劳斯判据判定稳定性
3.5劳斯稳定性及稳定判据
an a n 1 A1 B1 C1
an 2 an 3 A2 B2 C2
an 4 an 5 A3 B3 C3
劳斯表
劳斯表计算举例
s 5 s s s s s s
4 3 2 1 0
6
a6 s6 a5 s5 a4 s4 a3 s 3 a2 s 2 a1 s a0 0
系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负 实部的共轭复数。 或者说，特征方程的根应全位于s平面的左半平面。
3 代数稳定判据
1 劳斯稳定判据
线性定常系统的特征方程一般式为
an s n an1s n1 a1s a0 0
系统稳定的充要条件为： 1）特征方程的全部 系数为正值； 2）由特征方程系数组成 的劳斯表的第一列也为正。
本次课程作业
3-16（1）、（6）
3-20
五 稳定性及其代数稳定判 据 1 稳定性的定义
处于某一初始平衡状态的系统。在任何足够小的初始偏差 作用下，其过渡过程随着时间的推移，是否具有逐渐恢复原平 衡状态的性能。
如果系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后， 经过足够长的时间后能回复到原来的初始平衡状态，则称系统 是稳定的。否则是不稳定的。
s3 j
s1 s4
c( ) 0 系统稳定
G( s ) N ( s) ( s 3)(s 20)(s 2 2 s 4)
s2
o
c(t)
t 0
s3,4 1 j 3
t t Ae cos 3 t Be sin 3t 增加运动模态 c( ) 0 系统稳定
劳斯稳定判据的定义
劳斯稳定判据的定义
劳斯稳定判据，是控制理论中常用的一种判据，用于判断系统的稳定性。
在控制系统中，稳定性是一个非常重要的指标，它决定了系统在各种工况下的可靠性和可控性。
劳斯稳定判据通过分析系统的特征方程，判断系统的稳定性。
特征方程是系统的传递函数的分母多项式，通过求解特征方程的根来判断系统的稳定性。
劳斯稳定判据的定义如下：设特征方程为F(s)=0，将特征方程F(s)进行因式分解，得到特征方程的根s1，s2，...，sn。
如果特征方程的所有根的实部都小于零，且特征方程的根的个数与特征方程的阶数相等，则系统是稳定的。
通过劳斯稳定判据，我们可以很方便地判断系统的稳定性。
只需要将特征方程进行因式分解，并对特征方程的根进行判断即可。
如果特征方程的根都满足实部小于零的条件，且根的个数与特征方程的阶数相等，那么系统就是稳定的。
否则，系统就是不稳定的。
劳斯稳定判据的应用范围非常广泛。
不仅在控制系统中常常用到，而且在其他领域中也有广泛的应用。
例如，在电力系统中，劳斯稳定判据可以用于判断发电机的稳定性；在通信系统中，劳斯稳定判据可以用于判断信道的稳定性；在经济学中，劳斯稳定判据可以用于判断经济系统的稳定性等等。
劳斯稳定判据是一个非常重要的判据，它可以帮助我们判断系统的
稳定性。
通过分析特征方程的根，我们可以得到系统的稳定性信息。
劳斯稳定判据的应用非常广泛，不仅在控制系统中常常用到，而且在其他领域中也有广泛的应用。
通过劳斯稳定判据，我们可以更好地理解和分析系统的稳定性，从而提高系统的可靠性和可控性。
劳斯判据判断临界稳定的条件
劳斯判据判断临界稳定的条件好嘞，今天咱们聊聊劳斯判据，这可是控制理论里的一个“大佬”。
想象一下，一个船在风浪中航行，要是不稳，简直就像无头苍蝇一样，搞不好就翻船了。
劳斯判据就像是一个导航仪，让你知道这船在什么情况下还能继续航行，而不会翻倒。
要是你对这个概念不太了解，那就跟我来，咱们轻松聊聊！啥是临界稳定呢？就是你知道的，既不稳定，也不完全稳定，就像一个平衡木上的小丑，稍微一失去平衡就要摔下去了。
想象一下，一个人走在细绳上，左摇右晃，哎哟，真是提心吊胆。
劳斯判据就像是教练，在旁边给你打气，告诉你什么时候该加油，什么时候该放松。
它帮我们判断系统的特性，尤其是在临界稳定的情况下，简直是如鱼得水。
咱们说说劳斯判据的基本原理，听起来可能有点拗口，但其实就是看看系统的特征方程，构造一个“劳斯阵”。
这个阵可不是普通的阵，而是有特定规则的。
有些人一听到数学就打退堂鼓，别担心，劳斯阵其实挺简单的。
你只要把特征方程的系数按一定的方式排成表，接下来就可以开始“解密”了。
在劳斯阵里，有一个“重要角色”，那就是判别式。
这个小家伙告诉你，阵列的符号变化，能不能用来判断系统的稳定性。
比如说，假如你发现这个判别式的符号在某些行变了，那就得小心了，系统可能会不太稳。
就像一个大树摇摇欲坠，随时可能倒下。
你说这多可怕呀！不过如果没有符号变化，哇，那可就稳如老狗了，继续航行，绝对没有问题。
但万一你发现有零值，那就麻烦了。
你得重新做一些小调整，就像给你的船加油一样，确保一切正常。
别担心，这也是劳斯判据的好处，给了你调整的机会，让你有时间做出改变，免得真的翻船。
就像生活中的很多事情，有时候遇到困难，转个弯就能找到解决办法。
说到这里，咱们来聊聊实际应用。
你会发现，劳斯判据不仅仅是在课本里，也在很多地方派上用场。
比如，汽车的控制系统、飞行器的稳定性，这些都离不开它的帮助。
你想想，一个飞行员要在万米高空保持飞机的稳定，那绝对是个技术活儿，劳斯判据帮他分析，确保万无一失。
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
lim c (t) lim c (1 )(t) L lim c (n 1 )(t) 0
t t
t
(3.60)
则称系统(3.58)是稳定的。
为了决定系统的稳定性，可求出式(3.59)的解。由数学 分析知道，式(3.59)的特征方程式为
a n sn a n 1 sn 1 L a 1 s a 0 0
(a) 稳定的(b) 不稳定的来自图3-31 圆锥体的稳定性
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后， 偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返 回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
设系统在初始条件为零时，在单位理想脉冲作用下， 这时系统的脉冲响应为c(t)。若t ∞时，脉冲响应
limc(t) 0
一、稳定性的概念
稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。 考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一 个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用 力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。 而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保 持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就 会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
则稳态响应也必定是有界的。则系统稳定性可以归结为，系统在 任何一个有界输入的作用下，其输出是否有界的问题。
一个稳定的系统定义为，在有界输入的作用下，其输 出响应也是有界的。这叫做有界输入有界输出稳定，又 简称为BIBO稳定。
线性系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位置来 确定。设单输入单输出线性系统的微分方程为，即
图3-32 根平面
表3.4列举了几个简单系统稳定性的例子。需要指出 的是，对于线性定常系统，由于系统特征方程根是由特征 方程的结构（即方程的阶数）和系数决定的，因此系统的 稳定性与输入信号和初始条件无关，仅由系统的结构和参 数决定。
系统稳定性分析—劳斯稳定判据
© BIP
例题4：s6 s5 6s4 5s3 9s2 4s 4 0
S6 1
6
S5 1
5
9
4
辅助方程
4
0
S4 1
5
4
S3
0 4
0 10
0 0
S2 2.5
4
0
0 s4 5s2 4 0
0 0 4s3 10s 0 0
S1 3.6
0
0
0
S0 4
0
0
0
某一行全为零，说明存在对称于原点的根，系统不稳定
No.15
© BIP
图7 K=15时系统的单位阶跃响应曲线
No.16
© BIP
图8 K=20时系统的单位阶跃响应曲线
No.17
© BIP
例题2：液位控制系统的稳定性分析。
进水
阀门
进水阀门的 传递函数K3
减速器
+ 电位器
-
连杆
执行电机和 减速器的传
递函数
K2/S(TS+1)
电动机
放大器
控制对象水箱的
系统稳定性分析之 ——劳斯判据
一、系统稳定的重要性
图1“舞动的格蒂”—首座塔科马大桥
No.2
© BIP
二、系统稳定性的基本概念和条件
1、定义：如果线性控制系统在初始扰动的作 用下，使被控量产生偏差，当扰动消失后，该 偏差随着时间的推移逐渐减小并趋于零，即系 统趋于原来的工作状态，则称该系统为渐进稳 定。反之，如果在初始扰动的作用下，系统的 偏差随着时间的推移而发散，系统无法趋于原 来的工作状态，则称系统不稳定。
传递函数K4/S
Routh 稳定性判定
ja
-a 0 a 0 -ja
j jb
-a
0
a
-jb 处理 利用该零行上面一行元素构成辅助多项式，取辅助多项式 方法 导数的系数代替该零行，继续计算劳斯数列中其余各项。
第五章 系统的稳定性
s7 s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 7 3 5 16/3 0 5 0 0 0 20 0 (0) 20 -400/ 20
图5.2 系统方框图
将已知条件代入，系统的特征方程为
D ( s ) s 3 34.6 s 2 7500 s 7500 K 0
列出Routh数列为
s3 s2
1
7500 7500 K 0 0
0 0
0 K 34.6
34.6 34.6 7500 7500 K 1 s 34.6 0 s 7500 K
s
4
s3 s2 s1 s0
1 19 30 1 11 0 1 (19) 1 11 30 30 0 （改变符号一次） 1 (30) 11 1 30 12 0 0 （改变符号一次） 30 30 0 0
3）第一列符号变化2次，系统有两个不稳定根。
第五章 系统的稳定性
低阶系统(六阶以下)
第五章 系统的稳定性
一、劳斯稳定判据的步骤
5.2 Routh稳定判据
n n 1 1. 列写系统的特征方程式 D ( s ) a n s a n 1 s a1 s a 0 0
2. 系统稳定的必要条件 各系数同号且不为零 或 an>0, an-1>0, … , a1>0, a0>0 3. 列写Routh数列表
第五章 系统的稳定性
例5.1 系统的特征方程 求系统的稳定性。
自动控制原理第四章-1-劳斯稳定性判据
04
劳斯稳定性判据的优缺点
优点
简单易行
劳斯稳定性判据是一种直接的方法，用于确定系统的稳定 性。它不需要求解系统的极点，只需要检查劳斯表格的第 一列。
普遍适用性
劳斯稳定性判据适用于所有线性时不变系统，无论系统是 单输入单输出（SISO）还是多输入多输出（MIMO）。
数学基础
劳斯稳定性判据基于数学中的因式分解和不等式性质，具 有坚实的数学基础。
劳斯稳定性判据的局限性在于它只能判断系统 的稳定性，无法给出系统动态性能的评估和优 化。
对自动控制原理的展望
随着科技的发展，自动控制原理的应用领域不断扩大，涉及到工业、交通、医疗、 农业等多个领域。
未来，自动控制原理将与人工智能、机器学习等先进技术相结合，实现更加智能化、 自适应的控制方案。
自动控制原理的理论体系也将不断完善和发展，以适应不断变化的应用需求和技术 环境。
2
在航空航天领域，为了确保飞行器的安全和稳定， 需要利用劳斯稳定性判据对飞行控制系统进行稳 定性分析和设计。
3
在化工领域，为了确保生产过程的稳定和安全， 需要利用劳斯稳定性判据对工业控制系统进行稳 定性分析和设计。
02
劳斯稳定性判据的基本原理
线性系统的稳定性
线性系统
01
在自动控制原理中，线性系统是指系统的数学模型可以表示为
缺点
01
对初始条件的敏感性
劳斯稳定性判据对系统的初始条件非常敏感。即使系统在大部分时间内
是稳定的，如果初始条件设置不正确，可能会导致错误的稳定性判断。
02
数值稳定性问题
在计算劳斯表格时，可能会遇到数值稳定性的问题，例如数值溢出或数
值不精确。这可能会影响判据的准确性。
劳斯判据
(3.63)
假如所有的根均在左半平面，即 p j <0，s i<0 ，则p j >0 ，s i >0 。所以将各因子项相乘展开后，式（3.63）的所 有系数都是正数。 根据这一原则，在判别系统的稳定性时，可首先检查系 统特征方程的系数是否都为正数，假如有任何系数为负数或 等于零（缺项），则系统就是不稳定的。但是，假若特征方 程的所有系数均为正数，并不能肯定系统是稳定的，还要做 进一步的判别。因为上述所说的原则只是系统稳定性的必要 条件，而不是充分必要条件。
an 3 b2 an 5 b3 an 7 b4
按此规律一直计算到n -1行为止。在上述计算过程中，为 了简化数值运算，可将某一行中的各系数均乘一个正数，不 会影响稳定性结论。 3. 考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列表中第 一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的 根均位于根平面的左半平面。假若第一列系数有负数，则第 一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。 例3.3 系统特征方程为
线性闭环系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位 置予ห้องสมุดไป่ตู้确定。假如单输入单输出线性系统由下述的微分方程 式来描述，即
an c ( n ) an 1c ( n 1) a1c (1) a0c bm r ( m ) bm1r ( m1) b1r (1) b0 r
2 2
s4 1 s3 6
例3.4 已知系统特征方程式为
s5 3s 4 2s3 s 2 5s 6 0
解 列写劳斯阵列表 5 1 2 5 s s4 3 1 6 s3 5 9 （各系数均已乘3） 2 s -11 15 （各系数均已乘5/2） 1 （各系数均已乘11） s 174 s0 15 劳斯阵列表第一列有负数，所以系统是不稳定的。由于第 一列系数的符号改变了两次(5→－11→174)，所以，系统特 征方程有两个根的实部为正。
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劳斯判据
即Routh-Hurwitz判据
一、系统稳定的必要条件
判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：
1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件
系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：
1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
于是表的计算无法继续。
为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。
若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。
此时，系统为临界稳定系统。
2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。
此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。
这样，表中的其余各元就可以计算下去。
出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳
定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。
这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。
三、相对稳定性的检验
对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法：
1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。
2）利用判据对新的特征方程进行稳定性判别。
如新系统稳定，则说明原系统特征方程所有的根均在新虚轴之左边，（越大，系统相对稳定性越好。