劳斯霍尔维茨稳定性判据-PPT精品
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
系统的稳定性常见判据
s1,s2,…,sn：特征根
n 2 i j
因为
( s s1 )(s s2 )( s sn ) s ( si ) s
i 1
(
比较系数：
n a n 1 si , an i 1
i j i 1, j 2
s s )s
n
( 1)
① 确定P ② 作G(j)H(j)的Nyquist图
③ 运用判据
三、Nyquist 稳定判据
例1
三、Nyquist 稳定判据
例2
G( s ) H ( s ) K (Ta s 1)(Tb s 1) (T12 s 2 2T1 s 1)(T2 s 1)(T3 s 1)
特征方程：
D( s) s 2n s s K 0
3 2 2 n 2 n
s3 s2
1
7500 7500K 0 0
0 0
即： D(s)=s3+34.6s2+7500s+7500K=0
由系统稳定的充要条件，有
34.6 34.6 7500 7500K s1 34.6 0 s 7500K
1
2
10.6
稳定
不稳定
三、Nyquist 稳定判据
7. 应用举例
例1
P=0
G( s) H ( s) K (T1 s 1)(T2 s 1)
不论K取任何正值，系统总是稳定的 开环为最小相位系统时，只有在三阶或
其中：
a n 1a n 2 a n a n 3 a n 1 a a an an 5 A2 n1 n 4 a n 1 a a an an 7 A3 n 1 n 6 a n 1 A1
自动控制原理第四章-1-劳斯稳定性判据
04
劳斯稳定性判据的优缺点
优点
简单易行
劳斯稳定性判据是一种直接的方法，用于确定系统的稳定 性。它不需要求解系统的极点，只需要检查劳斯表格的第 一列。
普遍适用性
劳斯稳定性判据适用于所有线性时不变系统，无论系统是 单输入单输出（SISO）还是多输入多输出（MIMO）。
数学基础
劳斯稳定性判据基于数学中的因式分解和不等式性质，具 有坚实的数学基础。
劳斯稳定性判据的局限性在于它只能判断系统 的稳定性，无法给出系统动态性能的评估和优 化。
对自动控制原理的展望
随着科技的发展，自动控制原理的应用领域不断扩大，涉及到工业、交通、医疗、 农业等多个领域。
未来，自动控制原理将与人工智能、机器学习等先进技术相结合，实现更加智能化、 自适应的控制方案。
自动控制原理的理论体系也将不断完善和发展，以适应不断变化的应用需求和技术 环境。
2
在航空航天领域，为了确保飞行器的安全和稳定， 需要利用劳斯稳定性判据对飞行控制系统进行稳 定性分析和设计。
3
在化工领域，为了确保生产过程的稳定和安全， 需要利用劳斯稳定性判据对工业控制系统进行稳 定性分析和设计。
02
劳斯稳定性判据的基本原理
线性系统的稳定性
线性系统
01
在自动控制原理中，线性系统是指系统的数学模型可以表示为
缺点
01
对初始条件的敏感性
劳斯稳定性判据对系统的初始条件非常敏感。即使系统在大部分时间内
是稳定的，如果初始条件设置不正确，可能会导致错误的稳定性判断。
02
数值稳定性问题
在计算劳斯表格时，可能会遇到数值稳定性的问题，例如数值溢出或数
值不精确。这可能会影响判据的准确性。
劳斯判据判定稳定性
劳斯判据即Routh-Hurwitz判据一、系统稳定的必要条件判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
于是表的计算无法继续。
为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。
若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。
此时，系统为临界稳定系统。
2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。
此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。
这样，表中的其余各元就可以计算下去。
出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。
这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。
三、相对稳定性的检验对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法：1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
第三章1劳斯判据.ppt
当 n 为奇数时 (n+1)；n 为偶数时( n+1)。 ； 为偶数时( )
例 3s 4 + 10s 3 + 5s 2 + 5s + 2 = 0 5 ， s4 3 ，
10
s3
s2
2
，
，
，
0.5 3.5
5
1
4−0 =2 2
，
，
，
00Leabharlann 0210 − 3 =3.5 2
∴系统不稳定， 系统不稳定， 且有两个根位于[s] 且有两个根位于 的右半平面上。 的右半平面上。
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1．1892年，Ляпунов发表了博士论文 论运动稳定性的一般问题》 《论运动稳定性的一般问题》Общая задача об устойчивости движеня 给出了运动稳定性的科学概念、严格的数学定义、 研究的方法和科学理论体系。 2．渐近稳定性。 ．渐近稳定性。
§3.2劳斯稳定性判据(代数判据)
Page: 1
第3章 系统的稳定性 章
§3.1 系统稳定性的初步概念
一、几个例子
1．单摆 ．
b M
φ
d
o
f
2．倒立摆 ．
c
3．小球的稳定性 c ． bde
o
4．液压位置随动系统 ． 去掉外力后， 去掉外力后，阀芯在原位 xi 不动的情况下， 不动的情况下，活塞与阀 体围绕阀芯反复振荡。 体围绕阀芯反复振荡。 自由振荡是减幅的→稳定的 稳定的； xo 自由振荡是减幅的 稳定的 自由振荡是增幅的，不稳定的。 自由振荡是增幅的，不稳定的。
，
B3 =0 ，
s C1 =
s1 D1 =
s0
劳斯霍尔维茨稳定性判据ppt课件
图3-32 根平面
表3.4列举了几个简单系统稳定性的例子。需要指出的是，对于线性定常系统，由于系统特征方程根是由特征方程的结构（即方程的阶数）和系数决定的，因此系统的稳定性与输入信号和初始条件无关，仅由系统的结构和参数决定。 如果系统中每个部分都可用线性常系数微分方程描述，那么，当系统是稳定时，它在大偏差情况下也是稳定的。如果系统中有的元件或装置是非线性的，但经线性化处理后可用线性化方程来描述，则当系统是稳定时，我们只能说这个系统在小偏差情况下是稳定的，而在大偏差时不能保证系统仍是稳定的。 以上提出的判断系统稳定性的条件是根据系统特征方程根，假如特征方程根能求得，系统稳定性自然就可断定。但是，要解四次或更高次的特征方程式，是相当麻烦的，往往需要求助于数字计算机。所以，就有人提出了在不解特征方程式的情况下，求解特征方程根在S平面上分布的方法。下面就介绍常用的劳斯判据和赫尔维茨判据。
s 3 + 2s 2 + s + 2 = 0
解 劳斯阵列表为 由于e的上下两个系数(2和2)符号相同，则说明有一对虚根存在。上述特征方程可因式分解为 (2) 若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称的根。在这种情况下可做如下处理： a. 利用第k－1行的系数构成辅助多项式，它的次数总是偶数的；
根据上述讨论，可以将系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了正常工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。 瞬态响应项不外乎表现为衰减、临界和发散这三种情况之一，它是决定系统稳定性的关键。由于输入量只影响到稳态响应项，并且两者具有相同的特性，即如果输入量r(t)是有界的： | r(t)|<∞， t ≥0 则稳态响应项也必定是有界的。这说明对于系统稳定性的讨论可以归结为，系统在任何一个有界输入的作用下，其输出是否有界的问题。 一个稳定的系统定义为，在有界输入的作用下，其输出响应也是有界的。这叫做有界输入有界输出稳定，又简称为BIBO稳定。
劳斯判据.ppt
a0 a2 a4
a6
b1
a1a2 a0a3 a1
a1 a3 a5 b1 b2 b3
a7
b2
a1a4 a0a5 a1
c1 c2 c3
b3
a1a6 a0a7 a1
一直计算到最后一行算完 为止。然后判断阵列中第一列 系数的符号，若全部>0,则系统
c1
b1a3 a1b2 b1
s1 s0
稳定；否则，第一列系数符号 改变的次数，就为特征方程在 右半s平面的根数。
3.2.2 系统稳定的充要条件
xi t
nt
xo t
t
t=0 t
Xi s
-
N s
＋
G1 s
G2 s
xo 0
t
xoi 0
X o s
X i s
-
N s
＋
G1 s
G2 s
X o s
Xo s N s
G2 s 1 G1 sG2 s
b0 sm a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
表明在 S 平面内存在两个大小相等、符 号相反的实根或一对共轭虚根
[S] 显然，这些根的 数目一定是偶数。
由该行的上一行元素来解决： （1）构成辅助多项式，并求导，用其系数 代替全为零的行； （2）可以利用辅助方程，解出这些特征根。
例：Ds s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
e jt E j cos jt Fj sin jt
i 1
j k 1
若系统稳定，则 xo t |t 0
〈i 0， j 0 系统稳定的充要条件
i， j 对应闭环传递函数
特征根的实部
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t t
K 1
（二）二阶系统的阶跃响应
在分析和设计自动控制系统时， 常常把二阶系统的响应特性视为 一种基准。
闭环传递函数
GB(s)s2
n2 2nsn2
图(3-10) 典型二阶系统结构
为阻尼比，
n为无阻尼自然振荡频率
以图(2-2)中R-L-C电路为例 传递函数
无阻尼自然振荡频率
输入单位脉冲信号d(t)，即R(s)=１
二阶系统单位脉冲响应的拉氏变换为
C(s)G B(s)R(s)s22n 2 n sn 2
系统的单位脉冲响应
c(t)L 1[G B(s) ]L 1[s22n 2 n sn 2]
欠阻尼情况(0< <1)
c(t)
n 12
ent s
p
c(tp)c()10% 0 c()
2、延在滞系时统间能t稳d (定tim工e 作del的ay条)：件响下应，曲 线系到统达的稳瞬态态值性5能0%通所常需以的系时统间在
43、、线峰上初位衡到值升始阶量达时时条跃第间间件 输一tt为入pr ((个pr零信ies峰ae的号kt值i情的tmim所e况响e)需：)下应：的三，特响时种对性应间定单来曲义
初始条件为 零的线性定
常系统
C1(s)C2(s)GB(s)R2(3) GB(s)1sR(s)1sC(s)
在零初始条件下，当系统输入信 号为原来输入信号对时间的积分 时，系统的输出则为原来输出对 时间的积分
主要的性能指标：上升时间 、峰值 时间 、最大超调量 、调节时间
上升时间tr (rise time)
c(t)11 12e ntsi nn (12tarc1 t a 2)n
c(tr)为1
cosdtr
1
2
s ind tr
0
tandtr
5、调整时间ts(settling time)
性能指标图解
最大超调量p
延滞时间td
上升时间tr
峰值时间tp
调整时间ts
其它性能指标
振荡次数，衰减比等
对于恒值控制 系统，常以系 统对单位扰动 输入信号时的 响应特性来衡 量瞬态性能
图(3-7) 单位扰动输入
3.1.3. 瞬态响应
(Transient Response )
C (s)s(s n 2n)21 s(s nn)2s 1 n
c(t)1e nt(1nt)
无超调， 无振荡， 单调响 应过程
(a)根分布
(b)单位阶跃响应
图(3-12) 临界阻尼情况( ＝1)
③ ＞１，过阻尼情况
两个不相等的实数根：s1,2( 21)n
图(3-16) p与 的关系
调节时间ts (settl在ing0.t69i(m或e0).77)，
ts有最小值，以后
ts随 的增大而近
乎线性地上升
T=1/n
图(3-17) ts与 的关系
曲线的不连续性是由
于 在虚线附近稍微变
图(3化-18会) 引稍微起突ts变突引变起的造ts成突变
分析系统的瞬态响应的方法： 1、直接求解法 2、间接评价法 3、计算机仿真法
3.1.1. 典型输入信号
控制系统的瞬态响应与输入信 号的形式有关
一个控制系统的实际输入信号 往往具有多重形式，并且也常 常难于事先确定
通常考虑某些典型输入信号对 系统的影响
（一）阶跃信号 (Step Signal)
当t→∞时，稳态误差e (∞)＝０。
=０，无阻尼情况
系统的特征根为一对共轭虚根s1,2= ±jn
单位阶跃响应 c(t)1co nst
等幅振荡过程，其振荡频率就是
无阻尼自然振荡频率n。当系统 有一定阻尼时， d总是小于n
② =１，临界阻尼情况
两个相等的实数特征根：s1= s 2= -n
ts ts
3 3T
4n 4T n
(按到达稳9态 5% 值 ~10的 5计 %） (按到达稳9态 8% 值 ~10的 2计 %）
小结
当要定范减n围少一，t定s则不，应能要增过减大大小tr和n值tp，，而必且须减值少有 一值， 增大n，能使tr，tp和ts都减少 最大超调量p只由 决定， 越小，p越
过阻尼情况（续）
无超调，过
程拖得比
=１时长
(a)根分布
(b)单位阶跃响应
图(3-13) 过阻尼情况( >1)
不同值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族
在一定 值下，欠阻尼系
统比临界阻尼系统更快地 达到稳态值，过阻尼系统 反应迟钝，动作很缓慢， 所以一般系统大多设计成 欠阻尼系统
二阶系统的脉冲响应特性
Asint t0
r(t)0
t0
A为幅值
T为周期， =2p/T为角频率
图(3-4)脉冲信号
3.1.2. 系统的性能指标
性能指标用来衡量系统性能
常由系统在一定的典型输入 信号作用下的具体性能指标 来表示
性能指标有许多形式
性能指标
主要包括：
1、最大超调量p (percent overshot)：
s1 n n 2 1 s2 n n 2 1
阻尼比不同，特征根的性质就不
同，系统的响应特性也就不同
0<<1，欠阻尼情况 =１，临界阻尼情况 ＞１，过阻尼情况
① 0<<1 ，欠阻尼情况
系统传递函数 G B(s)(sn jd )n 2 s(n jd)
12
ent
s
in(n
12tarct1an2)
0<<1 ，欠阻尼情况（续）
(a)根分布
(b)单位阶跃响应
图(3-11) 欠阻尼情况(0< <1)
系统的误差为
e(t)r(t)c(t)
1 12en tsi nn(12ta
12 rctan)
(t0)
输出 与电枢电压ua之间传递函数为
GB
(s)
1/ K c TaTm s2 Tm s
1
1
1 / TaTm
Kc s2 1 s 1
Ta TaTm
1 Kc
s2
2 n
2
ns
2 n
n
1 TaTm
1
2nTa
12
Tm Ta
典型二阶系统的阶跃响应特性
特征方程 s22 nsn 20 解方程
n 1 1
LC T1T2
阻尼比
GB (s)
U 0(s) U r (s)
1 LCs 2 RCs 1
1 / LC s2 R s 1
L LC
s2
2 n
2 n s
2 n
当R=0时 的谐振频
率
R 2/n LR 2
C11
L2nT12
T2 T1
电枢控制的直流电动机
s1,2 n jd
输入 有阻尼振荡频率 r(t)=1(t)
C(s)1ss(s2(s2n2nnss)2d n2)d2 n(1s2n)n2d2
c(t)L1[C(s)]1ent(codst
12
sindt)
1
1
tan(dtp)d n
12
tp
p d
n
p 12
最大超调量p (percent overshot)
c(t)11 12e ntsi nn (12tarc1 t a 2)n 代入t= tp
p
p%e 12 10% 0
大。
3.1.4. 线性定常系统的重要特性
r1(t)
dr(t) dt
初始条件为 零的线性定
常系统
C 1(s)G B(s)R1(s) G B(s)sR (s)sC (s)
当系统输入信号为原来输入信号 的导数时，系统的输出为原来输 出的导数
线性定常系统的重要特性(2)
r2(t)r(t)dt
系统时间常数
T
t K 1
定义为系统响应达
到稳态值的63.2%所
需要的时间
图(3-9) 一阶系统的单位阶跃响应
(一)一阶系统的稳态误差
由于放大器的内部噪声随增益的增 加而增大，K 不可能为无穷大。而 且，线性模型也仅在工作点附近的 一定范围内成立。所以，系统的稳 态误差 不能为0
系统的稳态误差
e ( ) lie ( m t) li[ r ( m t) c ( t) ] 1 c ( )1
t t s (K 1 )/ s s s (K 1 )/
一阶系系统输统出响值应与时曲间线常数T的对应关系：
一阶系tt统== 的T2T，单，位cc((阶12TT跃)) ==响00应..6836c(25t)c c(K (∞K ∞1 ))K K 1e(K1)t/t
响应的 稳态值
t = 3T，c(3T) = 0.950c(∞) t = 4T，c(4T) = 0.982c(∞)
A t 0 r(t) 0 t 0
A=1时，称为单位 阶跃信号，用1(t)
表示
图(3-1)阶跃信号
（二）斜坡信号(Ramp Signal)
r(t) 0At
t 0 t 0
当A=1时，则 称为单位斜
坡信号
图(3-2)斜坡信号
（三）抛物线信号
(Parabolic Signal)
r(t) 12 At2 0
调节时间ts（近似方法）
e (t) 1 e n t si 1 2
n n1 ( 2 t arc1 ta 2)n(t 0 )