最优估计之线性连续系统卡尔曼滤波
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最优估计之线性连续系统卡尔曼滤波
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
卡尔曼滤波是一种最优估计技术
卡尔曼滤波是一种最优估计技术。
工程中，为了了解工程对象（滤波中称为系统）的各个物理量（滤波中称为状态）的确切数值，或为了达到对工程对象进行控制的目的，必须利用测量手段对系统的各个状态进行测量。
但是，测量值可能仅是系统的部分状态或是部分状态的线性组合，且量测值中有随机误差（常称为量测噪声）。
最优估计就是针对上述问题的一种解决方法。
最优估计能将仅与部分状态有关的测量进行处理，得出从某种统计意义上讲误差最小的更多状态的估值。
误差最小的标准常称为估计准则，根据不同的的估计准则和估计计算方法，有各种不同的最优估计，卡尔曼滤波是一种递推线性最小方差估计。
下图为卡尔曼滤波器的模型，描述了各个变量之间的联系和在不同的时间步中所作的转化。
图2-2 卡尔曼滤波器的模型在图2-2中，圆圈代表向量，方块代表矩阵，星号代表高斯噪声，其协方差矩阵在右下方标出[1]。
为了方便读者理解，引用一个例子解释卡尔曼滤波：假设我们要研究的对象是一个房间的温度。
根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。
假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。
我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。
另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。
我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。
好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。
下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。
假如我们要估算k时刻的是实际温度值。
首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。
因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。
卡尔曼滤波算法基本原理
卡尔曼滤波算法基本原理一、概述卡尔曼滤波算法是一种基于线性系统状态空间模型的递归滤波算法，主要用于估计含有噪声的测量数据，并能够有效地消除噪声对估计的影响，提高估计精度。
本篇文章将详细介绍卡尔曼滤波算法的基本原理。
二、基本原理1.状态方程：卡尔曼滤波算法基于线性系统状态空间模型，该模型可以用状态方程来表示。
状态方程通常包含系统的内部状态、输入和输出，可以用数学公式表示为：x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)+w(t)。
其中，x(t)表示系统内部状态，u(t)表示输入，w(t)表示测量噪声。
2.测量方程：测量数据通常受到噪声的影响，卡尔曼滤波算法通过建立测量方程来处理噪声数据。
测量方程通常表示为：z(t)=h(x(t))+v(t)，其中z(t)表示测量数据，h(x(t))表示系统输出，v(t)表示测量噪声。
3.卡尔曼滤波算法：卡尔曼滤波算法通过递归的方式，根据历史状态和测量数据来估计当前系统的内部状态。
算法的核心是利用过去的估计误差和测量误差来预测当前的状态，并不断更新估计值，以达到最优估计的效果。
卡尔曼滤波算法主要包括预测和更新两个步骤。
预测步骤根据状态方程和上一步的估计值，预测当前的状态；更新步骤则根据当前的测量数据和预测值，以及系统协方差矩阵，来更新当前状态的估计值和系统协方差矩阵。
4.滤波器的选择：在实际应用中，需要根据系统的特性和噪声的性质来选择合适的卡尔曼滤波器。
常见的滤波器有标准卡尔曼滤波器、扩展卡尔曼滤波器等。
选择合适的滤波器可以提高估计精度，降低误差。
三、应用场景卡尔曼滤波算法在许多领域都有应用，如航空航天、自动驾驶、机器人控制等。
在上述领域中，由于系统复杂、噪声干扰大，使用卡尔曼滤波算法可以有效地提高系统的估计精度和控制效果。
四、总结卡尔曼滤波算法是一种基于线性系统状态空间模型的递归滤波算法，通过预测和更新的方式，能够有效地消除噪声对估计的影响，提高估计精度。
本篇文章详细介绍了卡尔曼滤波算法的基本原理和应用场景，希望能对大家有所帮助。
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
卡尔曼滤波原理及应用matlab仿真
卡尔曼滤波原理及应用matlab仿真卡尔曼滤波(Kalman Filter)是一种最优估计算法，由美国工程师卡尔曼发明并命名。
它是一种递归算法，适用于线性以及线性化的系统。
卡尔曼滤波可以通过已知的状态方程和观测方程来计算未知的状态量，同时考虑到测量误差和系统噪声。
卡尔曼滤波的核心思想是通过已知的状态方程和观测方程来递归地更新估计值和协方差矩阵。
估计值是对状态量的估计，协方差矩阵是表示估计值的不确定性的指标，它受到测量误差和系统噪声的影响。
通过不断迭代的过程，最终得到最优的状态估计值。
卡尔曼滤波主要应用于控制系统、导航、信号处理、图像处理等领域，它可以用于预测未来的状态量和优化估计结果，提高系统的稳定性和精度。
在自主导航系统中，卡尔曼滤波可以通过传感器捕捉环境信息，实现机器人的定位、控制和路径规划。
Matlab是一种强大的数学计算软件，它提供了丰富的工具箱和函数库，可以实现卡尔曼滤波算法的仿真。
Matlab中的Kalman滤波工具箱可以用于模拟线性系统的状态估计。
通过Matlab软件，可以输入系统的状态方程和观测方程，生成真实值和观测值序列，并使用卡尔曼滤波算法估计状态量，同时展示状态量的收敛过程和误差分析。
在实际应用中，卡尔曼滤波需要针对具体的问题进行调整和优化，例如选择不同的观测量和噪声模型，选择恰当的卡尔曼增益等。
因此，在使用卡尔曼滤波进行估计时需要注意以下几点：1.确定系统的状态方程和观测方程，建立合理的模型。
2.合理估计系统噪声和观测噪声，减小误差对估计结果的影响。
3.选择合适的卡尔曼增益，平衡观测值和实际值对估计的贡献。
4.对估计结果进行误差分析，评估卡尔曼滤波的优势和局限性。
总之，卡尔曼滤波是一种重要的最优估计算法，广泛应用于控制、导航、信号处理等领域。
通过Matlab软件，可以进行卡尔曼滤波算法的仿真，并优化估计结果。
在实际应用中，需要针对具体问题进行调整和优化，以提高估计精度和稳定性。
卡尔曼滤波原理
卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波（Kalman Filtering）是一种用于估计、预测和控制的最优滤波方法，由美国籍匈牙利裔数学家卡尔曼（Rudolf E. Kalman）在1960年提出。
卡尔曼滤波是一种递归滤波算法，通过对测量数据和系统模型的融合，可以得到更准确、更可靠的估计结果。
在各种应用领域，如导航、机器人、航空航天、金融等，卡尔曼滤波都被广泛应用。
1. 卡尔曼滤波的基本原理卡尔曼滤波的基本原理是基于状态空间模型，将系统的状态用随机变量来表示。
它假设系统的状态满足线性高斯模型，并通过线性动态方程和线性测量方程描述系统的演化过程和测量过程。
具体而言，卡尔曼滤波算法基于以下两个基本步骤进行：1.1 预测步骤：通过系统的动态方程预测当前时刻的状态，并计算预测的状态协方差矩阵。
预测步骤主要是利用前一时刻的状态和控制输入来预测当前时刻的状态。
1.2 更新步骤：通过系统的测量方程，将预测的状态与实际测量值进行融合，得到最优估计的状态和状态协方差矩阵。
更新步骤主要是利用当前时刻的测量值来修正预测的状态。
通过不断迭代进行预测和更新，可以得到连续时间上的状态估计值，并获得最优的估计结果。
2. 卡尔曼滤波的优势卡尔曼滤波具有以下几个优势：2.1 适用于线性系统与高斯噪声：卡尔曼滤波是一种基于线性高斯模型的滤波方法，对于满足这些条件的系统，卡尔曼滤波能够给出最优的估计结果。
2.2 递归计算：卡尔曼滤波是一种递归滤波算法，可以在每个时刻根据当前的测量值和先前的估计结果进行迭代计算，不需要保存过多的历史数据。
2.3 最优性：卡尔曼滤波可以通过最小均方误差准则，给出能够最优估计系统状态的解。
2.4 实时性：由于卡尔曼滤波的递归计算特性，它可以实时地处理数据，并及时根据新的测量值进行估计。
3. 卡尔曼滤波的应用卡尔曼滤波在多个领域都有广泛的应用，以下是一些典型的应用例子：3.1 导航系统：卡尔曼滤波可以用于导航系统中的位置和速度估计，可以结合地面测量值和惯性测量传感器的数据，提供精确的导航信息。
卡尔曼滤波器的优缺点
卡尔曼滤波器的优点主要包括：适用于线性系统：卡尔曼滤波器特别适用于线性系统的状态估计，因为它的递归算法能够在线性系统中实现最优估计。
计算效率高：卡尔曼滤波器在估计过程中不需要存储所有的数据，只需要当前和前一时刻的状态，因此计算效率较高。
适用于多维数据：卡尔曼滤波器可以扩展到多维状态空间，因此可以用于处理多传感器、多目标跟踪等问题。
然而，卡尔曼滤波器也存在一些局限性：要求系统具有线性特性：卡尔曼滤波器要求系统具有线性特性，对于非线性系统，需要采用扩展卡尔曼滤波器等改进方法，但这些方法精度和稳定性可能受到影响。
对初值和参数敏感：卡尔曼滤波器的估计结果对初值和参数的选择非常敏感，如果初值或参数选择不当，可能会导致估计结果不稳定或不准确。
对噪声模型的要求：卡尔曼滤波器要求噪声服从高斯分布，如果噪声不服从高斯分布，可能会导致估计结果失真。
对系统动态模型的要求：卡尔曼滤波器要求系统动态模型是已知的，并且是准确的，如果模型不准确或存在误差，可能会导致估计结果不准确。
卡尔曼滤波 参数
卡尔曼滤波参数一、卡尔曼滤波简介卡尔曼滤波是一种利用线性系统状态方程，通过观测数据对系统状态进行估计的最优滤波方法。
它可以在不知道系统初始状态和测量噪声精度的情况下，通过迭代递推计算出系统状态最优估计值和误差协方差矩阵。
卡尔曼滤波广泛应用于航空、导航、控制、信号处理等领域。
二、卡尔曼滤波参数1. 系统模型参数：包括状态转移矩阵A、控制输入矩阵B、观测矩阵C和过程噪声Q等。
2. 初始状态估计值：指在没有任何观测数据的情况下，对系统初始状态的估计值。
3. 初始误差协方差矩阵：指在没有任何观测数据的情况下，对系统初始误差协方差矩阵的估计值。
4. 观测噪声精度：指观测噪声服从高斯分布时的标准差。
三、系统模型参数详解1. 状态转移矩阵A：描述了系统状态之间的关系。
例如，对于一个飞行器，状态转移矩阵可以描述当前位置、速度和加速度之间的关系。
2. 控制输入矩阵B：描述了控制量与系统状态之间的关系。
例如，对于一个飞行器，控制输入矩阵可以描述飞行员对油门、方向舵和升降舵的控制与速度和加速度之间的关系。
3. 观测矩阵C：描述了观测量与系统状态之间的关系。
例如，对于一个飞行器，观测矩阵可以描述雷达或GPS测量到的位置、速度和加速度与系统状态之间的关系。
4. 过程噪声Q：描述了系统状态转移时由于外部因素而引起的噪声。
例如，在飞行过程中由于气流等因素会引起位置、速度和加速度发生变化。
四、初始状态估计值详解初始状态估计值是指在没有任何观测数据的情况下，对系统初始状态进行估计得到的值。
这个值可以基于经验或者先验知识来确定。
例如，在飞行器起飞前可以通过预测模型来估计出初始位置、速度和加速度等参数。
五、初始误差协方差矩阵详解初始误差协方差矩阵是指在没有任何观测数据的情况下，对系统状态估计误差的协方差矩阵进行估计得到的值。
这个值可以基于经验或者先验知识来确定。
例如，在飞行器起飞前可以通过预测模型来估计出位置、速度和加速度等参数的误差协方差矩阵。
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(8.1.1)
噪声统计特性： E[ w(t )] 0 E[ w(t ) wT ( )] Q(t ) (t ) E[v(t )] 0 E[v(t )vT ( )] R(t ) (t ) E[ w(t )vT ( )] 0，E[ x(t ) wT (t ) • ] 0，E[ x(t )vT (t ) • ] 0 t , t0 E[ x(t0 )] x (t0 )，Var[ x(t0 )] P x (t0 )
P(t ) H T (t ) R 1 (t ) H (t ) P(t )
注：连续系统的卡尔曼滤波估计问题归结为求解微分方程问题；
矩阵黎卡提微分方程很难求解。
11
线性连续系统卡尔曼滤波方程
12
两点说明：
ˆ (t ) 是 X (t ) 在 Z t Z ( ), t t 条件下的均值,即 1、X t0 0 ˆ (t | t ) E X (t ) | Z t X t0 是线性最小方差估计。
•
步骤3：确定增益阵 K(t)
K (t ) E[ x(t )~ z T (t )]R 1 (t )
ˆ (t )][ H (t ) ~ E{x(t )~ z T (t )} E{[~ x (t ) x x (t ) v(t )]T } ˆ (t ) ~ E{~ x (t ) ~ x T (t ) H T (t )} E{x x T (t ) H T (t )} P(t ) H T (t )
----------- 估计误差方差
线性连续系统卡尔曼滤波求解公式
最优滤波方程： ˆ(t ) A(t ) x ˆ(t ) K (t )[ z(t ) H (t ) x ˆ(t )] x
滤波增益方程：
K (t ) P(t ) H T (t ) R 1 (t )
滤波误差方差矩阵黎卡提方程： (t ) A(t ) P(t ) P(t ) AT (t ) F (t )Q(t ) F T (t ) P
ˆ (t0 ) x
z (t )
+ +
K (t )
1 s
A(t )
ˆ (t ) x
ˆ (t ) z
H (t )
8.2 卡尔曼滤波方程新息推导法
•
系统模型：
(t ) A(t ) x(t ) G (t ) w(t ) x z (t ) H (t ) x(t ) v(t )
•
新息：设 x ˆ (t ) 为由 z (t ) 在 t0 ~ t 区间的 Z tt0 得到的 X (t ) 最小
P(t t , t t ) [ I K (t t ) H (t t )]P(t t , t )
(8.1.5)
(8.1.6)
•
当 t 0 时 对离散卡尔曼滤波公式取极限 步骤3：
将 (t t , t ) I n A(t )t 代入滤波方程(8.1.3) 式，得：
ˆ (t t ) [ I A(t )t ]x ˆ (t ) K (t t )z (t t ) x ˆ (t ) H (t t )[ I A(t )t ]x K (t ) ˆ (t )， 将上式两端同减x 并除以 t， 得：
ˆ (t t ) x ˆ (t ) x K (t t ) ˆ (t ) A(t ) x [ z (t t ) t t ˆ (t )] H (t t )[ I At ]x
线性连续系统 (t ) A(t ) x(t ) G (t ) w(t ) x z (t ) H (t ) x(t ) v(t ) 框图如下：
x (t0 )
w(t )
G (t )
v (t ) x (t )
H (t )
+
+ +
1 s
A(t )
+
z (t )
滤波方程： ˆ (t ) A(t ) x ˆ (t ) K (t )~ x z (t ) 可视为一个 K (t )~ z (t ) 作用下的线性系统，其 结构图如下：
t
G (t ) E[ w(t )~ z T ( )]R 1 ( )~ z ( )d
t0
t
~ ˆ A(t ) X (t ) K (t )Z (t )
ˆ (t ) K (t )[ Z (t ) H (t ) X ˆ (t )] A(t ) X ˆ (t ) K (t )Z (t ) [ A(t ) K (t )H (t )] X
•
问题： 给定测量 Z (t ) (t t )， 使 0 求式(8.1.1)状态估计 X (t )， ~ ~ Pt E[ X (t ) X T (t )]
最小的线性估计。
8.1 离散系统取极限的推导方法
推导方法思想：当采样稠密或采样间隔趋于零时，取离散系统
的极限，将离散系统的结果转化为连续系统的公式。
T 1
t
P(t t , t ) H (t t ) H (t t ) P(t t , t ) H (t t )t R(t t )
T T
1
t 0
取极限
----------- 增益矩阵
K (t ) P(t ) H T (t ) R 1 (t )
n n
t t0 kt , t0 jt
•
步骤2：求等效离散模型的卡尔曼滤波方程
利用离散线性系统卡尔曼滤波方程(132页)及下列等效关系：
xk x(t t ), z k z (t t ), xk 1 x(t ), Pk |k 1 P (t t , t ),
推导方法步骤：
• • •
步骤1：建立(8.1.1)的等效离散线性系统数学描述 步骤2：求等效离散模型的卡尔曼滤波方程
当 t 0 时 对离散卡尔曼滤波公式取极限 步骤3：
4
•
步骤1：建立(8.1.1)的等效离散线性系统数学描述 由 5.3 知，等效模型： x(t t ) (t t , t ) x(t ) (t t , t ) wn (t )
将 (t t , t ) I n A(t )t，(t t ) G(t )t 代入 (8.1.5) 式，得： Q (t ) T T P (t t , t ) [ I A(t )t ]P (t t , t )[ I A(t )t ] G (t )t G (t )t t P (t , t ) [ A(t ) P (t , t ) P (t , t ) AT (t ) G (t )Q (t )G T (t )]t
2、 由线性最小方差估计的 正交投影性质， 估计误差正交于测量量 ， 也正交于估计量， 即 ~ ~ ˆT T E[ X (t ) Z (t )] E[ X (t ) X (t )] 0 ~ ~ ˆT T E[ Z (t ) Z (t )] E[ Z (t ) Z (t )] 0
13
k , k 1 (t t , t ) k , k 1 (t t , t ) H k H (t t ) Pk |k P (t t , t t )
Pk 1|k 1 P (t t , t ), K k K (t t ) Q(t ) R (t t ) Qk 1 , Rk t t
将其代入• (8.16)，得：
P(t t , t t ) P(t , t ) [ A(t ) P(t , t ) P(t , t ) AT (t ) t K (t t ) H (t t ) P(t , t ) T G (t )Q(t )G (t )] t
t0
* (t , s) R( s)
估计与测量的正交性
ˆ(t )~ E[ x z T (s)] E[ x(t )~ x T (s)]
* (t , ) E[ x(t )~ z T (s)]R 1 (s)
17
ˆ(t ) E[ x(t )~ x z T ( )]R 1 ( )~ z ( )d
最优估计
第8章 线性连续系统 卡尔曼滤波
离散系统取极限的推导方法 卡尔曼滤波方程新息推导法 线性连续系统滤波器的一般形式 滤波的稳定性及误差分析
• •
研究连续系统的必要性：实际的物理系统往往是连续的，故离散 系统的描述不能完全代替连续时间系统。 线性连续系统模型：
(t ) A(t ) x(t ) G (t ) w(t ) x z (t ) H (t ) x(t ) v(t )
t 0 取极限
黎卡提微分方程：
t 0
lim P(t t, t ) P(t, t ) P(t )
(t ) A(t ) P(t ) P(t ) AT (t ) G(t )Q(t )G T (t ) P P(t ) H T (t ) R 1 (t ) H (t ) P(t )
t0
t
•
步骤2：对上述函数关于时间求导
ˆ (t ) E[ x(t )~ x z T (t )]R 1 (t )~ z (t ) (t )~ E{x z T ( )}R 1 ( )~ z ( )d
t0
t ~ K (t ) z (t ) A(t ) E[ x(t )~ z T ( )]R 1 ( )~ z ( )d t0
ˆ (t ) * (t , )~ x z ( )d
t0
t
选择 * (t , )， 以得到 x(t ) 的最小方差估计。
t T ~ ˆ (t ) z ( s)] * (t , )E[~ E[ x z ( )~ z T ( s)]d t0 t
*(t ) z (t ) z (t ) H (t ) x 为新息过程。 新息中包含 z (t ) 的新成份。