沪教版高中二年级数学第一学期三阶行列式
沪教版高中二年级第一学期数学：三阶行列式_课件1
x y z 1
2x 2 y 2z 3
x 2 y z 2
D 0, Dx 0
无解
x y z 1 x 2 y z 3 2x 3y 2z 4
D 0, Dx Dy Dz 0
有无穷多解
三元一次方程组：
0 11
Da 3 2 1 40 28 3 1
111 D 4 2 1 20
9 3 1
101 Db 4 3 1 60
9 28 1
11 0 Dc 4 2 3 20
9 3 28
a 2,b 3,c 1
2当D 0时，方程组无解，或者 有无穷多解
a1 d1 c1 Dy a2 d2 c2
a1 b1 d1 Dz a2 b2 d2
a3 d3 c3
a3 b3 d3
D D
x y
Dx Dy
D z Dz
1当D 0时，方程组有唯一解
x
Dx D
y
Dy D
z
Dz D
例、用行列式解三元一次方程组：
Dx D
1
5 15 2
y
Dy D
2
z
Dz D
3
例、已知二次函数f (x) ax2 bx c满足 f (1) 0, f (2) 3, f (3) 28,求a、b、c
a b c 0 解：4a 2b c 3
9a 3b c 28
2
y
有唯一解，则该解为__z__
沪教版高二年级第一学期领航者第九章9.4三阶行列式(3)
沪教版高二年级第一学期领航者第九章9.4三阶行列式（3）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．计算222111234234=________. 2．0cos cos cos 0cos cos cos 0αβαγβγ---=________. 3．方程组21,437,24100x y z x y z x y z +-=⎧⎪--=⎨⎪-+-+=⎩的解向量()xy z =________.4．若行列式4513789xx 中，114a =的代数余子式大于0，则x 满足的条件是_______. 5．方程组2232021ax z x y z x az +=-⎧⎪++=⎨⎪+=⎩有唯一解，则a 应满足的条件是________.二、单选题6．行列式713250121-的值是（ ） A ．17B ．30C ．34D ．437．在行列式111222333a b c a b c a b c 中，i A ，i B ，i C 是i a ，i b ，()1,2,3i c i =的代数余子式，则下列选项不正确的是（ ） A ．2323230a A b B c C ++= B ．1122330b A b A b A ++= C ．1122330c A c B c A ++=D ．1111110a A b B c C ++=8．()7nn a n *=∈N ，则方程组1234010a x a y a x a y +=⎧⎨++=⎩解的情况是（ ）A ．唯一解B ．无解C ．无穷多解D ．两解三、解答题9．解关于x 的方程：2124152501xx =. 10．用行列式解方程组252,23,24 1.x y z y z x y z ++=-⎧⎪--=⎨⎪++=-⎩11．讨论关于x ，y ，z 的方程组2112x y z x y az x ay a z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解的情况.12．已知0a bc ca b bca=，且a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，试判断ABC ∆的形状，并证明之.参考答案1．2 【解析】 【分析】利用对角线法则计算行列式的值. 【详解】原式22222213414212313212413482802=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅=-=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查行列式的计算，考查基本运算求解能力，求解时要注意对角线法则的顺序. 2．0 【分析】利用对角线法则计算行列式的值. 【详解】原式cos cos cos cos cos cos 0αγβαγβ=⋅⋅-⋅⋅=. 故答案为：0. 【点睛】本题考查行列式的计算，考查基本运算求解能力，求解时要注意对角线法则的顺序. 3．()221-【分析】先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项求得D ，x D ，y D ，z D ，再代入公式求出,,x y z ，从而得到方程组的解向量. 【详解】方程组21,437,24100x y z x y z x y z +-=⎧⎪--=⎨⎪-+-+=⎩可转化为2111432171410x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎥---⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎣⎣-⎦-⎦⎦， 所以21143124132D ----==-，111731462140x D ----==-，211473110464y D ----==--，221147213110z D --=-=， 所以64232x D x D ===，64232y D y D -===-，32132z D z D ===， 所以方程组的解向量()x y z =()221-.故答案为：()221-.【点睛】本题考查利用行列式求解三元一次方程的解，考查三阶行列式的计算． 4．83x >【分析】根据3阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 附以符号(1)i j+-后，叫做元素ij a 的代数余子式，所以11a 的余子式389x 加上11(1)+-即为元素4的代数余子式，让其大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围． 【详解】因为114a =的代数余子式为389x ，所以9240x ->，解得：83x >. 故答案为：83x >. 【点睛】本题考查代数余子式的概念、不等式的求解，考查基本运算求解能力. 5．2a ≠± 【分析】由方程组的系数矩阵行列式不为0，解出a 的值，即得答案. 【详解】方程组可转化为：022*******y a z a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣-⎣⎦⎣⎦⎦，202324210a D a a==-，当02D a ≠⇒≠±时，方程组有唯一解. 故答案为：2a ≠±. 【点睛】本题考查利用行列式研究三元一次方程组有唯一解的条件，考查三阶行列式的计算． 6．C 【分析】利用对角线法则计算行列式的值. 【详解】7132503501215(2)034121-=++----=. 故选：C. 【点睛】本题考查行列式的计算，考查基本运算求解能力，求解时要注意对角线法则的顺序. 7．D 【分析】根据3阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 附以符号(1)i j+-后，叫做元素ij a 的代数余子式，分别求出i A ，i B ，i C ()1,2,3i =，再依次代入选项验证. 【详解】221233233b c A b c b c b c ==-，112133133b c A b c b c b c =-=-+，113122122b c A b c b c b c ==-， 221233233a c B a c a c a c =-=-+，112133133a c B a c a c a c ==-，113122122a c B a c a c a c =-=-+，221233233a b C a b a b a b ==-，112133133a b C a b a b a b =-=-+，113122122a b C a b a b a b ==-，对A ，232323212212122121221()()()0a A b B c C a b c b c b a c a c c a b a b ++=-+-++-=， 故A 正确；对B ，112233123322133131221()()()0b A b A b A b b c b c b b c b c b b c b c ++=-+-++-=， 故B 正确；对C ，112233123322133131221()()()0c A c B c A c b c b c c a c a c c b c b c ++=-+-+-=， 故C 正确；对D ，111111123321233212332()()()0a A b B c C a b c b c b a c a c c a b a b ++=-+-++-≠， 故D 错误； 故选：D. 【点睛】本题考查代数余子式的概念、二阶行列式计算，考查基本运算求解能力. 8．B 【分析】求出,,x y D D D 的值，根据0,0,0x y D D D =≠≠可得方程组无解. 【详解】 因为()7nn a n *=∈N ，所以23412347,7,7,7aa a a ====， 方程组1234010a x a y a x a y +=⎧⎨++=⎩可转化为234077177x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为255347777077D ==-=，224077017x D ==≠-， 3707071y D ==-≠-，所以方程组无解. 故选：B. 【点睛】本题考查用二阶行列式判别方程组解的情况，考查基本运算求解能力.9．2x =或5x = 【分析】利用三阶行列式对角线法则展开得23(710)0x x -+=，再解方程即得答案. 【详解】因为222212415255504202253(710)01x x x x x x xx =++---=-+=， 所以方程的解为：2x =或5x =. 【点睛】本题考查三阶行列式的计算，考查基本运算求解能力.10．1337313x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩【分析】先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项求得D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】方程组可转化为：125202324111x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎦--⎣，1912502241D =-=-， 13922532141x D --=-=-，12503221121y D --==--，1312203241z D ---==-，所以13,37,31.3x y z D x D D y D D z D ⎧==⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩【点睛】本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组的行列式求解，考查运算求解能力．11．当1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎩；当1a =时，无解.【分析】先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】方程组可转化为：2111111121x a a a y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，2211111(1)1a a D a a ==--，21111(1)(2)12x D a a a a a ==---，211111112y D a a a ==-+，111101112z D a ==，（1）当系数行列式||0D ≠时，方程组有唯一解，即1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎩（2）当1a =时，原方程组等价于112x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩所以无解.【点睛】本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性、唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力． 12．等边三角形，证明见解析. 【分析】将行列式0a bc ca b bca=1()101a b a b c c a b c ⇔++⨯=，从而得到1101a b c a b c =，再计算行列式，得到方程后，利用配方法可得a b c ==，即可得到ABC ∆为等边三角形. 【详解】将行列式的前两列加到第三列上，得：1()11a b c a b a b c a b c a b c a a b c a b c ca b cab c a b cb c ++=++=++⨯++． 所以0a bc ca b bca=1()101a b a b c c a b c ⇔++⨯=， 所以2220a b c ab bc ac ++---=，所以2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222()()()0a b b c a c -+-+-=， 所以a b c ==，所以ABC ∆是等边三角形． 【点睛】本题考查行列式变换、三阶行列式计算、三角形形状判断，考查基本运算求解能力.。
三阶行列式的计算方法
三阶行列式的计算方法行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵运算中有着重要的应用。
在行列式中，三阶行列式是最基本的一种，它的计算方法相对简单，但也需要一定的技巧和方法。
接下来，我们将详细介绍三阶行列式的计算方法。
首先，我们来看一个三阶行列式的一般形式：$$。
\begin{vmatrix}。
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\。
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\。
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\。
\end{vmatrix}。
$$。
其中，$a_{ij}$表示行列式中的元素，下标$i$表示行，下标$j$表示列。
要计算这个三阶行列式，我们可以利用“对角线法则”来进行计算。
对角线法则是指，我们可以利用行列式元素的排列顺序，按照对角线的方向进行计算。
具体来说，我们可以按照如下方式进行计算：首先，我们按照主对角线的方向进行计算，即从左上角到右下角的方向。
将主对角线上的元素相乘，然后再将结果与次对角线上的元素相乘，最后将两个结果相减，即可得到三阶行列式的值。
举个例子来说明：$$。
\begin{vmatrix}。
2 & 1 &3 \\。
-1 & 0 & 2 \\。
4 & 3 & -2 \\。
\end{vmatrix}。
$$。
按照对角线法则，我们可以进行如下计算：$2 \times 0 \times (-2) + 1 \times 2 \times 4 + 3 \times (-1) \times 3 3 \times 0 \times4 2 \times 2 \times (-1) (-2) \times 1 \times 3 = -12 + 8 27 0 + 4 + 6 = -27$。
因此，这个三阶行列式的值为$-27$。
除了对角线法则，我们还可以利用“按行（列）展开法”来计算三阶行列式。
三阶行列式PPT优秀课件 沪教版
如果要组成一个三阶行列式,需要几个数 (式)?它们应如何排列?你能模仿二阶行列式 的定义,给出三阶行列式的定义吗?
1、三阶行列式
由 9 个 数 排 成 3 行 3 列 的 方 阵
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
abc i 1 ,2 ,3 叫做行列式的元素 i, i, i
a1 a2 a3
三阶行列式
二阶行列式 由四个数排成二行二列的方阵
主对角线
a1 D a2
b 1 ab ab 1 2 2 1 b2
副对角线
将下列行列式按对角线展开
b2 b3
a2 a3 a2 a3
c2 c3
b2
bc 2 3 bc 3 2
ab 2 3 ab 3 2
b3 c2 ac 2 3 ac 3 2 c3
b1 b3
c1 a2 c 2 b1 c3
a3
c1 c3
b2
a1 a3
c1 c3
a1 b3 a2
c1 b2
3
4
4、余子式与代数余子式
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 abc abc c 2 abc 1 2 3 2 3 1 312
abc abc abc c3 3 2 1 2 1 3 13 2 ,
2、对比、分析以上几个行列式展开式，
你能将三阶行列式
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
表示成含有几个二阶行列式运算的式子 吗？
3、知识解析：
a1 a2 a3 a1 a2 a3
b1 b2 b3 b1 b2 b3
c1 b2 c 2 a1 c3
b3
c2 c3
沪教版高二上册数学三阶行列式教案二级第一学期(2)
9.4（1）三阶行列式一、教学内容分析三阶行列式是二阶行列式的后继学习，也是后续教材学习中一个有力的工具．本节课的教学内容主要围绕三阶行列式展开的对角线法则进行，如何理解三阶行列式展开的对角线法则和该法则的应用是本节课的重点内容．二、教学目标设计经历观察、比较、分析、归纳的数学类比研究，从二阶行列式的符号特征逐步形成三阶行列式的符号特征，从二阶行列式展开的对角线法则逐步内化形成三阶行列式展开的对角线法则，感悟类比思想方法在数学研究中的应用．三、教学重点及难点三阶行列式展开的对角线法则、三阶行列式展开的对角线法则形成的过程．四、教学用具准备可以计算三阶行列式值的计算器五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．观察(1)观察二阶行列式的符号特征：13250231-612711-a b c d(2)观察二阶行列式的展开式特征：13112321=⨯-⨯02013(2)31-=⨯-⨯-6126(11)712711=⨯--⨯-a b a d c b c d=⨯-⨯2．思考(1)二阶行列式算式的符号有哪些特征？(2)你能总结一下二阶行列式的展开式有哪些特征吗？ [说明](1)请学生观察二阶行列式的符号特征，主要是观察二阶行列式有几个元素，这几个元素怎么分布？从而可以类比得到三阶行列式的符号特征．(2)请学生观察和总结二阶行列式的展开式特征，可以提示学生主要着力于以下几个方面：① 观察二阶行列式的展开式有几项？② 二阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘；这几个元素在行列式中的位置有什么要求吗？③ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了几次？每个元素出现的次数一样吗？二、学习新课 1．新课解析 【问题探讨】结合情景引入的两个思考问题，教师可以设计一些更加细化的问题引导学生发现二阶行列式的符号特征以及二阶行列式的展开式特征，从而类比得到三阶行列式相应特征．比如教师可以设计如下几个问题：问题一，通过学习和观察，我们发现二阶行列式就是表示四个数(或式)的特定算式，这四个数分布成两行两列的方阵，那么三阶行列式符号应该有怎么样的特征呢？问题二，说出二阶行列式的展开式有哪些特征？(① 二阶行列式的展开式共有两项；② 二阶行列式的展开式中每一项有两个元素相乘；③ 相乘的两个元素在行列式位于不同行不同列；④ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了一次，而且每个元素出现的次数是一样的．)问题三，二阶行列式展开式就是：主对角线的元素乘积减去副对角线的元素的乘积．我们可以根据二阶行列式展开式的特征类比研究三阶行列式111222333a b c a b c a b c 按对角线展开后展开式应该具有的特征．那么三阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘？对这些可以相乘的元素有什么要求？(3个．这3个可以相乘的元素应该位于不同行不同列．)问题四，三阶行列式的展开式的项中有哪些元素的乘积？二阶行列式的元素在其展开式中出现了一次，而且每个元素出现的次数是一样的．那么，请你猜测一下在三阶行列式的展开式中，每个元素应该出现几次呢？你猜测的依据是什么？ [说明]二阶行列式与三阶行列式有必然的内在联系，上述各个问题的探讨可以帮助学生学习三阶行列式的概念，并能意识到三阶行列式的展开式中必然会出现123a b c ，321a b c ，231a b c ，312a b c ，213a b c ，132a b c ．至于展开式中各项符号的确定，可以组织学生通过以下实验尝试解决．【实验探究】【工作1】请你对1a ，2a ，3a ，1b ，2b ，3b ，1c ，2c ，3c 分别赋值：1a =______，2a =______，3a =______，1b =______，2b =______，3b =______，1c =______，2c =______，3c =______，利用计算器，计算得：111222333a b c a b c a b c =____________．【工作2】 填写下表：【工作3】由上述计算结果，可以发现三阶行列式按对角线展开后展开式应该是：111222333a b c a b c a b c =____________________________________．[说明](1)以上实验主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历猜想预测、实验检验、获得新知的过程；(2)为了便于研究，教师应该提示学生在完成工作(1)时，1a ，2a ，3a ，1b ，2b ，3b ，1c ，2c ，3c 应该分别赋不同的值，而且不要赋为0；(3)教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结；(4)通过上述研究，可以引导学生发现：111222123231312321213132333a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =++---； (5) 三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 经消元后，得：⎪⎩⎪⎨⎧---++=---++---++=---++---++=---++)()()()()()(231312123213132321231312123213132321231312123213132321231312123213132321231312123213132321231312123213132321d b a d b a d b a d b a d b a d b a z c b a c b a c b a c b a c b a c b a c d a c d a c d a c d a c d a c d a y c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b d c b d c b d c b d c b d c b d x c b a c b a c b a c b a c b a c b a 因而发现是符合引入该记号的实际意义的。
2019-2020年高二数学上册 9.4《三阶行列式》教案(1) 沪教版
2019-2020年高二数学上册 9.4《三阶行列式》教案（1）沪教版数学课堂教学是一个师生双方参与的动态的活动过程，学生是活动的主体，教师是这个过程的设计者和活动的指导者及合作者。
在一堂课中，如何体现学生学习的主体作用，激发学生学习的积极性，使学生在学习活动的过程中，在知识、能力、情感等诸方面得到发展，需要我们进行科学的设计。
下面就本人在06年9月执教的《三阶行列式》的教学设计过程为例，谈谈如何进行数学课堂教学设计。
一、了解学生现状和班级实际水平。
在教学设计时，应该了解所教学生的现状和班级的实际水平，只有了解了学生对本课时有关的基本知识和技能、数学方法和数学思想的掌握程度，所需的知识、能力与以往经验之间的差异等。
才能通过恰当的处理教材内容，让学生顺利完成本节课的学习要求，同时使40分钟的教学效率较高。
我执教的高二（2）的学生对已有知识和能力的现状是：三阶行列式是学生学习了二阶行列式后紧接着学习的内容，他们对二阶行列式的学习是比较成功的，他们初步知道了二阶行列式的有关知识，知道如何利用二阶行列式解二元一次方程组和讨论二元一次方程组解的情况。
学生在能力和情感的现状是：对数学有一定的兴趣，有一定的类比推广能力，对化归的数学思想有所体会，也有部分学生具有初步的数学审美情趣。
二、了解所教内容的地位，确定教学目标。
了解所教内容在本章节、在高中数学乃至在整个数学中的地位，了解本节课内容在数学结构和学生知识结构中所处的地位和作用。
教材作为一个载体，分析是否具有在能力、情感态度价值观等方面有挖掘的方面。
以确定较全面、科学的教学目标。
课程标准对《三阶行列式》的学习要求是：掌握三阶行列式的对角线展开法则，以及三阶行列式按某一行（列）展开的方法；会用三阶行列式表示相应的特殊算式。
结合课程标准的学习要求，如果我们在设计时，重知识、轻能力，重结果、轻过程，重记忆、轻概念的形成过程，那么这节课的设计很可能显得平淡，学生可能会在大量的模仿、记忆和练习中，达到课程标准的学习要求，但长期这样下去，学生的能力得不到培养，学生可能会失去对数学的兴趣甚至厌学，更不要说对情感态度价值观的培养了。
三阶行列式计算方法
三阶行列式计算方法三阶行列式是指由3行3列元素构成的行列式，也是最简单的行列式。
下面将简单介绍三阶行列式的计算方法。
一、基本定义三阶行列式可写成如下形式:$$\\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\\a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\\\\end{vmatrix}$$其中$a_{11},a_{12},a_{13},a_{21},a_{22},a_{23},a_{31},a_{32},a_{33}$都是实数或复数。
二、按照定义计算1.采用倍元素法计算首先，我们可以根据行列式的定义，采用倍元素法计算三阶行列式。
具体步骤如下:(1) 将第三行乘以-1，得到新的行列式:$$\\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\\-a_{31} & -a_{32} & -a_{33} \\\\\\end{vmatrix}$$(2) 对第三行的每个元素都乘以第二行的相应元素，再将结果与第一行的相应元素相乘相加，得到新的行列式:$$\\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\0 & a_{22}a_{11} & a_{23}a_{11} \\\\0 & -a_{32}a_{11} & -a_{33}a_{11} \\\\\\end{vmatrix}$$(3) 对第二行的每个元素都乘以第三行的相应元素，再将结果与第一行的相应元素相乘相减，得到新的行列式:$$\\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\a_{21}a_{33} & a_{22}a_{33} & a_{23}a_{33} \\\\-a_{21}a_{32} & -a_{22}a_{32} & -a_{23}a_{32} \\\\\\end{vmatrix}$$(4) 对第一行的每个元素都乘以第三行的相应元素，并将结果与第二行的相应元素相乘相减，得到最终的行列式:$$\\begin{vmatrix}a_{11}a_{22}a_{33} & a_{12}a_{23}a_{31} & a_{13}a_{21}a_{32} \\\\ a_{21}a_{32}a_{13} & a_{22}a_{33}a_{11} & a_{23}a_{31}a_{12} \\\\ a_{31}a_{12}a_{23} & a_{32}a_{13}a_{21} & a_{33}a_{11}a_{22} \\\\ \\end{vmatrix}$$得到三阶行列式的值。
沪教版(上海)高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步9.4(1)三阶行列式
沪教版（上海）高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步9.4（1）三阶行列式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．用对角线法则计算行列式：00xy zyxzx--． 2．把41032241D -=--按第一行展开． 3．解方程：111130002x x --=.4．计算：cos cos 0cos 0cos 0cos cos αβγβγα---． 5．计算下列行列式的值：（1）102941320-；（2）102101320-；（3）102840320． 根据计算结果，并观察行列式，你可以得到怎样更一般的结论？二、双空题6．行列式302647219--中，7的余子式为_______，代数余子式为__________．三、填空题7．把51024132---按第二列展开为____________________． 8．用对角线法则计算行列式：10231245-=-____________．9．把22111133332232x y x y x y x y x y x y +-表示成一个三阶行列式为____________． 10．已知(1,1),(1,2),(2,4)A B C -，则ABC 的面积为___________．参考答案1．322x xz xy ++ 【分析】直接利用三阶行列式运算法则计算得到答案. 【详解】()()322200()0()00x y zy x x y z z y xz xy x zx-=+⋅⋅-+⋅⋅------⋅-322x xz xy =++． 【点睛】本题考查了三阶行列式的计算，属于简单题. 2．3202034(1)0412124⎛⎫⨯+-⨯-+⨯ ⎪----⎝⎭【分析】直接根据行列式运算法则计算得到答案. 【详解】4103202030324(1)0412124241-⎛⎫=⨯+-⨯-+⨯ ⎪----⎝⎭--． 【点睛】本题考查了行列式的展开式，属于简单题. 3．1x =或4x = 【分析】根据三阶行列式的计算方法，先得到21111305402x x x x--=-+-，再解一元二次方程，即可得出结果. 【详解】因为111301013130022002x x x x x x ------=-+22(3)2(3)54x x x x x =-+--=-+-，所以方程111130002x x--=可化为2540x x -+-=，即2540x x -+=， 解得：1x =或4x =. 【点睛】本题主要考查解三阶行列式对应的方程，熟记三阶行列式的计算方法即可，属于基础题型. 4．0 【分析】直接根据三阶行列式运算法则计算得到答案. 【详解】()()()cos cos 0cos 0cos cos 0cos cos 0cos cos 0cos 0cos cos αβγβααγγββγα-=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅--- ()()()0cos cos cos cos cos cos 0βγααγβ--⋅⋅--⋅-⋅-=.【点睛】本题考查了三阶行列式的计算，属于简单题. 5．（1）14 （2）6 （3）8；结论见详解； 【分析】根据三阶行列式的计算方法，分别计算这三个行列式，再根据计算结果进行合情推理，即可得出结论. 【详解】（1）()102419194941102202181214203032320---=⨯-⨯+⨯=-+-=； （2）1020111101011022022620303232---=⨯-⨯+⨯=-+⨯=；（3）()10240808484010200216128203032320=⨯-⨯+⨯=-+⨯-=；由计算结果可得：102102102102941101018403203203201803204+++-=-+=-； 由此可得一般结论如下：设行列式的某一行（或列）的元素都可以写成两项的和那么这个行列式等于把这些两项和各取一项作为相应的行（或列），其余行（或列）不变的两个行列式的和，即111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+.【点睛】本题主要考查计算三阶行列式，以及数与式的合情推理，属于常考题型. 6．3021- 3021--【分析】根据余子式与代数余子式的概念，直接可得出结果. 【详解】由题意，7的余子式为3021-，因为7处在第2行第3列，所以其代数余子式为：()23303012121+-=---.故答案为：3021-；3021--.【点睛】本题主要考查求行列式的余子式与代数余子式，熟记概念即可，属于基础题型.7．510215050241(1)4032322132-⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--【分析】根据行列式的计算方法，直接展开，即可得出结果. 【详解】把51024132---按第二列展开为： 510215050241(1)4032322132-⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--.故答案为：510215050241(1)4032322132-⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--.【点睛】本题主要考查三阶行列式的展开，熟记行列式的计算方法即可，属于基础题型. 8．23 【分析】利用行列式的对角线法则直接求解. 【详解】()()()()10203113501220423241150023245-=⨯-⨯-+⨯⨯+⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯--⨯⨯=-故答案为：23 【点睛】本题主要考查三阶行列式展开式的求法以及行列式的对角线法则，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．112233312x y x y x y --【分析】直接利用三阶行列式的运算法则计算得到答案. 【详解】11221111223333223333212x y x y x y x y x y x y x y x y x y +-=--.故答案为：112233312x y x y x y --. 【点睛】本题考查了三阶行列式的计算，属于简单题. 10．72【分析】直接利用行列式计算面积公式计算得到答案. 【详解】111117121242414222241ABCS =-=-+-+-=△. 故答案为：72. 【点睛】本题考查了根据行列式计算三角形面积，属于简单题.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a1 A1 a2 A2 a3 A3
两种展开方法
解：按第二列展开：
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2
b1(a3c2 a2c3 ) b2 (a1c3 a3c1) b3 (a2c1 a1c2 )
01 0 （3）1 1 a 1
1 1 1a
例、如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C
的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2 )、(x3, y3)
求三角形ABC的面积公式
y
C
sABC
1 2
( y1
y3 ) x3
x1
A
B
1 2
(
y2
y3
)
x2
x3
1 2
(
y1
三阶行列式
一、复习二阶行列式
二元一次方程组：
aa12xx
b1 y b2 y
c1 c2
（1） （2）
(*)
用加减消元法解方程组（*）：
(1) b2 (2) b1 ,得(a1b2 a2b1)x c1b2 c2b1
(2) a1 (1) a2 ,得(a1b2 a2b1) y a1c2 a2c1
7 x 1 13
解： 8 x 4 2x
3 0
3
3(8 x) (3)(4 2x) 0 369x 0
x4
例、如果三阶行列式（1）的第一行元素a1,b1, c1 的代数余子式分别为A1，B1，C1，证明： a2 A1 b2B1 c2C1 0
D a1 b1 a2 b2
Dx
c1 c2
b1 b2
Dy
a1 a2
c1 c2
两行两列，叫作 二阶行列式
D a1 b1 a2 b2
a1b2 a2b1
叫作行列式 的展开式
Dx
c1 c2
b1 b2
c1b2 c2b1
按对角线法则写成展 开式，计算的结果叫 作行列式的值
Dy
a1 a2
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
a1
b2 b3
c2 c3
b1
a2 a3
a1的代数余子式：A1
b2 b3
c2 c3
b1的代数余子式：B1
a2 a3
c2 c3
c1的代数余子式：C1
a2 a3
b2 b3
aij的代数余子式的正负号是(-1)i+j
c2 c3
c1
a2 a3
b2 b3
考虑点的位置问题, 所以,面积应该是行 列式的绝对值
S 1 x1 ABC 2 x2 x3
y1 1 y2 1 y3 1
S ABC
1 2
x1 x2
x3
y1 1 y2 1 y3 1
若SABC 0
x1 y1 1 x2 y2 1 0 x3 y3 1
A, B,C三点共线 A, B,C三点共线
证明：a2 A1 b2B1 c2C1
a2
b2 b3
c2 c3
b2
a2 a3
c2 c3
c2
a2 a3
b2 b3
a2 b2 c2 a2 b2 c2
a3 b3 c3
＝０
结论：如果三阶行列式的某 一行（或一列）的元素与另 一行（或一列）的元素的代 数余子式对应相乘，那么它 们的乘积之和等于０
两种展开方法
2、按一行(或一列)展开：（拉普拉斯展开式）
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2
a1(b2c3 b3c2 ) b1(a3c2 a2c3 ) c1(a2b3 a3b2 )
对角线上（主 对角线或副对 角线）的元素 的代数余子式 符号为“＋” 其余为“－”
a1 b1 c1
a2 b2 c2 a3 b3 c3
a1
b2 b3
c2 c3
b1
a2 a3
c2 c3
c1
a2 a3
b2 b3
a1 b1 c1
a2 b2 c2 a1A1 b1B1 c1C1
a3 b3 c3
b1
a2 a3
c2 c3
b2
a1 a3
c1 c3
b3
a1 a2
c1 c2
举 例 3 0 2
例、按下列要求计算行列式D 2 1 3 2 3 1
（1）按第一列展开 （2）按第一行展开
当无特殊要求前提下，如何确定按行列式 的哪一行（或哪一列）展开
8x 0 3 例、求方程4 2x 0 3 0的解
a1
b2 b3
c2 c3
b1
a2 a3
c2 c3
c1
a2 a3
b2 b3
按第一行展开
a1 b1 c1
a22 b2b2 cc22 a33 b3b3 cc333
a1
b2 b3
c2 c3
b1
a2 a3
c2 c3
c1
a2 a3
b2 b3
a1的余子式： b1的余子式：
c1的余子式：a2 b2 a3 b3
c1 c2
a1c2 a2c1
二阶行列式是表 示四个数（或式） 的一个特定算式
的一种记号
二、三阶行列式
三行三列的方阵 a1 b1 c1
a2 b2 c2
(1)
a3 b3 c3
ai,bi,ci(i=1,2,3)都叫做行列式（1）的元素
表示算式：
a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2
y2
)
x2
x1
o x2 y3 x3 y1 x3 y2 x1 y3 x2 y1
1
2
x1 y2 x2 y3 x3 y1 x3 y2 x1 y3 x2 y1
1 2
x1 x2
x3
y1 1 y2 1 y3 1
两种展开方法
1、按对角线展开：
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2 a3b2c1 a1b3c2 a2b1c3
三、举例
例、展开并化简下列行列式：
3 0 2 （1）2 1 3
2 3 1
234 （2）5 2 1
1 2 3
A1
b2 b3
c2 c3
B1
a2 a3
c2 c3
C1
a2 a3
b2 b3
同理可以按第一列展开：
a1 a2
b1 b2
c1 c2
a1
b2 b3
a3 b3 c3
c2 c3
a2
b1 b3
c1 c3
a3
b1 b2
c1 c2
三阶行列式可以按任意一行（或一列）展开
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3