第十章 相关与回归分析
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第10章 相关与回归分析_PPT幻灯片
直线相关
相关 ---- 变量间的互依关系
直 线 相 关 (linear correlation) ： 简 单 相 关 (simple correlation)，用于双变量正态分布资料。
图10-2 相关系数示意图
散点呈椭圆形分布，
X、Y 同时增减---正相关
（positive correlation)；
2. 计算检验统计量
0.8012
t
4.017
1 (0.8012 )2
11 2
n 2 11 2
3. 确定 P 值下结论（根据 t 值或查附表 11 r 界值表）
t＝4.017>t0.05（9）=3.69,按 ＝0.05 水准拒绝 Ho，…
五、总体相关系数的区间估计（了解）
必须先对 r 作 z 变换
170
47
173
42
160
44
155
41
173
47
188
50
178
47
183
46
180
49
165
43
166
44
பைடு நூலகம்
1891
500
Xy 7990 7266 7040 6355 8131 9400 8366 8418 8820 7095 3174 86185
x2 28900 29929 25600 24025 29929 35344 3684 33489 32400 27225 28561 326081
变量间关系问题：年龄~身高、肺活量~体重、药物剂 量与动物死亡率等。
两种关系：
依存关系：应变量(dependent variable) Y 随自变量 (independent variable) X变化而变化。
统计学(回归分析)习题
统计学第三次作业（第十章相关与回归分析）计算题1. 为研究年收入水平Y （单位：万元）与受教育程度X （单位：年）之间的关系，现抽取一个包括20个人的随机样本，得到：22239, 72.61, ()422.95()34.83, ()()106.74ttttttX Y X X Y Y X X Y Y ==-=-=--=∑∑∑∑∑试根据以上数据：(1) 计算年收入水平与受教育程度的样本相关系数；(2) 拟合简单线性回归方程，并对回归系数的经济意义作解释； (3) 预测受教育年限为16年时，平均年收入是多少？2. 为研究零食中脂肪含量X （单位：克）与热量Y （单位：卡路里）之间的关系，随机抽查了16种点心食品，得到的数据如下：22189, 3461, 2799907717, 49526, 16tt t tt t X Y X YX Y n ======∑∑∑∑∑试根据以上数据：（1）计算热量与脂肪含量的样本相关系数；（2）拟合热量与脂肪含量的简单线性回归方程，并计算回归方程的决定系数以反映拟合效果；（3）若某糖果条包装上标明含有3克脂肪，预测其含有的热量。
3. 有8个同类企业的生产性固定资产年均价值和工业增加值的资料如下：要求：（计算必须有公式和过程）（1）计算相关系数，说明两变量相关的方向和程度；（2）建立以工业增加值为因变量的直线回归方程，说明方程参数的经济意义；（3）在0.05的显著性水平下，用F检验检验线性回归效果是否显著？（0.05(1,6) 5.987F=）（4）确定生产性固定资产为1100万元时，工业增加值的估计值。
4. 根据甲企业2004年每月的产品销售额Y与广告费支出X数据（单位：元），计算出其估计的回归方程为ŷ=31.98+1.68X，估计结果中R2＝0.923，F＝230.78，自变量系数的t检验值为3.587；另有一企业乙也进行了同样情况的分析，已知∑X=50, ∑Y=110.8, ∑X2=294, ∑Y2=1465.0, ∑XY=654.9,要求：(1)确定乙企业产品销售额Y与广告费支出X的线性回归方程，并说明βˆ1的含义；(2)若已知乙企业的回归结果中R2＝0.847，F＝302.5，自变量系数的t检验值为1.7689，试根据所学知识对甲、乙两企业所建立的线性回归方程的优劣进行综合分析。
相关性与回归分析
相关性与回归分析在我们的日常生活和各种科学研究中，经常会遇到需要分析两个或多个变量之间关系的情况。
这时候，相关性与回归分析就成为了非常有用的工具。
它们能够帮助我们理解变量之间的相互影响，预测未来的趋势，以及为决策提供有力的依据。
让我们先来聊聊相关性。
相关性主要是用来衡量两个变量之间线性关系的紧密程度。
比如说，我们想知道一个人的身高和体重之间有没有关系，或者学习时间和考试成绩之间是不是存在关联。
相关性分析会给出一个数值，这个数值通常在－1 到 1 之间。
如果相关性数值接近 1，那就表示两个变量之间存在很强的正相关关系，也就是说，一个变量增加，另一个变量也会随之增加。
相反，如果相关性数值接近－1，就是很强的负相关关系，一个变量增加，另一个变量会减少。
而当相关性数值接近 0 时，则表示两个变量之间几乎没有线性关系。
举个例子，我们发现气温和冰淇淋销量之间存在正相关关系。
天气越热，人们购买冰淇淋的数量往往就越多。
但是要注意，相关性并不意味着因果关系。
虽然气温和冰淇淋销量高度相关，但气温升高并不是导致人们购买冰淇淋的唯一原因，可能还有其他因素，比如人们的消费习惯、促销活动等。
接下来，我们再深入了解一下回归分析。
回归分析实际上是在相关性分析的基础上更进一步，它不仅能够告诉我们变量之间的关系强度，还能建立一个数学模型来预测一个变量的值，基于另一个或多个变量的值。
比如说，我们通过收集数据，发现房子的面积和价格之间存在一定的关系。
然后，我们可以使用回归分析建立一个方程，比如“价格＝ a×面积＋b”，其中 a 和 b 是通过数据分析计算出来的系数。
这样，当我们知道一个房子的面积时，就可以用这个方程来预测它大概的价格。
回归分析有很多种类型，常见的有线性回归和非线性回归。
线性回归假设变量之间的关系是直线的，就像我们刚才提到的房子面积和价格的例子。
但在很多实际情况中，变量之间的关系并不是直线，而是曲线，这时候就需要用到非线性回归。
第十章 直线回归与相关分析
115 125 128 143 132 121 129 112 120 130 125.5
135 137 128 127 155 132 148 117 134 132 134.5
图10-2 NaCl含量对单位叶面积干物重影响的散点图
Y . X X
含义是：对于变量X的每一个值，都有一个Y 的分布，这个分布的平均数就是该线性函数。
ˆ a bX Y
回归截距 与x值相对应的依变量y的点估计值
此方程称为Y对X的直线回归方程(linear regression equation)，画出的直线称为回归线 （ regression line）。
ˆ Y a bx
ˆi ) 2 L ( yi y
i 1 n
Y
最小
编号 1 2 3 4 5 血球体积x /mm3 45 52 56 48 42 红血球数y /106 6.53 6.30 9.52 7.50 6.99 6 7 8 9 10 编号 血球体积x /mm3 35 58 40 39 50 红血球数y /106 5.90 9.49 6.20 6.55 8.72
n n
整理后得：
an b xi yi i1 i1 n n n a xi b xi2 xi yi i1 i1 i1
解正规方程得：
x y ( x )( y ) / n b x ( x ) / n ( x x)( y y) = S S ( x x)
第二节：一元线性回归 1 散点图的绘制
2 一元正态线性回归模型 3 直线回归方程的参数估计和回归方 程的建立 4 直线回归的假设检验
5 直线回归的方差分析
6 直线回归的意义( 自学）
第十章相关与回归分析
相关关系是回归分析的前提和基础，回归分析是相关分 析的深入和继续。 区别： 1.相关分析没有方向性，是对等关系；回归分析有方向性， 必须先确定自变量与因变量 2.相关分析中变量是随机变量；回归分析则不同，自变量是 给定的，因变量是随机的
6
第二节 简单线性相关分析
一、简单线性相关关系的直观判断 采用定性和定量分析的方法：受理论知识、专业水平、
第一，对具有相关关系的现象选择合适的数学模型 第二，对所选择的数学模型的实际效果进行准确性和可靠
性检验。 可通过假设检验和估计标准误差来实现
4
（三）类型 1.按涉及变量的多少：简单回归和复合回归 2.按变量的表现形式：直线回归和曲线回归
5
三、相关分析与回归分析的关系 联系：都是以变量之间的相互依存关系作为研究对象，
绕回归直线YC=a+bX的变动程度，它是除了X对Y的线性影响 之外的一切随机因素所引起的Y的变动。
总变差（ST）=回归变差（SR）+剩余变差（SE）
15
（二）可决系数和相关指数
回归变差占总变差的比重越大，说明观察值离回归
直线越近，用自变量X通过回归方程求得其相应YC值去估 计实际值Y就越精确，说明X与Y之间关系越密切，回归直
1
（二）相关关系的种类 1.按涉及的变量的多少：单相关与复相关 2.表现形式分：线性相关与非线性相关。 3.按方向不同分：正相关与负相关。 4.按相关程度来分：完全相关、不完全相关和不相关。
完全相关：r=±1 不相关: r=0
2
（三）相关分析的概念和内容 相关分析是研究具有相关关系的变量之间变动方向
相关
17
（三）估计标准误差 估计值YC与实际观测值Y之间存在一定的离差，称为估
6
第二节 简单线性相关分析
一、简单线性相关关系的直观判断 采用定性和定量分析的方法：受理论知识、专业水平、
第一，对具有相关关系的现象选择合适的数学模型 第二，对所选择的数学模型的实际效果进行准确性和可靠
性检验。 可通过假设检验和估计标准误差来实现
4
（三）类型 1.按涉及变量的多少：简单回归和复合回归 2.按变量的表现形式：直线回归和曲线回归
5
三、相关分析与回归分析的关系 联系：都是以变量之间的相互依存关系作为研究对象，
绕回归直线YC=a+bX的变动程度，它是除了X对Y的线性影响 之外的一切随机因素所引起的Y的变动。
总变差（ST）=回归变差（SR）+剩余变差（SE）
15
（二）可决系数和相关指数
回归变差占总变差的比重越大，说明观察值离回归
直线越近，用自变量X通过回归方程求得其相应YC值去估 计实际值Y就越精确，说明X与Y之间关系越密切，回归直
1
（二）相关关系的种类 1.按涉及的变量的多少：单相关与复相关 2.表现形式分：线性相关与非线性相关。 3.按方向不同分：正相关与负相关。 4.按相关程度来分：完全相关、不完全相关和不相关。
完全相关：r=±1 不相关: r=0
2
（三）相关分析的概念和内容 相关分析是研究具有相关关系的变量之间变动方向
相关
17
（三）估计标准误差 估计值YC与实际观测值Y之间存在一定的离差，称为估
相关分析与回归分析
客观现象的相互联系，可以通过一定的数量关系反映出来。
（2）回归分析是相关分析的深入和继续。
一、表格法（相关表法）
（一）简单相关表
n x y x y 编制方法：先将自变量的值按照从小到大的顺序排列出来，然后将因变量的值对应列上而排列成表格。
以x为自变量，y为因变量建立直线回归方程，并说明回归系数的经济意义。
※●很显复示 相明x关和：显y自事变：正量相两r关的个还以是取上负。相值关；为正或为负取决于分子。
1、协方差 的作用 3=1、0+两2个x 变量完全r相=0关. 时，则相2 关系数为（
）
6、下列回归方程中，肯定错xy 误的是（
）
A．x的数值增大时，y值也随之增大
显示x和y事正相关还是负相关； （5※、2）产回品归单分位析成是本相与关产分品析产的量深之入间和的继关续系。一般来说是（ ） 第※※三绝显节 对值示回在归0x分. 析和与一y元相线性关回归程度的大小； 1一2x、、相关相关r=系关0.的概系念和数种类计算的简便公式
第二节 相关关系的判断
（二）相关系数的计算
rxy2
(xx)(yy) n
xy
(xx)2
(yy)2
n
n
n :资料项数
x
(xx)2 表示 x变量的标准差 n
y
(yy)2 表示 y变量的标准差 n
2 xy
(xx)(yy)表示 x、y两个变量数列的协方 n
第二节 相关关系的判断
r (xx)(yy) (xx)2 (yy)2
第一节 相关分析的意义和种类
3、根据相关的形式不同划分，分为线性相关和非线性相关。 ●线性相关：即直线相关。 ●非线性相关：即曲线相关。 4、根据相关的程度分为不相关、完全相关（函数关系）和不完全 相关。 三、相关分析的主要内容 1、确定现象之间有无关系。 2、确定相关关系的表现形式。 3、测定相关关系的密切程度和方向。
相关分析与回归分析
一强行介入法Enter一次性进入
这是一种不检验F和Tolerance，一次将全部自变量无条件地
纳入回归方程。
二强行剔除Remove一次性剔除
指定某些变量不能进入方程。这种方法通常同别的方法联合
使用，而不能首先或单独使用，因为第一次使用或单独使用
将意味着没有哪个变量进入方程。
三逐步进入Stepwise
▪ 回归分析是研究客观事物变量间的关系，它是建立在对客
观事物进行大量试验和观察的基础上，通过建立数模型寻
找不确定现象中所存在的统计规律的方法。回归分析所研
究的主要问题就是研究因变量y和自变量x之间数量变化规
律，如何利用变量X，Y的观察值样本，对回归函数进行
统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等。
差
▪ “Plots”
该对话框用于设置要绘制的图形的参数。
“X”和“Y”框用于选择X轴和Y轴相应的变量。
左上框中各项的意义分别为：
• “DEPENDNT”因变量。
• “ZPRED”标准化预测值。
• “ZRESID”标准化残差。
• “DRESID”删除残差。
• “ADJPRED”调节预测值。
• “SRESID”声氏化残差。
利用的是非参数检验的方法。
定序变量又称为有序ordinal变量顺序变
量，它取值的大小能够表示观测对象的某种顺
序关系等级方位或大小等，也是基于“质”因
素的变量。例如，“最高历”变量的取值是：
一—小及以下二—初中三—高中中专技校四—
大专科五—大本科六—研究声以上。由小到大
的取值能够代表历由低到高。
Spearman等级相关系数为
– 四. Multinomial Logistic 多元逻辑分析。
这是一种不检验F和Tolerance，一次将全部自变量无条件地
纳入回归方程。
二强行剔除Remove一次性剔除
指定某些变量不能进入方程。这种方法通常同别的方法联合
使用，而不能首先或单独使用，因为第一次使用或单独使用
将意味着没有哪个变量进入方程。
三逐步进入Stepwise
▪ 回归分析是研究客观事物变量间的关系，它是建立在对客
观事物进行大量试验和观察的基础上，通过建立数模型寻
找不确定现象中所存在的统计规律的方法。回归分析所研
究的主要问题就是研究因变量y和自变量x之间数量变化规
律，如何利用变量X，Y的观察值样本，对回归函数进行
统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等。
差
▪ “Plots”
该对话框用于设置要绘制的图形的参数。
“X”和“Y”框用于选择X轴和Y轴相应的变量。
左上框中各项的意义分别为：
• “DEPENDNT”因变量。
• “ZPRED”标准化预测值。
• “ZRESID”标准化残差。
• “DRESID”删除残差。
• “ADJPRED”调节预测值。
• “SRESID”声氏化残差。
利用的是非参数检验的方法。
定序变量又称为有序ordinal变量顺序变
量，它取值的大小能够表示观测对象的某种顺
序关系等级方位或大小等，也是基于“质”因
素的变量。例如，“最高历”变量的取值是：
一—小及以下二—初中三—高中中专技校四—
大专科五—大本科六—研究声以上。由小到大
的取值能够代表历由低到高。
Spearman等级相关系数为
– 四. Multinomial Logistic 多元逻辑分析。
(DLu)第10章两变量间相关与回归分析PPT课件
2.34
YY
3.26
XY
blXY 3.26 0.1698 lXX 19.20
a Y b X 0 .9 9 4 8 0 .1 6 9 8 4 .0 4 8 0 .3 0 7 5
3、绘制回归直线
Y0.30750.1698X
二、直线回归中的统计推断
样本回归系数b是总体回归系数
是否有 0
b X x (Y y ) X YX Yn lXY
(X x )2
X 2 ( X )2n lXX
aybx
实例求解回归方程
例10.1 计算甘油三酯（Y）对血清胆固醇（X）的 直线回归方程 。
1、绘制散点图 2、计算
XX85.014.048
n 21
YY20.890.9948 n 21
l l l 19.20 XX
简单相关系数(simple correlation coefficient)等;
符号r表示样本相关系数，ρ表示总体相关系数。
它说明具有直线关系的两个变量，相关关系的密 切程度与相关方向的指标。其值为－１≤r≤１。
条件：双变量正态分布
二、计算公式
r XxYy lX Y Xx2 Yy2 lX X lY Y
Yˆ abX
a称为截距， b称之为斜率或回归系数， 表示当自变量X每改变一个单位,因变量Y平 均变动的单位数。
I型回归 II型回归 直线回归（linear regression） 或简单线性回归（simple linear regression）
总体和
YX X
a称为常数项, b称为样本回归系数
FSS回回＝MS回＝0.55361＝5.888
SS剩
b与=0
（一）方差分析
1、回归系数的假设检验——方差分析
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2 2
n xy x y
2
相关系数
（取值及其意义）
1.
r 的取值范围是 [-1,1] |r|=1，为完全相关
2.
r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负正相关
3.
4. 5. 6.
r = 0，不存在线性 相关关系
-1r<0，为负相关 0<r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越 不密切
各相关系数检验的统计量
一元线性回归
一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
回归直线的拟合优度
显著性检验
什么是回归分析
（regression）
1. 2.
从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式
对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影 响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显 著，哪些不显著
础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。 近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例 的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款 形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便 找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年 的有关业务数据
0 1 是未知的，必须利用样本数据
ˆ ˆ 2. 用样本统计量 0 和 1 代替回归方程中的未知 0 参数 和1 ，就得到了估计的回归方程 3. 一元线性回归中估计的回归方程为
ˆ ˆ ˆ y 0 + 1 x
ˆ 是直线 其中：ˆ0是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 1 的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值， y 是 y 的估计 ˆ 值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值
使用的最简便的基本分析工具。
相关关系的描述与测度 (相关系数)
相关系数
（correlation coefficient）
对变量之间关系密切程度的度量 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r
3.
利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预
测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或
控制的精确程度
回归模型的类型
回归模型
一元回归 线性回归 非线性回归 多元回归 线性回归 非线性回归
一元线性回归模型
一元线性回归
1. 2.
涉及一个自变量的回归
因变量y与自变量x之间为线性关系
被 预 测 或 被 解 释 的 变 量 称 为 因 变 量 (dependent variable)，用y表示 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称 为自变量(independent variable)，用x表示
反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性
0 和 1 称为模型的参数
一元线性回归模型
（基本假定）
1.
误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0。对于 一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) = 0+ 1 x 对于所有的 x 值，ε的方差σ2 都相同 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。
25 2 t 0.8436 7.5344 2 1 0.8436
根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t(n-2)=2.069 由于t=7.5344>t(25-2)=2.069，拒绝H0，不良贷款 与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系
相关系数的显著性检验
（例题分析）
相关系数（Correlation Coefficient）是度量两个变量之间线性
相关的方向和强度的测度。 散点图只是粗略地刻画两个变量之间线性相关关系的方向、强度和 形式，不能确切地度量变量之间的相关关系的密切程度。相关系数 可以具体度量变量之间的相关关系的密切程度，并且用一个相对数 数值表述出来，使之具有直接的可比性。
不良贷款
10
10 8 6 4 2 0 0 50 100 150 200 固定资产投资额
不良贷款与贷款项目个数的散点图
不良贷款与固定资产投资额的散点图
散点图的作用就是通过两个数值型变量之间在二维平面的直角坐标
中的分布图形，粗略地把握变量之间相关关系的基本态势。例如变 量之间的线性特征越显著，说明其相关关系越强，反之则越弱；两
3.
因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示
一元线性回归模型
1.
2.
描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为 回归模型 一元线性回归模型可表示为
y = + x +
y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量
参数的最小二乘估计
最小二乘估计
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达 到最小来求得 和 的方法。即 ˆ ˆ 1 0
ˆ x ) 2 最小 ˆ ( yi y ) ( yi 0 ˆ1 i
2 i 1 i 1
n
n
2. 用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系 与实际数据的误差比其他任何直线都小
第十章 一元线性回归
变量间关系的度量 一元线性回归 利用回归方程进行估计和预测
残差分析
多元线性回归 非线性回归的线性化
变量间关系的度量
变量间的关系
相关关系的描述与测度 相关系数的显著性检验
变量间的关系
函数关系
1. 2.
是一一对应的确定关系 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随 变量 x 一起变化，并完 全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 中 x 称为自变量，y 称为因变量 各观测点落在一条线上 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其
相关关系
（correlation）
1.
变量间关系不能用函数关系精确表 达
2.
一个变量的取值不能由另一个变量 唯一确定，即当一个或若干个变量X 取一定值时，与之相对应的另一个 变量Y的值虽然不确定，但却按某种 规律在一定范围内变化。
当变量 x 取某个值时，变量 y 的 取值可能有几个
y
非线性相关
完全正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
不相关
正线性相关
散点图
（例题分析）
【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基
n2 ~ t (n 2) 计算检验的统计量： t r 2 1 r 确定显著性水平，并作出决策
• 若t>t，拒绝H0 • 若t<t，不能拒绝H0
相关系数的显著性检验
（例题分析）
对不良贷款与贷款余额之间的相关系数进行显著性检
(0.05) 提出假设：H0： ；H1： 0 计算检验的统计量
y
3.
x
函数关系
（几个例子）
数值型数据的确定性数量关系称为函数关系。函数关系遵循
严格的因果律。 如在国民经济核算中“国内生产总值=消费+积累+进出口净 额”，或者“国内生产总值=固定资产折旧+劳动者报酬+企 业盈利+生产税净额”，反映的是国民经济核算中的数量衡 等关系，这些都是变量之间确定性的数量关系，即函数关系。 函数关系的例子： 某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为 y = px (p 为单价) 圆的面积S与半径之间的关系可表示为S=R2
（取值及其意义）
完全负相关
无线性相关
完全正相关
-1.0
-0.5
0
+0.5
正相关程度增加
+1.0
r
负相关程度增加
相关数的显著性检验
相关系数的显著性检验
（检验步骤）
1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系 相关系数是根据从总体中抽取的随机样本的观测值x和y计算出来 的，它只是对总体相关系数的估计。因此，相关系数只是总体相 关系数的在一定样本分布下的估计值，尤其是当计算相关系数的 样本容量较小时，相关系数的数值的变异增大。有可能估计的样 本相关系数为抽样的偶然结果。所以，必须对不同样本容量情况 下计算出来的相关系数的统计显著性进行假设检验。 2.采用R.A.Fisher提出的 t 检验 3.检验的步骤为 提出假设：H0： ；H1： 0
2. 3.
即ε~N( 0 ,σ2 )
独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的ε与其他 x 值 所对应的ε不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值 也不相关
估计的回归方程
(estimated regression equation)
1. 总体回归参数 去估计
最小二乘法
（图示）
y
ei = yi＾i -y
(xn , yn)
(x2 , y2)
ˆ ˆ ˆ y 0 + 1 x
｝
(xi , yi)
(x1 , y1)
x
最小二乘法
n xy x y
2
相关系数
（取值及其意义）
1.
r 的取值范围是 [-1,1] |r|=1，为完全相关
2.
r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负正相关
3.
4. 5. 6.
r = 0，不存在线性 相关关系
-1r<0，为负相关 0<r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越 不密切
各相关系数检验的统计量
一元线性回归
一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
回归直线的拟合优度
显著性检验
什么是回归分析
（regression）
1. 2.
从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式
对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影 响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显 著，哪些不显著
础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。 近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例 的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款 形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便 找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年 的有关业务数据
0 1 是未知的，必须利用样本数据
ˆ ˆ 2. 用样本统计量 0 和 1 代替回归方程中的未知 0 参数 和1 ，就得到了估计的回归方程 3. 一元线性回归中估计的回归方程为
ˆ ˆ ˆ y 0 + 1 x
ˆ 是直线 其中：ˆ0是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 1 的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值， y 是 y 的估计 ˆ 值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值
使用的最简便的基本分析工具。
相关关系的描述与测度 (相关系数)
相关系数
（correlation coefficient）
对变量之间关系密切程度的度量 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r
3.
利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预
测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或
控制的精确程度
回归模型的类型
回归模型
一元回归 线性回归 非线性回归 多元回归 线性回归 非线性回归
一元线性回归模型
一元线性回归
1. 2.
涉及一个自变量的回归
因变量y与自变量x之间为线性关系
被 预 测 或 被 解 释 的 变 量 称 为 因 变 量 (dependent variable)，用y表示 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称 为自变量(independent variable)，用x表示
反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性
0 和 1 称为模型的参数
一元线性回归模型
（基本假定）
1.
误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0。对于 一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) = 0+ 1 x 对于所有的 x 值，ε的方差σ2 都相同 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。
25 2 t 0.8436 7.5344 2 1 0.8436
根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t(n-2)=2.069 由于t=7.5344>t(25-2)=2.069，拒绝H0，不良贷款 与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系
相关系数的显著性检验
（例题分析）
相关系数（Correlation Coefficient）是度量两个变量之间线性
相关的方向和强度的测度。 散点图只是粗略地刻画两个变量之间线性相关关系的方向、强度和 形式，不能确切地度量变量之间的相关关系的密切程度。相关系数 可以具体度量变量之间的相关关系的密切程度，并且用一个相对数 数值表述出来，使之具有直接的可比性。
不良贷款
10
10 8 6 4 2 0 0 50 100 150 200 固定资产投资额
不良贷款与贷款项目个数的散点图
不良贷款与固定资产投资额的散点图
散点图的作用就是通过两个数值型变量之间在二维平面的直角坐标
中的分布图形，粗略地把握变量之间相关关系的基本态势。例如变 量之间的线性特征越显著，说明其相关关系越强，反之则越弱；两
3.
因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示
一元线性回归模型
1.
2.
描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为 回归模型 一元线性回归模型可表示为
y = + x +
y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量
参数的最小二乘估计
最小二乘估计
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达 到最小来求得 和 的方法。即 ˆ ˆ 1 0
ˆ x ) 2 最小 ˆ ( yi y ) ( yi 0 ˆ1 i
2 i 1 i 1
n
n
2. 用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系 与实际数据的误差比其他任何直线都小
第十章 一元线性回归
变量间关系的度量 一元线性回归 利用回归方程进行估计和预测
残差分析
多元线性回归 非线性回归的线性化
变量间关系的度量
变量间的关系
相关关系的描述与测度 相关系数的显著性检验
变量间的关系
函数关系
1. 2.
是一一对应的确定关系 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随 变量 x 一起变化，并完 全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 中 x 称为自变量，y 称为因变量 各观测点落在一条线上 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其
相关关系
（correlation）
1.
变量间关系不能用函数关系精确表 达
2.
一个变量的取值不能由另一个变量 唯一确定，即当一个或若干个变量X 取一定值时，与之相对应的另一个 变量Y的值虽然不确定，但却按某种 规律在一定范围内变化。
当变量 x 取某个值时，变量 y 的 取值可能有几个
y
非线性相关
完全正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
不相关
正线性相关
散点图
（例题分析）
【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基
n2 ~ t (n 2) 计算检验的统计量： t r 2 1 r 确定显著性水平，并作出决策
• 若t>t，拒绝H0 • 若t<t，不能拒绝H0
相关系数的显著性检验
（例题分析）
对不良贷款与贷款余额之间的相关系数进行显著性检
(0.05) 提出假设：H0： ；H1： 0 计算检验的统计量
y
3.
x
函数关系
（几个例子）
数值型数据的确定性数量关系称为函数关系。函数关系遵循
严格的因果律。 如在国民经济核算中“国内生产总值=消费+积累+进出口净 额”，或者“国内生产总值=固定资产折旧+劳动者报酬+企 业盈利+生产税净额”，反映的是国民经济核算中的数量衡 等关系，这些都是变量之间确定性的数量关系，即函数关系。 函数关系的例子： 某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为 y = px (p 为单价) 圆的面积S与半径之间的关系可表示为S=R2
（取值及其意义）
完全负相关
无线性相关
完全正相关
-1.0
-0.5
0
+0.5
正相关程度增加
+1.0
r
负相关程度增加
相关数的显著性检验
相关系数的显著性检验
（检验步骤）
1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系 相关系数是根据从总体中抽取的随机样本的观测值x和y计算出来 的，它只是对总体相关系数的估计。因此，相关系数只是总体相 关系数的在一定样本分布下的估计值，尤其是当计算相关系数的 样本容量较小时，相关系数的数值的变异增大。有可能估计的样 本相关系数为抽样的偶然结果。所以，必须对不同样本容量情况 下计算出来的相关系数的统计显著性进行假设检验。 2.采用R.A.Fisher提出的 t 检验 3.检验的步骤为 提出假设：H0： ；H1： 0
2. 3.
即ε~N( 0 ,σ2 )
独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的ε与其他 x 值 所对应的ε不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值 也不相关
估计的回归方程
(estimated regression equation)
1. 总体回归参数 去估计
最小二乘法
（图示）
y
ei = yi＾i -y
(xn , yn)
(x2 , y2)
ˆ ˆ ˆ y 0 + 1 x
｝
(xi , yi)
(x1 , y1)
x
最小二乘法