第五单元 函数及其图象第17课时 二次函数的图象和性质

第17课时二次函数的图象和性质(68分)一、选择题(每题4分，共32分)1．[2014·新疆]对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是(C) A．开口向下B．对称轴是x＝－1C．顶点坐标是(1，2) D．与x轴有两个交点2．把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y＝(x－1)2－4，则b，c的值为(B) A．b＝2，c＝－3 B．b＝4，c＝3C．b＝－6，c＝8 D．b＝4，c＝－7【解析】函数y＝(x－1)2－4的顶点坐标为(1，－4)，∵新图象是由原图象先向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，且1－3＝－2，－4＋3＝－1，∴平移前的抛物线的顶点坐标为(－2，－1)，∴平移前的抛物线解析式为y＝(x＋2)2－1，即y＝x2＋4x＋3，∴b＝4，c＝3.故选B.3．[2015·台州]设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l.若点M在直线l 上，则点M的坐标可能是(B) A．(1，0) B．(3，0) C．(－3，0) D．(0，－4) 4．[2015·泰安]某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出了下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是(D) A．－11 B．－2 C．1 D．－5【解析】由函数图象关于对称轴对称，得(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)在函数图象上，把(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)代入函数解析式，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝－2，c ＝1，a ＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝0，c ＝1，函数解析式为y ＝－3x 2＋1，x ＝2时y ＝－11.5．[2014·金华]如图17－1是二次函数y ＝－x 2＋2x ＋4的图象，使y ≤1成立的x 的取值范围是 (D)A ．－1≤x ≤3B ．x ≤－1C ．x ≥1D ．x ≤－1或x ≥36．[2015·泰安]在同一坐标系中，一次函数y ＝－mx ＋n 2与二次函数y ＝x 2＋m 的图象可能是(D)【解析】 先由一次函数y ＝－mx ＋n 2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y ＝x 2＋m 的图象相比较看是否一致．7．[2015·巴中]已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图17－2所示，对称轴是直线x ＝－1，下列结论： ①abc ＜0；②2a ＋b ＝0；③a －b ＋c ＞0；④4a －2b ＋c ＜0.其中正确的是(D) A ．①② B ．只有① C ．③④D ．①④8．[2015·天津]已知抛物线y ＝－16x 2＋32x ＋6与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C .若D 为AB 的中点，则CD 的长为 (D)A.154B.92图17－1图17－2C.122D.152【解析】 令y ＝0，则－16x 2＋32x ＋6＝0，解得x 1＝12，x 2＝－3， ∴A ，B 两点坐标分别为(12，0)，(－3，0)， ∵D 为AB 的中点，∴D (4.5，0)，∴OD ＝4.5， 当x ＝0时，y ＝6，∴OC ＝6，∴CD ＝ 4.52＋62＝152. 二、填空题(每题4分，共16分)9．[2015·怀化]二次函数y ＝x 2＋2x 的顶点坐标为__(－1，－1)__，对称轴是直线__x ＝－1__.10．[2015·杭州]函数y ＝x 2＋2x ＋1，当y ＝0时，x ＝__－1__；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而__增大__(选填“增大”或“减小”)．【解析】 把y ＝0代入y ＝x 2＋2x ＋1，得x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1， 当x ＞－1时，y 随x 的增大而增大， ∴当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大．11．[2015·临沂]定义：给定关于x 的函数y ，对于该函数图象上任意两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当x 1＜x 2时，都有y 1＜y 2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有__①③__(填上所有正确答案的序号)．①y ＝2x ；②y ＝－x ＋1；③y ＝x 2(x ＞0)；④y ＝－1x . 【解析】 y ＝2x ，2＞0，∴①是增函数； y ＝－x ＋1，－1＜0，∴②不是增函数； y ＝x 2，当x ＞0时，是增函数，∴③是增函数； y ＝－1x ，在每个象限内是增函数，因为缺少条件， ∴④不是增函数．12．[2014·杭州]设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过A (0，2)，B (4，3)，C 三点，其中点C 在直线x ＝2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为__y ＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋2__．【解析】 ∵点C 在直线x ＝2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1或x ＝3，当对称轴为直线x ＝1时，设抛物线解析式为y ＝a (x －1)2＋k ， 则⎩⎨⎧a ＋k ＝2，9a ＋k ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，k ＝158，所以，y ＝18(x －1)2＋158＝18x 2－14x ＋2；当对称轴为直线x ＝3时，设抛物线解析式为y ＝a (x －3)2＋k ， 则⎩⎨⎧9a ＋k ＝2，a ＋k ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，k ＝258，所以，y ＝－18(x －3)2＋258＝－18x 2＋34x ＋2，综上所述，抛物线的函数解析式为y ＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋2. 三、解答题(共20分)13．(10分)已知抛物线y ＝a (x －3)2＋2经过点(1，－2)． (1)求a 的值；(2)若点A (m ，y 1)，B (n ，y 2)(m <n <3)都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小． 解：(1)∵抛物线y ＝a (x －3)2＋2经过点(1，－2)， ∴a (1－3)2＋2＝－2，∴a ＝－1；(2)解法一：由(1)，得a ＝－1<0，抛物线的开口向下， 在对称轴x ＝3的左侧，y 随x 的增大而增大， ∵m <n <3， ∴y 1<y 2.解法二：由(1)，得y ＝－(x －3)2＋2， ∴当x ＝m 时，y 1＝－(m －3)2＋2， 当x ＝n 时，y 2＝－(n －3)2＋2， y 1－y 2＝(n －3)2－(m －3)2 ＝(n －m )(m ＋n －6)． ∵m <n <3，∴n －m >0，m ＋n <6，即m ＋n －6<0. ∴(n －m )(m ＋n －6)<0. ∴y 1<y 2.14．(10分)已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (－1，0)． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标．解：(1)解法一：∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (－1，0)， ∴⎩⎨⎧－9＋3b ＋c ＝0，－1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝3. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；解法二：抛物线的解析式为y ＝－(x －3)(x ＋1)， 即y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)解法一：∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．解法二：∵由抛物线的顶点坐标公式得x ＝－22×（－1）＝1，y ＝4×（－1）×3－224×（－1）＝4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．(20分)15．(5分)如图17－3，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12x 2经过平移得到抛物线y ＝12x 2－2x ，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为(B) A ．2 B ．4 C ．8D ．16图17－3【解析】 如答图，过顶点C 作CA ⊥y 轴于点A ， 由抛物线y ＝12x 2－2x ＝12(x 2－4x )＝12(x 2－4x ＋4)－2＝12(x －2)2－2得，其顶点坐标为C (2，－2)， 其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积等于矩形ACBO 的面积，即为2×2＝4， 故选B.16．(15分)[2015·毕节改编]如图17－4，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M ′. (1)求抛物线的解析式；(2)若直线AM ′与此抛物线的另一个交点为C ，求△CAB 的面积．解：(1)将A ，B 点坐标代入函数解析式， 得⎩⎨⎧1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0， 解得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝－3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3；(2)将抛物线的解析式化为顶点式，得y ＝(x －1)2－4， ∴M 点的坐标为(1，－4)，M ′点的坐标为(1，4)， 设AM ′的解析式为y ＝kx ＋m ， 将A ，M ′点的坐标代入，得 ⎩⎨⎧－k ＋m ＝0，k ＋m ＝4， 解得⎩⎨⎧k ＝2，m ＝2，AM ′的解析式为y ＝2x ＋2， 联立AM ′与抛物线，得第15题答图图表 1图17－4⎩⎨⎧y ＝2x ＋2，y ＝x 2－2x －3，解得⎩⎨⎧x 1＝－1，y 1＝0，或⎩⎨⎧x 2＝5，y 2＝12，∴C 点坐标为(5，12)． S △CAB ＝12×4×12＝24.(12分)17．(12分)[2015·泰州]已知二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点P (－3，1)，对称轴是经过(－1，0)且平行于y 轴的直线． (1)求m ，n 的值；(2)如图17－5，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P ，与x 轴相交于点A ，与二次函数的图象相交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，P A ∶PB ＝1∶5，求一次函数的表达式．图17－5解：(1)∵对称轴是经过(－1，0)且平行于y 轴的直线， ∴－m 2×1＝－1，∴m ＝2，∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点P (－3，1)， ∴9－3m ＋n ＝1，得出n ＝3m －8， ∴n ＝3m －8＝－2； (2)∵m ＝2，n ＝－2， ∴二次函数为y ＝x 2＋2x －2，第17题答图作PC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则PC ∥BD ， ∴PC BD ＝P A AB ， ∵P (－3，1)， ∴PC ＝1， ∵P A ∶PB ＝1∶5， ∴1BD ＝16， ∴BD ＝6， ∴B 的纵坐标为6，代入二次函数为y ＝x 2＋2x －2得，6＝x 2＋2x －2， 解得x 1＝2，x 2＝－4(舍去)， ∴B (2，6)，设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b . ∴⎩⎨⎧－3k ＋b ＝1，2k ＋b ＝6，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝4， ∴一次函数的表达式为y ＝x ＋4.。