2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高二下学期期中考试数学试题(解析版)

2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}{}|02,0,1,2,3A x x B =<≤=，则集合A B ⋂= ( ) A ．{}0,1 B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}1,2,3【答案】C【解析】由集合交集运算，根据集合A 与集合B ，即可求得B A 【详解】集合{}{}|02,0,1,2,3A x x B =<≤= 所以根据集合交集运算可得{}1,2A B =所以选C 【点睛】本题考查了集合交集的运算，属于基础题。

2．在平面直角坐标系中，不等式组240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】A【解析】先根据约束条件画出可行域，然后求对应三角形的面积。

【详解】如图：作出可行域：则不等式组表示的平面区域面积为13232BCDS =⨯⨯= 故选：A 【点睛】本题主要考查了用平面区域表示二元一次不等式组。

3．已知、是两个不同平面，为内的一条直线，则“∥”是“∥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】m ∥β不一定得到直线与平面平行，由此可判断不充分，由面面平行的定义及性质可判断必要性. 【详解】α、β表示两个不同的平面，直线m ⊂α，m ∥β，不一定得到直线与平面平行， 还有一种情况可能是直线和平面相交， ∴不满足充分性；当两个平面平行时，由面面平行的定义及性质可知：其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m ∥β，∴满足必要性， ∴“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件 故选：B ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断和线面、面面平行的定义及性质的应用，解题的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定与性质定理，是一个基础题． 4．曲线33y x =+在点()1,2-处的切线方程为（ ） A ．330x y ++=B ．033=+-y xC ．30x y -=D ．350x y -+=【答案】D【解析】先求出曲线在1x =-处的导数值，即为切线斜率，进而由点斜式即可得解. 【详解】对33y x =+求导得：2'3y x =，1x =-时3y '=在点()1,2-处的切线斜率为3. 切线方程为()231y x -=+，整理得：350x y -+=. 故选D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.5倍，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12C D ．2【答案】C【解析】由题意，a ，再用平方关系算得c b =，最后利用椭圆离心率公式可求出椭圆的离心率． 【详解】∵倍，∴22a b ，得a ，又∵a 2＝b 2+c 2，∴2b 2＝b 2+c 2，可得c b ==，因此椭圆的离心率为e 2c a ==． 故选：C ． 【点睛】本题给出椭圆长轴与短轴的倍数关系，求椭圆的离心率，考查了椭圆的基本概念和简单性质的知识，属于基础题．6．函数2ln y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断． 【详解】 解：()()2ln f x x x f x -=+=，()y f x ∴=为偶函数，()y f x ∴=的图象关于y 轴对称，故排除B ，C ，当0x →时，y →-∞，故排除D ，或者根据，当0x >时，2ln y x x =+为增函数，故排除D ， 故选：A ． 【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．7．已知ABC ∆中，2212n n n ++且，sin cos 4B B =，则ABC ∆是（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．正三角形或直角三角形D ．直角三角形或等腰三角形【答案】A【解析】由tan A +tan B =A tanB ，推导出C ＝60°，由sin cos B B =，推导出A ＝60°或90°，从而得到△ABC 的形状． 【详解】∵tan A +tan B =A tanB ，即tan A +tan B =1﹣tan A tan B ），∴1tanA tanBtanAtanB+=-tan （A +B ）=A 与B 都为三角形的内角，∴A +B ＝120°，即C ＝60°，∵sin cos 4B B =，∴sin22B =, ∴2B ＝60°或120°，则A =90°或60°. 由题意知90A ≠︒ ∴△ABC 等边三角形． 故选：A ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用．8．直线y x m =+与圆224x y +=相交于,M N 两点，若MN ≥m 的取值范围是（ ） A ．[]2,2- B ．[]4,4-C ．[]0,2D ．(2][2,22)--【答案】A【解析】计算出当MN =m 的范围，即可。

【详解】当MN =()0,0到MN 的距离d ===要使得MN ≥d ≤≤[]2,2m ∈-，故选A 。

【点睛】考查了点到直线距离公式，关键知道MN ≥ 9．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且存在这样的,x y 使不等式234yx m m +<+有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,4- B ．()4,1- C ．()(),41,-∞-⋃+∞D ．()(),30,-∞-+∞【答案】C【解析】此题转化为（x +4y ）min ＜m 2+3m ，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解关于m 的一元二次不等式的解集即可得到答案． 【详解】 ∵不等式x +4y< m 2+3m 有解， ∴（x +4y ）min ＜m 2﹣3m ， ∵x ＞0，y ＞0，且141x y+=，∴x +4y ＝（x +4y）（y x 41+）＝4224x y y x ++≥＝4， 当且仅当4=4x yy x，即x ＝2，y ＝8时取“＝”， ∴（x +4y）min ＝4， 故m 2+3m ＞4，即（m -1）（m +4）＞0，解得m ＜﹣4或m ＞1，∴实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）． 故选：C ． 【点睛】本题考查了基本不等式在最值中的应用和不等式有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．10．如图所示，PA 垂直于圆O 所在的平面， AB 是圆O 的直径，2PA AB ==，C 是圆O 上的一点，F E 、分别是点A 在PB ，PC 上的投影，当三棱锥P AEF -的体积最大时，PC 与底面ABC 所成角的余弦值是（ ）A．B．2CD ．12【答案】D【解析】分析：由题意首先得到体积的表达式，然后结合解析式确定函数取得最值时的条件，最后求得最值即可.详解：设BAC θ∠=，由题意可知，设PC 与底面ABC 所成的角为β，则co s ACPCβ= 由圆的性质可知：AC BC ⊥，由线面垂直的定义可知：PA BC ⊥， 结合线面垂直的判断定理可得：BC ⊥平面PAC ，则BC AF ⊥， 结合AF PC ⊥可知⊥AF 平面PBC ， 据此有AF EF ⊥，则12AEFSAF EF =⨯⨯， 由⊥AF 平面PBC 可知AF PB ⊥，结合PB AE ⊥可得PB ⊥平面AEF ， 则1136P AEF AEFV S PE AF EF PE -=⨯⨯=⨯⨯⨯. 在Rt PAC △中，cos AC AB θ=⨯，利用面积相等可得：PA AC AF PC ⨯===， 在Rt PAB 中，AEPE ==EF =P AEF V -=16AF EF PE ⨯⨯⨯6AF ==，结合均值不等式的结论可知，当()222AF AF =-，即1=AF 时三棱锥的体积最大，此时1cos sin 2AF PAF PA β=∠==. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查线面垂直的定义与判断定理，均值不等式的应用，立体几何中的最值问题，三棱锥的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题 11．函数()f x=1的定义域为_________；值域为_______． 【答案】()1,+∞. ()0,∞+.【解析】根据根式及分式的要求即可求得定义域；由函数解析式即可求得值域。

【详解】 函数()f x=1所以定义域为01>-x ，即1>x 所以定义域为()1,+∞0>>， 即值域为()0,∞+ 【点睛】本题考查了二次根式及分式的定义域和值域问题，属于基础题。

12．已知直线l ：50x my +-=，若l 的倾斜角为45，则实数m =_______；若直线l 与直线210x y --=垂直，则实数m =_______． 【答案】1-.12. 【解析】根据斜率与倾斜角关系可求得m 的值；根据直线垂直的斜率关系可求得m 的值。

【详解】 因为倾斜角为45 即tan 451k == 所以11m-=，解得1-=m 若直线l 与直线210x y --=垂直，则两条直线的斜率之积为1-即1112m ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭ ，解得12m =【点睛】本题考查了直线斜率与倾斜角关系，两条直线垂直时斜率的关系，属于基础题。

13．（1）2lg 2lg 25+= ______；（2）log 2381127log 44⎛⎫+-= ⎪⎝⎭_______． 【答案】2. 10.【解析】根据对数运算法则，化简（1）；根据指数与对数的运算法则，化简（2）即可。

【详解】（1）根据对数运算法则，可得2lg 2lg 25lg 4lg 25+=+()lg 425lg100=⨯= 2=（2）根据指数幂的运算和对数运算法则和换底公式，可得log 2381127log 44⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()22log 32321log 432log 8-=+-()22log 2232log 232log 2--=+- ()21log 32293-=+-2911033-=+-=【点睛】本题考查了指数与对数的运算法则和化简求值，属于基础题。

14．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）等于_______；表面积（单位：2cm ）等于__________．【答案】31620+ 【解析】先还原几何体，再根据柱体与锥体性质求体积与表面积. 【详解】几何体一个边长为2的正方体挖去一个正四棱锥（顶点在正方体下底面中心，底面为正方体上底面），因此几何体的体积为3211622233-⨯⨯=，表面积为2152+422⨯⨯⨯+【点睛】本题考查三视图与柱体与锥体性质，考查空间想象能力与基本求解能力，属基础题.15．已知平面向量,a b 满足()3b a b ⋅+=，且2,1==b a，则a b +=________【解析】由已知可求⋅，然后结合向量的数量积的性质222a b a a b b +=+⋅+|，代入即可求解． 【详解】∵()3b a b ⋅+=，∴23b a b ⋅+=， ∵1a =，2b =，1a b ⋅=-，则22212a b a a b b +=+⋅+=-=，故答案为3. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题．16．如图，平面四边形ABCD 中，AB AD CD ==48，30,CBD =∠则ADC ∆的面积S 为__________．【解析】分析：首先求得BD 的长度，然后结合余弦定理求得∠ADB 的值，最后利用面积公式求解△ACD 的面积即可.详解：在△BCD 中，由30,120CBD BCD ∠=︒∠=︒，可得∠CDB =30°，据此可知：BC =3BD ==，在△ABD 中，由余弦定理可得：222cos 2AD BD AB ADB AD AB +-∠==⨯⨯ 故45,304575ADB ADC ∠=∠=+=， 结合三角形面积公式有：11sin 22ACDSAD CD ACD =⨯⨯⨯∠=⨯=. 点睛：本题主要考查余弦定理解三角形，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．当3,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式242ax bx a x ++≤恒成立，则b a +6的最大值是__________． 【答案】6【解析】∵3,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式242ax bx a x ++≤恒成立 ∴242ax bx ax++≤，即42aax b x++≤ 设44()()a f x ax b a x b x x =++=++，4[4,5]x x+∈ ∵()2f x ≤∴242{252a b a b -≤+≤-≤+≤∴6(4)2(5)a b a b a b +=-+++∴22(2)6(4)2(5)222a b a b a b -+⨯-≤+=-+++≤+⨯ ∴b a +6的最大值为6 故答案为6三、解答题18．如图，以Ox 为始边作角α与()0ββαπ<<<，它们的终边分别与单位圆相交于点P Q 、，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求3cos 5sin sin cos αααα+-的值；（2）若OQ OP ⊥，求3sin 4cos ββ-的值. 【答案】(1)117 (2)75- 【解析】(1) 由题得cos α=35- ，sin α=45 ，代入已知即得解.(2)π αβ2-=由题得,所以=+2παβ，所以cos sin ,sin cos αβαβ=-=，求出sin β和cos β的值即得解.【详解】（1）由题得cos α=35- ，sin α=45 ，所以3cos α5sin α11sin αcos α7+=- . (2)παβ2-=由题得,所以=+cos sin ,sin cos 2παβαβαβ∴=-=，， 所以34sin ,cos ,55ββ==所以3sin β-4cos β=9167=-555-.【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，考查诱导公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．已知正项等比数列{}n a 中，112a =，且234,,1a a a -成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若224log n n b a -=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】（1）22n n a -=；（2）()41n nT n =+.【解析】（1）根据等比数列通项公式及等差中项定义，求得首项与公比，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）根据数列{}n a 的通项公式，代入可得数列{}n b 的通项公式，进而根据裂项法求得前n 项和n T 。