调性定义判断． 【详解】3y x =是奇函数，21y x=是偶函数且在(0,)+∞上递减， 2y x x =+的图象关于直线12x =−对称轴，既不是奇函数也不是偶函数，1y x =−关于直线1x =对称，既不是奇函数也不是偶函数，故选：B ． 5. 【答案】D 【分析】取0a =，1b即可判断A ，C ；取0c 即可判断B ；根据不等式的性质即可判断D ．【详解】对于A ，取0a =，1b ，此时a b <，故A 错误；对于B ，取0c，此时22ac bc =，故B 错误；对于C ，取0a =，1b，此时22a b <，故C 错误；对于D ，由a b >，则a b −<−，所以c a c b −<−，故D 正确． 故选：D ． 6. 【答案】D【分析】设一个直角边长为()0,4x ∈米，可得直角三角形的周长4y x x =++运算求解.【详解】设一个直角边长为()0,4x ∈米，则另一直角边长为4x米，可得直角三角形的周长44y x x =++≥=+， 当且仅当22416x xx x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2x =时，等号成立，又因为1.4 1.5<<，可得6.847<+<，即直角三角形的周长大于6.8米，所以合理（够用，又浪费最少）的是7米. 故选：D. 7. 【答案】A【分析】先变形得到1111x y x x ==+−−，故利用“上加下减，左加右减”得到答案.【详解】1111111x x y x x x −+===+−−−，故1y x=先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到1xy x =−. 故选：A 8. 【答案】C【分析】由给出的幂函数的图象，得到幂指数小于0，且幂函数为偶函数，然后逐一代入验证即可得到答案．【详解】解：由函数图象可知，幂函数为偶函数，且幂指数小于0，当0m =时，240m m −=，不合题意；当1m =时，243m m −=−，幂函数为奇函数，不合题意；当2m =时，244m m −=−，满足幂函数为偶函数，且幂指数小于0，符合题意； 当3m =时，243m m −=−，幂函数为奇函数，不合题意． ∴m 的为2． 故选C ．【点睛】本题考查了幂函数的图象，考查了幂函数的性质，训练了代入验证法，是基础题． 9. 【答案】C【分析】由函数的单调性以及奇偶性先得出()f x 的符号随x 的变化情况，然后列表即可求解. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，又()40f −=，所以()()440f f =−−=， 注意到()f x 在()0,∞+上是增函数，所以当04x <<时，有()()40f x f <=，当>4x 时，有()()40f x f >=， 又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以当40x −<<时，有04x <−<，()()()40f x f x f =−−>−=， 当<4x −时，有4x −>，()()()40f x f x f =−−<−=， 所以()(),,x f x x f x ⋅的符号随x 的变化情况如下表：由上表可知：不等式0x f x ⋅>的解集为44.x x x ><−或 故选：C. 10. 【答案】C【分析】令0x =，即可判断①；令y x =−，结合奇偶性得定义即可判断②；设x y <，结合当0x <时，()0f x >，判断出函数的单调性，即可判断③④.【详解】对于①，令0x =，则()()()000f f f =+，所以()00f =，故①正确； 对于②，令yx =−，则()()()00f f x f x =+−=，所以()()f x f x −=−，所以()f x 为奇函数，又当0x <时，()0f x >，所以()f x 不是常函数，不可能是偶函数，故②错误； 对于③，设x y <，则0x y −<，则()()()()()0f x y f x f y f x f y −=+−=−>， 所以()()f x f y >，所以()f x 是减函数，所以()f x 在[],m n 上一定存在最大值()f m ，故③错误； 对于④，因为()f x 为减函数，()00f =， 由()()100f x f −>=，得10x −<，解得1x <， 所以()10f x −>的解集为{}1x x <，故④正确. 故选：C.二、填空题（5道题共25分）11. 【答案】{3x x ≥且}4x ≠【分析】根据初等函数定义及计算法则可求出定义域. 【详解】根据函数定义可知3040x x −≥⎧⎨−≠⎩，解得3x ≥且4x ≠故答案为：{3x x ≥且}4x ≠ 12. 【答案】{}1,2（答案不唯一）.【分析】根据题意可知集合M 中至少含元素1和2，且为集合{}1,2,3,4的子集，从而可求出集合M . 【详解】因为集合M 满足{}{}1,21,2,3,4M ⊆⊆， 所以{}1,2M =，或{}1,2,3，或{}1,2,4，或{}1,2,3,4， 故答案为：{}1,2（答案不唯一）. 13. 【答案】2()22f x x x =++ 【分析】换元法求解析式即可. 【详解】令1x t −=，则1x t =+， 所以()22()1122f t t t t =++=++， 因此2()22f x x x =++， 故答案为：2()22f x x x =++. 14. 【答案】[)9,+∞【分析】根据()1222x y x y x y ⎛⎫+=++⎪⎝⎭，结合基本不等式求解即可.【详解】因为121x y +=，故()1222225y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，又0,0x y >>，故22559y x x y ++≥+=，当且仅当22y x x y =，即3x y ==时取等号，故2x y +的取值范围是[)9,+∞.故答案为：[)9,+∞ 15. 【答案】①②③【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】()()f b f a b a−−−表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题（6道题共85分）16. 【答案】（1）5|}2{A B x x ⋃=−<<，{|12}A B x x =<<； （2）[1,1]−【分析】（1）解一元二次不等式求集合B ，应用集合交并运算求集合； （2）由题设有A B ⊆，再列不等式组求参数范围，注意说明A ≠∅.【小问1详解】由2m =，则{|15}A x x =<<，而{}24{|22}B x x x x =<=−<<，所以5|}2{A B x x ⋃=−<<，{|12}A B x x =<<.【小问2详解】由A B A A B ⋂=⇒⊆，而{|22}Bx x，若22217112()024m m m m m −≥+⇒−+=−+≤，显然不成立，即A ≠∅，所以2121112m m m −≥−⎧⇒−≤≤⎨+≤⎩，m 的取值范围为[1,1]−. 17. 【答案】（1）836x ≤≤．（2）【分析】（1）由矩形三边长不大于44，列不等式可得；（2）矩形三边长的和为铁丝的长度，利用基本不等式得最小值． 【小问1详解】 由题意144244x x⨯+≤，解得836x ≤≤． 【小问2详解】所用铁丝长度为288y x x =+≥=288x x =，即x =时等号成立．所以最小需要米．18. 【答案】（1）()f x 的最大值是1, ()f x 的最小值是3−; （2）{2m m ≤或}6m ≥.【分析】（1）利用二次函数在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性，求出最大值和最小值;（2）该二次函数要在区间[]2,4上单调，则对称轴222m +≤或242m +≥，解不等式即可. 【小问1详解】()2222(1)3f x x x x =−−=−−,1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,对称轴1x =,∴()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；在[]1,3单调递增.∴()()min 13f x f ==−,()()()2max31331f x f ==−−=.【小问2详解】由题意可得：()()()222g x f x mx x m x =−=−+−，对称轴22m x +=, ()g x 在[]2,4上是单调函数，∴242m +≤或222m +≤， 解得：2m ≤或6m ≥,所以实数m 的集合为：{2m m ≤或}6m ≥. 19. 【答案】（1）2； （2）证明见解析； （3）证明见解析．【分析】（1）由(1)1f =−计算可得；（2）由奇偶性定义证明即可；（2）由单调性定义证明即可．【小问1详解】由已知(1)11f a =−=−，2a ∴=；【小问2详解】由（1）2()f x x x=−，定义域是{|0}x x ≠， 22()()()f x x x f x x x−=−+=−−=−， 所以()f x 是奇函数；【小问3详解】设12,x x 是(0,)+∞上任意两个实数，且12x x <，1212121212222()()()()(1)f x f x x x x x x x x x −=−−−=−+， 120x x <<，则120x x −<，12210x x +>，所以12())0(f x f x −<，即12()()f x f x <． 所以函数()f x 在()0,∞+上为增函数．20. 【答案】（1）2()((1,1))1x f x x x =∈−+； （2）证明见解析； （3）3(,2)2．【分析】（1）由奇偶性的函数的定义域关于0对称求得a ，由奇函数的性质(0)0f =求得b 得解析式； （2）根据单调性的定义证明；（3）由单调性的性质及定义域列不等式组求解．【小问1详解】由题意210a a −+−=，1a =，2()1x b f x x +=+，又(0)0f b ==， ()()21x f x f x x −−==−+满足题意． 所以2()((1,1))1x f x x x =∈−+； 【小问2详解】设任意的12x x <且12,(1,1)x x ∈−，1212121222221212()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x −−−=−=++++， 又1211x x −<<<，所以12120,10x x x x −<−>，所以12())0(f x f x −<，12()()f x f x <， 所以()f x 在定义域(1,1)−上是增函数；【小问3详解】由（2）得212111x x x x −>−⎧⎪−<⎨⎪−>−⎩，解得322x <<．解集为3(,2)2． 21. 【答案】（1）{}2A B ==−（2）证明见解析 （3）证明见解析【分析】（1）当()34=+f x x 时，直接解方程()f x x =、()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，可得出集合A 、B ； （2）分A =∅、A ≠∅两种情况讨论，第一种情况直接验证即可；在第二种情况下，任取0x A ∈，由“稳定点”和“不动点”的定义证得0x B ∈，即可得出结论；（3）分0a >、a<0两种情况讨论，在第一种情况下，推导出()f x x >，结合不等式的基本性质可得出()f f x x >⎡⎤⎣⎦，从而得出B =∅；在第二种情况下，推导出()f x x <，结合不等式的基本性质可得出()f f x x <⎡⎤⎣⎦，从而得出B =∅.综合可证得结论成立.【小问1详解】解：由()34f x x x =+=，可得2x =−，即{}2A =−，由()()3344916f f x x x x =++=+=⎡⎤⎣⎦，解得2x =−，即{}2B =−.故当()34=+f x x 时，{}2A B ==−.【小问2详解】证明：当A =∅，则A B ⊆成立，若A ≠∅，对任意的0x A ∈，()00f x x =，则()()000f f x f x x ==⎡⎤⎣⎦，所以，0x B ∈， 因此，A B ⊆.综上所述，A B ⊆.【小问3详解】证明：因为A =∅，则关于x 的方程()20ax bx c x a ++=≠无实解， 即方程()210ax b x c +−+=无实解，则()2140b ac ∆=−−<， 构造函数()()21g x ax b x c =+−+， ①当0a >时，函数()g x 的图象恒在x 轴上方，即对任意的x ∈R ，则()f x x >恒成立，则()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦，即()0f f x x −>⎡⎤⎣⎦恒成立，即B =∅；②当a<0时，函数()g x 的图象恒在x 轴下方，即对任意的x ∈R ，则()f x x <恒成立，则()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦，即()0f f x x −<⎡⎤⎣⎦恒成立，即B =∅. 综上所述，当A =∅时，B =∅.【点睛】关键点点睛：在证明第三问时，要注意分0a >、a<0两种情况分析，确定()f x 与x 之间的大小关系，进而可得出()f f x ⎡⎤⎣⎦与x 的大小，从而证出结论成立.。
2023人大附中早培初试
2023年人大附中早培班选拔初试数学题1.把14米长的绳子剪成相等的3段，每段是绳长的().A.112B.16C.13D.34解：C ．14米是迷惑性条件，每段是整个绳子的132.把一张圆形纸片对折3次，得到一个扇形，它的圆心角为()度A.22.5B.120C.90D.45解：D .一次对折为180°，两次对折为90°，三次对折为45°3.在下面这些分数中，可以化成有限小数的是().A.899B.1124C.615D.47解：C ．615=0.44.东东坐在教室的第二列第四排，用数对表示为(2,4).星星坐在第六列第一行，可用( )表示 .A.(6,1)B.(0,6)C.(1,6)D.(6,0)解：A ．考察有序数对思想5.有一个近似长方体的物体，长约65厘米，宽约60米，高约180厘米，下列物体中最有可能的是()A.冰箱B.货车车厢C.橡皮D.牙膏盒解：A ．考察学生的常识，货车车厢太大，橡皮牙膏盒太小6.要使五位数84692除以三位数△67 的商是一个三位数，△里的数最大是().A.9B.8C.7D.6解：C ．设为x 最大，99(100x +67)<84692,x <7.9,所以最大为77.如果甲数是6,甲数是乙数的23,那么乙数和甲题的比是()A.6:9B.2:3C.3:4D.3:2解：D．乙是9，所以甲：乙=3:28.一个圆柱的底面直径扩大5倍，而高不变，这时它的体积是原来的()倍A.5B.15C.无法确认D.25解：D ．V =πr 2h ,当r 扩大5倍，V 扩大52倍9.()不能分割成两个完全一样的三角形A.平行四边形B.长方形C.正方形D.梯形解：D．10.38527除以436余159,商中间(),A.有三个0B.有两个0C.有一个0D.没有0解：D．设商为x，38527=436x+159,即88×436=436x,所以x=88,中间没有011.判断能否构成群：所有形如a+b2的数(这里a,b是有理数),运算为数的加法.A. 能构成B. 不能构成解：能构成群.群的基本要素：有单位元0，满足结合律，每个元素都有逆元-a-b2，对元素运算封闭，所以a+b2在加法运算意义下是群12.判断能否构成群：所有正整数，运算为数的乘法.A. 能构成B. 不能构成解：不能构成群．单位元是1，满足结合律，对元素运算封闭，但除1外其他元素均没有逆元（倒数不是正整数），所以不是群13.判断能否构成群：所有被3整除的数，运算为数的加法.A. 能构成B. 不能构成解：能构成群．单位元是0，满足结合律，3的倍数相加还是3的倍数，所以运算封闭，逆元为相反数14.判断能否构成群：所有分母为1,2,3的有理数，运算为数的加法.A. 能构成B. 不能构成解：不能构成群．12+13=56，56不在此集合中，不满足运算封闭15.判断能否构成群：所有分母为1,2的有理数，运算为数的加法.A. 能构成B. 不能构成解：能构成群．单位元是0，满足结合律，运算封闭，逆元为相反数。
二年级奥数-第二学期-010重叠问题(二)
二年级创新思维春季班讲义：第十讲重叠问题（二）姓名：【例4】（1）如果将两块同样长的木条钉在一起共长15厘米，中间钉在一起的长度是3厘米，问：原来每块木条长多少厘米？答：原来每块木条长（）厘米。
（2）两块木条各有8厘米，如果把他们钉在一起时，中间重合部分是3厘米，钉成后这块木条有多少厘米？答：钉成后这块木条有（）厘米。
（3）两块木条各有9厘米，钉成一块长14厘米的木条，中间重合的部分是几厘米？答：中间重合的部分是（）厘米。
练一练（四）1、（1）两块木条各长40厘米，把它们钉在一起，中间钉在一起的地方是10厘米，这块钉起来的木条长多少厘米？答：这块钉起来的木条长（）厘米。
（2）两块木条各长40厘米，钉在一起的木条长70厘米，中间钉在一起的地方长多少厘米？答：中间钉在一起的地方长（）厘米。
2、有两块同样长的木条，钉成了一块长13分米的长木条，中间顶在一起的重叠部分长1分米，这两块木条原来各有多少分米？答：这两块木条原来各有（）分米。
【例5】王老师出了两组数学兴趣题给18名同学做，做对第一组的有10名同学，做队第二组的有12名同学，两题都做对的有多少名同学？答：两题都做对的有（）名同学。
练一练（五）1、有一个班英语、数学期终考试得100分的共有8人，其中英语100分的有5人，数学100分的有6人，两门学科都得100分的有几人？答：两门学科都得100分的有（）人。
2、有100个同学带矿泉水和水果去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有71人，两样都带有至少有多少人？答：两样都带有至少有（）人。
3、二（3）班有39人，全班都订了报，订《少年报》的有35人，订《拼音报》有8人，两样报纸都订的有多少人？答：两样报纸都订的有（）人。
4、三年级学生中，音乐爱好者有38名，电脑爱好者有64名，两项都爱好的有27名，这个年级有多少名学生？答：这个年级有（）名学生。
5、在1～30中，既不是3的倍数，又不是5的倍数的数有多少个？答：又不是5的倍数的数有（）个。
初中数学线上培优班教案
教案名称：初中数学线上培优班教案课时安排：2课时（90分钟）教学目标：1. 使学生掌握有理数的乘法运算法则，提高运算能力。
2. 通过线上教学平台，培养学生的自主学习能力与合作精神。
3. 提高学生解决实际问题的能力，培养学生的创新思维。
教学内容：1. 有理数的乘法运算。
2. 运用线上教学平台进行数学探究活动。
教学过程：第一课时：一、导入（10分钟）1. 教师通过线上教学平台与学生互动，询问学生对有理数乘法运算的掌握情况。
2. 引导学生回顾有理数乘法的基本运算法则。
二、自主学习（15分钟）1. 学生根据教师提供的线上学习资源，自主学习有理数乘法运算的法则。
2. 学生通过线上平台完成相关练习题，巩固所学知识。
三、课堂讲解（20分钟）1. 教师根据学生的自主学习情况，讲解有理数乘法运算的重点和难点。
2. 运用线上教学平台的互动功能，引导学生积极参与课堂讨论，解答疑问。
四、线上互动游戏（10分钟）1. 教师设计有关有理数乘法的互动游戏，让学生在游戏中巩固知识。
2. 学生通过线上平台参与游戏，提高学习的趣味性。
第二课时：一、复习导入（10分钟）1. 教师通过线上教学平台与学生互动，回顾上节课所学的有理数乘法运算。
2. 引导学生运用所学的知识解决实际问题。
二、线上探究活动（20分钟）1. 教师提出探究任务，引导学生运用线上教学资源进行合作探究。
2. 学生分组讨论，通过线上平台交流探究成果。
三、解决问题（15分钟）1. 教师提出实际问题，引导学生运用所学的有理数乘法运算知识解决问题。
2. 学生通过线上平台提交解题过程和答案。
四、总结与评价（10分钟）1. 教师对学生的线上学习情况进行总结，给予评价和反馈。
2. 学生进行自我评价，反思学习过程中的优点和不足。
教学评价：1. 通过线上教学平台收集学生的学习数据，评估学生对有理数乘法运算的掌握程度。
2. 关注学生在线上探究活动和解决问题中的表现，评价其自主学习能力与合作精神。
北京一中新生必备初中数学分班真题解析全攻略
北京一中新生必备初中数学分班真题解析全攻略为了使北京一中学生在初中数学学习中有更好的起步，每年都会进行分班测试。
这次我们来为大家详细分析一下分班测试中常见的数学题目及解题技巧。
一、整数中因数性质的应用整数因数是指一个整数能够除尽这个数的整数，这个数称为这个整数的因数。
本题中，首先让我们来了解一下整数因数的性质。
1.若正整数的因数为奇数个，则这个整数为完全平方数。
2.若正整数的因数为偶数个，则这个整数不是完全平方数。
3.一个正整数，能被表示为 $a^2\times b$ 的形式，则这个数的因数个数为 $(2+1)\times(1+1)$，即因数为十二个。
有了这些背景知识后，我们再来看一道分班测试经常考察的题目：将一个自然数各位数字从左到右顺次排列成一个数，又得到了一个新的自然数。
证明这两个自然数的差为 9 的倍数。
这道题目中，我们需要注意到“排列成一个数”这个关键词，它暗示我们需要把数字相加得出一个新的自然数然后计算两个自然数的差值。
考虑这个新的自然数与原自然数的差，它们的差值就是新自然数的每一位数字减去原自然数的对应位数字。
而对于这种数字差定为9倍数的问题，则是因为差为9，说明相邻的两个数字的差为9，此时每一个数字可以看成是由某个倍数加上9的形式得到的，因此差为9的倍数。
二、分式运算与股票投资问题分式运算是初中数学中相对比较难的一块内容，其应用范围也非常广泛。
在很多实际问题中，例如股票投资问题中都需要用到分式运算的知识，因此这里向大家介绍一下分式运算的基本应用。
1. 加、减分式的通分：求得加、减分式的公分母后，分子之和（或差）除以公分母即可得到加、减分式的结果。
2. 乘、除分式的化简：求得乘、除分式的公因数或公倍数后，将分子、分母分别乘、除公因/倍数即可化简分式。
3. 分式的倒数：将分式的分子与分母对调得到分式的倒数，即$a/b$ 的倒数为 $b/a$。
4. 分式的代数式：将分式的分子和分母用代数式表示，使其最终为一个分式。
数学与应用数学专业课程设置一览表
8
MA330 偏微分方程续论（A） 2.0 34 34
8
MA333
代数拓扑
3.0 51 51
8
能力贡献
素质贡献
数学与应用数学专业课程设置一览表
课程 代码
课程名称
学时分配
排
推
总总
课理
荐
学学
分 时 学 论实实其 学
时 教验习他 期
学
知识贡献
MA414
组合数学
3.0 51 51
8
MA418 李群与李代数
拓扑学基础
4.0 68 68
6
MA308
泛函分析
4.0 68 68
6
总 12.0 204
非基地班学生须修满此模块全部学分。基地班学生选此模块课程可充抵专业方向选修课基本学分。
MA335
随机过程
4.0 68 68
5
MA309 偏微分方程数值解 4.0 68 68
6
MA336
图与网络
4.0 68 68
6
专业教育课程
须修满全部
MA122 数学分析（1） 5.0 119 119
1
MA134 高等代数与解析几 5.0 119 119
1
何（A类）（1）
CS048 C++程序设计（A类） 3.0 48 48
2
MA123 数学分析（A类）（2） 5.0 119 119
2
MA135 高等代数与解析几 5.0 119 119
2.0 34 34
7
EM405 流体力学简介
2.0 32 32 32
8
MA424
最优控制
3.0 51 51
北京数学空中课堂
北京数学空中课堂
随着网络技术的发展，视频会议等远程教育技术正在迅速普及。
近年来，在全球范围内，有越来越多的学生选择接受远程教育。
面对这一新技术，中国大陆在教育行业也进行了一定的尝试，其中，有一个重要的尝试就是“Beijing Maths In The Sky”。
“北京数学空中课堂”是由北京市教育委员会主办的一个以教育资源共享为宗旨的远程教育活动，旨在通过视频会议将教育资源共享出去，为大开放，增加参与者范围，拓宽学生们的知识面。
参与“北京数学空中课堂”的学生，能以低成本地接受来自北京本地和海外教育专家的线上教学课程，在互联网上即可完成数学课程学习，每次课程延续一周，包含视频课堂、讲座、作业答疑等多种形式的学习内容。
“北京数学空中课堂”也能为学习者提供互动式的学习环境，实时地反馈学习者的学习进度和学习情况，提升学习的有效性。
学生也可以通过聊天室与老师或其他学生交流学习心得和观点，进一步拓展自己的学习能力和视野。
此外，“北京数学空中课堂”还能为学生提供海量的课程资料，包括教学示范视频、课程书籍、教师指导等，这些资料可用来支持学生的自主学习，并可提升学习有效性。
“北京数学空中课堂”的实施，使得在地学生可以充分享受到高水平的教育资源，更重要的是，它也为全球学生提供了更多的学习机会，使得他们更加容易进入学习的门槛，从而获得更多的知识和能力。
总而言之，北京数学空中课堂是一个充分体现教育公平原则的教育模式，它可以为不同地域的学生提供有效的教育课程，使他们共同进步，更快地融入全球教育体系中。
而未来，随着网络技术的进一步发展，它也将更加完善，可以为更多的学生提供更好的学习环境。
大班数学数字捉迷藏教案5篇
大班数学数字捉迷藏教案5篇一、教学内容本节课选自大班数学教材第四章《有趣的数字》，具体内容为“数字捉迷藏”。
通过趣味游戏，让学生在轻松愉快的氛围中掌握数字010的识别和排序，理解数字之间的关系，提高学生的观察能力和逻辑思维能力。
二、教学目标1. 学生能够熟练地识别数字010，并进行正确排序。
2. 学生能够通过数字捉迷藏游戏，理解数字之间的相邻、间隔关系，提高逻辑思维能力。
3. 学生能够在游戏中培养合作精神，增强团队意识。
三、教学难点与重点教学难点：数字之间的相邻、间隔关系。
教学重点：数字010的识别和排序。
四、教具与学具准备教具：数字卡片、磁性白板、磁性数字、捉迷藏游戏图。
学具：学生用数字卡片、磁性白板、磁性数字。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）教师通过讲述数字捉迷藏的故事，引起学生对数字的兴趣。
2. 数字识别与排序（10分钟）（1）教师展示数字卡片，引导学生识别数字010。
（2）学生按照数字大小进行排序，巩固数字顺序。
3. 游戏环节（10分钟）（1）教师将磁性数字贴在白板上，讲解捉迷藏游戏的规则。
（2）学生分组进行游戏，找出隐藏的数字，理解数字之间的相邻、间隔关系。
4. 例题讲解（10分钟）教师针对游戏中的典型问题，进行讲解和示范。
5. 随堂练习（10分钟）学生根据教师提供的练习题，进行数字捉迷藏游戏，巩固所学知识。
六、板书设计1. 数字010的排序2. 捉迷藏游戏规则3. 数字相邻、间隔关系示意图七、作业设计1. 作业题目：完成数字捉迷藏练习题。
答案：略。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：关注学生在游戏中的表现，了解他们在数字识别和排序方面的掌握程度，及时调整教学策略。
2. 拓展延伸：鼓励学生在家中与家长一起进行数字捉迷藏游戏，提高数字识别能力。
同时，引导学生探索更多有趣的数字游戏，激发学习兴趣。
重点和难点解析1. 教学难点：数字之间的相邻、间隔关系。
2. 游戏环节：确保学生在游戏中能够理解并应用数字的相邻、间隔关系。