材料分析方法-李晓娜-4 倒易空间点阵
倒易点阵重点
bc bc a* V a bc
ca ca b* V bca ab a b c* V c ab
材料现代研究方法讲义
正点阵和倒易点阵中点、线、面的关系
点阵矢量 r * ha * kb * lc * 倒易点阵基本平移矢量：a *, b *, c *
P1S P1 / 源自r* P1SP2 /
•
S0 /
C
O*
r
* P2
P2
材料现代研究方法讲义
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 1、劳埃法：单晶体试样固定不动，采用连续X射线
材料现代研究方法讲义
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 2、旋转晶体法：单晶体绕与入射线垂直的轴转动。
材料现代研究方法讲义
厄瓦尔德图解：衍射矢量方程与倒易点阵结合，表示 衍射条件与衍射方向
反射球（衍射球，厄 瓦尔德球）：在入射线 方向上任取一点C为球 心，以入射线波长的倒 数为半径的球。 产生衍射的条件：若以入 射线与反射球的交点为原 点，形成倒易点阵，只要 倒易点落在反射球面上， 对应的点阵面都能满足布 拉格条件，衍射线方向为 反射球心射向球面上其倒 易结点的方向。
衍射矢量方程及厄瓦尔德图解
材料现代研究方法讲义
衍射矢量方程
s s0 (HKL) 衍射矢量
s s 0 2 S sin 2sin 1 s s0 d HKL
s s0 r
* HKL
r * H a * Kb * Lc *
材料现代研究方法讲义
r * ha * kb * lc *
以 a *, b *, c * 为新的三个基矢， 引入另一个点阵，显然该点阵 ca 中的点阵矢量 r * ha * kb * lc * b* V 的方向就是晶面(hkl)的法线方 ab 向，该矢量指向的点阵点指数 c* V 即为hkl。 倒易点阵的一个结点对应空间点阵的一个晶面
倒易点阵
＊
* * * * * a r*001 * * * * * * *c * β * *
＊
＊
202 ＊ ＊ r*001 ＊ ＊
a* = r*200 = 1/d200 = 2/(a.cos[β-90])= 2/(a.sinβ) b* = r*002 = 1/d002 = 2/b c* = r*001 = 1/d001 = 1/(c.cos[β-90])= 1/(c.sinβ) ＊
5、对于面心型，指数同为偶数或奇数的晶面才出现； 、对于面心型，指数同为偶数或奇数的晶面才出现； (111) (220)
(200)
（三）、倒易点阵小结 ）、倒易点阵小结
1、均为无限的周期点阵， 、均为无限的周期点阵， 2、正点阵的晶面对应于倒易点阵的阵点（除有公因子指数外）； 、正点阵的晶面对应于倒易点阵的阵点（除有公因子指数外）； 3、晶系不变，为11种中心对称的劳厄点群； 种中心对称的劳厄点群； 、晶系不变， 种中心对称的劳厄点群 4、P->P*, C->C*, I->F*, F->I*，即对复合单胞出现倒易点阵系统消光， 、 ，即对复合单胞出现倒易点阵系统消光， 立方系指数表见下表
r∗ r∗ r r r∗ r∗ r rhkl ⋅ AB = (ha + kb + lc ) (b / k − a / h) = 1 − 1 = 0 r∗ r c ∴ rhkl ⊥ AB r r∗ 同理可证： 同理可证： rhkl ⊥ AC C r b r∗ rhkl ⊥ BC B
∴
性质一证明 r r r r O A = a / h OB = b / k
1/ a2 cos γ * G* = ab 0
cos γ * ab 1/ b2 0
简述倒格子点阵的物理意义
简述倒格子点阵的物理意义倒格子点阵是固体物理学中用来描述晶体结构的一种方法。
晶体是由周期性排列的原子、离子或分子组成的固体，其结构可以通过倒格子点阵来描述。
倒格子点阵的概念可以通过逆空间的观点来理解。
晶体中的原子位置可以用布拉菲格子点阵来描述，而倒格子点阵则是对布拉菲格子点阵进行傅里叶变换得到的结果。
倒格子点阵的物理意义在于它提供了描述晶体的一种方便的数学工具。
通过倒格子点阵，可以得到晶体的布里渊区、倒格矢量和倒格子平面等重要信息。
这些信息对于理解和研究晶体的物理性质具有重要的意义。
首先，倒格子点阵在描述晶体的布里渊区时起到了关键作用。
布里渊区是晶体中电子能带结构的重要参数。
通过倒格子点阵，可以得到布里渊区的形状、大小和位置等信息。
布里渊区决定了电子在晶体中的动力学行为，例如能带结构、电子的色散关系、电子的输运性质等。
因此，了解布里渊区是研究晶体物理性质的基础。
其次，倒格子点阵还提供了描述晶体中倒格矢量的工具。
倒格矢量可以用来描述晶体中的周期性现象，例如衍射、散射和涨落等。
倒格矢量与实空间中的布拉菲格矢量之间有一种重要的关系，即：G=2π/a,其中G是倒格矢量，a是晶格常数。
倒格矢量决定了晶体中周期性现象的特征尺度和角度，例如晶体的衍射图样和散射截面。
倒格矢量还与布里渊区的边界有关，因此可以通过分析倒格矢量来了解晶体的电子结构和光学性质。
最后，倒格子点阵还提供了描述晶体中倒格子平面的方法。
倒格子平面是一种特殊的平面结构，其间距与布拉菲格子平面相反。
倒格子平面在晶体中的散射和反射过程中起到了重要的作用，可以影响散射或反射光的强度和方向。
倒格子平面还与晶体中的反射对称性有关，因此可以通过分析倒格子平面来了解晶体的对称性和晶体学性质。
总之，倒格子点阵的物理意义在于它是描述晶体结构和性质的重要数学工具。
通过倒格子点阵，我们可以了解晶体的布里渊区、倒格矢量和倒格子平面等关键参数，从而揭示晶体中的周期性现象、电子结构和光学性质等重要物理机制。
材料现代分析方法（复习题及答案）
材料现代分析方法（复习题及答案）1、埃利斑由于光的波动性，光通过小孔发生衍射，明暗相间的条纹衍射的图样，条纹间距随小孔尺寸的变大，衍射的图样的中心有最大的亮斑，称为埃利斑。
2、差热分析是在程序的控制条件下，测量在升温、降温或恒温过程中样品和参比物之间的温差。
3、差示扫描量热法（DSC）是在程序控制条件下，直接测量样品在升温、降温或恒温过程中所吸收的或放出的热量。
4、倒易点阵是由晶体点阵按照一定的对应关系建立的空间点阵，此对应关系可称为倒易变换。
5、干涉指数在（hkl）晶面组（其晶面间距记为dhkl）同一空间方位，设若有晶面间距为dhkl/n （n为任意整数）的晶面组（nh，nk，nl）即（H,K,L）记为干涉指数。
6、干涉面简化布拉格方程所引入的反射面（不需加工且要参与计算的面）。
7、景深当像平面固定时（像距不变）能在像清晰地范围内，允许物体平面沿透镜轴移动的最大距离。
8、焦长固定样品的条件下，像平面沿透镜主轴移动时能保持物象清晰的距离范围。
9、晶带晶体中，与某一晶向【uvw】平行的所有（HKL）晶面属于同一晶带，称为晶带10、α射线若K层产生空位，其外层电子向K层跃迁产生的X射线统称为K系特征辐射，其中有L层电子跃迁产生的K系特征辐射称为Ka.11、数值孔径子午光线能进入或离开纤芯（光学系统或挂光学器件）的最大圆锥的半顶角之余弦，乘以圆锥顶所在介质的折射率。
12、透镜分辨率用物理学方法(如光学仪器)能分清两个密切相邻物体的程度13 衍射衬度由样品各处衍射束强度的差异形成的衬度成为衍射衬度。
14α射线若K层产生空位，其外层电子向K层跃迁产生的X射线统称为K系特征辐射，其中有L 层电子跃迁产生的K系特征辐射称为Ka.15质厚衬度由于样品不同区间存在原子序数或厚度的差异而形成的非晶体样品投射电子显微图像衬度，即质量衬度，简称质厚衬度。
16 质谱是离子数量（强度）对质荷比的分布，以质谱图或质谱表的形式的表达。
倒易点阵介绍
n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )
相应的位向差为
2
2
( S S0 )
OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
2
1/
A
O
S0 /
5 、以S0端点O点为原点，作
倒易空间，某倒易点（代表
某倒易矢量与hkl面网）的 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果
P
S/
S S0 g
2
不在反射球面上， 说明不
满足Bragg’s Law，可以直
1/
A
O
S0 /
25
概念回顾
以A为圆心，1/λ 为半径所做的球称为反 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球， Ewald球。 围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点 形成的球称为倒易球 以O为圆心，2/λ 为半径的球称为极限球。
26
大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl
2
S/的晶面不Fra bibliotek1/
2 C S0/
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考
(1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶 体衍射有力手段。
1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例
倒易格子与衍射—1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例一、倒易格子概念及性质1. 倒易点阵的定义设有一正点阵，用三个基矢(a,b,c)描述，记为S=S(a,b,c)。
引入三个新基矢(a*,b*,c*)描述，记为S*=S(a*,b*,c*)。
二者之间的关系：a*•a=1a*•b=0 a*•c=0b*•a=0b*•b=1b*•c=0c*•a=0c*•b=0c*•c=1则S*称作S的倒易点阵(Reciprocal lattice)。
2. 正倒格子的关系：a*=(b×c)/V b*=(c×a)/V c*=(a×b)/V其中V= a•(b×c)正格子的体积或为：a=(b*×c*)/V*b=(c*×a*)/V* c=(a*×b*)/V*其中V*=a*•(b*×c*)倒格子的体积亦有：V* = 1/V正倒格子的角度换算：|a*| = bcsinα/V|b*| = casinβ/V |c*|= absinγ/V或：|a| = b*c*sinα*/V* |b| = c*a*sinβ*/V* |c|= a*b*sinγ*/V*上式中：cosα* = (cosβcosγ-cosα)/sinβsinγcosβ* = (cosγcosα -cosβ)/sinγsinαcosγ* = (cosαcosβ -cosγ)/sinαsinβ当晶体的对称中，α=β=γ=90°时|a*| = 1/a|b*| =1/b|c*| = 1/c单斜晶系时，α=γ=90°，β≠90°，即：α*=γ*=90°，β*=180°-β则：|a*| =1/asinβ |b*| = 1/b |c*| =1/csinβ图1-1.三斜晶系的倒易点阵如图1-1所示为三斜晶系的倒易点阵，其中a*在与bc平面垂直的方向，b*与ac平面垂直，长度为1/b，c*与ab平面垂直，长度为1/c。
倒易点阵名词解释
倒易点阵名
倒易点阵是由被称为倒易点的点所构成的一种点阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，它和空间点阵具有倒易关系。
倒易点阵中的一倒易点对应着空间点阵中一组晶面间距相等的点格平面。
倒易点阵的概念在晶体结构和固体物理学中都有十分重要的作用。
到目前为止，大多数教程都是在密勒指数或晶面指数无关的情况下来定义倒易点阵概念的。
由于晶面指数的概念出现得很早，有一些老的晶体学和固体物理学教程中甚至没有提到倒易点阵这个概念。
在目前流行的固体物理学教科书中，对倒易点阵均有叙述，而且处处应用。
但是，倒易点阵概念的引入比较生硬，对倒易点阵与晶面指数的关系交待得不够清楚。
倒易点阵
由满足这些条件的初基矢量a*, b*, c*决 定的点阵----倒易点阵
倒易点阵与正点阵的基本对应关系为
a * b a * c b * a b * c c * a c * b 0 a * a b * b c * c 1
*
： a 与a的夹角
*
： b*与b 的夹角 ： c 与c 的夹角
*
根据定义， a 与(b c )同方向 * 即： a 1 (b c )
*
倒易点阵的另一种表达方式
a a 1
*
* a a 1 (b c ) a 1 正点阵体积 V (b c ) a
bc a V
*
1 V 1
1 1 / V
a 1 (b c )
*
V a bc bc a c ab
bc bc a V a b c
*
ca ca b V bca
*
ab ab c V cab
*
给出了倒易点阵与正点阵之间的方向 关系和数值关系。
a ,b ,c
* * *
2.3.1 倒易点阵的定义及倒易点阵参数 定义
c* b* 引入倒易点阵初基矢量 c b
令a * a 1, b * b 1; c * c 1
* 令a b , c * b a, c * c b, a
a
a*
*
V abc
bc sin sin a abc a sin 90 1 a a
*
1 b b
*
1 c c
*
1 a b c a
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11
复杂点阵
1、底心正交点阵 对于C底心型，指数h、k 之和为偶数的晶面才出 现；
|a* |= |r*200 |= 1/d200 = 2/a |b* |= |r*020 |= 1/d020 = 2/b |c* |= |r*001 |= 1/d001 = 1/c
12
2、底心单斜点阵 C心单斜点阵的正倒空间
3
3.2 倒易点阵的性质
倒易矢量(Reciprocal lattice vector)
rhkl
*
ha*
kb *
lc*
1. rh*kl (hkl)
2. rh*kl 1 d hkl
4
性质一证明
r同hk理l 可OA证BA：rrr(hhahhkkkllal/hBAAkObBCCB
3、体心点阵
b
对于体心型，指数和为偶数的晶面才出现。
14
4、面心点阵
对于面心型，指数同为偶数或奇数的晶面才出现。
15
各种晶体点阵的倒易阵点系统消光(Systematic extinction)规律 h，k，l为晶面指数，n为整数。
正空间点阵
对应的倒 空间点阵
倒易点阵中的消光
简单点阵 简单点阵
Z
Y
PHKL ghkl
(hkl)
O
X
7
晶面与倒易矢量（倒易点）的对应关系
8
c
O
a
c*
011
021
001
111
O*
010
b
b*
100
a*
9
3.3 倒易点阵与正点阵的转换
简单点阵
1、简单正交点阵
注意：具有公因子指数 的简单型正点阵的倒易 阵点，如（220）等， 不对应于真正的晶面。
|a*|=|r*100|=1/d100=1/a |b*|=|r*010|=1/d010=1/b |c*|=|r*001|=1/d001=1/c
|a* |= |r*200 |= 1/d200 = 2/(a·sin[180-b])= 2/(a·sinb)
|b*| = |r*020 |= 1/d020 = 2/b |c* |= |r*001| = 1/d001 = 1/(c·sin[180-b)= 1/(c·sinb)
b* 180b
13
b/k
lc )
OC (b / k
c/ l
a / h)
1
1
0
c
C
b
B
r (hkl)
* hkl
O
a
A
5
性质二证明
性质一成立，OM垂直于ABC面， OM方向上的单位矢量为
n rhkl / rhkl
O
n
c
n
C
b
M
B
a
A
OM
d hkl
OA cos OA n
a* b c , b* c a , c* a b ,
V
V
V
式中，V为正点阵中单胞的体积：
V=a •(b×cຫໍສະໝຸດ =b •(c×a)=c •(a ×b)
表明某一倒易基矢垂直于正点阵中和自己异名的二基 矢所成平面。
2
c*
a*⊥ b和c，即⊥(100)面
b*
b*⊥ c和a，即⊥(010)面
c
c*⊥ a和b，即⊥(001)面
b
O
a
bac a*
b*
1
c* 0
0
0 1 0
0 0 1
a*
a a* b b* c c* 1
a b* a*b b c* b*c c a* c*a 0
a
ha
kb
lc
1
d hkl
OA n
rh*kl
h 1 d hkl
(
rhkl
) rhkl
6
倒易矢量：
rhkl
*
ha*
kb *
lc*
（1）方向:垂直正点阵相应的（hkl）晶面； （2）大小 :(hkl）面间距的倒数； （3）倒易点阵中的一个点代表正点阵一组晶面。
17
10
2、简单单斜点阵
|a*| = |r*100 |= 1/d100 = 1/(a·sin[180-b])= 1/(a·sinb) |b* |= |r*010 |= 1/d010 = 1/b |c* |= |r*001 |= 1/d001 = 1/(c·sin[180-b])= 1/(c·sinb)
16
倒易点阵小结
1、倒易点阵与正空间点阵一样均为无限的周期点阵。 2、正空间点阵的晶面对应于倒易点阵的阵点（除有公因 子指数外）。 3、正倒空间相互转换时晶系不变，倒空间的点群只有11 种中心对称的劳厄点群（对称中心的由来将在电子衍射强度部 分介绍）。 4、正倒空间相互转换时点阵类型存在下面的转化关系： 正空间是简单点阵倒易空间也是简单点阵 正空间是底心点阵倒易空间也是底心点阵 正空间是体心点阵倒易空间是面心点阵 正空间是面心点阵倒易空间是体心点阵 复杂单胞出现表1.8所示的倒易点阵系统消光。
阵点无消光
A底心点阵 A底心点阵 hkl类型阵点k+l=2n+1消失
B底心点阵 B底心点阵 hkl类型阵点h+l=2n+1消失
C底心点阵 C底心点阵 hkl类型阵点h+k=2n+1消失
体心点阵 面心点阵 hkl类型阵点h+k+l=2n+1消失
面心点阵
体心点阵
hkl类型阵点hkl为奇数和偶数 混杂的时候消失
第三章 倒易点阵
3.1 倒易点阵的定义
描述晶体点阵的周期性函数经过傅立叶变换（对应 于衍射过程），构成傅立叶空间中的周期点阵。又 称波矢空间或倒易空间。
一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一定的，晶体 点阵是真实空间中的点阵；倒易点阵是傅立叶空间 中的点阵。
1
倒易点阵中基本矢量的定义
设正点阵的原点为O，基矢为a、b、c，倒易点阵的原 点为O*，基矢为a*、b*、c*，则有：