各地中考数学第26题精华

初中数学·中考数学佳题赏析研究（2009） 2009年桂林中考数学第26题改编题（2）推荐星级☆☆☆☆如图③，已知直线3:34l y x =+，它与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B 两点． (1)若点P 在x 轴的上方,⊙P 经过点B ,且与x 轴相切,设点P 的坐标为(x ,y )，求y 与x 的函数关系式；(2)是否存在这样的⊙P ，既与x 轴相切又与直线l 相切于点B ?若存在，求出圆心P 的坐标；若不存在，请说明理由．〖搜索词·构造直角三角形·直线与圆相切·用列方程的方法建立函数关系式·点的存在性探究·位置讨论〗提示：(1）如图乙,设在第一象限内存在满足条件的点P ,F 为切点, 连接PB ,PF .过点P 作PD ⊥y 轴于D ，则PD =x , DO =PF =y ,BD =BO -DO =|3-y |=3-y .∵222BP PD BD =+,PB =PF =y ,∴222)3(y x y -+=.∴y 与x 的函数关系为23612+=x y . 易知:若点P 在第二象限, y 与x 的函数关系仍然为23612+=x y . 〖评析〗(1)解题的关键是:构造直角三角形BPD ,用勾股定理列出关于y 与x 的方程,把方程变形,就得到y 关于x 的函数关系式;(2)不要忘记探究点P 在第二象限时,y 与x 的函数关系; (3)若在图乙中画出23612+=x y 的草图,可以帮助你直观地了解点P 运动的全过程.（2）满足条件的⊙P 有两个, 如图丙,其中一个圆心在第一象限. 设⊙P 与x 轴相切于点G .由圆的轴对称性得AB =AG .. ∵22225AB OA OB =+=, ∴AG =AB =5.∵OA =4,∴OG =1. 则G (1,0).同理可求,若点P 在第二象限,则G (-9,0).由(1)得点P 的坐标(x ,y )满足21362y x =+,把x=1或x=-9分别代入21362y x =+， 得35=y ,或y =15. ∴点P 的坐标为（1,35）或（-9，15）. 〖评析〗(1)研究空间与图形时,要养成良好的习惯: 首先考虑图形的位置,然后再研究图形的形状和大小;(2)第(2)小题可以使用第(1)小题的结论(21362y x =+).初中数学·中考数学佳题赏析研究（2009）2009年临沂中考数学第26题改编题推荐星级☆☆☆☆如图①,抛物线经过A (4,0),B (1,0),C (0,-2)三点. 易求得直线AC 的解析式为221-=x y ,抛物线的解析式为225212-+-=x x y . (1)在直线AC 上方的抛物线上有一点D ,记点D 的横坐标为m ,△DCA 的面积为S ,求S 关于m 的函数关系式;(2)P 是y 轴右边抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.初中数学·中考数学佳题赏析研究(2011)2011年南京中考数学第26题如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90º,AC =6cm,BC =8cm,P 为BC 的中点,动点Q 从点P 出发,沿射线PC 方向以2cm/s 的速度运动,以P 为圆心,PQ 长为半径作圆,设点Q 运动的时间为t s.(1)当t =1.2时,判断直线AB 与⊙P 的位置关系,并说明理由;(2)已知⊙O 为△ABC 的外接圆.若⊙P 与⊙O 相切,求t 的值.〖关键词·运动变化·位置讨论·直线和圆的位置关系·圆和圆的位置关系·三角形相似〗提示; (1)过P 作PD ⊥AB 于D ， 易求PD =PQ =2.4,∴AB 与⊙P 相切. (2)连接OP ,分两种情况讨论:若⊙P 在⊙O 内(切点除外),则PQ +OP =OA . ∵OP =3cm,OA =5cm, ∴PQ =2cm.∴t =1;若⊙O 在⊙P 内(切点除外),则PQ =OP +OA . ∵OP =3cm,OA =5cm, ∴PQ =8cm.∴t =4. ∴t =1,或t =4.·O Q BPAC·〖关键词·建立函数关系式·三角形相似·位置讨论〗 (1)解法一:如图甲,过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点M . 设DC 与x 轴交于点N ,易证△DNM ∽△CNO . 则NONMCO DM =. 记NO =k ,DM =y ,则kk m y -=2. 解得22+=y mk . ∴AN =OA -ON =224+-y m =2284+-+y my . S =ADN S ∆+ACN S ∆=OC AN DM AN ⋅+⋅2121 =)(21OC DM AN +⋅=21·2284+-+y my ·(y +2)=2y +4-m =m m m -+-+-4452=m m 42+-.〖评析〗解法一中,因为点P 在抛物线上,所以y 是m 的函数(225212-+-=m m y ).记NO =k ,求得22+=y m k ,进而求得AN =2284+-+y m y ,实际是求得AN 长关于m 的函数关系式,有了这两个关系式,最后才能求出S 关于m 的函数关系式.这是求函数关系式的一般方法.解法二:如图乙,过点D 作x 轴的垂线交AC 于点E ,交AO 于点M ,过点C 作CN ⊥DE ,交DE 的延长线于点N .不难证明: DCA S ∆=ADE S ∆+CDE S ∆=21AO ·DE .∵点D 在抛物线上,∴点D 的纵坐标为225212-+-m m .∵点E 在直线AC 上,DE ⊥x 轴,∴点E 的坐标为)221,(-m m .∵点D 在直线AC 上方,∴DE =(225212-+-m m )-(221-m )=m m 2212+-.∴S =21AO ·DE =m m 42+-.〖评析〗(1)添加辅助线DE ,把三角形ADC 分割成两部分,然后证明DCA S ∆=21AO ·DE ,这是难点.把DE 作底,AM 、CN 分别作高的原因是AM +CN =AO ,而AO 的长是定值.(2)先求线段DE 关于x 的函数,再求△DCA 的面积关于x 的函数,这是重点,要用心感悟建立函数关系式的一般方法.(2)设P 点的横坐标为m ，分以下三种情况讨论: ①当1<m <4时(即点P 在x 轴上方时)，AM =4-m ,225212-+-=m m PM .又∵∠COA =∠PMA =90º，如图丙,当12==OC AO PM AM 时, △APM ∽△ACO .∴)22521(242-+-=-m m m .解得21=m ,42=m （舍去）， ∴P (2,1).如图丁,当21==OA OC PM AM 时， 由△APM ∽△CAO得22521)4(22-+-=-m m m .解得41=m ,52=m （均不合题意，舍去）.∴当1<m <4时，P (2,1).②类似地,如图戊,可求出当m >4时，P (5,-2)． ③当m <1时，可求得P (-3,14) (不合题意). 综上所述，符合条件的点P 为(2,1)或(5,-2).(2010年包头第26题改编题)如图,已知抛物线c bx ax y ++=2经过点A (1,0)、B (2,0)、C (0,-2), 易求它的解析式为232-+-=x x y .(1)已知直线x =m (m >2)与x 轴交于点D ．在直线x =m 上有一点E （点E 在第四象限）,若△BED ∽△CAO ,求E 点坐标（用含m 的代数式表示）；(2)在(1)成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．解答或提示〖关键词·综合题·相似三角形的性质·平行四边形的性质·抛物线·方程的应用〗(1)∵△BED ∽△CAO ,∴AOEDCO BD =. ∵BD =m -2,CO =2,AO =1,∴22-=m ED .∵点E 在第四象限,∴E )22,(mm -. (2)如图甲,假设抛物线上存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形，∵EF =AB =1,∴点F 的横坐标为m -1.∵点E 的坐标为)22,(mm -时，点F 的坐标为)22,1(m m --，把⎪⎩⎪⎨⎧-=-=22,1m y m x 代入抛物线的解析式232-+-=x x y ,得27=m ,或m=2(舍去). ∴F )43,25(-.初中数学·中考数学佳题赏析研究(2009)2009年长沙第26题改编题 推荐星级☆☆☆☆☆已知:在平面直角坐标系中, △ABC 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为(-3,0)、(1,0)、(0,3),点M 、N 、P 分别在边AB 、BC 、CA 上.(1)若四边形MBNP 是菱形,求点N 的坐标;(2)在(1)的条件下,过点P 作x 轴的垂线l ,在直线l 上是否存在点Q ,使得以B 、N 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.〖关键词·解直角三角形(三角尺)·方程的应用·三角形相似·分类讨论〗 解: (1)如图甲,易求得AB =4,BC =2,AC =32,且∠ACB =90°,∠CAB =30°,∠CBA =60°.设BN =x ,则CN =BC -BN =2-x ,PN =BN =x . ∵PN ∥MB ,∴∠CNP =∠ABC =60°. 在Rt △CPN 中, ∵PN =2CN , ∴x =2(2-x ).解得x =34.过N 作ND ⊥AB 于D ,易求得BD =32,ND =332,OD =31. ∴点N 的坐标为)332,31(. 想一想:如果不是设BN =x ,而是设点N 的横坐标为x ,又该如何解题? (2)因为Rt △ABC 中,∠ABC =60°, 所以如果以B 、N 、Q 为顶点的直角三角形与△ABC 相似,则有三种情况(∠NBQ =60°,或∠NBQ =30°,或∠NBQ =90°),现分类讨论如下:如图乙,设直线l 与AB 的交点为Q (这时∠NBQ =60°),∵点N 的坐标为)332,31(,PN =BN =34,∴点P 的坐标为)332,1(-. 在Rt △PQN 中,222PN PQ NQ +==22)34()332(+=928. 在△QNB 中,∵2QB ≠22QN BN +,依勾股定理,△QNB 不是直角三角形(∠QNB 不是直角). ∴△QNB 与△ABC 不相似.(想一想:是否可以直接证明边AB 、QB 、CB 、NB 不成比例?) 如图丙,作∠NBQ =30°,BQ 交直线l 于Q .易证点Q 与点P 重合. ∵∠QNB =∠PNB =120°,显然△QNB 与△ABC 不相似. 如图丁,作∠NBQ =90°,BQ 交直线l 于Q . 由NP =NB ,易证△QNB ≌△QNP ,则∠BNQ =∠PNQ =60°,∴△QNB ∽△ABC .在Rt △PNQ 中,∵PN =34,∠PNQ =60°,∴PQ =334. ∵点P 的坐标为)332,1(-, ∴点Q 的坐标为)332,1(--. 综上所述, 在直线l 上存在点Q ,使得以B 、N 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似,点Q 的坐标为)332,1(--.初中数学·中考数学佳题赏析研究（2009） 2009年衡阳中考数学第26题改编题（1）推荐星级☆☆☆如图①,直线AB 与两坐标轴分别相交于A 、B 两点,点M 是线段AB 上任意一点(A 、B 两点除外),过M 分别作MC ⊥OA 于点C ,MD ⊥OB 于点D .(1)若直线AB 的解析式为y =-x +4,当点M 在线段AB 上运动时,你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化?请说明理由;(2)若(1)中直线AB 的解析式为y =-2x +4, 四边形OCMD 的周长是否还是定值?为什么?〖关键词·一次函数的一次项系数·点的坐标的意义·绝对值·定值〗 (1)四边形OCMD 的周长不变,理由如下: 设点M 的坐标为(x ,y ),∵点M 在线段AB 上,∴y =-x +4(0<x <4). 则MC =|y |=-x +4,OC =|x |=x .∴四边形OCMD 的周长为2(MC +OC )=2(-x +4+x )=8. (2)∵y =-2x +4(0<x <2), 则MC =|y |=-2x +4,OC =|x |=x .∴四边形OCMD 的周长为2(MC +OC )=2(-2x +4+x )=-2x +8. 则四边形OCMD 的周长随x 的变化而变化.初中数学·中考数学佳题赏析研究（2009） 2009年宁德中考数学第26题改编题（1）推荐星级☆☆☆如图①，已知抛物线1C :()522-+=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点，点B 的横坐标是1．抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，抛物线3C 与抛物线1C 关于点B 成中心对称.（1）求P 点坐标及a 的值； （2）分别求2C 、3C 的解析式,并指出3C 是由2C 通过何种变换而得.图①〖关键词·抛物线的翻折·平移·旋转〗提示：（1）由()522-+=x a y 得顶点P 的坐标为（-2，-5）; ∵点B （1，0）在抛物线()522-+=x a y 上, ∴()52102-+=a .解得a ＝59 .（2）如图甲,∵抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，又1C :()52952-+=x y ,∴抛物线2C 顶点坐标为(-2,5), ∵抛物线的开口大小不变, ∴2C :()52952++-=x y . 设抛物线3C 的顶点为M ,连接BP 、BM ,作PH ⊥x 轴于H ，作MG ⊥x 轴于G .显然,点P 、M 也关于点B 成中心对称. ∴MG ＝PH ＝5，BG ＝BH ＝3,∴OG =4. ∴顶点M 的坐标为（4，5）. ∴C 3的表达式为()54952+--=x y . ∴3C 是由2C 向右平移而得.初中数学·挑战2012中考 2011年中考数学佳题赏析研究 2011年南京中考数学第21题推荐星级☆☆如图,将□ABCD 的边DC 延长到点E ,使CE =DC ,连接AE ,交BC 于点F . (1)求证:△ABF ≌△ECF ;(2)若∠AFC =2∠D ,连接AC 、BE ,求证:四边形ABEC 是矩形.〖关键词·平行四边形·三角形全等·矩形〗 提示: (1)先证EC =AB .BD(2)由(1)得四边形ABEC是平行四边形.由∠AFC=2∠D证∠AFC=2∠B=∠B+∠BAF.∴∠B=∠BAF.∴F A=FB.∴四边形ABEC是矩形.初中数学常用的解题方法介绍数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。