《控制工程基础》第五章 控制系统的稳定性分析
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控制工程基础 (第12讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据 PPT课件
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F(s) 平面上，
相应的封闭曲线不包围 F(s) 平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 s 以顺时针方向为正方向，在 s 平
在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这 种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形映 射基础上的 。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 S 以顺时针方向为正方向，在[S]平
面上包围了Fs 的 Z 个零点和 P 个极点，但不经过
任何一个零点和极点，那么，对应的映射曲线 F 也以
奈魁斯特稳定判据是利用开环频率特性判别闭环系统的稳 定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的 概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。 它从代数判据脱颖而出，故可以说是一种几何判据。
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
2
奈魁斯特稳定判据无需求取闭环系统的特征根，而是利用
F(s) 的轨迹将逆时针方向包围 F(s)平面上原点两次
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
9
s平面
B3
2
1
A0
-1
-2
F -3 -3
-2
-1
j
Im
C
2
1.5
F (s)平面
1 B1
0.5
D
E1
0 C1
F1 -0.5
-1
A
-1.5
D1
控制工程基础：第五章系统稳定性
∆1 = a 1 > 0
∆2 = a1 a0 a3 a2 = a 1a 2 − a 0 a 3 > 0
∆n
L L L 0 0 0 M 0 an
a5 L
a4 L a3 L M O M 0
a1 ∆3 = a 0 0
a3 a2 a1
0 2 2 a 4 = a 1a 2 a 3 − a 4 a 1 − a 0 a 3 > 0 a3
− c2 =
劳斯表的列法
前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 第三行起元素的计算为： 第三行起元素的计算为：分母为上一行第一 个元素； 个元素； 分子为一行列式，第一列为上两行的第一列， 分子为一行列式，第一列为上两行的第一列， 第二列为所计算元素右肩上元素。 第二列为所计算元素右肩上元素。次对角线 减主对角线元素。 减主对角线元素。 一行可同乘以或同除以某正数
c( t ) = ∑ c i e
i =1
k
pi t
+ ∑ e (A j cos ω j t + B j in ω j t )
j=1
r
σ jt
由上式知： 如果p 均为负值, 如果 i 和 σ i 均为负值 , 当 t
∞ 时 , c(t)
0。 。
自动控制系统稳定的充分必要条件： 系统特征方程的根全部具有负实部， 系统特征方程的根全部具有负实部， 闭环系统的极点全部在S平面左半部。 即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。 系统特征方程
a4 a5 b3 c3 …
a6 a7 b4 c4 …
… … … …
a1 a5 a1a4 − a0 a5 = a1 a1 a1 a3 b1 b2 b1a3 − a1b2 = b1 b1 a1 a5 b1 b3 b1a5 − a1b3 = b1 b1
∆2 = a1 a0 a3 a2 = a 1a 2 − a 0 a 3 > 0
∆n
L L L 0 0 0 M 0 an
a5 L
a4 L a3 L M O M 0
a1 ∆3 = a 0 0
a3 a2 a1
0 2 2 a 4 = a 1a 2 a 3 − a 4 a 1 − a 0 a 3 > 0 a3
− c2 =
劳斯表的列法
前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 第三行起元素的计算为： 第三行起元素的计算为：分母为上一行第一 个元素； 个元素； 分子为一行列式，第一列为上两行的第一列， 分子为一行列式，第一列为上两行的第一列， 第二列为所计算元素右肩上元素。 第二列为所计算元素右肩上元素。次对角线 减主对角线元素。 减主对角线元素。 一行可同乘以或同除以某正数
c( t ) = ∑ c i e
i =1
k
pi t
+ ∑ e (A j cos ω j t + B j in ω j t )
j=1
r
σ jt
由上式知： 如果p 均为负值, 如果 i 和 σ i 均为负值 , 当 t
∞ 时 , c(t)
0。 。
自动控制系统稳定的充分必要条件： 系统特征方程的根全部具有负实部， 系统特征方程的根全部具有负实部， 闭环系统的极点全部在S平面左半部。 即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。 系统特征方程
a4 a5 b3 c3 …
a6 a7 b4 c4 …
… … … …
a1 a5 a1a4 − a0 a5 = a1 a1 a1 a3 b1 b2 b1a3 − a1b2 = b1 b1 a1 a5 b1 b3 b1a5 − a1b3 = b1 b1
机械控制工程基础(北京理工)第五章 控制系统的稳定性分析-PPT课件
其中： a 1 a n n 2 i b i a a 1 a n (2 i 1 ) n 1 n
1a n 1 a n (2 i 1 ) c i b b 1 i 1 1 b
按上面给出的计算方法，一直算到第n行（S1）， 第n+1行是S0仅第1列有数即特征方程中系数a0。
稳定性概念：当系统受到扰动作用后，将偏离
原来的平衡位置，当扰动消除后，如果系统能在 一定的时间范围内以足够的准确度恢复到初始平 衡状态，则称系统是稳定的系统，反之则称系统 是不稳定系统。
系统输出的一般表达：
C () t Ct () Ct () t s s s
C s s ( t ) 为稳态分量（见第二章） C t s ( t ) 为暂态分量， 稳定的概念亦可理解为： 当输入发生变化时，如果系统的输出经过一 段时间后，暂态分量消失，只有稳态分量，则该 系统是稳定的。 所以研究系统稳定性实际就是研究系统输出 的暂态分量是否满足：
§ 5-4 奈魁斯特稳定判据
若开环传递函数中含有 个积分环节时， 绘制开环幅相频率特性曲线后，还应从 频率对应的点开始，逆时针方向用虚线 补画一条半径为无穷大，角度为90的圆 弧。此时，系统的开环幅相曲线应包括 补画的虚线部分。
§ 5-4 奈魁斯特稳定判据
例：已知两单反馈控制系统的开环传递函数 分别为
结论：对图3-1所示系统，在施加一个初始扰动y(0)=a后，
k 系统将永远按振幅为a，频率为 的余弦波振动， m
永远不能恢复到原始静止平衡状态。
例２：
m y cy Ky f( t )
.. .
y (0 ) a ,y (0 ) 0
A m
第五章控制系统的稳定性分析
劳斯判据的两种特殊情况：
1、某一行第一个元素为零，而 其余各元素均不为零、或部 分不为零；
2、某一行所有元素均为零。
2010年10月
控制工程基础—控制系统的稳定性分析
例4：Ds s4 3s3 s2 3s 1 0 判断系统稳定性
s4 1
s3 3
s2 0\
s1
3 3
s0 1
1
1
3
1
2010年10月
控制工程基础—控制系统的稳定性分析
一、劳斯判据特征方程？
系统特征方程为：
D s a0 sn a1sn1 a2 sn2 an1s an 0
稳定的必要条件： 特征方程中各项系数>0
稳定的充分条件： 劳斯阵列中第一列所有项>0
2010年10月
控制工程基础—控制系统的稳定性分析
k
n
xo t Dieit e jt E j cos jt Fj sin jt
因a部的0此x，系撤o对n反则统除i于 ，XNt零之就ao扰线0系输，不ssjsi对动n性a1统 入稳若1应定， xa响定特稳o1ba闭 1常即n0s应。征0定sns1环〈系 Gm得in将根G1的10t系统j2到，随中s充 ba， k统s11G齐时有s1s分若m传j2n间一次a必 0系11s递方na的个要 统n函 1程推s或1所 条数x移多件o特a有abn而个tm是 n征特X1发根1：s根s征oa散具n的 s根xab，有onm实 的这正t实 0部样实部，0
2010年10月
控制工程基础—控制系统的稳定性分析
系统稳定的充要条件
xi t
nt
xo t
t
t=0 t
xo 0
t
xoi 0
传递函数
机械控制工程基础-自动控制原理 第五章-系统的稳定性
系统的稳定性是系统的固有属性，只与系统结构参 数有关，与外部作用无关。
二、系统稳定的条件
第五章 系统的稳定性
线性定常系统的微分方程一般式为：
a0
dn dt n
xo
(t)
a1
d n1 dt n1
xo (t)
an1
d dt
xo (t) an xo (t)
dm
d m1
d
b0 dt m xi (t) b1 dt m1 xi (t) bm1 dt xi (t) bm xi (t)
劳斯表的构造：
D(s) a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0
sn a0 a2 a4 … sn−1 a1 a3 a5 … sn−2 b1 b2 b3 … ┋┋ s1 …
s0 g1
b1
a1a2 a0a3 a1
b2
a1a4 a0a5 a1
自动控制原理
1
第五章 系统的稳定性
第一节 稳定性的基本概念 第二节 Routh（劳斯）稳定判据 第三节 Nyquist稳定判据 第四节 系统的相对稳定性
第五章 系统的稳定性
第一节 稳定性的基本概念
一、稳定性的概念
系统受到扰动作用时，输出偏离平衡状态，当扰动消 除后，若系统在足够长的时间内能恢复其原来的平衡状态 或趋于一个给定的新平衡状态，则该系统是稳定的。反之， 如果系统对于干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大或 发生持续振荡，则系统是不稳定的。
表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标识作
用，不参与计算。 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。
二、系统稳定的条件
第五章 系统的稳定性
线性定常系统的微分方程一般式为：
a0
dn dt n
xo
(t)
a1
d n1 dt n1
xo (t)
an1
d dt
xo (t) an xo (t)
dm
d m1
d
b0 dt m xi (t) b1 dt m1 xi (t) bm1 dt xi (t) bm xi (t)
劳斯表的构造：
D(s) a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0
sn a0 a2 a4 … sn−1 a1 a3 a5 … sn−2 b1 b2 b3 … ┋┋ s1 …
s0 g1
b1
a1a2 a0a3 a1
b2
a1a4 a0a5 a1
自动控制原理
1
第五章 系统的稳定性
第一节 稳定性的基本概念 第二节 Routh（劳斯）稳定判据 第三节 Nyquist稳定判据 第四节 系统的相对稳定性
第五章 系统的稳定性
第一节 稳定性的基本概念
一、稳定性的概念
系统受到扰动作用时，输出偏离平衡状态，当扰动消 除后，若系统在足够长的时间内能恢复其原来的平衡状态 或趋于一个给定的新平衡状态，则该系统是稳定的。反之， 如果系统对于干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大或 发生持续振荡，则系统是不稳定的。
表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标识作
用，不参与计算。 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。
第五章 控制系统稳定性分析
10 (1 + s )(1 + 2s )(1 + 3s )
奈氏轨迹穿过 ( −1, j 0 ) 点，所以系统临界稳定。 （3） G (s )H (s ) =
10 s (1 + 0.1s )(1 + 0.2 s )
2
6
∵ N = −2, P = 0, N ≠ P ∴ 系统不稳定
7-10 试根据下列开环频率特性分析相应系统的稳定性。
as + 1 s2
α s +1
s2
ϕ (ω ) = - 180 + tan −1 αω
γ = 180 + ϕ (ωc ) = 45
180 + tan −1 αωc − 180 = 45
α =1
4
7-8 判别图(题 7-7)(a)， （b）所示系统的稳定性。
解(a)
2
图(题 7-8
0.1( s + 1) GB ( s ) = 3 s + 0.19 s 2 + 0.2 s + 0.1 D ( s ) = s 3 + 0.19s 2 + 0.2s + 0.1
P 2
(3) G ( jω )H ( jω ) =
10 ( jω ) (1 + j 0.1ω )(1 + j 0.2ω )
2
∵在 ( 0, ωc ) 之间， N ' = −1, P = 0, N ' ≠ ∴系统不稳定。 (4) G ( jω )H ( jω ) =
P 2
2 ( jω ) (1 + j 0.1ω )(1 + j10ω )
0
α ( 2 + K ) − (1 + K ) =0 使第三行全为零 α
控制基础第五章(稳定)
s 12
§5-3 代数稳定判据——劳斯判据
[例3] 已知系统特征方程为: a0 s3+ a1 s2+ a2 s+ a3 =0 试求得系统稳定的条件。 解：(1)列劳斯表 (2)根据劳斯判据，要使 s3 a0 a2 系统稳定: ①特征方程的系数a0、 s2 a1 a3 a1、 a2、 a3均大于零; a1a2 a0 a3 s1 ②由劳斯表中第一列 a1 所有元素的值大于零 s0 a3 得： a1a2 – a0a3>0
sin[(nj 1 j2 )t j ]
上式中，si 和(-ζjωnj)分别是系统的实特征根和复 特征根实部。 上式表明：当系统的特征根都为负时，各暂 综上所述，线性定常系统稳定的充要 态项才都是衰减的，且 t → ∞时，各暂态分量都 条件是：闭环系统特征方程的所有根都具 趋向零；如果有任一个根的实部为正，则其对应 有负实部，或者说，闭环传递函数的极点 的暂态项将是发散的，系统将不稳定 。 均位于复平面的左平面（不包括虚轴）。
s n 3
§5-3 代数稳定判据——劳斯判据
特征方程： a0 s n a1s n1 a2 s n2 an1s an 0
sn
劳 斯 表
a0 a1 b1 c1 u1
s n 1 s n2 s n 3 s0
a 2 a 4 a6 b1a3 a1b2 [劳斯判据] 系统稳定的充要条件是： c1 b1 ①特征方程的各项系数大于零；② a3 a5 a7 b1a5 a1b3 劳斯表中第一列所有元素的值均大 c2 b2 b3 b1 于零。如果第一列中出现小于零的 c2 c3 b a a1b4 c3 1 7 元素，系统就不稳定，且该列中数 b1 值符号改变的次数等于系统特征方 程正实部根的数目。
§5-3 代数稳定判据——劳斯判据
[例3] 已知系统特征方程为: a0 s3+ a1 s2+ a2 s+ a3 =0 试求得系统稳定的条件。 解：(1)列劳斯表 (2)根据劳斯判据，要使 s3 a0 a2 系统稳定: ①特征方程的系数a0、 s2 a1 a3 a1、 a2、 a3均大于零; a1a2 a0 a3 s1 ②由劳斯表中第一列 a1 所有元素的值大于零 s0 a3 得： a1a2 – a0a3>0
sin[(nj 1 j2 )t j ]
上式中，si 和(-ζjωnj)分别是系统的实特征根和复 特征根实部。 上式表明：当系统的特征根都为负时，各暂 综上所述，线性定常系统稳定的充要 态项才都是衰减的，且 t → ∞时，各暂态分量都 条件是：闭环系统特征方程的所有根都具 趋向零；如果有任一个根的实部为正，则其对应 有负实部，或者说，闭环传递函数的极点 的暂态项将是发散的，系统将不稳定 。 均位于复平面的左平面（不包括虚轴）。
s n 3
§5-3 代数稳定判据——劳斯判据
特征方程： a0 s n a1s n1 a2 s n2 an1s an 0
sn
劳 斯 表
a0 a1 b1 c1 u1
s n 1 s n2 s n 3 s0
a 2 a 4 a6 b1a3 a1b2 [劳斯判据] 系统稳定的充要条件是： c1 b1 ①特征方程的各项系数大于零；② a3 a5 a7 b1a5 a1b3 劳斯表中第一列所有元素的值均大 c2 b2 b3 b1 于零。如果第一列中出现小于零的 c2 c3 b a a1b4 c3 1 7 元素，系统就不稳定，且该列中数 b1 值符号改变的次数等于系统特征方 程正实部根的数目。
第五章控制系统的稳定性分析
特征根的三种情况及所对应时域解： s a e at; s j sin t ,cos t ;
s a j e at sin t , e at cos t
s平面上实极点及稳定性
j j
j
0 c(t)
0 c(t)
0 c(t)
其中，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，即满足系统稳定的 必要条件。 劳斯稳定判据的判别过程如下：
列出劳斯阵列 sn sn-1 sn-2 sn-3 sn-4 …… s2 s1 s0 a0 a1 b1 c1 d1 a2 a3 b2 c2 d2 a4 a5 b3 c3 d3 a6 a7 b4 c4 d4 … … … … …
k 1 2 c 2 t k 1 sin( t ), arctg b c bk k k k k k r
当- < 0时，该分量为指数衰减的振荡过程。 当- > 0时，该分量为指数发散的振荡过程。 当- = 0时，该分量为多项式发散的振荡过程。
系统稳定的充要条件 [深入理解]
0
t
0
t
0
t
系统稳定的充要条件 s平面上复极点及稳定性
j j j
0
0
0
ห้องสมุดไป่ตู้
y(t)
y(t)
y(t)
0
t
0
t
0
t
系统稳定的充要条件
S平面虚轴上重极点及稳定性
j
j
0
0
y(t)
y(t)
0
t
0
t
综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种 形式，线性系统稳定的充要条件为：闭环传递 函数所有特征根均为负数或具有负的实数部分； 即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
s a j e at sin t , e at cos t
s平面上实极点及稳定性
j j
j
0 c(t)
0 c(t)
0 c(t)
其中，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，即满足系统稳定的 必要条件。 劳斯稳定判据的判别过程如下：
列出劳斯阵列 sn sn-1 sn-2 sn-3 sn-4 …… s2 s1 s0 a0 a1 b1 c1 d1 a2 a3 b2 c2 d2 a4 a5 b3 c3 d3 a6 a7 b4 c4 d4 … … … … …
k 1 2 c 2 t k 1 sin( t ), arctg b c bk k k k k k r
当- < 0时，该分量为指数衰减的振荡过程。 当- > 0时，该分量为指数发散的振荡过程。 当- = 0时，该分量为多项式发散的振荡过程。
系统稳定的充要条件 [深入理解]
0
t
0
t
0
t
系统稳定的充要条件 s平面上复极点及稳定性
j j j
0
0
0
ห้องสมุดไป่ตู้
y(t)
y(t)
y(t)
0
t
0
t
0
t
系统稳定的充要条件
S平面虚轴上重极点及稳定性
j
j
0
0
y(t)
y(t)
0
t
0
t
综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种 形式，线性系统稳定的充要条件为：闭环传递 函数所有特征根均为负数或具有负的实数部分； 即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
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例: 设控制系统的特征方程式为
s4 8s3 17s2 16s 5 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解： 首先，由方程系数可知已满足稳定的 必要条件。其次，排劳斯阵列
s 4 1 17 5 s3 8 16 s 2 15 5 s1 40 / 3 s0 5
由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符 号全为正值，所以控制系统稳定。
对于特征方程阶次低（n≤3）的系统，劳斯
判据可化为如下简单形式，以便于应用。
二阶系统特征式为 a0 s2 a1s a2，劳斯
表为
s2
a0
a2
s1
a1
s0
a2
故二阶系统稳定的充要条件是
a0 0, a1 0, a2 0
三阶系统特征式为 a0 s3 a1s2 a2 s a3 ，
劳斯表为
（1）特征方程的各项系数 2，…，n) 都 不 等 于 零 。 因 为 若
a有i(一i=个0，系1数，
为零，则必出现实部为零的特征根或实部有
正有负的特征根，才能满足上式；此时系统
为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根的
实部为正）。
（2）特征方程的各项系数的符号都相同， 才上能述满两足个上条式件，可按归照结惯为例系，统稳定一的般ai 一取个正必值要， 条既件使，上即述条件＞已0a。i 满但足这，。
同时，如果劳斯阵列中第一列所有项均为 正号，则系统一定稳定。
劳斯阵列为
sn a0 a2 a4 a6 s n1 a1 a3 a5 a7 s n2 b1 b2 b3 b4 s n3 c1 c2 c3 c4
s 2 u1 u2 s1 v1 s 0 w1
其中系数根据下列公式计算：
b1
a1a2 a0 a3 a1
零，即
k
r
xo t Dieit eit E j cos jt Fj sin jt
i 1
j 1
xo t 0
t
当 i 0, j 0 时，上式成立，以上条 件形成系统稳定的充分必要条件之一。
i , j对应闭环系统特征根的实部，因此 对于定常线性系统，若系统所有特征根的 实部均为负值，则零输入响应最终将衰减 到零，这样的系统就是稳定的。反之，若 特征根中有一个或多个根具有正实部时， 则零输入响应将随时间的推移而发散，这 样的系统就是不稳定的。由此，可得出控 制系统稳定的另一充分必要条件是：系统 特征方程式的根全部具有负实部。系统特 征方程式的根就是闭环极点，所以控制系 统稳定的充分必要条件也可说成是闭环传 递函数的极点全部具有负实部，或说闭环
s3
a0
a2
s2
a1
a3
s1 a1a2 a0 a3 a0
s0
a3
故三阶系统稳定的充要条件是
a0 0, a1 0, a2 0, a3 0, a1a2 a0a3
例 设某反馈控制系统如下图所示，试计算 使系统稳定的K值范围。
X i s
K
X o s
ss 1s 2
解：系统闭环传递函数为
X o s X i s
b2
a1a4 a0 a5 a1
b3
a1a6
a0a7 a1
系数的计算，一直进行到其余的值都等于 零时为止，用同样的前两行系数交叉相乘 的方法，可以计算c，d, e等各行的系数，
c1
b1a3 a1b2 b1
c2
b1a5 a1b3 b1
c3
b1a7 a1b4 b1
d1
c1b2
b1c2 c1
这种过程一直进行到第n行被算完为止。系 数的完整阵列呈现为三角形。在展开的阵 列中，为了简化其后的数值计算，可用一 个正整数去除或乘某一整个行。这时，并 不改变稳定性结论。劳斯判据还说明：实 部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第一 列的系数符号改变的次数。
例2 设控制系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 3 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。 解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必 要条件。其次，排劳斯阵列
s4 1 3 3
s3 2 4
s2 1 3
s1 2
s0 3 第一列中系数改变符号两次，说明闭环系统 有两个正实部的根，控制系统不稳定。
由根与系数的关系可求得
a1
a0
s1
s2
sn ;
a2
a0
s1s2
s1s3
sn1sn ;
a3 a0
s1s2 s3
s1s2 s4
sn2 sn1sn
;
an
a0
1 n
s1s2 s3
sn2 sn1sn
从上式可知，要使全部特征根均具有负实部， 就必须满足以下两个条件。
ss
K
1s
2
K
特征方程为
ss 1s 2 K s3 3s2 2s K 0
• 见光盘课件（第五章第一节）
系统稳定的充要条件
X i s
+ -
G1s G1s
N(s) +
G2 s
H s
X o s
对于 上图所示控制系统，有
X o s N s
G2 s 1 G1sG2 sH s
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
a0sn a1sn1 an1s an X o s
第五章 控制系统的稳定性分析
5.1 系统稳定性的基本概念 5.2 系统稳定的充要条件 5.3 代数稳定性判据（Routh判据、 Hurwitz判据） 5.4 乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判 据） 5.5 应用乃奎斯特判据分析延时系统的 稳定性 5.6 由伯德图判断系统的稳定性 5.7 控制系统的相对稳定性 5.8 李雅普诺夫稳定性方法
传递函数的极点全部在[s]平面的左半面。
劳斯稳定性判据
这一判据是基于方程式的根与系数的关 系而建立的。设系统特征方程为
a0 s n a1s n1 an1s an
a0 s n
a1 a0
s n1
an1 a0
s
an a0
a0 s s1 s s2 s sn
0 式中， s1, s2 , , sn 为系统的特征根。
b0sm b1sm1 bm1s bm N s
撤除扰动，即
a0 s n a1s n1 an1s an X o s 0
a0 xon t a1xon1 t an1xo t an xo t 0
按照稳定性定义，如果系统稳定，当时间
趋近于无穷大时，该齐次方程的解趋近于
s4 8s3 17s2 16s 5 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解： 首先，由方程系数可知已满足稳定的 必要条件。其次，排劳斯阵列
s 4 1 17 5 s3 8 16 s 2 15 5 s1 40 / 3 s0 5
由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符 号全为正值，所以控制系统稳定。
对于特征方程阶次低（n≤3）的系统，劳斯
判据可化为如下简单形式，以便于应用。
二阶系统特征式为 a0 s2 a1s a2，劳斯
表为
s2
a0
a2
s1
a1
s0
a2
故二阶系统稳定的充要条件是
a0 0, a1 0, a2 0
三阶系统特征式为 a0 s3 a1s2 a2 s a3 ，
劳斯表为
（1）特征方程的各项系数 2，…，n) 都 不 等 于 零 。 因 为 若
a有i(一i=个0，系1数，
为零，则必出现实部为零的特征根或实部有
正有负的特征根，才能满足上式；此时系统
为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根的
实部为正）。
（2）特征方程的各项系数的符号都相同， 才上能述满两足个上条式件，可按归照结惯为例系，统稳定一的般ai 一取个正必值要， 条既件使，上即述条件＞已0a。i 满但足这，。
同时，如果劳斯阵列中第一列所有项均为 正号，则系统一定稳定。
劳斯阵列为
sn a0 a2 a4 a6 s n1 a1 a3 a5 a7 s n2 b1 b2 b3 b4 s n3 c1 c2 c3 c4
s 2 u1 u2 s1 v1 s 0 w1
其中系数根据下列公式计算：
b1
a1a2 a0 a3 a1
零，即
k
r
xo t Dieit eit E j cos jt Fj sin jt
i 1
j 1
xo t 0
t
当 i 0, j 0 时，上式成立，以上条 件形成系统稳定的充分必要条件之一。
i , j对应闭环系统特征根的实部，因此 对于定常线性系统，若系统所有特征根的 实部均为负值，则零输入响应最终将衰减 到零，这样的系统就是稳定的。反之，若 特征根中有一个或多个根具有正实部时， 则零输入响应将随时间的推移而发散，这 样的系统就是不稳定的。由此，可得出控 制系统稳定的另一充分必要条件是：系统 特征方程式的根全部具有负实部。系统特 征方程式的根就是闭环极点，所以控制系 统稳定的充分必要条件也可说成是闭环传 递函数的极点全部具有负实部，或说闭环
s3
a0
a2
s2
a1
a3
s1 a1a2 a0 a3 a0
s0
a3
故三阶系统稳定的充要条件是
a0 0, a1 0, a2 0, a3 0, a1a2 a0a3
例 设某反馈控制系统如下图所示，试计算 使系统稳定的K值范围。
X i s
K
X o s
ss 1s 2
解：系统闭环传递函数为
X o s X i s
b2
a1a4 a0 a5 a1
b3
a1a6
a0a7 a1
系数的计算，一直进行到其余的值都等于 零时为止，用同样的前两行系数交叉相乘 的方法，可以计算c，d, e等各行的系数，
c1
b1a3 a1b2 b1
c2
b1a5 a1b3 b1
c3
b1a7 a1b4 b1
d1
c1b2
b1c2 c1
这种过程一直进行到第n行被算完为止。系 数的完整阵列呈现为三角形。在展开的阵 列中，为了简化其后的数值计算，可用一 个正整数去除或乘某一整个行。这时，并 不改变稳定性结论。劳斯判据还说明：实 部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第一 列的系数符号改变的次数。
例2 设控制系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 3 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。 解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必 要条件。其次，排劳斯阵列
s4 1 3 3
s3 2 4
s2 1 3
s1 2
s0 3 第一列中系数改变符号两次，说明闭环系统 有两个正实部的根，控制系统不稳定。
由根与系数的关系可求得
a1
a0
s1
s2
sn ;
a2
a0
s1s2
s1s3
sn1sn ;
a3 a0
s1s2 s3
s1s2 s4
sn2 sn1sn
;
an
a0
1 n
s1s2 s3
sn2 sn1sn
从上式可知，要使全部特征根均具有负实部， 就必须满足以下两个条件。
ss
K
1s
2
K
特征方程为
ss 1s 2 K s3 3s2 2s K 0
• 见光盘课件（第五章第一节）
系统稳定的充要条件
X i s
+ -
G1s G1s
N(s) +
G2 s
H s
X o s
对于 上图所示控制系统，有
X o s N s
G2 s 1 G1sG2 sH s
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
a0sn a1sn1 an1s an X o s
第五章 控制系统的稳定性分析
5.1 系统稳定性的基本概念 5.2 系统稳定的充要条件 5.3 代数稳定性判据（Routh判据、 Hurwitz判据） 5.4 乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判 据） 5.5 应用乃奎斯特判据分析延时系统的 稳定性 5.6 由伯德图判断系统的稳定性 5.7 控制系统的相对稳定性 5.8 李雅普诺夫稳定性方法
传递函数的极点全部在[s]平面的左半面。
劳斯稳定性判据
这一判据是基于方程式的根与系数的关 系而建立的。设系统特征方程为
a0 s n a1s n1 an1s an
a0 s n
a1 a0
s n1
an1 a0
s
an a0
a0 s s1 s s2 s sn
0 式中， s1, s2 , , sn 为系统的特征根。
b0sm b1sm1 bm1s bm N s
撤除扰动，即
a0 s n a1s n1 an1s an X o s 0
a0 xon t a1xon1 t an1xo t an xo t 0
按照稳定性定义，如果系统稳定，当时间
趋近于无穷大时，该齐次方程的解趋近于