高三数月考卷教师版《集合、简易逻辑、向量、三角函数》

高三月考卷数学 科试卷（教师用卷）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分。

（考试内容：三角函数，解三角形，平面向量）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．设集合{1,2},{1,2,3},{2,3,4},()A B C A B C === 则=（ ）A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，4}C ．{1，3，4}D ．{1，2，3}【答案】选A 【解析】略。

2.如果向量a =(k, 1) 与b =(6, k+1)共线且方向相反，那么k 的值为A ．-3B ．2C ．17-D ．17【答案】选A ；【解析】a //b ⇔k(k+1)=6⇔k=-3或k=2，又方向相反，所以k=-33． 命题：“对任意1,0+>>x e x x ”的否定是（ ）A ．存在1,0+≤≤x e x xB ．存在1,0+≤>x e x xC ．存在1,0+>≤x e x xD ．对任意1,0+≤>x e x x【答案】选B 【解析】略4．在三角形ABC 中，若C A B sin sincos 2=，则∆ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰三角形 B.直角三角形 C ．等腰直角三角形 D.等边三角形 【答案】选A【解析】A B B A B A B A C sin cos 2sin cos cos sin )sin(sin =+=+= 0)sin(sin cos cos sin =-=-∴B A B A B A )0(π<<B A 、 故A=B5．化简oo o si 1010cos 135sin 22-＝( )A ．－2B ．－12 C ．－1D ．1【答案】选A ；【解析】 oo o si 1010cos 135sin 22-=o o 20sin 2170cos -=o o20sin 2120sin -＝－2. 6．21sin -=x y 定义域为( ) A ．]65,6[ππ B ．]65,6[ππππ++k k C ．]652,62[ππππ++k k D ．]62,62[ππππ+-k k 【答案】选C ；【解析】由21sin ≥x , 结合正弦函数的图象与周期可得答案C 7.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2的部分图象如图所示，则(OB →－OA →)·OB →＝( )A ．－4B ．2C ．－2D ．4【答案】选D ；【解析】由题意知A (2,0)，B (3,1)，所以(OB →－OA →)·OB →＝(1,1)·(3,1)＝4，故选D.8.已知函数f (x )＝A sin(x ωϕ+)（A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π），其导函数()f x '的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为（ ）A 、f (x )＝4sin(1324x π+)B 、f (x )＝4sin(124x π+)C 、f (x )＝4sin(134x π+)D 、f (x )＝4sin(234x π+)【答案】选B ；【解析】由图象可知()f x '=2cos )421(π+x ,B 答案求导可得。

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。

(一).必做题（9-13题） 9．)300sin(o -=_________【答案】23； 【解析】)300sin(o -=)60sin(o =23 10. 一人分别在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，测 得0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距 离是 千米。

【答案】6； 【解析】由题有C AB B AC sin sin =，即6sin sin ==B CABAC 11. 设函数3sin )(2+=x x x f , 若12)(=m f ，则=-)(m f ． 【答案】-6；【解析】123sin )(2=+=m m m f , 9sin 2=∴m m ,6393sin 3)sin()(22-=+-=+-=+-=-∴m m m m m f12. 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，且扇形的中心角为钝角，则扇形的中心角的弧度数是___________; 【答案】4；【解析】设扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝612rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.因为中心角为钝角，所以4==rlα 13. 设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量a =（x 1，y 1）∈V ，b =（x 2，y 2）∈V ，以及任意λ∈R ，均有f (λa +μb )= λf (a)+μf (b ) 则称映射f 具有性质P 。

现给出如下映射：①R V f →:1,1f (m )=0, m =（x ，y ）∈V②R V f →:2,2f (m )=x+y, m =（x ，y ）∈V ③R V f →:3,3f (m )=x+y+1, m =（x ，y ）∈V其中，具有性质P 的映射的序号为________。

（写出所有具有性质P 的映射的序号）【答案】；①②③【解析】由2011年福建高考题改编 因λa +μb =（λx 1 +μx 2，λy 1 +μy 2）由1f （λa +μb ）=0=λ1f (a)+μ 1f (b ) 知①正确 由2f （λa +μb ）=λx 1 +μx 2+λy 1 +μy 2 ；λ2f (a)+μ 2f (b )= λ（x 1+y 1）+μ（x 2+y 2）=λx 1 +μx 2+λy 1 +μy 2知②正确；由3f （λa +μb ）=λx 1 +μx 2+λy 1 +μy 2 +1 ；λ2f (a)+μ 2f (b )= λ（x 1+y 1+1）+μ（x 2+y 2+1）=λx 1 +μx 2+λy 1 +μy 2+λ+μ知③不正确；(二).选做题（请考生在第14～16三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 14.定义在R 上的奇函数)(x f 满足：对于任意,(3)()x R f x f x ∈+=-有，若tan 2α=，(15sin cos )f αα=则 __.【答案】0；【解析】由,(3)()x R f x f x ∈+=-有知函数的周期为6，(15sin cos )f αα=则)tan 1tan 15(2αα+f =)6(f =)0(f =015.关于x 的方程1110sin cos sin cos a x x x x ++-=在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭有解，则a 的范围是 【答案】),222[∝++； 【解析】)2,0(π∈x ，设sinx+cosx=t ]2,1(∈,则x x x x cos sin 1cos 1sin 1++=x x x x cos sin 1cos sin ++=1)1(22-+t t =12-t ),222[∝++∈ ∴a ),222[∝++∈16.设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=（λ∈R ），1412A A A A μ=（μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则①C 不可能是线段AB 的中点；②C ，D 不可能同时在线段AB 上；③C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上； 说法正确的序号为______________ 【答案】；①②③【解析】由2011年山东高考题改编若C 是线段AB 的中点，则=λ12，=μ10，不可能，可知①正确； 若C ，D 同时在线段AB 上，则11>λ，11>μ，不可能，可知②正确；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上；则01<λ，01<μ，不可能，可知③正确；三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分） .已知,2)4tan(=+πx1)求tan2x 的值； 2）求x x xx cos sin 6cos 3sin 2+-的值；【解析】：1)2tan 1tan 1)4tan(=-+=+x x x π 31tan =∴x ………………………（4分） xx x 2tan 1tan 22tan -=∴=4391132=- ………………………（8分） 2) x x x x cos sin 6cos 3sin 2+-=971tan 63tan 2-=+-x x ………………………（12分）18．（本小题满分12分）在△ABC 中， A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；a=2，b ＝2，sin C ＝2sin A .(1)求c 边的长； (2)求sin )4(π-A 的值．【解析】： (1)在△ABC 中，根据正弦定理，AaC c sin sin =. 于是c ＝sin Csin A a ＝2a ＝22.…………………………………………（5分）(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝bc a c b 2222-+＝28284-+=825.…………………………（8分）),0(π∈A于是sin A ＝1－cos 2A ＝814.…………………………………………（10分） 所以sin )4(π-A ＝sin A cos4π－cos A sin 4π＝857-.………………（12分）19．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示．(1)求ω、φ的值； (2)设g (x )＝)4()(π-x f x f ，求函数g (x )的周期及单调递增区间.【解析】(1)由图可知T ＝4⎝⎛⎭⎫π2－π4＝π，ω＝2πT＝2， ………………………（2分） 又由f ⎝⎛⎭⎫π2＝1得，sin(π＋φ)＝1，sin φ＝－1.∴|φ|<π，∴φ＝－π2 ……………………………………………………（5分）(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x . 因为g (x )＝(－cos 2x )⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos 2x sin 2x ……………………（7分） ＝12sin 4x ， 所以，周期T=2π…………………………………………………………（9分） 所以2k π－π2≤4x ≤2k π＋π2，即k π2－π8≤x ≤k π2＋π8(k ∈Z )．故函数g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π2－π8，k π2＋π8(k ∈Z )．………………………（12分）20.本小题满分12分已知函数()f x a b =⋅，其中)sin 3,cos 2(x x a =，(cos ,2cos )b x x =-（1）求函数()f x 最小值与对称轴方程；(2) 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且f(A)=-1，求)3cos(2C a c b +-π的值．【解析】 (1))1)6-sin(2x 2(1)32cos(2)(+-=++=ππy x x f 或…………（3分）()f x 的最小值为-1 …………………………………………………………（4分） ()f x 的对称轴为x=23ππk +(Z k ∈)……………………………………（6分） （2）11)32cos(2)(-=++=πA A f1)32cos(-=+πA),0(π∈A ∴3π=A ……………………………………………（9分）故)3cos(2C a c b +-π＝)3cos(sin sin 2sin C A C B +-π＝)3cos(3sin sin 2)3sin(C CC +--πππ＝32cos C ＋12sin C －2sin C 32(12cos C －32sin C )＝32cos C －32sin C 12(32cos C －32sin C )＝2…………………………（12分）另法3π=A bc c b a -+=∴222 bc c b a -=-∴222)3cos(2C a c b +-π=B a c b cos 2--=)()2(2222b c a c b c -+--=)2()2(22bc c c b c ---=2 ……（12分） 21. 本小题满分13分如图，A ，B 是海面上两个测点，B 在A 的正东方，相距103海里，现位于A 点北偏东45°、B 点北偏西15°的D 点有一艘轮船发出求救信号，观测员通知位于B 点南偏西30°AB北且与B 点相距20海里的o 点的救援船在75分钟内赶到D 点营救，援船的最高航行速度为30海里/小时，该救援船能否在规定的时间内赶到出事点D ？并说明理由【解析】（由2010年陕西题改编） 由题意知AB=103海里，o DBA 75=∠ ,o DAB 45=∠,o DAB 60=∠∴在DAB ∆中,由正弦定理得sin sin DB ABDAB ADB=∠∠，2102322310sin sin =⋅=∠∠=∴ADBDABAB DB ………………………………（5分）又oBDO 135=∠ ，BO=20，BD=210=⋅-+=∴DBO BO BD BO BD OD cos 222210001010=∴OD ………………………（11分）10105.3725.130>=⨯所以救援船能在75分钟内赶到D 点 …………………（13分）22. 本小题满分14分已知A 、B 、C 三点在直线l 上，向量OA →，OB →，OC →满足：OB f x f OA )]1('2)([+-+OC x )1ln(+=（Ⅰ）求函数y ＝f (x )的表达式； （Ⅱ）若x ＞0，证明：f (x )＞2x x ＋2； （Ⅲ）若不等式12x 2≤f (x 2)＋m 2－2bm －3时，x ∈[－1，1]及b ∈[－1，1]都恒成立，求实数m的取值范围．【解析】(Ⅰ) 由A 、B 、C 三点共线0)1ln()]1('2)([1=+++-x f x f .…………………………………………（2分）∴)1(21)1ln()(f x x f '-++=，∴11)(+='x x f ，………………………………………………………………（4分） ∴21)1(='f ，故)1ln()(+=x x f 。