2013~2014沂源一中高二上学期期末试题文科期末数学答案

高二数学试题（文）答案
一．选择题1D,2C,3D,4C,5A,6B,7B,8B ,9A,10C,11A,12D
二、填空题：13.2； 14.8，6；15. -182；16.
25. 三、解答题：
17.（本小题满分12分）已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=
（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及最大值
（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间
解：（Ⅰ）x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=
=x x x x x 2sin )sin )(cos sin (cos 2222-+-
x x 2sin 2cos -= )4
2sin(2π--=x ………………………………………………4分 ∴)(x f 的最小正周期ππ==2
2T ，其最大值为2…………………8分 （Ⅱ）其单调增区间为2
324222πππππ+≤-≤+k x k …………………10分 即8
783ππππ+≤≤+k x k 即⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
++87,83ππππk k 为所求………………………………………12分 18.（本小题满分12分）已知命题p ：方程0122=++x m x 有两个不等的实根，命题q ：函数=)(x f 01)2(442=+-+x m x 无零点。

若p 或q 为真，p 且q 为假。

求实数m 取值范围。

解：由题意p ,q 中有且仅有一为真，一为假，
p 真0＞∆⇔m ＞2， ……………………………………………………………2分
q 真⇔∆<0⇔1<m <3, …………………………………………………………4分 若p 假q 真，则213
m m ≤⎧⎨<<⎩⇔1＜m ≤2； ………………………………………7分 若p 真q 假，则213
m m m >⎧⎨≤≥⎩或⇔m ≥3；………………………10分 综上所述：m ∈(1,2]∪[3，+∞)． ………………………12分
19. （本小题满分12分）设计一幅宣传画，要求画面面积为4000cm 2
，画面的上下各留cm 8空白，左右各留cm 5空白，怎样设计画面的高与宽，才能使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积是多少？
解：设画面的高为x 时，宣传画所用纸张面积为y . 此时画面的宽为
x
4000……………………………………………………2分 且有)104000()16(+⋅+=x
x y ……………………………………………4分 16064000104000+++=x x 5760416064002104160)6400(10=+⋅⋅≥++
=x x x x …………8分 当且仅当x
x 6400=即80=x 时等号成立。

………………………………10分 所以设计画面的高为cm 80，宽为cm 50的宣传画所用纸张面积最小，最小面积是5760cm 2
.………………………………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列}{n a 满足：28432=++a a a ，且23+a
是42,a a 的等差中项。

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ若n n n n n b b b S a a b +⋯++==2121,log ，令12)(+⋅+=n n n S n f ，求)(n f 的最小值
解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，
依题意，有423)22a a a +=+（
代入,28432=++a a a 得20,8423=+∴=a a a ………………………………2分
⎪⎩⎪⎨⎧===+∴820213311q a a q a q a 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==32
212211a q a q 或 ………………………………4分 又{}n a 单调递增，n
n a a q 2,2,21=∴=∴=∴………………………………………6分 （Ⅱ）n n n n n b 22log 22
1⋅-=⋅=，……………………………………………………8分
n n n S 223222132⨯+⋯+⨯+⨯+⨯=-∴ ①
143222)1(2322212++⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=-∴n n n n n S ②
∴①-②得13222222+⋅-++++=n n n n S 22222
1)21(2111-⋅-=⋅---=+++n n n n n n ∴22211-⋅-=++n n n n S …………………………………………………………12分
21．(本题满分13分)已知定义在R 上的函数1
22)(+-=x x
a x f 是奇函数 （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）判断)(x f 的单调性，并用单调性定义证明；
（III ）若对任意的R t ∈，不等式0)()2(2>-+-k f t t f 恒成立，求k 的取值范围。

解：（I ）∵)(x f 是定义在R 上的奇函数，
∴,0)0(=f ，∴,0)0(=f 1=a ……………………2分 （Ⅱ）12122121)(-+=+-=x
x x x f ，)(x f 在R 上是减函数…………………4分 证明：设R x x ∈21,且21x x < 则……………6分
∵21x x <，∴1222x x >，0211>+x ，0212>+x ，
∴)()(21x f x f -0>，即)()(21x f x f >
∴)(x f 在R 上是减函数…………………………………………………9分
（III ）不等式)()2(0)()2(22k f t t f k f t t f >-⇔>-+-
又)(x f 是R 上的减函数，∴k t t <-22 ……………………11分 ∴8
1)41
(2222+--=->t t t k 对R t ∈恒成立 ……………………13分 22．（本题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点B 的坐标为)1,0(，离心率等于2
2.直线l 与椭圆C 交于N M ,两点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 问椭圆C 的右焦点F 是否可以为BMN ∆的垂心？若可以,求出直线l 的方程；若不可以,请说明理由.
解:（Ⅰ）设椭圆C 的方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ， 则由题意知1b =.
22==∴22a =. ∴椭圆C 的方程为 .12
22
=+y x ………………4分 （Ⅱ）假设右焦点F 可以为BMN ∆的垂心，
(1,0)F ，∴直线BF 的斜率为1-，
从而直线l 的斜率为1.设其方程为m x y +=， …………………………………５分 联立方程组2212
y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 整理可得：22
34220x mx m ++-= ……………7分
.
2221624(1)2480m m m ∆=--=->，∴23m <
设),(),,(2211y x N y x M ，则m x x 3421-=+，3
22221-=m x x .……………8分 于是 )1()1(1212---=⋅y y x x
212121y y x x y x --+=
))((212121m x m x x x m x x ++--++=
22121))(1(2m m x x m x x -++-+-= 22)3
4)(1(3222m m m m m -+--+--= 03
4312
=+--=m m 解之得1=m 或34-=m . ………………………………………11分 当1=m 时，点B 即为直线l 与椭圆的交点，不合题意； 当3
4-
=m 时，经检验知l 和椭圆相交，符合题意. 所以，当且仅当直线l 的方程为34-=x y 时, 点F 是BMN ∆的垂心.………13分。