中考数学难题(拔高)精华26题-WORD整理-直接打印
2021年重庆中考数学第26题几何证明专题训练
2021年重庆中考数学第26题几何证明专题训练1.如图1，在Rt△ACB中，AC=BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．(1)如图1，若AC=6，tan∠ACD=2，求DE的长；(2)如图2，若CE=2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF=DF，在FD上取一点G，使∠EGF=∠CFG，求证：AF=EG；(3)如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC=90°，AC=6，连接AD，将AD绕A点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出△ACH 的面积．2.在△ABC中，∠BAC=90°，点E为AC上一点，AB=AE，AG⊥BE，交BE于点H，交BC于点G，点M是BC边上的点．(1)如图1，若点M与点G重合，AH=2，BC=√26，求CE的长；(2)如图2，若AB=BM，连接MH，∠HMG=∠MAH，求证：AM=2√2HM；(3)如图3，若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN，请直接写出∠AMH、∠NAE、∠MNE之间的角度关系．3.如图，在△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF=120°，线段BC与EF相交于点O．(1)若点O恰好是线段BC与线段EF的中点．①如图1，当点D在线段BC上，A、F、O、E四点在同一条直线上时，已知BC=4√3，DE=√3，求AD的长；②如图2，连接AD，CF相交于点G，连接OG，BG，当BG⊥OG时，求证：BG=√3CG．2(2)若点D与点A重合，CF//AB，H、K分别为OC、AF的中点，连接HK，直接写出HKAE−OF 的值．AC，连接4.在△ABC和△AEF中，∠AFE=∠ABC=90°，∠AEF=∠ACB=30°，AE=12 EC，点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．(1)如图1，若E恰好在线段AC上，AB=2，连接FG，求FG的长度；(2)如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB=√3AB+GC；2GC最大时，直接写出直线AB，(3)如图3，若AB=3，在△AEF旋转过程中，当GB−12AC，BG所围成三角形的面积．5.如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF=90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．(1)如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．(2)将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，(1)中的结论是否成立？说明理由．(3)若AB=5，AE=1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．6.如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．(1)若点E为BD的中点，AD=4，CD=5，求△BCE的面积；(2)如图2，若BC=CD，点F为CD的中点，求证：AB=2AF；(3)如图3，若AB//CD，∠BAD=90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD=90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ.当AB=6√2，AD=4√2，tan∠ABC=2时，求CQ+√10BQ的最小值．107.已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC．(1)如图①，若AB=BD，AB⊥BD，求证：CD=√2AB；(2)如图②，若AB=AD，AB⊥AD，BC=1，求CD的长；(3)如图③，若AD=BD，AD⊥BD，AB=2√5，求CD的长．8.在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．(1)如图1，若AB=3√2，BC=5，求AC的长；(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．9.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥CD交AE于点F，连接OF.以OF为直角边作Rt△OFG，其中∠OFG=90°，连接AG．(1)如图1，若∠EAB=30°，OA=2√3，AB=6，则求CE的长度；(2)如图2，若CF=CD，∠FGO=45°，求证：EC=√2AG+2EF；(3)如图3，动点P从点A运动到点D(不与点A、点D重合)，连接FP，过点P作FP的垂线，又过点D作AD的垂线交FP的垂线于点Q，点A′是点A关于FP的对称点，连接A′Q.若AE=2EC，FG=2OF，EF=1，AG=√5，则在动点P的运动过程中，直接写出A′Q的最小值．10.在正方形ABCD中，E为边CD上一点(不与点C、D重合)，垂直于BE的一条直线MN分别交BC、BE、AD于点M、P、N，正方形ABCD的边长为6．(1)如图1，当点M和点C重合时，若AN=4，求线段PM的长度；(2)如图2，当点M在边BC上时，判断线段AN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线AC上运动时，连接NB，将△BPN沿着BN翻折，点P落在点P′处，AB的中点为Q，直接写出P′Q的最小值．11.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．(1)求∠CPE的度数；(2)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．12. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，分别过点B 作BC 的垂线，过点D 作CD 的垂线，两垂线相交于点E ．(1)如图1，若AD =4，连接AE ，BD ，求三角形ADE 的面积；(2)如图2，点F 是DE 延长线上的一点，点G 为EB 延长线上的一点，且EF =BG ，连接BF ，DG ，DG 交FB 的延长线于点H ，连接AH ，试猜想线段AH ，BH ，HD 的数量关系并证明你的结论；(3)如图3，在(2)的条件下，在AH 上取得一点P ，使得HP =3AP ，已知Q 为直线ED 上一点，连接BQ ，连接QP ，当BQ +QP 最小时，直接写出S △QDC S 菱形ABCD 的值．13. 如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，CD 是边AB 上的高线，E 是AC 上一点，连接BE ，交CD 于点F ．(1)如图1，若∠ABE =15°，BC =√3+1，求DF 的长；(2)如图2，若BF =AC ，过点D 作DG ⊥BE 于点G ，求证：BE =CE +2DG ；(3)如图3，若R 为射线BA 上的一个动点，以BR 为斜边向外作等腰直角△BRH ，M 为RH 的中点.在(2)的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，得到△CE′F′，E ，F 的对应点分别为E′，F′，直线MF′与直线AB 交于点P ，tan∠ACD =13，直接写出当MF′取最小值时RMPF′的值．14. 如图△ABC 为等腰直角三角形，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，连接DE ，以DE 为直角边向上作等腰直角三角形DEF ，连接BE 、BF ．(1)如图1，当CE =AD 时，求证：BF ⊥BD ；(2)如图2，H 为BE 的中点，过点D 作DG ⊥BC 于点G ，连接GH.求证：BF =2HG ；(3)如图3，BE 与DF 交于点R ，延长BF 交AC 于点P ，∠APB 的角平分线交BE 于点Q.若点E 为AC 上靠近点A 的三等分点，且tan∠AED =67，请直接写出BR QR 的值．15. 如图，△ABC 是等边三角形，△BDE 是顶角为120°的等腰三角形，BD =DE ，连接CD ，AE ．(1)如图1，连接AD ，若∠ABE =60°，AB =BE =√3，求CD 的长；(2)如图2，若点F 是AE 的中点，连接CF ，DF.求证：CD =2DF ；(3)如图3，在(2)的条件下，若AB =2√3，BD =2，将△BDE 绕点B 旋转，点H 是△AFC 内部的一点，当DF 最大时，请直接写出2HA +HF +√5HC 的最小值的平方．16.如图，点B，C，D在同一条直线上，△BCF和△ACD都是等腰直角三角形.连接AB，DF，延长DF交AB于点E．(1)如图1，若AD=BD，DE是△ABD的平分线，BC=1，求CD的长度；(2)如图2，连接CE，求证：DE=√2CE+AE；(3)如图3，改变△BCF的大小，始终保持点F在线段AC上(点F与点A，C不重合).将ED绕点E顺时针旋转90°得到EP.取AD的中点O，连接OP.当AC=2时，直接写出OP 长度的最大值．17.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC且∠CAB=90°，E为BC上一点，且BE=AC，过E作EF⊥BC且EF=EC，连接CF．(1)如图1，已知AB=2，连接AE、AF，求△AEF的面积；(2)如图2所示，D为AB上一点，连接DB，作∠DBH=45°交EF于H点，求证：CD=HF+√2CE；(3)已知△ABC面积为8+4√2，D为射线AC上一点，作∠DBH=45°，交射线EF于H，连接DH，点M为DH的中点，当CM有最小值时，请直接写出△CMD的面积．18.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是边BC上的一个动点，点D是射线AC上的一个动点；连接DE，以DE为斜边，在DE右侧作等腰Rt△DFE，再过点D 作DH⊥BC，交射线BC于点H．(1)如图1，若点F恰好落在线段AE上，且∠DEH=60°，CD=3√2，求出DF的长；(2)如图2，若点D在AC延长线上，此时，过F作FG⊥BC于点G，FG与AC边的交点记为M，当AE=DE时，求证：FM+√2MD=AB；(3)如图3，若AB=4√10，点D在AC延长线上运动，点E也随之运动，且始终满足AE=DE，作点E关于DF的对称点E′，连接CF、FE′、DE′，当CF取得最小值时，请直接写出此时四边形CFE′D的面积．19.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A顺时针旋转90°，得到AE，连接DE．(1)如图1所示，若BC=4，在D点运动过程中，当tan∠BDE=8时，求线段CD的长；11(2)如图2所示，点F是线段DE的中点，连接BF并延长交CA延长线于点M，连接DM，交AB于点N，连接CF，AF，当点N在线段CF上时，求证：AD+BF=CF；(3)如图3，若AB=2√3，将△ABC绕点A顺时针旋转得△AB′C′，连接CC′，P为线段CC′上一点，且CC′=√3PC′，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，连接PQ，K 为PQ的中点，连接CK，请直接写出线段CK的最大值．20.在△ABC中，AC=BC，D为△ABC外一点，连接CD．(1)如图1，若∠ACB=60°，CD//AB，连接BD交AC于点E，且CD=2AB=2，求S△BCE．EC，(2)如图2，CE=CD，∠ECB=∠DCA，ED交AB于点F，FG垂直平分EC，且FG=12BF．M，N分别为AF，CD中点，连接MN，求证：MN=12(3)如图3，若∠ACB=90°，CD//AB，将AD绕着A点顺时针旋转60°得到AD′，连接DD′，BD′，且AC=√6，求BD′的最小值．21.已知，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为斜边向右侧作直角△CDE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．(1)如图1，当∠CDE=30°，AD=1，BD=3时，求线段DE的长；(2)如图2，当CE=DE时，求证：点E为线段AF的中点；(3)如图3，当点D与点A重合，AB=4时，过E作EG⊥BA交直线BA于点G，EH⊥BC交直线BC于点H，连接GH，求GH长度的最大值．22.如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，点D是边BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE交AC于点F．(1)如图1，若∠ADC=60°，求证：DF=AF+EF；(2)如图2，在点D运动的过程中，当∠ADC是锐角时，点M在线段DC上，且AM=AD，连接ME，猜想线段ME，MD，AC之间存在的数量关系，并证明你猜想的结论；(3)在点D运动的过程中，当∠ADC是钝角时，点N是线段DE上一动点，连接CN，若AF=m，请直接用含m的代数式表示2CN+√2NE的最小值．CF=3523.如图1，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，∠BAC=60°，CE⊥AB交AB于点E，AE=AD，点F在线段BD上，连接AF．(1)若AC=4，求线段BD的长；(2)如图2，若∠DAF=60°，点M为线段BF的中点，连接CM，证明：2CM=BF+√3AC；(3)如图3，在(2)的条件下，将△ADF绕点A旋转得△AD′F′，连接BF′，点M为线段BF′的中点，连接D′M，当D′M长度取最小时，在线段AB上有一动点N，连接MN，将线段MN绕点M逆时针旋转60°至MN′，连接D′N′，若AC=4，请直接写出(2MN′−√2D′N′)的最小值．。
中考初三数学冲刺拔高专题训练含答案
中考数学冲刺拔高专题训练目录专题提升（一）数形结合与实数的运算. (1)专题提升（二）代数式的化简与求值 (5)专题提升（三）数式规律型问题 (9)专题提升（四）整式方程（组）的应用 (15)专题提升（五）一次函数的图象与性质的应用. (22)专题提升（六）一次函数与反比例函数的综合. (31)专题提升（七）二次函数的图象和性质的综合运用. (41)专题提升（八）二次函数在实际生活中的应用. (48)专题提升（九）以全等为背景的计算与证明. (54)专题提升（十）以等腰或直角三角形为背景的计算与证明. (60)专题提升（十一）以平行四边形为背景的计算与证明. (69)专题提升（十二）与圆的切线有关的计算与证明. (77)专题提升（十三）以圆为背景的相似三角形的计算与. (83)专题提升（十四）利用解直角三角形测量物体高度或宽度. (92)专题提升（十五）巧用旋转进行证明与计算. (99)专题提升（十六）统计与概率的综合运用. (106)专题提升（一）数形结合与实数的运算类型之一数轴与实数【经典母题】如图Z1- 1,通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把.2和—2表示在数轴上.图Z1 — 1【思想方法】（1）在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数.我们说实数和数轴上的点 --- 对应；（2）数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题.利用数轴进行实数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题.【中考变形】1. [2017北市区一模]如图Z1 —2,矩形ABCD的边AD长为2, AB长为1,点A在数轴上对应的数是一1,以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（C ）图Z1—2A. 5+ 1B. 5C. 5—1 D . 1—5【解析】：AD长为2, CD长为1,二AC= . 22+ 12= 5,v A点表示—1 ,二E 点表示的数为,5— 1.2. [2016娄底]已知点M , N, P, Q在数轴上的位置如图Z1—3,则其中对应的数的绝对值最大的点是（D ）图Z1—3A. MB. NC. PD. Q3. [2016天津]实数a, b在数轴上的对应点的位置如图Z1 —4所示，把一a,—b, 0按照从小到大的顺序排列，正确的是（C ）图Z1—4A . —a v 0v—b B. 0v —a v —b【解析】•••从数轴可知a v O v b,A—b v0,—a>0,二—b v O v — a.4. [2017余姚模拟]如图Z1 —5,数轴上的点A, B, C, D, E表示连续的五个整数，若点A, E表示的数分别为x, y,且x+ y = 2，则点C表示的数为（B ）图Z1—5A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】根据题意，知y—x=4,即y= x+ 4,将y=x+ 4代入x+ y= 2,得x+x + 4= 2,解得x=—1,则点A表示的数为一1,则点C表示的数为一1 + 2= 1.5. 如图Z1 —6,在平面直角坐标系中，点P的坐标为（一2, 3）,以点0为圆心，以0P为半径画弧，交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于（A ）图Z1—6A . —4和一3之间B. 3和4之间C.—5和一4之间 D . 4和5之间【解析】•••点P的坐标为（一2, 3）,••• OP= 22+ 32= 13.•••点A, P均在以点0为圆心，以0P为半径的圆上，二OA= OP=%13,•/ 9v 13v 16,二3v 13v 4.•••点A在x轴的负半轴上，•••点A的横坐标介于一4和一3之间.故选A.6. [2017成都改编]如图Z1 —7,数轴上点A表示的实数是 -V2 .图Z1—7【中考预测】如图Z1 —8,数轴上的点A, B分别对应实数a, b,下列结论中正确的是（C ）图Z1—8A . a> b B. |a|> |b|C. —a v bD. a+ b v 0【解析】由图知，a v0v b且|a|v|b|,；a+ b>0,即一a v b,故选C.类型之二实数的混合运算【经典母题】计算：2X (3+ ,5) + 4-2X 5.解：2X (3 + 5)+ 4- 2X 5 = 2X 3 + 2X 5 + 4-2X 5 = 6+ 4+ 2X 5-2X 5=10.【中考变形】1. [2016 台州]计算：4- - 2 + 2「I.1 1 解:原式=2—2+ ~1= 2.1 — 12. [2017 临沂]计算：|1—慣| + 2cos45—<8+ 2 .1 —1 2解：|1—2| + 2cos45°—8+ 2 = 2- 1+ 2X/-2 2+ 2= 2- 1+ 2-2 2+ 2= 1.3. [2017 泸州]计算：(一3)2+ 2 0170- . 18X sin45° .解：(一3)2+ 2 0170- .18X si n45°= 9+ 1-3.2X~2=10-3= 7.【中考预测】1 —1计算：P12 —3tan30 + ( n—4)°— 2 .I —1 ^[3解：.12—3tan30°+ ( — 4)0—= 2 3—3X& + 1—2= 3—1.专题提升(二)代数式的化简与求值类型之一整式的化简与求值【经典母题】已知x+y= 3, xy= 1,你能求出x2+ y2的值吗？(x—y)2呢？解：x2+ y2= (x + y)2—2xy= 32—2X 1 = 7;(x—y)2= (x+ y)2—4xy= 32—4X 1 = 5.【思想方法】利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问题，在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应用，体现了整体思想、对称思想，是中考热点考题.完全平方公式的一些主要变形有：(a+ b)2+ (a—b)2= 2(a2+ b2), (a + b)2—(a —b)2 =4ab, a2+ b2= (a + b)2—2ab= (a—b)2+ 2ab,在四个量a+ b, a—b, ab 和a2+ b2 中，知道其中任意的两个量，能求出(整体代换)其余的两个量.【中考变形】1•已知(m—n)2= 8, (m+ n)2= 2,贝U m2+ n2的值为(C )A . 10 B. 6 C. 5 D. 31 o 12. 已知实数a满足a—-= 3,则a2+y的值为11 .a a1 1 1【解析】将a—舌二3两边平方，可得a2—2+孑=9, 即卩a2+孑=11.3. [2017 重庆B 卷]计算：(x+ y)2—x(2y —x).解:原式=x2+ 2xy+ y2—2xy+ x2= 2x2+ y2.4. [2016漳州]先化简(a+ 1)(a—1)+ a(1 —a) —a,再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系(不必说明理由)?解：原式=a2—1 + a —a2—a=—1.故该代数式的值与a的取值没有关系.【中考预测】1先化简，再求值：(a —b)2+ a(2b—a)，其中a= —q,b = 3.解：原式=a2—2ab+ b2+ 2ab—a2= b2.1当a= —2， b = 3 时，原式=32= 9.类型之二分式的化简与求值 【经典母题】a 2+b 2 ； ab ； x 2 — 4 x-b 2 a 2+ b 2 -2b 2 _ 2b ； ab — ab —【思想方法】 (1)进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序，并结合题目的具 体情况及时化简，以简化运算过程；(2) 注意适当地利用运算律，寻求更合理的运算途径；(3) 分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以便寻求组建公分母 而约分化简；(4) 要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别. 【中考变形】解：原式_ 3a 2— 4 (a — 1) 2 a + 2 a +2a +2(a + 1) (a — 1) a + 2 a +1_ a + 2 • (a — 1) 2_a — 1x 2— 1 卄 x + 1 x 2+ x ，其中 x = 2.x — 1 X (x + 1) _ X x + 1 (x + 1)( x — 1) _x + 1. 22当x _ 2时，原式_笫_ 3 【中考预测】计算：⑴b —b~3x x⑵ x —2—X T 2 2 解:⑴原式二-ab (2)原式=3x (x + 2) — x (x — 2) ~(x — 2)( x + 2)~x 2_ 4 2x 2+ 8x x — x 2 — 4x 2— 42x + 8.1. [2017重庆A 卷]计算:七+a —2 宁 a!^ a + 2 a + 2 2. [2017攀枝花]先化简，再求值:解：原式= x + 1 — 2 X (x + 1)(x + 1)( x — 1)1.解：原式=x 2— 4x + 3 1 x 2 —2x + 1 2x — 3 「3-x x 2一 3x + 2 x — 2，4x + 3 1 1(x — 1) 2 2 3x — 3 (x — 1) (x — 2)一 x — 2 先化简，再求值: 其中x = 4. (x — 2) 2 x 2— x x — 1 2x — 2 x — 2 x 一 3x — 3 x —2=x — 2.当 x =4 时，原式=x — 2 = 2.类型之三二次根式的化简与求值 【经典母题】 已知 a = 3+ 2, b = 3— 2,求 a 2 — ab + b 2 的值. 解：va = ,3+ 2,b = ,3— ,2,：a + b = 2,3, ab = 1, ••• a 2 — ab + b 2 = (a + b)2— 3ab = (2.3)2 — 3= 9. 【思想方法】 在进行二次根式化简求值时，常常用整体思想，把 a + b ，a — b ， ab 当作整体进行代入.整体思想是很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问 题变简单.整体思想在化简、解方程、解不等式中都有广泛的应用，是中考重点 考查的数学思想方法之一. 【中考变形】1 .已知m = 1 + 2, n = 1 — 2,则代数式.m 2+ n 2— 3mn 的值为C . 3 2. [2016仁寿二模]先化简，再求值: 2 a —2 1^2a —b —2ab + b 2 1 1 a —b ，其中 a = V 2+ 1, b=V 2—(a — b ) 2解：原式=丫 +b )( b )十吟=匕(a + b )( a — b ) ab a + bab = ab b — a a +b ，当a =@+ 1, b =迈一1时，原式=—才2 =X — yx y3. [2017绵阳]先化简，再求值：x — 2xy + y ? — x 2_2xy 宁X —"2y ，其中X = 2农，丫=卩 解:原式=F —A 一x(^yr 亠总x —y x — 2y ' x — 2y(x — 2y ) — ( x — y )(x —y )( x — 2y )【中考预测】ab + a (a + b ) + b 2(a + b ) 2=ab ( a + b ) = ab ， 解：原式=「a + b =^ + 些=5, ab =^x 些=1,y x — 2y =(x — y )( x — 2y )x — 2y = 1x —y当 x = 2 2, y = 2时, 原式=一 1不=—2= 1__ J22 .1先化简，再求值： 1 + _ +a +b + b +a (a +b )b ，其中5+ 1 5—1a= 2，b =2 a + bab (a + b )专题提升(三) 数式规律型问题经典母题】观察下列各式：52= 25;152 = 225;252= 625;352= 1 225;你能口算末位数是 5 的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由．解：把末位数是5的自然数表示成10a+ 5的一般形式，其中a为自然数，则(10a + 5)2= 100a2+ 100a + 25= 100a(a+ 1) + 25,因此在计算末位数是 5 的自然数的平方时，只要把100a 与a+ 1 相乘，并在积的后面加上25即可得到结果．【思想方法】模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛，是热点考题之【中考变形】1．小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3－2= 1 ;8+ 7－6－5= 4;15+14+13－12－11－10=9; 24+23+22+21－20－19－18－17=16;根据以上规律可知第10 行左起第 1 个数是( C )A．100 B．121 C．120 D．82【解析】根据规律可知第10行等式的右边是1/= 100,等式左边有20个数加减.••• 这20 个数是120+ 119+ 118+...+ 111—110— 109- 108— (102)101,二左起第1 个数是120.2. [2016邵阳]如图Z3—1，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是(B )图 Z3— 1A . y = 2n + 1B . y = 2n + nC . y = 2n +1 + nD . y = 2n + n + 1【解析】•••观察可知：左边三角形的数字规律为 1, 2,…，n ,右边三角形的数 字规律为21, 22…，2n ,下边三角形的数字规律为1 + 2, 2 + 22,…，n + 2n ,「.最 后一个三角形中y 与n 之间的关系为y =2n + n.3. [2018中考预测]根据图Z3 — 2中箭头的指向规律，从2 017到2 018再到2 019, 箭头的方向是下列选项中的（D ）图 Z3 — 2【解析】 由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，2 017- 4= 504……1,••• 2 017是第505个循环组的第2个数， •••从2 017到2 018再到2 019,箭头的方向是故选D.4. 挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒 没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走.如 Z3 —3中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒， 次应拿走⑤号棒，…则第6次应拿走（D ）A .②号棒B .⑦号棒C .⑧号棒D .⑩号棒 【解析】 仔细观察图形，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒.5. [2017烟台]用棋子摆出下列一组图形（如图Z3 — 4）:图 Z3 — 4按照这种规律摆下去，第n 个图形用的棋子个数为A. 3nB . 6nC . 3n + 6D.3 n + 3 图 Z3— 3 条 图【解析】•••第1个图需棋子3+ 3 = 6;第2个图需棋子3X 2 + 3= 9;第3个图需棋子3X 3+ 3= 12;….••第n个图需棋子（3n+3）个.6•古希腊数学家把数1, 3, 6, 10, 15, 21,…叫做三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…以此类推，那么第9个三角形数是__45__, 2 016是第__63—个三角形数.【解析】根据所给的数据发现：第n个三角形数是1 + 2+ 3+- + n,则第9个三角形数是1 + 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9= 45;由 1 + 2+ 3+ 4+ - + n =2 016,得门（罗"=2 016,解得n = 63（负数舍去）.7. 操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序1 1 1数的倒数加1.如：第1位同学报+ 1，第2位同学报1+ 1，第3位同学报+ 1，… 这样得到的100个数的积为_101_ .1 2 1 3【解析】•••第1位同学报的数为1+ 1= *第2位同学报的数为扌+ 1=号，第3位1 4同学报的数为3+1 = 4，…1 101•••第100位同学报的数为盘+ 1=気1，234 101•这样得到的100个数的积=2乂^X4X —X 100= 101.8. [2017潍坊]如图Z3-5,自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为_9n + 3_ .图Z3 - 5【解析】•••第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，•正方形和等边三角形的和=6+ 6= 12= 9+ 3; v第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，•正方形和等边三角形的和= 11+ 10= 21 = 9X 2 + 3; v第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，•正方形和等边三角形的和= 16+ 14= 30 =9X 3+ 3,….••第n个图中正方形和等边三角形的个数之和= 9n + 3.9. 观察下列等式：第一个等式：a1= — = .2- 1;1 + 7 2第二个等式：4 ,2+;3- 3 2；第三个等式：a3= ,31+ 2=3；第四个等式：1a4= 2+：5= 5 —2；按上述规律，回答以下问题：1 __________⑴用含n的代数式表示第n个等式：a n= 需十= n+ 1 -斤；(2)a i + a2 + a3+・・・+ a n= \/n+ 1 —1【解析】a i + a2+ a3 +…+ a n= ( .2—1)+ ( . 3—, 2) + (2 —. 3) + ( , 5—2) + …+ (n+ 1—n) = n+ 1 —1.10. [2016山西]如图Z3—6是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有4n+ 1个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示).图Z3 — 6【解析】由图可知，涂有阴影的小正方形有5+ 4( n—1) = 4n+ 1(个).11. 如图Z3 —7是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…则第n个图案中有一5n+ 1__根小棒.图Z3 —7【解析】•••第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有6+ 5X 1= 11根小棒，第3个图案中有6+ 5X 2= 16根小棒，….••第n个图案中有6+ 5(n—1)= 5n+ 1根小棒.12. 《庄子天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图Z3 —8所示.1 1 1 1 1由图易得2+22+艺+…+歹=_1—刁_.图Z3 —813. [2016安徽](1)观察图Z3 —9中的图形与等式的关系，并填空：图Z3 —9【解析】1 + 3+ 5+ 7= 16= 42,观察，发现规律：1 + 3= 22, 1 + 3+ 5= 32, 1 + 3 + 5+ 7= 42,…二 1 + 3+ 5 + …+ (2n—1)= n2.⑵观察图Z3 —10,根据⑴中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：图Z3 —101 + 3+ 5+-+ (2n- 1)+ 2n+ 1__+ (2n- 1)+…+ 5+ 3+ 1= 2n2+2n+ 1__.【解析】观察图形发现：图中黑球可分为三部分，1到n行，第n+ 1行，n + 2行到2n+ 1 行，即 1 + 3+ 5+ - + (2n—1)+ [2(n+ 1)—1] + (2n—1)+…+ 5+ 3+ 1 =1 + 3+ 5+ ••• + (2n—1)+ (2n+ 1)+ (2n—1)+ …+ 5+ 3+ 1 = n2+ 2n+ 1+ n2= 2n2 + 2n+ 1.【中考预测】一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图Z3—11方式进行拼接.(1) 若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？(2) 若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？图Z3 —11解：(1)把4张餐桌拼起来能坐4X 4+ 2= 18(人);把8张餐桌拼起来能坐4X 8+ 2= 34(人);⑵设这样的餐桌需要x张，由题意，得4x+ 2= 90,解得x = 22.答：这样的餐桌需要22张.专题提升（四）整式方程（组）的应用类型之一一元一次方程的应用【经典母题】汽车队运送一批货物•若每辆车装 4 t,还剩下8 t未装；若每辆车装4.5 t,恰好装完•这个车队有多少辆车？解：设这个车队有x辆车，依题意，得4x+ 8= 4.5x，解得x= 16.答：这个车队有16辆车.【思想方法】利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式（组）等的基础，是课标要求，也是热门考点. 【中考变形】1 •学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（C ）A. 25 台B. 50 台C. 75 台 D . 100 台【解析】设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是（100—x）台, 根据题意可得x= 3（100—x），解得x= 75.2. [2016盐城校级期中]小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤.妈妈说: “今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”.爸爸说: “报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”.小明说：爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少?请你通过列一元一次方程求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）.解：设上月萝卜的单价是x元/斤，则排骨的单价节产元/斤，根据题意，得3（136 —3x+ 50%)x + 2(1 + 20%) 一2 = 45，…-“36—3x 36—3X 2 .一解得x = 2，贝U 2 = 2 = 15.•••这天萝卜的单价是(1 + 50%)X 2= 3(元/斤)，这天排骨的单价是（1+ 20%）X 15= 18（元/斤）.答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤.【中考预测】[2016株洲模拟]根据如图Z4—1的对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格.图Z4－1解：设笔的价格为x 元/支，则笔记本的价格为3x 元/本，由题意，得10x+ 5X 3x= 30, 解得x= 1.2,—3x= 3.6.答：笔的价格为 1.2元/支，笔记本的价格为 3.6元/本．类型之二二元一次方程组的应用【经典母题】用如图Z4 —2①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有 1 000张正方形纸板和 2 000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？图Z4—2解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，可恰好将库存的纸板用完.4x+ 3y = 2 000, x = 200，根据题意，得解得x+ 2y= 1 000, y = 400.答：竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个，恰好将库存的纸板用完.【思想方法】利用方程（组）解决几何计算问题，是较好的方法，体现了数形结合思想. 【中考变形】1. 小华写信给老家的爷爷，问候“八一”建军节.折叠长方形信纸，装入标准信封时发现：若将信纸按图Z4 —3①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时宽绰 3.8cm；若将信纸按图②三等分折叠后，同样方法装入时宽绰 1.4 cm.试求出信纸的纸长与信封的口宽.①②图Z4—3解：设信纸的纸长为x cm，信封口的宽为y cm.答：信纸的纸长为28.8 cm,信圭寸的口宽为11 cm.2•某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有 10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同•安全检查中，对 4个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时， 2 min 内可以通过560名学生；当同时开启一个正门和一个侧门时，4 min 内可以通过800名学生.⑴求平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？⑵检查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低 20%，安全检 查规定：在紧急情况下全楼的学生应在 5 min 内通过这4个门安全撤离，假设这栋 教学大楼每间教室最多有45名学生，问：该教学楼建造的这4个门是否符合安全 规定？请说明理由.解：(1)设一个正门平均每分钟通过x 名学生，一个侧门平均每分钟通过 y 名学生, 由题意，得2x + 4y = 560,4x + 4y = 800, 答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过 80名学生;(2) 由题意得共有学生45X 10X 4= 1 800(人),45学生通过的时间为 1 800 -[(120 + 80) X 0.8X 2] = (min). 8I 5v 等，：该教学楼建造的这4个门不符合安全规定.【中考预测】随着“互联网+ ”时代的到来，一种新型的手机打车方式受到大众欢迎，该打车 方式的总费用由里程费和耗时费组成， 其中里程费按p 元/km 计算，耗时费按q 元/min 计算(总费用不足9元按9元计价).小明、小刚两人用该打车方式出行，按上 述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：由题意，得X c c y = 4+ 38,y = 3+1.4,解得 x= 28.8, y= 11.解得 x = 120,(1)求p , q 的值；⑵如果小华也用该打车方式，车速 55 km/h ，行驶了 11 km ,那么小华的打车总费 用为多少？解:(1)小明的里程数是8 km ，时间为8 min ;小刚的里程数为10 km,时间为12 min.⑵小华的里程数是11 km ,时间为12 min. 则总费用是11p + 12q = 17(元). 由题意得 8p + 8q = 12, 10p + 12q = 16, 解得P = 1,1q = 2；类型之三一元二次方程的应用【经典母题】某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租 出，每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆.租出的车每辆每月 需要维护费为150元，未租出的车每辆每月只需要维护费 50元.⑴当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到 306 600 元？答：当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆.⑵设每辆车的月租金定为(3 000+ x)元，贝UX x100— 50 [(3 000 + x)— 150] — 50 X 50= 306 600， 解得 X 1 = 900, X 2= 1 200， ••• 3 000+ 900= 3 900(元)，3 000+ 1 200= 4 200(元).答：当每辆车的月租金为 3 900元或4 200元时，月收益可达到306 600元.【思想方法】利润=收入一支出，即利润=租出去车辆的租金一租出去车辆的维护费一未租出去车辆的维护费.【中考变形】1. [2017眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为 6个档次，第一档次(即最低档次)的 产品每天生产76件，每件利润10元.调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品， 该产品每件利润增加2元.(1) 若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2) 由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？解：(1)设此批次蛋糕属第a 档次产品，则10 + 2(a —1)= 14,解得a = 3. 答：此批次蛋糕属第3档次产品.(2)设该烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据题意，得[10 + 2(x — 1)][76 — 4(x — 1)] = 1 080,解得 X 1 = 5, X 2= 11(舍去).解：(1)100— 3 600— 3 000 50答：该烘焙店生产的是第5档次的产品.2. [2017重庆B卷]某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产.(1) 该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg，其中枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？(2) 该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售•该果农去年樱桃的市场销售量为100 kg,销售均价为30元/kg，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg,销售均价为20元/kg,今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%.该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值.【解析】(1)根据“枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍”即可列出不等式求得今年收获樱桃的质量；(2)抓住关键语句，仔细梳理，根据去年、今年樱桃销售量、销售均价，求出各自的销售额，可以用一张表格概括其中数量关系：然后根据“今年樱桃和枇杷的销售总金额与去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同”可列方程求解.解：(1)设该果农今年收获樱桃至少x kg，今年收获枇杷(400- x)kg，依题意，得400—x<7x，解得x>50.答：该果农今年收获樱桃至少50 kg.⑵由题意，得3 000X (1 —m %) + 4 000X (1 + 2m%) X (1 —m%) = 7 000,解得m1=0(不合题意，舍去)，m2= 12.5.答：m的值为12.5.中考预测】某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400 kg.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少20 kg.(1) 当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？(2) 若商场只要求保证每天的盈利为4 420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？解：(1)设每千克涨价x元，总利润为y元.则y= (10+x)(400—20x)=—20x2+ 200x+ 4 000= —20(x—5)2+ 4 500.当x= 5时，y取得最大值，最大值为4 500元.答：当每千克涨价 5 元时，每天的盈利最多，最多为 4 500元；⑵设每千克应涨价a元，则(10+ a)(400 —20a) = 4 420.解得a= 3 或a= 7，为了使顾客得到实惠，••• a= 3.答：每千克应涨价 3 元.专题提升(五)一次函数的图象与性质的应用类型之一 一次函数的图象的应用 【经典母题】图 Z5 — 1【思想方法】 (1)每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，于是也对应着两 条直线•从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值 相等，以及这个函数值是何值；从 “形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标；(2) 一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着独立的概念，但在本质上，后 者是前者的特殊情况，从而可以利用函数图象解决方程或方程组问题，体现出数 形结合的思想. 【中考变形】1 •高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便•五一期间，乐乐和颖颖相约到杭 州市某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1 h 后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车东站，然后转乘出租车去游乐园(换车时间忽略不计)，两人恰好同时 到达游乐园，他们离开衢州的距离y(km)与乘车时间t(h)的关系如图Z5 — 2所示•请 结合图象解决下列问题：图 Z5 — 2(1) 高铁的平均速度是每小时多少千米？(2) 当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？⑶若乐乐要提前18 min 到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少？240解：(1)v = 2—1 = 240(km/h)， 答：高铁的平均速度为240 km/h ；⑵设乐乐离开衢州的距离y 与时间t 的函数关系为y = kt ,贝U 1.5k = 120，k = 80， 二函数表达式为y = 80t ，当 t = 2 时，y = 160，216— 160= 56(km). 答：乐乐距离游乐园还有56 km ；如图Z5- 1,由图象得5x — 2y + 4 = 0,3x + 2y + 12 = 0的解是x = — 2,⑶把 y = 216 代入 y = 80t ，得 t = 2.7,答：乐乐要提前18 min 到达游乐园，私家车的速度必须达到90 km/h.2. [2017宿迁]小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强7：30从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每 个站点停留2 min ，校车行驶途中始终保持匀速，当天早上，小刚7: 39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早 1 min 到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行驶路程 y(km)与行驶时间x(min)之间的函数图象如图Z5 — 3所示.图 Z5 — 3(1) 求点A 的纵坐标m 的值；(2) 小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距 学校站点的路程.解：⑴校车的速度为3詔=0.75(km/min)， 点A 的纵坐标m 的值为3+ 0.75X (8 — 6) = 4.5. 答：点A 的纵坐标m 的值为4.5;(2)校车到达学校站点所需时间为 9P.75+ 4= 16(min)， 出租车到达学校站点所需时间为16— 9— 1= 6(min)， 出租车的速度为9^6= 1.5(km/min)，两车相遇时出租车出发时间为 0.75X (9 — 4)十1.5 — 0.75) = 5(min)， 相遇地点离学校站点的路程为 9— 1.5X 5= 1.5(km).答：小刚乘坐出租车出发后经过 5 min 追到小强所乘坐的校车，此时他们距学校站 点的路程为1.5 km. 3.方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M 地出发沿一条公路匀速前往N 地.设乙行驶的时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y 与t 的函数关系如 图Z5 — 4①所示.方成思考后发现了图①的部分信息：乙先出发 1 h ;甲出发0.5 h与乙相遇…请你帮助方成同学解决以下问题：(1)分别求出线段BC , CD 所在直线的函数表达式；18沪2伽，21624=90(km/h).⑵当20v y v 30时，求t 的取值范围；⑶分别求出甲，乙行驶的路程s 甲, s 乙与时间t 的函数表达式，并在图②所给的直 角坐标系中分别画出它们的图象；4(4)丙骑摩托车与乙同时出发，从 N 地沿同一公路匀速前往 M 地，若丙经过3 h 与 乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？图 Z5 — 4解：(1)设直线BC 的函数表达式为y = kt + b ，k = 40， 解得b = — 60， •••直线BC 的表达式为y =40t —60. 设直线CD 的函数表达式为y 1 = k 1t + b 1，100 7..把3，呼，(4，0)分别代入，得33 1 + 10 = 4k 1+ b 1，k 1 = — 20， 解得 二直线CD 的函数表达式为y 1 = — 20t + 80;b 1 = 80，⑵设甲的速度为a km/h ，乙的速度为b km/h ，根据题意，得0.5a = 1.5b ， 7 彳 7 100 a 3—1= 3b + 2，•••甲的速度为60 km/h ，乙的速度为20 km/h ， •••OA 的函数表达式为y = 20t(0<t < 1)，•••点A 的纵坐标为20, OA 段，AB 段没有符合条件的t 值；9 5当 20v y v 30 时，即 20v 40t — 60v 30或 20v — 20t + 80v 30,解得 2v t v 4或2<t3 7 100把3，0， 7，一亍分别代入，得30 = 2k + b ， 100 73 = 3k + b，解得a = 60,b = 20,v 3;⑶根据题意，得s甲=60t—60 1< t< 7 ,s乙=20t(0< t< 4),所画图象如答图所示；中考变形3答图⑷当t = 3时，s乙= 80,此时丙距M地的路程s丙与时间t的函数表达式为s丙二一40t+ 80(0< t< 2),当—40t + 80= 60t-60 时，解得t= 5,答：丙出发5 h与甲相遇.【中考预测】[2017义乌模拟]甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍•两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)的函数图象如图Z5 —5所示.图Z5 — 5(1) 直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式y = 60x(0vx w 6)__;⑵求乙组加工零件总量a的值；(3) 甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？解：(1)：图象经过原点及(6, 360)，二设表达式为y= kx,—6k= 360,解得k= 60,••• y= 60x(0 v x< 6);(2) 乙2 h加工100件，•••乙的加工速度是每小时50件，•更换设备后，乙组的工作速度是每小时加工100件，a= 100+ 100X (4.8—2.8)= 300;(3) 乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为y= 100+。
初三数学拔高类试卷及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，公差d=2，则S10等于：A. 105B. 110C. 120D. 1302. 函数y=2x+1在定义域内的增减性为：A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数3. 在直角坐标系中，点A（1，2），点B（3，4）关于直线y=x的对称点分别是：A. A'（2，1），B'（4，3）B. A'（2，3），B'（4，1）C. A'（3，2），B'（1，4）D. A'（3，4），B'（1，2）4. 已知三角形ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠C的度数是：A. 60°B. 120°C. 30°D. 90°5. 若x²-3x+2=0，则x²+3x+2=？A. 0B. 2C. 4D. 66. 在平面直角坐标系中，点P（2，3）到直线2x+y-5=0的距离为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 若等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，公比q=3，则S4等于：A. 24B. 18C. 12D. 68. 函数y=√(x-1)的定义域是：A. x≥1B. x≤1C. x>1D. x<19. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=5，公差d=-2，则S6等于：A. -30B. -40C. -50D. -6010. 在平面直角坐标系中，点A（-1，1），点B（1，-1）关于原点的对称点分别是：A. A'（1，-1），B'（-1，1）B. A'（-1，-1），B'（1，1）C. A'（-1，1），B'（1，-1）D. A'（1，1），B'（-1，-1）二、填空题（每题5分，共50分）1. 已知函数y=3x²-6x+1，其顶点坐标为______。
重庆中考数学26题专项
223212++-=x x y 223212++-=x x y 中考26题第二小问专项讲解 第一大类：线段最大值一、基本题型：与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于Ｃ点，例１：如图，抛物线Ｐ为抛物线上ＢＣ上方的一点。
1、过点Ｐ作y 轴的平行线交ＢＣ于Ｍ，求ＰＭ的最大值。
2、过点Ｐ作X 轴的平行线交ＢＣ于Ｍ，求ＰＭ的最大值。
二、变式题型1：过点Ｐ作y 轴的平行线交ＢＣ于Ｍ，作ＰＮ⊥ＢＣ于Ｎ。
3、求ＰＮ的最大值，ＰＭ+ＰＮ的最大值。
4、求∆ＰＭＮ周长的最大值。
5、求∆ＰＭＮ面积的最大值。
三、变式题型2：Ｐ为抛物线上ＢＣ上方的一点。
Ｄ为ＢＣ延长线上的一点且ＣＤ＝ＢＣ6、求∆ＰＢＣ面积的最大值。
7、求∆ＰＤＣ面积的最大值。
第二大类：线段和的最小值x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于Ｃ点，Ｐ为抛物线的顶点。
例2：如图，抛物线与 1、Ｍ是ＢＣ上的一点，求ＰＭ+ＡＭ最小时Ｍ点的坐标。
2、Ｄ为点Ｃ关于x 轴的对称点，Ｍ是ＢＣ上的一点，求ＤＭ+ＰＭ最小时Ｍ点的坐标。
3、Ｍ是ＢＣ上的一点，Ｎ是ＡＣ上的一点，求∆ＯＭＮ周长的最小值及Ｍ点的坐标。
4、Ｍ、Ｎ为直线ＢＣ上的动点，Ｎ在下方且ＭＮ＝5，求ＰＭ+ＭＮ+ＡＮ的最小值。
5、Ｍ、Ｎ为直线ＢＣ上的动点，Ｎ在下方且ＭＮ＝5，Ｄ在抛物线上且在Ｄ与Ｃ对称。
求四边形ＰＭＮＤ周长的最小值。
6、Ｍ为对称轴上的一点，ＭＮ⊥y 轴于Ｎ，Ｄ在抛物线上且在Ｄ与Ｃ对称。
求ＤＭ+ＭＮ+ＮＡ的最小值。
7、Ｍ为对称轴上的一点，ＭＮ⊥y 轴于Ｎ，Ｄ在抛物线上且在Ｄ与Ｃ对称。
求ＤＭ+ＭＮ+ＮＢ的最小值。
8、Ｍ为对称轴上的一点，N 为y 轴上一点，Ｄ在抛物线上且在Ｄ与Ｃ对称。
求ＯＭ+ＭＮ+ＮＤ9、Ｍ为ＢＣ上的一点，求ＰＭ+55ＢＭ的最小值。
10、Ｄ在抛物线上且在Ｄ与Ｃ对称，在ＢC 上找一点N ，M 是x 轴上的一点。
求ＤＭ+ＭＮ的最小值。
26．如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D ，C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与y 轴相交于点E ．（1）求直线AD 的解析式；（2）如图1，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG AD ⊥于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD于点H ，求FGH ∆周长的最大值；（3）如图2，点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一动点，点Q 是坐标平面内一点，四边形APQM 是以PM为对角线的平行四边形，点'Q 与点Q 关于直线AM 对称，连接'MQ ，'PQ ．当'PMQ ∆与□APQM 重合部分的面积是□APQM 面积的14时，求□APQM 面积． 图1 图2 备用图26.抛物线与直线相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（-3，3），点B 的坐标为 （3，b ）。
重庆2021年中考数学26题几何专题(1)
重庆2021年中考数学26题几何专题（1）26（重庆八中2021级第二次定时练习）在ABC ∆中，=62AB AC =,90BAC ∠=,AD BC ⊥于点D ，E 为线段AD 上的一点，:2:1AE DE =,以AE 为直角边在直线AD 右侧构造等腰Rt AEF ∆，使90EAF ∠=,连接CE ，G 为CE 的中点.（1）如图1，EF 与AC 交于点H ，连接GH ，求线段GH 的长度.（2）如图2，将AEF ∆绕点A 逆时针旋转，旋转角为α且45135α<<，H 为线段EF 的中点，连接,DG HG ，猜想DGH ∠的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）如图3，连接BG ，将AEF ∆绕点A 逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出BG 长度的最大值.（重庆八中2021级入学测试）在R t△ABC 中，∠CAB=90︒，点D是边A B的中点，连接CD ，点E在边B C 上，且A E⊥CD交CD 于点F.（1）如图1，当∠ACB = 60︒时，若CD = 7，求AF 的长；（2）如图 2，当∠ACB = 45︒时，连接BF ，求证：CD +DF =AF +（3）如图3，当∠ACB = 75︒时，直接写出F A的值．CF2BF ；24. （重庆育才2021级入学测试）如图，平行四边形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，点M 为BC 上一点，连接AM ，且AB AM =，AE 为△ABC 边BM 的中线，AF AB ⊥,EG GD ⊥，延长FO 交AB 于点N .（1）若4BM =，6MC =,10AC =,求AM 的长度；（2）若45ACB ∠=,求证：2AN AF FG +=26.(西师附中2021级入学测试)在△ABC ，AB = BC ，∠ABC = 90︒（1）如图1，点D 在BC 上，DE ⊥BC 于点D ，连接BE ，若∠DBE = 60︒,AC=42,BD= 23求线段AE 的长（2）如图 2，点 D 在△ABC 内部，连接 AD ， BD ， CD ， F 是 CD 的中点，连接 BF ，若∠BAD = ∠CBF ，求证： ∠DBF = 45︒ ；（3）如图 3， A 点关于直线 BC 的对称点为 A ' ，连接 A 'C ，点 D 是△A 'AC 内部一动点，∠ADC = 90︒ ，若 AC = 4 ，当线段 A 'D 最短时，直接写出△ABD 的面积．26.（重庆南开中学2021级入学测试）如图1，正方形ABCD 中，G 为线段BC 上一点连接AG ，过G 做AG ⊥GE 交BC 于E ，连接AE 。
中考数学 拔高题练习题(完美版)
中考数学拔高题练习题一．选择题（共14小题）1．（2014?陕西）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A ．c＞﹣1 B．b＞0 C．2a+b≠0D．9a+c＞3b2．（2014?陕西）如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（）A ．4 B．C．D．53．（2014?娄底）一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A ．B．C．D．4．（2014?娄底）如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（）A ．40°B．45°C．50°D．60°5．（2014?深圳）袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（）A ．B．C．D．6．（2014?深圳）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（）A ．600﹣250B．600﹣250 C．350+350D．5007．（2014?深圳）二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为（）①bc＞0；②2a﹣3c＜0；③2a+b＞0；④ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0；⑤a+b+c＞0；⑥当x＞1时，y随x增大而减小．A ．2 B．3 C．4 D．58．（2014?深圳）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD=，E为CD中点，连接AE，且AE=2，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF=（）A ．1 B．3﹣C．﹣1 D．4﹣29．（2014?汕头）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A ．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x ＜，y随x的增大而减D．当﹣1＜x＜2时，y＞0小10．（2014?天水）如图，扇形OAB动点P从点A 出发，沿线段B0、0A匀速运动到点A，则0P的长度y 与运动时间t之间的函数图象大致是（）A ．B．C．D．11．（2014?天水）如图，是某公园的一角，∠AOB=90°，的半径OA长是6米，点C是OA的中点，点D 在上，CD∥OB，则图中草坪区（阴影部分）的面积是（）A．（3π+）平方米B．（π+）平方米C ．（3π+9）平方米D．（π﹣9）平方米12．（2014?绥化）如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A ．2个B．3个C．4个D．5个13．（2014?绥化）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，下列结论正确的是（）A ．b2＞4ac B．ac＞0 C．a﹣b+c＞0 D．4a+2b+c＜014．（2014?海南）已知k1＞0＞k2，则函数y=k1x和y=的图象在同一平面直角坐标系中大致是（）A ．B．C．D．二．填空题（共15小题）15．（2014?陕西）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．16．（2014?娄底）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由个▲组成．17．（2014?娄底）如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO 的周长是．18．（2014?成都）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=度．19．（2014?成都）在平面直角坐标系中，已知一次函数y=2x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1y2．（填“＞”“＜”或“=”）20．（2014?深圳）如图，双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足=，与BC交于点D，S△BOD=21，求k=．21．（2014?深圳）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有．22．（2014?汕头）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于．23．（2014?天水）如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（）24．（2014?天水）如图，点A是反比例函数y=的图象上﹣点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y=的图象于点C，则△OAC的面积为．25．（2014?绥化）矩形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B 落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为．26．（2014?绥化）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是．27．（2014?沈阳）如图，△ABC三边的中点D，E，F组成△DEF，△DEF三边的中点M，N，P组成△MNP，将△FPM与△ECD涂成阴影．假设可以随意在△ABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为．28．（2014?海南）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD 的度数为90°，则∠B的度数是．29．（2014?海南）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE=．三．解答题（共1小题）30．（2014?海南）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF．（1）求证：△OAE≌△OBG；（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由；（3）试求：的值（结果保留根号）．中考数学拔高题练习题(解析版)一．选择题（共14小题）1．（2014?陕西）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A ．c＞﹣1 B．b＞0 C．2a+b≠0D．9a+c＞3b考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题；数形结合．分析：由抛物线与y轴的交点在点（0，﹣1）的下方得到c＜﹣1；由抛物线开口方向得a＞0，再由抛物线的对称轴在y轴的右侧得a、b异号，即b＜0；根据抛物线的对称性得到抛物线对称轴为直线x=﹣，若x=1，则2a+b=0，故可能成立；由于当x=﹣3时，y＞0，所以9a﹣3b+c＞0，即9a+c＞3b．解答：解：∵抛物线与y轴的交点在点（0，﹣1）的下方．∴c＜﹣1；故A错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=﹣＞0，∴b＜0；故B错误；∵抛物线对称轴为直线x=﹣，∴若x=1，即2a+b=0；故C错误；∵当x=﹣3时，y＞0，∴9a﹣3b+c＞0，即9a+c＞3b．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．2．（2014?陕西）如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（）A ．4 B．C．D．5考点：菱形的性质．专题：几何图形问题．分析：连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC?AE=AC?BD可得答案．解答：解：连接BD，交AC于O点，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，∴AC⊥BD，AO=AC，BD=2BO，∴∠AOB=90°，∵AC=6，∴AO=3，∴B0==4，∴DB=8，∴菱形ABCD的面积是×AC?DB=×6×8=24，∴BC?AE=24，AE=，故选：C．点评：此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的性质面积，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．3．（2014?娄底）一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A ．B．C．D．考点：一次函数的图象．分析：首先根据k的取值范围，进而确定﹣k＞0，然后再确定图象所在象限即可．解答：解：∵k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，故选：A．点评：此题主要考查了一次函数图象，直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．4．（2014?娄底）如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（）A ．40°B．45°C．50°D．60°考点：平行线的性质．分析：由把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=40°，可求得∠3的度数，又由AB∥CD，根据“两直线平行，同位角相等“即可求得∠2的度数．解答：解：∵∠1+∠3=90°，∠1=40°，∴∠3=50°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=50°．故选：C．点评：此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．5．（2014?深圳）袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（）A ．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽取的两个球数字之和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，抽取的两个球数字之和大于6的有10种情况，∴抽取的两个球数字之和大于6的概率是：=．故选：C．点本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，评：列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．（2014?深圳）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（）A ．600﹣250B．600﹣250 C．350+350D．500考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何图形问题．分析：构造两个直角三角形△ABE与△BDF，分别求解可得DF与EB的值，再利用图形关系，进而可求出答案．解答：解：∵BE：AE=5：12，=13，∴BE：AE：AB=5：12：13，∵AB=1300米，∴AE=1200米，BE=500米，设EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=x米．又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．即：1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．∴DF=x=600﹣750，∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．答：山高CD为（600﹣250）米．故选：B．点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助坡比、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．7．（2014?深圳）二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为（）①bc＞0；②2a﹣3c＜0；③2a+b＞0；④ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0；⑤a+b+c＞0；⑥当x＞1时，y随x增大而减小．A ．2 B．3 C．4 D．5考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线开口向上可得a＞0，结合对称轴在y轴右侧得出b＜0，根据抛物线与y轴的交点在负半轴可得c ＜0，再根据有理数乘法法则判断①；再由不等式的性质判断②；根据对称轴为直线x=1判断③；根据图象与x轴的两个交点分别在原点的左右两侧判断④；由x=1时，y＜0判断⑤；根据二次函数的增减性判断⑥．解答：解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号即b＜0，∵抛物线与y轴的交点在负半轴，∴c＜0，∴bc＞0，故①正确；②∵a＞0，c＜0，∴2a﹣3c＞0，故②错误；③∵对称轴x=﹣＜1，a＞0，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故③正确；④由图形可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别在原点的左右两侧，即方程ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0，故④正确；⑤由图形可知x=1时，y=a+b+c＜0，故⑤错误；⑥∵a＞0，对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x增大而增大，故⑥错误．综上所述，正确的结论是①③④，共3个．故选：B．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．8．（2014?深圳）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD=，E为CD中点，连接AE，且AE=2，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF=（）A ．1 B．3﹣C．﹣1 D．4﹣2考点：等腰梯形的性质．专题：压轴题．分析：延长AE交BC的延长线于G，根据线段中点的定义可得CE=DE，根据两直线平行，内错角相等可得到∠DAE=∠G=30°，然后利用“角角边”证明△ADE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=AD，AE=EG，然后解直角三角形求出AF、GF，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，根据等腰梯形的性质可得BM=CN，再解直角三角形求出MG，然后求出CN，MF，然后根据BF=BM﹣MF计算即可得解．解答：解：如图，延长AE交BC的延长线于G，∵E为CD中点，∴CE=DE，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠G=30°，在△ADE和△GCE中，，∴△ADE≌△GCE（AAS），∴CG=AD=，AE=EG=2，∴AG=AE+EG=2+2=4，∵AE⊥AF，∴AF=AGtan30°=4×=4，GF=AG÷cos30°=4÷=8，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，则MN=AD=，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BM=CN，∵MG=AG?cos30°=4×=6，∴CN=MG﹣MN﹣CG=6﹣﹣=6﹣2，∵AF⊥AE，AM⊥BC，∴∠FAM=∠G=30°，∴FM=AF?sin30°=4×=2，∴BF=BM﹣MF=6﹣2﹣2=4﹣2．故选：D．点评：本题考查了等腰梯形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形，过上底的两个顶点作出梯形的两条高．9．（2014?汕头）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A ．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x ＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0考点：二次函数的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x ＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．10．（2014?天水）如图，扇形OAB动点P从点A 出发，沿线段B0、0A匀速运动到点A，则0P的长度y 与运动时间t之间的函数图象大致是（）A ．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：动点型．分析：分点P在弧AB上，在线段BO上，线段OA上三种情况讨论得到OP的长度的变化情况，即可得解．解答：解：点P在弧AB上时，OP的长度y等于半径的长度，不变；点P在BO上时，OP的长度y从半径的长度逐渐减小至0；点P在OA上时，OP的长度从0逐渐增大至半径的长度．纵观各选项，只有D选项图象符合．故选：D．点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据点P的位置分点P在弧上与两条半径上三段讨论是解题的关键．11．（2014?天水）如图，是某公园的一角，∠AOB=90°，的半径OA长是6米，点C是OA的中点，点D在上，CD∥OB，则图中草坪区（阴影部分）的面积是（）A．（3π+）平方米B．（π+）平方米C ．（3π+9）平方米D．（π﹣9）平方米考点：扇形面积的计算．专题：应用题．分析：连接OD，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠CDO=30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠COD=60°，根据两直线平行，内错角相等可得∠BOD=∠CDO，然后根据S阴影=S△COD+S扇形OBD列式计算即可得解．解答：解：如图，连接OD，∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴∠OCD=180°﹣∠AOB=180°﹣90°=90°，∵点C是OA的中点，∴OC=OA=OD=×6=3米，∴∠CDO=30°，∴∠COD=90°﹣30°=60°，∴CD=OC=3，∵CD∥OB，∴∠BOD=∠CDO=30°，∴S阴影=S△COD+S扇形OBD，=×3×3+，=+3π．故选：A．点评：本题考查了扇形的面积计算，主要利用了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，作辅助线，把阴影部分分成直角三角形和扇形两个部分是解题的关键．12．（2014?绥化）如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A ．2个B．3个C．4个D．5个考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．专题：几何图形问题．分析：①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确；②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据HE=AE﹣AH=BC﹣CD，BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=2HE，判断出④正确；⑤判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误．解答：解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB，∵AD=AB，∴AE=AD，在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；∵AB=AH，∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=67.5°=∠AED，∴OE=OH，∵∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DHO=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，在△BEH和△HDF中，，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；∵HE=AE﹣AH=BC﹣CD，∴BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=BC﹣（CD﹣HE）=（BC﹣CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：C．点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．13．（2014?绥化）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，下列结论正确的是（）A ．b2＞4ac B．ac＞0 C．a﹣b+c＞0 D．4a+2b+c＜0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向下得a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对C选项进行判断；由于x=2时，函数值大于0，则有4a+2b+c＞0，于是可对D选项进行判断．解答：解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，所以C选项错误；∵当x=2时，y＞0，故选：A．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．14．（2014?海南）已知k1＞0＞k2，则函数y=k1x和y=的图象在同一平面直角坐标系中大致是（）A ．B．C．D．考点：反比例函数的图象；正比例函数的图象．专题：数形结合．分析：根据反比例函数y=（k≠0），当k＜0时，图象分布在第二、四象限和一次函数图象与系数的关系进行判断；解答：解：∵k1＞0＞k2，∴函数y=k1x的结果第一、三象限，反比例y=的图象分布在第二、四象限．故选：C．点评：本题考查了反比例函数的图象：反比例函数y=（k≠0）为双曲线，当k＞0时，图象分布在第一、三象限；当k＜0时，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．二．填空题（共15小题）15．（2014?陕西）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是4．考点：垂径定理；圆周角定理．专题：压轴题．分析：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，则△OAB为等腰直角三角形，所以AB=OA=2，由于S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，而当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB?CD+AB?CE=AB（CD+CE）=AB?DE=×2×4=4．解答：解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=2，∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值=S=S△DAB+S△EAB=AB?CD+AB?CE=AB（CD+CE）=AB?DE=×2×4=4．故答案为：4．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．16．（2014?娄底）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由3n+1个▲组成．考点：规律型：图形的变化类．专题：规律型．分析：仔细观察图形，结合三角形每条边上的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可．解答：解：观察发现：第一个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；…第n个图形有3（n+1）﹣3+1=3n+1个三角形；故答案为：3n+1．点评：考查了规律型：图形的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．17．（2014?娄底）如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是9．考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．分析：根据平行四边形的性质得出DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，求出OE=CD，求出△DEO的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD），代入求出即可．解答：解：∵E为AD中点，四边形ABCD是平行四边形，∴DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，∴OE=CD，∵△BCD的周长为18，∴BD+DC+BC=18，∴△DEO的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD）=×18=9，故答案为：9．点评：本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出DE=BC，DO=BD，OE=DC．18．（2014?成都）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=40度．考点：切线的性质；圆周角定理．题：分析：连接OD，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于CD，根据OA=OD，利用等边对等角得到∠A=∠ODA，求出∠ODA的度数，再由∠COD为△AOD外角，求出∠COD度数，即可确定出∠C的度数．解答：解：连接OD，∵CD与圆O相切，∴OD⊥DC，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA=25°，∵∠COD为△AOD的外角，∴∠COD=50°，∴∠C=90°﹣50°=40°．故答案为：40点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．19．（2014?成都）在平面直角坐标系中，已知一次函数y=2x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1＜y2．（填“＞”“＜”或“=”）考点：一次函数图象上点的坐标特征．分析：根据一次函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大．解答：解：∵一次函数y=2x+1中k=2＞0，∴y随x的增大而增大，∵x1＜x2，∴y1＜y2．故答案为：＜．点评：此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．20．（2014?深圳）如图，双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足=，与BC交于点D，S△BOD=21，求k=8．考点：反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质．分析：过A作AE⊥x轴于点E，根据反比例函数的比例系数k的几何意义可得S四边形AECB=S△BOD，根据△OAE∽△OBC，相似三角形面积的比等于相似比的平方，据此即可求得△OAE的面积，从而求得k的值．解答：解：过A作AE⊥x轴于点E．∵S△OAE=S△OCD，∴S四边形AECB=S△BOD=21，∵AE∥BC，∴△OAE∽△OBC，∴==（）2=，∴S△OAE=4，则k=8．故答案是：8．评：形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．21．（2014?深圳）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有485．考点：规律型：图形的变化类．专题：压轴题；规律型．分析：由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5×3+2=17个正三角形，第三个图形中17×3+2=53个正三角形，由此得出第四个图形中53×3+2=161个正三角形，第五个图形中161×3+2=485个正三角形．解答：解：第一个图形正三角形的个数为5，第二个图形正三角形的个数为5×3+2=2×32﹣1=17，第三个图形正三角形的个数为17×3+2=2×33﹣1=53，第四个图形正三角形的个数为53×3+2=2×34﹣1=161，第五个图形正三角形的个数为161×3+2=2×35﹣1=485．如果是第n个图，则有2×3n﹣1个故答案为：485．点评：此题考查图形的变化规律，找出数字与图形之间的联系，找出规律解决问题．22．（2014?汕头）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于﹣1．考点：旋转的性质；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，进而求出阴影部分的面积．解答：解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，∴AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．23．（2014?天水）如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（（9.5，﹣0.25））考点：二次函数图象与几何变换．专题：规律型．分根据旋转的性质，可得图形的大小形状没变，可得答案．解答：解：y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1），OA1=A1A2=1，P2P4=P1P3=2，P2（1.5，﹣0.25）P10的横坐标是1.5+2×[（10﹣2）÷2]=9.5，p10的纵坐标是﹣0.25，故答案为（9.5，﹣0.25）．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，注意旋转前后的图形大小与形状都没发生变化是解题关键．24．（2014?天水）如图，点A是反比例函数y=的图象上﹣点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB 交反比例函数y=的图象于点C，则△OAC的面积为2．考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：代数几何综合题．分析：由于AB⊥x轴，根据反比例函数k的几何意义得到S△AOB=3，S△COB=1，然后利用S△AOC=S△AOB﹣S△COB进行计算．解答：解：∵AB⊥x轴，∴S△AOB=×|6|=3，S△COB=×|2|=1，∴S△AOC=S△AOB﹣S△COB=2．故答案为：2．点评：本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．25．（2014?绥化）矩形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为3或6．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：分类讨论．分析：分两种情况：①当∠EFC=90°时，先判断出点F在对角线AC上，利用勾股定理列式求出AC，设BE=x，表示出CE，根据翻折变换的性质可得AF=AB，EF=BE，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；②当∠CEF=90°时，判断出四边形ABEF是正方形，根据正方形的四条边都相等可得BE=AB．解答：解：①当∠EFC=90°时，如图1，∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，∴点A、F、C共线，∵矩形ABCD的边AD=8，∴BC=AD=8，在Rt△ABC中，AC===10，设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x，由翻折的性质得，AF=AB=6，EF=BE=x，∴CF=AC﹣AF=10﹣6=4，即x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，即BE=3；②当∠CEF=90°时，如图2，由翻折的性质得，∠AEB=∠AEF=×90°=45°，∴四边形ABEF是正方形，∴BE=AB=6，综上所述，BE的长为3或6．故答案为：3或6．点评：本题考查了翻折变化的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，此类题目，利用勾股定理列出方程求解是常用的方法，本题难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．26．（2014?绥化）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（﹣1，﹣1）．考点：规律型：点的坐标．专题：规律型．分析：根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．解答：解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），∴AB=1﹣（﹣1）=2，BC=1﹣（﹣2）=3，CD=1﹣（﹣1）=2，DA=1﹣（﹣2）=3，∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，2014÷10=201…4，∴细线另一端在绕四边形第202圈的第4个单位长度的位置，即线段BC的中间位置，点的坐标为（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．点评：本题主要考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2014个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．27．（2014?沈阳）如图，△ABC三边的中点D，E，F组成△DEF，△DEF三边的中点M，N，P组成△MNP，将△FPM与△ECD涂成阴影．假设可以随意在△ABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为．考点：三角形中位线定理；几何概率．专题：几何图形问题．分析：先设阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案．解答：解：∵D、E分别是BC、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴ED∥AB，且DE=AB，∴△CDE∽△CBA，。
初三拔高试卷数学及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^2 - 4x + 4$，则该函数的对称轴是：A. $x=2$B. $y=2$C. $x=-2$D. $y=-2$2. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠BAC=40°，则∠B的度数是：A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°3. 若等比数列{an}的前三项分别是2，4，8，则该数列的公比是：A. 1B. 2C. 4D. 84. 下列函数中，在其定义域内是奇函数的是：A. $f(x) = x^2$B. $f(x) = |x|$C. $f(x) = \frac{1}{x}$D. $f(x) = x^3$5. 已知直角坐标系中，点A（2，3），点B（4，1），则线段AB的中点坐标是：A. （3，2）B. （3，3）C. （4，2）D. （4，3）6. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则sinA的值是：A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{4}$D. $\frac{12}{25}$7. 若方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$的两根为x1和x2，则x1+x2的值是：A. 1B. 2C. $\frac{3}{2}$D. $\frac{1}{2}$8. 在平面直角坐标系中，点P（m，n）到原点的距离是5，则m和n的可能取值是：A. m=5，n=0 或 m=0，n=5B. m=±5，n=0 或 m=0，n=±5C. m=±5，n=±5D. m=0，n=09. 下列不等式中，正确的是：A. $2x > x$B. $2x < x$C. $2x \geq x$D. $2x \leq x$10. 已知等差数列{an}的前三项分别是3，5，7，则该数列的第10项是：A. 15B. 17C. 19D. 21二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数$f(x) = 2x - 3$的图像与x轴的交点坐标是______。
九年级数学难题精选(有答案)
一、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF ∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，故抛物线为y=﹣x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，解得故直线AC为y=x+1；（2）作N点关于直线x=3的对称点N'，则N'（6，3），由（1）得D（1，4），故直线DN'的函数关系式为y=﹣x+，当M（3，m）在直线DN'上时，MN+MD的值最小，则m=﹣×=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）∵点E在直线AC上，设E（x，x+1），①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3，解得，x=0或x=1（舍去）∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=∴E（，）或（，）综上，满足条件的点E为E（0，1）、（，）或（，）；（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）∴PQ=（-x2+2x+3）-（x﹣1）=-x2+x+2又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ·AG=（-x2+x+2）×3=-（x﹣）2+∴面积的最大值为．二、已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连结AD、BD、BE。
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中考数学精选26题1．如图，矩形ABCD 中，3AB =cm ，6AD =cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且2EF BE =，则AFC S =△ 2cm ．2 ．5月23日8时40分，哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发，途中除3次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成都．描述上述过程的大致图象是（ ）3如图，将ABC △沿DE 折叠，使点A 与BC 边的中点F 重合，下列结论中：①EF AB ∥且12EF AB =；②BAF CAF ∠=∠； ③12ADFE S AF DE =g 四边形； ④2BDF FEC BAC∠+∠=∠，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44 如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。
在这个过程中，△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是（ ）5如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后，折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan ∠AED=2；③S △AGD=S △OGD ；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 .6 福娃们在一起探讨研究下面的题目：A D CE F G Bt t A ． Ｂ． C ． D ．F 第3题图参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（ ）贝贝：我注意到当 0x =时，0y m =>． 晶晶：我发现图象的对称轴为12x =．欢欢：我判断出12x a x <<. 迎迎：我认为关键要判断1a -的符号，m 可以取一个特殊的值．7 正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ）A ．43B ．34 C ．45D ．358 一个函数的图象如图，给出以下结论： ①当0x =时，函数值最大；②当02x <<时，函数y 随x 的增大而减小； ③存在001x <<，当0x x =时，函数值为0．其中正确的结论是（ ）A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③9．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ）10 如图，水平地面上有一面积为230cm π的扇形AOB ，半径OA=6cm ，且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，则O 点移动的距离为（ ）A 、20cmB 、24cmC 、10cm πD 、30cm π11 在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（ ） A 、b a c =+ B 、b ac =C 、222b ac =+ D 、22b a c ==12 古尔邦节，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节．圆桌半径为60cm ，每人离圆桌的距离均为10cm ，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为x ，根据题意，可列方程（ ）A ．2π(6010)2π(6010)68x +++=B ．2π(60)2π6086x +⨯=C ．2π(6010)62π(60)8x +⨯=+⨯D ．2π(60)82π(60)6x x -⨯=+⨯13 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2， 则该半圆的半径为（ ）．A ． (45)+ cmB ． 9 cmC ． 45cmD ． 62cm14 如图，A B C D ，，，为O e 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O C D O ---路线作匀速运动，设运动时间为t （s ）．()APB y =o∠，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是（ ）15 如图，边长为a 的正ABC △内有一边长为b 的内接正DEF △，则AEF △的内切圆半径为．16 如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线， B 为切点．则B 点的坐标为A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5823, B ．()13,- C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-5954, D ．()31,-17 如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点1232008P P P P L ，，，，的位置，则点2008P 的横坐标为 ．A B C DOP B ．ty 045 90 D ．t y 045 90 A ．ty45 90 C ．ty 045 90 （第15题） x y O 1 1 BAL L1P A O yx（第17题）P18 如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．19 课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题小组成员把他们分别标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录．这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分别被标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象的记录）．那么标号为100的微生物会出现在（ ） A ．第3天 B ．第4天 C ．第5天 D ．第6天20如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5 个21.有一个附有进出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的.设从某一时刻开始5分钟内只进水不出水，在接着的2分钟内只出水不进水，又在随后的15分钟内既进水又出水，刚好将该容器注满.已知容器中的水量y 升与时间x 分之间的函数关系如图所示.则在第7分钟时，容器内的水量为 升.A.15 B.16 C.17 D.1821.如图，⊙O 1、⊙O 2内切于P 点，连心线和⊙O 1、⊙O 2分别交于A 、B 两点，过P 点的直线与⊙O 1、⊙O 2分别交于C 、D 两点，若∠BPC=60º，AB=2，则CD= .A.1B.2C.21D.41第（18）题图① 第（18）题图②（第19题）• •DPO 1O 2A C)B ED A CO22.已知:如图所示,抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=-1，与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且OB=OC ，则下列结论：①b=2a ②a-b+c>-1 ③0<b 2-4ac<4 ④ac+1=b ，其中正确的个数是 .A.1个B.2个C.3个D.4个23.已知:如图,∠ACB=90º,以AC 为直径的⊙O 交AB 于D 点，过D 作⊙O 的切线交BC 于E 点，EF ⊥AB 于F 点， 连OE 交DC 于P ，则下列结论:①BC=2DE ； ②OE ∥AB; ③DE=2PD ； ④AC•DF =DE•CD .其中正确的有 .A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④24 已知:如图，直线MN 切⊙O 于点C ，AB 为⊙O 的直径，延长BA 交直线MN 于M点， AE ⊥MN ，BF ⊥MN ，E 、F 分别为垂足，BF 交⊙O 于G ，连结AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB ， D 为垂足,连结OC 、CG. 下列结论：其中正确的有 .①CD=CF=CE ； ②EF 2=4AE •BF; ③AD •DB=FG •FB ； ④MC •CF=MA •BF. A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④25 如图，M 为⊙O 上的一点,⊙M 与⊙O 相交于A 、B 两点，P 为⊙O 上任意一点，直线PA 、PB 分别交⊙M 于C 、D 两点，直线CD 交⊙O 于E 、F 两点，连结PE 、PF 、BC ， 下列结论：①PE=PF ； ②PE 2=PA ·PC; ③EA ·EB=EC ·ED ；④rRBC PB =（其中R 、r 分别为⊙O 、⊙M 的半径）. 其中正确的有 .A.①②③B.①②④C.②④D.①②③④26 如图，菱形OABC 中，120A =o∠，1OA =，将菱形OABC绕点O 按顺时针方向旋转90o，则图中由¼BB'，B A ''，¼A C '，CB 围成的阴影部分的面积是 ．•ACDFBP O E•MABF OGCDEN··BA DPO FM EC '（第26题）参考答案：1 9 2D 3B 4B 5（1，4，5） 6 C 7D 8 C 9 C 10 C 11 A 12 A 13C 14 C15．()6a b - 16D 17 2008 18．1O ，3O ，如图① （提示：答案不惟一，过31O O 与42O O 交点O 的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分）；5O ，O ，如图② （提示：答案不惟一，如4AO ，3DO ，2EO ，1CO 等均可）．19 C 20 D252π3第（18）题图②。