误差分析课件-线性回归与应用
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《线性回归方程》课件
线性回归方程的假设
线性关系
自变量和因变量之间存在线性关系，即它们 之间的关系可以用一条直线来描述。
无异方差性
误差项的方差在所有观测值中保持恒定，没 有系统的变化。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性，即它们之间 没有高度的相关性。
无自相关
误差项在不同观测值之间是独立的，没有相 关性。
02
线性回归方程的建立
详细描述
在销售预测中，线性回归方程可以用来分析历史销售数据，并找出影响销售的关键因素。通过建立线性回归模型 ，可以预测未来的销售趋势，为企业的生产和营销策略提供依据。
案例二：股票价格预测
总结词
线性回归方程在股票价格预测中具有一定的 应用价值，通过分析历史股票价ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和影响股 票价格的因素，可以预测未来的股票价格走 势。
04
线性回归方程的应用
预测新数据
1 2
预测新数据
线性回归方程可以用来预测新数据，通过将自变 量代入方程，可以计算出对应的因变量的预测值 。
预测趋势
通过分析历史数据，线性回归方程可以预测未来 的趋势，帮助决策者制定相应的策略。
3
预测异常值
线性回归方程还可以用于检测异常值，通过观察 偏离预测值的点，可以发现可能的数据错误或异 常情况。
确定自变量和因变量
确定自变量
自变量是影响因变量的因素，通 常在研究问题中是可控制的变量 。在建立线性回归方程时，首先 需要确定自变量。
确定因变量
因变量是受自变量影响的变量， 通常是我们关心的结果或目标。 在建立线性回归方程时，需要明 确因变量的定义和测量方式。
收集数据
数据来源
确定数据来源，包括调查、实验、公开数据等，确保数据质量和可靠性。
误差分析和线性回归
误差分析和线性回归是数学中的两个重要概念，是数据分析和预测的基础。
本文将从误差和线性回归的定义、应用、限制和改进等几个方面，探讨这两个概念的内涵和外延。
一、误差分析1.1 定义误差是指测量结果与实际值之间的差异，是真实值与观测值之间的距离。
误差分析是对测量结果的准确性和可靠性进行研究和评价的过程。
误差分析包括误差类型、误差大小、误差来源、误差统计等内容。
1.2 应用误差分析常用于科学实验、工程设计、质量控制、监控系统等领域中。
通过误差分析，可以了解实验数据的精度、精确度和可靠性，避免误导和错误结论的产生。
误差分析还可以优化设计和制造过程，提高产品质量和效率。
1.3 限制和改进误差分析存在着一定的局限性和不足之处。
例如，误差分析有可能忽略掉一些系统性误差或随机误差，导致测量结果的偏差较大。
此外，误差分析需要建立适当的模型和假设，这可能会引入其他的误差，进而违背实验原理和科学精神。
为了改进误差分析，需要引入更多的信息和知识，包括测量方法、仪器精度、实验环境等方面的数据。
同时，还需要加强数据处理和统计等技术的应用，以提高测量数据的信度和准确性。
二、线性回归2.1 定义线性回归是一种用于描述和预测变量关系的模型。
它通过线性方程的形式，描述响应变量与自变量之间的关系。
线性回归可以用来判断变量之间的相关性，预测未来的趋势和趋势变化。
2.2 应用线性回归广泛应用于金融、经济、医学、环境、社会等领域中。
例如，线性回归可以用于分析销售数据与营销策略之间的关系，预测股票价格和收益率，评估医疗方案的效果，推测环境污染和气候变化的趋势等。
2.3 限制和改进线性回归也存在一些问题和挑战。
例如，线性回归假定变量之间的关系是线性的，这可能导致误差和偏差的产生。
此外，线性回归需要满足一些假设条件，例如正态分布、独立性、同方差性等，这可能难以满足现实数据的特点。
为了克服线性回归的限制，需要引入更加灵活的模型和算法，如非参数回归、加权回归、神经网络回归等。
《线性回归模型》ppt课件
判别相关关系是线性相关还是非线性相 关、正相关还是负相关；
计算变量之间的相关系数
度量变量之间的线性相关的程度、判别线 性相关关系是正相关还是负相关
相关系数
十九世纪末——英国著名统计学家卡尔·皮尔逊〔Karl Pearson〕 ——度量两个变量之间的线性相关程度的简单相关系数〔简称相关系数〕
两个变量X和Y的总体相关系数为
4〕利用回归模型处理实践经济问题。
例如:
居民消费C与可支配收入Y之间不仅存在相关关系而且存在因 果关系，不仅可以利用相关分析研讨两者之间的相关程度，还可 以利用回归分析研讨两者之间的详细依存关系。可以将C作为被 解释变量、Y作为解释变量，根据相关经济实际，设定含有待估 参数 、 的实际模型C = + Y，估计模型中的参数 、 ，得 到回归方程，进展相关统计检验和推断，利用回归模型进展构造 分析、经济预测、政策评价等。
函数关系与相关关系的区别
确定的函数关系可以直接用于经济活动，无需分析。 不确定的相关关系，隐含着某种经济规律，是有关研讨的重点
一、相关分析与回归分析
2. 相关分析
研讨变量之间的相关关系的方式和程度的一种统计分析方法，主要
经过绘制变量之间关系的散点图和计算变量之间的相关系数进展。
例如:
绘制变量之间关系的散点图
计量经济学模型用随机方程提示经济变量之间的因果关系，对于这 一经济活动，与上述数理经济模型相对应，描画为
QAetKLe
或描画为对数线性函数方式 l n Q l n A t l n K l n L
其中， 是随机误差项。
随机误差项——称为随机扰动项或随机干扰项〔stochastic distur
对于含有多个解释变量 X
1 、X
线性回归分析ppt课件
21
多元回归分析中的其他问题 u变量筛选问题 Ø向前筛选策略
解释变量不断进入回归方程的过程，首先选择与被解释变量具有最高 线性相关系数的变量进入方程，并进行各种检验；其次在剩余的变量中挑 选与解释变量偏相关系数最高并通过检验的变量进入回归方程。 Ø向后筛选策略
变量不断剔除出回归方程的过程，首先所有变量全部引入回归方程并 检验，然后在回归系数显著性检验不显著的一个或多个变量中，剔除t检验 值最小的变量。 Ø逐步筛选策略
合准则。
最小二乘法将偏差距离定义为离差平方和，即
n
Q( 0, 1, p) ( yi E( yi ))2
i 1
最小二乘估计就是寻找参数β0
、β1、…
βp的估计
值β̂0 、β ̂1、… β ̂p，使式（1）达到极小。通过
求极值原理（偏导为零）和解方程组，可求得估计值，
SPSS将自动完成。
每个解释变量进 入方程后引起的 判定系数的变化 量和F值的变化 量（偏F统计量）
输出个解释变量 和被解释变量的 均值、标准差、 相关系数矩阵及 单侧检验概率值
输出判定系数、 调整的判定系数、 回归方程的标准 误、回归方程显 著性检验的方差 分析表
输出方程中各解 释变量与被解释 变量之间的简单 相关、偏相关系 数和部分相关
30
n回归分析的其他操作
Ø选项
DW值
输出标准化残差 绝对值大于等于 3（默认）的样 本数据的相关信 息
多重共线性分 析： 输出各解释变 量的容忍度、 方差膨胀因子、
特征值、条件 指标、方差 比例等
31
n回归分析的其他操作
Ø选项
•标准化预测值 •标准化残差 •剔除残差 •调整的预测值 •学生化残差 •剔除学生化残差
回归分析应用PPT课件
回归分析的应用场景
A
经济预测
通过分析历史数据，预测未来的经济趋势，如 股票价格、GDP等。
市场营销
通过研究消费者行为和购买历史，预测未 来的销售趋势和客户行为。
B
C
医学研究
研究疾病与风险因素之间的关系，预测疾病 的发生概率。
科学研究
在各种科学领域中，如生物学、物理学、化 学等，回归分析被广泛应用于探索变量之间 的关系和预测结果。
06 回归分析的局限性
多重共线性问题
总结词
多重共线性问题是指自变量之间存在高 度相关关系，导致回归系数不稳定，影 响模型预测精度。
VS
详细描述
在回归分析中，如果多个自变量之间存在 高度相关关系，会导致回归系数的不稳定 性，使得模型预测精度降低。这种情况在 数据量较小或者自变量较多的情况下更容 易出现。为了解决这个问题，可以采用减 少自变量数量、使用主成分分析等方法。
预测能力评估
使用模型进行预测，并比较预 测值与实际观测值之间的误差
，评估模型的预测能力。
03 多元线性回归分析
多元线性回归模型
01
确定因变量和自变 量
在多元线性回归模型中，因变量 是我们要预测的变量，而自变量 是影响因变量的因素。
02
建立数学模型
03
模型参数解释
通过最小二乘法等估计方法，建 立因变量与自变量之间的线性关 系式。
回归分析可以帮助我们理解数据的内在规律，预测未来的趋势，并优化决 策。
回归分析的分类
01
一元回归分析
研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
02
多元回归分析
研究多个自变量和一个因变量之间的关系。
03
线性和非线性回归分析
误差分析课件线性回归及应用
表示，记为
N
S yi y2
（1-14）
i 1
N
yi yˆi yˆi y2
i 1
N
N
N
yi yˆi 2 2 yi yˆi yˆi y yˆi y2
i 1
i 1
i 1
NO.V1.0
1.回归方程的方差分析
•
把yˆi b0 bxi; yi b0 bx N
代入中间项，
可推出
2yi yˆiyˆi y 0
i 1
则令
N
N
U yˆi y2,Q yi yˆi2
有
i 1
i 1
S U Q
其中，U 称为回归平方和，反映回归直线 yˆ b0 bxi 对均值 y 的偏离情况，即 y 随 x 变化
NO.V1.0
一元线性回归方程的求法（Ⅱ）
• 示
某一观测y值i 与回归yˆi 值 之vi差用 表
vi yi yˆi yi b0 bxi i 1,2,, N
它表示某一点xi, yi 与回归直线的偏离程度。
记
N
N
2N
2
Q vi2 yi yˆi yi b0 bxi
y2 yN
0 x2
0 xN
2 N
设测量误差 1,2,, N 服从同一正态分布
N0, ，且相互独立，则用最小二乘法估计参
数0, ，设估计量分别为 b0 , b ，那么可得一元 线性回归方程
yˆ b0 bx
（1-2）
式中，b0,b 为常数和回归系数。
线性回归计算方法及公式PPT课件
公式
(y = ax + b)
解释
其中(y)是因变量，(a)是斜率，(x)是自变量，(b)是截距。
实例二：多元线性回归分析
总结词
多个自变量的线性关系
详细描述
多元线性回归分析研究因变量与多个自变量之间的线性关 系。通过引入多个自变量，可以更全面地描述因变量的变 化规律。
公式
(y = a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + b)
加权最小二乘法的公式
加权最小二乘法的公式是：(ŷ=β₀+β₁x₁+β₂x₂+...+βₙxₙ)其中，(w_i)是加权因 子，用于对不同观测值赋予不同的权重。
加权最小二乘法适用于数据存在异方差性的情况，通过给不同观测值赋予不同的 权重，能够更好地拟合数据。
主成分回归的公式
主成分回归的公式是：(ŷ=β₀+β₁z₁+β₂z₂+...+βₙzₙ)其中， (z_i)是主成分得分，通过对原始自变量进行线性变换得到。
误差项独立同分布
误差项被假设是相互独立的，并且具有相 同的分布（通常是正态分布）。
误差项无系统偏差
自变量无多重共线性
误差项被假设没有系统偏差，即它们不随 着自变量或因变量的值而变化。
自变量之间被假设没有多重共线性，即它 们是独立的或相关性很低。
02
线性回归模型
模型建立
确定因变量和自变量
首先需要确定研究的因变量和自变量， 以便建立线性回归模型。
以提供更稳定和准确的估 计。
(y = (X^T X + lambda I)^{1}X^T y)
其中(y)是因变量，(X)是自变量 矩阵，(lambda)是正则化参数
(y = ax + b)
解释
其中(y)是因变量，(a)是斜率，(x)是自变量，(b)是截距。
实例二：多元线性回归分析
总结词
多个自变量的线性关系
详细描述
多元线性回归分析研究因变量与多个自变量之间的线性关 系。通过引入多个自变量，可以更全面地描述因变量的变 化规律。
公式
(y = a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + b)
加权最小二乘法的公式
加权最小二乘法的公式是：(ŷ=β₀+β₁x₁+β₂x₂+...+βₙxₙ)其中，(w_i)是加权因 子，用于对不同观测值赋予不同的权重。
加权最小二乘法适用于数据存在异方差性的情况，通过给不同观测值赋予不同的 权重，能够更好地拟合数据。
主成分回归的公式
主成分回归的公式是：(ŷ=β₀+β₁z₁+β₂z₂+...+βₙzₙ)其中， (z_i)是主成分得分，通过对原始自变量进行线性变换得到。
误差项独立同分布
误差项被假设是相互独立的，并且具有相 同的分布（通常是正态分布）。
误差项无系统偏差
自变量无多重共线性
误差项被假设没有系统偏差，即它们不随 着自变量或因变量的值而变化。
自变量之间被假设没有多重共线性，即它 们是独立的或相关性很低。
02
线性回归模型
模型建立
确定因变量和自变量
首先需要确定研究的因变量和自变量， 以便建立线性回归模型。
以提供更稳定和准确的估 计。
(y = (X^T X + lambda I)^{1}X^T y)
其中(y)是因变量，(X)是自变量 矩阵，(lambda)是正则化参数
线性回归方程的残差分析课件
残差的同方差性检验
目的
检验残差是否具有同方差性，即方差是否随预测值的增加而增加。
方法
可以通过绘制残差的散点图、计算残差的方差齐性检验等手段进行检验。
CHAPTER 03
残差图分析
残差图绘制
残差图是一种用于分析回归模型预测 准确性的工具，通过将实际观测值与 预测值进行比较，可以直观地展示模 型的预测误差。
案例三：某股票价格预测的线性回归分析
总结词
利用线性回归分析方法预测某股票未来价格走势，并通过残差分析评估模型的预测能力 和可靠性。
详细描述
收集某股票的历史价格数据和其他相关因素数据，如公司财务指标、市场走势等。利用 线性回归分析方法建立股票价格预测模型。通过残差分析评估模型的预测能力和可靠性 ，如计算残差均值、残差标准差、残差图等。根据分析结果提出投资策略和建议，如选
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
残差分析还可以用于评估模型的预测能力和泛化能力 。通过将模型应用于新数据集，观察新数据集的残差 分布和拟合效果，可以评估模型的预测精度和泛化能 力，为实际应用提供依据。
03
04
β0和β1
回归系数，表示X对Y的效应 大小。
ε
随机误差项，表示Y的变异中 不能由X解释的部分。
线性回归方程的建立
收集数据
收集因变量Y和自变量X的相关数据。
散点图
最小二乘法
使用最小二乘法估计β0和β1的值，使 实际观测值与预测值之间的残差平方 和最小化。
绘制Y与X的散点图，观察是否存在线 性关系。
线性回归方程的评估
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的最
小二乘最估小二y计ˆ 乘，b0 条则b1件x1可为b得2x2 回归 b方M xM程
（1-30）
正规方程Qb为0,b1,b2,,bM i yi yˆi 2 最小
Nb0
i
xi1
b1
i
xi2
b2
i
xiM bM
其中，U 称为回归平方和，反映回归直线 yˆ b0 bxi 对均值 y 的偏离情况，即 y 随 x 变化
产生的线性变化在总的离差平方和中所起的作
用。Q 称为剩余平方和，反映测量值 y1, y2,, yN
对回归直线的偏离情况，即其他因素引起的 y
的变化在总的离差平方和中所起的作用。
NO.V1.0
• 可认为回归F 效F果0.是101,显N 著 2的 ，称为在0.05 水平上显著，即可信赖程度在95%和99%之 间；如果
NO.V1.0
3.残余方差与残余标准差
•
残余方差定义为
sQ2
Q N
2
1 N
2
N i 1
yi
yˆi 2
•
残余标准差定义为
sQ
Q N 2
• 它表明在单次测量中，sQ 由线性因素以外 的其他因素引起的y的变化程度。 越小，
2
N
（1-29）
式中 i 是M+1个待估计参数，xi是M个可精确测量
的变量，i 是N个互相独立且服从统一正态分布
N0, 的随机变量，这便是多元线性回归的数学
模型。
NO.V1.0
一、多元线性回归方程的一般求法
•
设b0, b1,, bM
分别为参0, 数1,, M
yi
b0
bxi
0
Q
b
2
N i 1
yi
b0
bxi
xi
0
（1-4） （1-5）
NO.V1.0
一元线性回归方程的求法（Ⅲ）
•
由以上两式，经推导整理可得
N
yi
b0
i 1
N
b y bx
N
N
N
xi yi y xi
回归直线的精度越高。
NO.V1.0
例1-3
• 试对例1-2中求出的回归方程进行显著性检 解验：。具体步骤如下
（1）利用 hxy、hxx、hyy、b 求U、Q、S ，则有
S hyy 0.4206483 U bhxy 0.4206476 Q hyy bhxy 0.0000007
N i 1
yi
（1-11）
N
hxx
i1
xi
x
2
N i1
xi2
1 N
N i1
2
xi
N
hyy
i1
yi
y
2
N i1
yi2
1 N
N i1
2
yi
（1-12） （1-13）
NO.V1.0
一元线性回归方程的求法（Ⅳ）
•
N个观测值之间的差异（称离差），
由两个因素引起：一是由变量之间的线性
依赖关测量系值引之起间；的二变是化由程度其可他用因总素离引差起平。方和
表示，记为
N
S yi y2
（1-14）
i 1
N
yi yˆi yˆi y2
i 1
N
N
N
yi yˆi 2 2 yi yˆi yˆi y yˆi y2
y
的线性关S、系U引、Q起 的变化在总的离差平方和
S中所F占检的验的比数重学。统计量为及相应计算如表1-
2。
F
Q
UM
N M
1
U
M 2
如果
F F M , N M 1
则认为所求回归方程在 水平上显著。
精度由剩余标准差 sQ 来估计。
sQ
Q N M 1
NO.V1.0
（3）比较计算得到的F值和查得的 Fa 值。若
F Fa1, N 2则回归效果显著，否则效果不显著。
NO.V1.0
显著性水平等级：
•
通常可分为以下几级：如果
F F 0.01 1, N 2
• 可认为回归效果高度显著，称为在0.01
水 果平上F显0.05著1,，N 即2可 信F 赖F程0.0度11,为N 992% 以上；如
关系是线性y相i, xi关1, xi的2,，, xiM且,i已 1获,2,得, NN组观测数据
•
则有y1 如0 下 结1x11构 形2x12式 M x1M 1
y2 0
yN 0
1x21 2x22 1xN1 2xN
M x2M 2 M xNM
• 例1-1：
施肥量x 15 20 25 30 35 40 45 50
产量y 330 345 365 405 445 450 455 465
NO.V1.0
例1-1：
• 为获得施肥量与产量之间的输入输出关 系，将测的那些实验数据点标在坐标纸上， 如下图示 445
405 365 345 330
20 25 30 35 40 45 50
线性回归分析
• 线性回归分析及应用
NO.V1.0
线性回归分析
• 两个变量之间的关系：
• 1.函数关系－－－确定的关系 • 2.相关关系－－－非确定的关
系 • （1）一个可控制，另一个不可控制
• （2)两个变量都不可控制（随机）
NO.V1.0
线性回归分析
• 3.回归分析
• 回归分析就是通过对一定数量的观测数 据进行统计处理，以找出变量间相互依赖 的统计规律。
（2）计算 vU、vQ、F
vU 1, vQ 8 2 6
F
Q
U1
N 2
3.61106
NO.V1.0
例1-3（Ⅱ）：
• （3）根据vU、vQ 查表
v1 vU 1, v2 vQ 6
• 在 0.01
（4）判别
级表F中0.01查1,6得 13.74
系。
位移
x/mm
0
12
3
4
5
67
输出电 压
y/V
0
0.0 998
9
0.1 998
3
0.29 994
0.4 000
8
0.50 025
0.6 003
6
0.7 003
9
NO.V1.0
例1-2（Ⅰ）：
解：具体步骤如下 1.变量之间大体呈线性关系，设它们满足一元 线性回归方程 令
yˆ b0 bx
xi x（i 即c1 0, d1 1）; yi 10 y（i 即c2 0, d2 10）
2.分别计算xi、yi、xi2、yi2、xiyi 的值，填入表1-1中。 3.对个列数据分别求和，列入表1-1的最后一行。
4.计算 hxx, hyy, hxy
hxx
N i 1
xi2
1 N
N i 1
xi2
42
NO.V1.0
例1-2（Ⅱ）：
hyy
2.回归方程的显著性检验
•
为定量说y明 x 与 的线性密切程度，
通常用F检验法，即计F 算UQ统vvUQ 计量 （1-20）
对一元线性回归，有
F
Q
U1 N
2
计算和检验步骤：
（1-21）
（1）由式（1-21）计算出F值。
（2）根据给定的显著性水平 a 1 P，从F分布表
中查取临界值Fa1, N 2 。
F 3.61106 F 0.01 1,6 13.74
故回归效果高度显著。
（5）求剩余标准差
sQ
Q N
2
0.0000007 6
0.000342
NO.V1.0
1.2 多元线性回归
• 一、多元线性回归方程的一般求法
•
设因变y量 与M个自变x1, x量2,, xM
的
三、每个自变量在多元线性回归中 所起的作用
• 1.自变量xi 作用大小的衡量
•
自变x量i 在总的回归中所起的作用可
根据xi 它在U中的影响大小来衡量。y 把取消一 个自变xi 量 后回归平方和减少的数值称为 对这个自变量 的Pi 偏 U回U归 平方和，记作
hxy
1 d1d2
hxy
4.203240
• 5.计算b、b0
b
hxy hxx
0.100077
; b0
y
bx
0.00017
6.列回归方程 yˆ b0 bx 0.000177 0.100077 x
NO.V1.0
二、回归方程的方差分析和显著性 检验
• 1.回归方程的方差分析
b
i 1 N
i1
i 1
N
xi2 x xi
xi x yi y
N
xi x 2
hxy hxx
i 1
i 1
i 1
式中，hxy
N i 1
xi