二阶三阶行列式
二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式 二、三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
a11x1+a12x2=b1 用消元法解二元线性方程组 a21x1+a22x2=b2
得
b1a22 - a12b2 a11b2 - b1a21 x2 = x1 = a11a22 - a12a21 a11a22 - a12a21
2 2
下页
a11 a1 =a11a22 -a12a21 a2 2 1 a2 2 例1 求解二元线性方程组 3x1 - 2x2 =12 2x + x =1 1 2 解 由于
D = 3 - 2 = 3- (-4) = 7 0 2 1 D1 = 12 - 2 =12 - (-2) =14 1 1 D2 = 3 12 = 3- 24 = -21 2 1 因此 D1 14 D2 - 21 x1 = = = 2 x2 = = = -3 D 7 D 7
a11 a12 a13 为了便于记忆和计算 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33
a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
下页
二、三阶行列式
a11 a12 a13 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 并称它为三阶行列式
1 例2 计算三阶行列式 D= -2 -3 解 按对角线法则 有
2 2 4
D =12(-2)+21(-3)+(-4)(-2)4 -114 -2(-2)(-2) -(-4)2(-3)
二阶三阶行列式计算方法
二阶三阶行列式计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个数学工具，用于描述矩阵的性质和变换。
在实际应用中，行列式经常用于求解线性方程组、计算矩阵的逆、判断矩阵是否可逆等问题。
本文将介绍二阶三阶行列式的计算方法。
二阶行列式二阶行列式是一个2×2的矩阵，它的计算方法如下：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$、$a_{22}$是矩阵中的元素。
例如，对于矩阵$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，它的二阶行列式为：$$\begin{vmatrix}1 &2 \\3 & 4\end{vmatrix} = 1\times4 - 2\times3 = -2$$三阶行列式三阶行列式是一个3×3的矩阵，它的计算方法如下：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$、$a_{21}$、$a_{22}$、$a_{23}$、$a_{31}$、$a_{32}$、$a_{33}$是矩阵中的元素。
矩阵论基础1.1二阶和三阶行列式
矩阵论基础1.1⼆阶和三阶⾏列式第⼀节⼆阶和三阶⾏列式在介绍⾏列式概念之前，我们先构造⼀个数学玩具：把4个数放在⼀个正⽅形的四个⾓上，在加上两条竖线，即，规定这个玩具对应于⼀个结果：两个对⾓线上的数的乘积之差。
即例如所在⽅向的对⾓线称为主对⾓线，所在⽅向的对⾓线称为副对⾓线。
定义1 4个数称为⼀个⼆阶⾏列式；所在的⾏称为第⼀⾏，记为（r来源于英⽂row），所在的列称为第⼆列，记为（c来源于英⽂column），因其共有两⾏两列，所以称为⼆阶⾏列式，是第⼆⾏第⼀列的元素。
⼀般地⽤表⽰第i⾏第j列的元素，i是⾏标，j是列标。
可叙述为：⼆阶⾏列式的对应值等于主对⾓线上两元素之积减去的副对⾓线上⼆元素之积所得的差, 这⼀计算法则称为对⾓线法则.此玩具的⽤途在于：求解⽅程组⽤消元法，先消去所在的项，⽅程(2)´a11，⽅程(1)´a21得（3）-（4），得再消去所在的项，⽅程(2)´a12，⽅程(1)´a22得（5）-（6），得我们发现其规律为：若记是⽅程组的系数⾏列式，则是⽤常数项替代D中的第⼀列所得的⾏列式；是⽤常数项替代D中的第⼆列所得的⾏列式。
若D≠0，⽅程组的恰好是：,此规律被称为Cramer定理。
例1 求解⼆元线性⽅程组解：,,,因此 , .同理类推，⽤对⾓线法则可以定义3阶⾏列式如下：其中来⾃三条主对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加正号；来⾃三条副对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加负号。
例2 计算3阶⾏列式解：D=1×2×2+3×1×1+3×1×（-1）-1×2×3-（-1）×1×1-2×1×3=-7D1=6×2×2+4×1×1+11×1×（-1）-1×2×11-（-1）×1×6-2×1×4=-7D2=1×4×2+3×11×1+3×6×（-1）-1×4×3-（-1）×11×1-2×6×3=-14D3=1×2×11+3×1×6+3×1×4-6×2×3-4×1×1-11×1×3=--21实际上，D，D1，D2，D3来⾃线性⽅程组。
§1二阶与三阶行列式
性质
总结词
二阶行列式具有交换律、结合律、代数余子式等性质。
详细描述
二阶行列式满足交换律，即|A|=|AT|，其中AT是矩阵A的转置矩阵。结合律表现为|AB|=|A|*|B|，其中A、B为可 乘矩阵。代数余子式是去掉一个二阶行列式中的一个元素后得到的二阶行列式，其值等于原行列式除以被去掉元 素所在的行和列的乘积。
等于零、代数余子式的乘积等于零等。
应用
03
代数余子式在计算高阶行列式的值、求解线性方程组等领域有
广泛的应用。
转置行列式
定义
转置行列式是将n阶行列式的行和列互换后得到的新 行列式。
性质
转置行列式的值等于原行列式的值，即|A|=|AT|。
应用
转置行列式在求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等 领域有广泛的应用。
性质
线性性质
三阶行列式满足线性性质，即|ka b c| = k|a b c|，其中k是标量。
交换律
|a b c| = |c b a|。
结合律
(|a b c| + |d e f|) = |a b c| + |d e f||a d|。
分配律
|a+b c d| = |a b c| + |b c d||a b c|。
矩阵的转置
行列式可以用于计算矩阵的转置，通过计算转置矩阵的行列式，可以得到原矩阵 的行列式。
05
CATALOGUE
二阶与三阶行列式的扩展
高阶行列式
定义
高阶行列式是n阶方阵的展开式，其一般形式为D=∑(-1)^t * M(t1,t2,...,tn) * A(t1,t2,...,tn)，其中t为对角线上的元素下标的排列顺序，M为排列数，A为n阶行列式中 元素的下标构成的排列。
二阶与三阶行列式
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
二阶和三阶行列式
a11 D
a12
a13 a23 a33 a43
a12
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32 a41 a42
a11
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
1 2
a24 a34 a44
A12 1 M 12 M 12
M 44 a21 a22 a31 a32
a41 a42 a43 a44
a 32 的代数余子式 A32 ( 1)32 M 32 a13 的代数余子式 A ( 1)13 M 13 13
a21 a31 a41
完
a22b1 a12 a21b1 x2 a11a22 a12a21
a11 a12 D a11a22 a12a21 , a21 a22
a12 a22
主对角线 a11 a21 称 D 为二阶行列式。 副对角线
(-)
a13 a11 a33 a31
(+)
a12 a32
(+) (+)
a23 a21 a22
(-)
(-)
三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 设有三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
解 计算二阶行列式
D
2 1 3 2
7 , D1
5 11
1 2
21 , D2
2
5
3 11
7 .
由 D 7 0 知方程组有唯一解：
D1 D2 x1 3 , x2 1. D D
二阶与三阶行列式分析
二阶与三阶行列式分析二阶行列式分析：二阶行列式是由两行两列元素组成的方阵。
例如，一个二阶行列式可以表示为：abcd其中a、b、c、d是实数。
二阶行列式的计算方法是将对角线上的元素相乘，然后减去另一条对角线上的元素相乘。
根据这个定义，二阶行列式的值可以表示为：abc d ， = ad - bc其中ad表示a和d的乘积，bc表示b和c的乘积。
三阶行列式分析：三阶行列式是由三行三列元素组成的方阵。
例如，一个三阶行列式可以表示为：abcdefghi其中a、b、c、d、e、f、g、h、i是实数。
三阶行列式的计算方法可以通过展开定理来计算。
展开定理指出，三阶行列式可以按照第一行或第一列展开为两个二阶行列式的乘积。
根据展开定理，三阶行列式的值可以表示为：abcdefg h i ， = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh其中aei、bfg、cdh分别表示第一行的元素与其对应的代数余子式的乘积，ceg、bdi、afh分别表示第一列的元素与其对应的代数余子式的乘积。
行列式的应用：行列式在线性代数中起着重要的作用，具有广泛的应用。
以下是几个行列式的应用示例：1.解线性方程组：通过求解行列式的值，可以确定线性方程组的解的排列情况和数量。
2.计算面积和体积：通过行列式的计算，可以求得平面上一组向量所围成的面积，或者三维空间中一组向量所围成的体积。
3.判断向量的线性相关性：使用行列式可以判断一组向量是否线性相关，通过计算行列式的值，若行列式为0则表示向量线性相关，否则线性无关。
4.矩阵的逆、行列式的转置：行列式的性质可以用于计算矩阵的逆矩阵和行列式的转置。
总结：二阶行列式可以通过对角线元素的乘积减去反对角线元素的乘积来计算。
三阶行列式可以通过展开定理，将其展开为两个二阶行列式的乘积。
行列式在线性代数中有广泛的应用，包括解线性方程组、计算面积和体积、判断向量的线性相关性等。
行列式的性质可以用于计算矩阵的逆矩阵和行列式的转置。
二阶三阶行列式
主对角线
D a1 a2
b1 a1b2 a2b1
b2
副对角线
三阶行列式
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
ai ,bi ,ci i 1, 2,3 叫做行列式的元素
a b c 注意: 红线上三元素的
1
1
1 乘积冠以正号，蓝线上
a b c 三元素的乘积冠以负号．
b1 ， b2
D当yD0aa时12 ，cc12方，程组有D唯叫一做解方程xy 组 DD解DDxy 的；判别式
当D=0，而Dx0或Dy0时，方程组无解；
当D=0，而Dx=0且Dy=0时，方程组有无数多组解。
ABC的三个顶点坐标分别是Ax1, y1Bx2, y2 Cx3, y3
2
2
2
a3 b3 c3
a1b2c3a2b3c1a3b1c2
a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2
余子式与代数余子式
一般地，把三阶行列式中某个元素所在 的行和列划去，将剩下的元素按原来的 位置关系组成的二阶行列式叫该元素的 余子式.
把余子式添上相应的符号（正号省略） 叫做该元素的代数余子式.
b1 b2 b3
c1
c2 c3
a1
b2 b3
c2 c3
b1
a2 a3
c2 c3
c1
a2 a3
b2 b3
二元一次方程组解的判别
一般地，通过消元法可将二元一次方程组
a1 x a2 x
b1 y b2 y
c1 c2
，其中 D
a1 a2
b1 b2
， Dx
c1 c2
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列标排列的逆序数为
132 1 0 1, 奇排列 负号,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1) ( j1 j2 j3 ) a1 j1 a2 j2 a3 j3 .
a31 a32 a33
三、n阶行列式的定义
定义1.4
由 n2 个数组成的n 阶行列式等于所有
i1 j1 i2 j2
ijn是取定的某一固定排列
A
1 α α α τ(i1i2 in ) τ( j1 j2 jn )
i1 j1 i2 j2
in jn
i1i2 in
特别 j1 j2
j
n
取定标准排列
2.14 2.15
A
1 α α α τ(i1i2in )
i11 i2 2
inn
2.16
其中不为零的项只有 α1 1α2 2 αnn .
a11 a12 a22
a1n
a2n 1 12na a 11 22 ann
ann a11a22 ann .
行列式的不同表示方法
设i1 i 2
i
是取定的某一固定排列
n
A
1 α α α τ(i1i2 in ) τ( j1 j2 jn )
取 自 不 同 行 不 同 列 的n 个 元 素 的 乘 积
的代数和
(1) a a τ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
anjn .
记作
a1 1 a1 2 a1n
A a21 a22 a2n
2.8
an1 an2 ann
其中 j1 j2 jn 为自然数 1，2， ，n 的一个排列， τ( j1 j2 jn ) 为这个排列的逆序数．
1.2 n阶行列式的定义
一、n级排列及奇偶性 二、三阶行列式展开式的规律 三、n阶行列式的定义
一、n级排列及奇偶性
定义1.1
由数1,2,…,n组成的一个有序数组，称为一个 n级排列.
由1,2,…,n所组成的所有不同的n级排列共有n! 个. 1 2 … n是唯一的一个按从小到大次序组 成的排列,称为n级标准排列.
a1 1 a1 2 a1n
A a21 a22 a2n
an1 an2 ann
2.10
1
a a τ j1 j2 jn 1 j1 2 j2
a nj n
j1 j2 jn
例3 计算上三角行列式
a11 a12
a1n
a22
a2n
ann
解 分析
展开式中项的通项是 α α 1 j1 2 j2 αnjn .
例如，排列2413经过2与3兑换后，就得 到排列3412；排列32415经过2与1兑换 后，就得到排列31425.
由计算逆序数可知，奇排列2413变成了 偶排列3412；而偶排列32415却变成了 奇排列31425.
定理1.1
任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性.
证明 设排列为
a1al ab b1bm
二、三阶行列式展开式的规律
三阶行列式
α1 1 α1 2 α1 3
2.6 α21 α22 α23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
α3 1 α3 2 α3 3 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 规律 （1）三阶行列式是行列式中取自不同行、不同 列的三个元素乘积的代数和（共有3!=6项）
例如,3级排列共有6个不同的排列，即 123 231 312 132 213 321
其中1 2 3是3级标准排列.
定义1.2
逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆 序数为奇数的排列称为奇排列.
例1 例2
定义1.3
将一个排列中某两个数的位置互换而其 余的数不动，就得到另一个排列，这种 对排列的变换方法称为对换.
a1al a b1bm b c1cn
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bmc1cn
m 1 次相邻对换 a1al b b1bm a c1cn
a1alab1bmbc1cn ,
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
a1al ba b1bm
除a ,b 外，其它元素的逆序数不改变. 当a b时， 经对换后 a 的逆序数增加1 , b 的逆序数不变;
当a b时， 经对换后 a的逆序数不变 ，b 的逆序数减少1.
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a与 b.
（2）每项中三个元素的行指标构成一个三级排列， 在式（2.6）中，行指标的排列都是标准排列1 2 3， 列指标构成的三阶排列各不相同，因此式（2.6） 中每项的一般形式为：
2.7
例如 a13a21a32 列标排列的逆序数为
312 1 1 2, 偶排列 正号
a11a23a32