统计学第七章相关分析与回归分析.ppt
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统计学相关分析和回归分析ppt课件
23
计算积距相关系数， 连续性变量才可采用
图8－1 Bivariate Correlations 对话框
。
计算Kendall秩相关
系数，适合于定序变
量或不满足正态分布
假设的等间隔数据。 计算Spearman秩相
关系数，适合于定序
见图 8－2
变量或不满足正态分
关布。不还假清是设楚负的变相等量关间之时隔间选数是择据正此相项 。
没有关系
9
8.2.2 相关系数 利用相关系数进行变量间线性关系的分析通常需
要完成以下两个步骤：
第一，计算样本相关系数r；
相关系数r的取值在-1～+1之间 r>0表示两变量存在正的线性相关关系；r<0表示两变
量存在负的线性相关关系 r＝1表示两变量存在完全正相关；r＝-1表示两变量存
在完全负相关；r＝0表示两变量不相关 |r|>0.8表示两变量有较强的线性关系； |r|<0.3表示
。 （4）在Test of Significance框中选择输出相关系数检验的双
边（Two-Tailed）概率p值或单边（One-Tailed）概率 p值。 （5）选中Flag significance correlation选项表示分析结果 中除显示统计检验的概率p值外，还输出星号标记，以标明 变量间的相关性是否显著；不选中则不输出星号标记。 （6）在Option按钮中的Statistics选项中，选中Crossproduct deviations and covariances表示输出两变量的 离差平方和协方差。
例如，在研究商品的需求量和价格、消费者收入之间 的线性关系时，需求量和价格之间的相关关系实际还包含 了消费者收入对价格和商品需求量的影响。在这种情况下 ，单纯利用相关系数来评价变量间的相关性显然是不准确 的，而需要在剔除其他相关因素影响的条件下计算变量间 的相关。偏相关的意义就在于此。
计算积距相关系数， 连续性变量才可采用
图8－1 Bivariate Correlations 对话框
。
计算Kendall秩相关
系数，适合于定序变
量或不满足正态分布
假设的等间隔数据。 计算Spearman秩相
关系数，适合于定序
见图 8－2
变量或不满足正态分
关布。不还假清是设楚负的变相等量关间之时隔间选数是择据正此相项 。
没有关系
9
8.2.2 相关系数 利用相关系数进行变量间线性关系的分析通常需
要完成以下两个步骤：
第一，计算样本相关系数r；
相关系数r的取值在-1～+1之间 r>0表示两变量存在正的线性相关关系；r<0表示两变
量存在负的线性相关关系 r＝1表示两变量存在完全正相关；r＝-1表示两变量存
在完全负相关；r＝0表示两变量不相关 |r|>0.8表示两变量有较强的线性关系； |r|<0.3表示
。 （4）在Test of Significance框中选择输出相关系数检验的双
边（Two-Tailed）概率p值或单边（One-Tailed）概率 p值。 （5）选中Flag significance correlation选项表示分析结果 中除显示统计检验的概率p值外，还输出星号标记，以标明 变量间的相关性是否显著；不选中则不输出星号标记。 （6）在Option按钮中的Statistics选项中，选中Crossproduct deviations and covariances表示输出两变量的 离差平方和协方差。
例如，在研究商品的需求量和价格、消费者收入之间 的线性关系时，需求量和价格之间的相关关系实际还包含 了消费者收入对价格和商品需求量的影响。在这种情况下 ，单纯利用相关系数来评价变量间的相关性显然是不准确 的，而需要在剔除其他相关因素影响的条件下计算变量间 的相关。偏相关的意义就在于此。
医学统计学PPT：直线相关和回归
r X X Y Y
l XY
X X 2 Y Y 2
l XX lYY
X 的离均差平方和:
2
lXX X X
Y 的离均差平方和:
2
lYY Y Y
X与Y 间的离均差积和: lXY X X Y Y
离均差平方和、离均差积和的展开：
lXX
2
XX
X2
相关系数的抽样分布( = 0)
300 200 100
0 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
相关系数的抽样分布( =0.8)
300 200 100
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
R.A. Fisher(1921) 的 z 变换
150
100
50
0
-2
-1
0
1
2
相关系数的z 值的抽样分布( = 0.8)
200
150
100
50
0
0
1
2
3
4
相关系数的可信区间估计
➢ (1) 将 r 变换为 z ； ➢ (2) 根据 z 服从正态分布，估计 z 的可信区间；
1 z u sz z u n 3
➢ (3) 再将 z 变换回 r 。
1 1
0.7221
lup
e2z 1 e2z +1
e22.6650 e22.6650
1该可0信.99区0间4 有1 什么含义？
7.3 直线回归
直线回归是把两个变量之间的关系用适当的方 程式表达出来，可以从一个自变量推算另一个 应变量。
直线回归的定义
➢ Y 因变量，响应变量 (dependent variable, response variable)
统计学相关与回归分析法PPT课件
关系，以及何种关系作出判断。
定量分析
在定性分析的基础上，通过编制相 关表、绘制相关图、计算相关系数
等方法，来判断现象之间相关的方 向、形态及密切程度。
第15页/共50页
相关表和相关图
将现象之间的相互关系，用
相关表
表格的形式来反映。
简单 相关表
适用于所观察的样本单位数 较少，不需要分组的情况
分组 相关表
第19页/共50页
相关系数 （只研究简单相关系数）
在直线相关的条件下，用以反映两变量间
线性相关密切程度的统计指标，用r表示
r 2xy
x xy y n
x y
2
2
xx n yy n
x xy y (积差法)
x
2
x
y y2
第20页/共50页
令
(
x
x
)(
y
y
)
xy
1 n
x
y
相关系数r的取值范围：-1≤r≤1
r>0 为正相关，r < 0 为负相关； |r|=0 表示不存在线性关系； |r|＝1 表示完全线性相关；
0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：
|r| < 0.3 为微弱相关(基本无关)；
0.3≤ |r| ＜0.5为低度相关； 0.5≤ |r| ＜0.8为显著相关(中度相关) ； 0.8≤ |r| ＜1.0第为22页高/共5度0页 相关(强相关) 。
0.7961
a y bx 625 0.7961 916 6.5142
16
16
即线性回归方程为：
yˆ 6.5142 0.7961x
计算结果表明，在其他条件不变时，能源消耗 量每增加一个单位（十万吨），工业总产值将 增加0.7961个单位（亿元）。
定量分析
在定性分析的基础上，通过编制相 关表、绘制相关图、计算相关系数
等方法，来判断现象之间相关的方 向、形态及密切程度。
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相关表和相关图
将现象之间的相互关系，用
相关表
表格的形式来反映。
简单 相关表
适用于所观察的样本单位数 较少，不需要分组的情况
分组 相关表
第19页/共50页
相关系数 （只研究简单相关系数）
在直线相关的条件下，用以反映两变量间
线性相关密切程度的统计指标，用r表示
r 2xy
x xy y n
x y
2
2
xx n yy n
x xy y (积差法)
x
2
x
y y2
第20页/共50页
令
(
x
x
)(
y
y
)
xy
1 n
x
y
相关系数r的取值范围：-1≤r≤1
r>0 为正相关，r < 0 为负相关； |r|=0 表示不存在线性关系； |r|＝1 表示完全线性相关；
0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：
|r| < 0.3 为微弱相关(基本无关)；
0.3≤ |r| ＜0.5为低度相关； 0.5≤ |r| ＜0.8为显著相关(中度相关) ； 0.8≤ |r| ＜1.0第为22页高/共5度0页 相关(强相关) 。
0.7961
a y bx 625 0.7961 916 6.5142
16
16
即线性回归方程为：
yˆ 6.5142 0.7961x
计算结果表明，在其他条件不变时，能源消耗 量每增加一个单位（十万吨），工业总产值将 增加0.7961个单位（亿元）。
统计学第七章 相关与回归分析
（四）按变量之间的相关程度分为完全相关、不完全相 关和不相关。
二、相关关系的测定
（一）定性分析，相关表，相关图 判断现象间有无相关关系是一个定性认 识问题，单纯依靠数学方法是无法解决的。 因此，进行相关分析必须以定性分析为前 提，这就要求研究人员首先必须根据有关 经济理论，专业知识，实际经验和分析研 究能力等。对被研究现象在性质上作出定 性判断。 相关表是将相关变量的观察资料，按照 其对应关系和一定顺序排列而成的表格。
Se
y
2
a y b xy n2
(7－ 12)
这个公式可以直接利用前面计算回归系 数和相关系数的现成资料。以表7－1的资 料计算如下：
Se y 2 a y b xy n2 56615-30.3 731-28.36 1213 10 2 65.02 8 2.85 (万件）
2
或
y- y R＝ 1－ 2 y y
ˆ 式中，y 为y的多元线性趋势值或回归估计值。
若变量间呈曲线（非直线）相关，则应
计算相关指数来测定变量间相关的密切程度。
ˆ y y y y
2 2
Ryx
( 7－7）
R
ˆ y y
由表7－4资料计算相关系数如下：
r
n xy x y n x x
2 2
n y y
2 2
2
10 1213－15.1 731
2
10 26.25－15.1 10 56615－731 1091.9 1091.9 38.49 31789 6.2 178.3 1091.9 0.988 1105.5
医学统计学(李琳琳)7 相关分析与回归分析-PPT文档资料
关系数用 ρ表示，样本相关系数用r表示。
一、散点图
散点图能直观地看出两变量间的关系，因此研究 两变量的关系应先绘出散点图，而后再确定两者 的量化关系。
图9-1 常见的散点图
相关系数的方向示意图
3.6 肺 活 量 3.4 3.2
(L)
Y
3.0
2.8 2.6 2.4 2.2 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60
第七章
线性回归与相关
统计学的两个主要内容
参数估计和假设检验
指标变量之间关系
t检验
秩和检验
相关分析
回归分析
卡方检验
学习目标
①了解线性回归分析和相关分析的用途。 ②熟悉线性回归分析和相关分析的基本步
骤。
③掌握相关系数和回归系数的定义，简单
相关分析和回归分析的适用条件。
在医药科学研究中常常要分析两个变量间的关系，
如血药浓度和时间、年龄和血压、药片的硬度和
药片的消溶速度等。
一般来说，变量之间的关系可分为确定性和不确
定性两大类。
确定性的关系:两变量间的函数关系
R3 R R2 2 R1 R 1 1
2 2 2 S R 3 . 1 4 1 3 . 1 4 ( c m ) 1 1
2 2 S R 3 . 1 4 1 . 57 . 0 7 ( c m ) 2 2
表7-2 15名健康成人凝血酶浓度与血液凝固时间测定结果
编号 凝血酶浓 度(X) 凝血时间 (Y) 1 1.1 14 2 1.2 13 3 1.0 15 4 0.9 15 5 1.2 13 6 1.1 14 7 0.9 16 8 0.9 15 9 1.0 14 10 0.9 16 11 1.1 15 12 0.9 16 13 1.1 14 14 1.0 15 15 0.8 17
一、散点图
散点图能直观地看出两变量间的关系，因此研究 两变量的关系应先绘出散点图，而后再确定两者 的量化关系。
图9-1 常见的散点图
相关系数的方向示意图
3.6 肺 活 量 3.4 3.2
(L)
Y
3.0
2.8 2.6 2.4 2.2 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60
第七章
线性回归与相关
统计学的两个主要内容
参数估计和假设检验
指标变量之间关系
t检验
秩和检验
相关分析
回归分析
卡方检验
学习目标
①了解线性回归分析和相关分析的用途。 ②熟悉线性回归分析和相关分析的基本步
骤。
③掌握相关系数和回归系数的定义，简单
相关分析和回归分析的适用条件。
在医药科学研究中常常要分析两个变量间的关系，
如血药浓度和时间、年龄和血压、药片的硬度和
药片的消溶速度等。
一般来说，变量之间的关系可分为确定性和不确
定性两大类。
确定性的关系:两变量间的函数关系
R3 R R2 2 R1 R 1 1
2 2 2 S R 3 . 1 4 1 3 . 1 4 ( c m ) 1 1
2 2 S R 3 . 1 4 1 . 57 . 0 7 ( c m ) 2 2
表7-2 15名健康成人凝血酶浓度与血液凝固时间测定结果
编号 凝血酶浓 度(X) 凝血时间 (Y) 1 1.1 14 2 1.2 13 3 1.0 15 4 0.9 15 5 1.2 13 6 1.1 14 7 0.9 16 8 0.9 15 9 1.0 14 10 0.9 16 11 1.1 15 12 0.9 16 13 1.1 14 14 1.0 15 15 0.8 17
7统计学相关分析与回归分析
n n yi nb0 b1 xi i 1 i 1 n n n x y b x b x2 i i 0 i 1 i i 1 i 1 i 1
n n n n xi yi xi yi i 1 i 1 i 1 b 1 n n 2 2 n xi ( xi ) i 1 i 1 30 b0 y b1 x
回归分析：应用相关关系进行预测。
相关关系的识别
散点图 相关系数
10
相关系数
相关系数是对变量之间关系密切程度的度量。 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简 单相关系数。 若相关系数是根据总体的全部数据计算的， 称为总体相关系数，记为ρ
若是根据样本数据计算的，则称为样本相关
系数，记为 r
8
相关分析的主要内容
确定现象之间有无相关关系，以及相关关系 的表现形态； 确定相关关系的密切程度（相关系数）； 确定相关关系的数字模型，并进行参数估计 和假设检验；
回归预测，并分析估计标准误差。
9
相关与回归
相关与回归紧密联系。 相关分析：
发现变量之间是否存在相关性，
以及相关的强度和相关的方向。
1
n
1
n
10
10
ˆ b0 b1 x 117 9.74 x y
39
7 相关分析与回归分析
相关分析
回归分析
一元线性回归分析
1
相关分析的概念
社会经济现象中，一些现象与另一些现象之间往 往存在着依存关系，当我们用变量来反映这些现 象的的特征时，便表现为变量之间的依存关系。
统计学 第 七 章 相关与回归分析
3. 利用所求的关系式，根据一个或几个变量 的取值来预测或控制另一个特定变量的取 值，并给出这种预测或控制的精确程度
（一）回归分析与相关分析的关系
回归分析与相关分析是研究现象 之间相互关系的两种基本方法。
区别：
1、相关分析研究两个变量之间相关的 方向和相关的密切程度。但是相关分析不 能指出两变量相互关系的具体形式，也无 法从一个变量的变化来推测另一个变量的 变化关系。
2、按研究变量多少分为单相关和 复相关
单相关即一元相关，亦称简单相 关，是指一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。复相关又称多元 相关，是指一个因变量与两个或两 个以上自变量之间的复杂依存关系。
3、按相关形式分为线性相关和非 线性相关
从相关图上观察：观察的样本点的 分布近似表现为直线形式，即观察点近 似地分布于一直线的两边，则称此种相 关为直线相关或线性相关。如果这些样 本点近似地表现为一条曲线，则称这种 相关为曲线相关或非线性相关(curved relationship).
不确定性的统计关系 —相关关系
Y= f（X）+ε (ε为随机变量)
在这种关系中，变量之间的关系值 是随机的，当一个（或几个）变量的值 确定以后，另一变量的值虽然与它（们） 有关，但却不能完全确定。然而，它们
之间又遵循一定的统计规律。
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)
之间的关系
▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)
▲相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。
▲相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。
例题1: 经验表明：商场利润额与 其销售额之间存在相关关系。下表为 某市12家百货公司的销售额与利润额 统计表，试计算其相关系数。
（一）回归分析与相关分析的关系
回归分析与相关分析是研究现象 之间相互关系的两种基本方法。
区别：
1、相关分析研究两个变量之间相关的 方向和相关的密切程度。但是相关分析不 能指出两变量相互关系的具体形式，也无 法从一个变量的变化来推测另一个变量的 变化关系。
2、按研究变量多少分为单相关和 复相关
单相关即一元相关，亦称简单相 关，是指一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。复相关又称多元 相关，是指一个因变量与两个或两 个以上自变量之间的复杂依存关系。
3、按相关形式分为线性相关和非 线性相关
从相关图上观察：观察的样本点的 分布近似表现为直线形式，即观察点近 似地分布于一直线的两边，则称此种相 关为直线相关或线性相关。如果这些样 本点近似地表现为一条曲线，则称这种 相关为曲线相关或非线性相关(curved relationship).
不确定性的统计关系 —相关关系
Y= f（X）+ε (ε为随机变量)
在这种关系中，变量之间的关系值 是随机的，当一个（或几个）变量的值 确定以后，另一变量的值虽然与它（们） 有关，但却不能完全确定。然而，它们
之间又遵循一定的统计规律。
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)
之间的关系
▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)
▲相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。
▲相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。
例题1: 经验表明：商场利润额与 其销售额之间存在相关关系。下表为 某市12家百货公司的销售额与利润额 统计表，试计算其相关系数。
统计学第7章 相关与回归分析 (2)
完成量（小时）
20 50 20 30 50 20 50 40 20 80 40 20 50 80 30 单位成本（元/小时） 16 16 18 16 15 18 15 14 16 14 15 16 14 15 15
完成量（小时）
整理后有
20 20 20 20 20 20 20 20 20 30 30 30 30 30 40 单位成本（元/小时） 15 16 16 16 16 18 18 18 18 15 15 15 16 16 14
rXY
样本相关系数
通过X和Y的样本观测值去估计样本相关系 数变量X和Y的样本相关系数通常用 r 表示
r
rXY
( x x )( y y ) (x x) ( y y)
2
2
特点：样本相关系数是根据从总体中抽取的随机样 本的观测值计算出来的，是对总体相关系数 的估计，它是个随机变量。
例：为了研究分析某种劳务产品完成量与其单位 产品成本之间的关系，调查30个同类服务公司得到的 原始数据如表。 相关表：将自变量x的数值按照从小到大的顺序，并 配合因变量y的数值一一对应而平行排列的表。
20 30 20 20 40 30 40 80 80 50 40 30 20 80 50 单位成本（元/小时） 18 16 16 15 16 15 15 14 14 15 15 16 18 14 14
根据相关关系的方向划分
1、正相关。指两个因素（或变量）之间的变化方向 一致，都是呈增长或下降的趋势。即自变量x的值 增加（或减少），因变量y的值也相应地增加（或 减少），这样的关系就是正相关。例如，工业总 产值增加，企业税利总额也随之增加；家庭消费 支出随收入增加而增加等。 2、负相关。指两个因素或变量之间变化方向相反， 即自变量的数值增大（或减小），因变量随之减 小（或增大）。 如劳动生产率提高，产品成本降 低；产品成本降低，企业利润增加等。
20 50 20 30 50 20 50 40 20 80 40 20 50 80 30 单位成本（元/小时） 16 16 18 16 15 18 15 14 16 14 15 16 14 15 15
完成量（小时）
整理后有
20 20 20 20 20 20 20 20 20 30 30 30 30 30 40 单位成本（元/小时） 15 16 16 16 16 18 18 18 18 15 15 15 16 16 14
rXY
样本相关系数
通过X和Y的样本观测值去估计样本相关系 数变量X和Y的样本相关系数通常用 r 表示
r
rXY
( x x )( y y ) (x x) ( y y)
2
2
特点：样本相关系数是根据从总体中抽取的随机样 本的观测值计算出来的，是对总体相关系数 的估计，它是个随机变量。
例：为了研究分析某种劳务产品完成量与其单位 产品成本之间的关系，调查30个同类服务公司得到的 原始数据如表。 相关表：将自变量x的数值按照从小到大的顺序，并 配合因变量y的数值一一对应而平行排列的表。
20 30 20 20 40 30 40 80 80 50 40 30 20 80 50 单位成本（元/小时） 18 16 16 15 16 15 15 14 14 15 15 16 18 14 14
根据相关关系的方向划分
1、正相关。指两个因素（或变量）之间的变化方向 一致，都是呈增长或下降的趋势。即自变量x的值 增加（或减少），因变量y的值也相应地增加（或 减少），这样的关系就是正相关。例如，工业总 产值增加，企业税利总额也随之增加；家庭消费 支出随收入增加而增加等。 2、负相关。指两个因素或变量之间变化方向相反， 即自变量的数值增大（或减小），因变量随之减 小（或增大）。 如劳动生产率提高，产品成本降 低；产品成本降低，企业利润增加等。
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11 13092 637 202
r 0 . 9459 2 2 ( 11 41487 637 ) ( 11 4182 202 )
可见，广告费与销售收入间存在高度的相关关系。
第一节 相关分析
4. 样本相关系数(Pearson)显著异于0的T检验
在二维总体(X,Y)服从正态分布的前提下，Fisher给出了 检验简单相关系数(Pearson)显著异于0的 t 统计量如下：
第二步，计算检验的统计量
rn 2 0 . 945 11 2 t 8 . 746 2 2 1 r 1 0 . 945 第三步，统计决策。从下式中可以看出，相关系数显著。
t 8 . 746 t ( n 2 ) 2 . 262 / 2
第一节 相关分析
5. 剔除了一个变量Z的影响后，X、Y的偏相关系数
样本回归函数
ˆ 0 称为截距项，ˆ 1 称为趋势项，e i 是残差项。
ˆ ˆ ˆ Y X ( i 1 , 2 , , n ) i 0 1i
第二节 一元线性回归分析
样本回归函数是对总体回归函数的近似反映。回归分析 的主要任务就是采用适当的方法，充分利用样本提供的信息， 使得样本回归 函数尽可能地接近 于真实的总体回归 函数。
2 2 ( X ) 。 X 41487 , 405769
11 13092 637 202 15338 ˆ 从而有 0 . 3032 1 11 41487 405769 50588 202 637 ˆ 0 . 3032 0 . 8056 0 11 11 因此，样本回归方程为
销 售 收 入 （ 百 万 元 ） 35 30 25 20 15 10 30 40 50 60 70 80 90 100 广告费（万元）
第一节 相关分析
3. 相关系数及其计算方法
(1) 相关系数的定义
(2) 变量x与变量y之间的相关关系，可用数量指标来表示。 通常以字母
表示总体的相关系数，以 r 表示样本的相关
（1）建立二乘函数： n 2 n 2 min Q ( ,1 ) e ( Y X ) 0 i i 0 1 i
n
i 1
i 1
（2）基于极值定理对二乘函数求偏导数
2 [ ( Y X i 0 1 i) ] Q ( , ) 0 1 1 i 0 0 0
第二，考虑随机变量 u 的方差
i
u i 的方差可用残差值 e i 来表示：
ˆ S
2 u 2 e
e
2 i
2 2 S e2 是 u2 的无偏估计量，即 E (S ) e u 因此，ˆ 与 ˆ 的标准差估计值分别为：
0
1
n2
ˆ S ˆ ˆ
0 0
n ( n 2 ) x
第二节 一元线性回归分析
2. 一元线性回归模型与回归函数
总体回归模型
Y X u 0 1 i,
0 和 1 是未知参数，又叫回归系数；u i 是随机误差项。
总体回归函数 Y X i 0 1 i
3. 样本模型与样本函数 ˆ ˆX 样本回归模型 Y e i 0 1 i i
( X X )( Y Y ) ( X X )( Y Y )
i i 2 i i
系数。定义如下：
Cov (X ,Y ) , r Var (X ) Var ( Y )
2
式中， Cov (X ,Y ) 是变量X与变量Y的协方差。
第一节 相关分析
3. 相关系数及其计算方法
(2) 相关系数的特点
a. r的取值介于-1到1之间； b. 当r=0时，X与Y的样本观测值之间没有线性关系； c. 在大多数情况下， 0 r 1 。r>0，说明X与Y正相 关；r<0，说明X与Y负相关。r值越接近1，X与Y的 相关程度越高。 微弱相关：
0 r 0.3
低度相关： 0 .3 r 0 .5 显著相关： 0 .5 r 0 .8 高度相关： 0.8 r 1
偏相关系数显著异于0的 t 统计量如下：
t
r nk 2 1 r
2
，服从
t( n k 2 ) 分布
式中，n 是样本容量，k是剔除了的变量数，r 是偏相关 系数。
第二节 一元线性回归分析
1. 相关分析与回归分析的关系
(1) 相关分析通过计算相关系数来确定两个变量之间的 相关方向和密切程度，回归分析则是选择一个合适的数学 模型，对具有相关关系的两个或多个变量之间的具体数量 关系进行测定，以实现对因变量的估计或预测。 (2) 相关分析无需考虑变量作用顺序，回归分析则要考虑； (3)相关分析将变量都视为随机变量，回归分析则只将因 变量视为随机变量，自变量被认为是非随机的。
第七章 相关分析与回归分析
第一节：相关分析 第二节：一元线性回归分析 第三节：多元线性回归分析*
第一节 相关分析
1. 相关关系的种类
(1) 按相关程度划分 完全相关： Y的变化完全由X的变化确定； 不相关： Y与X不相互影响，各自独立变化； 不完全相关：Y与X之间有一定程度的相互影响。 (2) 按相关方向划分 正相关： 负相关： X与Y同时变大或变小； X变大，Y变小 或 X变小，Y变大。
i
2 t
e X 0 ，所以，自由度为 n-2 。 e 0 、
n2
S2 还可化简为：
S Y
2 ˆ ( Y Y ) i i
n 2
e Leabharlann 2 in 2第二节 一元线性回归分析
5. 回归参数的区间估计 第一，考虑 ˆ 0 、ˆ 1 的概率分布 由于 u i 服从正态分布，Y i 也服从正态分布。 ˆ 0 、ˆ 1 都是 Y i 的线性组合，因而也服从正态分布。
i i i i 2 i 2 i i i i i 0 i i 2 i 2 i 2 i
Y XY n XY X Y n X ( X) n X X X n X i
i i i i 2 i i i i i 1 2 i 2 i i
第二节 一元线性回归分析
2 [ ( Y X i 0 1 i) ] Q ( , ) 0 1 1 i 0 1 1
n
( Y X ) 0 i 0 1 i ( Y X ) X 0 i 0 1 i i
第一节 相关分析
2. 相关表和相关图
(1) 相关表
将某一变量按其数值的大小顺序排列，然后再将与 其相关的另一变量的对应值平行排列，便可得到相关表。
第一节 相关分析
2. 相关表和相关图
(2) 相关图
相关图又称散点图，是以直角坐标系的横轴代表变量x， 纵轴代表变量y，将两个变量相对应的成对数据用坐标点的 形式描绘出来，用于反映两变量之间的相关关系的图形。
1 r 式子中，n是样本容量，r是简单相关系数(Pearson)。
2
t
r n2
, 服从 t(n2 )分布
设定假设： H0: r=0, H1: r≠0 这是一个双尾检验问题。
第一节 相关分析
4. 样本相关系数(Pearson)显著异于0的T检验
【例7-3】根据表7-3资料计算的相关系数，检验该公司广告费 和年销售收入之间的相关系数是否显著(设定显著水平α=0.05)? 解：第一步，提出假设： H0: 0; H1: 0
ˆ ˆ ˆ Y X 0 . 8056 0 . 3032 X 0 1
第二节 一元线性回归分析
5. 如何利用样本残差估计总体方差
参数，那就是总体随机误差项的方差 2。
除了 0 和 1 外，一元线性回归模型中还包括另一个未知
在数学上已证明： ˆ
因约束条件
i
2
S
2
e
第一节 相关分析
3. 相关系数及其计算方法
(3) 相关系数的计算
具体计算相关系数时，通常利用以下公式：
r 2 2 2 2 [ n X ( X ) ][ n Y ( Y ) ] i i i i n X Y X Y i i i i
【例7-2】基于表7-1中的数据，求广告费与年销售收入间的 相关系数。
特例 Y X u i i i
XY X
2 i
i i
第二节 一元线性回归分析
4. 模型参数的点估计：最小二乘法OLS
【例7-4】我们利用例7-1的表7-3的数据计算该公司广告费对
年销售收入的回归方程（直线）。 解： 第一，观察原始数据的散点图；
销 售 收 入 （ 百 万 元 ） 35 30 25 20 15 10 30 40 50 60 70 80 90 100 广告费（万元）
化简后可得
第二节 一元线性回归分析
4. 模型参数的点估计：最小二乘法OLS n X Y 0 1 i i X X X Y
0 i 1 2 i ii
应用克莱姆法则解之得
Y X XY X X Y X XY n X ( X) n X X X
(3) 按相关形式划分
线性相关： Y与X的关系呈现出线性关系； 非线性相关：Y与X的关系呈现出非线性关系。
第一节 相关分析
1. 相关关系的种类
(4) 按变量多少划分
单相关： 指两个变量间的相关关系；
复相关： 指三个以上变量间的相关关系； 偏相关： 指多个变量情形下，固定其他变量，只考 虑其中两个变量间的相关关系。 (5) 按相关性质划分 真实相关： 两个变量确实存在内在的相关关系； 虚假相关： 两个变量只是表现为数量上相关，并不 存在内在的联系。
r 0 . 9459 2 2 ( 11 41487 637 ) ( 11 4182 202 )
可见，广告费与销售收入间存在高度的相关关系。
第一节 相关分析
4. 样本相关系数(Pearson)显著异于0的T检验
在二维总体(X,Y)服从正态分布的前提下，Fisher给出了 检验简单相关系数(Pearson)显著异于0的 t 统计量如下：
第二步，计算检验的统计量
rn 2 0 . 945 11 2 t 8 . 746 2 2 1 r 1 0 . 945 第三步，统计决策。从下式中可以看出，相关系数显著。
t 8 . 746 t ( n 2 ) 2 . 262 / 2
第一节 相关分析
5. 剔除了一个变量Z的影响后，X、Y的偏相关系数
样本回归函数
ˆ 0 称为截距项，ˆ 1 称为趋势项，e i 是残差项。
ˆ ˆ ˆ Y X ( i 1 , 2 , , n ) i 0 1i
第二节 一元线性回归分析
样本回归函数是对总体回归函数的近似反映。回归分析 的主要任务就是采用适当的方法，充分利用样本提供的信息， 使得样本回归 函数尽可能地接近 于真实的总体回归 函数。
2 2 ( X ) 。 X 41487 , 405769
11 13092 637 202 15338 ˆ 从而有 0 . 3032 1 11 41487 405769 50588 202 637 ˆ 0 . 3032 0 . 8056 0 11 11 因此，样本回归方程为
销 售 收 入 （ 百 万 元 ） 35 30 25 20 15 10 30 40 50 60 70 80 90 100 广告费（万元）
第一节 相关分析
3. 相关系数及其计算方法
(1) 相关系数的定义
(2) 变量x与变量y之间的相关关系，可用数量指标来表示。 通常以字母
表示总体的相关系数，以 r 表示样本的相关
（1）建立二乘函数： n 2 n 2 min Q ( ,1 ) e ( Y X ) 0 i i 0 1 i
n
i 1
i 1
（2）基于极值定理对二乘函数求偏导数
2 [ ( Y X i 0 1 i) ] Q ( , ) 0 1 1 i 0 0 0
第二，考虑随机变量 u 的方差
i
u i 的方差可用残差值 e i 来表示：
ˆ S
2 u 2 e
e
2 i
2 2 S e2 是 u2 的无偏估计量，即 E (S ) e u 因此，ˆ 与 ˆ 的标准差估计值分别为：
0
1
n2
ˆ S ˆ ˆ
0 0
n ( n 2 ) x
第二节 一元线性回归分析
2. 一元线性回归模型与回归函数
总体回归模型
Y X u 0 1 i,
0 和 1 是未知参数，又叫回归系数；u i 是随机误差项。
总体回归函数 Y X i 0 1 i
3. 样本模型与样本函数 ˆ ˆX 样本回归模型 Y e i 0 1 i i
( X X )( Y Y ) ( X X )( Y Y )
i i 2 i i
系数。定义如下：
Cov (X ,Y ) , r Var (X ) Var ( Y )
2
式中， Cov (X ,Y ) 是变量X与变量Y的协方差。
第一节 相关分析
3. 相关系数及其计算方法
(2) 相关系数的特点
a. r的取值介于-1到1之间； b. 当r=0时，X与Y的样本观测值之间没有线性关系； c. 在大多数情况下， 0 r 1 。r>0，说明X与Y正相 关；r<0，说明X与Y负相关。r值越接近1，X与Y的 相关程度越高。 微弱相关：
0 r 0.3
低度相关： 0 .3 r 0 .5 显著相关： 0 .5 r 0 .8 高度相关： 0.8 r 1
偏相关系数显著异于0的 t 统计量如下：
t
r nk 2 1 r
2
，服从
t( n k 2 ) 分布
式中，n 是样本容量，k是剔除了的变量数，r 是偏相关 系数。
第二节 一元线性回归分析
1. 相关分析与回归分析的关系
(1) 相关分析通过计算相关系数来确定两个变量之间的 相关方向和密切程度，回归分析则是选择一个合适的数学 模型，对具有相关关系的两个或多个变量之间的具体数量 关系进行测定，以实现对因变量的估计或预测。 (2) 相关分析无需考虑变量作用顺序，回归分析则要考虑； (3)相关分析将变量都视为随机变量，回归分析则只将因 变量视为随机变量，自变量被认为是非随机的。
第七章 相关分析与回归分析
第一节：相关分析 第二节：一元线性回归分析 第三节：多元线性回归分析*
第一节 相关分析
1. 相关关系的种类
(1) 按相关程度划分 完全相关： Y的变化完全由X的变化确定； 不相关： Y与X不相互影响，各自独立变化； 不完全相关：Y与X之间有一定程度的相互影响。 (2) 按相关方向划分 正相关： 负相关： X与Y同时变大或变小； X变大，Y变小 或 X变小，Y变大。
i
2 t
e X 0 ，所以，自由度为 n-2 。 e 0 、
n2
S2 还可化简为：
S Y
2 ˆ ( Y Y ) i i
n 2
e Leabharlann 2 in 2第二节 一元线性回归分析
5. 回归参数的区间估计 第一，考虑 ˆ 0 、ˆ 1 的概率分布 由于 u i 服从正态分布，Y i 也服从正态分布。 ˆ 0 、ˆ 1 都是 Y i 的线性组合，因而也服从正态分布。
i i i i 2 i 2 i i i i i 0 i i 2 i 2 i 2 i
Y XY n XY X Y n X ( X) n X X X n X i
i i i i 2 i i i i i 1 2 i 2 i i
第二节 一元线性回归分析
2 [ ( Y X i 0 1 i) ] Q ( , ) 0 1 1 i 0 1 1
n
( Y X ) 0 i 0 1 i ( Y X ) X 0 i 0 1 i i
第一节 相关分析
2. 相关表和相关图
(1) 相关表
将某一变量按其数值的大小顺序排列，然后再将与 其相关的另一变量的对应值平行排列，便可得到相关表。
第一节 相关分析
2. 相关表和相关图
(2) 相关图
相关图又称散点图，是以直角坐标系的横轴代表变量x， 纵轴代表变量y，将两个变量相对应的成对数据用坐标点的 形式描绘出来，用于反映两变量之间的相关关系的图形。
1 r 式子中，n是样本容量，r是简单相关系数(Pearson)。
2
t
r n2
, 服从 t(n2 )分布
设定假设： H0: r=0, H1: r≠0 这是一个双尾检验问题。
第一节 相关分析
4. 样本相关系数(Pearson)显著异于0的T检验
【例7-3】根据表7-3资料计算的相关系数，检验该公司广告费 和年销售收入之间的相关系数是否显著(设定显著水平α=0.05)? 解：第一步，提出假设： H0: 0; H1: 0
ˆ ˆ ˆ Y X 0 . 8056 0 . 3032 X 0 1
第二节 一元线性回归分析
5. 如何利用样本残差估计总体方差
参数，那就是总体随机误差项的方差 2。
除了 0 和 1 外，一元线性回归模型中还包括另一个未知
在数学上已证明： ˆ
因约束条件
i
2
S
2
e
第一节 相关分析
3. 相关系数及其计算方法
(3) 相关系数的计算
具体计算相关系数时，通常利用以下公式：
r 2 2 2 2 [ n X ( X ) ][ n Y ( Y ) ] i i i i n X Y X Y i i i i
【例7-2】基于表7-1中的数据，求广告费与年销售收入间的 相关系数。
特例 Y X u i i i
XY X
2 i
i i
第二节 一元线性回归分析
4. 模型参数的点估计：最小二乘法OLS
【例7-4】我们利用例7-1的表7-3的数据计算该公司广告费对
年销售收入的回归方程（直线）。 解： 第一，观察原始数据的散点图；
销 售 收 入 （ 百 万 元 ） 35 30 25 20 15 10 30 40 50 60 70 80 90 100 广告费（万元）
化简后可得
第二节 一元线性回归分析
4. 模型参数的点估计：最小二乘法OLS n X Y 0 1 i i X X X Y
0 i 1 2 i ii
应用克莱姆法则解之得
Y X XY X X Y X XY n X ( X) n X X X
(3) 按相关形式划分
线性相关： Y与X的关系呈现出线性关系； 非线性相关：Y与X的关系呈现出非线性关系。
第一节 相关分析
1. 相关关系的种类
(4) 按变量多少划分
单相关： 指两个变量间的相关关系；
复相关： 指三个以上变量间的相关关系； 偏相关： 指多个变量情形下，固定其他变量，只考 虑其中两个变量间的相关关系。 (5) 按相关性质划分 真实相关： 两个变量确实存在内在的相关关系； 虚假相关： 两个变量只是表现为数量上相关，并不 存在内在的联系。