正弦函数、余弦函数的图象及其性质习题课
正弦、余弦函数的图象与性质(习题)
正弦、余弦函数的图象与性质（习题） ➢ 例题示范 例1：已知定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数．若()f x 的最小正周期是π，且当[0]2x π∈，时，()sin f x x =，则()3f 5π的值为（ ） A ．12- B ．12C ．3-D ．3 思路分析：要求()3f 5π，根据题目条件，考虑利用()sin f x x =来求解； 结合函数的周期性和奇偶性，将35π转化到区间[0]2π，上， 再利用解析式求解． ∵函数()f x 的最小正周期是π，∴()()()()()33333f f f f f 5π5π2π2ππ=-π==-π=-， ∵函数()f x 是偶函数， ∴3()()sin 3332f f πππ-===，故选D ．例2：已知函数ππ2π()2sin(2)()663f x x x =+∈-，，，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．ππ()66-， B ．π7π()1212， C ．π2π()33， D ．ππ()63-， 思路分析： ∵函数=sin y x 在ππ(2π2π)22k k k -++∈Z ，（）上单调递增， ∴当πππ2(2π2π)622x k k k +∈-++∈Z ，（）时，原函数单调递增， 即当ππ(ππ)36x k k k ∈-++∈Z ，（）时，原函数单调递增． 综合各个选项，当0k =时，πππ2π()()3663x ∈--，，，即ππ()66x ∈-，时原函数单调递增，故选A ．➢ 巩固练习1. 函数lg(sin )y x =的定义域为（ ）4.函数ππ()sin()36f x x =+的最小正周期是（ ） A ．3 B ．6 C ．3π D ．6π 5.函数2()3cos()56f x x π=-的最小正周期是（ ） A ．52π B ．52π C ．2π D ．5π 6. 函数2()7sin()32f x x 15π=+是（ ） A ．周期为3π的偶函数 B ．周期为2π的奇函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为43π的偶函数7. 函数()cos f x x x =（ ）A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数8. 若()f x 是以π为周期的奇函数，且π()=14f --，则9π()4f 的值为（） A ．π4 B ．π4- C ．1 D ．1-A ．(0)2，B ．(π)2，22，212. 方程cos x x =在R 上（ ）A ．没有根B ．有且仅有1个根C ．有且仅有2个根D ．有无穷多个根13. 已知函数()sin()2f x x π=-，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 在区间[0]2π，上是增函数C ．()f x 的图象关于直线x =0对称D ．()f x 是奇函数14. 设M 和m 分别表示函数cos 13y x 1=-的最大值和最小值，则M m +=（）A ．23 B ．23- C ．43- D ．-2【参考答案】➢ 巩固练习1. B2. C3. A4. B5. D6. A7. A8. C9. C10.A11.B12.C13.D14.D。
专题1.4.1-2 正弦函数与余弦函数的图象与性质重难点题型(举一反三)(解析版)
1.4.1-2正、余弦函数的图象与性质重难点题型【举一反三系列】【知识点1 正弦函数、余弦函数图象的画法】1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法。
2．几何法：利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到x y sin =和cos y x =的图象。
3．五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
要点诠释：（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点。
（2）若x R ∈，可先作出正弦函数、余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到x y sin =和cos y x =的图象。
（3）由诱导公式cos sin()2y x x π==+，故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到。
【知识点2 正弦曲线、余弦曲线】1.定义：正弦函数sin ()y x x R =∈和余弦函数cos ()y x x R =∈的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。
2.图象要点诠释：（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质。
（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如[]0,2x π∈，方程lg sin x x =根的个数。
【知识点3 函数图象的变换】图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。
sin sin()sin()y x y x y A x ϕωϕ=→=+→=+【知识点4 周期函数的定义】函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期.1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.【知识点5 正弦函数、余弦函数的图象和性质】【知识点6 正弦型函数和余弦型函数的性质】函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R ； （2）值域：[],A A -；（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为偶函数；对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为奇函数．要点诠释：判断函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T πω=．（6）对称轴和对称中心与正弦函数sin y x =比较可知，当()2x k k z πωϕπ+=±∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出，其对称中心的横坐标()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出．【考点1 正、余弦函数的定义域】【例1】（2019春•南湖区校级月考）已知函数()f x 的定义域为 ．【分析】根据根式满足的条件，解三角不等式即可． 【答案】解：∵2sin （2x ﹣）﹣1≥0⇒sin （2x ﹣）≥，∴2k π+≤2x ﹣≤2k π+，k ∈Z ，∴k π+≤x ≤k π+，k ∈Z ．故答案是{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，解三角不等式．【变式1-1】（2019秋•黄冈期末）函数y的定义域是．【分析】由题意可得sin x≥0，cos x≥0，故2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，解出x的范围，即得所求．【答案】解：由题意可得sin x≥0，cos x≥0，∴2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，故函数的定义域为（2kπ，2kπ+），k∈z，故答案为：（2kπ，2kπ+），k∈z．【点睛】本题考查求函数的定义域，以及三角函数在各个象限中的符号，得到2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，是解题的关键，属于基础题．【变式1-2】函数1sin21sin2xyx+=-的定义域为．【分析】此为一分式函数，令分母不为0即可解出函数的定义域来．【答案】解：令﹣sin x≠0，即sin x≠，如图x≠2kπ+，x≠2kπ+＝（2k﹣1）π﹣，k∈z，故其形式可以统一为x≠kπ+（﹣1）k，k∈z．所以函数的定义域为{x|x≠kπ+（﹣1）k，k∈z．}应填{x|x≠kπ+（﹣1）k，k∈z．}【点睛】考查定义域的求法与解三角方程，本题中把两种情况的答案合二为一是一个技巧，答题者应细心体会其中的规律．【变式1-3】（2019秋•安福县校级期中）函数(2cos 21)y lg x =+的定义域为 ．【分析】由题意可得 ，化简可得 ，由此求出x 的范围，即得函数的定义域． 【答案】解：∵函数，∴，即 ．化简可得 ，解得﹣＜x ＜．故函数的定义域为（﹣，），故答案为（﹣，）．【点睛】本题主要考查求余弦函数的定义域和值域，求对数函数的定义域，属于基础题． 【考点2 正、余弦函数的值域】【例2】（2018秋•启东市校级月考）函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0,]2π上的值域为 ．【分析】由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f （x ）＝sin 在区间上的值域．【答案】解：在区间上，2x ﹣∈[﹣，]，sin （2x ﹣）∈[﹣，1]，故函数f （x ）＝sin 在区间上的值域为[﹣，1]，故答案为：[﹣，1]．【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，属于基础题．【变式2-1】（2019秋•射阳县校级期中）函数2()2cos 3sin 2f x x x =++，[6x π∈，2]3π的值域 ． 【分析】根据同角公式化简函数解析式，得到关于sin x 的二次函数，根据二次函数的图象和性质，可得函数的值域．【答案】解：y ＝2cos 2x +3sin x +2＝2（1﹣sin 2x ）+3sin x +2＝﹣2（sin x ﹣）2+，x ∈[，]，∴sin x ∈[，1]，∴当sin x ＝时，函数f （x ）取最大值，当sin x ＝或sin x ＝1时，函数f （x ）取最小值5， 故函数f （x ）＝2cos 2x +3sin x +2，x ∈[，]的值域为[5，]，故答案为：[5，]【点睛】此题考查学生灵活运用同角公式化简求值，会利用二次函数的图象及增减性求出函数的值域．做题时注意余弦函数的值域．【变式2-2】（2019春•淄博校级月考）函数3sin 3sin xy x-=+的值域为 ．【分析】先换元t ＝sin x ，t ∈[﹣1，1]，，利用凑分母分离常数，然后逐一求式子的范围，即可求函数的值域．【答案】解：令t ＝sin x ，t ∈[﹣1，1]， 所以：，∵﹣1≤t ≤1， ∴2≤t +3≤4， ∴， ∴， ∴， 函数的值域为． 故答案为：．【点睛】本题重点考查分式函数求值域问题，用到换元，利用凑分母分离常数．【变式2-3】（2019秋•西城区期末）已知函数()sin()6f x x π=+，其中[3x π∈-，]a ．当2a π=时，()f x 的值域是 ；若()f x 的值域是1[2-，1]，则a 的取值范围是 ．【分析】当a ＝时，由x ∈[﹣，]利用正弦函数的定义域和值域可得f （x ）的值域．若f （x ）的值域是[﹣，1]，则由正弦函数的图象可得≤a +≤，由此解得a 的取值范围． 【答案】解：当a ＝时，由x ∈[﹣，]可得﹣≤x +≤，∴﹣≤sin （x +）≤1，∴f （x ）的值域是[﹣，1]． 若f （x ）的值域是[﹣，1]，则≤a +≤，解得≤a +≤π，即a 的取值范围是[，π]，故答案为[﹣，1]、[，π]．【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，属于基础题． 【考点3 正、余弦函数作图】【例3】（2019春•郑州期末）已知函数()sin()(04f x x πωω=->，)x R ∈的最小正周期为π．（Ⅰ）求3()4f π； （Ⅱ）在给定的平面直角坐标系中，画出函数()y f x =在区间[2π-，]2π上的图象．【分析】（1）根据T ＝，求出周期，得到函数的解析式，代入值计算即可；（2）利用五点作图法作图即可． 【答案】解：（1）依题意得，T ＝＝π，解得ω＝2，所以f （x ）＝sin （2x ﹣），所以 f （π）＝sin （2×﹣）＝sin （π+）＝﹣sin＝﹣，（2）画出函数在区间上的图象如图所示：【点睛】本题考查了三角函数的周期性质，以及三角函数值的求法和函数图象的做法，属于基础题．【变式3-1】画出下列函数的简图：π；（1）1sinx∈，2]=-，[0y xπ．（2）3cos1x∈，2]y x=+，[0【分析】根据五点做出函数的简图，即可得到结论．【答案】解：（1）列表如下：画出图形，如图：（2）列表为函数图象如下：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握五点法作图以及图象之间的关系，属于基本知识的考查．【变式3-2】画出下列函数的图象．π（1）13cosy x=+，[0x∈，2]π．（2）2sin1x∈，2]=-，[0y x【分析】（1）用五点法作出函数y＝1+3cos x在一个周期上的简图．（2）用五点法作出函数y＝2sin x﹣1在一个周期上的简图．【答案】解：（1）列表：如图：（2）列表：如图：【点睛】本题主要考查用五点法作函数 y ＝A sin （ωx +φ）的图象、y ＝A cos （ωx +φ）的图象，属于基础题．【变式3-3】用多种方法在同一坐标系中画出下列函数． （1）sin y x =，[0x ∈，2]π （2）sin 1y x =+，[0x ∈，2]π （3）cos y x =，[2x π∈-，]2π （4）cos y x =-，[2x π∈-，3]2π． 【分析】利用五点作图法和图象的平移即可得到各个函数的图象． 【答案】解：同一坐标系中各个函数的图象如下：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考察作图能力，属于基础题． 【考点4 正、余弦函数的最小正周期】 【例4】求下列函数的最小正周期． （1）sin(3)2y x π=+；（2）|cos |y x =【分析】（1）由条件根据函数y ＝A sin （ωx +φ）的周期为，可得结论． （2）由条件根据函数y ＝|A cos （ωx +φ）|的周期为•，可得结论． 【答案】解：（1）y ＝sin （x +3）的最小正周期为＝4，（2）y ＝|cos x |的最小正周期为•＝π．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，利用了函数y ＝A sin （ωx +φ）的周期为，函数y ＝|A cos（ωx +φ）|的周期为•，属于基础题．【变式4-1】求下列函数的最小正周期 （1）cos2y x =； （2）sin 2xy =；（3）1sin y x =+．【分析】利用三角函数的周期性及其求法即可得解． 【答案】解：（1）∵y ＝cos2x ，∴最小正周期T ＝＝π；（2）∵y ＝sin ，∴最小正周期T ＝＝4π；（3）∵y ＝1+sin x ，∴最小正周期T ＝＝2π；【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题． 【变式4-2】求下列函数的最小正周期（1）2sin()32xy π=-（2）1cos(2)36y x π=-（3）|sin |y x =【分析】分析：（1）利用了y ＝A sin （ωx +φ ）的周期等于，即可求值；（2）利用了y ＝A cos （ωx +φ ）的周期等于，即可求值；（3）根据y ＝|A sin （ωx +φ ）|、y ＝|A sin （ωx +φ ）|的周期等于，得出结论．【答案】解：（1）∵y ＝2sin （﹣）＝﹣2sin （），∴T ＝＝4π；（2）∵y ＝cos （2x ﹣），∴T ＝＝π；（3）根据y ＝|sin x |的周期等于y ＝sin x 的周期的一半，故y ＝|sin x |的周期为×2π＝π．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y ＝A sin （ωx +φ ）、y ＝A cos （ωx +φ ）的周期等于，y ＝|A sin （ωx +φ ）|、y ＝|A sin （ωx +φ ）|的周期等于，属于基础题．【变式4-3】求下列函数的最小正周期． （1）1cos(2)33y x π=-；（2）cos ||y x =．【分析】（1）由条件利用y ＝A cos （ωx +φ）的周期等于 T ＝，可得结论．（2）根据y ＝cos|x |＝cos x ，而且y ＝A cos （ωx +φ）的周期等于 T ＝，可得结论．【答案】解：（1）y ＝cos （2x ﹣）的最小正周期为＝π，（2）y ＝cos|x |＝cos x 的最小正周期为＝2π．【点睛】本题主要考查余弦函数的周期性，利用了y ＝A cos （ωx +φ）的周期等于 T ＝，属于基础题．【考点5 正、余弦函数的奇偶性】 【例5】判断下列函数的奇偶性： （1）cos2y x =，x R ∈； （2）cos(2)2y x π=-；（3）2sin()3y x π=+；（4）cos()4y x π=-．【分析】分别化简函数后根据正弦函数、余弦函数的图象和性质逐一判断即可． 【答案】解：（1）由余弦函数的图象和性质可知y ＝cos2x ，x ∈R 为偶函数； （2）∵y ＝cos （2x ﹣）＝sin2x ，∴由正弦函数的图象和性质可知y ＝sin2x ，为奇函数；（3）∵y ＝sin （x +π）＝﹣sin x ，∴由正弦函数的图象和性质可知y ＝﹣sin x ，为奇函数； （4）∵y ＝cos （x ﹣），且f （﹣x ）＝cos （﹣x ﹣）＝cos （x +），∴由余弦函数的图象和性质可知y ＝cos （x ﹣），为非奇函数，非偶函数．【点睛】本题主要考察了正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查． 【变式5-1】判断下列函数的奇偶性 （1）()sin()f x x x π=+； （2）1cos ()sin xf x x-=． 【分析】（1）利用诱导公式化简函数的解析式，再根据函数的奇偶性的定义，得出结论． （2）利用半角公式化简函数的解析式，再根据函数的奇偶性的定义，得出结论． 【答案】解：（1）∵f （x ）＝x sin （π+x ）＝﹣x sin x ，它的定义域为R ， 且满足f （﹣x ）＝﹣x •sin （﹣x ）＝x sin x ＝f （x ），故该函数为偶函数． （2）对于函数 f （x ）＝＝tan ，它的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，且满足f （﹣x ）＝tan （﹣）＝﹣tan ＝﹣f （x ）， 故该函数为奇函数．【点睛】本题主要考查三角公式，三角函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．【变式5-2】判断下列函数的奇偶性：（1）()2f x x ； （2）33()sin()42x f x π=+；（3）()f x =．【分析】求出定义域，判断是否关于原点对称，注意运用诱导公式，定义域化简函数式，再计算f （﹣x ），与f （x ）比较即可判断其偶性．【答案】解：（1）定义域为R ，f （﹣x ）＝sin （﹣2x ）＝﹣sin2x ＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数； （2）f （x ）＝sin （+）＝﹣cos，定义域为R ，f （﹣x ）＝﹣cos （﹣）＝﹣cos＝f （x ）， 则f （x ）为偶函数；（3）由1﹣cos x ≥0且cos x ﹣1≥0，则cos x ＝1， 解得，x ＝2k π，k ∈Z ，则定义域关于原点对称，由于f （x ）＝0，则f （﹣x ）＝f （x ），且f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则f （x ）既是奇函数，也是偶函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义，考查运算能力，属于基础题． 【变式5-3】判断下列函数的奇偶性． （1）1sin cos ()1sin cos x xf x x x--=++；（2）44()sin cos cos 2f x x x x =-+．【分析】（1）容易判断f （x ）的定义域包含x ＝，不包含，即定义域不关于原点对称，从而得出f （x ）为非奇非偶函数；（2）容易得出f （﹣x ）＝f （x ），从而得出f （x ）为偶函数． 【答案】解：（1）∵；∴时，f （x ）有意义，时，f （x ）没意义；∴f （x ）的定义域关于原点不对称； ∴f （x ）为非奇非偶函数；（2）f （﹣x ）＝sin 4（﹣x ）﹣cos 4（﹣x ）+cos （﹣2x ）＝sin 4x ﹣cos 4x +cos2x ＝f （x ）； 即f （﹣x ）＝f （x ）； ∴f （x ）为偶函数．【点睛】考查奇函数、偶函数的定义，奇函数、偶函数定义域的特点． 【考点6 正、余弦函数的对称轴及对称中心】【例6】（2019春•资阳区校级月考）求函数12sin()26y x π=-的对称轴和对称中心．【分析】由条件根据正弦函数的对称性，求得函数y ＝2sin （x ﹣）的对称轴和对称中心． 【答案】解：对于函数y ＝2sin （x ﹣），令x ﹣＝k π+，k ∈z ，求得x ＝2k π+，故函数的对称轴方程为 x ＝2k π+，k ∈z ．令x ﹣＝k π，k ∈z ，求得x ＝2k π+，故函数的对称中心为 （2k π+，0）k ∈z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的对称性，属于基础题． 【变式6-1】求2cos(2)6y x π=-单调性对称轴对称中心．【分析】对于函数y ＝2cos （2x ﹣），令2k π﹣π≤2x ﹣≤2k π，求得x 的范围，可得函数的增区间；令2k π≤2x ﹣≤2k π+π，求得x 的范围，可得函数的减区间．令2x ﹣＝k π，求得x 的值，可得函数的图象的对称中心． 【答案】解：对于y ＝2cos （﹣2x ）＝2cos （2x ﹣）， 令2k π﹣π≤2x ﹣≤2k π，求得k π﹣≤x ≤k π+，可得函数的增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈z ． 令2k π≤2x ﹣≤2k π+π，求得k π+≤x ≤k π+， 可得函数的减区间为[k π+，k π+]，k ∈z ． 令2x ﹣＝k π，求得x ＝+， 可得函数的图象的对称中心为（+，0）．【点睛】本题主要考查余弦函数的单调性、余弦函数的图象的对称中心，属于基础题．【变式6-2】变式训练1：求函数的对称轴，对称中心（1）1())4f x x π=+；（2）1()2cos()123f x x π=-+．【分析】直接根据正余弦函数的图象及性质求解即可． 【答案】解：（1）f （x ）＝sin （2x +π）；令2x +π＝，k ∈Z 可得：x ＝，∴对称轴方程为：x ＝，k ∈Z 令2x +π＝k π，k ∈Z 可得：x ＝，∴对称中心（，0）．k ∈Z（2）f （x ）＝2cos （x ﹣）+1．令x ﹣＝，k ∈Z可得：x ＝2k π ∴对称中心（2k π，1）．k ∈Z令x ＝k π，k ∈Z可得：x ＝，∴对称轴方程为：x ＝，k ∈Z【点睛】本题考查了正余弦函数的图象及性质的应用．属于基础题． 【变式6-3】求下列函数图象的对称轴、对称中心． （1）sin()24x y π=-；（2）2sin(2)3y x π=++．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【答案】解：对于（1）y ＝sin （﹣），令﹣＝k π+，求得x ＝2k π+，可得函数的图象的对称轴为x ＝2k π+，k ∈Z ．令﹣＝k π，求得x ＝2k π+，可得函数的图象的对称中心为（2k π+，0），k ∈Z ．（2）对于y ＝2+sin （+2x ），令2x +＝k π+，求得x ＝k π+，可得函数的图象的对称轴为x ＝k π+，k ∈Z ．令2x +＝k π，求得x ＝k π﹣，可得函数的图象的对称中心为（k π﹣，0），k ∈Z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 【考点7 正、余弦函数的单调性】【例7】（2019•上城区校级模拟）设函数()3sin()(0)4f x x πωω=+>，且以23π为最小正周期．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的对称轴方程及单调递增区间．【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得它的对称轴方程；再利用正弦函数单调性求得它的单调递增区间．【答案】解：（1）由于函数，且以为最小正周期，∴＝，∴ω＝3， f （x ）＝3sin （3x +）．（2）令3x +＝k π+，求得x ＝+，故函数的图象的对称轴方程为 x ＝+，k ∈Z ．令 2k π﹣≤3x +≤2k π+，求得﹣≤x ≤+，可得函数的增区间为[﹣，+]，k ∈Z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数单调性以及它的图象的对称性，属于基础题． 【变式7-1】（2018秋•嘉兴期末）已知函数()2sin(2)()6f x x m m R π=-+∈的最小值为1． （Ⅰ）求m 的值及取此最小值时的x 值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由题意利用正弦函数的最值，求出m 的值及取此最小值时的x 值．（Ⅱ）利用正弦函数的周期性以及单调性，求得函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间． 【答案】解：（Ⅰ）函数 f （x ）＝2sin （2x ﹣）+m （m ∈R ）的最小值为﹣2+m ＝1，∴m ＝3． 取取此最小值时，2sin （2x ﹣）＝﹣1，2x ﹣＝2k π﹣，求得x ＝k π﹣，k ∈Z ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 f （x ）＝2sin （2x ﹣）+3，它的最小正周期为＝π，令2k π﹣≤2x ﹣≤2k π+，求得k π﹣≤x ≤k π+，可得函数的增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈Z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的最值，周期性以及单调性，属于中档档题． 【变式7-2】（2019春•靖远县期末）已知函数1()2cos()212f x x π=+．（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求不等式()1f x >的解集．【分析】（1）根据余弦函数的单调增区间可得，然后解出x 的范围即可；（2）由f （x ）＞1可得，则，k ∈Z ，解出x 的范围即可． 【答案】解：（1）， 由， ∴，∴f （x ）的单调递增区间为；（2）∵f （x ）＞1，∴，∴，∴，k ∈Z ， ∴，k ∈Z ，∴不等式的解集为，k ∈Z ．【点睛】本题考查了余弦函数的单调性和解三角不等式，考查了运算能力，属基础题．【变式7-3】（2019秋•福建月考）已知函数())4f x x π=-，[,]82x ππ∈-（1）求函数()f x 的单调区间．（2）求函数()f x 在区间[,]82ππ-上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．【分析】（1）x ∈[﹣，]⇒2x ﹣∈[﹣，]，利用余弦函数的单调性即可求得f （x ）＝cos （2x ﹣）的单调区间；（2）利用（1）f （x ）＝cos （2x ﹣）在区间[﹣，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，即可求得其最小值和最大值及取得最值时x 的值． 【答案】解：（1）∵f （x ）＝cos （2x ﹣），x ∈[﹣，]，∴2x ﹣∈[﹣，]，由﹣≤2x ﹣≤0得：﹣≤x ≤，∴当x ∈[﹣，]时，函数f （x ）的单调递增区间为[﹣，]；由0≤2x ﹣≤得，≤x ≤，∴当x ∈[﹣，]时，函数f （x ）的单调减区间为[，]；（2）∵f （x ）＝cos （2x ﹣）在区间[﹣，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f ＝0， f ＝， f＝cos＝﹣cos ＝﹣1，∴函数f （x ）在区间[﹣，]上的最大值为，此时x ＝，最小值为﹣1，此时x ＝．【点睛】本题考查余弦函数的单调性，考查余弦函数的定义域和值域，考查运算能力，属于中档题． 【考点8 正、余弦函数的综合应用】【例8】（2019春•延吉市校级期中）已知函数()12sin(2)3f x x π=+-．（1）求对称轴，对称中心（2）求()f x 在[,]42x ππ∈的最大值和最小值；（3）若不等式|()|2f x m -<在[,]42x ππ∈上恒成立，求实数m 的取值范围【分析】（1）令2x ﹣＝可得对称轴，令2x ﹣＝k π可得对称中心；（2）由x ∈[]，可求，结合正弦函数的图象及性质可求；（3）由|f （x ）﹣m |＜2可得m ﹣2＜f （x ）＜m +2恒成立，从而有m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2可求．【答案】解：（1）令2x ﹣＝可得对称轴x ＝，k ∈z ， 令2x ﹣＝k π可得，x ＝，k ∈z 可得对称中心为（，1），k ∈z ，（2）∵f （x ）＝1+2sin （2x ﹣），∵x ∈[]，∴，∴，∴f （x ）在x ∈[]的最大值3，最小值2，（3）∵|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[]上恒成立，∴m ﹣2＜f （x ）＜m +2，∴m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2， ∴1＜m ＜4，即m 的取值范围是（1，4）．【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，解题 的关键是性质的熟练掌握并能灵活应用．【变式8-1】已知函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++的定义域为[0，]2π，值域为[5-，1]．（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()4sin()3g x a bx π=--的最小值并求出对应x 的集合．【分析】（1）由x 的取值范围，求出2x +的取值范围，从而求出2sin （2x +）的取值范围；讨论a＞0、a ＜0时，函数f （x ）的最值问题，从而求出a 和b 的值．（2）根据（1）的结论，分两种情况讨论，根据正弦函数的性质即可求出． 【答案】解：（1）∵0≤x ≤，∴≤2x +≤， ∴≤sin （2x +）≤1， ∴﹣1≤2sin （2x +）≤2，当a ＞0时，解得a ＝2，b ＝﹣7， 当a ＜0时，，解得a ＝﹣2，b ＝1，（2）当a ＝2，b ＝﹣7时，g （x ）＝﹣8sin （﹣7x ﹣）＝8sin （7x +），其最小值为﹣8，7x +＝﹣+2k π，k ∈Z ，即x ＝﹣+，k ∈Z ，对应x 的集合为{x |x ＝﹣+，k ∈Z }，当a ＝﹣2，b ＝1时，g （x ）＝﹣8sin （x ﹣）＝﹣8sin （x ﹣），其最小值为﹣8，x ﹣＝+2k π，k ∈Z ，即x ＝π+2k π，k ∈Z ，对应x 的集合为{x |x ＝π+2k π，k ∈Z }．【点睛】本题考查了三角函数的图象与应用问题，解题时应根据三角函数的最值与值域的关系，利用分类讨论的方法，求出a 和b 的值． 【变式8-2】已知函数23()sin cos 2f x x a x =+-，a R ∈． （1）当1a =时，求函数()f x 的最大值；（2）对于区间[0，)2π上的任意x ，都有1)(≤x f 成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）把a ＝1代入函数解析式，利用平方关系化正弦为余弦，平方后求最值； （2）f （x ）＝sin 2x +a cos x ﹣＝，令t ＝cos x 换元，则原函数化为y ＝．由f （x ）≤1，得≤1在t ∈（0，1]上成立，分离参数a ，由对勾函数的单调性求得g （t ）＝t +在t ∈（0，1]上的最小值，则答案可求．【答案】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝sin 2x +cos x ﹣ ＝＝．当cos x ＝时，f （x ）取最大值为；（2）f （x ）＝sin 2x +a cos x ﹣＝，令t ＝cos x ，∵x ∈[0，），∴t ＝cos x ∈（0，1]．则原函数化为y ＝．由f （x ）≤1，得≤1在t ∈（0，1]上成立，即，也就是a ≤t +在t ∈（0，1]上成立，令g （t ）＝t +，由对勾函数的单调性可得在t ∈（0，1]上g （t ）的最小值为g （1）＝．∴a．即实数a 的取值范围是（﹣∞，]．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，训练了利用分离参数法求解恒成立问题，考查利用对勾函数的单调性求最值，是中档题．【变式8-3】（2019春•鹤壁期末）已知函数()sin(2)3f x x π=-．（Ⅰ）当1(2x π∈-，)3π-，2(0,)6x π∈时12()()0f x f x +=，求12x x -的值； （Ⅱ）令()()3F x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++…0≤m 恒成立，求m 的最大值． 【分析】（Ⅰ）运用正弦函数的诱导公式，解方程即可得到所求值；（Ⅱ）令t ＝F （x ），可得t ∈[﹣4，﹣2]，转化为二次不等式恒成立问题解法，结合图象可得m 的最大值． 【答案】解：（Ⅰ）f （x 1）+f （x 2）＝0， 即为sin （2x 1﹣）+sin （2x 2﹣）＝0， 即有sin （2x 1﹣）＝﹣sin （2x 2﹣）＝sin （﹣2x 2），可得2x 1﹣＝2k π+﹣2x 2，或2x 1﹣＝2k π+π﹣+2x 2，k ∈Z ，即有x 1+x 2＝k π+或x 1﹣x 2＝k π﹣，k ∈Z ， 由x 1∈（﹣，﹣），x 2∈（0，），可得x 1﹣x 2∈（﹣，﹣），可得x 1﹣x 2＝﹣； （Ⅱ）F （x ）＝f （x ）﹣3即F （x ）＝sin （2x ﹣）﹣3，令t ＝F （x ），可得t ∈[﹣4，﹣2]，对任意x都有F2（x）﹣（2+m）F（x）+2+m≤0恒成立，即为t2﹣（2+m）t+2+m≤0，则16+4（2+m）+2+m≤0，4+2（2+m）+2+m≤0，即m≤﹣．且m≤﹣，．解得m≤﹣，即m的最大值为﹣．【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质，考查换元法和二次函数的性质，以及化简运算能力，属于中档题．。
正弦函数与余弦函数的图象练习题
专项训练:正弦函数与余弦函数的图象一、单选题1．同时具有性质:①最小正周期是；②图象关于直线对称;③在上是增函数的一个函数是 ( ）A ．B ．C ．D ．2．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时,,则的值为( ). A ．B ．C ．D ．3．函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数,是A ． 最小正周期为的奇函数B ． 最小正周期为的偶函数C ． 最小正周期为的奇函数 D ． 最小正周期为的偶函数5．函数f (x )＝4x －3tan x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象大致为（ )A ．B ．C ．D ．6．如图是函数()(),(0)2f x cos x ππϕϕ<<＝＋的部分图象，则f (3x 0)＝( ）A ．12 B ． －12 C ．3． 37．已知f (x ）＝sin(ωx ＋φ）(ω>0,｜φ｜〈2π)的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位长度后关于y 轴对称，则( ）A ． ω＝2，φ＝π3B ． ω＝2，φ＝π6C ． ω＝4，φ＝π6D ． ω＝2，ω＝－π68．函数y =sin2x +cos2x 最小正周期为A ．B ．C ． πD ． 2π9．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) 0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若x 1,x 2∈,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且f (x 1)＝f （x 2），则f (x 1＋x 2）＝（ )A ．12B ． 22C ．32D ． 1 10．下列函数中,周期为π,且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的是（ )A ． sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ． cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ． cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ． sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．函数y ＝－sin x ，x ∈π3,22π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的简图是( )A ．B ．C ．D ．12．函数f （x )=sin π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象的对称轴方程可以为 ( )A ． x=π12B ． x=5π12 C ． x=π3 D ． x=π613．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 （ ）A ．B ．C ．D ．14．函数()22sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是( ）。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 知识点及习题
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)课时目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．______时，y min ＝－1一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定 3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1D.⎣⎡⎦⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 5．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π)D ．y ＝cos(x ＋π)7．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是____________． 8．函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．9．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________________．10．设|x |≤π4，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是______．三、解答题11．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12(cos2x )．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．能力提升13．已知sin α>sin β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则( ) A ．α＋β>πB ．α＋β<πC ．α－β≥－32πD ．α－β≤－32π14．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C ．2D ．31．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案知识梳理R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ) [π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝－π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z )作业设计 1．C 2.D3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.]4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．]5．C [∵sin168°＝sin (180°－12°)＝sin12°， cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80° 由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.] 7.⎣⎡⎦⎤π2，π 8．[0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3.∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2]9．b <c <a解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. ∵b <c <a . 10.1－22解析 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－(sin x －12)2＋54∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22.∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．(2)由题意得cos2x >0且y ＝cos2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z .∴y ＝log 12(cos2x )的增区间为⎝⎛⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 12．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 13．A [∵β∈⎝⎛⎭⎫π，32π， ∴π－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且sin(π－β)＝sin β. ∵y ＝sin x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递增， ∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β) ⇔α>π－β⇔α＋β>π.]14．B [要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T ≤π4，即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥32或ω≥6. ∴ω的最小值为32，故选B.]。
正弦函数、余弦函数的图象和性质优秀课件 1
四、学法分析
明确告诉学生本节课的重点和难点，引导学
生先自主学习，探讨得到自己的观点，最后 认真观察教学课件的演示。指导学生进行分 组讨论交流，要求学生动手画、动脑想、善 观察、会发现，促进学生知识体系的建构和 数学思想方法的形成。注意面向全体学生， 使学生真正成为学习的主体。
8
五、教学程序设计
3 3 2
o o
2
y sin x , x [ 0 , 2 ]
2
2 2
x x
y cos x , x [ 0 , 2 ]
16
1.4. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
5、归纳小结
（1）正弦函数图象的几何作图法； （2）正弦函数、余弦函数图象的五点作图 法；使学生通过作业进一步掌握和巩 固本节内容。 （3）正弦函数与余弦函数图象间的联系。 通过学生自己总结，检测出
x
余弦线OM
三角问题
几何问题
10
2、提出问题，导入课题
教师边启发，边与同学们共 同分析。从一个特殊点出发， 由特殊到一般，符合认知规 律，分散了难点。
0 , 2 （2）如何利用正弦线准确地做出y=sinx， x
的图象?
提出问题，让学生思考，创设问题 情境，激发学生学习的欲望和要求。
-
-
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
图象的最低点 ( 32 ,1)
-1
o
-1 -
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
3 ( , 0 ) ( x 2 2 2 ,0) ) 图象的最低点 ( ,1 15
5.3.1正弦函数余弦函数的图象与性质(第1课时)课件高一上学期数学
π
的图象向右平移 个单位长度,得到
2
g(x)的图象.
3.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是( B )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
解析 当 x=0 时,y=1;当
当
3π
x= 时,y=2;当
2
π
x=2 时,y=0;当
x=π 时,y=1;
x=2π 时,y=1.结合选项中的图象可知 B 正确.故选 B.
π
3
2
2π
0
1
1
2
3
规律方法
用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acos x+b(A≠0)在[0,2π]
上的简图的步骤.
(1)列表:
x
0
sin x(或cos x) 0(或1)
y
π
2
1(或0)
b(或A+b) A+b(或b)
π
3π
2
2π
0(或-1)
-1(或0)
0(或1)
b(或-A+b)
解 将 y= 1-cos 2 化为 y=|sin x|,
即 y=
sin(2π ≤ ≤ π + 2π,∈Z),
-sin(π + 2π < < 2π + 2π,∈Z).
因此首先作出函数y=sin x的图象,然后将图象在x轴下方的部分翻折到上
方即可得到函数y=|sin x|的图象,其图象如图所示.
x的取值集合为
解析 当
π
2
,m),则m=
2π
4π
{x∣ 3 +2kπ<x< 3 +2kπ,k∈Z}
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)(可编辑修改word版)
2第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．1. 正弦曲线、余弦曲线2. “五点法”画图画正弦函数 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是 ； 画余弦函数 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是．3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式 cos x ＝sin (x ＋π)，要得到 y ＝cos x 的图象，只需把 y ＝sin x 的图象向π平移 个单位长度即可．2知识点归纳：1. 正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2. 五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．一、选择题 1. 函数 y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴πC ．直线 y ＝xD ．直线 x ＝2π2. 函数 y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移2个单位后，得到函数 y ＝g (x )的图象，则 g (x )的解析式为( ) A ．－sin x B ．sin x C ．－cos x D ．cos x2 4 4 2 4 4π 3π3. 函数 y ＝－sin x ，x ∈[－2， 2]的简图是()4. 在(0,2π)内使 sin x >|cos x |的 x 的取值范围是()A.(π，3π)B.(π π] (5π 3π]， ∪ ， C.(π，π)D.(5π，7π)5. 若函数 y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线 y ＝2 围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图 形的面积是( ) A ．4 B ．8 C ．2π D ．4π 6．方程 sin x ＝lg x 的解的个数是( )π7. 函数 y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式是 ．8. 函数 y ＝ 2cos x ＋1的定义域是 ． 9. 方程 x 2－cos x ＝0 的实数解的个数是 ． 10. 设 0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则 x 的取值范围为 ． 三、解答题1.利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)；(2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．4 4 4 212.分别作出下列函数的图象．(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.能力提升13.求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．14.函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．( )解析 y ＝sin x −−−−−−→ y ＝sin x － 2 2 23 3知识梳理§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案2．(0,0)，( ，1)，(π，0)，( π，－1)，(2π，0) (0,1)，( ，0)，(π，－1)，( π，0)，(2π，1)π 3 π 3 22223．左 作业设计1．D 2.B 3.D 4．A [∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出 y ＝sin x ，x ∈(0，π)与 y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得 x ∈(π，3π).]4 45．D [作出函数 y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数 y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线 y ＝2 围成的 平面图形，如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形 OABC 的面积，又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.]6．C [用五点法画出函数 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移 2π 个单位， 得到 y ＝sin x 的图象．描出点 1，－1 ，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到 y ＝lg x 的图象，如图所示．10由图象可知方程 sin x ＝lg x 的解有 3 个．] 7．y ＝－cos x向右平移 2个单位 ( π)∵sin (x －π)＝－sin (π－x )＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 8.[2k π－2π，2k π＋2π]，k ∈Z解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－1，结合图象知 x ∈[2k π－2π，2k π＋2π]，k ∈Z . 2 3 39．2解析 作函数 y ＝cos x 与 y ＝x 2 的图象，如图所示，4 4由图象，可知原方程有两个实数解．10.[π，5π]解析由题意知sin x－cos x≥0，即cos x≤sin x，在同一坐标系画出y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示：π 5观察图象知x∈[ ，π]．4 411.解利用“五点法”作图(1)列表：X 0π2π3π22πsin x 0 1 0 －1 01－sin x 1 0 1 2 1(2)列表：X 0π2π3π22πcos x 1 0 －1 0 1－1－cos x －2 －1 0 －1 －212.解(1)y＝|sin x|＝Error! (k∈Z)．其图象如图所示，(2)y＝sin|x|＝Error!，其图象如图所示，13.解由题意，x 满足不等式组Error!，即Error!，作出y＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π)．14.解f(x)＝sin x＋2|sin x|＝Error!图象如图，若使f(x)的图象与直线y＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．。
习题课正弦函数余弦函数的图象与性质课件高一下学期数学北师大版(1)
2
3
ω≥ .
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D.3
4.函数 f(x)=
2
-1
1+e
sin x 的部分图象大致形状是( C )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5.[2021 全国甲,文 15]已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则
f
π
2
=
- 3
2π
B.
3
3π
C.
2
+
π
f(x)=sin 3 是偶函数,可得 3 =kπ+2,k∈Z,即
[0,2π],所以
3π
φ= .
2
φ=( C )
5π
D.
3
3π
φ=3kπ+ 2 (k∈Z),又
φ∈
规律方法 与正弦函数、余弦函数的奇偶性相关的结论
π
(1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则有φ=kπ+ 2 ,k∈Z;若为奇函数,则有
因为-1≤sin x≤1,所以函数y=cos2x+2sin x-2,x∈R的值域为[-4,0].
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)五点(作图)法的应用;
(2)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象;
(3)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质及应用.
2.方法归纳:数形结合、整体代换、分类讨论.
π
π-2
x= + 2 ,k∈Z
当φ=kπ,k∈Z时是 奇 函数;
奇偶性
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三十教时
教材：正弦函数、余弦函数的图象及其性质习题课；《教学与测试》第57、58课
目的：复习正弦函数、余弦函数的图象及其性质，使学生对上述概念的理解、
认识更深刻。
过程：一、复习：1．y=sinx y=cosx 的图象 当x ∈R 时，当x ∈[0，2π]时
2．y=sinx y=cosx 的性质 定义域、值域（有界性）最
值、
周期性、奇偶性、单调性
二、处理《教学与测试》P119 第57课 1．已知函数f (x )=
x
2cos
12
-，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶
性、周期性以及区间[0，
2
π
]
解：f (x )=|sin2x| f (-x )=|sin(-2x)|=|sin2x|=f (x ∴f (x )为偶函数 T=2
π
在[0,
4
π
]上f (x )单调递增；在[4
π
,
2
π
]上单调递减
注意：若无“区间[0,2
π]”的条件，则增区间为[
4
2,2π
ππ+
k k ] k ∈Z 减区间为[
2
)1(,
4
2
ππ
π++
k k ] k ∈Z
2．设x ∈[0,
2
π
], f (x )=sin(cosx), g (x )=cos(sinx) 求f (x )和g (x )的最大值
和最小值，并将它们按大小顺序排列起来。
解：∵在[0,2
π
]上y=cosx 单调递减, 且cosx ∈[0,1] 在此区间内y=sinx
单调递增且sinx ∈[0,1] ∴f (x )=sin(cosx)∈[0,sin1] 最小值为0,
最大值为sin1
g (x )=cos(sinx)∈[cos1,1] 最小值为cos1, 最大值为1 ∵cos1=sin(
2
π
-1)<sin1 ∴它们的顺序为：0<cos1<sin1<1
三、处理《教学与测试》P121第58课
1．已知△ABC 的两边a, b ，它们的夹角为C 1︒试写出△ABC 面积的表
达式；
2︒当∠C 变化时，求△AABC 面积的最大值。
如图：设AC 边上的高h=asinC
2︒当
C=90︒时[sinC]max =1 ∴[S
△
ABC ]max =
ab
21
2．求函数3
cos 3cos +-=
x x y 的最大值和最小值。
解：（部分分式）
3
cos 61+-
=x y 当cosx=1时 y max =2
1
当cosx=-1时 y min = -2 3．求函数)3
cos(2π-=x y (6
π≤x ≤
3
2π)的最大值和最小值。
解：∵x ∈[6
π,3
2π] ∴x-3
π∈[-6
π,3
π]
∴当x-3
π=0 即x=3
π时 y max =2
当x-3
π=3
π 即x=
3
2π时 y min =1
四、补充（备用）《精编》 （P79例7）求函数f (x )=)43
1cos(log
2
1π
+
x 的单调递增区间。
解：∵f (x )=)4
3
1cos(
log
2
1π
+
x
令4
3
1π
+
=
x t ∴y=t
c os l og
2
1
t 是x 的增函数 又∵0<2
1<1
∴当y=t
c os l og
2
1为单调递增时 cost 为单调递减 且cost>0
∴2k π≤t<2k π+2
π
(k ∈Z)
∴2k π≤4
3
1π
+
x <2k π+
2
π
(k ∈Z) 6k π-
4
3π≤
x<6k π+
4
3π
(k ∈Z)
∴f (x )=)
4
3
1cos(
log
2
1π
+
x 的单调递减区间是[6k π-
4
3π,6k π+
4
3π)
(k ∈Z)
五、作业：《教学与测试》P120 4-8 思考题
P121 4-8 思考题
C D b A。