《运筹学》习题与答案

《运筹学》习题与答案
（解答仅供参考）
一、名词解释
1. 线性规划：线性规划是运筹学的一个重要分支，它主要研究在一系列线性约束条件下，如何使某个线性目标函数达到最大值或最小值的问题。

2. 动态规划：动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，通过把原问题分解为相互联系的子问题来求解，对每一个子问题只解一次，并将其结果保存起来以备后续使用，避免了重复计算。

3. 整数规划：整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量取值为整数的一种优化模型，用于解决实际问题中决策变量只能取整数值的情形。

4. 马尔可夫决策过程：马尔可夫决策过程是一种随机环境下的决策模型，其中系统的状态转移具有无后效性（即下一状态的概率分布仅与当前状态有关），通过对每个状态采取不同的策略（行动）以最大化期望收益。

5. 最小费用流问题：最小费用流问题是指在网络流模型中，每条边都有一个容量限制和单位流量的成本，寻找满足所有节点流量平衡的同时使得总成本最小的流方案。

二、填空题
1. 运筹学的主要研究对象是系统最优化问题，其核心在于寻求在各种（约束条件）下实现（目标函数）最优的方法。

2. 在运输问题中，供需平衡指的是每个（供应地）的供应量之和等于每个（需求地）的需求量之和。

3. 博弈论中的纳什均衡是指在一个博弈过程中，对于各个参与者来说，当其他所有人都不改变策略时，没有人有动机改变自己的策略，此时的策略组合构成了一个（纳什均衡）。

4. 在网络计划技术中，关键路径是指从开始节点到结束节点的所有路径中，具有最长（总工期）的路径。

5. 对于一个非负矩阵A，如果存在一个非负矩阵B，使得AB=BA=A，则称A为（幂等矩阵）。

三、单项选择题
1. 下列哪项不是线性规划的标准形式所具备的特点？（D）
A. 目标函数是线性的
B. 约束条件是线性的
C. 决策变量非负
D. 变量系数可以为复数
2. 当线性规划问题的一个基解满足所有非基变量的检验数都非正时，那么该基解（C）。

A. 不是可行解
B. 是唯一最优解
C. 是局部最优解
D. 不一定是可行解
3. 下列哪种情况适合用动态规划法求解？（B）
A. 问题无重叠子问题
B. 问题具有最优子结构
C. 问题不能分解为多个独立子问题
D. 子问题之间不存在关联性
4. 在运输问题中，如果某条路线的运输量已经达到了其最大运输能力，我们称这条路线处于（A）状态。

A. 满负荷
B. 超载
C. 空载
D. 平衡
5. 在排队论中，M/M/1系统表示的是（B）。

A. 一个服务台，顾客到达服从泊松分布，服务时间固定
B. 一个服务台，顾客到达和服务时间均服从泊松分布
C. 多个服务台，顾客到达服从泊松分布，服务时间固定
D. 多个服务台，顾客到达和服务时间均服从泊松分布
四、多项选择题
1. 下列哪些是线性规划的基本要素？（ABCD）
A. 决策变量
B. 目标函数
C. 约束条件
D. 状态空间
2. 关于单纯形法求解线性规划问题，以下说法正确的是？（BCD）
A. 单纯形法一定能找到全局最优解
B. 每次迭代过程中，至少使目标函数值下降一个单位
C. 如果在迭代过程中找不到进基变量，则说明当前解可能是最优解
D. 当所有非基变量的检验数都非正时，当前解为最优解
3. 在运输问题中，下列哪些方法可用于判断某方案是否为初始可行解？（AB）
A. 西北角法
B. 伏格尔法
C. 遗传算法
D. 动态规划
4. 下列哪些优化模型属于整数规划的范畴？（ACD）
A. 0-1整数规划
B. 线性规划
C. 分配问题中的机器分配问题，每台机器只能被一个任务使用
D. 最小费用最大流问题，流量必须为整数
5. 运筹学可以应用于哪些领域？（ABCD）
A. 生产计划与控制
B. 库存管理
C. 交通运输
D. 资源配置与决策分析
五、判断题
1. 在运筹学中，动态规划和分治法都是解决多阶段决策问题的有效工具。

（√）
2. 对于一个具有可行域的线性规划问题，如果其目标函数是凹函数，则该问题一定存在唯一最优解。

（×）【注：应为凸函数】
3. 在运输问题中，通过霍克曼法可以快速得到一个初始基础可行解。

（√）
4. 在网络计划技术中，关键路径上的活动总时差均为零。

（√）
5. 整数规划的所有局部最优解也一定是全局最优解。

（×）【注：整数规划可能不存在局部最优解，或者局部最优解不一定是全局最优解】
六、简答题
1. 简述线性规划单纯形法的基本思想和步骤。

答案：单纯形法是解决线性规划问题的一种主要方法。

其基本思想是通过在可行域内移动基解，逐步逼近并最终达到目标函数最优解的过程。

具体步骤包括：
1) 建立初始可行基；
2) 计算当前基的检验数，如果所有非基变量的检验数均非正，则当前解为最优解；否则，选择一个检验数为负的非基变量进入基；
3) 根据选定的非基变量找出对应的离基变量退出基，并通过高斯消元更新基变量的值；
4) 重复上述过程，直到找到满足所有非基变量检验数非负的解为止。

2. 解释什么是运输问题的表上作业法，并简述其求解步骤。

答案：表上作业法是解决运输问题的有效方法，它通过在供需平衡表上进行一系列操作（如调运、消圈等）来寻找最优调运方案。

其基本步骤如下：
1) 初始时，在供需平衡表上标出单位运价、供应量和需求量；
2) 从最小运价格出发，按“先小后大”的原则确定初始调运量，直至某一供应地或需求地的量被全部调用或者某一运输路线达到最大运载能力；
3) 对于未达到平衡的行（供应地）或列（需求地），采用闭回路法调整调运量，消除不平衡的“圈”，以保持供需平衡；
4) 继续执行第2步和第3步，直至所有的供应地和需求地都达到平衡，此时得到的便是运输问题的一个最优解。

3. 描述一下整数规划与线性规划之间的区别。

答案：整数规划和线性规划的主要区别在于决策变量的取值范围不同。

线性规划允许决策变量取实数范围内任意值，而整数规划则要求至少部分或全部决策
变量只能取整数值。

因此，整数规划的问题通常比线性规划更复杂，可能不存在连续的最优解，需要使用特定的方法（如分支定界法、割平面法等）求解。

4. 简述排队论中的M/M/1模型，并给出其服务率和服务强度的概念及其关系。

答案：M/M/1模型是一个单服务器排队系统，其中“M”代表泊松分布，表示顾客到达和服务时间均服从泊松分布，且平均到达率和服务率分别记作λ和μ。

服务率是指单位时间内服务器完成服务的顾客数量，即μ；服务强度是指相对于服务器处理能力的顾客到达率，记作ρ=λ/μ。

当ρ<1时，系统处于稳定状态，平均队列长度有限；当ρ≥1时，系统不稳定，平均队列长度趋于无穷大。

5. 简述如何运用动态规划解决背包问题。

答案：背包问题可以通过动态规划来解决。

其基本思想是将原问题分解成多个子问题，并利用子问题的最优解构建原问题的最优解。

具体步骤如下：
1) 定义状态：设dp[i][j]表示前i件物品中选取总重量不超过j的物品的最大
价值；
2) 状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])，其中w[i]和v[i]分别为第i件物品的重量和价值；
3) 初始化边界条件，例如dp[0][j] = 0，表示没有物品时总价值为0；
4) 最终答案为dp[n][W]，其中n为物品总数，W为背包容量，表示在所有物品中选取总重量不超过W的物品的最大价值组合。

七、论述题
论述运筹学在现代管理决策中的重要性和应用领域，并举例说明。

答案：运筹学作为一门定量分析与优化的技术科学，在现代管理决策中具有极其重要的地位。

它通过对实际问题建立数学模型，运用各种优化方法求解，帮助决策者在资源有限的情况下，寻求最优策略或最佳解决方案。

在现代管理决策中，运筹学的应用广泛且深入，主要包括以下几个领域：
1. 生产计划与控制：企业可以运用线性规划、整数规划等方法制定生产计划，合理分配和调度资源，实现成本最低化、利润最大化的目标。

例如，制造企业可通过线性规划优化原材料采购和生产安排，降低库存成本和提高设备利用率。

2. 库存管理：运筹学可以帮助企业设计最优的订货策略和库存水平，降低存储成本和缺货风险。

比如，经济订货批量模型就是运筹学在库存管理中的典型应用。

3. 供应链管理：通过网络优化、博弈论等工具，研究供应商选择、物流配送路径优化等问题，提升整个供应链的效率与响应速度。

例如，可以利用运输问题模型优化物流配送路径，减少运输成本。

4. 人力资源配置：运用人员排班模型、项目管理技术等解决员工工作安排、培训计划制定等问题，保证人力资源的高效利用。

例如，医院可以根据医生的工作能力和患者的需求，通过优化算法合理安排医生的轮班计划。

5. 营销策略制定：在市场营销领域，运筹学可以帮助企业制定产品定价策略、广告投放策略等，以实现市场占有率和利润目标。

例如，企业可运用非线性规划模型进行产品差异化定价，最大程度获取消费者剩余。

综上所述，运筹学在现代管理决策中的应用无处不在，它的理论和方法对于提升企业乃至社会整体运营效率和经济效益具有不可替代的作用。