运筹学动态规划的概念
动态规划(运筹学)
k阶段的允许决策集合
四、状态转移方程 sk+1与sk,xk之间必须能够建立一种明确的数量对应关系，记为
Tk(sk,xk), 即有 sk+1 = Tk(sk,xk)
这种明确的数量关系称为状态转移方程。
五、策略
由各阶段决策xk构成的决策序列,称为全过程策略,简称策略,记为
p1(s1),有
p1(s1) = { x1(s1),x2(s2),… ,xn(sn)} ∈P1
xk∈Xk
f*n+1(sn+1) = 1 积 f*k(sk)xk=∈Xok pt {vk(sk,xk) ×fk+1*(sk+1)}
k = n, n-1, …, 2, 1 k = n, n-1, …, 2, 1
11
三、基本步骤
1°建立模型
(1) 划分阶段，设定 k (2) 设定状态变量 sk
(3) 设定决策变量 xk
3） 阶段指标函数。第k阶段装载 件货物时所创的利润 。 vk xk
4） 函数的基本方程为
fk
sk
opt
xk Dk sk
vk xk fk1 sk wk xk k 1, 2,3
sk 0,1, ,6
f4
s4
0
k=3时
w3 4, v3 18
s3 0,1, , 6
x3
0,1,
六、运输时间须控制在合理范围之内（如集装箱干线船的班期）。
ZH物流公司是一家大型的集装箱多式联运经营企业，在成都设有内 陆集装箱货运站（CFS），经营成都——上海间集装箱货物运输服务，其多式 联运通道的主要节点城市为南京与郑州。现有一个货主需要将2个20英尺的集装 箱从成都运往上海，运输路线为成都-郑州-南京-上海，要求在货物起运后2530小时之内到达目的地。
运筹学资料：10动态规划
min
2
7*
9
r2 (B3,C3) f3C3
5 6
12 2 A4
3
11
B1
6
7 4
93
B2 2
9
4 6
B3
2 5
6
C1 3
3
4
7
D1 3
C2
6 3
E 44
63
D2
C3 3
f1(s1) min{ r1(s1, x1) f2 (s2 )}
r1( A, B1) f2 B1
2 11
f1A
6、状态转移方程
由某一阶段的一个状态到下一阶段另一状态的演变过程，用
Sn+1=Tn(Sn,Xn)表示。该方程描述了由第n阶段到第n+1阶段的状态
转移规律。Tn因问题不同而不同.
11
6
12 2 A4
3
B1
7 4
6
93
B2 2
4
96
B3
2 5
C1 3
4
7
6
C2 3
63 C3 3
3
D1 3 E
44
D2
S3=T2(S2,X2)= T2(B1，C2)=C2 S3=T2(S2,X2)= T2(B1，C3)=C3
11
6
12 2 A4
3
B1
7 4
6
93
B2 2
4
96
B3
2 5
C1 3
4
7
6
C2 3
63 C3 3
3
D1 3 E
44
D2
P1，4（S1）={B3，C2，D2，E} P2，4（S2）={C2，D2，E}
运筹学-第七章-动态规划
6
5
7
f2(D)=8 3
D
4
f3(E)=3
E 3
f3(F)=5
5
F
f3(G)=8 8
G
f2(D )m d d i((n D D ,,G F )) ff3 3((G F )) m 3 4 i n 5 8 8 u22(0D 21/)8/ 3 DF
f4(H)=0
H
14
f1(A)=14
A
f2(B)=13
2021/8/3
20
逆推公式
fk(sk)＝OPT {v(sk,uk)+ fk+1(sk+1)} k =n, …1
fn+1(sn+1)＝0 或
Max 或 Min
fk(sk)＝OPT{v(sk ,uk)+ fk+1(sk+1)} k =n-1, …1 fn(sn)＝ OPT{v(sn ,un)}
多阶段决策问题中，常见的目标函数形式之一是取各阶段效 益之和的形式。有些问题，如系统可靠性问题，其目标函数 是取各阶段效益的连乘积形式。总之，具体问题的目标函数 表达形式需要视具体问题而定
2021/8/3
19
(4) 状态转移方程 sk＋1 ＝T (sk, uk)：描述第 k 阶段与第 k+1 阶段的状态变量的关系
(5) 指标 v (sk ,uk) ：第 k 阶段在状态 sk 下采取决策 uk 得到的 结果（距离、得益、成本等）
指标函数是指各阶段指标的累计。即 V (sk,uk, …, sn,un, sn+1)=vk(sk,uk)*vk+1(sk+1,uk+1)…*vn(sn,un)
30
k=2, S2 = {0,1,2,3,4,5}, f2(s2)＝0mua2x{sg22(u2)+ f3(s3)}
14《运筹学》(第四版)动态规划基本概念
(2)确定起作用约束指标集
J ( X ( k ) ) j g j ( X ( k ) ) 0,1 j l
①若 J ( X
(k )
2
X (k )
(k ) ) ，而且 f ( X ) ε1 ，停止迭代，得点
第三章 动态规划(Dynamic Programming)
主讲人：莫 莉
moli@
2015 年 6 月
水电与数字化工程学院 莫 莉
前节回顾
温
罚函数法
故
加入时间维度
知
引例
新
可行方向法
动态规划基本概念
离散动态规划
水电与数字化工程学院
莫 莉
前节回顾
可行方向法的迭代步骤如下：
②若 J ( X
(k )
(k ) ) ，但 f ( X ) ε1 ，则取搜索方向
2
D( k ) f ( X ( k ) ) ，然后转向第(5)步。
③若J ( X ( k ) ) ，转下一步。
水电与数字化工程学院
莫 莉
前节回顾
(3) 求解线性规划
min (k ) T f ( X ) D (k ) T (k ) g ( X ) D , j J ( X ) j 1 di 1, i 1, 2, ,n
水电与数字化工中障碍函数的构造
仿照外点法，通过函数叠加的办法来改造原目标函数，使得改 造后的目标函数(称为障碍函数)具有这种性质：在可行域R的 内部与其边界面较远的地方，障碍函数与原来的目标函数f(X)
运筹学课件 第六章 动态规划
求解规划问题可从最终阶段逐步推至最初阶段或从 最初阶段逐步推至最终阶段，我们称前者为逆序解 法，称后者为顺序解法。
动态规划的基本方程（逆序法）：
fk (sk) = opt { wk(sk,uk )⊙ f k+1(sk+1) }
fn+1(sn+1) = φ(sn+1) f k ( sk) — 从第k阶段状态sk到终点的最优效益值
fk (sk+1)=max { vk(xk ) + f k-1(sk) }
f0(x1)=0
0
0
0
0
0
17 14
1
0
3
14
4
01
5
15
01
8
12
7
11
4
8
5
0 10 2 0
20
29
4
4
7
13
7
5
11
8
6
16 3 0
4
30
5
3
0 18
40
40
4
连续型动态规划问题的求解
例:某公司有资金10万元，若投资于项目i的投资额 为xi（i = 1 , 2 , 3)时，其收益分别为 g 1(x1)=2 x12, g 2 ( x 2 ) = 9 x2 , g 3 ( x 3 ) = 4 x3, 问应如何分配投资
第六章 动态规划
6.1 引言 6.2 最优化原理及基本概念 6.3 应用举例
例 6.1
多阶段决策过程最优化
多阶段决策过程，是指一类特殊的过程，它们可以按 时间顺序分解成若干个相互联系的阶段，称为“时段”， 在每个时段都要做决策，全部过程的决策是一个决策序列。 多阶段决策问题也称为序贯决策问题。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。
二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。
三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。
3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。
3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。
3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。
四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。
4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。
4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。
5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。
教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。
六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。
运筹学-动态规划
运筹学-动态规划
●逆序法求解最短路问题
第一步,从K=4开始
状态变量S4可取两种状态D1, D2,它们到E点的距离 分别为4和3,这也就是由D1和D2到终点E 的最短距离， 即
f4(D1)=4, f4(D2)=3.
1 S1
2
3
4
Байду номын сангаас
S2
S3
S4
运筹学-动态规划
1
2
3
4
2）、状态 ( state) 各阶段开始时的出发点称作状态。
描述各阶段状态的变量，称作状态变量，用sk 表示。
在例７.1 中，第一阶段的状态为 A ，第二阶段的状态为城市 B1，B2 和 B3。所以状态变量 S1 的集合 S1={A},S2 的集合是 S2={B1,B2,B3}, 依次有 S3={C1,C2,C3}, S4={D1,D2} 。
C3 ，如果我们选择，从C2走，则此时的决策变量可表示x2(B1)=C2。
1
2
3
4
4）、策略（ Policy）
在各阶段决策确定以后，整个问题的决策序列就构成了一个策略,
用P1n(s1)表示。
如对于例７.1总共可有18个策略，但最优策略只有一个。
1
2
3
4
运筹学-动态规划
5）、目标函数
用于衡量所选定策略优劣的数量指标称作目标函数。
第七章 动态规划
７.1 动态规划问题和基本概念 ７.2 动态规划的基本原理 ７.3 动态规划的应用
引言
动态规划与多阶段决策：
多阶段决策是指这样一类特殊的活动过程, 它们可以按时间顺序分 解成若干相互联系的阶段, 每个阶段都要作出决策, 全部过程的决策是 一个决策序列, 所以多阶段决策问题又称为序贯决策问题。
运筹学动态规划
特别注意：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法 （如线性规划是一种算法）。
因而，动态规划没有标准的数学表达式和明 确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体 分析处理．
动态规划
8.1 多阶段决策过程及实例 8.2 动态规划的基本概念和
基本方程 8.3 动态规划的最优性定理 8.4 动态规划与静态规划关系
综述
动态规划是运筹学的一个分支，是解决多 阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等 人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，把多阶段 决策问题变换为一系列互相联系单阶段问题，然 后逐个加以解决。
1
2
3
始点
5
B1
6 3
A
4 B2 4 6
2
5
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
3
C3
3
4 终点
D1 2
D2 3
E
4
D3
2、状态
5
B1
6 3
A 4 B246
25
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
C3 3 3
D1 2
D2 3 E 4
D3
各个阶段开始时所处的自然状况和客观条件称为
状态,描述了研究问题过程的状况(称不可控因素).
一些与时间没有关系的静态规划（如线性 规划，非线性规划）问题，只要人为地引进 “时间”因素，也可把它视为多阶段决策问题， 用动态规划方法去处理。
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运筹学动态规划的概念
运筹学中的动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学方法。
它适用于需要做出一系列决策才能获得最优解的情况。
在这种情况下，每个决策都会对接下来的决策产生影响，因此需要考虑整个过程的影响。
动态规划的实质是将多阶段决策过程拆解成一系列子问题，每个子问题都可以用一个状态来描述。
通过求解每个子问题的最优解，就可以逐步得到整个过程的最优解。
动态规划的基本思想是以最优子结构为基础，避免重复计算已经求解过的子问题的过程。
也就是说，如果我们已经知道了子问题的最优解，那么整个问题的最优解就可以通过这些子问题的最优解推导出来。
通常情况下，动态规划问题需要满足以下几个条件：
1.具有最优子结构特征：问题的最优解是由子问题的最优解组合而成的。
2.无后效性：子问题的解一旦确定，就不会被改变。
3.子问题重复性：不同的子问题可能会对应相同的状态。
4.边界性：即为问题的较小的子问题需要单独处理。
通过以上条件，我们就可以将动态规划问题分解为一个个子问题，并求解每个子问题所对应的最优值。
动态规划的基本流程分为三个步骤：
1.定义状态：构建状态转移方程需要定义状态，状态通常用一个或多个变量来表示，变量的取值代表状态。
2.写出状态转移方程：根据定义好的状态，写出各个状态之间的转移方程。
3.确定边界条件：对较小的子问题需要单独处理，因此当状态变量为边界值时，需要特殊处理。
动态规划的应用广泛，它可以用于解决大量的问题。
例如，求解最长公共子序列问题、背包问题、最短路问题、字符串编辑距离问题等等。
它在图像处理、自然语言处理、生物信息学等领域中也有广泛的应用，如图像去噪、序列比对、DNA 序列匹配等。
总之，动态规划是运筹学中一种解决多阶段决策问题的重要方法，它通过将问题分解成子问题，并求解每个子问题的最优解，得出整个问题的最优解。
在实际应用中，我们需要根据具体问题特点，定义好状态，写出好的状态转移方程，才能有效地解决问题。