高等数学函数极限概念
高等数学第一章《函数与极限》
第一章 函数与极限一、内容提要（一）主要定义【定义 1.1】 函数 设数集,D R ⊂如果存在一个法则，使得对D 中每个元素x ,按法则f ,在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称:f D R →为定义在D 上的函数,记作(),y f x x D =∈.x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为定义域.【定义1.2】 数列极限 给定数列{}x n 及常数a ,若对任意0ε>,总存在正整数N ,使得当n N >时,恒有x a n -<ε成立,则称数列{}x n 收敛于a ,记为a x n n =∞→lim .【定义1.3】 函数极限（1）对于任意0ε>,存在()0δε>,当δ<-<00x x 时,恒有()ε<-A x f .则称A 为()f x 当0x x →时的极限,记为A x f x x =→)(lim 0.（2） 对于任意0ε>,存在0X >,当x X >时,恒有f x A ()-<ε.则称A 为()f x 当x →∞时的极限,记为lim ()x f x A →∞=.（3）单侧极限左（右）极限 任意0ε>,存在()0δε>,使得当000(0)x x x x δδ-<-<<-<时,恒有()ε<-A x f .则称当00()x x x x -+→→时)(x f 有左（右）极限A ,记为00lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -+→→== 或00(0)((0))f x A f x A -=+=.单边无穷极限 任意0ε>,存在0X >,使得当x X >（x X <-）时, 恒有f x A ()-<ε, 则lim ()x f x A →+∞=（lim ()x f x A →-∞=） .【定义1.4 】 无穷小、无穷大 若函数()f x 当0x x →(或x →∞)时的极限为零（|()|f x 无限增大）,那么称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷小（无穷大）.【定义1.5】 等价无穷小 若lim 0,lim 0,lim 1βαβα===,则α与β是等价的无穷小.【定义 1.6】 连续 若)(x f y =在点0x 附近有定义,且)()(lim 00x f x f x x =→,称()y f x =在点0x 处连续.否则0x 为()f x 的间断点.（二）主要定理【定理1.1】极限运算法则 若a x u =)(lim , b x v =)(lim ,则 （1）()lim u v ±存在,()lim lim lim u v u v a b ±=±=±且; （2）()lim u v ⋅存在,()lim lim lim u v u v a b ⋅=⋅=⋅且; （3）当0≠b 时, limu v 存在,lim lim lim u u a v v b==且 推论 ⑴ lim lim Cu C u Ca ==; ⑵ ()lim lim nnnu u a ==. 【定理1.2】极限存在的充要条件⇔=→A x f x x )(lim 0lim ()x x f x -→=0lim ()x x f x A +→=.lim ()x f x A →∞=⇔lim ()x f x →-∞=lim ()x f x A →+∞=【定理1.3】极限存在准则 (1) 单调有界数列必有极限(2) 夹逼准则: 设数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足① n n n y x z ≤≤, ② lim =lim n n n n y z a →∞→∞=,则lim n n x →∞存在,且lim n n x a →∞=.【定理1.4】极限与无穷小的关系 若lim (),f x A =则(),f x A α=+其中lim 0.α=【定理1.5】两个重要极限 1sin lim0=→x x x ,e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .【定理1.6】 初等函数的连续性 初等函数在其定义区间内连续. 【定理1.7】闭区间上连续函数的性质（1）最值定理 闭区间上连续函数在该区间上一定有最大值M 和最小值m . （2）有界定理 闭区间上连续函数一定在该区间上有界.（3）介值定理 闭区间上连续函数必可取介于最大值M 与最小值m 之间的任何值. （4）零点存在定理 设函数()x f 在[]b a ,上连续,()a f ()0<⋅b f ,则至少存在一个ξ∈()b a ,,使 ()0f ξ=.二、典型题解析函数两要素：定义域，对应关系定义域：使表达式有意义的自变量的全体，方法为解不等式 对应关系：主要方法用变量替换（一）填空题【例1.1】 函数23arccos2xy x =+的定义域是 . 解 由arccos y u =的定义域知11u -≤≤,从而23112xx -≤≤+, 即 (][][),21,12,-∞--+∞.【例1.2】 设()()()2sin ,1f x x f x xφ==-,则函数()x φ的定义域为 .解 由已知()()2sin[()]1fx x xφφ==-，所以()2sin(1)x arc x φ=-，则2111,x -≤-≤即x ≤.【例1.3】设1()(0,1),()([...()])1n n f x x x f x f f f x x =≠≠=+次,试求()n f x 解 由()1xf x x =-,则21()[()]11xx f x f f x x x x -===--，显然复合两次变回原来的形式，所以,2(),211n x n k f x x n k x =⎧⎪=⎨=+⎪-⎩（二）选择题【例 1.9】设函数()f x 在(),-∞+∞上连续,又0a >且1a ≠,则函数()()()sin 2sgn sin F x f x x =-是 [ ](A) 偶函数 (B) 奇函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 奇偶函数. 解 因为()()sgn sin sgn sin x x -=-⎡⎤⎣⎦,所以()sgn sin x 为奇函数.而()sin 2f x -为偶函数,故()()sin 2sgn sin f x x -⋅为奇函数,故选 B .【例 1.10】设()f x 是偶函数,当[]0,1x ∈时,()2f x x x =-,则当[]1,0x ∈-时,()f x = [ ](A) 2x x -+(B) 2x x + (C) 2x x - (D) 2x x --.解 因为()()f x f x -=，取[]1,0x ∈-，则[0,1]x -∈，所以()()()22f x x x x x -=---=--, 故选 D .（三）非客观题 1.函数及其性质【例1.16】 求函数()lg(1lg )f x x =-的定义域. 解 要使()f x 有意义，x 应满足0,1lg 0x x >⎧⎨->⎩ 即010x <<，所以()f x 的定义域为 (0,10).【例1.17】 设函数()f x 的定义域是［0,1］,试求()f x a +＋()f x a -的定义域（0a >）.解 由()f x 的定义域是［0,1］,则0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩,故1a x a ≤≤-,则当1a a =-时,即12a =时,函数的定义域为12x =； 当1a a ->时,即12a <时,函数的定义域为[],1a a -； 当1a a -<时,即12a >时,函数的定义域为空集. 【例1.18】设()2,x f x e =()()1f x x ϕ=-并且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.解 因为()()2[()]1,x fx e x φϕ==-且()0x ϕ≥，故()x ϕ=,为使此式有意义,ln(1)0x -≥，所以函数()x ϕ的定义域为{}0x x ≤.【例1.19】 设()2422x xf x x ++=-,求()2f x -.解（ 法一）配方法 ()2(2)422(2)2x f x x +-+=-++,所以()24224.x xf x x --=-+解（法二） 变量代换法 令2x t =-,代入得()2422t f t t -=-+,即()2422xf x x -=-+，则()24224xxf x x --=-+.【例1.20】 设()22,01,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩,()ln g x x =,求()f g x ⎡⎤⎣⎦. 解 ()[]ln f g x f x =⎡⎤⎣⎦ 22ln ,0ln 1ln ,1ln 2x x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩[]()()222ln ,1,0, ln , ,0,x x e x x e e ⎧∈+∞⎪=⎨⎡⎤∈+∞⎪⎣⎦⎩[]222ln ,1,ln , ,x x e x x e e ⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩【例1.21】 设()1,10,1x x x ϕ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,()22,12,1x x x x ψ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,求 ()x ϕϕ⎡⎤⎣⎦,()x ϕψ⎡⎤⎣⎦. 解 ⑴ 当(),x ∈-∞+∞时，()01x ϕ≤≤ ，所以 ()()1,,x x ϕϕ≡∈-∞+∞⎡⎤⎣⎦.⑵ 因为 ()()()1,10,1x x x ψϕψψ⎧≤⎪=⎡⎤⎨⎣⎦>⎪⎩, 且 ()()1,12,1x x x x ψψ⎧==⎪⎨<≤≠⎪⎩ 1,故 ()1,10,1x x x ϕψ⎧=⎪=⎡⎤⎨⎣⎦≠⎪⎩. 【例1.22】 求函数()2312,1,121216,2x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩的反函数.解 当21121,x y x <- -<-时，=则x =， 当312=8,x y x -≤≤ ≤≤时，-1则x =当212168,x y x > =->时， 则16,12y x +=所以()f x 的反函数为 ()111816,812x y f x x x x -⎧<-⎪⎪⎪==-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩.【例 1.23】设()f x 在(,)-∞+∞上有定义,且对任意,(,)x y ∈-∞+∞有()()f x f y x y -<-,讨论()()F x f x x =+在(,)-∞+∞上的单调性.解 任取12,(,)x x ∈-∞+∞,不妨设21x x >,则由条件有()()()()21212121f x f x f x f x x x x x -<-<-=-，所以()()1221f x f x x x -<-,则可变形为()()1122f x x f x x +<+,即()()12F x F x <，故()F x 在(,)-∞+∞上单调增加.【例1.24】 求c 的一个值,使()sin()()sin()0b c b c a c a c ++-++=,这里b a >,且均为常数.解 令()sin f x x x =,则()f x 是一个偶函数,则有[]()()f b c f b c +=-+要使()(),()f b c f a c a b +=+≠成立,则有1()()()2a cbc c a b +=-+⇒=-+.极限与连续：不定式，等价关系，特殊极限 极限待定系数的确定原理 连续待定系数确定的原理【例1.4】 设2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则a = . 解 因为 233lim lim lim 1x x xx x x x a x a a a x a x a x a →∞→∞→∞+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭3333lim 1x a axa x aa x a e x a --→∞⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭再由3ln83ln 28ln 2aee e a ===⇒=.【例1.5】（2004数三）若()0sin lim cos 5x x xx b e a→-=-,则a = ,b = .解 因()0sin limcos 5x x xx b e a→-=-,而()0limsin cos 0x x x b →-=，则0lim 0x x e a →-=, 所以1a =,又0x →时，sin ,1x xx e x -，则()()000sin limcos lim cos limcos51x x x x x x x b x b x b x e →→→-=-=-=-,154b b -=⇒=-. 【例 1.6】 已知当0x →时，123(1)1ax +-与1cos x -是等价无穷小，则常数a = .解 由1230(1)1lim1,1cos x ax x→+-=-而1222ln(1)3112ln(1)2333220000(1)112limlim limlim1cos 1cos 32ax ax ax x x x x ax e a xx x x ++→→→→+--====--，故3.2a = 【例1.7】 （2004数二）设()()21lim1n n x f x nx →∞-=+,则()f x 的间断点为x = .解 ()()()22111limlim ,0110,0n n n x n x x f x xnx nx x →∞→∞⎧--=⋅=≠⎪=⎨++⎪=⎩而 ()001lim lim(0)x x f x f x→→===∞≠，故()f x 的间断点（无穷）为0x =.【例1.8】 设()1sin , 02, 0x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,在0x =处连续,则a = . 解 要使()f x 在0x =处连续,应有()()0lim 0,x f x f a →==而()0001sin1122lim lim sin lim 222x x x xx f x x x →→→===, 所以12a =.（二）选择题 【例1.11】()1, 10,01x x f x x x --<≤⎧=⎨<≤⎩ ,则()0lim x f x →= [ ](A) -1 (B) 0 (C) 不存在 (D) 1. 解 ()0lim lim 0x x f x x →+→+==, ()()0lim lim 11x x f x x →-→-=-=-.因为()()0lim lim x x f x f x →+→-≠,所以()0lim x f x →不存在，故选 C.【例1.12】 下列结论正确的是 [ ] (A) 若1lim1n n na a +→∞=,则lim n n a →∞存在;(B) 若lim n n a A →∞=,则11lim lim1lim n n n n nn n a a A a a A ++→+∞→∞→∞===; (C) 若lim n n a A →∞=,若lim n n b B →∞=,则()lim n bB n n a A →+∞=;(D) 若数列{}2n a 收敛且()2210n n a a n --→→∞,则数列{}n a 收敛.解 (A)不正确,反例{}n a n =,(B)不正确,因为只有当lim 0n n a →∞≠时，才能运用除法法则:11lim lim lim n n n n nn n a a a a ++→+∞→∞→∞= ,(C)不正确,只有0A ≠时,()lim n b B n n a A →+∞=成立.故选 D.注意无穷大与有界量的乘积关系 【例1.13】 当0x →时,变量211sin x x是 [ ] (A) 无穷小; (C) 有界的,但不是无穷小量; (B) 无穷大; (D) 无界的,但不是无穷大量. 解 M ∀,1,22n x n ππ∃=+只要,2M n π⎡⎤>⎢⎥⎣⎦则()2,2n f x n M ππ=+> 所以211sin x x 无界.再令 12x k π=,()0,1,2,k =±±，则()20lim lim(2)x k f x k π→→∞=⋅ sin 20k π≡,故()lim x f x →∞≠∞.故选 D.趋向无穷大主要是最高次项 趋向无穷小主要是最低次项【例1.14】 当0x →时，下列4个无穷小关于x 的阶最高的是 [ ](A) 24x x + (B)1 (C)sin 1xx- (D)-解 242200lim lim(1)1x x x x x x→→+=+=，所以24x x +是x 的2阶无穷小. 当0x →111sin 22x x ，故（B ）是x 的同阶无穷小. 311000sin 11sin 6lim lim lim k k k x x x x x x xx x xx ++→→→---==，要使极限存在2k =，故（C ）是x 的2阶无穷小.0x x →→= 3001sin (1cos )1lim lim 24cos k k x x x x x x xx →→-==, 同理（D ）是x 的3阶无穷小.故选D.指数函数的极限要注意方向【例1.15】（2005数二）设函数()111xx f x e-=-,则 [ ](A) 0x =,1x =都是()f x 的第一类间断点; (B) 0x =,1x =都是()f x 的第二类间断点;(C) 0x =是()f x 的第一类间断点,1x =是()f x 的第二类间断点; (D) 0x =是()f x 的第二类间断点,1x =是()f x 的第一类间断点. 解 因为()0lim x f x →=∞,则0x =是()f x 的第二类间断点;而()()11111111lim lim 0,lim lim 111xx x xx x x x f x f x ee++--→→→→--====---, 所以1x =是()f x 的第一类（跳跃）间断点,故选 D. （三）非客观题 求极限的各种方法（1） 用N ε-定义证明数列极限定义证明的关键是利用n x A ε-<倒推找正整数N （与ε有关）,这个过程常常是通过不等式适当放大来实现.【例1.25】求证lim1n n→∞=. 证明 对0ε∀>,1ε-<成立,则需1-n n =n a n n +-<a nε=<只要1an n ⎡⎤>+⎢⎥⎣⎦,取1a N n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,当n N >时,1ε<.证毕. 【例1.26】 设常数1,a >用N ε-定义证明lim 0!nn a n →∞=. 证明 对0ε∀>,要使0!na n ε-<成立,则需[]0!1[]([]1)[]1n a n a a a a a aa k n a a n a ε-⎛⎫⋅⋅⋅⋅-=<⋅< ⎪⋅⋅+⋅⋅+⎝⎭，(其中1[]a ak a ⋅⋅=⋅⋅)只要lg []lg[]1k n a a a ε>++,为保证0,N >取lg max 1,[]lg []1k N a a a ε⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥=+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥+⎪⎪⎣⎦⎩⎭,当n N >时,有 0!na n ε-<，证毕. （2）通过代数变形求数列极限 逐项平方差【例1.27】求极限2421111lim(1)(1)(1)(1)2222nn →∞++++解 2421111lim(1)(1)(1)(1)2222n n →∞++++=2111(1)(1)(1)222lim n →∞-++2n 1（1+）211-22(1)12lim(1)22n n +→∞=-=平方差公式【例1.28】求极限lim )n n n →∞.解lim )nn n →∞n =limn →∞=limn =12=. 等比求和【例1.29】 求极限221112333lim 111555nn n →∞+++++++. 解 由等比数列的求和公式2(1)1n nq q q q q q-+++=-将数列变形，则221113211113213333lim lim 11111155551515n n n n n n →∞→∞-+⨯++++-=+++-⨯-112123lim 11145n x n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭1221014+==. 分项求和【例1.30】 求[]31lim(21)2(23)3(25)n n n n n n →∞-+-+-++.解 []31lim (21)2(23)3(25)n n n n n n →∞-+-+-++()311lim 221nn k k n k n →∞==-+∑()23111lim 212n nn k k n k k n →∞==⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()32111211lim 226n n n n n n n n →∞++++⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()()312111lim63n n n n n →∞++==.拆分原理【例1.31】 求极限2111lim()31541n n →∞+++-.解 因为()()1111212122121n n n n ⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭,则 2111lim()31541n n →∞+++-111111lim [(1)()()]23352121n n n →∞=-+-++--+ 111lim (1)2212n n →∞=-=+. 求和后拆分【例1.32】 求极限111lim(1)1212312n n→∞+++++++++.解 111lim(1)1212312n n→∞+++++++++（由等差数列的前n 项和公式）222lim 12334(1)n n n →∞⎡⎤=++++⎢⎥⨯⨯+⎣⎦ （逐项拆分） 111111lim 12()23341n n n →∞⎡⎤=+-+-++-⎢⎥+⎣⎦2lim 221n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭（3）利用夹逼准则求数列极限 【例1.33】求lim n解 11111n n ≤+<+，而1lim(1)1n n→∞+=，∴ 由夹逼准则得 lim 1n →∞=. 掌握扩大和缩小的一般方法 【例1.34】 求22212lim()12n nn n n n n n n →∞+++++++++. 解212n n n n +++++2221212nn n n n n n n<+++++++++2121n n n +++<++ 且 2121lim,2n n n n n →∞+++=++ 2121lim 21n n n n →∞+++=++， 由夹逼准则得 22212lim()12n nn n n n n n n →∞+++++++++=12. 【例1.35】 求极限226n nn →∞++.解≤≤，则2221nnnk k k===≤≤且 22111limlim 3nnn nk k →∞→∞====,由夹逼准则得原式21lim3nn k→∞===.以下两题了解一下即可 【例1.36】 证明 1;1(0)n n a ==>证明 1） 1n h =+，则22(1)(1)(1)122n nn n n n n n n n n n h nh h h h --=+=+++>，即 0n h <<由夹逼准则 lim 0,n n h →∞=从而lim(1) 1.n n n h →∞=+=2）当1a >时，0<<由夹逼准则1n =；当01a <<，令11b a=>，则lim lim 1n n →∞→∞==，从而1(0).n a =>注 【例1.36】的结果以后直接作为结论使用. 【例1.37】 求极限nk n a ++.（12,,,0k a a a >,k N ∈）解 记{}12max ,,,k aa a a =,则nk a≤++≤.且,n n n a a a ==⋅=,由夹逼准则得{}12max ,,,nk k n a a a a a ++==.（4）利用单调有界准则求数列极限给出前后项的关系，证明其单调，有界，设出极限解方程数列单调性一般采用证明110,1,nn n n x x x x ---≥≥或函数的单调性；数列的有界性方法比较灵活.【例1.38】 求lim n n a a a a →∞++++个根号.解 设n x a =++,则12x x ==…,n x =,从而 1n nx x -<,数列{}n x 单调增加；又n x =,21n nx a x -=+,111n n n n x a x x x -=+<+=,数列有上界,故{}n x 有极限.不妨设lim n n x A →∞=,将21n n x ax -=+两边取极限，有2A a A =+,故12A ±=【例1.39】 求33n .（共有n 个根号）解 设33n x =，显然1n n x x ->,{}nx单调增加；且1n x x =2x =3n x <,{}n x 有上界，所以数列极限存在.不妨设lim n n x A →∞=,将213n n x x -=两边取极限，有23A A =,则()3,0A A ==舍.【例1.40】 设2110,0,,1,2,2n n nx aa x x n x ++>>==,证明数列{}n x 收敛,并求极限.解 2102nn n na x x x x +--=≤，数列{}n x 单调递减；且21122n n n n n x a a x x x x +⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭≥=,{}n x 有界,所以数列{}n x 收敛.令lim n n x A →∞=,对212n n nx a x x ++=两边取极限,有12a A A A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则A =. （5）利用无穷小的性质求数列极限 【例1.41】 求下列极限（1）（2）题的方法化为指数形式常用，（3）要说明无穷小乘有界量为无穷小 （1） lim 1)(0)n n a →∞-> （2）1121lim (33)n n n n +→∞- （3）2lim 1n nn →∞+解 （1）当1ln 11ln a nn e a n→∞-时， ，则 1ln lim 1)lim (1)a nn n n n e→∞→∞-=-1lim ln ln n n a a n→∞=⋅=（2）当n →∞时， 1ln 331nn-（n+1）（n+1），则11112211lim (33)lim3(31)nnn n n n n n ++→∞→∞-=-（n+1）121ln 3lim 3lim ln 3n n n n n+→∞→∞⋅=⋅=（n+1）（3）因为0n →∞=，而sin 1n ≤，由于无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小，所以2lim 01n nn →∞=+ 注 limsin n n →∞不存在，故不能写成lim sin 0n n n n →∞→∞→∞=⋅=. 综合题了解一下即可【例1.42】 求())()22211131lim arctan !22311n n nn n n n →∞⎡⎤⎛⎫+⨯-+++⎢⎥ ⎪ ⎪⨯--⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 解()arctan !2n π≤,()221=()2limarctan !0n n →∞∴=,有界量乘无穷小()1111lim lim 112231n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫+++=-=⎢⎥ ⎪⨯-⎝⎭⎣⎦，拆分求和2231lim 31n n n →∞+=-, 则 ()2211131lim 322311n n n n n →∞⎡⎤++++=⎢⎥⨯--⎣⎦ )()222131lim arctan !lim 1lim 1n n x n n n n n →∞→∞→∞+⎛⎫⎡⎤-- ⎪⎢⎥⎣⎦-⎝⎭故原式＝ 033=-=-.两极限都存在用四则运算法则注利用函数极限求数列极限见第三章；利用定积分定义求数列极限见第六章； 利用级数收敛的性质求极限见第十一章. 3．函数的极限（1）用εδ-定义或X ε-定义证明极限用εδ-定义证明函数极限关键是用倒推法适当放缩找到0x x -与ε的关系，确定()δε；而X ε-定义证明函数极限关键是用倒推法适当放缩找到x 与ε的关系，确定()X ε.【例1.43】 证明 22lim 4x x →= 此题典型要搞清楚自变量的约束范围的确定证明 对于0ε∀>，不妨设21,x -<则222225,x x x +≤+<-++< 要使242252x x x x ε-=+⋅-<⋅-<，只要取min{1,}5εδ=，当02x δ<-<时，有24x ε-<.证毕.注 函数在0x 的极限只与函数在0(,)U x δ的定义有关，与函数的整个定义范围无关.因此上例作了假设2 1.x -<也可假设122x -<等. 【例1.44】 用X ε-定义证明：232lim .33x x x →∞+=证明 对于0ε∀>，要使2322321333x x x x x xε++--==<，只要1.x ε>故取11,X ε=+当x X >时，均有23233x x ε+-<，即232lim .33x x x →∞+=（2）用极限存在的充要条件研讨极限 含有,xxe e-的表达式x →∞的极限；含有[]11,,,xxe e x x -的表达式0x →的极限；分段函数在分段点的极限，一般来说用极限存在的充要条件讨论.注意指数函数的极限，一般要考虑两边趋势【例1.45】 讨论极限 lim x xx xx e e e e --→∞-+.解 221lim lim 11x x x xx x x x e e e e e e --→-∞→-∞--==-++； 221lim lim 11x x xx x x x x e e e e e e--→+∞→+∞--==++. 所以 lim x xx xx e e e e --→∞-+不存在.【例1.46】 求1402sin lim 1x x x e x x e →⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 解 1402sin lim 1x x x e x x e +→⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦43402sin lim 0111x xx xe e x x e +--→-⎡⎤+⎢⎥=+=+=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦； 1402sin lim 2111x x x e x x e -→⎡⎤+⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦； 所以 1402sin lim 1x x x e x x e →⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦1=. 【例1.47】 []x 表示不超过x 的最大整数，试确定常数a 的值，使[]210ln(1)lim ln(1)x x x e a x e →⎧⎫+⎪⎪+⎨⎬⎪⎪+⎩⎭存在，并求出此极限.解 由[]x 的定义知，[][]0lim 1,lim 0,x x x x -+→→=-=故所给极限应分左、右极限讨论. []22211110000ln(1)ln(1)lim lim lim lim .ln(1)ln(1)x x x x x x x x x x xe e e a x a a e a a e e e ----→→→→⎧⎫++⎪⎪+=-=-=-=-⎨⎬⎪⎪++⎩⎭[]222211110002ln(1)ln(1)ln (1)lim lim 0lim 01ln(1)ln (1)ln(1)x xxxx x x x x x xe e e e x a x e e e e x+++--→→→--⎧⎫+++⋅+⎪⎪+=+=+⎨⎬⎪⎪+⋅+++⎩⎭212ln(1)lim 21ln(1)xx xe e +-→-++==++.所以，当2a =-时所给极限存在，且此时极限为2.【例1.48】设21,1,()23, 1.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩试求点1x =处的极限.解 211(10)lim ()lim(23)5x x f f x x --→→-==+=; 111(10)lim ()lim 1x x f f x x++→→+===; 即(10)(10)f f -≠+，1lim ()x f x →∴不存在.（3）通过代数变形求函数极限 【例1.49】求下列极限（1）22232lim 2x x x x x →-+++- （2）422123lim 32x x x x x →+--+ （3）11lim ,()1n x x n Z x +→-∈- 解 （1）原式222(1)(2)(1)(2)limlim (1)(1)(1)(11)x x x x x x x x x x →-→-++++==-+--++211lim.13x x x →-+==-（2）原式22211(1)(3)(1)(3)limlim 8.(2)(1)2x x x x x x x x x →→-+++===---- （3）原式121(1)(1)lim1n n x x x x x x --→-++++=- (提零因子)121lim(1)n n x xx x n --→=++++=.注 分子分母都为0必有共同的0因子① 因为分母极限为零，所以不能直接用计算法则； ② 当0x x →时，0x x ≠. 【例1.50】求下列极限注意多项式商的三种形式的规律0x x x a →∞→→，，，最高项，最低项，零因子（1）247lim 52x x x x x →∞-+++ （2）()()()3020504192lim 61x x x x →∞++- （3） 3225lim 34x x x x →∞-++解（1）原式234341170lim 0.5211x x x x x x→∞-+==++（2）原式3020501249lim 16x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭1030205049263⋅⎛⎫== ⎪⎝⎭. （3）3225lim 34x x x x →∞-=∞++ (因为2334lim 025x x x x →∞++=-) 注 x →∞时有理函数求极限，分子、分母同时除以x 的最高幂次.即抓“大头”.综合题也可直接用结论 0101101,lim0,,m m m n n x n a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩. 【例1.51】求下列极限了解共轭因式，尤其是N 方差公式 （1）)0lim 0x aa +→>. （2）0x → （3）limx解 ⑴原式0lim x a+→=limx a+→=lim x a+→==⑵ 原式=2x x →x →=32=⑶ 原式2limx=2123lim 1x --==.（4）利用两个重要极限求极限利用0sin lim 1x x x →=，1lim 1nn e n →∞⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦求极限，则有0sin 1lim 1,lim(1)e →→∞=+=（此两式中的形式必须相同）.【例1.52】 求下列极限 （1）201cos limx xx →-）（2）22sin sin lim x a x a x a→--（3）31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x→∞⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦解 （1）原式22200212sin sin1222limlim 2()2x x x xx x →→==.（2）原式()()sin sin sin sin limx ax a x a x a→-+=-()2limsin cos sin sin 22x a x a x a x a x a →-+=+-()sin2limcos sin sin 22x a x ax a x a x a →-+=⋅+-1cos 2sin sin 2a a a =⨯⨯=. （3）3lim sin ln(1)x x x →∞+ 3sin ln(1)33lim ln(1)0 limln(1)3ln(1)x x x x x x x→∞→∞++=⋅++ 33333lim ln 1ln lim[(1)]3x x x x x x⋅→∞→∞⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭同理 1lim sin ln(1)1x x x→∞+=,所以 31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x →∞⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦312=-=.【例1.53】 求下列极限 趋向常数的极限通常会做变量替换 （1）1lim(1)tan2x xx π→- （2）22sin lim1x xx ππ→- 解 （1）令1,t x =-则 原式02lim tan()lim cotlimlim222tan22t t t t ttt tt t ttππππππ→→→→=⋅-=⋅===（2） 令,x t π=-则原式2222200002sin()sin sin lim lim lim lim .()2(2)221t t t t t t t t t t t t t ππππππππππ→→→→-====----- 【例1.54】 求下列极限（1）32lim 22xx x x →∞-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）cot 0lim tan 4xx x π→⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解 （1）原式1222111lim 1lim 11222222x xx x x x x --→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1e e =⋅=（2）原式11tan t 001tan 1t lim()lim()1tan 1t x x t x x →→--==++122t 102t lim(1)1tt t t +-⋅-+→-=++02lim1122t02tlim(1)1t t ttt e →-++--→⎡⎤-=+=⎢⎥+⎣⎦.注 1∞型极限的计算还可用如下简化公式：设(),(),u u x v v x ==且lim 1,lim u v ==∞，则lim(1)lim .u vvu e-=（因为 (1)1lim(1)1lim lim [1(1)]u vu vvu u u e---⎧⎫⎪⎪=+-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭）和ln lim lim .v v uu e=【例1.55】 求下列极限 （1）lim hx kx ax b ax c +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭（2）1sin sin 20cos lim cos 2x xx x x →⎛⎫⎪⎝⎭解 （1） 原式＝()()lim 1lim x x ax b b c hx k hx k ax c ax c e e→∞→∞+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=()b c hae-＝（2） 原式22000cos 1cos cos 211cos cos 2lim 1lim limcos 2sin sin 2cos 2cos 222x x x x x x x xxx xx xxx eee→→→--⎛⎫⎛⎫-⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭===2222220011(2)1cos 21cos 322lim []lim []22224x x x x x xx x x xeee →→----===.（5）利用函数的连续性求极限① 设()f x 在x a =连续，按定义则有 lim ()()x af x f a →=.因此对连续函数求极限就是用代入法求函数值.② 一切初等函数在它的定义域上连续.因此，若()f x 是初等函数，a 属于它的定义域，则lim ()()x af x f a →=.③ 设lim ()x ag x A →=，若补充地定义()g a A =，则()g x 在x a =连续.若又有()y f u =在u A =连续，则由复合函数的连续性得 lim (())(lim ())()x ax af g x f g x f A →→==.【例1.56】 求下列极限（1）3225lim243x x x x →+++ （2）3x →解 利用函数的连续性得 （1）332252251lim243224233x x x x →+⨯+==++⨯+⨯+，（2）x →==（6）利用无穷小的性质求极限常用的几个重要等价无穷小代换(当0→x 时)有: sin arcsin tan arctan 1ln(1)x xx x x xe x -+x cos 1-～22x , 1-xa ～)0(ln >a a x , )1(log x +α～ln x a.1)1(-+αx ～x α(α为任意实数), 3tan sin ,2x x x -3sin .6x x x - 利用等价无穷小代换时，通常代换的是整个分子、分母或分子、分母的因子. 【例1.57】求下列极限（1）201lim sin 3x x e x →- （2）cos 0lim sin x x e e x x →- （3）0x →解 （1）当0x →时，212,sin 33xex x x -,∴200122limlim sin 333x x x e x x x →→-==. （2）当0x →时，1cos 0x -→，1cos 11cos xex -∴--.原式cos 1cos 1cos cos 22000(1)(1)lim lim lim x x x xx x x e e e e x x--→→→--==⋅20(1cos )1lim2x x x→-==(因为当210,1cos 2x x x →-). （3）原式0x →=0x x →→=012x →=201112lim 1222x xx x →==⋅.【例1.58】 已知()0ln 1sin lim 231x x f x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=-,求()20lim x f x x →. 解 由()0lim 310x x →-=及()0ln 1sin lim 231x x f x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=-，必有()0limln 10sin x f x x →⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦, 所以 ()ln 1sin f x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦～()sin f x xln3311x x e -=-～ln 3x 原式()0sin lim ln 3x f x x x →=()201lim ln 3sin x f x x x x →=⋅ ()201lim ln 3x f x x→==2，则 ()2lim2ln 3x f x x→=.【例1.59】 求 30sin tan limsin x x xx→- 解 原式33001sin (1)sin (cos 1)cos limlim sin cos sin x x x x x x x x x →→--==⋅23001()1lim lim cos 22x x x x x x→→⋅-=⋅=-⋅.注 3300sin tan limlim 0.sin sin x x x x x xx x→→--≠= 【例1.60】 求 213sin 2sin lim x x xx x→∞+解 213sin 2sin lim x x xx x→∞+=13sin 1lim2lim sin 1x x x x x x→∞→∞+， 1sin1lim1;lim 0,sin 1,1x x x x x x→∞→∞==≤ 则1lim sin 0x x x →∞=， ∴原式=303+=.（7）利用其它方法求极限① 利用导数定义求极限(见第二章) 利用导数定义=')(0x f 00)()(limx x x f x f x x --→可以将某些求极限问题转化为求导数;② 利用罗必达法则(详见第三章); ③ 利用微分中值定理(详见第三章); 【例1.61】 设()()00,0f f '=存在,求()limx f x x→. 解 因为()()00,0f f '=存在,所以()0limx f x x →()()()00lim 0x f x f f x→-'== *【例1.62】 求lim x→+∞解 令()f t =,显然当0x >时,()f t 在[,1]x x +上满足拉格朗日中值定理,所以有,()()()()f b f a f b a ξ'-=⋅-.所以,原式=cos ξ 其中1x x ξ≤≤+故lim lim cos 0x ξξ→+∞→+∞==4.函数的连续性（1）函数的连续性与间断点的讨论【例1.63】 设()2,0sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在点0x =处连续,求常数a b 与的关系.解 ()00sin sin lim lim lim x x x bx bx f x b b x bx+++→→→==⋅= ()()200lim lim x x f x a bx a --→→=+=. 因为函数在点0x =连续,所以()0lim x f x +→b =()0lim x f x a -→==,故a b =. *【例1.64】 设()2122lim 1n n n x ax bxf x x +→∞++=+,当,a b 取何值时,()f x 在(),-∞+∞处连续.解 ()2,1,11,121,12a bx x x x ab f x x a b x ⎧+ <⎪>⎪⎪--=⎨=-⎪⎪++⎪=⎩,由于()f x 在()()(),1,1,1,1-∞--+∞上为初等函数,所以是连续的,只要选取适当的,a b ,使()f x 在1x =±处连续即可. 即11lim ()lim ()(1)x x f x f x f -+→→==; ()()()11lim lim 1x x f x f x f -+→-→-==-. 得 1011a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩. 【例1.65】 研究函数(),111,11x x f x x x -≤≤⎧=⎨<->⎩或的连续性,并画出函数的图形.解 ()f x 在(),1-∞-与()1,-+∞内连续, 在1x =-处间断,但右连续,因为在1x =-处,()()11lim lim 11x x f x x f ++→-→-==-=-,但()11lim lim 11x x f x --→-→-==，即()()11lim lim x x f x f x +-→-→-≠.【例1.66】 指出函数22132x y x x -=-+的间断点,说明这些间断点的类型.解 ()22132x f x x x -=-+在1x =、2x =点没有定义，故1x =、2x =是函数的间断点.因为 ()()()()2211111lim lim3212x x x x x x x x x →→-+-=-+--11lim 22x x x →+==--,所以1x =为第一类可去间断点.因为2lim x y →=∞,所以2x =为第二类无穷间断点.【例1.67】 讨论函数()221lim 1nnn x f x x →∞-=+的连续性,若有间断点,判别其类型.解 ()22 11lim0 1 1 1nnn x x x f x x x x x →∞⎧->⎪-===⎨+⎪<⎩, ()11lim lim 1x x f x x ++→→=-=-,()11lim lim 1x x f x x --→→==,()()11lim lim x x f x f x +-→→≠; ()11lim lim 1x x f x x ++→-→-==-,()11lim lim 1x x f x x --→-→-=-=,()()11lim lim x x f x f x +-→-→-≠.故 1x =±为第一类跳跃间断点.（2）闭区间上连续函数的性质【例1.68】 证明方程3910x x --=恰有三个实根. 证明 令()391f x x x =--，则()f x 在[]3,4-上连续，且()()310,290,f f -=-<-=> ()()010,4270f f =-<=>所以()f x 在()()()3,2,2,0,0,4---各区间内至少有一个零点,即方程3910x x --=至少有三个实根. 又它是一元三次方程,最多有三个实根.证毕【例1.69】 若n 为奇数,证明方程110n n n x a x a -+++=至少有一个实根.证 令()11n n n f x x a x a -=+++，则()1(1)nnn a a f x x xx=+++， 于是 lim (),lim ()x x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞，故存在1,x 使()10f x A =>；存在2,x 使()20f x B =<.所以()f x 在[]12,x x 至少有一个零点,即方程至少有一个实根.【例1.70】 设()f x 在[],a b 上连续,且()(),f a a f b b <>,试证:在(),a b 内至少有一点ξ,使得()fξξ=.证 令()()F x f x x =-,()F x 在[],a b 连续,且()0,()0,F a F b <>由介值定理得在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()0F ξ=,即()fξξ=.【例1.71】 设()f x 在[]0,2a ()0a >上连续,且()()02f f a =,求证存在()0,a ξ∈,使()()ff a ξξ=+.证 构造辅助函数()()()g x f x a f x =+-,则()()()00g fa f =-,()()()2g a f a f a =-()()0f a f =--⎡⎤⎣⎦()0g =-,即()0g 与()g a 符号相反,由零点存在定理知存在()0,a ξ∈,使()0g ξ=,即()()ff a ξξ=+.【例1.72】 设()f x 在[],a b 上连续,且a c d b <<<,证明：在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()pf c qf d p q f ξ+=+，其中,p q 为任意正常数.证()f x 在[],a b 上连续,∴ ()f x 在[],a b 上有最大值M 和最小值m ，则()m f x M ≤≤.由于,[,]c d a b ∈，且,0p q >，于是有(),()pm pf c pM qm qf d qM ≤≤≤≤.⇒ ()()()()p q m pf c qf d p q M +≤+≤+， ⇒()()pf c qf d m M p q+≤≤+.由介值定理，在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()()pf c qf d f p qξ+=+，即()()()()pf c qf d p q f ξ+=+ 5．综合杂例【例1.73】 已知lim 2003,(1)ab bn n n n →∞=--求常数,a b 的值.解 lim lim lim 11(1)[1(1)](1)1aaa bbb n n n b b b n n n n n n n n-→∞→∞→∞-==------ 1lim lim 1a b a b n n n n bb n--+→∞→∞-==- 为使极限为2003，故10,a b -+=且12003,b =所以12002,.20032003b a ==- 【例1.74】 已知221lim2,sin(1)x x ax bx →++=-求常数,a b 的值. 解 由221lim 2,sin(1)x x ax bx →++=-则分子的极限必为0，即21lim()0x x ax b →++=， 从而 10a b ++=；另一方面，当1x →时，22sin(1)1x x --，因此2222221111lim lim 10lim sin(1)11x x x x ax b x ax b x ax a a b x x x →→→+++++--=++=--- 1(1)(1)lim2(1)(1)x x x a x x →-++==-+，从而11211a ++=+，即2,a =又10a b ++=， 得 3.b =【例1.75】已知lim ())0,x ax b →+∞+=求常数,a b 的值.解lim ())lim ())0,x x bax b x a x→+∞→+∞-+=+=而lim ,x x →+∞=∞要使原式极限为0，则lim()0,x ba x→+∞-+=所以 1.a =1lim )lim )lim.2x x x b ax x →+∞→+∞=-===【例1.76】 若 30sin 6()lim 0,x x xf x x →+=求206()lim .x f x x→+ 解 因为30sin 6()lim0,x x xf x x→+=由极限存在与无穷小的关系，得 3sin 6()0,x xf x x α+=+其中0lim 0.x α→=从而 2236()6sin 6,f x xx x x α+=-+ 所以 32233300006()6sin 66sin 6(6)lim lim()lim lim 366x x x x f x x x x x x x x x xα→→→→+-=-+=== 【例1.77】 已知0()lim4,1cos x f x x →=-求10()lim 1.xx f x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭解 因为200()2()limlim 4,1cos x x f x f x x x→→==-则20()lim 2x f x x →=.从而 221()()lim()200()()lim 1lim 1x x f x f x xf x x x x x f x f x e e x x →⋅→→⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注 此题也可用极限存在与无穷小的关系求解.【例1.78】 当0x →x 的几阶无穷小量. 解3255x-=则203limx xx→→==∴x 的23阶无穷小.三、综合测试题。
高等数学中极限的含义
高等数学中极限的含义函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明题中。
掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
限为例，f(x) 在点以a为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数a就叫做函数f(x)当x→x时的极限。
1.利用极限的四则运算法则：音速四则运算法则的条件就是充份而非必要的，因此，利用音速四则运算法则求函数音速时，必须对Rewa的函数逐一展开检验它与否满足用户音速四则运算法则条件，满足用户条件者。
方能够利用音速四则运算法则展开谋之。
不满足用户条件者，无法轻易利用音速四则运算法则谋之。
但是，井非不满足用户音速四则运算法则条件的函数就没音速，而是须要将函数展开并集变形，并使其符合条件后，再利用音速四则运算法则谋之。
而对函数展开并集变形时，通常运用一些技巧例如拆毁项、分子分母同时约回去零因子、分子分母存有化学、通在分后、变量替代等等。
基准 1求 lim( x 2 3x + 5).x→ 2解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5= (lim x) 2 3 lim x + lim 5= 2 2 3 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(l hopital)法则就是在一定条件下通过分子分母分别微分Ploudalm音速去确认未定式值的方法.直观谈就是，在谋一个不含分式的函数的音速时，分别对分子和分母微分，在谋音速，和原函数的音速就是一样的。
通常用在微分后为零比零或无穷比无穷的类型。
利用洛必达求极限应注意以下几点：设立函数f(x)和f(x)满足用户以下条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim f(x)=0;（2）在点a的某回去心邻域内f(x)与f(x)都可微,且f(x)的导数不等同于0;（3）x→a时,lim(f(x)/f(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/f(x))=lim(f(x)/f(x))例1：xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时微分（洛必达法则）(tgx) = 1 / (cosx)^2(x) = 1原式 = lim 1/(cosx)^2当 x --> 0 时,cosx ---> 1原式 = 13.利用两个关键音速：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：① 分子、分母为无穷小，即为音速为 0 ；② 分子上取正弦的角必须与分母一样。
1-3 高等数学—函数极限的概念与性质
二、用函数极限的定义 证明： 1 4x2 1、 lim1 2 x 2 2 x 1 sin x 2、 lim 0 x x
三、试证 : 函数 f ( x ) 当 x x 0 时极限存在的充分 必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等 . x 四、讨论：函数 ( x ) 在 x 0 时的极限是否 x 存在?
通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x 的过程.
1、定义：
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的一切
2
证
函数在点x=1处没有定义.
任给 0,
x2 1 f ( x) A 2 x 1 x 1
要使 f ( x ) A ,
只要取 ,
x 1 lim 2. x 1 x 1
2
x2 1 当0 x x 0 时, 就有 2 , x 1
3.单侧极限:
1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明 lim f ( x ) 1.
x0
例如,
x0 x0
y y 1 x
y x2 1
1
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近x 0 , 记作x x 0 0; x从右侧无限趋近x 0 , 记作x x 0 0;
左右极限存在但不相等, lim f ( x ) 不存在.
x 0
二、函数极限的性质
大学高数第一章函数和极限
x1
x1
x1
x1
3lim x2 2 lim x 1
x1
x1
312 2 11 2
可见，上例求极限，可以直接用定理 1.1 中的(1).
只须将 x x0 之 x0 代入函数中的 x 处运算即可。
例 求 limx(x 2) x2 x2 1
解：lx im 2 x(xx2 12)
limx(x2) xl i2m (x2 1)
必经过点(0,1)
f(x)log2 x
f (x)log0.5 x
正弦、余弦函数基本性质
解析式: ysinx/cosx
基本特征:定义域为实数集R，值域为[-1,1]，最小正
周期T为 2
正切、余切函数基本性质
解析式: ytanx/cotx
基本性质:正切函数定义域为 {x|x2k,,余kZ}
医用高等数学
第1章 函数和极限
1.1 函数 1.1.1函数的概念
定义 1.1 设 X ,Y 是非空数集，对于集合 X 中的任意一个数 x ， 在集合 Y 中均有确定值 y 与其对应，则称 y 是 x 的函数，记为：
y f (x) ，其中 x 称为自变量， y 称为因变量，
其中，集合 X 称为定义域，集合 Y 称为值域。
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是 变量 x 的函数，即： y f (u)， u (x) ， 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分， 则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]
例 讨论函数 f (x) | x | 当 x 0 时的极限. x
高数函数极限
高数函数极限函数极限是高等数学里的一个重要概念，我们将在后面学习。
函数极限在数学中有着重要的地位，那么什么是极限呢？首先要对什么是极限进行说明：函数的极限（简称为“极限”）是指：当左极限等于右极限时，其值等于该函数值。
这里要注意的是：“左极限”和“右极限”是互为逆运算。
由于极限是“无穷大”与“无穷小”的统一，所以可以把极限看成是“无穷小”。
即：对任何自变量取值有界的函数f（ x），当其自变量趋向于无穷大或无穷小时，相应的极限也趋向于无穷大或无穷小，记作lim_f（ x）=∞，即函数值无限接近于它的极限值。
第一个需要说明的是：极限不是一个普遍的概念，它只适用于某些特殊的函数。
为什么函数会有极限呢？其实函数的极限概念是从变量的极限概念发展而来的。
我们知道，我们研究函数总是把函数视为在一个定义域上连续的有限集合，而这样的函数总存在着一个唯一的极限。
不但如此，函数的极限还是有一定范围的。
如果左右极限都存在，则表示函数在这一点处有界，这个点叫做函数的极值点。
二、极限与函数值的关系：极限与函数值是密切相关的。
换句话说，函数的极限决定了函数值。
我们设： x→∞为函数y=x-（ 1/x）的极限，则函数y=x-（ 1/x）=∞。
极限的定义为： lim_f（ x）=∞，即：函数值无限接近于它的极限值。
因此，当我们取两个正数x和y=∞时，函数的极限就是x=0，函数值也就是0。
当然，有时候两个正数x和y=∞，函数的极限却不是x=0，而是y=∞，即： lim_f（ x）=∞。
这说明函数值并不是真正的无穷大，而只是“趋近于无穷大”。
极限存在的充分必要条件是：当x →∞，即当自变量x →∞时，函数f （ x）仍然有极限。
所以说函数的极限是一个条件概念，极限的存在性是指：如果对于一个给定的自变量x，存在正数k，使得当自变量x→∞时，有lim_f（ x）=∞。
一、极限定义：通俗来讲，我们把函数最左极限和最右极限两个数称为“极限值”。
高等数学-第一章-函数与极限-函数的极限-同济大学
经过不等式的变形, 得到关系
f (x) A M x x0 ,
其中 M是一个与x无关的常量. 再取 , 则当
0 x x0 时, 有:
M
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
xn
是函数 f
x
xx0
定义域中的一个任意数列,
xn
x0 ,
且
lim
n
xn
x0,
则相应的数列 f xn 收敛, 且
lim
n
f
(xn )
lim
x x0o
f
(x).
o
证
设 lim f (x) A, xx0
则存在U (x0, ), 当x U (x0, ), 有
f (x) A ,
o
又因
lim
n
x
证令
xn
1,
1
2n
2
yn
1
2n
,
则
lim
n
xn
lim
n
yn
0,
且 xn
0, yn , 0,
但
lim
n
f
(xn )
1, lim n
f
( yn )
0,
所以 lim sin π 不存在.
x0
x
对于数列, 相应的归并性定理为
定理
设数列
lim
n
xn 存在,
则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
2x 2(x2 1)
1 x
高数极限的定义
高数极限的定义高数中的极限是指函数在某个点上的取值趋近于一个确定的数，这个确定的数就是该点的极限。
在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，它在微积分、数学分析、实变函数等学科中都有广泛的应用。
首先，我们来看一下高数中极限的定义。
设函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义，如果存在常数L，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ（也许很小），使得当0<|x-x0|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立，那么就称函数f(x)当x趋近于x0时以L为极限，记作limx→x0f(x)=L。
其中，x0是函数f(x)的自变量，L是函数f(x)的因变量。
ε和δ都是正数，ε表示我们所要求的精度，δ表示自变量x与x0的距离。
当自变量x趋近于x0时，函数f(x)的取值趋近于L。
接下来，我们来看一下极限的性质。
极限具有唯一性、局部有界性、保号性、保序性、四则运算法则和复合函数极限法则等性质。
唯一性：如果limx→x0f(x)=L1，limx→x0f(x)=L2，则L1=L2。
局部有界性：如果limx→x0f(x)=L，则存在常数M和δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)|≤M成立。
保号性：如果limx→x0f(x)=L>0，则存在常数δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有f(x)>0成立。
同理，如果limx→x0f(x)=L<0，则存在常数δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有f(x)<0成立。
保序性：如果limx→x0f(x)=L1，limx→x0g(x)=L2，则当x足够靠近x0时，有f(x)≤g(x)成立，则L1≤L2。
四则运算法则：设limx→x0f(x)=L1，limx→x0g(x)=L2，则有limx→x0[f(x)+g(x)]=L1+L2，limx→x0[f(x)-g(x)]=L1-L2，limx→x0[f(x)g(x)]=L1L2（如果L1和L2都不为零），limx→x0[f(x)/g(x)]=L1/L2（如果L2不为零）。
高等数学函数的极限
xx 或 f x A.
0
(2) 对函数在一点极限值的认识
极限值与函数值是两种不同性质的“值”的概念。
这两种值是相互独立的，一般情况下二者独立存在，彼 此没有直接联系。
• 函数值不存在但极限值存在
2 2 t t 在点 t 0 = 1 没有函数值，但却 例：函数 V t t 1 有极限值，即有 t2 t 2 limV t lim 2. t 1 t 1 t 1
划，于是所论问题就归结为考察，对于取定的 > 0，
当| x - 1 |变得多么小时可使得 | f( x )- 1 |< 成立。
若取 1 = 10 ，即要求有 | f( x )- 1 |< 10 ， 由于 | f( x )- 1 |= |( 2 x - 1 )- 1 |= 2| x - 1 |， 因此只要 x 满足
程，可先通过实例进行考察。
设有函数 f( x )= 2 x - 1，考察其 在点 x 0 = 1 处取得的极限 1 的情形。 f( x )与 A = 1 的接近程度可用绝 对值| f( x )- 1 |的大小来表达， x 与
x 0 = 1的接近程度可用绝对值 | x - 1 |
的大小来表达。 由于 f( x )与 1 无限接近可通过 | f( x )- 1 |< 来刻
0 x 1 1 1 , 2 1 2 10 2 -2 | f( x )- 1 |= 2| x - 1 | < 10 .
-4
-2
-2
就可使
若取 2 = 10 ，即要求有
| f( x )- 1 | < 10 ，则只要 x 满足
0 x 1 1 1 , 2 2 2 10 4 -4 | f( x )- 1 |= 2| x - 1 | < 10 .
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由于 | x | > X > 0 x > X 或 x < X, 所以, x 按绝对值无限增大时,
既包含了 x +, 又包含了 x 的情形.
定理
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a .
x
x
x
由绝对值关系式: | x | X x X 或 x X (X 0)
成立, 则称数列{xn}当 n 时, 以 a 为极限, 记为
lim
n
xn
a.
数列是一种特殊的函数: xn f (n) n Z .
而
lim
n
xn
a
与 lim x
f
(x)
a
相当,
故可以从形式进行
推广, 将 xn 替换为 f (x), n 替换为 x , N 替换为 X :
我们将得到x 时, 函数的极限.
将图形对称
y
y f (x)
y a
ya
y a
X O
X
x
将图形对称过去后, 你有什么想法?
2. x 时, 函数 f (x) 的极限
定义 0, 若 X 0, 使当x X 时, 有
| f (x) a |
及极限的三个定义即可证明该定理.
例1
证明：lim x
1 x3 2x3
1. 2
证 0,
要
1 x3 2x3
1 2
,
即要
1 2 | x |3
,
即
|x| 1 ,
3 2
故取 X 1 , 则当 | x | X 时 , 有
3 2
1 x3 2x3
1 2
Hale Waihona Puke 成立. 由极限的定义可知:
成立, 则称函数 f (x) 当 x 时, 极限存在, 常数 a 为其极限值, 记为
lim f (x) a ,
x
或记为 f (x) a (x ) .
lim f (x) a 的几何意义与 lim f (x) a 的情形类似.
x
x
现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?
从数列{xn} 与函数 y 1 (x
:
xn
1 n
(0,))
x
的图形可以看出:
lim 1 0, lim 1 0.
n n
x x
y
y1
x
xn
1 n
O 1 2 3 n x
如何描述它？
回忆数列{xn} :
xn
1 n
极限的定义：
0, 若 N 0, 使当n N 时, 有 | xn a |
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第二章 极 限
第二节 函数的极限与性质
一. x 时, f (x) 的极限 二. x x0 时, f (x) 的极限
三. 极限定义及定理小结 四. 函数极限的基本性质
一. x 时, f (x) 的极限
由于数列实际上可以看成是定义域为正整数
域的函数, 所以, 可望将数列的极限理论推广到 函数中, 并用极限理论研究函数的变化情形.
1 1 x2
0
1 1 x2
1 1 x2
,
证明过程 怎么写？
即要 1 1 x2,
当
1时,
x 0,
则
1 1 x2
显然成立 .
当 1时, | x |
1
1
时,
1 1 x2
成立 .
这里想得通吗？
0 (不妨设 0 1) , 取 X 1 1 , 则当
1. x 时, 函数 f (x) 的极限
定义 0, 若 X 0, 使当x X 时, 有
| f (x) a |
成立, 则称函数 f (x) 当 x 时, 极限存在, 常数 a 为其极限值, 记为
lim f (x) a ,
x
或记为 f (x) a (x ) .
想想：如何从几何的角度来表示该定义？
| f (x) a | a f (x) a
lim f (x) a 的几何意义
x
y
y f (x)
y a ya
y a
O
X
x
当 x X 时, a f (x) a , 即函数的图 形夹在两条平行线 y a 和 y a 之间.
第二章 极 限
本章学习要求： ▪ 了解数列极限、函数极限概念，知道运用“ε－δ”和 “ε－X ”
语言描 述函数的极限。 ▪ 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则
以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 ▪ 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 ▪ 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。
3. x 时, 函数 f (x) 的极限
定义 0, 若 X 0, 使当| x | X 时, 有
| f (x) a |
成立, 则称函数 f (x) 当 x 时, 极限存在, 常数 a 为其极限值, 记为
lim f (x) a ,
x
或记为 f (x) a (x ) .
| x | X 时, 有
1 1 x2
0
1 1 x2
1 1 x2
,
故由极限的定义可知:
lim
x
1
1 x
2
0.
由于 0 是用来描述 f (x) 与 a 的接近程度的,
lxim12xx33
1. 2
例2
讨论函数
f
( x)
1
1 x2
当x
时的极限.
解
当| x | 无限增大时,
1 x2 也无限增大,
此时 1 1 x2
无限缩小, 可以小于任意小的正数 . 因而应该有
lim x 1
1 x
2
0.
下面证明我们的猜想: 由极限的定义, 0, 要
y
y f (x)
y a
ya
y a
X O
X
x
| x | X 0 x X 或 x X
现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?
y
y f (x)
y a
ya
你能否由此得出 一个极限的定义
X O 和一个重X 要的定理.
y a
x
| x | X 0 x X 或 x X