历高考数学真题汇编专题圆锥曲线理

合集下载

历年高考理科数学真题分类汇编之圆锥曲线含解析答案

历年高考理科数学真题分类汇编之圆锥曲线（含解析答案）一、选择填空【2021新课标】7. 设直线l 过双曲线C 的一个核心，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ B ）（A（B（C ）2 （D ）3【2021新课标】14. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，核心12,F F 在x轴上，离心率为2。

过l 的直线交于,A B 两点，且 △ABF 2的周长为16，那么C 的方程为221168x y += 。

【2021新课标】4. 设是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右核心，P 为直线上一点， ∆是底角为的等腰三角形，则E 的离心率为（ C ） ()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】 ∆是底角为的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔==【2021新课标】8. 等轴双曲线C 的中心在原点，核心在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为（ C ）()A ()B()C 4 ()D 812F F 32ax =21F PF 3021F PF 30【解析】设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,A -(4,B -- 得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=【2021新课标1】4. 已知双曲线C:x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为4，则C 的渐近线方程为( C ) A 、y =±x（B）y=±Error! Cannot insert return character.x（C）y=±x （D ）y =±x【解析】由题知，c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C .【2021新课标1】10、已知椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右核心为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。

高考数学真题分类汇编专题圆锥曲线理科及答案

专题九圆锥曲线1.【2015高考福建，理3】若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（）A ．11B ．9C ．5D ．3 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．【考点定位】双曲线的标准方程和定义．【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性．2.【2015高考四川，理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（）(C)6 （D ）【答案】D 【解析】双曲线的右焦点为(2,0)F ，过F 与x 轴垂直的直线为2x =，渐近线方程为2203y x -=，将2x =代入2203y x -=得：212,||y y AB ==±∴=.选D.【考点定位】双曲线.【名师点睛】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为22220x y a b-=，将直线2x =代入这个渐近线方程，便可得交点A 、B 的纵坐标，从而快速得出||AB 的值.3.【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x【答案】B ．【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为54c e a ==，所以5c =，4a =，2229b c a =-=所以所求双曲线方程为221169x y -=，故选B ．【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质．【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离心率和其右焦点易得a ，c 值，再结合双曲线222b c a =-可求，此题学生易忽略右焦点信息而做错，属于容易题．4.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是( )（A ）（-33，33）（B ）（-36，36）（C ）（223-，223）（D ）（233-，233）【答案】A【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将12MF MF •表示为关于点M 坐标的函数，利用点M 在双曲线上，消去x 0，根据题意化为关于0y 的不等式，即可解出0y 的范围，是基础题，将12MF MF •表示为0y 的函数是解本题的关键.5.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（） A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D【解析】依题意，2221)(1ab a b a e +=+=，2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=，因为)()()(m a a a b m m a a am ab bm ab m a m b a b +-=+--+=++-，由于0>m ，0>a ，0>b ，所以当b a >时，10<<a b ，10<++<m a m b ，m a m b a b ++<，22)()(ma mb a b ++<，所以12e e <；当b a <时，1>a b ，1>++m a m b ，而m a m b a b ++>，所以22)()(ma mb a b ++>，所以12e e >.所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >. 【考点定位】双曲线的性质，离心率.【名师点睛】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．分类讨论的时应做到：分类不重不漏；标准要统一，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 6.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r的取值范围是（）（A ）()13，（B ）()14，（C ）()23，（D ）()24，【答案】D 【解析】显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k .设11221200(,),(,),,(,)A x y B x y x x M x y ≠，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，相减得121212()()4()y y y y x x +-=-.由于12x x ≠，所以12121222y y y y x x +-⋅=-，即02ky =.圆心为(5,0)C ，由CM AB ⊥得000001,55y k ky x x -⋅=-=--，所以0025,3x x =-=，即点M 必在直线3x =上.将3x =代入24y x =得2012,y y =∴-<<.因为点M 在圆()()22250x y r r -+=>上，所以22222000(5),412416x y r r y -+==+<+=.又2044y +>（由于斜率不存在，故00y ≠，所以不取等号），所以204416,24y r <+<∴<<.选D.xy–12123456789–1–2–3–4–5–6123456ABCFO M【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式.【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x 轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线3x =上，由此可确定中点的纵坐标0y 的范围，利用这个范围即可得到r 的取值范围.7.【2015高考重庆，理10】设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A 、(1,0)(0,1)-B 、(,1)(1,)-∞-+∞C 、(2,0)(0,2)-D 、(,2)(2,)-∞-+∞【答案】A【考点定位】双曲线的性质.【名师点晴】求双曲线的渐近线的斜率取舍范围的基本思想是建立关于,,a b c 的不等式，根据已知条件和双曲线中,,a b c 的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于,a b 的不等关系，解不等式可得所求范围．解题中要注意椭圆与双曲线中,,a b c 关系的不同．8.【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=【答案】D【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的渐近线方程为by x a =±，由点(在渐近线上，所以b a =，双曲线的一个焦点在抛物线2y =准线方程x =上，所以c =2,a b ==，所以双曲线方程为22143x y -=，故选D.【考点定位】双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质.【名师点睛】本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质，同时也学生的考查运算能.把双曲线的几何性质与抛物线的几何性质相结合，找出双曲线中,,a b c 的关系，求出双曲线方程，体现圆锥曲线的统一性.是中档.9.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=【答案】C【解析】由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C. 【考点定位】1.双曲线的渐近线.【名师点睛】双曲线确定焦点位置的技巧：2x 前的系数是正，则焦点就在x 轴，反之，在y 轴；在双曲线22221x y a b -=的渐近线方程中,b aa b 容易混淆，只要根据双曲线22221x y a b -=的渐近线方程是22220x y a b-=，便可防止上述错误.10.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（）A. 11BF AF --B. 2211BF AF --C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++ 【答案】A.【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.11.【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（） A 5 B ．2 C 3 D 2 【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，MN =，故点M 的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以e =，故选D ．【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质．【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，正确表示点M 的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题．12.【2015高考北京，理10】已知双曲线()22210x y a a -=>0y +=，则a =．【解析】双曲线()22210x y a a -=>的渐近线方程为1y x a=±，0y y +=⇒=，0a >,则1a a-==【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程，本题属于基础题，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0”，利用已知渐近线方程，求出参数a 的值.【2015高考上海，理5】抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =．【答案】2【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即1, 2.2pp == 【考点定位】抛物线定义【名师点睛】标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线l 上这一隐含条件；参数p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．【2015高考湖南，理13】设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为. 【答案】5.【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用222b a c +=，焦点坐标，渐近线方程等性质，也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.13.【2015高考浙江，理9】双曲线2212x y -=的焦距是，渐近线方程是．【答案】32，x y 22±=. 【解析】由题意得：2=a ，1=b ，31222=+=+=b a c ，∴焦距为322=c ，渐近线方程为x x a b y 22±=±=. 【考点定位】双曲线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其焦距，渐近线等相关概念，属于容易题，根据条件中的双曲线的标准方程可以求得a ，b ，c ，进而即可得到焦距与渐近线方程，在复习时，要弄清各个圆锥曲线方程中各参数的含义以及之间的关系，避免无谓失分.14.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为. 【答案】22325()24x y -+=【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得32a =，故圆的方程为22325()24x y -+=. 【考点定位】椭圆的几何性质；圆的标准方程【名师点睛】本题考查椭圆的性质及圆的标准方程，本题结合椭圆的图形可知圆过椭圆的上下顶点与左顶点（或右顶点），有圆的性质知，圆心在x 轴上，设出圆心，算出半径，根据垂径定理列出关于圆心的方程，解出圆心坐标，即可写出圆的方程，细心观察圆与椭圆的特征是解题的关键.15.【2015高考陕西，理14】若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p =．【答案】【解析】抛物线22y px =（0p >）的准线方程是2p x =-，双曲线221x y -=的一个焦点()1F ，因为抛物线22y px =（0p >）的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，所以22p-=-，解得22p =，所以答案应填：22．【考点定位】双曲线的几何性质和抛物线标准方程【名师点晴】本题主要考查的是抛物线的简单几何性质和双曲线的简单几何性质，属于容易题．解题时要注意抛物线和双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是抛物线的准线方程和双曲线的焦点坐标，即抛物线22y px =（0p >）的准线方程是2px =-，双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左焦点()1F ,0c -，右焦点()2F ,0c ，其中222c b a =+．【2015高考上海，理9】已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为．【答案】32y x =±【考点定位】双曲线渐近线【名师点睛】(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分b m a =或am b=讨论． (2)与双曲线22221x y a b -=共渐近线的可设为2222(0)x y a bλλ-=≠；(3)若渐近线方程为b y x a =±，则可设为2222(0)x y a bλλ-=≠；(4)相关点法求动点轨迹方程．16.【2015高考山东，理15】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为. 【答案】32【解析】设OA 所在的直线方程为b y x a =,则OB 所在的直线方程为b y x a=-, 解方程组22b y xa x py⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得：2222pb x a pb y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点A 的坐标为2222,pb pb a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ , 抛物线的焦点F 的坐标为:0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭.因为F 是ABC ∆ 的垂心，所以1OB AF k k ⋅=- , 所以，2222252124pb p b b a pb a a a ⎛⎫- ⎪-=-⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以，2222293142c b e e a a ==+=⇒= .【考点定位】1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质. 【名师点睛】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键.17.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

【备战】历届高考数学真题汇编专题10 圆锥曲线理(2007-)

【2012年高考试题】一、选择题1.【2012高考真题浙江理8】如图，F1,F2分别是双曲线C：22221x ya b-=（a,b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是B【答案】B2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线xy162=的准线交于,A B两点，AB=；则C的实轴长为（）()A ()B ()C 4 ()D 83.【2012高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则有PF F F 212=,，因为02130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C. 4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（）A 、、、4 D 、【答案】B【解析】设抛物线方程为22y px =，则点(2,M ±Q 焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，点M 到该抛物线焦点的距离为3，∴ 22492p P ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得2p =，所以OM ==.5.【2012高考真题山东理10】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y +=6.【2012高考真题湖南理5】已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又C 的渐近线为b y x a =±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12ba∴=，即2a b =.又222c a b =+，a ∴=∴C 的方程为220x -25y =1.7.【2012高考真题福建理8】已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于8.【2012高考真题安徽理9】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为（）()A ()B ()C ()D 【答案】C【解析】设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =；则点A 到准线:1l x =-的距离为3，得：1323cos cos 3θθ=+⇔=又232cos()1cos 2m m m πθθ=+-⇔==+，AOB ∆的面积为113sin 1(3)22232S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=。

(完整)历年高考数学圆锥曲线试题汇总,推荐文档

2 3 5 35 23 2 高考数学试题分类详解——圆锥曲线一、选择题x 2y 2 1. 设双曲线- = 1（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线 y=x 2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于( a 2 b 2C )（A ）（B ）2（C ）（D ）2. 已知椭圆C : x2+ 2 = 1 的右焦点为 F ,右准线为l ，点 A ∈ l ，线段 AF 交C 于点 B ，若 2FA = 3FB ,则| AF |=(A). (B). 2 (C). (D). 33. 过双曲线 x 2 - y 2= 2 1 (a > 0, b > 0) 的右顶点 A 作斜率为- 1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 a b 21的交点分别为 B , C ．若 AB = BC ，则双曲线的离心率是 () 2A. B ． C ． D ． 4. 已知椭圆 x 2 + y 2= 1 (a > b > 0) 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，点 B 在椭圆上，且 BF ⊥ x 轴，a2b 2直线 AB 交 y 轴于点 P ．若 AP = 2PB ，则椭圆的离心率是（）A.3 C. 3B.2D. 1 2 5. 点 P 在直线l : y = x -1 上，若存在过 P 的直线交抛物线 y = x 2 于 A , B 两点，且| PA =| AB | ，则称点 P 为“点”，那么下列结论中正确的是（）A. 直线l 上的所有点都是“点”B. 直线l 上仅有有限个点是“点”C. 直线l 上的所有点都不是“点”D. 直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”6. 设双曲线 x 2a 2 - y 2b 2 = 1的一条渐近线与抛物线 y=x2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为().1 610y5 36 A.5 B. 5 C.D. 427. 设斜率为 2 的直线l 过抛物线 y 2 = ax (a ≠ 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( ).A. y 2 = ± 4xB. y 2 = ± 8xC. y 2 = 4xD. y 2 = 8xx 2 - y 2 8. 双曲线63= 1 的渐近线与圆(x - 3)2 + y 2 = r 2 (r > 0) 相切，则 r=（A ）（B ）2（C ）3（D ）69. 已知直线 y = k (x + 2)(k > 0) 与抛物线 C: y 2 = 8x 相交 A 、B 两点，F 为 C 的焦点。

1980-2004年高考数学圆锥曲线汇编

圆锥曲线1．2．(21)自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程.3．4．5．6．出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.7．已知直线l过坐标原点,抛物线C顶点在原点,焦点在x轴正半轴上.若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程.8．又点Q在OP上且满足│OQ│·│OP│=│OR│2.当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.9．圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程．10．如图, 直线L1和L2相交于点M, BL1⊥L2, 点N ∈L1. 以A, B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等. 若∆AMN为锐角三角 A形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C的方程. L1M L2 N11．如图，给出定点A(a, 0) (a>0)和直线: x = –1 . B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C. 求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.12．如图，设点A 和B 为抛物线()042>=p px y 上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB 。

求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

13．如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为118，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。

求双曲线的离心率。

14．如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。

当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。

2002-2011高考数学真题分类汇编：圆锥曲线(理)

1.(2011 全国)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B 两点，则cos∠AFB＝( )A． B． C．D．答案为：D由题意结合图象，联立得或∴A(4，4)，B(1，－2)．又∵F(1，0)，∴＝(3，4)，＝(0，－2)，∴cos∠AFB＝.2.(2011 全国)已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝______.答案为：6解析：F1(－6，0)，F2(6，0)，M(2，0)，∴|F1M|＝8，|MF2|＝4.由内角平分线定理得：，又|AF1|－|AF2|＝2a＝2×3＝6，∴2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝6.3.(2011 全国)已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，点P满足.（1）证明：点P在C上；（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A，P，B，Q四点在同一圆上．答案为：解：（1）F(0，1)，l的方程为，代入并化简得.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，则，，，，由题意得，y3＝－(y1＋y2)＝－1.所以点P的坐标为．经验证，点P的坐标)满足方程，故点P在椭圆C上．（2）由P和题设知，Q，PQ的垂直平分线l1的方程为.①设AB的中点为M，则M，AB的垂直平分线l2的方程为.②由①②得l1、l2的交点为N，，，，，，故|NP|＝|NA|.又|NP|＝|NQ|，|NA|＝|NB|，所以|NA|＝|NP|＝|NB|＝|NQ|，由此知A，P，B，Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上．4.(2011 北京)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A．B．C．(1，0) D．(1，π)答案为：B由题意得，圆的直角坐标方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心直角坐标为(0，－1)，即圆心的极坐标为(1，)．5.(2011 北京)已知椭圆.过点(m，0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．答案为：解：（1）由题意得a＝2，b＝1，所以.所以椭圆G的焦点坐标为，离心率为（2）由题意知，|m|≥1.当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为．此时.当m＝－1时，同理可得.当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．由设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则.又由l与圆. 所以.由于当时，，所以．因为且当时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.6.(2011 天津)已知抛物线C的参数方程为 (t为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝________.答案为：解析：消去参数t，得抛物线标准方程y2＝8x，其焦点F(2，0)，∴过抛物线焦点斜率为1的直线方程：x－y－2＝0，∵直线与圆(x－4)2＋y2＝r2相切，∴r＝d＝.7.(2011 天津)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a＞b＞0)为动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足，求点M 的轨迹方程．答案为：解：（1）设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c ＞0)．由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即整理得 (舍)，或，所以.（2）由(1)知，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2方程为．A ，B 两点的坐标满足方程组，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得得方程组的解.不妨设．设点M 的坐标为．由于是由，即，化简得将，所以x＞0.因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x＞0)．8.(2011 上海)设m是常数，若点F(0,5)是双曲线的一个焦点，则m＝______.答案为：16解析：由点F(0,5)可知该双曲线的焦点落在y轴上，所以，m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.9.(2011 辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )A．B． 1C．D．答案为：C如图，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3.|CD|＝，所以中点C 的横坐标为.10.(2011 辽宁)已知点(2，3)在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为________．答案为：2解析：与a2＋b2＝4联立，求得a＝1，所以.11.(2011 辽宁)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．（1）设，求|BC|与|AD|的比值；（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．答案为：解：（1）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得当表示A，B的纵坐标，可知（2）t＝0时的l不符合题意，t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即解得因为所以当时，不存在直线l，使得BO∥AN；当时，存在直线l，使得BO∥AN.12.(2011 辽宁)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．（1）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（2）（2）设当α＝时，l与C1、C2的交点分别为A1，B1，当α＝时，l与C 1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．答案为：解：（1）C1是圆，C2是椭圆．当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a，0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.（2）C1，C2的普通方程分别为当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为13.(2011 浙江)已知椭圆C1： (a＞b＞0)与双曲线C2：有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则( )A．a2＝B．a2＝13 C．b2＝D．b2＝2答案为：C如图，设M，N为三等分点，N(x，y)，由已知，故a2－b2＝5，即b2＝a2－5，且双曲线的渐近线方程为y＝±2x，根据对称性，我们只需联立即可，由以上方程组可得出，解得，又∵|ON|2＝x2＋y2＝5x2＝5×＝＝，∴，.14.(2011 浙江)设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点A，B在椭圆上．若，则点A的坐标是________．答案为：(0，1)或(0，－1)解析：设A(m，n)．由，得B(，)．又A，B均在椭圆上，所以有解得或所以A的坐标为(0，1)或(0，－1)．15.(2011 湖北)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )A．n＝0 B．n＝1 C．n＝2 D．n ≥3答案为：C如图所示，根据抛物线定义，另外两顶点的横坐标必定相等，故关于x轴对称．要使三角形为正三角形，需过焦点作斜率为和的直线，则△ABF和△CDF 满足条件，综上可知n＝2.16.(2011 湖北)平面内与两定点A1(－a,0)、A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．（1）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系．（2）当m＝－1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈(－1,0)∪(0，＋∞)，对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点．试问：在C1上，是否存在点N，使得△F 1NF2的面积S＝|m|a2.若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由．答案为：解：（1）设动点为M，其坐标为(x，y)．当x≠±a时，由条件可得，即mx2－y2＝ma2(x≠±a)．又A1(－a,0)、A2(a,0)的坐标满足mx2－y2＝ma2，故依题意，曲线C的方程为mx2－y2＝ma2.当m<－1时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；当m＝－1时，曲线C的方程为x2＋y2＝a2，C是圆心在原点的圆；当－1<m<0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；当m>0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线．（2）由(1)知，当m＝－1时，C1的方程为x2＋y2＝a2；当m∈(－1,0)∪(0，＋∞)时，C 2的两个焦点分别为F1，F2．对于给定的m∈(－1,0)∪(0，＋∞)，C1上存在点N(x，y)(y≠0)使得S＝|m|a2的充要条件是由①得0<|y|≤a，由②得.当，即，或时，存在点N，使S＝|m|a2；当，即，或时，不存在满足条件的点N.当时，由，，可得.令，，∠F1NF2＝θ.则由，可得，从而，于是由S＝|m|a2，可得，即.综上可得：当时，在C1上，存在点N，使得S＝|m|a2，且tanF1NF2＝2；当时，在C1上，存在点N，使得S＝|m|a2，且tanF1NF2＝－2；当时，在C1上，不存在满足条件的点N.17.(2011 湖南)设双曲线的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )A．4 B．3C．2 D．1答案为：C∵双曲线，∴双曲线渐近线方程为，即3x±ay＝0. 又由已知，双曲线渐近线方程为3x±2y＝0，∴a＝2.18.(2011 湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为______．答案为：2解析：由C1：，得曲线C1：x2＋(y－1)2＝1.由C2：ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，得曲线C2：x－y＋1＝0.方法1：(几何法)圆心(0，1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝0＜1，∴C1与C2有2个交点．方法2：(代数法)联立得2y2－4y＋1＝0，Δ＝16－4×2＝8＞0，∴C1与C2有2个交点．19.(2011 湖南)如图，椭圆的离心率为，x轴被曲线C 2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．（1）求C1，C2的方程；（2）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.①证明：MD⊥ME；②记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2.问：是否存在直线l ，使得？请说明理由．答案为：解：（1）由题意知对C 1：，从而a ＝2b ，又，解得a ＝2，b ＝1.故C 1，C 2的方程分别为.（2）①由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx.由得x 2－kx －1＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1.又点M 的坐标为(0，－1)，所以故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME.②设直线MA 的斜率为k 1，则直线MA 的方程为y ＝k 1x －1.由，解得，或.则点A 的坐标为．又直线MB的斜率为，同理可得点B的坐标为．于是.由得，解得，或.则点D的坐标为．又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为．于是因此，．由题意知，.解得，或.又由点A，B的坐标可知，，所以.故存在满足条件的直线l，且有两条，其方程分别为和.20.(2011 广东)(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ＜π)和 (t∈R)，它们的交点坐标为________．答案为：(1，)解析：由两曲线参数方程消去x，y，t得，由此得.又∵0≤θ＜π，∴解得.∴.∴.故交点坐标为(1，)．21.(2011 广东)设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切．（1）求C的圆心轨迹L的方程；（2）已知点M(，)，F(，0)，且P为L上动点．求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．答案为：解：（1）两圆的圆心分别为A(－，0)，B(，0)，半径为2，设圆C的半径为r.由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4.则C的轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝，b2＝1∴圆C的圆心轨迹L的方程为.（2）由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．又MF的方程为即代入x2－4y2＝4并整理得，解得x＝或x＝＝，显然x＝为点P的横坐标，点P的纵坐标为.即||MP|－|FP||的最大值为2，此时点P的坐标为(，－)．22.(2011 广东)在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L：.实数p，q满足p2－4q≥0，x1，x2是方程x2－px＋q＝0的两根，记φ(p，q)＝max{|x1|，|x2|}．（1）过点A(p0，)(p≠0)作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q(p，q)，有；（2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2－4b＞0，a≠0.过M(a，b)作L的两条切线l1，l2，切点分别为E(p1，)，E′(p2，)，l1，l2与y轴分别交于F，F′.线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M(a，b)∈X|p1|＞|p2|；（3）设D＝{(x，y)|y≤x－1，}．当点(p，q)取遍D时，求φ(p，q)的最小值(记为φmin )和最大值(记为φmax)．答案为：解：（1），直线AB的方程为，即，∴，方程x2－px＋q＝0的判别式Δ＝p2－4q＝(p－p)2，两根或，∵p·p0≥0，∴，又0≤|p|≤|p|，∴，得，∴φ(p，q)＝. （2）由a2－4b＞0知点M(a，b)在抛物线L的下方．①当a＞0，b≥0时，作图可知，若M(a，b)∈X，则p1＞p2≥0，得|p1|＞|p2|；若|p1|＞|p2|，显然有点M(a，b)∈X；∴M(a，b)∈X?|p1|＞|p2|.②当a＞0，b＜0时，点M(a，b)在第二象限，作图可知，若M(a，b)∈X，则p1＞0＞p2，且|p1|＞|p2|；若|p1|＞|p2|，显然有点M(a，b)∈X；∴M(a，b)∈X?|p1|＞|p2|.根据曲线的对称性可知，当a ＜0时，M(a ，b)∈X?|p 1|＞|p 2|. 综上所述，M(a ，b)∈X?|p 1|＞|p 2|(*)由（1）知点M 在直线EF 上，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根x 1，2＝或，同理点M 在直线E ′F ′上，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根x 1，2＝或，若φ(a ，b)＝，则|不比、、小，∴|p 1|＞|p 2|，又|p 1|＞|p 2|M(a ，b)∈X ，∴φ(a ，b)＝M(a ，b)∈X ；又由(1)知，M(a ，b)∈X φ(a ，b)＝；∴φ(a ，b)＝ M (a ，b)∈X ，综合(*)式，得证．（3）联立y ＝x －1，得交点(0，－1)，(2，1)，可知0≤p ≤2，过点(p ，q)作抛物线L 的切线，设切点为(x 0，)，则，得，解得，又，即p 2－4q ≤4－2p ，∴，设，∴，∵，又，∴；∵q≤p－1，∴，∴.23.(2011 安徽)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )A．2 B． C．4D．答案为：C2x2－y2＝8化为标准形式：，∴a2＝4.∴a＝2.∴实轴长2a＝4.24.(2011 安徽)在极坐标系中，点到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A．2 B． C．D．答案为：D圆ρ＝2cos θ在直角坐标系中的方程为(x－1)2＋y2＝1，点(2，)的直角坐标为(1，)．∴圆心(1，0)与(1，)的距离为.25.(2011 安徽)设λ＞0，点A的坐标为(1，1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程．答案为：解：由知Q、M、P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y)，M(x，x2)，则，即，①再设B(x1，y1)，由，即(x－x1，y－y1)＝λ(1－x，1－y)，解得②将①式代入②式，消去y，得③又点B在抛物线y＝x2上，所以.再将③式代入，得(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2，2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.因λ＞0，两边同除以，得.故所求点P的轨迹方程为.26.(2011 山东)已知双曲线(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A．B．C．D．答案为：A由题意得， (a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为，即bx±ay ＝0，又圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，半径为2，圆心坐标为(3，0)．∴a2＋b2＝32＝9，且，解得a2＝5，b2＝4.∴该双曲线的方程为.27.(2011 山东)已知动直线l与椭圆C：交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ＝，其中O为坐标原点．（1）证明：和均为定值；（2）设线段PQ的中点为M，求|OM|·|PQ|的最大值；（3）椭圆C上是否存在三点D，E，G，使得S△ODE ＝S△ODG＝S△OEG＝？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．答案为：解：（1）当直线l的斜率不存在时，P、Q两点关于x轴对称，所以x2＝x1，y2＝－y1.因为P(x1，y1)在椭圆上，因此.①又因为，所以|x1|·|y1|＝.②由①②得，|y1|＝1，此时，.（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，由题意知m≠0，将其代入得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－2)＝0，其中Δ＝36k2m2－12(2＋3k2)(m2－2)＞0，即3k2＋2＞m2.(*)又，，所以|.因为点O到直线l的距离为.所以S△OPQ＝|PQ|·d.又.整理得3k2＋2＝2m2，且符合(*)式，此时＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＝3，＝＝＝2. 综上所述，，，结论成立．（2）解法一：①当直线l的斜率不存在时，由(1)知|OM|＝|x1|＝，|PQ|＝2|y1|＝2，因此|OM|·|PQ|＝＝.②当直线l的斜率存在时，由（1）知，，＝＝＝，|OM|2＝()2＋()2＝＋＝＝ (3－)，|PQ|2＝(1＋k2)＝＝2(2＋)，所以|OM|2·|PQ|2＝×(3－)×2×(2＋)＝(3－)(2＋)≤()2＝.所以|OM|·|PQ|≤，当且仅当3－＝2＋，即m＝±时，等号成立．综合①②得|OM|·|PQ|的最大值为.解法二：因为4|OM|2＋|PQ|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＋(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝2[()＋()]＝10.所以2|OM|·|PQ|≤＝＝5，即|OM|·|PQ|≤.当且仅当2|OM|＝|PQ|＝时等号成立．因此|OM|·|PQ|的最大值为.（3）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S△ODE ＝S△ODG＝S△OEG＝.证明：假设存在D(u，v)，E(x1，y1)，G(x2，y2)满足S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝，由(1)得u2＋＝3，u2＋＝3，＝3；v2＋＝2，v2＋＝2，＝2，解得u2＝＝＝；v2＝＝1.因此u，x1，x2只能从±中选取，v，y1，y2只能从±1中选取，因此D，E，G只能在(±，±1)这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S△ODE ＝S△ODG＝S△OEG＝矛盾．所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.28.(2011 江西)若椭圆的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．答案为：解析：显然x＝1是一条切线，且过切点A(1，0)，设另一条切线方程为y－＝k(x－1)，即2kx－2y＋1－2k＝0.由，解得.∴圆的切线方程为3x＋4y－5＝0.解得．进一步求得过A(1，0)与两点的直线方程为y＝－2x＋2.令x＝0，得y＝2.故在椭圆方程中，b＝2，c＝1，∴a2＝5.因此椭圆方程为.29.(2011 江西)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为______________．答案为：x2＋y2－4x－2y＝0解析：∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ.将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，ρcosθ＝x代入，有x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0.30.(2011 江西)P(x0，y)(x≠±a)是上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．答案为：解：（1）点P(x0，y)(x≠±a)在双曲线上，有，由题意又有可得.（2）联立设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①设又C为双曲线上一点，即，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，化简得.②又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以.由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.31.(2011 四川)在抛物线y＝x2＋ax－5(a≠0)上取横坐标为x1＝－4，x2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2＋5y2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为( )A．(－2，－9) B．(0，－5) C．(2，－9) D．(1，－6)答案为：A设直线与抛物线y＝x2＋ax－5切于点(x0，y)，则切线斜率k＝y′|x＝x0＝2x＋a，而割线的斜率，故2x0＋a＝a－2，解得x＝－1，此时y＝－4－a.所以直线方程为y＋4＋a＝(a－2)(x＋1)，即(a－2)x－y－6＝0.而直线与圆5x2＋5y2＝36相切，故，解得a＝4.故抛物线方程为y＝x2＋4x－5，所以顶点坐标为(－2，－9)．32.(2011 四川)双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是__________．答案为：16解析：由双曲线，得a＝8，b＝6，，∴准线方程为.设点P到右准线的距离为d，则由双曲线的第二定义知，∴.∴点P到左准线的距离为.33.(2011 四川)椭圆有两顶点A(－1,0)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.（1）当时，求直线l的方程；（2）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．答案为：解：（1）因椭圆焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，由已知得b＝1，c＝1，所以，椭圆方程为. 直线l垂直于x轴时与题意不符．设直线l的方程为y＝kx＋1，将其代入椭圆方程化简得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则，，，由已知得，解得.所以直线l的方程为或.（2）证明：直线l与x轴垂直时与题意不符．设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠±1)，所以P点坐标为．设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由（1）知，.直线AC的方程为，直线BD的方程为，将两直线方程联立，消去y得.因为－1＜x1，x2＜1，所以与异号．.又，∴与y1y2异号，与同号，，解得x＝－k.)．因此Q点坐标为(－k，y.故为定值．34.(2011 重庆)设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为__________．答案为：解析：由抛物线的对称性可知，要使圆的半径最大，需使圆与抛物线仅有两个交点且与直线x＝3相切，如图所示，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝(3－a)2.则由，联立消掉y可得：x2－2(a－1)x＋6a－9＝0.由Δ＝[2(a－1)]2－4×1×(6a－9)＝0，可得，∵a＜3，∴.∴圆的半径为.35.(2011 重庆)如下图，椭圆的中心为原点O，离心率，一条准线的方程为.（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P 满足：，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON的斜率之积为，问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．答案为：解：（1）由，，解得a ＝2，，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为.（2）设P(x ，y)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由得(x ，y)＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2. 因为点M ，N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以，，故．设kOM ，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知，因此x 1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝20.所以P点是椭圆上的点．设该椭圆的左、右焦点为F1、F2，则由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标分别为F1，F2．36.(2011 陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x答案为：B∵抛物线的准线方程为x＝－2，∴抛物线的开口向右，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，则其准线方程为，∴，解得p＝4.∴抛物线的标准方程为y2＝8x.37.(2011 陕西)(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线 (θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为__________．答案为：3解析：曲线C1： (θ为参数)的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，可知C1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C2；ρ＝1的直角坐标方程是x2＋y2＝1，可知C2是以原点为圆心，1为半径的圆，题意就是求分别在两个圆C1和C2上的两点A，B的最短距离．由圆的方程知，这两个圆相离，所以|AB|min ＝d－r1－r2＝－1－1＝5－1－1＝3.38.(2011 福建)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2，若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A．B．或 2 C． D．答案为：A由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，故可设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k，其中|F1F2|＝2c＝3k，∴.若圆锥曲线Γ为椭圆，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝6k，∴a＝3k.∴；若圆锥曲线Γ为双曲线，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2k，∴a＝k.∴.综上所述e的取值为或.39.(2011 福建)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4，)，判断点P与直线l的位置关系；②设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．答案为：①把极坐标系的点P(4，)化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l 上．②因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cosα，sinα)，从而点Q到直线l的距离是d＝＝＝cos(α＋)＋，由此得，当cos(α＋)＝－1时，d取得最小值，且最小值为.40.(2011 全国新课标)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )A． B．C． 2 D． 3 答案为：B设双曲线的两焦点分别为F1、F2，由题意可知|F1F2|＝2c，|AB|＝2|AF1|＝4a，在Rt△AF1F2中，∵|AF1|＝2a，|F1F2|＝2c，，∴，即3a2＝c2，∴.41.(2011 全国新课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F 1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________．答案为：解析：由椭圆的第一定义可知△ABF2的周长为4a＝16，得a＝4，又知离心率为，即，所以，故a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，则C的方程为.42.(2011 全国新课标)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (α为参数)M是C1上的动点，P点满足，P点的轨迹为曲线C2.（1）求C2的方程；（2）（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.答案为：解：（1）设P(x，y)，则由条件知M(，)．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为 (α为参数)（2）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线与C1的交点A的极径为，射线与C2的交点B的极径为.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝.43.(2010 全国Ⅰ)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为( )A. B. C.D.答案为：B在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.设P到x轴的距离为h，由S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝|F1F2|·h，解得h＝44.(2010 全国Ⅰ)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．答案为：(1，)解析：y＝x2－|x|＋a＝.当其图象如图所示时满足题意．由图知，解得1＜a＜.45.(2010 全国Ⅰ)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C于点D，且＝2，则C的离心率为________．答案为：解析：如图，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)不妨设B为上顶点，F 为右焦点，设D(x，y)．由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，即，解得，D(，－)．由D在椭圆上得：＝1，∴＝，∴e＝＝.46.(2010 全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点K(－1，0)的直线l 与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.(1)证明点F在直线BD上；(2)设·＝，求△BDK的内切圆M的方程．答案为：解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l的方程为x＝my－1(m≠0)．(1)证明：将x＝my－1代入y2＝4x并整理得y2－4my＋4＝0，从而y1＋y2＝4m，y1y2＝4. ①直线BD的方程为y－y2＝·(x－x2)，即y－y2＝·(x－)．令y＝0，得x＝＝1.所以点F(1,0)在直线BD上．(2)由①知，x 1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，x 1x2＝(my1－1)(my2－1)＝1.因为＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2，故8－4m2＝，解得m＝±.所以l的方程为3x＋4y＋3＝0,3x－4y＋3＝0.又由①知y2－y1＝±＝±，故直线BD的斜率＝±，因而直线BD的方程为3x＋y－3＝0,3x－y－3＝0.因为KF为∠BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(－1＜t＜1)，M(t,0)到l及BD 的距离分别为，.由＝得t＝或t＝9(舍去)，故圆M的半径r＝＝.所以圆M的方程为(x－)2＋y2＝.47.(2010 全国Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线与C相交于A、B两点，若＝3，则k等于( )A．1 B. C.D．2答案为：B 如图，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，过B作BM⊥AA1于M.由椭圆的第二定义得：＝e，＝e，∴|BB1|＝，|AA1|＝.又∵＝3，∴＝3，∴|AA1|＝，∴|AM|＝|AA1|－|MA1|＝|AA1|－|BB1|＝，而|AB|＝|AF|＋|FB|＝4|FB|，在Rt△BAM中，cos∠BAM＝＝＝＝，∴sin∠BAM＝，∴k＝tan∠BAM＝.48.(2010 全国Ⅱ)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝________. 答案为：2解析：l：x＝－，过M(1,0)且斜率为的直线为y＝ (x－1)，联立得解得∴A(－，－ (＋1))．又∵＝，∴M点为AB的中点．∴B点坐标为(＋2， (＋1))．。

全国卷高考十年(2007-2016)圆锥曲线题目汇总

在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1 , F2 在 x 轴上，离心率为两点，且 △ ABF2 的周长为 16，那么 C 的方程为。
2 。过 F1 的直线 L 交 C 于 A, B 2
31．［2010 年高考全国新课标文数第 5 题］中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（ A） 6 （B） 5 （C）
∆ ABP 的面积为
（A）18 （B）24 （C）36 （D）48
29．［2011 年高考全国新课标理数第 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 题］设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A ,B 两点， AB 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（A） 2 （B） 3 （C）2 30．［2011 年高考全国新课标理数第 14 题］（D）3
1 3
（B）
1 2
（C）
2 3
（D）
3 4
7．［2015 年高考全国新课标Ⅱ卷文数第 15 题］
8．［2015 年高考全国新课标Ⅱ卷理数第 11 题］
1
新课程标准（2007-2016）数学试卷分类汇编—圆锥曲线
2016 年 10 月 13 日
9．［2015 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 5 题］
63 32
D. 9
4
15．［2014 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 4 题］已知双曲线
x2 y2 − = 1(a > 0) 的离心率为 2，则 a = （ a2 3
）
16．［2014 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 10 题］
2
新课程标准（2007-2016）数学试卷分类汇编—圆锥曲线

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

2
-2-
两点，自 M、N 向直线 l : x a 作垂线，垂足分别为 M 1 、 N1 。（Ⅰ）当 a （Ⅱ）记
p 时，求证： AM 1 ⊥ AN1 ； 2
AMM1 、 AM 1 N1 、 ANN1 的面积分别为 S1 、 S 2 、 S 3 ，是否存在，
2 使得对任意的 a 0 ，都有 S2 S1S2 成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
2
y 2 x2 1 (a b 0) 的右顶点为 A(1, 0) ， a 2 b2
的切线与 C1 交于点 M , N ．当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时，求 h 的最小值． 6.（2009 北京理）（本小题共 14 分）已知双曲线 C :
x2 y 2 3 2 1(a 0, b 0) 的离心率为 3 ，右准线方程为 x 2 a b 3
P
y
点 , F2 为双曲线的右焦点 , 过 P 1 作右准线的垂线 , 垂足为 A , 连接
P2
A
F2 A 并延长交 y 轴于 P2 .
(1) 求线段 P 1 P 2 的中点 P 的轨迹 E 的方程; (2) 设轨迹 E 与 x 轴交于 B、D 两点 , 在 E 上任取一点
P1
F1
2 1、、 2、， 3 2
S
S ，试
-3-
35.（2009 天津卷理）（本小题满分 14 分）以知椭圆
x2 y 2 1(a b 0) 的两个焦点分别为 F1 (c, 0)和F2 (c, 0)(c 0) ，过点 a 2 b2
E(
a2 , 0) 的直线与椭圆相交与 A, B 两点，且 F1 A / / F2 B, F1 A 2 F2 B 。 c

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

25．（浙江卷）若双曲线 x 2 m
2
y 1 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的
1 ，则 m= 3
（A） 1 2
（ B） 3 2
（ C） 1 8
解：双曲线 x 2 m
y2 1 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的
（ D） 9 8
1 ，则离心率 e=3，∴ 3
m 1 9 ， m= 1 ，选 C.
离心率相等
(C)
焦点相同
(D)
准线相同
12．（辽宁卷）直线 y 2k 与曲线 9k 2 x2 y2 18k2 x (k R,且 k 0) 的公共点的个数为
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】将 y 2k 代入 9k 2x2 y2 18k 2 x 得： 9k 2x2 4k 2 18k 2 x
， 2) C.
（1， 2）
D.(2
，2 2 )
解： F（ 1， 0）设
A（
y
2 0
， y0 ）则
OA ＝（
y
2 0
， y0），
AF ＝（ 1－
y
2 0
，－ y0），由
4
4
4
OA ? AF ＝－ 4 y0＝ 2，故选 B
9．（江西卷） P 是双曲线
x 2 － y2 ＝1 的右支上一点，
2
2
M、 N 分别是圆（ x＋ 5）＋ y ＝4 和
（写出所有真命题的代号）．
31．（山东卷）已知抛物线 y2=4x, 过点 P(4,0) 的直线与抛物线相交于
则
y
1
2+y
2 2
的最小值是
.
A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) 两点，
解：显然 x1 , x2 0，又 y12 y22 ＝ 4（ x1 x2 ） 8 x1x2 ，当且仅当 x1 x2 4 时取等号，
Ｂ．
2 y2
1
21
3
Ｃ． (x 1)2 y2 1 5
(x 1)2
Ｄ．
y2
1
5
解析：椭圆的中心为点 E ( 1,0), 它的一个焦点为 F ( 3,0), ∴ 半焦距 c 2 ，相应于焦
点 F 的准线方程为 x
D.
7
a2
. ∴
5 ， a2
5,b2 1，则这个椭圆的方程是
2
c2
(x 1)2 y2 1，选 5
【2006 高考试题】
一、选择题（共 29 题）
1．（安徽卷）若抛物线 y 2
x2 2 px 的焦点与椭圆
6
y2 1 的右焦点重合，则 p 的值为
2
A． 2
B
．2 C ． 4
D
．4
2．（福建卷）已知双曲线 x 2 y2 1 ( a>0, b<0) 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的 a 2 b2
x2
y2
1 ，∴ m=
1
，选 A.
4
4
15．（全国卷 I ）抛物线 y x2 上的点到直线 4 x 3 y 8 0 距离的最小值是
A． 4
B
3
解：设抛物线 y
．7

C
．8
5
5
D
．3
x2 上一点为 (m ，－ m2) ，该点到直线 4 x 3 y 8 0 的距离为
| 4m
3m2
23 双曲线的离心率为 3 ，选 D．
21．（四川卷）已知两定点 A 2,0 , B 1,0 ，如果动点 P 满足 PA 2 PB ，则点 P
的轨迹所包围的图形的面积等于
（A）
（ B） 4
（ C） 8
（ D） 9
解：两定点 A 2,0 , B 1,0 ，如果动点 P 满足 PA 2 PB ，设 P 点的坐标为 (x ，y) ，
渐近线分别相交于 B、 C, 且|AB|=|BC|, 则双曲线 M的离心率是 ( )
A. 10
B.
5
C.
10
D.
5
3
2
7 ．（江苏卷）已知两点 M（－ 2 ， 0）、 N（ 2 ， 0 ），点 P 为坐标平面内的动点，满足
| MN | | MP | MN MP ＝ 0，则动点 P（ x， y）的轨迹方程为
Ｂ．两抛物线的离心率
Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率
Ｄ．两椭圆的离心率
解：方程 2 x2 5 x 2 0 的两个根分别为 2， 1 ，故选 A 2
14．（全国卷 I ）双曲线 mx2 y 2 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m
A． 1 4
1
B
．4
C
．4
D
．
4
解：双曲线 mx2 y 2 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍， ∴ m<0，且双曲线方程为
（A） y 2 8x
（ B） y 2 8x
（ C） y 2 4 x
（ D） y 2 4 x
【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义
.
8．（江西卷）设 O为坐标原点， F 为抛物线 y2＝4x 的焦点， A 是抛物线上一点，若 OA ? AF ＝
－ 4，则点 A 的坐标是（）
A．（ 2， 2 2 ） B. (1
程是
A． 3x2 3 y2 1( x 0, y 0) B ． 3x2 3 y2 1(x 0, y 0)
2
2
C． 3 x2 3 y2 1( x 0, y 0) D ． 3 x2 3y2 1(x 0, y 0)
2
2
6．（湖南卷）过双曲线 M: x 2
y2 b2
1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l , 若 l 与双曲线 M的两条
m
8
26．（浙江卷）
抛物线
2
y
8x 的准线方程是
(A) x 2 (B)
x 4 (C)
y2
(D)
y4
解： 2p＝ 8， p＝4，故准线方程为 x＝－ 2，选 A
27． ( 重庆卷
)设
9 A( x1, y1), B (4, ), C( x2, y2 ) 是右焦点为
F 的椭圆
x2
y2
1 上三个不
5
25 9
9| x |2 18 x 4 0 ，显然该关于 | x| 的方程有两正解，即 x 有四解，所以交点有 4
个，故选择答案 D。
【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根
分布也进行了简单的考查。
13．（辽宁卷）方程 2 x2 5 x 2 0 的两个根可分别作为（
）
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率
2a, 可得
ABC 的周长为 4a= 4 3 , 所以选 C
x2 y2
4
17．（全国 II ）已知双曲线 a2－ b2＝ 1的一条渐近线方程为 y＝ 3x，则双曲线的离心率为
5
4
5
3
（A） 3
(
B) 3
(
C) 4
(
D) 2
b
解析 : 双曲线焦点在 x 轴 , 由渐近线方程可得
4 , 可得 e
c
a3
（D） ( 2, 0 ) .
解：（直接计算法）因为 p=2 ，所以抛物线 y2=4x 的焦点坐标为
．应选
B．
29．（上海春）若 k R ，则“ k 3 ”是“方程 x 2
y 2 1表示双曲线”的 ( )
k3 k 3
（ A）充分不必要条件 .
（B）必要不充分条件 .
（ C）充要条件 .
（D）既不充分也不必要条件 .
33
(- 3 , 3 ) C.[
33
, ] D.
33
[- 3 , 3 ]
解析：双曲线 x 2 y 2 1 的渐近线 y 12 4
3 x 与过右焦点的直线平行，或从该位置绕焦 3
点旋转时，直线与双曲线的右支有且只有一个交点，∴
3 ≥k，又 k≥ 3
3
，选 C
3
4. （广东卷）已知双曲线 3x2 y2 9 ，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P
8|
，当
2
m=
时，取得最小值为
4 ，选 A.
5
3
3
16．（全国
II ）已知△ ABC的顶点
B、 C 在椭圆
x2 3＋
y
2＝
1
上，顶点
A 是椭圆的一个焦点，
且椭圆的另外一个焦点在 BC边上，则△ ABC的周长是
（A） 2 3
（ B）6
（ C）4 3
（D） 12
解析 ( 数形结合 ) 由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长
到右准线的距离之比等于
A. 2 B. 2 2
C. 2
D. 4
3
解析：依题意可知 a 3, c a2 b2
C.
3 9 2 3 ， e c 2 3 2 ，故选 a3
5．（湖北卷）设过点 P (x, y) 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A, B 两点，
点 Q 与点 P 关于 y 轴对称， O 为坐标原点，若 BP 2PA 且 OQ AB 1 ，则点 P 的轨迹方
则 ( x 2) 2 y2 4[( x 1)2 y2 ] ，即 ( x 2) 2 y 2 4 ，所以点 P 的轨迹所包围的图
形的面积等于 4π，选 B.
22．（四川卷）直线 y x 3 与抛物线 y2 4x 交于 A, B 两点，过 A, B 两点向抛物线