3-4试用劳斯判据确定具有下列特征方程是的系统稳定性
自动控制理论第四版课后习题详细解答答案夏德钤翁贻方版
自动控制理论第四版课后习题详细解答答案夏德钤翁贻方版集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#《自动控制理论 （夏德钤）》习题答案详解第二章2-1 试求图2-T-1所示RC 网络的传递函数。
(a)11111111+=+⋅=Cs R R CsR Cs R z ，22R z =，则传递函数为： (b) 设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压方程： 并且有联立三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为：2-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以i u 为输入，o u 为输出的传递函数。
(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：dtduC dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=， 对上式进行拉氏变换得到 故传递函数为(b)由运放虚短、虚断特性有：022=-+--R u R u u dt du C c c i c ，0210=+R u R u c ，联立两式消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得 故此传递函数为 (c)02/2/110=+-+R u R u u dt du Cc c c ，且21R uR u c i -=，联立两式可消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得到 故此传递函数为2-3 试求图2-T-3中以电枢电压a u 为输入量，以电动机的转角θ为输出量的微分方程式和传递函数。
解：设激磁磁通f f i K =φ恒定2-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。
电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c 表示电位器滑动触点的位置。
另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r 表示）即为该随动系统的参考输入。
两电位器滑动触点间的电压差e u 即是无惯性放大器（放大系数为a K ）的输入，放大器向直流电动机M 供电，电枢电压为u ，电流为I 。
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
s3
1
3
s2
ε
2
s1 （3ε-2）/ε<0
s0
2
(2) 若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均为零， 则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称 的根。在这种情况下可做如下处理：
a. 利用第k－1行的系数构成辅助多项式，它的次数总 是偶数的；
b. 求辅助多项式对s的导数，将其系数代替第k行； c. 继续计算劳斯阵列表； d. 令辅助多项式等于零可求得关于原点对称的根。
1 b1
an 1 b1
an 3 b2 an 5 b3
an 7 b4
按此规律一直计算到n -1行为止。在计算过程中，为了 简化数值运算，可将某一行中的各系数均乘一个正数，不 会影响稳定性结论。
3. 考察阵列表第一列元素的符号。假若劳斯阵列表中 第一列所有元素均为正数，则该系统是稳定的，即特征方 程所有的根均位于S平面的左半平面。假若第一列元数有 负数，则第一列元素的符号的变化次数等于系统在S平面 右半平面上的根的个数。
例3.7 系统特征方程式为 s5 2s4 3s3 6s2 4s 8 0
对复根- s i ±jwi (i=1，2，…，r)，n = k+2r。则特征方程
式可写为
D(s) ansn an1sn1 a1s a0
an (s p1)(s p2 ) (s pk )[(s s1)2 12 ]
0
[(s
s
r
)2
2 r
]
假如所有的根均在左半平面，即 pj <0，si<0 ，则pj >0 ，si >0 。所以将各因子项相乘展开后，式（3.63）的
根(-σj±jwj) (j=1，2，…，r)，k+2r = n，则齐次方程式
自动控制原理C作业(第二章)答案
4 3
0.1
图 3-1 二阶控制系统的单位阶跃响应
解 在单位阶跃作用下响应的稳态值为 3，故此系统的增益不是 1，而是 3。系统模型为
(s)
s2
3
2 n
2n s
2 n
然后由响应的 p % 、 t p 及相应公式，即可换算出 、 n 。
p%
c(t p ) c() c()
4
3
3
33%
t p 0.1（s）
P1 G1G2
1 1
P2 G2G4
2 1
因此，传递函数为
C(s) P11 P2 2
R(s)
G2G1 G4G2 1 G1G2G3
3
自动控制原理 C 习题答案（第二章）
2.4 用梅森公式求系统传递函数。
R(S)
－
_
＋ G1(s)
－ _
G2(s)
+ C(S)
+
图 2－4 解： 单独回路 5 个，即
L1
1 R
1 C1S
1 R1C1S
11
1
L2
R2
C2S
R2C2 S
L3
1 C1S
1 R2
1 R2C1S
回路相互不接触的情况只有 L1 和 L2 两个回路。则
L12
L1L2
1 R1C1R2C2S 2
由上式可写出特征式为：
1
( L1
L2
L3 )
L1 L2
1
1 R1C1S
1 R2C2 S
1 R2C1S
1 R1C1R2C2S 2
益 K1 和速度反馈系数 Kt 。同时，确定在此 K1 和 Kt 数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。
控制工程技术课后习题答案
1习题1-1 试列举几个日常生活中的开环和闭环控制系统的例子，并说明其工作原理。
1-2 根据题1-1图所示的电动机速度控制系统工作原理图：（1）将a ，b 与c ，d 用线连接成负反馈系统；（2）画出系统方框图。
1-3 下图是水位控制系统的示意图，图中1Q ,2Q 分别为进水流量和出水流量。
控制的目的是保持水位为一定的高度。
试说明该系统的工作原理并画出其方框图。
1-4 仓库大门自动控制系统如图1-3所示，试分析系统的工作原理，绘制系统的方框图，指出各实际元件的功能及输入、输出量。
2习题2-1 求下列函数的拉氏变换。
（1）t t t f 4cos 4sin )(+= （2）t e t t f 43)(+= （3）t te t f --=1)( （4）()cos3t f t e t -=2-2求下列函数的拉氏反变换。
（1）)3)(2(1)(+++=s s s s F（2）()()()2114F s s s =++（3）()225sF s s s =-+（4）()221225s F s s s +=++(5) )3()1(2)(2=++=s s s s s G (6) ))()(()()(c s b s a s d s s G ++++=(7) 152122)(2+++=s s s s G2-3 解微分方程()()()22681d y t dy t y t dt dt++=，初始条件：(0)1y =，'(0)0y = 。
2-4 试证明图2-75所示电气系统与机械系统具有相同的传递函数。
图2-75 题2-4 图2-5 试分别写出图2-76中各有源网络的传递函数。
（1） （2）图2-76 题2-5图2-6系统的方框图如图2-77所示，试求该系统的输入输出传递函数。
图2-77 题2-6图2-7 系统的方框图如图2-78所示，试用梅逊公式求传递函数。
图2-78 题2-7图2-8 已知系统结构如图2-79所示。
胡寿松版完整答案自动控制原理第五版课后习题答案
自动控制原理课后答案1 请解释下列名字术语：自动控制系统、受控对象、扰动、给定值、参考输入、反馈。
解：自动控制系统：能够实现自动控制任务的系统，由控制装置与被控对象组成；受控对象：要求实现自动控制的机器、设备或生产过程扰动：扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。
如果扰动产生在系统内部称为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外扰。
外扰是系统的输入量。
给定值：受控对象的物理量在控制系统中应保持的期望值参考输入即为给定值。
反馈：将系统的输出量馈送到参考输入端，并与参考输入进行比较的过程。
2 请说明自动控制系统的基本组成部分。
解：作为一个完整的控制系统，应该由如下几个部分组成：①被控对象：所谓被控对象就是整个控制系统的控制对象；②执行部件：根据所接收到的相关信号，使得被控对象产生相应的动作；常用的执行元件有阀、电动机、液压马达等。
③给定元件：给定元件的职能就是给出与期望的被控量相对应的系统输入量（即参考量）；④比较元件：把测量元件检测到的被控量的实际值与给定元件给出的参考值进行比较，求出它们之间的偏差。
常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和电桥等。
⑤测量反馈元件：该元部件的职能就是测量被控制的物理量，如果这个物理量是非电量，一般需要将其转换成为电量。
常用的测量元部件有测速发电机、热电偶、各种传感器等；⑥放大元件：将比较元件给出的偏差进行放大，用来推动执行元件去控制被控对象。
如电压偏差信号，可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。
⑦校正元件：亦称补偿元件，它是结构或参数便于调整的元件，用串联或反馈的方式连接在系统中，用以改善系统的性能。
常用的校正元件有电阻、电容组成的无源或有源网络，它们与原系统串联或与原系统构成一个内反馈系统。
3 请说出什么是反馈控制系统，开环控制系统和闭环控制系统各有什么优缺点？解：反馈控制系统即闭环控制系统，在一个控制系统，将系统的输出量通过某测量机构对其进行实时测量，并将该测量值与输入量进行比较，形成一个反馈通道，从而形成一个封闭的控制系统；开环系统优点：结构简单，缺点：控制的精度较差；闭环控制系统优点：控制精度高，缺点：结构复杂、设计分析麻烦，制造成本高。
自动控制原理第3章 习题及解析
自动控制原理（上）习 题3-1 设系统的结构如图3-51所示，试分析参数b 对单位阶跃响应过渡过程的影响。
考察一阶系统未知参数对系统动态响应的影响。
解 由系统的方框图可得系统闭环响应传递函数为/(1)()()111K Ts Ks Kbs T Kb s Ts +Φ==++++ 根据输入信号写出输出函数表达式：111()()()()()11/()K Y s s R s K s T Kb s s s T bK =Φ⋅=⋅=-++++对上式进行拉式反变换有1()(1)t T bKy t K e-+=-当0b >时，系统响应速度变慢；当/0T K b -<<时，系统响应速度变快。
3-2 设用11Ts +描述温度计特性。
现用温度计测量盛在容器内的水温，发现1min 可指示96%的实际水温值。
如果容器水温以0.1/min C ︒的速度呈线性变化，试计算温度计的稳态指示误差。
考察一阶系统的稳态性能分析(I 型系统的，斜坡响应稳态误差)解 由开环传递函数推导出闭环传递函数，进一步得到时间响应函数为：()1t T r y t T e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中r T 为假设的实际水温，由题意得到：600.961Te-=-推出18.64T =，此时求输入为()0.1r t t =⋅时的稳态误差。
由一阶系统时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T ，所以稳态指示误差为：lim ()0.1 1.864t e t T →∞==3-3 已知一阶系统的传递函数()10/(0.21)G s s =+今欲采用图3-52所示负反馈的办法将过渡过程时间s t 减小为原来的1/10，并保证总的放大倍数不变，试选择H K 和0K 的值。
解 一阶系统的调节时间s t 与时间常数成正比，则根据要求可知总的传递函数为10()(0.2/101)s s Φ=+由图可知系统的闭环传递函数为000(10()()1()0.211010110()0.21110H HHHK G s K Y s R s K G s s K K K s s K ==++++==Φ++）比较系数有101011011010HHK K K ⎧=⎪+⎨⎪+=⎩ 解得00.9,10H K K ==3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为1.5()1012sin(1.6+53.1t y t e t -=-）试求系统的超调量%σ，峰值时间p t ，上升时间r t 和调节时间s t 。
控制工程导论课后习题答案
第一章 概论 习题及及解答1-1 试列举几个日常生活中的开环控制和闭环控制系统实例，并说明它们的工作原理。
略1-2. 图1-17是液面自动控制系统的两种原理示意图。
在运行中，希望液面高度0H 维持不变。
1．试说明各系统的工作原理。
2．画出各系统的方框图，并说明被控对象、给定值、被控量和干扰信号是什么()a 工作原理：出水量2θ与进水量一致，系统处于平衡状态，液位高度保持在0H 。
当出水量大于进水量，液位降低，浮子下沉，通过连杆使阀门1L 开大，使得进水量增大，液位逐渐回升；当出水量小于进水量，液位升高，浮子上升，通过连杆使阀门1关小，液位逐渐降低。
其中被控对象是水槽，给定值是液面高度希望值0H 。
被控量是液面实际高度，干扰量是出水量2θ。
()b 工作原理：出水量与进水量一致系统处于平衡状态，电位器滑动头位于中间位置，液面为给定高度0H 。
当出水量大于（小于）进水量，浮子下沉（上浮）带动电位器滑动头向上（下）移动，电位器输出一正（负）电压，使电动机正（反）转，通过减速器开大（关小）阀门1L ，使进水量增大（减小），液面高度升高（降低），当液面高度为0H 时，电位器滑动头处于中间位置，输出电压为零，电动机不转，系统又处于平衡状态。
其中被控对象是水槽，给定值为液面高度希望值0H ，被控量是液面实际高度，干扰量是出水量2θ。
()a ，()b 系统结构图如下图1-3 什么是负反馈控制在图1-17(b)系统中是怎样实现负反馈控制的在什么情况下反馈极性会误接为正，此时对系统工作有何影响解：负反馈控制就是将输出量反馈到输入端与输入量进行比较产生偏差信号，利用偏差信号对系统进行调节，达到减小或消除偏差的目的。
图1-17()b系统的输出量液面实际高度通过浮子测量反馈到输入端与输入信号（给定液面高度）进行比较，如果二者不一致就会在电位器输出一电压值——偏差信号，偏差信号带动电机转动，通过减速器使阀门1开大或关小，从而进入量改变，当输出量——液面实际高度与给定高度一致偏差信号为0，电机，减速器不动，系统又处于平衡状态。
试用劳斯判据判断系统的稳定性解
这表明方程有一些大小相等且对称于原点的根。
例如 p , p j, p j
显然，系统是不稳定的。
处理方法：利用全 0 行的上一行各元构造一个辅 助方程，式中均为偶次。以辅助方程的导函数的 系数代替劳斯表中的这个全 0 行，然后继续计算
下去。这些大小相等而关于原点对称的根可以通
原 始 数 据
b1 b2 e2
c2 c3
1 a1 c1 b1 b1
a3 b2
s2 s1 s0
1 a0 b1 a1 a1
1 a0 b2 a1 a1
a2 a3
a4 a5
计 算 数 据
1 a1 c2 b1 b1
东北大学《自动控制原理》课程组
a5 b3
5
（2）劳斯判据
p1,2 j 2 , p3,4 j 2 , p5,6 1 j 2
END
东北大学《自动控制原理》课程组
14
稳定的充分必要条件
系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的 极点）全部负实数或具有负实部的共轭复数，也 就是所有的闭环特征根 p j 分布在s平面虚轴的左 侧 ，即
Re[ p j ] 0
东北大学《自动控制原理》课程组
3
3.5自动控制系统的代数稳定判据
不需要求“根”，直接利用特征方程的系数 就可以判断系统的稳定性的方法。 劳斯判据是其中的一种。
代数判据
东北大学《自动控制原理》课程组
4
（1）列劳斯表的建立
a0 s 特征方程式：
劳斯表：
n
a1sn1 an1s an 0， a0 0
s a0 s n 1 a1 s n2 s n 3 c1 e1 f1 g1
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3-4试用劳斯判据确定具有下列特征方程是的系统稳定性。
部根。
不稳定。
变化两次，系统有两实劳斯表第一列元的符合解：
2001200209
10
200920)1(01
2
323S S S S S S S -=+++
统稳定。
有有正部实根。
所以系没有变化两次，系统没劳斯表第一列元的符合解：
）（55.135151685810
51618820
12
3
4
234S S S S S S S S S =++++ 部根。
不稳定。
变化两次，系统有两实劳斯表第一列元的符合解：
）（1612318165381261
310
1236301
2
3
4
52345S S S S S S S S S S S -=+++++
3-5设单位负反馈系统的开环传递函数为
)
12.0)(11.0()(++=
S S K S G 试确定系统稳定时k 的取值范围。
1500002.03.03.002.03.03.0102.00
3.002.0)(:01
2
3
23<<⇒⎩
⎨⎧>>--=+++=K K K K S K
K S K S S K S S S S D 于是系统稳定，则有的闭环特征方程为：
又开环传递函数的系统解 3-6已知系统的闭环特征方程为
0)2)(5.1)(1=++++K S S S
试由劳斯判据确定使得系统闭环特征根的实部均小于-1的最大k 值。
（临界稳定）。
的最大值为依题意得程为：
此时系统的闭环特征方变换
解：根据题意可作线性75.0K 75.000
075.05.175.05.15
.0105.05.1)1)(5.0()(1
01
23231∴<<⇒⎩⎨⎧>>--=+++=+++=+=-=K K K K Z K Z K
Z Z K Z Z Z K Z Z Z S D S Z Z S
3-7 设单位负反馈系统的开环传递函数如下：
(1) )
12.0)(11.0(10)(++=S S G （2）())
22)(1(450)(2++++=s s S S s S G （３）())15.0(120)(2++=
S s S G (1)解：根据误差系数公式有：
()()()∞==∞===+=+=
∴=++⋅===++⋅===++==→→→→→→Ka e Kv
e Kp e S S S S G S Ka S S S S SG K S S S G K ss ss ss S S S S V S S P 1t 11t t109.010
1111t 10)12.0)(11.0(10)(0)12.0)(11.0(10)(10
)
12.0)(11.0(10)(220
200
000lim lim lim lim lim
lim 时，当输入为时，当输入为时，当输入为 (2)解：
()()()∞=======∞
+=+=
∴=++++⋅===++++⋅==∞=++++==→→→→→→011t 1t 01.0100
11t t101111t 10)22)(1()4(50)(100)22)(1()4(50)()22)(1()4(50)(2220
2020
020
0lim lim lim lim lim
lim Ka e Kv e Kp e S S S S S S S G S Ka S S S S S S S SG K S S S S S S G K ss ss ss S S S S V S S P 时，当输入为时，当输入为时，当输入为
(3)解：
()()()05.020
11,2t 1t 011t t101111
t 120)15.0()1(20)()15.0()1(20)()15.0()1(20)(2220
2020
020
0lim lim lim lim lim
lim ====∞===∞+=+=∴=++⋅==∞=++⋅==∞=++==→→→→→→Ka e Kv
e Kp
e S S S S S G S Ka S S S S S SG K S S S S G K ss ss ss S S S S V S S P 时当输入为时，当输入为时，当输入为 3-8 设控制系统如题图所示。
是否可以选择一个合适的1K 值，使系统在单位阶
跃扰动下的稳态误差()t 1，()t t 1和()2
12t t ？
解：由题意得：特征方程为：
时，系统不稳定
当解得时，有
若系统稳，则劳斯表为：
11126
.1111009.010110009.01011010)15.0)(12.0)(11.0(10)(110)15.0)(12.0)(11.0(10)(26
.1000100010001710001008010001001710001008010001001780
10100010080171018.017.001.0)(0
10)15.0)(12.0)(11.0()(111
11
001
1
111
0111
231231231lim lim =>≈=+-=+-=++++-=⋅=∴++++-=<<⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>>+>+-++-
+∴=++++=++++=∴=++++=→→K K K e K K S S S S S S e K S S S S K K K K K S K S K S S K S S S K S S S S D K S S S S D ssn S en S ssn en φφΘ
3-9 设单位负反馈控制系统的开环传递函数为()()1109+=s s G 。
试计算当输入
信号分别为()()t t r 1=和()t t r 2sin 2=时，系统的稳态误差。
解：（1）
1.09
111191
109)()(1)(lim lim 00=+=+=∴=+===→→Kp e S S G Kp t t r ss S S 时，当
（2）时当t t r 2sin 2)(=
()()()()()()()
0ss 0
20e 2222
e ss 1802t 2sin e 180arctan arctan 90j 1
4165201j j t Asin j e 0 2 2A 2sin 2)(+==--+=∠=+=+-+=∠++====⇒=即其中由ωωωωφωωωωωφωφϕωωφϕωt t r。