普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理工类)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理工类)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示 )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54co s =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ）（A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （II ）求点1A 到平面AED 的距离D E KBC 1A 1B 1AFCG19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos(=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？东O21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{t s + t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． 解：设)60sin 60cos r r z +=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞ 函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有 .)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值. 按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DGk k BC CD DA===≤≤ 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ） 直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a 整理得1)(2222=-+aa y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）解：用(t,s)表示22t s +，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)— — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s数列}{n a 中小于02t 的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s ++=（r,t,s ），1073160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝ （0,1,2） 22C依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） 23C（0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）…… 27C +422222397()4145.k C C C C =+++++=资料由谢老师收集：了解初中，高中考试信息，做题技巧，解题思路可去谢老师博客/xiejunchao1。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学(后附答案解析)
2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题1.设集合{0|04}M x =<<，1{|5}3N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.1{|0}3x x <≤B.1{|4}3x x ≤<C.{|45}x x ≤<D.{|05}x x <≤答案：B解析：由图知，1{|4}3M N x x ⋂=≤<. 2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间答案：C解析：A.低于4.5万元的比率估计为0.0210.0410.066%⨯+⨯==，正确.B.不低于10.5万元的比率估计为(0.040.023)10.110%+⨯⨯==，正确.C.平均值为(30.0240.0450.160.1470.280.290.1100.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+110.04120.02130.02140.02)17.68⨯+⨯+⨯+⨯⨯=万元，不正确.D.4.5万到8.5万的比率为0.110.1410.210.210.64⨯+⨯+⨯+⨯=，正确.3.已知2(1)32i z i -=+，则z =（）A.312i --B.312i -+C.32i -+D.32i --答案：B 解析：232322331(1)222i i i z i i ++-+====-+--.4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足5lg L V =+.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ 1.259≈）（）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6答案：C解析：代入5lg L V =+，知lg 4.950.1V =-=-，故0.1100.8V -==≈.5.已知1F ，2F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=︒，12||3||PF PF =，则C 的离心率为（） A.72 B.132答案：A解析：记11||r PF =，22||r PF =，由123r r =及122r r a -=，得13r a =，2r a =，又由余弦定理知2221212122cos 4r r r r F PF c +-⋅∠=，得2274a c =，从而72c e a ==.6.在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ，该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A.B.C.D.答案：D解析：由题可得直观图，如下图.故选D.7.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B解析：若1q =，则1n S na =.①10a >，则{}n S 单调递增；②10a <，则{}n S 单调递减，∴甲¿乙，又若{}n S 单调递增，则1n n S S +>恒成立，∴1100n n a a q +>⇒>恒成立，∴10a >，0q >，∴甲⇐乙.综上：甲⇐乙，选B.8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位:m )，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A '，B '，C '满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ∠'''=︒.由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100:由B 点测得A 点的仰角为45︒,则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC '-'约为（）3 1.732≈）A.346B.373C.446D.473答案：B解析：过C 作'BB 的垂线交'BB 于点M，过B 作'AA 的垂线交'AA 于点N，由题意得100BM =，15BCM ∠=︒，45ABN ∠=︒，即100''tan15CM B C ==︒.所以1002sin 45tan152sin 75sin 75B C BN B A ⋅''︒︒=''==︒︒502sin15=︒，所以502273sin15624AN BN ====︒.得A，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC '-'约为273100373+=，故选B。
【高考试卷】1992年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
【高考试卷】1992年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)考生注意：这份试卷共三道大题(28个小题)．满分120分．考试时间120分钟．用钢笔或圆珠笔直线答在试卷中，答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：本大题共18小题；每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后的括号内(1)3log 9log 28的值是 ( )(A)32 (B) 1 (C)23 (D) 2(2)如果函数y =sin(ωx )cos(ωx )的最小正周期是4π，那么常数ω为 ( )(A) 4(B) 2(C)21 (D)41 (3)极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是 ( )(A) 2(B)2(C) 1(D)22 (4)方程sin4x cos5x =－cos4x sin5x 的一个解是 ( )(A) 10°(B) 20°(C) 50°(D) 70°(5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是( )(A) 6：5(B) 5：4(C) 4：3(D) 3：2(6)图中曲线是幂函数y =x n 在第一象限的图像．已知n 取±2，±21四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为 ( )(A) －2，－21，21，2 (B) 2，21，－21，－2 (C) －21，－2，2，21(D) 2，21，－2，－21(7)若log a 2<log b 2<0，则( )(A) 0<a <b <1 (B) 0<b <a <1 (C) a >b >1 (D) b >a >1(8)直线 ⎪⎩⎪⎨⎧⋅-=+⋅=οο20cos 320sin t y t x (t 为参数)的倾斜角是( )(A) 20° (B) )70° (C) 110°(D) 160°(9)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ( )(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个(10)圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( )(A) x 2+y 2－x －2y －41=0 (B) x 2+y 2+x －2y +1=0 (C) x 2+y 2－x －2y +1=0(D) x 2+y 2－x －2y +41=0 (11)在(x 2+3x +2)5的展开式中x 的系数为 ( )(A) 160(B) 240(C) 360(D) 800(12)若0<a <1，在[0，2π]上满足sin x ≥a 的x 的范围是 ( )(A) [0，arcsin a ] (B) [arcsin a ，π－arcsin a ] (C) [π－arcsin a ，π](D) [arcsin a ，2π+arcsin a ] (13)已知直线l 1和l 2夹角的平分线为y =x ，如果l 1的方程是ax +by +c =0(ab >0)，那么l 2的方程是( )(A) bx +ay +c =0 (B) ax －by +c =0 (C) bx +ay －c =0(D) bx －ay +c =0(14)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 ( )(A)23(B)1010(C) 53(D)52(15)已知复数z 的模为2，则|z －i |的最大值为 ( ) (A) 1(B) 2(C)5(D) 3(16)函数y =2xx e e -的反函数( )(A) 是奇函数，它在(0，+∞)上是减函数(B) 是偶函数，它在(0，+∞)上是减函数 (C) 是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数 (D) 是偶函数，它在(0，+∞)上是增函数(17)如果函数f (x )=x 2+bx +c 对任意实数t 都有f (2+t )=f (2－t )，那么 ( )(A) f (2)<f (1)<f (4) (B) f (1)<f (2)<f (4) (C) f (2)<f (4)<f (1)(D) f (4)<f (2)<f (1)(18)长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为( )(A) 32 (B)14(C) 5 (D) 6二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．(19)方程33131=++-xx的解是_________________ (20)sin15°sin75°的值是(21)设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则ST的值为___________________ (22)焦点为F 1(－2，0)和F 2(6，0)，离心率为2的双曲线的方程是__________(23)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值是____________________三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤．(24)已知z ∈C ，解方程z z －3i z =1+3i ． (25)已知432παβπ<<<，cos(α－β)=1312，sin(α+β)=53-．求sin 2α的值． (26)已知：两条异面直线a 、b 所成的角为θ，它们的公垂线段AA 1的长度为d ．在直线a 、b 上分别取点E 、F ，设A 1E =m ，AF =n ．求证：EF =θcos 2222mn n m d ±++．(27)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 3=12，S 12>0，S 13<0． (Ⅰ)求公差d 的取值范围．(Ⅱ)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．(28)已知椭圆12222=+b y a x (a >b >0)，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0，0)．证明ab a x a b a 22022-<<--．1992年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．(1)A (2)D (3)D (4)B (5)D (6)B (7)B (8)C (9)D (10)D (11)B (12)B (13)A (14)D (15)D (16)C (17)A (18)C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．(19)x =－1 (20)41 (21) 12815 (22)()1124222=--y x (23) 1613三、解答题(24)本小题考查复数相等的条件及解方程的知识． 解：设z =x +yi (x ，y ∈R )． 将z =x +yi 代入原方程，得 (x +yi )(x －yi )－3i (x －yi )=1+3i ，整理得x 2+y 2－3y －3xi =1+3i ． 根据复数相等的定义，得⎩⎨⎧=-+=-.13,3322y y x x由①得 x =－1．将x =－1代入②式解得y =0，y =3． ∴z 1=－1，z 2=－1+3i ．(25)本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力． 解：由题设知α—β为第一象限的角，。
数学理(全国Ⅲ卷)丨2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试卷及答案
机密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ卷）理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y ∈N *，y ≥x}，B ＝{(x ，y)|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为 A.2 B.3 C.4 D.62.复数113i -的虚部是 A.－310 B.－110 C.110 D.3103.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且411ii p==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A.p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4B.p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1C.p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3D.p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.24.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：()0.23(53)1t K I t e --=+，其中K 为最大确诊病例数。
当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln19≈3) A.60 B.63 C.66 D.695.设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px(p>0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为 A.(14，0) B.(12，0) C.(1，0) D.(2，0) 6.已知向量a ，b 满足|a|＝5，|b|＝6，a ·b ＝－6，则cos<a ，a ＋b>＝A.－3135 B.－1935 C.1735 D.19357.在△ABC 中，cosC ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cosB ＝A.19B.13C.12D.238.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A.6＋2B.4＋2C.6＋3D.4＋3 9.已知2tan θ－tan(θ＋4π)＝7，则tan θ＝ A.－2 B.－1 C.1 D.210.若直线l 与曲线y x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为 A.y ＝2x ＋1 B.y ＝2x ＋12 C.y ＝12x ＋1 D.y ＝12x ＋1211.设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 25P 是C上一点，且F 1P ⊥F 2P 。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国II卷理科) 数学试题及答案(学生版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷理科）数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。
本试卷满分150分。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则()A B=( )U A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3} 2．若α为第四象限角，则( )A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<03．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A．10名B．18名C．24名D．32名4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230--=的距离为( )x yA ．5B ．5C ．5D ．56．数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=.若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H8．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE △的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．329．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减10．已知△ABC 是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）A B ．32C ．1D ．11．若2x －2y <3−x －3−y ，则（ ）A ．ln(y-x+1)>0B ．ln(y-x+1)<0C ．ln ∣x-y ∣>0D ．ln ∣x-y ∣<012．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ）A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023高考上海数学理科试卷含详细解答
2023年全国普通高等学校招生统一考试（上海） 数学（理工农医类） 全解全析一 填空（4’×11）1.不等式|1|1x -<地解集是 .【解析】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2},则实数a ＝ .【解析】2【解析】由{2}, 22A B A B a =⇒⇒= 只有一个公共元素.3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位）,则z ＝ .【解析】1i+【解析】由2(2)11iz i z z i i=-⇒==++.4.若函数f (x )地反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0）,则f (4)＝ .【解析】2【解析】令12(4)()44(0)2f t ft t t t -=⇒=⇒=>⇒=.5.若向量→ a 、→ b 满足|→ a |＝1,|→ b |＝2,且→ a 与→ b 地夹角为π3,则|→ a +→b |＝ .【解析】222||()()2||||2||||cos 7||3a b a b a b a a b b a b a b a b a b π+=++=++=++=⇒+ 6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )地最大值是 .【解析】2【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.7.在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个,这三点能构成三角形地概率是 （结果用分数表示）.【解析】34【解析】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个无共线地点生成三角形总数为:36C；可构成三角形地个数为:33364315C C C --=,所以所求概率为:3336433634C C C C --=；8.设函数f (x )是定义在R 上地奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )＝lg x ,则满足f (x )＞0地x 地取值范围是 .【解析】(1,0)(1,)-+∞ 【解析】 0 ()0 1 ()00 1 x f x x f x x >>⇔><⇔<<当时，；；由f (x )为奇函数得: 0 ()010 ()0 1 x f x x f x x <>⇔-<<<⇔<-⇒当时，；结论；9.已知总体地各个体地值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12,13.7,18.3,20,且总体地中位数为10.5,若要使该总体地方差最小,则a 、b 地取值分别是 .【解析】10.5,10.5a b ==【解析】根据总体方差地定义知,只需且必须10.5,10.5a b ==时,总体方差最小；10.某海域内有一孤岛,岛四周地海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界）,其边界是长轴长为2a ,短轴长为2b 地椭圆,已知岛上甲、乙导航灯地海拔高度分别为h 1、h 2,且两个导航灯在海平面上地投影恰好落在椭圆地两个焦点上,现有船只经过该海域（船只地大小忽略不计）,在船上测得甲、乙导航灯地仰角分别为θ1、θ2,那么船只已进入该浅水区地判别条件是 .【解析】1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤【解析】依题意, 12||||2MF MF a+≤1122cot cot 2h h a θθ⇒⋅+⋅≤；11.方程x 2+2x －1＝0地解可视为函数y ＝x +2地图像与函数y ＝1x 地图像交点地横坐标,若x 4+ax －4＝0地各个实根x 1,x 2,…,x k(k ≤4)所对应地点(x i,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 地同侧,则实数a 地取值范围是 .【解析】(,6)(6,)-∞-+∞ 【解析】方程地根显然0x ≠,原方程等价于34x a x+=,原方程地实根是曲线3y x a =+与曲线4y x=地交点地横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位而得到地。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国I卷)(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 若1z i =+,则22z z -=A.0B.1C.2 D 。
22.设集合{}240A x x=-≤,{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤，则a = A.-4B 。
—2C.2D 。
43。
埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A. 514-B.C.D 。
4。
已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ο）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)x y (1,2,...,20)i =得到下面的散点图：由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．x y a be =+D ．ln y a b x =+6。
函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+像大7.设函数()cos()6f x x πω=+在[]-ππ，的图致如下图，则()f x 的最小正周期为 A 。
109πB. 76πC. 43πD. 32π8。
25()()y x x y x ++的展开式中33x y 的系数为A 。
5B 。
10C 。
15D 。
20。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标1卷,含解析)
试题类型：A 2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设复数z满足1+z1z-=i，则|z|=（A）1 （B（C（D）2 【答案】A（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A）-（B（C）12-（D）12【答案】D【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.（3）设命题P：∃n∈N，2n>2n，则⌝P为（A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF u u u u r •2MF u u u u r ＜0，则y 0的取值范围是（A ）（-3，3（B ）（-6，6（C ）（） （D ）（）【答案】A（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理工类）及答案
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：
三角函数的积化和差公式：
正棱台、圆台的侧面积公式其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长. 球体的体积公式：
，其中R 表示球的半径. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知，0），，则（）（A）（B）（C）（D） 2．圆锥曲线的准线方程是（）（A）（B）（C）（D） 3．设函数，若，则的取值范围是（）（A）（，1）（B）（，）（C）（，）（0，）（D）（，）（1，） 4．函数的最大值为（）（A）（B）（C）（D）2 5．已知圆C：（）及直线：，当直线被C截得的弦长为时，则（）（A）（B）（C）（D） 6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A）（B）（C）（D） 7．已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，则（）（A）1 （B）（C）（D） 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）（A）（B）（C）（D） 9．函数，
的反函数（）（A），1] （B），1] （C），1] （D），1] 10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB 的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设的坐标为（，0），若，则tg的取值范围是（）（A）（，1）（B）（，）（C）（，）（D）（，） 11．（）（A）3 （B）（C）（D）6 12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A）（B）（C）（D） 2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 13．的展开式中系数是 14．使成立的的取值范围是 2 1 5 3 4 15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答） P M N l P N M l N l P M l M N P N l P M 16．下列5个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）①②③④⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求 18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD
上的射影是△ABD的重心G （I）求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示） D E K B C1 A1 B1 A F C G （II）求点到平面AED的距离 19．（本小题满分12分）已知，设 P：函数在R上单调递减 Q：不等式的解集为R 如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围 20．（本小题满分12分） O 北东O y
线岸 O x O r(t) P 海在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分） O P A G D F E C B x y 已知常数，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；
若不存在，请说明理由 22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I）设是集合且}中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，… 将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：
3 5 6 9 10 12 ————………… ⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；
⑵求（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设是集合，且中所有的数从小到大排列成的数列，已知，求. 2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分. 1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13． 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：设，则复数由题设 18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE
在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角. 设F为AB中点，连结EF、FC，（Ⅱ）解：
19．解：函数在R上单调递减不等式（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x轴正向. 在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为此时台风侵袭的区域是其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值. 按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为：①直线GE的方程为：②从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程整理得当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长当时，点P到椭圆两个焦点（的距离之和为定值当时，点P 到椭圆两个焦点（0，的距离之和为定值2. 22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）解：用(t,s)表示，下表的规律为 3（(0,1)=） 5(0,2) 6(1,2) 9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) ————………… （i）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4) 第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5) （i i）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以(8,14)＝＝16640 解法二：设，只须确定正整数数列中小于的项构成的子集为其元素个数为满足等式的最大整数为14，所以取因为100－（Ⅱ）解：
令因现在求M的元素个数：
其元素个数为：
某元素个数为某元素个数为另法：规定（r,t,s），＝（3,7,10）则＝（0,1,2）依次为（0,1,3）（0,2,3）（1,2,3）（0,1,4）（0,2,4）（1,2,4）（0,3,4）（1,3,4）（2,3,4）………… （0,1,9）（0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9）（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）…… +4。