2018重庆中考数学第26题专题训练
2018重庆中考数学试题及答案
2018重庆中考数学试题及答案2018年重庆中考数学试题及答案一、选择题1. 设直线l1过点A(-2,-3)，斜率为k1，直线l2过点B(1,4)，斜率为k2，且k1k2=3，则k1+k2的值为多少？A. 2/3B. 4/3C. 3/2D. 5/2【答案】A. 2/32. 已知直线l过点(3,4)，斜率为3/4，点P在l上，且OP:OQ=1:3。
若点P的坐标为(x,y)，则点Q的坐标为多少？A. (3,6)B. (4,7)C. (9/2,11/2)D. (5/2,9/2)【答案】C. (9/2,11/2)3. 设数列{an}满足a1=2，an+1=(an+3)/2，(n≥1)，则a3的值为多少？A. 4/3B. 7/3C. 8/3D. 11/3【答案】B. 7/34. 已知函数f(x)=x^2+ax+b在点（1,1）处的函数值与导数值相等，则a与b的值分别为：A. a=-2，b=0B. a=0，b=-1C. a=1，b=-2D. a=2，b=1【答案】C. a=1，b=-25. 若x^log2(0.5)+2^log0.5(x^2)=2，则x的值为多少？A. 1B. -1/4C. 1/4D. 4【答案】C. 1/4二、填空题6. 在△ABC中，∠ABC=90°，AC=6，BC=8，则AB的长度为______。
【答案】107. 设2π/3<θ<π，且sinθ=3/5，则cos(π-θ)的值为______。
【答案】-3/58. 将125g的白醋与75g的水混合，得到质量分数为40%的溶液，白醋的浓度为______。
【答案】62.5%9. 在长方体中，一个顶点被任意选定，则与它相邻的顶点个数为______。
【答案】310. 若点P是对称点(-1,4)关于抛物线y=x^2的焦点，则点P的坐标为______。
【答案】(1,0)三、解答题11. 如图，矩形ABCD的边长分别为a和2a，直线l1经过点C，且与AB平行，直线l2经过点D，且与BC平行。
重庆中考数学26题专项.doc
中考26题第二小问专项讲解第一大类:线段最大值一、基本题型：_ _丄2 3 9例1：如图，抛物线J = _7X +T X + 2与兀轴交于A.B两点，与y轴交于C点, P为抛物线上BC±方的一点。
1、过点P作y轴的平行线交BC于M,求PM的最大值。
2、过点P作X轴的平行线交BC于M,求PM的最大值。
二、变式题型1：过点P作y轴的平行线交BC于M,作PN丄BC于N。
3、求PN的最大值，PM+PN的最大值。
4、求APMN周长的最大值。
5、求APMN面积的最大值。
三、变式题型2：P为抛物线上E C上方的一点。
D为E C延长线上的一点且C D = B C 6、求APBC面积的最大值。
7、求APDC面积的最大值。
例2：如图，抛物线与y = -yx2+|x + 2兀轴交于4, B两点，与y轴交于C点,P为抛物线的顶点。
1、M是BC上的一点，求PM + AM最小时M点的坐标。
2、D为点C关于x轴的对称点，M是BC±的一点，求DM+PM最小时M点的坐标。
3、M是BC上的一点，N是AC上的一点，求° OMN周长的最小值及M点的坐标。
4、M. N为直线B C±的动点，N在下方且MN = V5 ,最小值。
5、M. N为直线BC上的动点，N在下方且MN = V5 , D在抛物线上且在D与C对称。
求四边形PMND周长的最小值。
6、M为对称轴上的一点，MN丄y轴于N, D在抛物线上且在D与C对称。
求DM + MN + N A的最小值。
7、M为对称轴上的一点，MN丄y轴于N, D在抛物线上且在D与C对称。
求DM + MN + N B的最小值。
8、M为对称轴上的一点，N为y轴上一点，D在抛物线上且在D与C对称。
求OM + MN + N D第二大类: 线段和的最小值9、M为EC上的一点，求PM + 討的最小值。
求PM + MN + AN 的10、D在抛物线上且在D与C对称，在BC±找一点N, M是x轴上的一点。
2021重庆中考复习数学第26题专题训练五(含答案解析)(1) (1)
2021重庆中考复习数学第26题专题训练五1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．2020重庆中考复习数学第26题专题训练五参考答案1、（2019秋•天桥区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、（2019秋•淮安期末）[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、（2019春•碑林区校级月考）【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A 为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、（2018春•铁西区期中）（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、（2019秋•武冈市期中）【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、（2018秋•东海县期末）模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、（2019秋•松北区期末）已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、（2017春•合肥期末）已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、（2017春•南岗区校级月考）如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、（2019秋•丹东期末）在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．证明：（1）∵∠DCB＝∠FGB＝∠FGC＝90°，∴CD∥GF，∴∠EDP＝∠GFP，且DP＝PF，∠DPE＝∠FPG，∴△DPE≌△FPG（ASA）∴PE＝PG，DE＝GF，∵BC＝CD，∴EC＝GC，且∠DCG＝90°，PE＝PG，∴CP＝PG；（2）延长GP到E，使PE＝PG，连接DE，CE，CG，∵DP＝PF，∠DPE＝∠FPG，PE＝PG，∴△DPE≌△FPG（SAS）∴PE＝PG，DE＝GF，∠EDP＝∠GFP，∵GF＝GB，∴DE＝BG，∵DC∥BF，。
重庆历届中考数学压轴题汇总及答案
重庆历届中考数学压轴题汇总及答案（2020年26题.）如图，在中，，，点是边上一动点，连接，把绕点逆时针旋转90°，得到，连接，.点是的中点，连接. （1）求证：； （2）如图2所示，在点运动的过程中，当时，分别延长，，相交于点，猜想与存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点运动的过程中，在线段上存在一点，使的值最小．当的值取得最小值时，的长为，请直接用含的式子表示的Rt ABC △°90BAC ∠=AB AC =D BC AD AD A AE CE DE F DE CF CF AD =D 2BD CD =CF BA G AG BC D AD P PA PB PC ++PA PB PC ++AP m m CE（2019年26题.）（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x --＝与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．（1）连结BD ，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B ，D 重合），过点M 作MN BD ⊥，交抛物线于点N （点N 在对称轴的右侧），过点N 作NH x ⊥轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点，当MN 取得最大值时，求13HF FP PC ++的最小值；（2）在（1）中，当MN 取得最大值，13HF FP PC ++取得最小值时，把点P 向上平移个单位得到点Q ，连结AQ ，把AOQ △绕点O 顺时针旋转一定的角度α0360α︒︒＜＜，得到A OQ ''△，其中边A Q ''交坐标轴于点G ．在旋转过程中，是否存在一点G ，使得''Q Q OG ∠＝∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q '的坐标；若不存在，请说明理由．(2018年26题)(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线24y x x =-+上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为(1,1). （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，过点P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当PBE △的面积最大时，求12PH HF FO ++的最小值； （3）在（2）中，12PH HF FO ++取得最小值时，将CFH △绕点C 顺时针旋转60后得到CF H ''△，过点F '作CF '的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使以点D ，Q ，R ，S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标；若不存在，请说明理由.（2016年26题.）(本小题满分12分)3在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,抛物线的顶点为点E .(1)判断ABC △的形状,并说明理由；(2)经过B ,C 两点的直线交抛物线的对称轴于点D ,点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点,当PCD △的面积最大时,点Q 从点P 出发,先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M 处,再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y 轴上的点N 处,最后沿适当的路径运动到点A 处停止.当点Q 的运动路径最短时,求点N 的坐标及点Q 经过的最短路径的长；(3)如图2,平移抛物线,使抛物线的顶点E 在射线AE 上移动,点E 平移后的对应点为点E ',点A 的对应点为点A '.将AOC △绕点O 顺时针旋转至11AOC △的位置,点A ,C 的对应点分别为点1A ,1C ,且点1A 恰好落在AC 上,连接1C A ',1C E '.1A C E ''△是否能为等腰三角形？若能,请求出所有符合条件的点E '的坐标；若不能,请说明理由.（2015年26题） (本小题满分12分)在点B 的左侧),交y 轴于点W ,顶点为C ,抛物线的对称轴与x 轴的交点为D .(1)求直线BC 的解析式；(2)点(,0)E m ,(2,0)F m +为x 轴上两点,其中24m ＜＜.EE ',FF '分别垂直于x 轴,交抛物线于点E ',F ',交BC 于点M ,N .当ME NF ''+的值最大时,在y 轴上找一点R ,使||RF RE ''-的值最大,请求出点R 的坐标及||RF RE ''-的最大值；(3)如图2,已知x 轴上的一点P 9(,0)2,现以P 为顶点,23为边长在x 轴上方作等边三角形QPG ,使QP x ⊥轴,现将QPG △沿PA 方向以每秒1个单位长度的速度平移,当点P 到达点A 时停止.记平移后的QPG △为Q P G '''△,设Q P G '''△与ADC △的重叠部分面积为s .当点Q '到x 轴的距离与点Q '到直线AW 的距离相等时,求s 的值.（2020年）26.【答案】（1）2CF AD =，证明如下：90BAC DAE ︒∠=∠=∵，BAD CAE ∠=∠∴，AB AC =∵，AD AE =，∴在ABD △和ACE △中BAD CAE AB ACAD AE =∠⎧⎪=⎨⎪=⎩， ABD ACE ≅∴△△，45ABD ACE ︒∠=∠=∴，90DCE ACB ACE ︒∠=∠+∠=∴，在Rt ADE △中，F 为DE 中点（同时AD AE =），45ADE AED ︒∠=∠=，AF DE ⊥∴，即Rt ADF △为等腰直角三角形，AF DF AD ==∴， CF DF =∵，CF AD =∴； （2）由（1）得ABD ACE ≅△△，CE BD =，°45ACE ABD ∠=∠=，454590DCB BCA ACE ︒︒︒∠=∠+∠=+=∴，在Rt DCB △中，()2DE BD CE CD ==，F ∵为DE 中点，12DE EF DE ===∴， 在四边形ADCE 中，有90CAG DCE ︒∠=∠=，180CZG DCE ︒∠+∠=，∴点A ，D ，C ，E 四点共圆， F ∵为DE 中点，F ∴为圆心，则CF AF =，在Rt AGC △中，CF AF =∵，F ∴为CG中点，即2CG CF ==，22AG AC DC ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∴，即BC =；（3）设点P 存在，由费马定理可得120APB BPC CPA ︒∠=∠=∠=，60BPD ︒∠=∴，设PD 为a ，BD =∴，又AD BD =，a m +∴， )1m a =a又BD CE =CE ∴. 【解析】（1）先证BAD CAE ≅△△，可得°45ABD ACE ∠=∠=，可求°90BCE ∠=，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论.具体解题过程参照答案.（2）由（1）得ABD ACE △≌△，CE BD =，°45ACE ABD ∠=∠=，推出°°°454590DCB BCA ACE ∠=∠+∠=+=，然后根据现有条件说明在Rt DCB △中，DE ==，点A ，D ，C ，E 四点共圆，F 为圆心，则CF AF =，在Rt AGC △中，推出AG ==，即可得出答案.具体解题过程参照答案.（3）设点P 存在，由费马定理可得°120APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设PD 为a ，得出BD =，AD BD ==，得出a m +=，解出a ，根据BD CE =即可得出答案.具体解题过程参照答案.【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数（2019年26题）【答案】解：（1）如图1∵抛物线223y x x --＝与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ∴令0y ＝解得：11x ＝-，23x ＝，令0x ＝，解得：3y ＝-， ∴()1,0A -，()3,0B ，()0,3C -∵点D 为抛物线的顶点，且2122b a --=-=，()2413444441ac b a ⨯⨯---==-⨯∴点D 的坐标为()1,4D -∴直线BD 的解析式为：26y x -＝，由题意，可设点2,23N m m m --（），则点26F m m -（，）∴22262343NF m m m m m --+--＝（）-（）＝-∴当22bm a=-=时，NF 取到最大值，此时MN 取到最大值，此时2HF ＝，此时，()2,3N -，()2,2F -，()2,0H在x 轴上找一点K ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，连接CK ，过点F 作CK 的垂线交CK 于点J 点，交y 轴于点P ，∴1sin 3OCK ∠＝，直线KC 的解析式为：3y =--，且点()2,2F -，∴13PJ PC ＝，直线FJ 的解析式为：442y x +=-∴点J ⎝⎭∴13FP PC +的最小值即为FJ 的长，且1||33FJ =+∴min 1||3HF FP PC ++=；（2）由（1）知，点0,P ⎛ ⎝⎭，∵把点P 个单位得到点Q ∴点()0,2Q -∴在Rt AOQ △中，90AOG ︒∠＝，AQ ，取AQ 的中点G ，连接OG ，则12OG GQ AQ ＝＝，此时，AQO GOQ ∠＝∠ 把AOQ △绕点O 顺时针旋转一定的角度()0360αα︒︒＜＜，得到A OQ ''△，其中边A Q ''交坐标轴于点G ①如图2G 点落在y 轴的负半轴，则0,G ⎛ ⎝⎭，过点'Q 作'Q I x ⊥轴交x 轴于点I ，且''GOQ Q ∠＝∠则'''IOQ OA Q OAQ ∠＝∠＝∠，∵sinOQ OAQ AQ ∠＝∴sin '2IQ IQ IOQ OQ ''∠'＝＝＝IO ＝∴在'Rt OIQ △中根据勾股定理可得OI ＝∴点'Q 的坐标为'Q ⎝⎭；②如图3，当G 点落在x 轴的正半轴上时，同理可得'Q ⎝⎭③如图4当G 点落在y 轴的正半轴上时，同理可得'Q ⎛ ⎝⎭ ④如图5当G 点落在x 轴的负半轴上时，同理可得'Q ⎛ ⎝⎭综上所述，所有满足条件的点'Q 的坐标为：⎝⎭，⎝⎭，⎛ ⎝⎭，⎛ ⎝⎭【考点】二次函数图象与坐标轴的交点求法，直角三角形的中线性质．（2018年26题）【答案】（1）2（2（3）点S 的坐标为(5,3)或(1,3-+或(1,3-或(1,8)-. 【解析】解：（1）抛物线的对称轴为422(1)x =-=⨯-.令1x =，得3y =.∴点A 的坐标为(1,3). 由抛物线的对称性可得，点B 的坐标为(3,3)， ∴线段AB 的长为2.（2）过点E 作EN PH ⊥，交PH 的延长线于点N ，PN 交BE 于点M ，如图1所示.点(1,1)E ，点(3,3)B ， ∴直线BE 的解析式为y x =.设点P 的坐标为2(4)(13)t t t t -+，＜＜， 则点M 的坐标为(,)t t . 则2211221()21(4)(31)3.2PBE PBM PEMS S S PM BH PM EN PM BH EN t t t t t =+=+=+=-++-⨯-=-△△△ 当32t =时，PBE △面积取得最大值，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭.H 的坐标为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.3.4PH ∴=过原点O 在y 轴左侧作射线OJ ，使30COJ ∠=，如图2所示，过点H 作HG OJ ⊥，垂足为G ，HG 与y 轴的交点为K ，当点F 与点K 重合时，12FO HF +取得最小值，此时11.22FO HF OK KH KG KH HG +=+=+=3060.GOK OKG CKH ∠=∴∠=∠=，在Rt CHK △中，3602CH CKH =∠=，，30CHK ∴∠=. 3tan302CK CH KH CK ∴=⨯===3OK ∴= 在Rt GOK △中，11322KG OK ⎛==⨯= ⎝⎭HG KG KH ∴=+=+=12PH HF FO ∴++的最小值为34PH HG +==（3）点S 的坐标为(5,3)或(1,3-或(1,3-或(1,8)-.【提示】（1）根据抛物线解析式求出对称轴，并求出点A 的坐标，由对称性得点B 的坐标，从而求出AB 的长；（2）过E 点作PH 的垂线，根据B ，E 两点坐标求出直线BE 的解析式，根据抛物线解析式设点P 的坐标，根据三角形的面积公式求出三角形面积关于P 点横坐标的函数解析式，利用二次函数的性质求得面积的最大值，从而求出点P ，H 的坐标，即可求出PH 的长，然后确定线段和取得最小值的条件，根据条件结合锐角三角函数求出线段的长，从而求出线段和的最小值； （3）根据（2）的结果，结合旋转的性质，根据抛物线的解析式设出点的坐标，表示出线段的长，根据菱形的四边相等，分情况讨论，列出方程，求出待定系数的值，从而求出满足条件的点的坐标.【考点】抛物线的性质、特殊角的三角函数、旋转的性质、菱形的判定和性质.（2016年26题）【答案】(1)△ABC 为直角三角形.理由如下：当y =0时，即21303x -+=，解这个方程，得1x =2x =∴点A (0)，B (0).OA ∴=OB =当x =0时，y =3，∴点C (0，3)，3OC ∴=.在Rt △AOC 中，22222312AC OA OC =+=+=.在Rt △BOC 中，22222336BC OB OC =+=+=.又2248AB ⎡⎤==⎣⎦，1236=48+，222AC BC AB ∴+=.△ABC 为直角三角形.(2)如图1，点B (0)，C (0，3).图1∴直线BC 的解析式为3y =+. 过点P 做PG ∥y 轴交直线BC 于点G .设点P (a ，2133a -+)，则点G (a ，3+)，21(3)(3)3PG a ∴=-+-+21=3a -+.设D 点横坐标为D x ，C 点横坐标为C x .1()2PCDD C Sx x PG =⨯-⨯211()23a =-2=628a --+.0a <<∴当a =PCD 的面积最大，此时点P ，154).如图1，将点P 'P ，连接'AP 交y 轴于点N ，过点N 做NM ⊥抛物线对称轴于点M ，连接PM .点Q 沿P M N A →→→运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM +MN +NA 的长.又点A (0)，∴ 直线'AP 的解析式为52y =+. 当x =0时，52y =，点N (0，52).过'P 作'P H ⊥x 轴于点H ，则有HA =15'4P H =，'AP =.∴点Q 运动的最短路径的长为PM MN AN ++=(3)如图2，在Rt △AOC 中，图2tanOC OAC OA ∠===60OAC ∴∠=︒.1OA OA =，1OAA ∴为等边三角形，1=60AOA ∠︒. 130BOC ∠=︒.又由13OC OC ==，得点1C (2，32).点A (0)，E 4)，AE ∴=.''A E AE ∴==直线AE 的解析式为2y x =+，设点'E (a 2+)，则点A (a -2-).22213'(2)2C E a ∴=++-27=733a -+22213A'(2)2C a =-+--27=4933a -+若1'''C A A E =，则有221'''C A A E =，即22777=4933a a ++.解这个方程，得a =∴点'E ，5) 若1'''A C A E =，则有221'''A C A E =即2749=2833a a -+解这个方程，得1a =，2a =.∴点'E 7+或7.若1'''E A E C =，则有221'''E A E C =，即277=283a +.解这个方程，得12a ，22a (舍去).∴点'E ，3+.综上所述，符合条件的点'E 的坐标为，5)或7或，7或，3+. 【考点】直角三角形的判定，利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质，等腰三角形的性质（2015年26题）【答案】（1）y =+（2）R ，max '-'4RF RE =（3）S =【解析】（1）y =+ （2）22'(E M =++=+-2'F N =+故：2''E M F N +=+-当3m ==时，''E M F N +最大，此时E F∵'':E F y =+∵(0R ，max '-'4RF RE =（3）由题意，Q 点在CAB ∠的角平分线或外角平分线上 ①当Q 点在CAB ∠的角平分线上时，如图''Q M Q N ==，CW ='RMQ RNC ∆∆∽，故'RQRN =+△CRN ∵△CWO，故CN =∵4DN CD CN =-=故S =∵当Q 点在的外角平分线上时，如图'Q RN WCO △∽△，故'Q R =RM =RCM WCO △∽△，故CM =在''Rt Q MP ∆中，''3AM M ==，故''3CP MP CM =-=-在'Rt CP S ∆中，'P S =故S =综上所述，当点Q '到x 轴的距离与Q '到直线AW的距离相等时，S =S =．【提示】（1）求出抛物线与x 轴的交点坐标和顶点坐标，用待定系数法求解析式即可； （2）先求出E′、F′的坐标表示，然后求出E′M 、F′N ，用二次函数的顶点坐标求出当3m =时，''ME NF +的值最大，得到E′、F′的坐标，再求出E′F′的解析式，当点R 在直线E′F′与y 轴的交点时，||RF RE ''﹣的最大值，从而求出R 点的坐标及||RF RE ''﹣的最大值； （3）分类讨论Q 点在∠CAB 的角平分线或外角平分线上时，运用三角形相似求出相应线段，在求出△Q′P′G′与△ADC 的重叠部分面积为S ． 【考点】二次函数综合题。
2018年中考数学专题练习因式分解分组分解法(含解析)-文档资料
2019中考数学专题练习-因式分解分组分解法一、单选题1.把ab﹣a﹣b+1分解因式的结果为（）A. （a+1）（b+1）B. （a+1）（b﹣1）C. （a﹣1）（b﹣1）D. （a﹣1）（b+1）2.把多项式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（）A. （4x2﹣y）﹣（2x+y2）B. （4x2﹣y2）﹣（2x+y）C. 4x2﹣（2x+y2+y）D. （4x2﹣2x）﹣（y2+y）3.分解因式4﹣x2+2x3﹣x4，分组合理的是（）A. （4﹣x2）+（2x3﹣x4）B. （4﹣x2﹣x4）+2x3C. （4﹣x4）+（﹣x2+2x3）D. （4﹣x2+2x3）﹣x44.下列分解因式错误的是（）A. 15a2+5a=5a（3a+1）B. ﹣x2+y2=（y+x）（y﹣x）C. ax+x+ay+y=（a+1）（x+y）D. ﹣a2﹣4ax+4x2=﹣a（a+4x）+4x25.把多项式a3+2a2b+ab2﹣a分解因式正确的是（）A. （a2+ab+a）（a+b+1）B. a（a+b+1）（a+b﹣1）C. a（a2+2ab+b2﹣1）D. （a2+ab+a）（a2+ab﹣a）6.能分解成（x+2）（y﹣3）的多项式是（）A. xy﹣2x+3y﹣6B. xy﹣3y+2x﹣yC. ﹣6+2y﹣3x+xyD. ﹣6+2x﹣3y+xy7.把多项式ac-bc+a2-b2分解因式的结果是（）A. （a-b）（a+b+c）B. （a-b）（a+b-c）C. （a+b）（a-b-c）D. （a+b）（a-b+c）8.若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（）A. 正数B. 负数C. 非负数D. 非正数9.把多项式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正确的结果是（）A. （x+y+3）（x﹣y﹣1）B. （x+y﹣1）（x﹣y+3）C. （x+y﹣3）（x﹣y+1）D. （x+y+1）（x﹣y﹣3）10.分解因式：x2+y2+2xy-1=( )A. （x＋y＋1）(x+y－1)B. （x＋y－1）(x－y－1)C. （x＋y－1）(x-y＋1)D. （x－y＋1）(x＋y＋1)11.把多项式ab﹣1+a﹣b因式分解的结果是（）A. （a+1）（b+1）B. （a﹣1）（b﹣1）C. （a+1）（b﹣1）D. （a﹣1）（b+1）12.把多项式a2-2ab+b2-1分解因式,结果是( )A. B.C. D.13.下列因式分解错误的是（）A. x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B. x2+y2=（x+y）（x+y）C. x2﹣xy+xz﹣yz=（x﹣y）（x+z）D. x2﹣3x﹣10=（x+2）（x﹣5）14.下列四个等式中错误的是（）A. 1﹣a﹣b+ab=（1﹣a）（1﹣b）B. 1+a+b+ab=（1+a）（1+b）C. 1﹣a+b+ab=（1﹣a）（1+b）D. 1+a﹣b﹣ab=（1+a）（1﹣b）二、填空题15.若x2﹣y2﹣x+y=（x﹣y）•A，则A=________．16.分解因式：x2﹣y2=________．ab﹣a﹣b+1=________．17.分解因式：a2﹣6a+9﹣b2=________．18.分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9=________．19.分解因式：xy﹣x﹣y+1=________．20.分解因式：=________21.分解因式x2﹣2xy+y2﹣4x+4y+3=________．22.分解因式：x2﹣y2﹣3x﹣3y=________三、计算题23.因式分解：（1）x2﹣xy﹣12y2；（2）a2﹣6a+9﹣b224.若|m﹣4|与n2﹣8n+16互为相反数，把多项式a2+4b2﹣mab﹣n因式分解．25.因式分解（1）3ax+6ay（2）25m2﹣4n2（3）3a2+a﹣10（4）ax2+2a2x+a3（5）x3+8y3（6）b2+c2﹣2bc﹣a2（7）（a2﹣4ab+4b2）﹣（2a﹣4b）+1（8）（x2﹣x）（x2﹣x﹣8）+12．四、解答题26.先阅读以下材料，然后解答问题．分解因式mx+nxmy+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）；也可以mx+nxmy+ny=（mx+my）+（nx+ny）=m（x+y）+n（x+y）=（m+n）（x+y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．请用分组分解法分解因式：a3﹣b3+a2b﹣ab2．27.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足，试判断△ABC的形状。
23年重庆中考数学a卷26题解析
23年重庆中考数学a卷26题解析【提纲】1.题目概述2018年重庆中考数学A卷第26题是一道几何题，主要考察了学生的三角形全等判定和几何计算能力。
题目如下：已知三角形ABC和DEF分别为等边三角形，边长为2，点G为△ABC的重心，点H为△DEF的重心，现将△ABC和△DEF拼接在一起，组成一个八边形AGBHCDEF。
请问：八边形AGBHCDEF的面积是多少？2.解题思路首先，我们需要明确题目所给出的信息，包括两个等边三角形ABC和DEF 的边长为2，以及点G和点H分别是两个三角形的重心。
接下来，我们需要找到八边形AGBHCDEF的面积与三角形ABC和DEF的面积之间的关系。
3.解题步骤（1）根据重心的性质，可以得到GH // BC，且GH = 2/3 * BC = 2/3 * 2 = 4/3。
（2）由于△GHF ∽ △ABC，可以得到比例关系：GH / AB = FH / BC = 1 / 2。
进而求得FH = BC / 2 = 1。
（3）同理，由于△EHG ∽ △ABC，可以得到EG / AB = GH / BC = 1 / 2。
求得EG = AB / 2 = 1。
（4）计算八边形AGBHCDEF的面积。
八边形可以分割成四个小三角形，分别为△AGB、△ACH、△BHC和△DEF。
每个小三角形的面积可以通过海伦公式计算，然后将四个小三角形的面积相加即可得到八边形的面积。
4.解题要点（1）掌握三角形重心的性质，如重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。
（2）熟练运用相似三角形的判定和性质，如相似三角形的边长比例相等，对应角度相等。
（3）熟悉海伦公式，用于计算三角形的面积。
5.类似题型练习建议针对这类题目，建议同学们多加练习，熟练掌握三角形全等判定、相似三角形判定和几何计算方法。
在解题过程中，注意观察图形的特征，善于发现规律，灵活运用所学知识。
2018年重庆市中考数学试卷---全面解析版 精品
2018年重庆市中考数学试卷---全面解析版一．选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内．1、在-6，0，3，8这四个数中，最小的数是（A）A、-6B、0C、3D、8考点：有理数大小比较．专题：计算题．分析：根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，两负数绝对值大的反而小，解答即可．解答：解：∵8＞3＞0＞-6，∴最小的数是-6．故选A．点评：本题考查了有理数大小的比较，熟记：正数大于0，0大于负数，正数大于负数，两负数绝对值大的反而小．2、计算（a3）2的结果是（C）A、aB、a5C、a6D、a9考点：幂的乘方与积的乘方．专题：计算题．分析：根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n=a mn（m，n是正整数）计算即可．解答：解：（a3）2=a3×2=a6．故选C．点评：本题考查了幂的乘方，注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．3、下列图形中，是中心对称图形的是（B）A、B、C、D、考点：中心对称图形．专题：数形结合．分析：根据中心对称图形的定义来判断：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．解答：解：A、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；B、将此图形绕某一点旋转180度正好与原来的图形重合，所以这个图形是中心对称图形；C、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；D、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形．故选B．点评：本题主要考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．4、如图，AB∥CD，∠C=80°，∠CAD=60°，则∠BAD的度数等于（D）A、60°B、50°C、45°D、40°考点：平行线的性质．分析：根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD 的度数．解答：解：∵∠C=80°，∠CAD=60°，∴∠D=180°-80°-60°=40°，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠D=40°．故选D．点评：本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．5、下列调查中，适宜采用抽样方式的是（A）A、调查我市中学生每天体育锻炼的时间B、调查某班学生对“五个重庆”的知晓率C、调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量D、调查广州亚运会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况考点：全面调查与抽样调查．专题：应用题．分析：调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析．普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．解答：解：A、调查我市中学生每天体育锻炼的时间，适合抽样调查，B、调查某班学生对“五个重庆”的知晓率，采用全面调查，C、调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量，采用全面调查，D、调查广州亚运会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况，采用全面调查，故选A．点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，比较简单．6、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（B）A、60°B、50°C、40°D、30°考点：圆周角定理．分析：在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠0CB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．解答：解：在△OCB中，OB=OC（⊙O的半径），∴∠OBC=∠0CB（等边对等角）；∵∠OCB=40°，∠C0B=180°-∠OBC-∠0CB，∴∠COB=100°；又∵∠A= ∠C0B（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠A=50°，故选B．点评：本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．7、已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（D）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：根据抛物线的开口方向判断a 的正负；根据对称轴在y 轴的右侧，得到a ，b 异号，可判断b 的正负；根据抛物线与y轴的交点为（0，c），判断c 的正负；由自变量x=1得到对应的函数值为正，判断a+b+c 的正负．解答：解：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；又∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧， ∴a ，b 异号， ∴b ＞0；又∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，又x=1，对应的函数值在x 轴上方， 即x=1，y=ax 2+bx+c=a+b+c ＞0； 所以A ，B ，C 选项都错，D 选项正确． 故选D ．点评：本题考查了抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）中各系数的作用：a ＞0，开口向上，a ＜0，开口向下；对称轴为x=-，a ，b 同号，对称轴在y 轴的左侧；a ，b 异号，对称轴在y 轴的右侧；抛物线与y 轴的交点为（0，c ），c ＞0，与y 轴正半轴相交；c ＜0，与y 轴负半轴相交；c=0，过原点．8、为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”．张村和王村之间的道路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间的道路改造．下面能反映该工程尚未改造的道路里程y （公里）与时间x （天）的函数关系的大致图象是（D ）A 、B 、C 、D 、考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：根据y随x的增大而减小，即可判断选项A错误；根据施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，即可判断选项B错误；根据施工队随后加快了施工进度得出y随x的增大减小得比开始的快，即可判断选项C、D的正误．解答：解：∵y随x的增大而减小，∴选项A错误；∵施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，∴选项B错误；∵施工队随后加快了施工进度，∴y随x的增大减小得比开始的快，∴选项C错误；选项D正确；故选D．点评：本题主要考查对函数图象的理解和掌握，能根据实际问题所反映的内容来观察与理解图象是解答此题的关键．9、下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（C）A、55B、42C、41D、29考点：规律型：图形的变化类．专题：规律型．分析：由于图②5个=1+2+2，图③11个=1+2+3+2+3，图④19=1+2+3+4+2+3+4，由此即可得到第⑥个图形中平行四边形的个数．解答：解：∵图②平行四边形有5个=1+2+2，图③平行四边形有11个=1+2+3+2+3，图④平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，∴图⑥的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41．故选C．点评：本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．10、如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（C）A、1B、2C、3D、4考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：几何综合题．分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG≌△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S△FGC=S△GCE-S△FEC，求得面积比较即可．解答：解：①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；②正确．因为：EF=DE= CD=2，设BG=FG=x，则CG=6-x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6-x）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6-3=GC；③正确．因为CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；④错误．过F作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴= ，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：= = ，∴S△FGC=S△GCE-S△FEC= ×3×4- ×4×（×3）= ≠3．故选C．点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．二．填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）11、据第六次全国人口普查结果显示，重庆常住人口约为2880万人．将数2880万用科学记数法表示为万．考点：科学记数法—表示较大的数．专题：数字问题．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将2880万用科学记数法表示为2.88×103．故答案是：2.88×103．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12、如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AB于D、E两点，若AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC 的面积比为．考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方直接得出答案．解答：解：∵△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，相似比为AD：AB=1：3，∴△ADE与△ABC的面积比为：1：9．故答案为：1：9．点评：此题主要考查了相似三角形的性质，根据相似比性质得出面积比是解决问题的关键．13、在参加“森林重庆”的植树活动中，某班六个绿化小组植树的棵数分别是：10，9，9，10，11，9．则这组数据的众数是．考点：众数．专题：计算题．分析：众数是一组数据中出现次数最多的数据，有时众数可以不止一个．解答：解：在这一组数据中9是出现次数最多的，故众数是9；故答案为9．点评：本题为统计题，考查众数定义．如果众数的概念掌握得不好，就会出错．14、在半径为的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于．考点：弧长的计算．专题：计算题．分析：根据弧长公式l= 把半径和圆心角代入进行计算即可．解答：解：45°的圆心角所对的弧长= =1．故答案为1．点评：本题考查了弧长公式：l= （n为圆心角的度数，R为半径）．15、有四张正面分别标有数学-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为．考点：概率公式；解分式方程．专题：计算题．分析：易得分式方程的解，看所给4个数中，能使分式方程有整数解的情况数占总情况数的多少即可．解答：解：解分式方程得：x= ，能使该分式方程有正整数解的只有0（a=1时得到的方程的根为增根），∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为．故答案为：．点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到使分式方程有整数解的情况数是解决本题的关键．16、某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了朵．考点：三元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：题中有两个等量关系：甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=2900朵，甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=3750朵．据此可列出方程组，设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆，用含x的代数式分别表示y、z，即可求出黄花一共用的朵数．解答：解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆．由题意，有，由①得，3x+2y+2z=580③，由②得，x+z=150④，把④代入③，得x+2y=280，∴2y=280-x⑤，由④得z=150-x⑥．∴4x+2y+3z=4x+（280-x）+3（150-x）=730，∴黄花一共用了：24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．故黄花一共用了4380朵．点评：本题考查了三元一次方程组在实际生活中的应用．解题的关键是发掘等量关系列出方程组，难点是将方程组中的其中一个未知数看作常数，用含有一个未知数的代数式表示另外两个未知数，然后代入所求黄花的代数式．二．解答题：（本大题4个小题，每小题6分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）17、|-3|+（-1）2018×（π-3）0- + ．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：先算出-3的绝对值是3，-1的奇数次方仍然是-1，任何数（0除外）的0次方都等于1，然后按照常规运算计算本题．解答：解：原式=3+（-1）×1-3+4=3点评：本题考查了绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算．18、解不等式2x-3＜，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．专题：计算题．分析：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．解答：解：3（2x-3）＜x+16x-9＜x+15x＜10x＜2∴原不等式的解集为x＜2，在数轴上表示为：点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．19、如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：BC∥EF．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的判定．专题：证明题．分析：根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出∠ACB=∠DFE，再根据内错角相等两直线平行，即可证明BC∥EF．解答：证明：∵AF=DC，∴AC=DF，又∵AB=DE，∠A=∠D，∴△ACB≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF．点评：本题考查了两直线平行的判定方法，内错角相等，两直线平行，难度适中．20、为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）考点：作图—应用与设计作图．专题：作图题．分析：易得M在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半．解答：解：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可．点评：考查设计作图；得到点M是AB的垂直平分线与以点C为圆心，以AB的一半为半径的弧的交点是解决本题的关键．四．解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤21、先化简，再求值：，其中x满足x2-x-1=0．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先通分，计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分计算．最后根据化简的结果，可由x2-x-1=0，求出x+1=x2，再把x2=x+1的值代入计算即可．解答：解：原式= ×= ×= ，∵x2-x-1=0，∴x2=x+1，∴= =1．点评：本题考查了分式的化简求值．解题的关键是注意对分式的分子、分母因式分解，除法转化成下乘法．22、如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE= ．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOC的面积．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：（1）过点A作AD⊥x轴于D点，由sin∠AOE= ，OA=5，根据正弦的定义可求出AD，再根据勾股定理得到DO，即得到A点坐标（-3，4），把A（-3，4）代入y= ，确定反比例函数的解析式为y=- ；将B（6，n）代入，确定点B点坐标，然后把A点和B点坐标代入y=kx+b（k≠0），求出k和b．（2）先令y=0，求出C点坐标，得到OC的长，然后根据三角形的面积公式计算△AOC的面积即可．解答：解：（1）过点A作AD⊥x轴于D点，如图，∵sin∠AOE= ，OA=5，∴sin∠AOE= = = ，∴AD=4，∴DO= =3，而点A在第二象限，∴点A的坐标为（-3，4），将A（-3，4）代入y= ，得m=-12，∴反比例函数的解析式为y=- ；将B（6，n）代入y=- ，得n=-2；将A（-3，4）和B（6，-2）分别代入y=kx+b（k≠0），得，解得，∴所求的一次函数的解析式为y=- x+2；（2）在y=- x+2中，令y=0，即- x+2=0，解得x=3，∴C点坐标为（0，3），即OC=3，∴S△AOC= •AD•OC= •4•3=6．点评：本题考查了点的坐标的求法和点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了正弦的定义、勾股定理以及三角形面积公式．23、为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：（1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；（2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．专题：计算题；图表型．分析：（1）根据留守儿童有4名的占20%，可求得留守儿童的总数，再求得留守儿童是2名的班数；（2）由（1）得只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，列出树状图可得出来自一个班的共有4种情况，则所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．解答：解：（1）该校班级个数为4÷20%=20（个），只有2名留守儿童的班级个数为：20-（2+3+4+5+4）=2（个），该校平均每班留守儿童的人数为：=4（名），补图如下：；（2）由（1）得只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，有树状图可知，共有12中等可能的情况，其中来自一个班的共有4种情况，则所选两名留守儿童来自同一个班级的概率为：= ．点评：本题是一道统计题，考查了条形统计图和扇形统计图，及树状图的画法，是重点内容，要熟练掌握．24、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AF．考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．专题：证明题；几何综合题．分析：（1）根据BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根据勾股定理求出BC=2，根据CE⊥BE，点G为BC的中点即可求出EG；（2）在线段CF上截取CH=BA，连接DH，根据BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，证出△ABD ≌△HCD，得到AD=BD，∠ADB=∠HDC，根据AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，证出△ADF≌△HDF，即可得到答案．解答：（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC= =2 ，∵CE⊥BE，点G为BC的中点，∴EG= BC= ．答：EG的长是．（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，∵∠EFB=∠DFC，（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p2（万件）与月份x满足函数关系式p2=-0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用；一次函数的应用．专题：应用题；分类讨论．分析：（1）把表格（1）中任意2点的坐标代入直线解析式可得y1的解析式．把（10，730）（12，750）代入直线解析式可得y2的解析式，；（2）分情况探讨得：1≤x≤9时，利润=P1×（售价-各种成本）；10≤x≤12时，利润=P2×（售价-各种成本）；并求得相应的最大利润即可；（3）根据1至5月的总利润1700万元得到关系式求值即可．解答：解：（1）设y1=kx+b，则，解得，∴y1=20x+540（1≤x≤9，且x取整数）；设y2=ax+b，则，解得，∴y2=10x+630（10≤x≤12，且x取整数）；（2）设去年第x月的利润为W万元．1≤x≤9，且x取整数时，W=P1×（1000-50-30-y1）=-2x2+16x+418=-2（x-4）2+450，∴x=4时，W最大=450万元；10≤x≤12，且x取整数时，W=P2×（1000-50-30-y2）=（x-29）2，∴x=10时，W最大=361万元；∵450万元＞361万元，∴这个最大利润是450万元；（3）去年12月的销售量为-0.1×12+2.9=1.7（万件），今年原材料价格为：750+60=810（元）今年人力成本为：50×（1+20%）=60元．∴5×[1000×（1+a%）-810-60-30]×1.7（1-0.1×a%）=1700，设t=a%，整理得10t2-99t+10=0，解得t= ，∵9401更接近于9409，∴≈97，∴t1≈0.1，t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980，∵1.7（1-0.1×a%）≥1，∴a≈10．答：a的整数解为10．点评：本题综合考查了一次函数和二次函数的应用；根据二次函数的最值及相应的求值范围得到一定范围内的最大值是解决本题的易错点；利用估算求得相应的整数解是解决本题的难点．26、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2 ，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形．专题：代数几何综合题；动点型；分类讨论．分析：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四种情况，分别写出函数关系式；（3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值．解答：解：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，BC=2 ，tan∠CFB= ，即tan60= ，解得BF=2，即3-t=2，t=1，∴当边FG恰好经过点C时，t=1；（2）当0≤t＜1时，S=2 t+4 ；当1≤t＜3时，S=- t2+3 t+ ；当3≤t＜4时，S=-4 t+20 ；当4≤t＜6时，S= t2-12 t+36 ；（3）存在．理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB= = ，∴∠CAB=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°，∴AE=HE=3-t或t-3，1）当AH=AO=3时，（如图②），过点E作EM⊥AH于M，则AM= AH= ，在Rt△AME中，cos∠MAE═ ，即cos30°= ，∴AE= ，即3-t= 或t-3= ，∴t=3- 或t=3+ ，2）当HA=HO时，（如图③）则∠HOA=∠HAO=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，又∵AE+EO=3，∴AE+2AE=3，AE=1，即3-t=1或t-3=1，∴t=2或t=4；3）当OH=OA时，（如图④），则∠OHA=∠OAH=30°，∴∠HOB=60°=∠HEB，∴点E和点O重合，∴AE=3，即3-t=3或t-3=3，t=6（舍去）或t=0；综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3- 或t=3+ 或t=2或t=4或t=0．点评：本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识．关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论．。
重庆市2018中考解答题26题37-72试题集锦
重庆市初2018级中考数学解答题26题试题集锦x+x+xy=xx﹣x+2重庆市初2018级中考数学解答题26题试题集锦xx+3x+x2637．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D，当线段PD的长度最大时，点Q从点P出发，先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿MC以每秒3个单位的速度运动到点C停止，当点Q在整个运动中所用时间t最少时，求点M的坐标；（3）如图2，将△BOC沿直线BC平移，平移后B，O，C三点的对应点分别是B′，O′，C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点S的坐标．解：（1）当y=0时，﹣x2﹣x﹣2=0，解这个方程，得：x1=﹣6，x2=﹣1，∴点A（﹣6，0），B（﹣1，0），当x=0时，y=﹣2，∴C（0，﹣2），设直线AC的解析式为：y=ax+b（a≠0），将点A（﹣6，0），C（0，﹣2）代入得：，∴，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣2；（3分）（2）如图1，过点P作PE∥y轴交直线AC于点E，设P（a，﹣），则点E（a，﹣﹣2），∴PE=（﹣）﹣（﹣﹣2）=﹣﹣2a，∵AO=6，OC=2，∴AC===2，∵∠PDE=∠AOC=90°，∠PED=∠ACO，∴△PDE∽△AOC，∴=，∴PD=PE==﹣﹣，对称轴是：a=﹣3，∵﹣，∴当a=﹣3时，PD的长度最大，此时点P的坐标为（﹣3，2），如图1所示，在x轴上取点F（1，0），连接CF并延长，∴CF===3，∴sin∠OCF==，点M是y轴上一点，过点M作MH⊥CF于点H，由△CHM∽△COF，可知：=，∵t==PM+MH，如图2，当P、M、H在同一直线上时，t的值最小，此时，过P作PK⊥y轴于K，由△PKM∽△COF，可知：=2，∴KM=，∴M（0，），（7分）（3）如图3，当四边形ACSO'是菱形时，过S作SG⊥y轴于G，延长O'C'交x轴于H，∵四边形ACSO'是菱形，∴AO'=AC=SC，AO'∥SC，∴∠AMC=∠BCS，∴∠AO'H+∠MC'O'=∠BCO+∠OCS，∵∠MC'O'=∠BCO，∴∠AO'H=∠OCS，∵∠AHO'=∠CGS，∴△O'AH≌△CSG，∴AH=SG，O'H=CG，Rt△OCB中，sin∠OCB==，∴sin∠BC'H==，设BH=x，则BC'=3x，∴C'H=2x，∴AH=SG=5﹣x，∵O'C'=OC=2，∴C'H=OG=2x，由勾股定理得：AC2=O'A2，∴AO2+OC2=O'H2+AH2，∴=（5﹣x）2+（2+2x）2，解得：x=，当x=时，SG=5﹣x=，OG=2x=，当x=＜0时，不符合题意，舍去，SG=5﹣x=，OG=2x=，此时S的坐标为：或；②如图4，过S作SH⊥AO于H，延长O'B'到y轴交于G，∵SE∥CF，EC∥SF，∴四边形SECF是平行四边形，∴∠ESF=∠ECF，∵四边形ASO'C是菱形，∴∠ASO'=∠ACO'，∴∠ASH=∠O'CG，同理得：△ASH≌△O'CG，∴AH=O'G，SH=CG，sin∠GCB'==，设GB'=x，则CB'=3x，CG=2x，∴O'G=1+x，由勾股定理得：AC2=O'C2，∴62+（2）2=（2x）2+（x+1）2解得：x=，当x=时，SH=CG=2x=，OH=6﹣AH=6﹣O'G=5﹣x=，当x=＜0时，不符合题意，舍去，此时，点S的坐标为：（，）；③如图5，AC为对角线时，同理可得S（，）④如图6，过S作SE⊥x轴于E，延长B'O'交y轴于H，延长O'C'交x轴于G，设GB'=x，则CB'=3x，CG=2x，∴O'G=O'H=1+x，∵∠HO'D=∠O'DA=∠EAS，易得△SEA≌△CHO'，同理可得S（，）；⑤如图7，过S作SH⊥x轴于H，过O'作O'E⊥SH于E，延长C'O'交x轴于G，设OG=x，则BG=1+x，∵O'B'∥BG，∴，∴，∴C'G=2（1+x），∴O'G=C'G﹣C'O'=2x，∴AG=1+x，同理得：62+（2）2=（1+x）2+（2x）2，解得：x1=，x2=（舍），可得S；综上所述，S的坐标为：或或（，）或（，）或（，）．（12分）2638．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）抛物线的对称轴交直线AC于点E，直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△PEC面积最大时，线段CE在直线AC上平移，记线段CE平移后为C′E′，求△PC′E′的周长最小值；（3）抛物线的顶点为D，连接AD，将线段AD沿直线AC平移，记线段AD平移后为A′D′，过点D′作x轴的垂线交x轴于点G，当△A′D′G为等腰三角形时，求AA′的长度．解：（1）抛物线y=﹣x2﹣2x+3，∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴直线AC的解析式 y=x+3；（2）∵对称轴为x=﹣1，∴E（﹣1，2），设P（m，﹣m2﹣2m+3），∴S=﹣m2﹣m=﹣（m+）2+，△PEC的有最大值，∴当m=﹣时，S△PEC即：P（﹣，），将线段PC平移，使得C与E重合，得到线段P'E，∴P'（﹣，），P''（﹣，），∴△PC'E'的周长的最小值为PP''+CE=+（3）∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3，∴D（﹣1，4），设A'（﹣3+n，n），D'（﹣1+n，4+n），则G（﹣1+n，0），∴AA'=|n|，∴A'D'2=20，A'G2=n2+4，D'G2=n2+8n+16，∵△A′D′G为等腰三角形，①当A'D'=A'G时，∴20=n2+4，∴n=±4，∴AA'=4②当A'D'=D'G时，∴20=n2+8n+16，∴n=±2﹣4，∴AA'=2±4③当D'G=A'G时，∴n2+4=n2+8n+16，∴n=﹣，∴AA'=，即：AA′的长度为4或2或．2639.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D．（1）求平行线AD、BC之间的距离；（2）如图1，点P为线段BC上方抛物线上的一动点，当△PCB的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到直线BC上点M处，再沿垂直于直线BC的方向运动到直线AD上的点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止．当点Q的运动路径最短时，求点M的坐标及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2，将抛物线以每秒个单位长度的速度沿射线AD方向平移，抛物线上的点A、C平移后的对应点分别记作A′、C′，当△A′C′B是以C′B为底边的等腰三角形时，将等腰△A′C′B 绕点D逆时针旋转一周，记旋转中的△A′C′B为△A″C″B′，若直线A″C″与y轴交于点K，直线A″C″与直线AD交于点I，当△DKI是以KI为底边的等腰三角形时，求出DK2的值．解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．对于抛物线y=﹣x2+x+3，令y=0，得到﹣x2+x+3=0，解得x=﹣或3，∴A（﹣，0），B（3，0），令x=0，得到y=3，∴C（0，3），∴OA=，OB=3，AB=4，OC=3，BC==3，∵S△ABC=•AB•CO=•BC•AH，∴AH==，∵AD∥BC，∴AD与BC之间的距离为．（2）如图2中，设P（m，﹣m2+m+3），S△PBC =S△POB+S△PCO﹣S△BOC=×3×（﹣m2+m+3）+×3×m﹣×3×3=﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴m=时，△PBC的面积最大，此时P（，），作B关于直线AD的对称点B′交AD于K，连接PK交BC于M，作MN⊥AD于N，连接BN，则PM+MN+BN 的值最小．∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，AD∥BC，∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣1，∵BB′⊥BC，∴直线BB′的解析式为y=x﹣6，由，解得，∴K（，﹣），∴直线PK的解析式为y=﹣x+，由，解得，∴M（，），∴点Q经过的最短路径的长=PM+MN+BN=MN+（PM+MK）=MN+PK，∵MN=，PK==，∴点Q经过的最短路径的长为+．2640. 抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O 2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，过点D作DK⊥y轴于K，当x=0时，y=，∴C（0，），y=﹣x2﹣x+=﹣（x+）2+，∴D（﹣，），∴DK=，CK=﹣=，∴CD===；（4分）（2）在y=﹣x2﹣x+中，令y=0，则﹣x2﹣x+=0，解得：x1=﹣3，x2=，∴A（﹣3，0），B（，0），∵C（0，），易得直线AC的解析式为：y=，设E（x，），P（x，﹣x2﹣x+），∴PF=﹣x2﹣x+，EF=，Rt△ACO中，AO=3，OC=，∴AC=2，∴∠CAO=30°，∴AE=2EF=，∴PE+EC=（﹣x2﹣x+）﹣（x+）+（AC﹣AE），=﹣﹣x+[2﹣（）]，=﹣﹣x﹣x，=﹣（x+2）2+，（5分）∴当PE+EC的值最大时，x=﹣2，此时P（﹣2，），（6分）∴PC=2，∵O1B1=OB=，∴要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，如图2，将点P向右平移个单位长度得点P1（﹣，），连接P1B1，则PO1=P1B1，再作点P1关于x轴的对称点P2（﹣，﹣），则P1B1=P2B1，∴PO1+B1C=P2B1+B1C，∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1，∴B1（﹣，0），将B1向左平移个单位长度即得点O1，此时PO1+B1C=P2C==，对应的点O1的坐标为（﹣，0），（7分）∴四边形PO1B1C周长的最小值为+3；（8分）（3）O2M的长度为或或2+或2．（12分）理由是：如图3，∵H是AB的中点，∴OH=，∵OC=，∴CH=BC=2，∴∠HCO=∠BCO=30°，∵∠ACO=60°，∴将CO沿CH对折后落在直线AC上，即O2在AC上，∴∠B2CA=∠CAB=30°，∴B2C∥AB，∴B2（﹣2，），①如图4，AN=MN，∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3，由旋转得：∠CB2C1=∠O2B2O3=30°，B2C=B2C1，∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°，过C1作C1E⊥B2C于E，∵B2C=B2C1=2，∴=B2O2，B2E=，∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1，∠B2O2M=∠C1EC=90°，∴△C 1EC ≌△B 2O 2M ， ∴O 2M=CE=B 2C ﹣B 2E=2﹣；②如图5，AM=MN ，此时M 与C 重合，O 2M=O 2C=，③如图6，AM=MN ，∵B 2C=B 2C 1=2=B 2H ，即N 和H 、C 1重合，∴∠CAO=∠AHM=∠MHO 2=30°， ∴O 2M=AO 2=；④如图7，AN=MN ，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ， ∴∠NMA=∠NAM=30°，∵∠O 3C 1B 2=30°=∠O 3MA ，∴C 1B 2∥AC ，∴∠C 1B 2O 2=∠AO 2B 2=90°， ∵∠C 1EC=90°， ∴四边形C 1EO 2B 2是矩形， ∴EO 2=C 1B 2=2，，∴EM=，∴O 2M=EO 2+EM=2+， 综上所述，O 2M 的长是或或2+或2．2641. 如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=﹣x 2+4x 上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为（1，1）． （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，过点P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当△PBE 的面积最大时，求PH+HF+FO 的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO 取得最小值时，将△CFH 绕点C 顺时针旋转60°后得到△CF ′H ′，过点F'作CF ′的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使以点D ，Q ，R ，S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）由题意A （1，3），B （3，3）， ∴AB=2．（2）如图1中，设P （m ，﹣m 2+4m ），作PN ∥y 轴J 交BE 于N ． ∵直线BE 的解析式为y=x ， ∴N （m ，m ），∴S △PEB =×2×（﹣m 2+3m ）=﹣m 2+3m ， ∴当m=时，△PEB 的面积最大，此时P （，），H （，3），∴PH=﹣3=，作直线OG 交AB 于G ，使得∠COG=30°，作HK ⊥OG 于K 交OC 于F ， ∵FK=OF ，∴PH+HF+FO=PH+FH+FK=PH+HK ，此时PH+HF+OF 的值最小， ∵•HG •OC=•OG •HK ，∴HK==+，∴PH+HF+OF 的最小值为+．（3）如图2中，由题意CH=，CF=，QF=，CQ=1，∴Q （﹣1，3），D （2，4），DQ=，①当DQ 为菱形的边时，S 1（﹣1，3﹣），S 2（﹣1，3+），②当DQ 为对角线时，可得S 3（﹣1，8）， ③当DR 为对角线时，可得S 4（5，3） 综上所述，满足条件的点S 坐标为（﹣1，3﹣）或（﹣1，3+）或（﹣1，8）或（5，3）．2642．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，过点B作BC的垂线，交对称轴于点E．（1）求证：点E与点D关于x轴对称；（2）点P为第四象限内的抛物线上的一动点，当△PAE的面积最大时，在对称轴上找一点M，在y轴上找一点N，使得OM+MN+NP最小，求此时点M的坐标及OM+MN+NP的最小值；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D′，点A的对应点A′，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，将△FBC沿BC翻折，使点F落在点F′处，在平面内找一点G，若以F′、G、D′、A′为顶点的四边形为菱形，求平移的距离．（1）证明：如图1中，令y=0，得到x2﹣x﹣3=0，解得x=﹣或3，∴A（﹣，0），B（3，0），令x=0，可得y=﹣3，∴C（0，﹣3），∵y=x2﹣x﹣3=（x﹣）2﹣4，∴顶点D（，﹣4），设对称轴与x轴交于F，则BF=2，∵△EFB∽△BOC，∴=，∴=，∴EF=4，∴E（，4），∴E、D关于x轴对称．（2）过点P作PQ∥y轴，交直线AE于点Q．∵yAE=x+2，∴设P（a，a2﹣a﹣3），Q（a，a+2），（0＜a＜3），2643．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x x=-x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．(1)求直线AC的解析式；(2)如图2，点E(a，b)是对称轴右侧抛物线上一点，过点E垂直于y轴的直线与AC交于点D(m，n)．点P是x轴上的一点，点Q是该抛物线对称轴上的一点，当a m+最大时，求点E的坐标，并直接写出23EQ PQ PB++的最小值；(3)如图3，在(2)的条件下，连结OD，将△AOD沿x轴翻折得到△AOM，再将△AOM沿射线CB 的方向以每秒3个单位的速度沿平移，记平移后的△AOM为△A O M'''，同时抛物线以每秒1个单位的速度沿x轴正方向平移，点B的对应点为B'．△A B M'''能否为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点M '的坐标；若不能，请说明理由．2644．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线423412++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B左侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的对称轴及△ABC 的周长；（2）点D 是线段AC 的中点，过点D 作BC 的平行线，分别与x 轴、抛物线交于点E 、F ，点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点，连接PD 交线段BC 于点G ，当四边形PGEF 面积最大时，点Q 从点P 出发沿适当的路径运动到x 轴上的点M 处，再沿射线DF 方向运动5个单位到点N 处，最后回到直线BC 上的点H 处停止，当点Q 的运动路径最短时，求点Q 的最短运动路径长及点H 的坐标；（3）如图2，将△AOC 绕点O 顺时针旋转至△A 1OC 1的位置，点A 、C 的对应点分别为点A 1、C 1，且点A 1落在线段AC 上，再将△A 1OC 1沿y 轴平移得△A 2O 1C 2，其中直线O 1C 2与x 轴交于点K ，点T 是抛物线对称轴上的动点，连接KT 、O 1T ，△O 1KT 能否成为以O 1K 为直角边的等腰直角三角形?若能，请直接写出所有符合条件的点T 的坐标；若不能，请说明理由．2645.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x 2-3x+4交x 轴于A 、D 两点(点A 在点B 的左例), 交y 轴于点C,顶点为点D,连接BC,作直线AC.(1)求点D 的坐标和直线BC 的解析式；(2)若点P 为BC 上方抛物线上的一个动点,连接PC 、PB,过P 作PE ⊥y 轴于点E,当△PBC 面积最大时,将△PEC 绕平面内一点逆时针方向旋转90°后得到△111C E P .点P 、E 、C 的对应点分别是点1P 、1E 、1C ,当点C 1C 落在线段AC 上时,连接PP 1,求A C C P PP 111122++的最小值，并求出此时点1C 的坐标；(3)在(2)的条件下,将△111C E P 沿射线AC 以每秒2个单位长度的速度平移,记平移后的△111C E P 为△222C E P 点1P 、1E 、1C 的对应点分别是点2P、2E ,C 2,设平移时间为秒,当△CD P 2为等腰三角形时,求t 的值.2646.如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0≠(++=2a c bx ax y 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ， AO=CO=4，BO=6，点D 是第四象限抛物线上一点，且点F 的纵坐标为-4.(1)求抛物线的解析式和直线CF 的解析式； (2)如图1，点P 是直线CF 上方抛物线上一点，点E 在直线CF 上，点E 的横坐标为3，当△PCF 的面积最大时,在y 轴有一动点M ，在x 轴有一动点N ，当PM+MN+NE 的值最小时，求出PM+MN+NE 的最小值.(3)如图2，点D 为线段BO 的中点，连接CD ，将CD O ∆绕着点D 顺时针旋转α度得到对应''C DO ∆()0180α︒<<︒.设直线'C D 和直线''C O 分别与直线BC 交于H 、G 两点,当三角形C ′HG 是等腰三角形2647.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++-=2的图像与x 轴交于点A 和点B （5,0），与y 轴交于点C ，点D （1,8）是抛物线上一点.（1）求抛物线和直线AD 的解析式；（2）点Q 是抛物线一象限内一动点，过点Q 作QN ∥AD 交BC 于N ，QG ⊥AB 交BC 与点M ，交AB 于点G （如图1），当QNM ∆的周长最大时，求QNM ∆周长的最大值；此时，在直线BC 上有两动点P 、H ，且PH=22（P 在H 的右边），K （2,0），当HK PQ -最大时求点P 的坐标（3）直线AD 与y 轴交于点F ，点E 是点C 关于对称轴的对称点，点P 是线段AE 上的一动点，将AFP ∆沿着FP 所在的直线翻折得到FP A '∆（点A 的对应点为点A '）（如图2），当FP A '∆与AED ∆重叠部分为直角三角形时，求AP 的长.(第26题1) (第26题2) (第26题备用图)2649．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2﹣x ﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A在点B 的左侧），交y 轴于点C ．（1）求直线AC 的解析式；（2）点P 是直线AC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD ⊥AC ，垂足为D ，当线段PD 的长度最大时，点Q 从点P 出发，先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y 轴上的点M 处，再沿MC 以每秒3个单位的速度运动到点C 停止，当点Q 在整个运动中所用时间t 最少时，求点M 的坐标；（3）如图2，将△BOC 沿直线BC 平移，平移后B ，O ，C 三点的对应点分别是B ′，O ′，C ′，点S 是坐标平面内一点，若以A ，C ，O ′，S 为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点S 的坐标．解：（1）当y=0时，﹣x 2﹣x ﹣2=0，解这个方程，得：x 1=﹣6，x 2=﹣1，∴点A （﹣6，0），B （﹣1，0），当x=0时，y=﹣2，∴C（0，﹣2），设直线AC的解析式为：y=ax+b（a≠0），将点A（﹣6，0），C（0，﹣2）代入得：，∴，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣2；（3分）（2）如图1，过点P作PE∥y轴交直线AC于点E，设P（a，﹣），则点E（a，﹣﹣2），∴PE=（﹣）﹣（﹣﹣2）=﹣﹣2a，∵AO=6，OC=2，∴AC===2，∵∠PDE=∠AOC=90°，∠PED=∠ACO，∴△PDE∽△AOC，∴=，∴PD=PE==﹣﹣，对称轴是：a=﹣3，∵﹣，∴当a=﹣3时，PD的长度最大，此时点P的坐标为（﹣3，2），如图1所示，在x轴上取点F（1，0），连接CF并延长，∴CF===3，∴sin∠OCF==，点M是y轴上一点，过点M作MH⊥CF于点H，由△CHM∽△COF，可知：=，∵t==PM+MH，如图2，当P、M、H在同一直线上时，t的值最小，此时，过P作PK⊥y轴于K，由△PKM∽△COF，可知：=2，∴KM=，∴M（0，），（7分）（3）如图3，当四边形ACSO'是菱形时，过S作SG⊥y轴于G，延长O'C'交x轴于H，∵四边形ACSO'是菱形，∴AO'=AC=SC，AO'∥SC，∴∠AMC=∠BCS，∴∠AO'H+∠MC'O'=∠BCO+∠OCS，∵∠MC'O'=∠BCO，∴∠AO'H=∠OCS，∵∠AHO'=∠CGS，∴△O'AH≌△CSG，∴AH=SG，O'H=CG，Rt△OCB中，sin∠OCB==，∴sin∠BC'H==，设BH=x，则BC'=3x，∴C'H=2x，∴AH=SG=5﹣x，∵O'C'=OC=2，∴C'H=OG=2x，由勾股定理得：AC2=O'A2，∴AO2+OC2=O'H2+AH2，∴=（5﹣x）2+（2+2x）2，解得：x=，当x=时，SG=5﹣x=，OG=2x=，当x=＜0时，不符合题意，舍去，SG=5﹣x=，OG=2x=，此时S的坐标为：或；②如图4，过S作SH⊥AO于H，延长O'B'到y轴交于G，∵SE∥CF，EC∥SF，∴四边形SECF是平行四边形，∴∠ESF=∠ECF，∵四边形ASO'C是菱形，∴∠ASO'=∠ACO'，∴∠ASH=∠O'CG ，同理得：△ASH ≌△O'CG ，∴AH=O'G ，SH=CG ，sin ∠GCB'==，设GB'=x ，则CB'=3x ，CG=2x ， ∴O'G=1+x ，由勾股定理得：AC 2=O'C 2，∴62+（2）2=（2x ）2+（x+1）2 解得：x=， 当x=时，SH=CG=2x=，OH=6﹣AH=6﹣O'G=5﹣x=， 当x=＜0时，不符合题意，舍去，此时，点S 的坐标为：（，）；③如图5，AC 为对角线时，同理可得S （，） ④如图6，过S 作SE ⊥x 轴于E ，延长B'O'交y 轴于H ，延长O'C'交x 轴于G ， 设GB'=x ，则CB'=3x ，CG=2x ，∴O'G=O'H=1+x ，∵∠HO'D=∠O'DA=∠EAS ，易得△SEA ≌△CHO'，同理可得S （，）； ⑤如图7，过S 作SH ⊥x 轴于H ，过O'作O'E ⊥SH 于E ，延长C'O'交x 轴于G ，设OG=x ，则BG=1+x ，∵O'B'∥BG ， ∴， ∴，∴C'G=2（1+x ），∴O'G=C'G ﹣C'O'=2x ， ∴AG=1+x ，同理得：62+（2）2=（1+x ）2+（2x ）2， 解得：x 1=，x 2=（舍），可得S；综上所述，S的坐标为：或或（，）或（，）或（，）．（12分）。
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N M P C
B A 2018年重庆市中考数学26题专题训练
1.抛物线y=﹣x 2﹣2x+3 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交
于点C ，点D 为抛物线的顶点．
（1）求A 、B 、C 的坐标；
（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直
线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x
轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积；当矩
形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ．过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交
于点G （点G 在点F 的上方）．若FG=2DQ ，求点F 的坐标．
2.如图，已知抛物线2
23y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点 （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，连接BC 。
（1）求A 、B 、C 三点的坐标；
（2）若点P 为线段BC 上的一点（不与B 、C 重合），PM ∥y 轴，
且PM 交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，当△BCM 的面积最大时，
求△BPN 的周长；当△BCM 的面积最大时，在抛物线的对称轴上
存在点Q ，使得△CNQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。
3．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于
A 、
B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）。
（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式。
（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点。
①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；
②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度
的
最大值。
4.如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为A ，
且与y 轴交于点C （0，5）．
（1）求直线BC 与抛物线的解析式；
（2）若点M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，过点M 作MN ∥y 轴交直线BC 于点N ，
求MN 的最大值；MN 取得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一点，以BC
为边作平行四边形CBPQ ，设平行四边形CBPQ 的面积为S 1，△ABN 的面积为S 2，且S 1=6S 2，
求点P 的坐标．
5.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线233334y x x =-++交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点W ，顶点为C ，抛物线的对称轴与x 轴的交点为D 。
（1）求直线BC 的解析式。
（2）点E （m ，0），F （m+2，0）为x 轴上两点，其中()4m <<2，EE '，F F '分别垂
直于x 轴，交抛物线与点E '，F '，交BC 于点M ，N ，当ME NF ''+的值最大时，在y
轴上找一点R ，使得RF RE ''-值最大，请求出R 点的坐标及RF RE ''-的最大值。
6.如图，抛物线2
23y x x =-++与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C. 点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与y 轴相交于点E.
（1）求直线AD 的解析式；
（2）如图1，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 的周长的最大值；
（3）点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，以A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是AM 为边的矩形，若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点T 的坐标.。