3-2古典概型6

10 1 P ( A) = = 40 4
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概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
设有n个人 每个人都等可能地被分配到N个房间的任意 个人， 例2 设有 个人，每个人都等可能地被分配到 个房间的任意 一间去住（ ），求下列事件的概率 一间去住（n≤N），求下列事件的概率． ），求下列事件的概率． 个房间各住1人 （1）指定的 个房间各住 人； ）指定的n个房间各住 （2）恰好有n个房间，其中各住1人 ）恰好有 个房间，其中各住 人 个房间 因为每一个人有N个房间可供选择 所以n个人住在 个房间可供选择， 个人住在N个房 解 因为每一个人有 个房间可供选择，所以 个人住在 个房 间的方式共有N 它们是等可能的． 间的方式共有 n种，它们是等可能的． 个房间各住1人 其可能总数为n的全排列 的全排列n!， （1）指定的 个房间各住 人，其可能总数为 的全排列 ，于 ）指定的n个房间各住 是，所求概率为 n!
8 5 4 P ( A) = , P ( B ) = , P ( AB ) = 9 9 9
因此
n
n
n
P( AB) = 1 − P( AB) = 1 − P( A ∪ B ) = 1 − P( A) − P( B ) + P( AB ) 8n + 5n − 4 n = 1− 9n
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从一副扑克牌（ 张 不含大小鬼）中任选13张 例5 从一副扑克牌（52张，不含大小鬼）中任选 张，试求 下列事件的概率． 下列事件的概率． A={恰有 张红桃，3张方块 ；B={至少有 张红桃 ； 恰有2张红桃 张方块}； 至少有2张红桃 恰有 张红桃， 张方块 至少有 张红桃}； C={缺红桃但不缺方块 ． 缺红桃但不缺方块}． 缺红桃但不缺方块 2 3 8 13 解 P ( A) = C13 C13 C 26 / C 52 为计算P（ ），我们记B 恰有 张红桃” ），我们记 恰有k张红桃 为计算 （B），我们记 k=“恰有 张红桃”，k=0,1,2,…,13, B 则B=2 ∪ B3 ∪ L ∪ B13 ， 且 i B j = ∅ (i ≠ j ) ，于是 B
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主讲人：程述汉 苏本堂
本书随机分给甲、 例7 n本书随机分给甲、乙二人，问事件 本书随机分给甲 乙二人，问事件A=“甲、乙各至 甲 少得到1本书 的概率是多少？ 本书” 少得到 本书”的概率是多少？ n本书随机地分给 人,甲得到的本数无非是 本书随机地分给2人 甲得到的本数无非是 甲得到的本数无非是0,1,…,n，一共 本书随机地分给 ， 种可能性， 两种是“ 有n+1种可能性，其中 和n两种是“全归一人”，剩下 种 种可能性 其中0和 两种是 全归一人” 剩下n-1种 有利于A， 有利于 ，故 P ( A) = ( n − 1) /(n + 1) 这个解法是否对？不对! 问题在于这 这个解法是否对？不对 问题在于这n+1种结果不具有等可能 种结果不具有等可能 凭常识可以推想， 较大， 性．凭常识可以推想，若n较大，则甲得本左右的机会，应比他 较大 则甲得本左右的机会， 全得或全不得的机会大一些．正确的解法如下： 全得或全不得的机会大一些．正确的解法如下： n本书分给 人，每本书有 种分法，由乘法原理不同的分法有 本书分给2人 每本书有2种分法 种分法， 本书分给 2n种．其中只有 种是使事件 不发生的，故 其中只有2种是使事件 不发生的， 种是使事件A不发生的
9! 1 P ( Ak ) = = ， k=1,2,…,10． 10! 10 这就从理论上证明了抽签（抓阄）的合理性， 这就从理论上证明了抽签（抓阄）的合理性，其结果与我们 的生活经验一致．一般地，如果个阄中有个是有物之阄，由个 的生活经验一致．一般地，如果个阄中有个是有物之阄， 1 人去抓， 人去抓，则每个人抓到有物之阄的概率都是 Cm (n − 1)! m = n! n
k 13 13 P( B) = Σ P( Bk ) = ( Σ C13C39 − k ) / C52 13 13
13 1 12 C 39 + C13 C 39 若利用 B = B0 ∪ B1 ，及 P ( B ) = ，即得 13 C 52 13 1 12 C 39 + C13 C 39 P( B) = 1 − 13 C 52 13 13 C 39 C 26 P(C)=P(缺红桃 缺红桃)-P(既缺方块又缺红桃 既缺方块又缺红桃)= 13 − 13 缺红桃 既缺方块又缺红桃 C 52 C 52
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主讲人：程述汉 苏本堂
从数字1, 中任取1个 重复取n次 例4 从数字 2, ，9中任取 个，重复取 次，求n次所取数字 中任取 次所取数字 的乘积能被10整除的概率 整除的概率． 的乘积能被 整除的概率． 乘积要能被10整除必须既取到数字 整除必须既取到数字5，又取到偶数． 解 乘积要能被 整除必须既取到数字 ，又取到偶数．记 A={取到数字 ，B={取到偶数 ，欲求概率 取到数字5}， 取到偶数}， 取到数字 取到偶数 欲求概率P(AB)．不难看出， ．不难看出， 取不到5的概率 的概率P( ，取不到偶数的概率P( ，以及5和偶数都 取不到 的概率A )，取不到偶数的概率 B )，以及 和偶数都 取不到的概率P( 是容易求得的： 取不到的概率 A B )是容易求得的： 是容易求得的
k n n P(A)= C M C N− kM / C N −
摸球模型是概率论与数理统计中常用的模型， 摸球模型是概率论与数理统计中常用的模型，许多实际问 题都可用它来描述，例如， 就可以把黑球解释为次品， 题都可用它来描述，例如，例3就可以把黑球解释为次品，白 就可以把黑球解释为次品 球为合格品，欲求的是“抽查n个产品 查到k个次品 个产品， 个次品” 球为合格品，欲求的是“抽查 个产品，查到 个次品”的概 经常使用摸球模型也正是由于这些原因． 率，经常使用摸球模型也正是由于这些原因．
k =2
k =2
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主讲人：程述汉 苏本堂
袋中有9只黑球 只黑球， 只白球 它们除颜色不同外， 只白球， 例6 袋中有 只黑球，1只白球，它们除颜色不同外，其它方 面没有差别，现随机地将球一只只摸出来， 面没有差别，现随机地将球一只只摸出来，求Ak={第k次摸出白 第 次摸出白 的概率（ 球}的概率（k=1,2,…,10）． 的概率 ）． 个球逐个摸出， 个球被摸出的先后次序不同， 解 将10个球逐个摸出，若这 个球被摸出的先后次序不同， 个球逐个摸出 若这10个球被摸出的先后次序不同 则认为结果不同，其结果总数为10！， ！，且每个结果等可能出 则认为结果不同，其结果总数为 ！，且每个结果等可能出 发生，必须将白球留在第k次摸出 其余9次则 次摸出， 现．而要使Ak发生，必须将白球留在第 次摸出，其余 次则 只能去摸9个黑球，因此， Ak的有利场合数为 ！，所以 ！，所以 只能去摸 个黑球，因此， 的有利场合数为9！， 个黑球
Nn
P2 =
Nn
这个例子常称为“分房问题” 这个例子常称为“分房问题”．
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一个袋中装有N个球 其中M个是黑球 其余是白球， 个球， 个是黑球， 例3 一个袋中装有 个球，其中 个是黑球，其余是白球， 从袋中任取n个球 求取到k（ 个球， 从袋中任取 个球，求取到 （≤min(n, M)）个黑球的概率． ）个黑球的概率．
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主讲人：程述汉 苏本堂
古典概率的计算，实质上就是组合计算． 古典概率的计算，实质上就是组合计算．但在 分析问题时怎样去选定一个适当的实现随机化的 机制，怎样去正确计算公式 中的n和 ， 机制，怎样去正确计算公式(1.6)中的 和k，以保 中的 证既不重算也不漏算，则需要细心．尤其是： 证既不重算也不漏算，则需要细心．尤其是： (1)你所设想的机制是否真的实现了等可能性？ 你所设想的机制是否真的实现了等可能性？ 你所设想的机制是否真的实现了等可能性 (2)你在计算 和k时是否采用了相同的尺度，会 你在计算n和 时是否采用了相同的尺度 时是否采用了相同的尺度， 你在计算 不会因其中一个使用了排列的观点， 不会因其中一个使用了排列的观点，另一个使用 了组合的观点而导致计算错误？ 了组合的观点而导致计算错误？
k 事件A中包含的基本事件数 P( A) = = n Ω中的基本事件总数
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古典概型
4. 古典概型的概率计算举例 例1 设有编号为1,2,…,40的四十张考签，一学生任意抽一张 设有编号为 的四十张考签， 的四十张考签 进行考试， 抽到前10号考签 这一事件的概率． 号考签” 进行考试，求“抽到前 号考签”这一事件的概率． ＝｛抽到前 号考签｝．显然， 解 记A＝｛抽到前 号考签｝．显然，学生抽到任一考签的 ＝｛抽到前10号考签｝．显然 可能性是一样的，这是一个古典概型，基本事件总数n=40，A中 可能性是一样的，这是一个古典概型，基本事件总数 ， 中 所含的基本事件数k=10，故所求概率为 所含的基本事件数 ，
P1 =
n 个房间可以在N个房间中任意选取 （2）n个房间可以在 个房间中任意选Байду номын сангаас，其选法总数有 C N 种， ） 个房间可以在 个房间中任意选取， 对每一选定的n个房间 个房间， 种分配方式， 对每一选定的 个房间，按（1）的讨论可知又有 种分配方式， ）的讨论可知又有n!种分配方式 n 所以恰有n个房间其中各住 个房间其中各住1人的住法数为 所以恰有 个房间其中各住 人的住法数为 ⋅ 故所求概率 C N，n! n 为 CN ⋅ n !
n 个球中取n个 解 从N个球中取 个，样本点数是 C N ，我们关心的只是黑球 个球中取 和白球的个数，不存在球的排列问题，故而用组合数， 和白球的个数，不存在球的排列问题，故而用组合数，这样取 样本点是能保证等可能的．设A表示取到 个黑球这一事件，注 样本点是能保证等可能的． 表示取到k个黑球这一事件， 表示取到 个黑球这一事件 意到在取出k个黑球的同时也取出了 个白球， 个黑球的同时也取出了n-k个白球 意到在取出 个黑球的同时也取出了 个白球，它们是分别从 M个黑球与 个黑球与N-M个白球中取出的，因此，A中的基本事件数 个白球中取出的， 个黑球与 个白球中取出的 因此， 中的基本事件数 k n 为 C M C N− kM ，所以 −