概率论第二章习题讲解

j
( )
j
i
i
二. 二维连续随机变量的边缘分布 x +∞ F X ( x ) = F ( x , +∞ ) = ∫ dx ∫ f ( x , y )dy ∞ ∞ d +∞ f X (x ) = FX (x )= ∫ ∞ f ( x , y )dy dx y +∞ FY ( y ) = F (+ ∞ , y ) = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx ∞ ∞ +∞ d fY ( y ) = FY ( y ) = ∫ ∞ f ( x , y )dx dy 一. 离散型随机变量的独立性 p xi , y j = pX ( xi ) pY y j 二. 连续随机变量的独立性
+∞ ∞
∞
f (z y( x , y )dy
2. 平方和的分布
n
FZ ( z ) =
∫∫ f ( x , y )dxdy
x2 + y2 < z
n
3.(独立的随机变量) 3.(独立的随机变量)最大值与最小值的分布
Fmax ( z ) = ∏ Fi ( z ),
i =1
p 1 q[ x ] F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∑ pq m 1 = = 1 q [ x ] = 1 (1 p)[ x ] 1 q m =1 其中,[x]为 x 的整数部分. 其中, 为 的整数部分.
8
(
)
当 x ≥ 1 时,
4 自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p (0<p<1), 生产过程中出现废品时立即重新调整, 生产过程中出现废品时立即重新调整 求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布. 求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布 设随机变量X表示自动生产线 解 设随机变量 表示自动生产线 : 在两次调整之间生产的合格品数, 在两次调整之间生产的合格品数, 的所以可能取值:0,1,2,…,n,…. 则X的所以可能取值 的所以可能取值
R
4
§2.10 二维随机变量的边缘分布
一. 二维离散随机变量的边缘分布 p X ( x i )= P ( X = x i )= ∑ P ( X = x i , Y = y j ) = ∑ p(x i , y j )
pY y j = P (Y = y j )= ∑ P (Y = x i , Y = y j ) = ∑ p(x i , y j )
11
则 ∴若 (n + 1) p = x0 是整数, P( X = x0 ) = P( X = x0 1) 为最大值; 是整数, 为最大值; 不是整数, 若 (n + 1) p 不是整数,则取其整数部分 x0 = [(n + 1) p], 此时 P ( X = x0 ) 最大. 最大. 7. 进行 次独立射击,设每次射击击中目标的概率为0.3, 进行8次独立射击,设每次射击击中目标的概率为 , 次独立射击 击中几次的可能性最大?并求相应的概率; ⑴ 击中几次的可能性最大?并求相应的概率; 求至少击中2次的概率 次的概率. ⑵ 求至少击中 次的概率.
一,离散型随机变量函数的分布 二,连续型随机变量函数的分布
(1)FY ( y ) = P (Y ≤ y ) = P ( g ( X ) ≤ y ); (2) f Y ( y ) = FY′ ( y ). 为单调函数, 特别地, 特别地,若 y = g ( x ) 为单调函数,则 ′ 1 1 f Y ( y ) = f X (g ( y )) [g ( y )]
P ( X = x )取得最大值. 取得最大值.
解
P ( X = x) = C p q
x n x
n- x
P( X = x) (n + 1) p x = 1+ P( X = x 1) xq
当 x < (n + 1) p 时, P( X = x) > P( X = x 1); 当 x = (n + 1) p 时, P( X = x) = P( X = x 1); 当 x > (n + 1) p 时, P( X = x ) < P( X = x 1);
第二章
随机变量及其分布
∞
§2.1 随 机 变 量 的 概 念 §2.2 离 散 型 随 机 变 量
P ( X = x i ) = p( x i ) i = 1 , 2 (1) 1. "0-1"分布 两点分布 分布(两点分布 分布 两点分布)
p( x i ) ≥ 0 ( 2)
∑ p( x i ) = 1.
3
§2.9 二维随机变量的联合分布
1. 二维离散随机变量的联合概率分布 P ( X = x i , Y = y j ) = p ij , i , j = 1,2,3,
p ij ≥ 0 ,
∑∑ p
i j
ij
=1
2. 二维随机变量的联合分布函数 F ( x, y) = P( X ≤ x,Y ≤ y) 3. 二维连续随机变量的联合概率密度
P ( X = n) = (1 - p )n p.
X
P ( xi )
0
1 pq
2
pq 2
n
pq n
p
9
5 20个产品中有 个次品,抽取 个产品, 个产品中有4个次品 抽取6个产品 个产品, 个产品中有 个次品, (1)不放回抽样,求样品中次品数的概率分布; )不放回抽样,求样品中次品数的概率分布; (2)放回抽样,求样品中次品数的概率分布. )放回抽样,求样品中次品数的概率分布. 解 ⑴ 不放回抽样,设随机变量 表示样品中次品数, 不放回抽样,设随机变量X 表示样品中次品数, 的所有可能取的值为: 1 2 3 4 则X的所有可能取的值为: 0, , , , , 的所有可能取的值为
10
k 1 4 P (Y = k ) = C 6 5 5
k
6 k
X
0
1
2
3
4
5
6
P ( x i ) 0 .2621 0 .3932 0 .2458 0 .0819 0 .0154 0 .0015 0 .0001
6设随机变量 服从二项分布 B (n, p ) 当x 为何值时,概率 设随机变量X 为何值时, 设随机变量
1
§2.5 随 机 变 量 的 分 布 函 数
一.定义 二.分布函数 的性质: 的性质:
F ( x) = P( X ≤ x)
(1) 0 ≤ F ( x ) ≤ 1, ( ∞ < x < +∞ ) ( 2) F ( x 1 ) ≤ F ( x 2 ), 当 x 1 < x 2 . ( 3) lim F ( x ) = F ( ∞ ) = 0, lim F ( x ) = F (+ ∞ ) = 1
P ( X = m ) = p(1 p )
m 1
m = 1 , 2
的概率分布表如下: ∴X的概率分布表如下: ( p + q = 1) 的概率分布表如下
X
P(X = m)
1
p
2
pq
3
pq 2
n
pq n 1
显然,当 x < 1 时,F ( x ) = P ( X ≤ x ) = 0; 显然,
[ x]
i j
对于一切的 xi + y j = zk
i
j
i
j
连续型 FZ (z ) = P(Z ≤ z ) = P( X + Y ≤ z ) =
f Z (z ) = ∫
+∞ ∞
i
f ( x , z x )dx = ∫
+∞ ∞
∞ +∞
∫
+∞
j
若X,Y 独立 f Z (z ) = ∫ f X ( x ) f Y (z x )dx = ∫ f X (z y ) f Y ( y )dy ,
∫
x2 x1
f ( x )dx
2
§2.7 均匀分布指数分布 均匀分布
一,均匀分布
1 , f ( x) = b a 0, 当 a ≤ x ≤ b; 当 x < a 或 x > b.
二,指数分布
λe λx , 当 0 < x; f ( x) = 当 x ≤ 0. 0,
§2.8 随机变量函数的分布
k 解 击中次数 服从 B (8, 0 . 3 ) ∴ P ( X = k ) = C 8 (0.3 ) (0.6 ) 击中次数X服从 k 8 k
i =1
超几何分布二项分布 二项分布泊松分布 §2.3 超几何分布 二项分布 泊松分布
x = 0, 1, 2 min( M , n) x x n x (x = 0, 1, 2, …, n) 3. 二项分布 X ~ B( n, p ) Pn ( x ) = C n p q
4. Poisson分布 X ~ P (λ ) Pλ ( x ) = 分布
x → ∞ x → +∞
( 4 ) 对离散随机变量,右连续的阶梯曲线 对离散随机变量,右连续的阶梯曲线.
(5) 对连续随机变量,是单调上升的连续曲线 对连续随机变量,
P ( X = x ) = 0.
§2.6 连续型随机变量的概率密度
一.概念
(1): (1): f ( x ) ≥ 0; 二,概率密度 的性质: 的性质:
Fmin ( z ) = 1 ∏ [1 Fi ( z )]
i =1
6
(二)课后习题略解
2 一批零件中有 个合格品与3个废品.安装机器时从中任取 一批零件中有9个合格品与 个废品 个合格品与 个废品. 1个.如果每次取出的废品不再放回去,求在取得合格品以 个 如果每次取出的废品不再放回去, 前已取出的废品数的概率分布. 前已取出的废品数的概率分布. 解 设在取得合格品以前已取出的废品数为 ,则X的所有可 设在取得合格品以前已取出的废品数为X, 的所有可 3 能取的值为: , , , , P ( X = 0 ) = 能取的值为: 1 2 3 0 4 1 9 9 1 2 9 9 P ( X = 1) = = P ( X = 2) = = 4 11 44 4 11 10 220 1 2 1 1 P ( X = 3) = 1 = 4 11 10 220