15《运筹学》(第四版)连续动态规划介绍
运筹学动态规划
运筹学动态规划第7章动态规划动态规划是Bellman 在1957年提出的解多阶决策问题的方法，在那个时期，线性规划很流行，它是研究静态问题的，而Bellman 提出的解多阶决策问题的方法适用于动态问题，相对于线性规划研究静态问题，取名动态规划。
动态规划方法应用范围非常广泛，方法也比较简单。
动态规划是将一个多阶决策问题分解为一系列的互相嵌套的一步决策问题，序贯求解使问题得到简化。
动态规划问题按照问题的性质可以分为确定性的和随机性的，按决策变量的和状态变量的取值可以分为离散型的和连续型的。
此外还有依据时间变量连续取值还是离散取值又分为连续时间动态规划问题和离散时间动态规划问题。
本章重点讨论离散时间确定性动态规划问题，包括状态变量和决策变量连续取值和离散取值两种情况。
7.1解多阶决策问题的动态规划法1.多阶决策问题的例(1)最优路径问题—多阶决策问题的例为了直观，先从最优路径问题谈起，它可以看作一个多阶决策过程。
通过最优路径问题的解可以看到用动态规划法解多阶决策问题的基本思想。
考虑图7-1所示的最优路径问题。
一汽车由S 点出发到终点F ，P 和Q 是一些可以通过的点。
图中两点间标出的数字是汽车走这一段路所需的时间(单位为小时)。
最优路径问题是确定一个路径，使汽车沿这条路径由S 点出发达到F 点所用时间最短。
最优路径问题可以看作一个多阶决策问题，由S 到城市甲是第1个阶段，第1个结点P 1或第2个结点Q 1做为第1阶段可以通过的两个站点，由城市甲到城市乙是第2阶段，这个阶段是从P 1或Q 1到P 2或Q 2，由城市乙到城市丙是第3阶段，这个阶段是从P 2或Q 2到P 3或Q 3，由城市丙的P 3或Q 3到F 做为第四阶段。
（2）最优路径问题的解对最优路径问题，存在一个非常明显的原理，即最优路径的一部分还是最优路径。
换句话说，如果SQ P Q F 123是所求的最优路径，那么，汽车从这一路径上的任何一点，例如P 2，出发到F 的最优路径必为P Q F 23。
运筹学之动态规划
运筹学之动态规划摘要：动态规划是运筹学的一个分支, 是一种解决多阶段决策过程最优化的数学方法, 它把复杂的多阶段决策问题分解成一系列相互联系的较容易解决的单阶段决策问题,通过解决一系列单阶段决策问题来解决多阶段决策问题。
以寻求最优决策序列的方法。
动态规划研究多阶段决策过程的总体优化, 即从系统总体出发, 要求各阶段决策所构成的决策序列使目标函数值达到最优。
在经济管理方面, 动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存问题、装载问题、排序问题、设备更新问题、生产过程最优控制问题等等, 所以它是现代经济管理中的一种重要的决策方法。
关键字：运筹学、动态规划、最优化原理运筹学作为一门新兴科学, 其应用范围是十分广泛的。
对于不同类型问题, 运筹学都有着不同的解决方法,因而形成了许分支学科。
它们虽然各有特性, 但在运用系统观念分析问题,并对问题建立模型求解这两点上都是共同的。
以下主要介绍运筹学在经济管理和物流方面的应用。
一、运筹学在经济管理中的应用在经济管理中, 常用的运筹学方法有线性规划和动态规划。
1.动态规划：动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法，也是现代企业管理中的一种重要决策方法，可用于最优路径问题、资源分配问题、资源分配的问题、生产计划和库存问题、投资问题、装载问题、排序问题及生产过程的最优控制等，用动态规划方法比用其他方法求解更为方便。
应用动态规划方法可以很好的简化一些较复杂的最优化问题的求解，特别是在解决无法用解析数学表达的离散性问题时具有明显的优点。
虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
二、动态规划的基本原理1．动态规划的最优化原理及其应用20世纪50年代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究一类多阶段决策过程（multistep decision process）的优化问题时，提出了解决动态规划问题的核心，著名的最优化原理（principle of optimality），把多阶段过程化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法，从而建立了数学规划的另一分支——动态规划（Dynamic Programming）。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、教学目标1. 了解动态规划的基本概念及其在运筹学中的应用。
2. 掌握动态规划的基本原理和方法，能够解决实际问题。
3. 学会使用动态规划解决最优化问题，提高解决问题的效率。
二、教学内容1. 动态规划的基本概念动态规划的定义动态规划与分治法的区别2. 动态规划的基本原理最优解的性质状态转移方程边界条件3. 动态规划的方法递推法迭代法表格法4. 动态规划的应用背包问题最长公共子序列最短路径问题三、教学方法1. 讲授法：讲解动态规划的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用动态规划解决问题。
3. 编程实践法：让学生动手编写代码，加深对动态规划方法的理解。
四、教学准备1. 教材：《运筹学导论》或相关教材。
2. 课件：动态规划的基本概念、原理、方法及应用案例。
3. 编程环境：为学生提供编程实践的平台，如Python、C++等。
五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题，引出动态规划的概念。
2. 讲解：讲解动态规划的基本原理和方法。
3. 案例分析：分析实际问题，展示动态规划的应用。
4. 编程实践：让学生动手解决实际问题，巩固动态规划方法。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调动态规划的关键要点。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂讲解：评估学生对动态规划基本概念、原理和方法的理解程度。
2. 案例分析：评估学生运用动态规划解决实际问题的能力。
3. 编程实践：评估学生动手实现动态规划算法的能力。
4. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展1. 研究动态规划与其他优化方法的联系与区别。
2. 探讨动态规划在运筹学其他领域的应用，如库存管理、生产计划等。
3. 了解动态规划在、数据挖掘等领域的应用。
八、教学反思1. 反思本节课的教学内容、方法和过程，确保符合教学目标。
2. 考虑学生的反馈，调整教学方法和节奏，提高教学效果。
3. 探讨如何将动态规划与其他运筹学方法相结合，提高解决问题的综合能力。
14《运筹学》(第四版)动态规划基本概念
(2)确定起作用约束指标集
J ( X ( k ) ) j g j ( X ( k ) ) 0,1 j l
①若 J ( X
(k )
2
X (k )
(k ) ) ，而且 f ( X ) ε1 ，停止迭代，得点
第三章 动态规划(Dynamic Programming)
主讲人：莫 莉
moli@
2015 年 6 月
水电与数字化工程学院 莫 莉
前节回顾
温
罚函数法
故
加入时间维度
知
引例
新
可行方向法
动态规划基本概念
离散动态规划
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莫 莉
前节回顾
可行方向法的迭代步骤如下：
②若 J ( X
(k )
(k ) ) ，但 f ( X ) ε1 ，则取搜索方向
2
D( k ) f ( X ( k ) ) ，然后转向第(5)步。
③若J ( X ( k ) ) ，转下一步。
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莫 莉
前节回顾
(3) 求解线性规划
min (k ) T f ( X ) D (k ) T (k ) g ( X ) D , j J ( X ) j 1 di 1, i 1, 2, ,n
水电与数字化工中障碍函数的构造
仿照外点法，通过函数叠加的办法来改造原目标函数，使得改 造后的目标函数(称为障碍函数)具有这种性质：在可行域R的 内部与其边界面较远的地方，障碍函数与原来的目标函数f(X)
运筹学——动态规划
优子策略。该原理的具体解释是，若某一全过程
最优策略为：
p1
(s1 )
{u1
(s1 ),
u 2
(s2
),
,
u
k
(sk
),
u
n
(sn
)}
则对上述策略中所隐含的任一状态而言，
第k子过程上对应于该状态的最优策略必然包
含在上述全过程最优策略p1*中，即为
pk
(sk
)
{u
k
(sk
),
u
k 1
(sk
1
),
2．正确地定义状态变量sk，使它既能正确地描述过 程的状态，又能满足无后效性．动态规划中的状 态与一般控制系统中和通常所说的状态的概念是 有所不同的，动态规划中的状态变量必须具备以 下三个特征：
20
2021/7/26
(1)要能够正确地描述受控过程的变化特征。 (2)要满足无后效性。即如果在某个阶段状态已经给定，那么在
sk 1 Tk (sk ,uk (sk ))
上式称为多阶段决策过程的状态转移方程。有些问题的 状态转移方程不一定存在数学表达式，但是它们的状态 转移，还是有一定规律可循的。
12
2021/7/26
(六) 指标函数 用来衡量策略或子策略或决策的效果的某种数量
指标，就称为指标函数。它是定义在全过程或各 子过程或各阶段上的确定数量函数。对不同问题 ，指标函数可以是诸如费用、成本、产值、利润 、产量、耗量、距离、时间、效用，等等。
7
2021/7/26
（二）状态、状态变量和可能状态集 1.状态与状态变量。用以描述事物(或系统)在某特 定的时间与空间域中所处位置及运动特征的量，称 为状态。反映状态变化的量叫做状态变量。状态变 量必须包含在给定的阶段上确定全部允许决策所需 要的信息。按照过程进行的先后，每个阶段的状态 可分为初始状态和终止状态，或称输入状态和输出 状态，阶段k的初始状态记作sk，终止状态记为sk+1 。但为了清楚起见，通常定义阶段的状态即指其初 始状态。
运筹学教材课件(第四章动态规划)
最优解的存在性
对于多阶段决策问题，如果每个 阶段的决策空间是有限的，则存 在最优解。
最优解的唯一性
对于某些多阶段决策问题，可能 存在多个最优解。在这种情况下， 我们需要进一步分析问题的性质 和约束条件，以确定最优解的个 数和性质。
最优解的稳定性
在某些情况下，最优解可能受到 参数变化的影响。我们需要分析 最优解的稳定性，以确保最优解 在参数变化时仍然保持最优。
VS
详细描述
排序问题可以分为多种类型，如冒泡排序 、快速排序、归并排序等。动态规划可以 通过将问题分解为子问题，逐一求解最优 解，最终得到全局最优解。在排序问题中 ，动态规划可以应用于求解最小化总成本 、最大化总效益等问题。
04
动态规划的求解方法
逆推法
逆推法
从问题的目标状态出发，逆向推算出达到目标状态的 最优决策，直到达到初始状态为止。
案例二：投资组合优化问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
投资组合优化问题是动态规划在金融领域的重要应用，通 过合理配置资产，降低投资风险并提高投资收益。
投资组合优化问题需要考虑市场走势、资产特性、风险偏 好等多种因素，通过动态规划的方法，可以确定最优的投 资组合，使得投资者在风险可控的前提下，实现收益最大 化。
详细描述
在背包问题中，给定一组物品，每个物品都有一定的重量和价值，要求在不超过背包容量的限制下， 选择总价值最大的物品组合。通过动态规划的方法，可以将背包问题分解为一系列子问题，逐一求解 最优解。
排序问题
总结词
排序问题是动态规划应用的另一个重要 领域，主要涉及到将一组元素按照一定 的顺序排列，以达到最优的目标。
本最小化和效率最大化。
感谢您的观看
运筹学动态规划
基本方程为：
fk ( sk ) max{qk yk pk xk fk1 ( sk1 )}
0 yk sk 0 xk H sk yk
f1(s1 )
max
0 x1 s1
{4
x1
2s22 }
max
0 x1 s1
{4
x1
2( s1
x1 )2 }
max{4s1 ,2s12} 200
第14页 共64页
上述最短路线的计算过程可用图直观表示(标 号法)，如图4-3所示，结点上方矩形内的数字表 示该点到终点的最短距离。
5
A 18
13
B1 3
7
B2
16
13
C1 6
10 3
C2
9
3
C3
4
C4
12
7
D1
2
6
D2 1
3
D3
8
图4-3
7
E1 3
该点到G点的最短距离
4
F1 4
E2 2
5
6
E3
9
例4-3 分配投资问题的逆序求解
基本方程为：
fk
( sk
)
max { g 0 xk sk
k
(
xk
)
fk 1 ( sk 1 )}
f4 (s4 ) 0
sk+1 = sk – xk
g1(x1)= 4x1
g2(x2)= 9x2
运筹学-动态规划
运筹学-动态规划
●逆序法求解最短路问题
第一步,从K=4开始
状态变量S4可取两种状态D1, D2,它们到E点的距离 分别为4和3,这也就是由D1和D2到终点E 的最短距离， 即
f4(D1)=4, f4(D2)=3.
1 S1
2
3
4
Байду номын сангаас
S2
S3
S4
运筹学-动态规划
1
2
3
4
2）、状态 ( state) 各阶段开始时的出发点称作状态。
描述各阶段状态的变量，称作状态变量，用sk 表示。
在例７.1 中，第一阶段的状态为 A ，第二阶段的状态为城市 B1，B2 和 B3。所以状态变量 S1 的集合 S1={A},S2 的集合是 S2={B1,B2,B3}, 依次有 S3={C1,C2,C3}, S4={D1,D2} 。
C3 ，如果我们选择，从C2走，则此时的决策变量可表示x2(B1)=C2。
1
2
3
4
4）、策略（ Policy）
在各阶段决策确定以后，整个问题的决策序列就构成了一个策略,
用P1n(s1)表示。
如对于例７.1总共可有18个策略，但最优策略只有一个。
1
2
3
4
运筹学-动态规划
5）、目标函数
用于衡量所选定策略优劣的数量指标称作目标函数。
第七章 动态规划
７.1 动态规划问题和基本概念 ７.2 动态规划的基本原理 ７.3 动态规划的应用
引言
动态规划与多阶段决策：
多阶段决策是指这样一类特殊的活动过程, 它们可以按时间顺序分 解成若干相互联系的阶段, 每个阶段都要作出决策, 全部过程的决策是 一个决策序列, 所以多阶段决策问题又称为序贯决策问题。
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莫 莉
前节回顾
基本概念
• 状态(每阶段初始的出发点)
• 最短路问题中，各个节点就是状态 • 生产库存问题中，库存量是状态 • 物资分配问题中，剩余的物资量是状态
• 控制变量(决策变量)
• 最短路问题中，走哪条路 • 生产库存问题中，各阶段的产品生产量 • 物资分配问题中，分配给每个地区的物资量
u3U 3 ( x3 )
v3 ( x3 , u3 )
u3
f 4 ( x4 )
因有 U 3 ( x3 ) 2,3,4，又 4 x3 8，故可得到下表的计算结果。
U k ( xk ) {uk 2 uk 4}, (k 1,2,3,4) 状态转移方程：xk＋1＝ xk－uk
若用 vk ( xk , uk ) 表示 k 阶段派出的巡逻队数为u k 时，该阶段的部位的预 期损失值，
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2.1 引例
设用 f k ( xk ) 表示 k阶段状态为 x k，以此出发采用最优子策略到过
莫 莉
P44-1.1(1),1.3,1.4 P45-1.6(1)(2)
P74-2.3(1)(2),2.7 P75-2.8 P187-7.3,7.4,7.5 P187-7.7,7.13 P188-7.13(3),7.17 P189-7.21,7.23 P211-8.2,8.3
第3次作业 第4次作业
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的警卫巡逻。对每个部位可分别派出2～4支巡逻队，并且派出
巡逻队数的不同，各部位预期在一段时期内可能造成的损失有
差别，具体数字见下表。问该警卫部门应往各部位分别派多少
巡逻队，使总的预期损失为最小。
部位 预期损失 巡逻队数 2 3 4 A 18 14 10 B 38 35 31 C 24 22 21 D 34 31 25
动态规划所解决的问题：多阶段问题
动态规划的核心:
在于将问题公式化，也可以说 ，动态规划是将多阶段决策问 题进行公式化的一种技术。
动态规划的优缺点:
适用范围广，模型算法一体化，方便编程。 由于没有统一的标准模型，使得动态规划的应用
难度增加 。
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前节回顾
动态规划根据多阶段决策过程的时间参量类
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u 4 U 4 ( x4 )
min
v4 ( x4 , u4 )
f 5 ( x5 )
u 4 U 4 ( x4
min
v4 ( x4 , u4 ) )
莫 莉
f 4 ( x4 )
u 4 U 4 ( x4
min
v4 ( x4 , u4 ) )
部位 预期损失 巡逻队数 2 3 4
第三章 动态规划(Dynamic Programming)
主讲人：莫 莉
moli@
2015 年 6 月
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前节回顾
温
引例
故
多种应用
知
引例
新
动态规划基本概念
离散动态规划
动态规划优劣
经营管理中的应用
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前节回顾
型可以分为离散型决策过程和连续型决策过程；
根据决策过程的演变性态又可以分为确定型决策
过程和随机型过程。组合起来有下列类型：
离散确定型、离散随机型、连续确定型、连
续随机型。本章主要介绍离散确定型决策过程。
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前节回顾
例. (最短路径问题) 下图表示从起点A到终点E之间各点的距离。 求A到E的最短路径。
A 18 14 10
2.1 引例 B C D
38 35 31 24 22 21 34 31 25
因 U 4 ( x4 ) 2,3,4，又 x 4的可能值为 2 x 4 6，故由已知数据，可得
下表的结果。 再联合考虑对 C 、 D 两个部位派巡逻队，即 k 3。这时有
f 3 ( x3 ) min
前节回顾
温
引例
故
多种应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知
引例
新
动态规划基本概念
离散动态规划
动态规划优劣
经营管理中的应用
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第三章 动态规划
1 2 基本概念介绍 离散动态规划★
3
连续动态规划
4
在水库调度中的应用
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2.1 引例
例某警卫部门共有12支巡逻队，负责4个要害部位 A, B ,C , D
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2.1 引例
解： 阶段数：把12支巡逻队往各部 位派遣看成依次分四个阶段。
部位 预期损失 巡逻队数 2 3 4 A 18 14 10 B 38 35 31 C 24 22 21 D 34 31 25
状态变量：xk表示每个阶段初
拥有的可派遣的巡逻队数。 集合为：
决策变量：uk表示对各部位派出的巡逻队数，各阶段允许的决策
程结束时的预期损失值，则有:
f k ( xk ) min {vk ( xk , uk ) f k 1 ( xk 1 )}
u k U k ( xk )
k 4，则上式可写为： 采用后向算法，先考虑给 D 部位派巡逻队，
f 4 ( x4 )
f 5 ( x5 ) 0
f 4 ( x4 )
• 阶段的编号与递推的方向
• 一般采用反向递推，所以阶段的编号也是逆向的 • 当然也可以正向递推
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作业
参照公共邮箱的电子版教材中的页码，完成第3次、第4次作 业，于2015年6月17日完成。
序号
第1次作业 第2次作业
课后作业
页码、题号
备注
图解法，基解，单纯形法 大 M法
对偶问题，对偶问题性质求最优解 对偶单纯形法 判定凸规划，斐波那契法，0.618法 最速下降法，共轭梯度法 变尺度法，Kuhn-Tucker条件 SUMT外点法，SUMT内点法 最短路线
B1 4
4
2
1 6 7 2 8
C1
8
6
D1 7 C2 5
10
E
A
2
3
B2
4
3 1
C3 1 6 B3 7 5
D2
6
3
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B4
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前节回顾
用穷举法的计算量:
如果从A到E的站点有k个，除A、E之外每站有3个位
置则总共有3k条路径； 计算各路径长度总共要进行3k-1 次比较。随着 k 的值增加时，需要进行的加法和比较的 次数将迅速增加； 例如当 k=20时，加法次数为 4.2550833966227×1015 次，比较 1.3726075472977×1014 次。若用1亿次/秒的计 算机计算需要约508天。